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Electromagnetismo 2018

Ondas electromagnéticas guiadas 2

Guías de onda abiertas y dieléctricas

Electromagnetismo 2018 Plan de la clase:

Ondas electromagnéticas guiadas 2 1 – Guiado por desadaptación de impedancias 2 – Guía semiabierta 3 – Guía dieléctrica plana (hoja dieléctrica) 4 – Guía dieléctrica cilíndrica (fibra óptica)

2

Ondas electromagnéticas guiadas 2 1 – Guiado por desadaptación de impedancias

Puede obtenerse guiado de señales electromagnéticas por desadaptación de impedancias sobre una interfaz. En la incidencia oblicua de una onda sobre una interfaz, se produce un flujo de energía (en rojo) que viaja paralelo a la interfaz, además de un flujo semiestacionario en el medio de incidencia y potencia transmitida al medio de transmisión.

Si ahora tomamos medios adecuados (2 > 1) y aumentamos el ángulo de incidencia por encima del ángulo de reflexión total, toda la energía permanece en el medio de incidencia.

Si colocamos otra interfaz paralela a la primera (2 > 1,3) podemos lograr confinar la propagación de la energía al medio intermedio, constituyendo una guía de onda “abierta” (sin paredes metálicas).

También hay guías “semiabiertas” donde una de las interfases es entre el dieléctrico y un metal. Estas guías se usan en varia-ciones de microstrips.

3

2

1

2

1

3

Ondas electromagnéticas guiadas 2 2 – Guía semiabierta Sea una guía semiabierta como la de la figura. Por ejemplo, el modo TM más

sencillo que se propaga según z es el indicado, con:

Donde hemos omitido el factor de propagación . Esta solución anula el campo eléctrico tangencial sobre el conductor perfecto. Si z es real hay propagación y la impedancia de onda es real, lo que lleva a un valor medio del vector de Poynting no nulo. Pero:

Para confinar la radiación dentro de la guía, el ángulo de incidencia sobre la interfaz guía-aire debe ser: donde:

Pero: Entonces: z es real y hay propagación confinada en estas condiciones.

4

2 2 2 2

0

0 0

; cos( )

0

cos( ) ; sen( )

x z y x

x

zx x z x

x

jH E x

x dj

E E x E E x

( )zj t ze

2 2

z x

z

x

β

i i ic

0 0sen ;ic

0 0sen senx i ic

2 2 2 2

0 0z x

Ondas electromagnéticas guiadas 2 2 – Guía semiabierta

Las velocidades de fase y de grupo para las ondas confinadas dentro de la guía son:

siempre que la permitividad de la capa dieléctrica no dependa o dependa muy lentamente de la frecuencia dentro del ancho de banda de uso. En tal caso no hay dispersión dentro de la guía en el modo TM.

El vector de Poynting tiene dos componentes:

Por lo tanto hay guiado de potencia en la dirección z y hay una onda estacionaria en la dirección x, a causa de la reflexión total sobre ambas interfases.

5

2 2

0 0

0

0 0

; ;

cos( )

; 0

cos( ) ; sen( )

x z

y x

x

zx x z x

x

jH E x

x dj

E E x E E x

z

x

β

0

1f g

z z

dv v

d

2* 2 *

02

1 1Re cos ( ) ; Re 0

2 2

zz x y x x z y

x

N E H E x N E H

Ondas electromagnéticas guiadas 2 3 – Guía dieléctrica plana (hoja dieléctrica)

Podemos eliminar la pared conductora creando condiciones de reflexión total sobre ambas inter-fases, como ilustra la figura, con:

En la jerga habitual hablamos de sustrato, capa y recubrimiento. Habitualmente el sustrato es el soporte mecánico de la estructura, la capa es la guía de ondas propiamente dicha, y el recubrimiento tiene funciones de protección. Suponemos que la permeabilidad es la misma en los tres medios, lo que es lo más común, con = 0.

Asumimos campos que se propagan en la dirección z, y las componentes del campo incorporan el factor , implícito en las ecuaciones. Despreciamos además la dependencia respecto de y debido a que consideramos indefinida la extensión de la estructura sobre planos yz. Esta aproximación tiene sentido si el tamaño de la estructura sobre estos planos es mucho mayor que el espesor de la capa d y si ese tamaño es además grande frente a la máxima longitud de onda de la radiación a considerar.

