Distribuciones de Los Estimadores
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7/25/2019 Distribuciones de Los Estimadores
1/4
DISTRIBUCIONES DE LOS ESTIMADORES
Sea X una poblacin de distribucin normal, N(,) de la cual se extrae una
muestra de n elementos {x1,x2, , xn}
ada obser!acin muestral xi, tendr" tambi#n la misma distribucin N(,)
$or lo tanto si
[ ]
1 2
1 2
1 2
1 2
...
...( )
1( ... )
1( ) ( ) ... ( )
...( )
n
n
n
n
x x xX
n
x x xE X E
n
E x x xn
E x E x E xn
E Xn
+ + +=
+ + + =
= + + +
= + + ++ + +
= =
%ecordemos &ue las obser!aciones muestrales son independientes, en
consecuencia
[ ]
1 2
1 2
1 22
1 22
2 2 2 2 2
2 2
...
...( )
1( ... )
1( ) ( ) ... ( )
...( )
n
n
n
n
x x xX
n
x x xVar X Var n
Var x x xn
Var x Var x Var xn
nVar X
n n n
+ + +=
+ + + =
= + + +
= + + +
+ + += = =
'ueda demostrado &ue la distribucin de la media muestral es
(0,1)X
N
n
Ntese &ue esta ormula puede usarse solo si es conocido
istribucin de la !arian*a muestral
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2/4
2 2 22 1 2
22 22
1 2
2
( ) ( ) ... ( )
1
( 1)...
n
n
x X x X x XS
n
x Xx X x Xn S
+ + + =
= + + +
omo la parte derec+a de la ecuacin es una suma de cuadrados de !ariables
aleatorias independientes, con distribucin normal estandari*ada, se tiene
)1()1( 2
2
2
nSn
$or lo tanto
2
2
( 1)( 1)
*( 1)
X
Xnt n
Sn Sn
n
=
inalmente la distribucin de la media muestral es-
1. Si conocemos
(0,1)X
N
n
2. Si no conocemos
( 1)X
t nS
n
/a distribucin de la !arian*a muestral es
)1()1( 2
2
2
nSn
/a distribucin de la proporcin muestral , cuando la muestra es suicientemente
0rande para aplicar el eorema entral del /mite,
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(0,1)* (1 )
pN
n
Comparacin de proporciones y comparacin de medias
3samos la si0uiente propiedad de las distribuciones normales
1. $ropiedad de la normal- si X e 4 son independientes
),(
),(
),(
22
yxyx
yy
xx
NYX
NY
NX
+
2. 5xtensin de la propiedad
Si sumamos X16X266Xn 7 todas las !ariables spn
independientes 7 con la misma distribucin N(,) entonces
X16X266Xnsi0ue una),*( nnN
istribuciones de la proporcin
La distribucin del estimador es:
)1,0()1()1(
)()(
2
22
1
11
2121 N
n
pp
n
pp
pp
+
aso de medias 8a7 tres sub casos
i. onocemos las des!iaciones est"ndar poblacionales 1 7
2 entonces la distribucin del estimador es-
)1,0()()(
2
2
2
1
2
1
2121 N
nn
XX
+
ii. Si no conocemos 1ni 29 7 n1: ;< n2: ;< 7 entonces la
distribucin es-
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
( ) ( )(0,1)
X XN
S S
n n
+
-
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iii. Si no conocemos 1ni 29 7n1= ;< n2= ;< 7 entonces la
distribucin del estimador es
)2(11
2
)1()1(
)()(21
2121
2
22
2
11
2121 +
+++
nnt
nnnn
SnSn
XX
Siempre &ue 1> 2
aso de !arian*as
)1(),1(2
2
2
1
22
2
22
1
1
1
)1(
)1(
mnF
m
n
m
n
/as aplicaciones de estas distribuciones son principalmente-
1. /a estimacin por inter!alos de conian*a2. /a prueba de +iptesis param#trica
3. /a deduccin de las distribuciones de otros estimadores comoen el caso de los estimadores de la re0resion