DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variable Aleatoria Discreta

Función de densidad - Función masa de densidad

f(x)= P(x=x)

Función Acumulativa

F(x)= P (x≤x)

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden presentarse como resultado de un experimento.

Una distribución de probabilidad es similar a una distribución de frecuencias relativas, sin embargo en vez de describir el pasado, describe que tan probable es un evento futuro.

Ejemplo:

Una agencia de protección al consumidor puede probar un tipo de medicamento en una muestra n, para un grupo de personas.

Variable Aleatoria

Es una cantidad que es resultado de un experimento, y debido al azar puede tomar valores diferentes.

Variable Aleatoria Discreta

Es aquella que puede tomar ciertos valores dentro de un experimento.

Valor Esperado (Esperanza Matemática)

µ = E[x] = ∑ x P(x) o µ1 = E[x] = ∑ x f(x)

Propiedades:

1) E [c] = C

2) E [cx] = C E [x]

3) E ¿(x)¿ = E [g1 ( x )]+…+E ¿(x)¿

Axiomas Probabilidad:

1) f(x)≥0 ^ f(x)≤1 ; P(x)≥0 ^ P(x)≤1n P

µ

= ∑xn

; µ = ∑xiN

Población

Varianza: CASO 1

v2 = ∑ (x−µ)2 P(x)

CASO 2

v2 = E [x2] - µ2

Donde:

v2 = Varianza Poblacionalµ = Variable esperadaP(x) = P

Ejercicio 1

El número de consultas de los estudiantes vía internet respecto a la asignatura Castellano oscila entre 0 y 6 cada día como se muestra en los siguientes datos:

Consultas Número de días3 0 1 52 33 64 25 4

6 4

(respectivamente)

a) Cual es el valor esperado?b) Cual es el valor de la varianza?

Xi fi0 31 52 33 64 25 46 4

Si llamamos X al número de consultas diarias (la primera columna) y f al número de días que se producen las consultas dadas (la segunda columna) entonces:n=número de datos (es la suma de la segunda columna) = 27

El valor esperado es

E(X) = 1/n*Σ(xi*fi) =

1/27 * ( 0*3 + 1*5 + 2*3 + 3*6 + 4*2 + 5*4 + 6*4) =

E(X)=3

o lo que es lo mismo la media µ=3

La varianza es

σ² = 1/n*Σ(fi*(xi-µ)²)

σ² = 1/27* ( 3*(0-3)²+5*(1-3)²+3*(2-3)²+6*(3-3)²+2*(4… �(5-3)²+4*(6-3)² )

σ² = 3.8519

Ejercicio 2

Calcule la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta

X p(x)0 0,20 1 0,402 0,303 0,10 µ = media = Σ x P(x)

µ = (0) (0,20) + (1) (0,40) + (2) (0,30) + (3) (0,10)

µ =1, 3

σ² = Σ (x−µ)2P(x)

σ² = (0−1,3 )2 (0,20 )+(1−1,3 )2 (0,40 )+(2−1,3 )2 (0,30 )+(3−1,3 )2(0,10)

σ² =0,81

Ejercicio 3

Determine la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta

X p(x)2 0,50 8 0,3010 0,20 µ = media = Σ x P(x)

µ = (2) (0,50) + (8) (0,30) + (10) (0,20)

µ =5,4

σ² = Σ (x−µ)2P(x)

σ² = (2−5,4 )2 (0,50 )+(8−5,4 )2 (0,30 )+(10−5,4 )2 (0,20 )

σ² =12,04

Tipos de Datos de Probabilidad Discreta

Sea X una variable aleatoria discreta entonces se cumple lo siguiente:

Función masa de probabilidad de X

P(x)= P(X=x)

Función Acumulativa de X

F(x)= P (X≤x)

Distribución de Probabilidad de Bernoulli:

Características:

1.- La prueba tiene uno de los resultados mutuamente excluyentes o exclusivos denotando uno de los resultados como:

E (éxito) ^ F (fracaso)

2.- Los resultados son exhaustivos, es decir no existen otros resultados posibles.

3.- A las probabilidades E y F se las denota:

E (éxito) =p ^ F (fracaso) = q

Nótese que: p + q = 1

Definición:

P(x) = px. q1−x ; x=0,1

Donde:

p = Probabilidad de éxito

q = 1 – p = Probabilidad de fracaso

Media:

µ = p

Varianza:

v2 = p. q

Distribución de Probabilidad Binomial:

Características:

1) El experimento consiste en n pruebas de Bernoulli idénticas.2) Cada prueba tiene únicamente dos resultados posibles:

Éxito y Fracaso3) P(E) = p ; P(F)=q ; Nótese que: p + q=14) Las pruebas son independientes.5) La variable aleatoria Binomial de X es un número de resultados de n pruebas

Definición:

P(x) = (nx

)px. qn−x ; x=0,1,…, n

Donde:

p = Probabilidad de éxito.

q = 1 – p = Probabilidad de fracaso

(nx

) = n!

x ! (n−x )! = combinación

Media:

µ = n.p

Varianza:

v2 = n. p. q

q = 1 – p

Distribución de Probabilidad Hipergeométrica:

Características:

1.- El experimento consiste en extraer al azar y sin sustitución en elementos pequeños n, en elementos grandes N, r de los cuales son E (éxitos) y (N-r) de los cuales son fracasos.