6

12 23 12,23

2 3 2 1

1 2 3 2

;

max , ; sen ,i ic ic ic

( )zj t ze


Vamos a usar el método general de análisis de ondas guiadas, que primero resuelve la ec. de Helmholtz transversal para la componente longitudinal y luego expresa las restantes componentes transversales de los campos en términos de esta componente.

Analizamos un modo TE. La ecuación de Helmholtz transversal para la componente longitudinal (Hz) se escribe para cada medio:

cuya solución es una superposición de exponenciales de argumento real o funciones trigonométricas. Elegimos exponenciales en los medios externos, don-de esperamos ondas evanescentes, por la reflexión total, y funciones trigonomé-tricas en la capa, donde esperamos ondas “estacionarias” en la dirección x normal a las interfases:

La fase de los campos debe ser la misma para las tres ondas debido a la conti-nuidad de la componente tangencial Hz al cruzar las interfases. 7

2

2 2

20 ; 1,2,3i

i i

z

i x z

HH i

x

1 3

2

( ) ( )

( )

;

sen( ) cos( )

z z

z

j t z j t zqx px

z z

j t z

z

H Ae e H D e e

H B hx C hx e


Las componentes transversales de los campos se obtienen con las ecuaciones:

y entonces podemos escribir:

En estas ecuaciones hemos usado el valor de x para cada región, y hemos omitido el factor de propagación .

8

1 3

2

( ) ( )

( )

;

sen( ) cos( )

z z

z

j t z j t zqx px

z z

j t z

z

H Ae e H D e e

H B hx C hx e

2 2 2 20 ; ; ; 0 ;z z z z z z

x x y y t x

t t t t

H j H H j Hj jE H E H

y x x y

1 1

1 1

2 2

2 2

3

3

2 2

2 2

2

;

cos( ) sen( ) ; cos( ) sen( )

z zqx qxz zy x

z zz zy x

z px

y

H Hj jj jE Ae H Ae

q x q q x q

H Hj jj jE B hx C hx H B hx C hx

h x h h x h

Hj jE D e

p x p

3

3 2 ;

z pxz zx

Hj jH D e

p x p

( )zj t ze


Planteamos las condiciones de contorno. Se conservan las componentes tangenciales a las interfases de ambos campos (Ey y Hz) y las componentes normales Hx:

9

1

1 1 1

2 2

2

3 3 3

( )

2

( )

( )

; ;

cos( ) sen( ) ; cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

; ;

z

z

z

z j t zqx qx qxz zy x z

zy x

j t z

z

j t zpx px pxzy x z

Hj jjE Ae H Ae H Ae e

q q x q

jjE B hx C hx H B hx C hx

h h

H B hx C hx e

jjE D e H D e H D e e

p p

2 3

2 3

2 3

1 2

1

1 2

2

0

cos( ) sen( )

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

x x

y y

z z

qdx x

qd

y y

qd

z z

H H p B h D

x E E p B h D

C DH H

H H h Ae q B hd C hd

x d E E h Ae q B hd C hd

Ae B hd C hdH H


Se ve que la conservación de las componentes normales da condiciones redun-dantes respecto de la conservación de las tangenciales. Y como C = D, queda un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para que este siste-ma homogéneo tenga solución, su determinante debe anularse:

ecuación trascendente a la que se debe agregar las condiciones sobre los núme-ros de onda:

10

2 3

2 3

2 3

1 2

1

1 2

2

0

cos( ) sen( )

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

x x

y y

z z

qdx x

qd

y y

qd

z z

H H p B h D

x E E p B h D

C DH H

H H h Ae q B hd C hd

x d E E h Ae q B hd C hd

Ae B hd C hdH H

2

0

cos( ) sen( ) 0 tan( )

sen( ) cos( )

qd

qd

p hh p q

he q hd q hd hdh pq

e hd hd

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3; ;z z zq h p


Un ejemplo

Simplificamos el cálculo suponiendo que sustrato y recubrimiento son el mismo material. En tal caso 3 = 1 1 = 3 ; p = q, y la ecuación a resolver es:

De esta ecuación se puede obtener una ecuación cuadrática para la tangente:

Además podemos escribir:

y finalmente obtenemos el par de ecuaciones:

11

2 2tan( ) 2hd ph h p

2 22tan ( 2) tan( 2) 1 0 tan( 2)

p hh phd hd hd

h pph

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 ( )z p h p h

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

( 2) ( 2) tan( 2) ( ) 4 ( 2) ( 2) tan( 2)

( 2) ( 2) tan( 2) ( ) 4 ( 2) ( 2) tan( 2)

pd hd hd d hd hd hd

pd hd hd d hd hd hd


Un ejemplo

Supongamos un capa dieléctrica de vidrio (n2 = 1.5) de espesor d = 1.46 m rodeada de aire (n1 = 1) a . .

