Dossier de ejercicios i

Cálculo Integral

Dossier de

Ejercicios ing-rosendogutiérrezbonilla.blogspot.com

Rosendo Gutiérrez Bonilla

Dossier de Ejercicios


1

Presentación

Este Dossier es elaborado para solucionar

ejercicios de Cálculo Integral aplicando fórmulas de

la Integral Indefinida, como herramienta en la

estimación de variables en las ciencias exactas.

Contenido

1 Antiderivada 2

2 Cambio Acumulado 3

3 Integral Indefinida 4

4 Integral de Potencia 4

5 Integral de Logaritmo Natural 5

6 Integral de una Constante 6

7 Integral de Cambio de Variable de Función Trigonométrica 6

8 Separar “x” 7

9 Integral de Sumas y Restas 7

10 Integral de Constante y Variable 7

11 Integral de Función Trigonométrica 8

12 Integral por Sustitución o Cambio de Variable 8

13 Integral por Sustitución o Cambio de Variable con compensación

9

14 Integración por Partes 9



2

La diferencial en estimación de errores y

aproximaciones de variables.

Integración de funciones algebraicas y

trascendentes

Ejercicio 1

Sea

Su derivada es

2x

Aplicando la diferencial

∫

Se encuentra la antiderivada

∫

Razonamiento

Derivamos utilizando la fórmula para

derivadas con potencia1 y resolvemos aplicando

la antiderivada para volver al valor de la función

original al aplicar la fórmula de la diferencial.

Ejercicio 2

Sea

Su derivada es

6x

Aplicando la diferencial

∫

Se encuentra la antiderivada

∫

Razonamiento

Se deriva aplicando la fórmula 4 para

calcular derivadas con potencia1, al tener la

derivada resolvemos con la fórmula de

antiderivada, así obtenemos el valor de la

función original.

1 Regla de la potencia, Cálculo, James Stewart, ed. 6, Pág. 174

Derivada de una función de potencia



3

Ejercicio 1

En un periodo de 12 horas se venden 300 litros

de gasolina por hora. Calcular cuántos litros se

venden en total al fin del periodo.

t 0 3 6 9 12

lts 300 900 1800 2700 3600

Estimación de menos

300 (3) + 900 (3) + 1800 (3) + 2700 (3) =

17 100 lts

Estimación de más

900 (3) + 1800 (3) + 2700 (3) + 3600 (3) =

27 000 lts

Por lo tanto:

17 100 lts = venta total < 27 000 lts, con una

diferencia de 9 900 lts entre la estimación de

más y la de menos.

Ejercicio 2

Un auto viaja con velocidad creciente, al medir

la velocidad se obtiene la siguiente información.

t(s) 0 10 20 30 40

vel 1km 2km 3km 4km 5km

Calcular la distancia que ha recorrido el

vehículo.

Solución.

Estimación de menos

1(10) + 2(10) + 3(10) + 4 (10) = 100 km

Estimación de más

2(10) + 3(10) + 4 (10) + 5 (10) = 140 km

Por lo tanto:

100 km = distancia recorrida < 140 km, con una

diferencia de 40 km entre la estimación de más

y la de menos.



4

Para resolver integrales, se aplican las formulas

de la integral indefinida2, las cuales se presentan

en la solución de cada ejercicio, de acuerdo al

tipo de integral que se resuelve.

