CIRCUITOS ELECTRICOS Y ELECTRONICOS EJERCICIOS SOBRE TECNICAS DE ANALISIS CIRCUITAL PROF. ARNALDO LARGO 1) Demuestre lo indicado en los siguientes circuitos eléctricos:

Veamos para el caso de los elementos en paralelo.

Como los elementos están en paralelo, la resistencia equivalente que vé la

fuente de corriente, tendrá valor de:

3//2//1 RRRRequ =

Sobre esta resistencia, circula la corriente Is, obteniéndose entre terminales de

esta fuente una tensión de:

voltiosRIs equ*

Esta tensión, es la misma entre todos los elementos (están en paralelo); luego

la corriente circulando por el resistor de resistencia R2 tendrá valor de:

( ) 22

3//2//1 IIsR

RRR=

La resistencia equivalente de resistencias en paralelo, es el inverso de lo que

resulta de sumar el inverso de cada valor de resistencias en paralelo. Ello

permite expresar lo anterior de la siguiente manera:

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22

1//31

21 1

IIsR

RRR =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

Sacando mínimo común múltiplo de la operación en paralelo y efectuando, se

genera lo siguiente:

( )( )

22

21//321//3

1

IIsR

RRRRRR

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

Esta última expresión, equivale a la siguiente:

( )( )

2

21//321//3*2

I

RRRRRRR

Is=

+

Cancelando R2 del denominador principal anterior, quedaría:

( )( )

2

1//321//3

I

RRRRR

Is=

+

Esta última expresión, equivale a la expresión que nos están pidiendodemostrar:

( )( ) 2

21//31//3* IRRR

RRIs=

+

Veamos el caso de los elementos en serie.

Como los elementos resistivos están en serie, la resistencia equivalente vista

por la fuente, tendrá valor de:

321 RRRRequ ++= Sobre esta resistencia, circula una corriente I de valor dado por:

equ

S

RV

I =

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Esta corriente, circula por cada uno de los elementos del circuito; luego la

tensión la resistencia R3, vendrá dada por:

3*3 RRV

Vequ

S=

Esta última expresión, equivale a la expresión que nos están pidiendo

demostrar.

3*321

3 RRRR

VV S

++=

2) En el siguiente circuito eléctrico, determine el valor de la potencia absorbida

por las fuentes dependientes, aplicando análisis nodal.

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Se muestran e identifican los nodos en el circuito en estudio, tal como se indica

en la siguiente figura.

Con el nodo de referencia considerado, los potenciales en los nodos C y A, se

encuentran definidos por:

VoltiosVA 24= voltiosixVC =

Considerando el nodo B, la ecuación de corriente en éste, será:

03812

=+−

+−

iyVVVV DBAB

Agrupando:

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0381

81

121

121

=+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++− iyVVV DBA

Sustituyendo en la anterior, el valor del potencial en el nodo A:

0381

24524

121

=+−+− iyVV DB

Ello nos resulta en la ecuación siguiente:

( )12381

245

=+− iyVV DB

Considerando el nodo D, la ecuación de corriente en éste, será:

021000048

=−

++−

+− CDDADBD VVVVVVV

Agrupando y sustituyendo el valor del potencial en el nodo A y en el nodo C:

02124

41

81

21

100001

41

81

=−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ ixVV BD

Ello nos resulta en la ecuación siguiente:

( )2621

81

100008751

=−− ixVV BD

Las corrientes, ix e iy se definen como:

AD VViy −=

( )324−=⇒ DViy

( )4BD VVix −=

Luego, sustituyendo estas en (1) y (2), de (1):

( ) 224381

245

=−+− DDB VVV

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( )574823

245

=+⇒ DB VV

De la ecuación (2):

621

81

21

100008751

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − BD VV

( )6683

100003751

=+⇒ BD VV

Se formula, luego entonces, un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas con

las ecuaciones (4) y (5):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

74*

10003751

83

823

45

D

B

V

V

La solución a este sistema de ecuaciones, le asigna valores de las variables VB

y VC como las mostradas a continuación.

voltiosVB 09942877.72= voltiosVD 60844729.5−= Ello, le otorga valor a las corriente ix e iy. De la ecuación (4):

BD VVix −=

.70787606.77 ampix =⇒

De la ecuación (3):

.60844729.29 ampiy −=⇒ Se están pidiendo las potencias absorbidas por las fuentes dependientes en la

red. Considerando las corrientes en estas fuentes entrando por el polo positivo

de la tensión en estas, veamos parte de la red en estudio en la siguiente figura.

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Obsérvese el valor de la fuente dependiente de corriente (3iy). La tensión en la

fuente dependiente de corriente, se ha considerado como VBC y la corriente

entrando por el polo positivo de la fuente dependiente de tensión, iz.

Como:

ixVC = , se tiene que:

ixVVVVV BBCCBBC −=⇒−=

voltiosVBC 70787606.7709942877.72 −=⇒

voltiosVBC 60844729.5−=⇒

Obsérvese que esta diferencia de potencial, tiene el mismo valor de VD. La corriente iz, sumando corriente en el nodo c, viene dada por:

.8253.882 ampiiZ −= Ω

La corriente en el resistor de 2Ω, viene dada por:

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.8253.882 ampiiZ −= Ω

La corriente en el resistor de 2Ω, viene dada por:

22CD VV

i−

=Ω

Luego:

.8253.882

ampVV

i CDZ −

−=

.8253.882

70787609.7760844729.5 ampiZ −−−

=

.48350356.130 ampiZ −=

Con estos valores, las potencias absorbidas por las fuentes dependientes en la

red son:

vatiosVcorrientedeedependientFuente BC*8253.88−=

( ) ( ) vatioscorrientedeedependientFuente 60844729.5*8253.88 −−=

vatioscorrientedeedependientFuente 17201307.498=

vatiosiVtensióndeedependientFuente ZC *=

vatiostensióndeedependientFuente 70787606.77*48340356.130−=

vatiostensióndeedependientFuente 5959225.10139−=

Se observa que la fuente dependiente de corriente absorbe energía, mientras

que la fuente dependiente de tensión entrega energía.