Con estos datos quedan las ecuaciones:

Graficamos ambas igualdades:

Algunos valores: 12

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

( 2) ( 2) tan( 2) ( ) 4 ( 2) ( 2) tan( 2)

( 2) ( 2) tan( 2) ( ) 4 ( 2) ( 2) tan( 2)

pd hd hd d hd hd hd

pd hd hd d hd hd hd

)6.0(105 014 mHzf

2 281.89 tan( ) ; 81.89 tan( ) ; 2x x x x x x x hd

mhx

mhx

74.22,5.18,38.14 6.16,5.13,5.10

47.22,08.18,4.13 4.16,2.13,78.9

2

1

Ondas electromagnéticas guiadas 2 4 – Guía dieléctrica cilíndrica (fibra óptica) El uso de ondas de luz como portadoras de información provee un enorme ancho de banda potencial. Las ondas ópticas se hallan en el rango de 1013 a 1016 Hz (30 nm - 30 m: este rango incluye el infrarrojo lejano y el ultravioleta cercano y medio, además del espectro visible), o sea de tres a seis órdenes de magnitud mayor que las frecuencias de microondas. Dentro de esta banda es posible acomodar un inmenso número de sub-bandas de comunicación con dife-rentes frecuencia de portadora.

Las comunicaciones ópticas pueden realizarse por transmisión inalámbrica o mediante guiado por un medio adecuado.

En la transmisión inalámbrica, el aire es un medio con demasiadas pérdidas por dispersión (scattering) para la propagación de ondas de luz. Sólo la evolución de guías dieléctricas de bajas pérdidas y fabricación económica en los últimos años ha llevado al uso masivo de esta tecnología en las comunicaciones. Debido a sus propiedades, el espectro más eficiente se hallan entre los 600 - 1600 nm, siendo las longitudes de onda más utilizadas las de 850 nm, 1300 nm y 1550 nm.

13

Ondas electromagnéticas guiadas 2 4 – Guía dieléctrica cilíndrica (fibra óptica)

Las principales ventajas de la comunicación por guías dieléctricas cilíndricas (o fibras ópticas, en la jerga) son:

• Tamaño, peso y flexibilidad. Las fibras ópticas tienen espesores muy peque-ños. Un gran número de fibras individuales pueden agruparse en un cable del tamaño de un coaxil normal. Los cables son más livianos que los de metal y más flexibles.

• Aislación eléctrica. Las fibras ópticas son prácticamente inmunes a las fuentes de interferencia. Esto hace su uso obligatorio en ambientes de alto ruido. Tampoco existe la diafonía (cross-talk) entre fibras individuales en un paquete.

• Seguridad. Es difícil "pinchar" una comunicación enviada mediante fibra óptica. Es mucho más difícil hacerlo sin que se note.

• Bajas pérdidas. Las fibras ópticas modernas tienen mejores performances que los cables coaxiles. Se ha llegado a menos de 0.2 dB/Km de pérdidas, lo que elimina la necesidad de repetidoras.

14


En la variante más sencilla, la fibra óptica con-siste en un núcleo cilíndrico de vidrio de un dado índice de refracción y un recubrimiento, también de vidrio, de índice de refracción menor.

El conjunto se rodea de una vaina de polietileno y otras cubiertas de protección. Las dimensiones típicas están en el orden de 100 a 150 m de diámetro. Debido a que el material del recubrimiento tiene un índice de refracción menor al del núcleo (valores típicos n1 = 1.5 y n2 = 1.485), existe reflexión total para rayos de luz que se propagan en el núcleo con un ángulo mayor (respecto de la normal a la interfase) que el ángulo aceptable a, ligado con el ángulo límite (rayos en azul), y no hay energía radiada fuera del núcleo (los campos en el recubrimiento y más allá son evanescentes - rayos en rojo). Esta característica se mide a través de la llamada apertura numérica de la fibra:

Con los índices de refracción típicos:

De la figura:

15

sen( 2)aNA

2ai

2 90 16.2a i

2 1arcsin 81.9i n n 1n2n


Cuando el índice de refracción del núcleo es constante, se habla de índice disconti-nuo (step-index – a). Si el índice de refrac-ción varía radialmente (lo que evita la necesidad del recubrimiento) se habla de índice gradual (graded-index – b). Si la fibra acepta sólo una frecuencia se dice que es una fibra mono-modo (c), mientras que si existen varias frecuencias posibles se habla de una fibra multi-modo (a, b).

