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Electromagnetismo 2018

Ondas electromagnéticas guiadas 1

Guías de onda metálicas

Electromagnetismo 2018 Plan de la clase:

Ondas electromagnéticas guiadas 1 1 – Modos de propagación 2 – Ecuaciones generales de las ondas guiadas 3 – Guía de planos conductores paralelos 4 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TM 5 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TE 6 – Guía de planos conductores paralelos. Consideraciones energéticas 7 – Guía metálica de sección rectangular

2

Ondas electromagnéticas guiadas 1 – Modos de propagación Llamamos guías de ondas a dispositivos que pueden guiar o confinar la energía electromagnética. Usualmente esto se logra mediante interfaces que limitan la propagación de las ondas a ciertos recintos del espacio.

En medios ilimitados, las ecuaciones de Maxwell llevan a ondas electromagnéti-cas transversales, es decir, ambos campos E y H son normales a la dirección de propagación.

En la propagación en recintos limitados existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.

Cualquier tipo de propagación se puede pensar como la superposición de los tres modos:

3

z z

z

E E E

H

H

H

TEM TE TM

Ondas electromagnéticas guiadas 2 – Ecuaciones generales de las ondas guiadas

Consideraremos campos armónicos que se propagan a lo largo del eje z de un sistema cartesiano, de manera que las expresiones de los campos deben incorporar el factor:

La "constante" de propagación a lo largo de z, z, dará información sobre el tipo de propagación (si hay o no atenuación, las velocidades de fase y de grupo, etc.).

Los campos pueden escribirse:

Dentro del sistema de guiado supondremos que no existen fuentes de campo (cargas y corrientes, independientes o inducidas por el campo eléctrico presen-te, por lo que tomamos = 0). Las ecuaciones de Maxwell llevan en tal caso a ecuaciones de onda y éstas, en la hipótesis de campos armónicos, a ecuaciones de Helmholtz:

donde, en general, y pueden ser cantidades complejas para describir medios con pérdidas.

4

( )zj t ze

( ) ( )

0 0( , ) ( , ) ; ( , ) ( , )z zj t z j t zt x y e t x y e E r E H r H

con 0 0 2222 HHEE


Dado que suponemos conocido el comportamiento de los campos según z, nos conviene separar el operador laplaciano en una parte transversal y otra longitu-dinal a la propagación:

Por otra parte, de las ecuaciones de Maxwell del rotor:

5

EEEEEEE

EE 2222222

2

222 )( tztztt

z

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

yz zz y x

x z zx y z z x y

y xx y zz

jEE E

j E j Hy z y

E E Ej H H H j E j H

x y z z x x

E EE E Ej H

x y

E H

x y z

x y z

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

yz zz y x

x z zx y z z x y

y xx y zz

jHH H

j H j Ey z y

H H Hj E E E j H j E

x y z z x x

H HH H Hj E

x y

H E

x y z

x y z


De las ecuaciones precedentes es posible despejar las componentes transversa-les del campo en función de las longitudinales:

y así surge un método de cálculo de los campos dentro de la guía de ondas:

6

2 2

2 2

z z z zx z x z

t t

z z z zy z y z

t t

E H E Hj jE H

x y y x

E H E Hj jE H

y x x y

• Resolver la ecuación de Helmholtz

para la componente longitudinal, sabiendo que la dependen-cia respecto de z (coordenada de propagación) y del tiempo es .

• Calcular las componentes transversales del campo a partir de las longitudinales.

• Usar las condiciones de contorno sobre las paredes de la guía para hallar las constantes de la solución de la ecuación de Helmholtz.

2 2 0t z t zf f

( )zj t ze

Ondas electromagnéticas guiadas 3 – Guía de planos conductores paralelos El método más sencillo de guiar una onda electromagnética es mediante un par de planos conductores paralelos. Por simplicidad matemática en esta etapa consideraremos que se trata de conductores perfectos () y que el medio entre ellos sea sin pérdidas ( = ).

En este caso pueden propagarse los tres modos.