Fórmula ∫

Ejercicio 1

Sea fx = 16x4

u=16x4

Entonces: ∫

Ejercicio 2

Sea fx = 4x3

u=4x3

Entonces: ∫

= x4

Formula ∫√

Ejercicio 1

∫√

Se resuelve para quitar la radical y obtenemos

√ = dx

Resolvemos aplicando la fórmula de la integral

indefinida donde

u=

Por lo tanto ∫

Igualamos con 1 al numerador para dividir y así

retirar la fracción del denominador, tenemos

que:

O bien

√

2 Tabla de Integrales Indefinidas, Cálculo, James Stewart, ed. 6, Pág. 392

Integrales Indefinidas



5

Ejercicio 2

∫ √

Resolvemos quitando la radical y obtenemos

√ =


indefinida donde

u=

Tenemos que

∫

Igualamos con 1 al numerador para dividir y así

retirar la fracción del denominador, tenemos

que:

O bien

√

Fórmula

Ejercicio 1

∫

Resolviendo

∫(

)

Resolvemos el exponente ubicado en el

denominador para hallar la integral que

debemos resolver. Aplicamos leyes de los

exponentes3 como se presenta en Algebra I de

Ramiro González Cárdenas (a-n

=1/an) para

resolver

con lo que tenemos que

Así tenemos que

∫ ∫


indefinida donde

u=

Tenemos que

∫

(x)

3 Potencias, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 82

Leyes de los exponentes



6

Ejercicio 2

Sea

Tenemos que

∫(

)

Resolviendo

∫ ∫

Aplicamos la fórmula de la integral indefinida

donde

u=

Fórmula ∫

Ejercicio 1

Sustituimos y resolvemos

∫

Ejercicio 2

∫

Fórmula ∫

Ejercicio 1

∫

Donde

u=6x

du=6

Resolviendo

∫

Ejercicio 2

∫

Donde

u=3ax

du=3a

Resolviendo

∫

∫



7

Fórmula ∫√

Ejercicio 1

√

dx

Resolvemos √

aplicando leyes de los

radicales4 como lo explica Ramiro González

Cárdenas en Algebra I, por lo que tenemos que

√

Por lo tanto

√

dx=

Ejercicio 2

√

dx

Radicando tenemos que

√

dx=

Fórmula ∫

∫

Ejercicio 1

∫ ) dx

Resolviendo tenemos que

∫ ∫ ∫ =x

Aplicando la fórmula

+

∫

+

Ejercicio 2

∫ )dx


∫ ∫ ∫ =x ∫ =x

Aplicando la fórmula

+

+

Fórmula ∫ ∫

Ejercicio 1

∫

Donde

u=12x

4 Radicación, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 87

Leyes de los Radicales



8

∫ ∫

Ejercicio 2

∫

Donde

u=6x

∫ ∫

Fórmula ∫

∫

Ejercicio 1

∫

Ejercicio 2

∫

Fórmula ∫

Ejercicio 1

∫

Donde

u=

du=6xdx

Aplicando la fórmula tenemos que

∫

Ejercicio 2

∫

Donde

u=

du=6x2dx

Aplicando la fórmula tenemos que

∫



9

Fórmula ∫

Ejercicio 1

∫

Donde

u=

du=6

Se observa que la derivada de u (du) no

corresponde con lo dado en la integral a

resolver, se compensara con 6 (valor de du) al

resolver la integral, con lo que se obtiene

∫

Al resolver tenemos que

∫

Resolvemos multiplicando y tenemos

O bien

Fórmula ∫ ∫

Ejercicio 1

∫ ∫

Donde


∫ ∫

∫ ∫

Aplicamos la fórmula de la integral de una

función trigonométrica que nos indica:

∫ para resolver

∫ con lo que obtenemos

∫

Con lo cual complementamos que

∫ ∫



10

Ejercicio 2

∫ ∫

Donde


∫ ∫

∫ ∫

Aplicando la fórmula de la integral de una

función trigonométrica tenemos que

∫

Con lo cual complementamos que

∫ ∫

Bibliografía

1 Regla de la potencia, Cálculo, James Stewart, ed. 6, Pág. 174

Derivada de una función de potencia

2 Tabla de Integrales Indefinidas, Cálculo, James Stewart, ed.

6, Pág. 392

Integrales Indefinidas

3 Potencias, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 82

Leyes de los exponentes

4 Radicación, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 87

Leyes de los Radicales

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