Las fibras monomodo requieren una fuente laser, lo que es más costoso pero más eficiente. Se usan en comunicaciones de largas distancias y en instrumentos de laboratorio. Las fibras multimodo pueden usar fuentes de LED comunes. Se usan para LANs y aplicaciones de corto alcance.

16


Cada fibra individual (núcleo + recubrimiento + vaina) se agrupa habitualmente en cables con un gran número de fibras. Los cables se agrupan nuevamente en manojos.

El conjunto se recubre de capas protectoras y eventualmente se agregan almas de metal para disminuir la fragilidad.

La atenuación en la propagación a lo largo de la fibra se debe a dos fenómenos: absorción de energía y dispersión luminosa.

La absorción se debe a varios procesos:

1) variaciones microscópicas del índice de re- fracción del vidrio (dispersión de Rayleigh: -4); 2) la presencia de impurezas en el material de la fibra (por ejemplo, las moléculas de agua y OH tienen un pico de absorción a los 1400 nm); 3) absorción propia del sílice por encima de los 1600 nm (infrarrojo).

La absorción fuera de estas frecuencias es muy baja y se desprecia en los cálculos de un sistema de comunicaciones. 17


La dispersión luminosa tiene tres componentes: 1) imperfecciones de la estructura cristalina de la fibra, 2) la relación de dispersión no lineal presente en toda guía de ondas. Este tipo

de dispersión se denomina dispersión cromática, porque depende de la frecuencia de la radiación que viaja por la fibra.

3) En fibras multimodo cada modo tiene una velocidad de propagación propia que depende de la relación de dispersión en cada modo y la frecuencia de la radiación. Esta dispersión multimodo es la más importante y se agrega a la dispersión cromática (los anchos de banda se suman cuadráticamente). La dispersión es el factor esencial en la limitación del ancho de banda útil de la fibras ópticas.

También la curvatura de la guía modifica el ángulo de incidencia de la luz sobre la interfase y aumenta las pérdidas respecto del caso rectilíneo si el ángulo de incidencia cae por debajo del ángulo límite. Todos estos factores llevan en general a que la mejor performance (mínima absorción) se da en la región de 0.8 m a 1.8 m donde se logran factores de atenuación de 2 dB/Km a 5 dB/Km.

18


Campos

Los campos dentro de una fibra se pueden calcular para los distintos modos con el método general de resolver la ec. de Helmholtz transversal para la componen-te longitudinal no nula y a partir de ésta obtener las componentes transversales.

Por ejemplo, para el modo TE:

Suponemos real. En coordenadas cilíndricas, con separación de variables:

donde 2 es la constante de separación. 19

( ) 2 2 2 2

0( , ) ( , ) ; 0 ; ;z

s s s

j t z

z z T z T z T zH t H e H H r

22 2 2

2 2

22

2 2

22 2 2

2

1 10 0

1 1( , ) ( ) ( ) 0

1

s s s s

s

T z T z z T z

z T

T

H H H H

d dR dH R

R d d d

d dR d

R d d d


Campos

Quedan dos ecs. diferenciales ordinarias. La ecuación para Ψ() es:

Pero esta función debe ser periódica:

(m entero). Queda la ec. diferencial radial:

que es la ecuación de Bessel, cuyas soluciones son:

Jm y Ym son las funciones de Bessel. Im y Km las funciones modificadas de Bessel. 20

( ) 2 2 2 2

0( , ) ( , ) ; 0 ; ;z

s s s

j t z

z z T z T z T zH t H e H H r

22 2 2

2

1( , ) ( ) ( )

sz T

d dR dH R

R d d d

22

20 ( ) jd

ed

( 2 ) ( ) : ( ) jmm e

22 2 2 2

2

10T T

d dR d dR mm R

R d d d d

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

T m T m T

T m T m T

R A J BY

R A I B K

real :

imaginario :


Campos

Dentro de la fibra ( < a) la solución debe ser convergente y debe propagarse. En el recubrimiento (a < < b) la solución debe ser limitada y evanescente :

Los valores de los números de onda surgen de las leyes de Snell en la condición de reflexión total :

Vemos que si la componente longitudinal tiene la máxima amplitud real posible y la componente radial es cero.

Para

y la onda es evanescente en la dirección radial dentro del recubrimiento.