Modo TEM Si Ez = 0 y Hz = 0, las ecuaciones:

llevan a que t = t = 0 para que existan componentes transversales no nulas. Por lo tanto: = = /c = z . Las ecs. de Helmholtz transversales se convierten en:

2Et = 0 y 2Ht = 0

7

2 2

2 2

z z z zx z x z

t t

z z z zy z y z

t t

E H E Hj jE H

x y y x

E H E Hj jE H

y x x y

Ondas electromagnéticas guiadas 3 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TEM

2Et = 0 y 2Ht = 0

Si elegimos los ejes de la figura, la ecuación para E se escribe: 2Ex = 0 , 2Ey = 0

Ambas componentes transversales del campo satisfacen la ecuación de Laplace.

Las soluciones de estas ecuaciones de Laplace escalares deben satisfacer el teorema de Earnshaw, y no pueden presentar extremos en puntos interiores al espacio definido por los planos.

En particular, Ey es tangente a los planos conductores y se debe anular sobre ellos por la conservación de la componente tangencial del campo eléctrico y porque el campo en el conductor perfecto es cero. Por lo tanto Ey debe ser nulo para todo y, pues de lo contrario presentaría al menos un extremo dentro del recinto de integración.

Ex es normal a los planos, de modo que puede ser no nulo. La solución más simple de la ecuación 2Ex = 0 es un campo constante (esta solución coincide con el campo E cuasi-estático entre dos conductores paralelos infinitos), de manera que podemos escribir:

8

( )

0ˆ( , ) zj t zr t E e E xTEM


El mismo razonamiento se aplica a la componente Hx, que es normal a los planos y debe anularse sobre ellos por la conservación de la componente normal de B.

La componente no nula del campo magnético (Hy) se puede calcular a partir de la componente no nula del campo eléctrico por la ley de Faraday:

y finalmente:

que coincide con la ecuación de una onda plana transversal en un medio ilimita-do. η es la impedancia intrínseca del medio dieléctrico que se encuentra entre los planos. El valor de la amplitud del campo E0 surge de aplicar las condiciones de borde del sistema externo que alimenta a la guía.

9

( )

0ˆ( , ) zj t zr t E e E xTEM

xzz x y y x

EEj E j H H E

x

( )

0

( )0

ˆ( , )

ˆ ( , )

z

z

j t z

j t z

t E eE

t e

E r x

H r y

TEM


El vector medio de Poynting y la densidad media de energía almacenada en el campo dentro de la guía son:

por lo que la velocidad de la energía es:

que coincide con la velocidad de fase de propagación de las ondas en el medio dieléctrico de la guía.

Por lo tanto, si y no dependen o dependen poco de la frecuencia, el modo TEM en la guía de planos paralelos no presenta dispersión.

10

( )

0

( )0

ˆ( , )

ˆ ( , )

z

z

j t z

j t z

t E eE

t e

E r x

H r y

TEM

2

20* * *

0

1 1ˆ( ) Re ; ( ) Re

2 2 4 2em

Eu E

N r E H z r E D H B

( ) 1ˆ ˆ

( )E

emu

N rv z z

r


El campo eléctrico no es con-servativo, porque su rotor no es nulo. P. ej., la circulación a lo largo del circuito c1 de la figura no es cero porque hay un flujo magnético concate-

nado dependiente del tiempo.

Sin embargo, la circulación sobre c2 es cero, así como sobre cualquier circuito sobre planos de z constante. Podemos definir entonces un voltaje entre los electrodos circulando a z constante, un voltaje entre electrodos dependiente de z (y del tiempo). Sólo es correcto hablar de diferencia de potencial en el caso de la circulación de campos conservativos, por lo que se prefiere usar el término técnico voltaje o tensión para referirse a esta circulación:

donde C es una curva cualquiera de z constante que va de un plano al otro.

11

( , ) ( , )x

C

v z t E z t d E dl


Además, la condición de borde para el campo tangencial mag-nético sobre los planos conduc-tores perfectos llevan a que hay una densidad de corriente su-perficial .

Entonces habrá una "corriente" a lo largo de los electrodos i(z,t) = Js w = Hy w

en la dirección z. Podemos entonces escribir los campos en función de v(z,t) e i(z,t):

donde L y C son la inductancia y la capacidad por unidad de longitud en la direc-ción z del sistema, que se calculan mediante sus expresiones cuasiestáticas.