2.- El tamaño de la muestra n es grande en comparación con N mayúscula de la población, es

decir: nN

>0,05

3.- La variable aleatoria Hipergeométrica X es el número de resultados de S en la muestra de n elementos.

X = máximo [0, n-(N-r)],…, mínimo (r, n)

Definición:

P(x) = (rx )(N−r

n−x )(Nn )

Donde:

N = número total de elementos

r = número de resultados de S en n elementos

n = número de elementos extraídos

X = números de resultados en n elementos.

Media:

µ = nrN

Varianza:

v2 = r (N−r )n (N−n )N2 (N−1 )

Distribución de Probabilidad de Poisson:

Características:

1.- El experimento consiste en contar el número de veces que ocurre un evento en particular durante una unidad de tiempo dada, en un área de unidad, volumen, peso, distancia o cualquier otra unidad de medida dada.

2.- La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad de tiempo, área o volumen es la misma para todas las unidades

3.- El número de eventos que ocurre en una unidad, área o volumen, es independiente del número que ocurre en otras unidades.

Definición:

P(x) = λx . e− λ

x ! ; n = 0,1,2,…,n

Donde:

e = 2,718

λ = E(x) ; µ

Media:

µ = λ

Varianza:

σ 2 = λ

Ejercicios de Aplicación

Ejercicio 1

Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento "Número de caras que caen.

Datos:

Ejercicio 2

Al lanzar una moneda, la probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

Ejercicio 3

"Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el teorema de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

Ejercicio 4

Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5 % es la probabilidad de que se decolore, 20 % de que se agriete, y el 23 % de que se decolore o no se agriete, o ambas. Sea X = 1 si se produce una decoloración y X = 0 en cualquier otro caso, Y = 1 si hay alguna grieta, Y = 0 en cualquier otro caso, Z = 1 si hay decoloración o grieta, o ambas, y Z = 0 en cualquier otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de X. Determine pxb) Sea py la probabilidad de éxito de Y. Determine py

c) Sea pz la probabilidad de éxito de Z. Determine pzd) ¿Es posible que X, Y sean igual a 1?e) ¿Es pz=px+ p y?f) ¿Es Z=X+Y Explique?

Datos:

5% = Decolore = P (D) = 0,05

20% = Agriete = P(A) = 0,20

23% = D A o ambas = P(D A ambas ) = 0,23

Son x=1 D

X=0

Y=1 A

Y=0

Z=1

Z=0

a)

P(x) = px. q1−x ; x=0,1

= (0,05¿¿0(1−0,05)1−0+(0,05)1(1−0,05)1−1

= 1

b)

P (y) = py. q1− y ; y=0,1

= (0,20¿¿0(1−0,20)1−0+(0,20)1(1−0,20)1−1

= 1

c)

P (z) = pz. q1−z ; z=0,1

= (0,23¿¿0(1−0,23)1−0+(0,23)1(1−0,23)1−1

= 1

d)

X, Y = 1? SI

e)

pz=px+ p y?

1 = 1 + 1

1≠2 NO

f)

Z = X + Y

D o A o ≠ D + A

Ejercicio 5

Sea X el número de imperfecciones superficiales de una caldera seleccionada al azar de un tipo que tiene una distribución de Poisson con λ=5. Use la tabla A.2 del apéndice para calcular las siguientes probabilidades.

a) P(X≤8)b) P(X=8)c) P(9≤X)d) P(5≤X≤8)e) P(5<X<8)

Desarrollo:

Datos:

λ =5

a) P(X≤8) = P(X=0) +… + P(X=8)

P (X≤8) = λx . e− λ

x ! + … + = 5

8 .e−5

8 !

P (X≤8) = 0,932

b) P(X=8) = λx . e− λ

x !

P(X=8) = 58 .e−5

8 !

P(X=8) =0,065

c) P(9≤X) = (PX≥9)P (9≤X) = 1 – P(X<9)P (9≤X) = 1 – [P(X=0) +… + P(x=8)]P (9≤X) = 1- 0,932P (9≤X) = 0,068

d) P(5≤X≤8) = [P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)]P (5≤X≤8) =0, 49

e) P(5<X<8) = [P(X=6) + P(X=7)]P (5<X<8) =0,25