21

( ) 2 2

0( , ) ( ) ( ) ; ; ; ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

zj t z jm

z T z

T m T m T

T m T m T

H t R e e

R A J BY

R A I B K

r

real :

imaginario :

1n

2n

ci

2β

1βz

1 1 2 2

2 2

1 1 2

2 2 2 2

1 2

22 0 2

0

1 1 22

0 0 1

;

0

sen

c

c

T z T z

i i T z

z i z z

n

cn n n

c c n

ci i 2z

2 2z 2

1 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2ci i z z T z zj


Campos

Entonces, dentro de la fibra ( < a) la solución debe ser convergente y debe pro-pagarse. En el recubrimiento (a < < b) la solución debe ser limitada y evanescente. Entonces elegimos las soluciones :

Los valores de m deben ser los mismos en ambas soluciones para cumplir la con-servación de la fase del campo H tangencial en la interfaz núcleo-recubrimiento.

Calculamos ahora las otras componentes tangenciales (según ) de H:

22

1 1

2 2

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

s

s

jm

z m T

jm

z m T

H J e a

H K e a b

1

1 1

1

2

2 2

2

2

2

2

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

s

s

z jm

m T

Tz z

z jmTm T

T

mH J e a

j HH

mH K e a


Campos

La condición de borde sobre la interfaz núcleo-recubrimiento se escribe:

y por la ortogonalidad de las exponenciales complejas:

Pero y son diferentes, como hemos demostrado, así que sólo se cumple la segunda ecuación si m = 0. Entonces:

23

1

1 1 1 1

1

2

2 2 2 2

2

2

2

( , ) ( ) ; ( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ; ( , ) ( ) ( )

s s

s s

zjm jm

z m T m T

T

zjm jm

z m T m T

T

mH J e H J e a

mH K e H K e a

1 2

1 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

zs zs

s s

H a H a

H a H a

1 2

1 2

12

1 2 1 2

1 2 22

( , ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( , ) ( ) ( )

z s z s m T m T

z z

s s m T m T

TT

H a H a J a K a

m mH a H a J a K a

a a

2T1T

1 0 1 1

2 0 2 2

( ) : ( , ) ( ) , ( , ) 0

( ) : ( , ) ( ) , ( , ) 0

z s T s

z s T s

a H J H

a H K H


Los campos en la fibra son:

con la condición accesoria:

que permite hallar los valores de los números de onda transversales.

Finalmente, los campos en la fibra para el modo TE0 son:

con los números de onda normalizados u y w que valen:

24

1 20 0( ) ( )T TJ a K a

1 0 1 1

2 0 2 2

( ) : ( , ) ( ) , ( , ) 0

( ) : ( , ) ( ) , ( , ) 0

z s T s

z s T s

a H J H

a H K H

000

0

01 1

0

0 0 01 1

0

( )

( )

( ): , :

( )

( )

( )

zz

z zr r

J uH AK wH A J u

K w aa

J uj a j aa H A J u a H AK w

u a w K w a

j a j a J uE A J u E AK w

u a w K w a

2

2 2 2 2 2 1 11 22

0 0 0

( ) ( ),

( ) ( )

J u K wu w n n a

c u J u w K w


En 1842 el físico suizo Jean-Daniel Colladon (1802-1893) realizó un experimento donde guiaba un rayo luminoso mediante un chorro de agua, usando el principio (aún no descripto teóricamente) de la reflexión total. Experimen-tos similares fueron realizados en la misma época por el también suizo Auguste Arthur de la Rive (que usó la luz de un arco eléctrico para aumentar el efecto) y el francés Jacques Babinet. El fenómeno se incorporó en la puesta de 1853 de la ópera Fausto de Gounod y se usó en la Exposición Universal de París, 1889, para iluminar chorros de fuentes con distintos colores y efectos dinámicos.

La figura está tomada del artículo de Colladon, ‘‘La Fontaine Colladon’’, publicado en La Nature, 1884.

25


La figura muestra una fibra sin recubrimiento de 450 nm de diámetro hecha un nudo frente a un cabello humano.

La figura está tomada de J. Hecht, “A New Nano-Twist For Unclad Optical Fibers”, Optics & Photonics News, 2004. Una fibra comercial, con su recubrimiento y capas de protección, sería apenas más gruesa que el cabello.

Donald B. Keck, Peter Schultz & Robert Maurer, de Corning Glass Works, inventores de la primer fibra óptica de bajas pérdidas en 1970.

26

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