12

ˆs sJJ z

d

wC

t

vC

z

i

t

v

dz

i

wt

E

z

Hw

dL

t

iL

z

v

t

i

wz

v

dt

H

z

E

xy

yx

con 11

con 11


Estas son las ecuaciones del telegrafista del modelo de constantes distribuidas de una línea ideal y constituyen un modelo circuital asociado al modelo de cam-pos previamente analizado. Ambos modelos describen de manera equivalente el comportamiento de la guía de planos paralelos en el modo TEM.

Esta descripción circuital es factible cuando se puede circular con los campos en forma conservativa por caminos de z = cte., donde z es el eje de propagación.

La velocidad de propagación de las ondas de tensión y corriente es:

que coincide con la velocidad de los campos en el medio de propagación, y la im-pedancia característica de la línea es:

que es la impedancia intrínseca del medio de propagación.

13

/1/1 LCv

//0 CLZ


Una guía de sección cilíndrica (no necesariamente circular) de interior dieléctrico no puede sustentar un modo TEM, ya que la suposición de campos sólo transversales no permite la existencia de corrientes o líneas de desplazamiento axiales para generar el campo magnético transversal, ni líneas de flujo magnético axiales para generar el campo eléctrico transversal.

Puede existir propagación TEM en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial de la figura. Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales.

Otros sistemas donde se puede tener propagación TEM son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta, aunque en este último caso el modo TEM es una aproximación, ya que la presencia de líneas de campo eléctrico parte en aire y parte en el dieléctrico requiere la presencia de una componente longitudi-nal para satisfacer las condiciones de borde.

14

Ondas electromagnéticas guiadas 4 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TM Vamos a analizar la propagación dentro de la guía de planos conductores

paralelos en el modo TM no con la formulación general establecida en la sección precedente (que usaremos en el modo TE, más abajo), sino con una visión intuitiva, a partir de la incidencia oblicua de una onda plana sobre los planos paralelos.

Esto nos permitirá analizar el significado de la propagación guiada: la presencia simultánea de una onda viajera en la dirección de propagación y ondas estacionarias en direcciones transversales.

Elegimos un sistema de referencia para que la propagación de la hipotética onda plana se produzca en el plano xz. Esto nos permite simplificar las matemáticas sin restringir el fenómeno físico. El vector de onda de esta onda es entonces:

15

ˆ ˆx z β x z

Ondas electromagnéticas guiadas 4 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TM

Consideremos una onda plana linealmente polarizada que incide oblicuamente en el espacio entre los planos conductores paralelos con los campos dispuestos como se indica en la figura, de manera que H sea transversal a la propagación a lo largo de la

guía. Al incidir sobre uno de los planos se produce la reflexión total de la onda, y la onda reflejada sale con el mismo ángulo de incidencia por las leyes de Snell. Lo mismo ocurre cuando esta onda reflejada se vuelve a reflejar en el otro plano. El progreso de la onda a lo largo de la guía se produce por sucesivas reflexiones. El campo eléctrico de la onda incidente original puede escribirse:

Una vez producida la reflexión, se suma la onda reflejada:

Observamos que:

16

ˆ ˆx z β x z

( )

0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ; sen cos ;ij t

i i x zt E e

β r

E r e e x z β x z

( )

0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ; sen cos ;r

r

j t

r r r r x zt E e β rE r e e x z β x z

2i r c β β


El campo total dentro de la guía es la suma de estos dos campos:

Aplicamos las condiciones de contorno del campo sobre los planos conductores. Como se trata de conductores perfectos, el campo tangencial eléctrico Ez debe anularse sobre ellos:

de donde:

y el campo puede escribirse:

17

( ) ( )

0 1 0 0 1 0

0 0

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ( , )

ˆ ˆ ˆ ˆ sen cos sen cos

ˆ ˆ sen cos s

i ir r

x z x z

r

z x x

j t jj t jj t

r r r r

j x z j x zj t

j t z j x j x

r

t E e E e e E e E e

e E e E e

e E e E e

β r β rβ r β rE r e e e e

x z x z

x z 0 0 0 0

ˆ ˆen cos

ˆ ˆ sen cosz x x x x

r r

j t z j x j x j x j xe E e E e E e E e

x z

x z

0 00,

0, : 0 cos 0x x

r

j x j x

zx d

x d E E e E e

0 0 0 00: cos 0r r

x E E E E

0

0

ˆ ˆ( , ) sen cos

ˆ ˆ2 cos( )sen sen( )cos

z x x x x

z

j t z j x j x j x j x

j t z

x x

t E e e e e e

E e x j x

E r x z

x z


Para:

Como:

la longitud de onda del campo incidente no puede ser cualquiera, sino que está ligada a la separación d entre los planos, el ángulo de incidencia θ y el orden n del modo. Campos de otras longitudes de onda no cumplen las condiciones de contorno y no pueden existir dentro de la guía.

El campo eléctrico para una de las longitudes de onda permitidas se puede escri-bir finalmente:

Se ve que el campo E tiene una componente longitudinal, es decir, sobre la dirección de propagación z.

18

0

0

ˆ ˆ( , ) sen cos

ˆ ˆ2 cos( )sen sen( )cos

z x x x x

z

j t z j x j x j x j x

j t z

x x

t E e e e e e

E e x j x

E r x z

x z

: sen( )cos 0 sen( ) 0x x xx d x d n d

2cos cosx

n

d

0

ˆ ˆ( , ) 2 cos sen sen coszj t z

n t E e n x j n xd d

E r x z


Como: El campo magnético asociado a este campo eléctrico puede calcularse con la aplicación de la ley de Faraday:

El campo magnético sólo tiene componente según y, por lo que resulta transver-sal a la dirección de propagación. Se comprueba entonces que se trata de una onda transversal magnética (TM).

19

0

ˆ ˆ( , ) 2 cos sen sen coszj t z


E r x z

cos ; senx z

( )

0ˆ ˆ( , ) 2 cos senzj t z xz


E r x z

0

1

0

zz y x

x

z zz x y y z x

y x zz

Ej E j H

Hy

E Ej j E j H H j E

x j x

E E Hj H

x y

E H

Ondas electromagnéticas guiadas 4 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TM Operamos para obtener:

En la guía, la relación entre y define las características de la propagación. El vector de onda tiene componentes solamente sobre x y sobre z:

Pero z es el número de onda que aparece en el factor de propagación de la onda dentro de la guía. Para que exista propagación, z debe ser real, ya que de otro modo el factor de propagación se convierte en un factor de atenuación que resulta en una onda evanescente. Esta onda no transmite potencia. A su vez, para que z sea real es necesario que:

Por lo tanto, para el modo normal TMn hay una frecuencia mínima fn por debajo de la cual no hay propagación ondulatoria dentro de la guía. Esta frecuencia se denomina frecuencia de corte.

20

( )0 ˆ( , ) 2 cos zi t z

n

Et n x e

d

H r y

2 2 2

2 2 2

x z z z

n n

c d c d

2n

c ncn n f f

c d d d

Ondas electromagnéticas guiadas 4 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TM Podemos escribir: La relación entre z y no es lineal y por lo tanto hay dispersión en la propagación dentro de la guía (aunque el medio sea vacío).

La velocidad de fase es la velocidad con que viajan los planos de fase constante: Se puede demostrar que la energía de la onda viaja con la velocidad de grupo:

Vemos que: La velocidad de fase se hace infinita y la velocidad de grupo cero a la frecuencia de corte. Para ambas valen c. Notar que estas velocidades son para una onda armónica.

Las nociones de vf y vg en un medio ilimitado son para paquetes de onda. 21

2 2 22

22

nn

n n n n

cc

c c c z

nc cf f n

d d c c c

2

2 2. 1

n n n

n

z f f c

z c

ct z cte v v c

2

2 2

11

n n n

n

g g czz

c

d cv v c

d dd

dd

2

n nf gv v c


La relación entre las componentes del campo E y el campo H transversales a la propagación se conoce como impedancia de onda o impedancia de campo y ha sido introducida en el análisis de la incidencia oblicua. Tiene el mismo rol que la impedancia de onda en medios ilimitados o líneas. Para un modo TMn:

Se puede ver que: • esta relación no depende de la posición dentro de la guía, pero sí del orden n

del modo de propagación. • la impedancia de campo es real (la onda propaga potencia media o potencia

activa) para f > fc e imaginaria pura (la onda no propaga energía) para f < fc.

22

2 2 2 2

2 21 1

nn n n

n n

xz x cx

y

EZ Z

H

TM TM

0

1

0 ( ) 2 2

1

22

22

ˆ ˆ ( , ) cos sen

ˆ ( , ) cos ; ; ;

; 1 ; 1

1

z

n z

n

n

n n

n

j t z xzn x x

n

j t z

x x x z c

n

c

f g E c

c

t E e x j x

E n n ct x e

d c d

cv v v c Z

TM

E r x z

H r y

TM

Ondas electromagnéticas guiadas 5 – Guía de planos conductores paralelos. Modo TE El análisis del campo dentro de la guía en el modo TE sigue los pasos:

• Resolver la ecuación de Helmholtz para la componente longitudinal Hz;

• expresar las componentes transversales en función de Hz;

• aplicar las condiciones de contorno.

Obtenemos:

23

( )

0

1

( )

0

1

2 2

2

ˆ ( , ) sen

ˆ ˆ ( , ) sen cos

; ;

;

1

z

n

z

n

n

n

j t z

n x

j t zz

n x

x x z c

f g E

c

j xt H n e

d

j x xt H n n e

d d

n n c

d c d

cv v v c

E r y

H r x z

TE

2

2 21 ;

1n n

n

c

c

Z

TE

Ondas electromagnéticas guiadas 6 – Guía de planos conductores paralelos Consideraciones energéticas El vector de Poynting para cada modo: donde el factor representa las pérdidas de energía en la guía. Las pérdidas conductoras pueden hallarse definiendo un número de atenuación:

donde Rs es la llamada resistencia superficial del conductor:

El número de atenuación modifica el factor de propagación de la onda:

24

2

0

2

0 22

12

0 22

21

ˆ2

ˆcos2

ˆsen

n n

n n

TEM

zzTM

n

z z

TE

n x

E

En x e

d

H xn e

d

N z

N z

N z

TEM:

TM:

TE :

12

02

ss

S

RH dy N dS

/1sR

( ) ( )nz zzj t z j t ze e e

2 nze

Ondas electromagnéticas guiadas 6 – Guía de planos conductores paralelos Consideraciones energéticas – Pérdidas conductoras El número de atenuación para cada modo:

En la figura se grafica el número de atenuación para los modos TEM, TM1 y TE1. Vemos que, a partir de una cierta frecuencia, el modo TE es el de menores pérdidas, y las pérdidas caen con la frecuencia. El modo TM es el de mayores pérdidas y el modo TEM es de performance intermedia, pero en estos dos últimos modos las pérdidas aumentan con la frecuencia.

En las figuras se grafica la dependen-cia de las pérdidas con el modo y la frecuencia para TM y TE. Se ve que las pérdidas aumentan con el orden del modo. Obsérvese que también cambia c con el modo.

25

2

2 2

2; ;s s c s TE

TEM TM TE

TM

R R R Z

d d Z d

TEM: TM: TE:

Ondas electromagnéticas guiadas 7 – Guía metálica de sección rectangular

Si agregamos dos planos verticales a la guía de planos paralelos obtenemos una guía de sección rectangular. En este caso ya no es posible un modo TEM, pero son posibles modos TM y TE. El análisis parte de resolver la ecuación de Helmholtz para la componente según z, y luego calcular a partir de ella las componentes x e y.

Las condiciones de contorno llevan a que existen ondas estacionarias en las direcciones x e y, y la frecuencia de corte ahora se escribe como: Los campos longitudinales para modos TMmn y TEmn son:

26

2 2 2 22

2mnc z

m x n y m x n yc

a b c a b

( )

mn 0

( )

mn 0

( , ) sen sen

( , ) cos cos

z

z

j t z

z z

j t z

z z

m nE t E x y e

a bm n

H t H x y ea b

r

r

TM

TE

Ondas electromagnéticas guiadas 7 – Guía metálica de sección rectangular Figura tomada de Ramo, Whinnery, Van Duzer, Waves and Fields in Communication Electronics, 1994, p.420.

27

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