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397Planteles de Aplicación «Guamán Poma de Ayala»Estadística

Editores

Estadística 1

Raz. verbal

398 Lic. Blademir González PariánBlademir González Parián

matemáticaPara ser, saber y saber hacer

Estadística I

Es el método para organizar y resumir datos. Los datos seclasifican y ordenan para facilitar su interpretación. Cuando sedispone de numerosos datos conviene agruparlos en clases ointervalos e indicar cuantos elementos hay en cada intervalo;éste número se llama frecuencia.

1. FRECUENCIAEs el número de veces que ocurrió un valor.Agrupación de datos por su frecuencia:i. Se ordenan los datos en orden creciente.

2. ALCANCE O RECORRIDO (A)Es el intervalo definido por el menor y mayor de los datos.

3. RANGO (R)Viene a ser la diferencia entre los extremos del alcance.

4. INTERVALOS DE CLASE (k)Son grupos que resultan de particionar el alcance orecorrido; es decir, consiste en dividir el rango en un númeroconveniente de intervalos de clase.El número de intervalos (k) se determina por la reglapropuesta por STURGES.

k 1 3,32Log n

donde n = número total de datos

ObservaciónTambien se puede usar la regla de JOULE para determinar k.

k n

El valor de «k» se redondea al entero superioro inferior según convenga.

5. ANCHO DE CLASE (C)Viene a ser la diferencia que existe entre los extremos decada intervalo.Se puede calcular por la siguiente relación:

RC

k

Ejemplo:Sea el intervalo

ii s

i

L Limite inf eriorL L

L Limite sup erior

Entonces

s iC L L

6. MARCA DE CLASE ( iy )Son los puntos medios de los intervalos de clase.

Ejemplo:

Sea el intervalo i sL L

i si

L Ly

2

7. FRECUENCIA ABSOLUTA ( if )Es el número de datos que cae dentro de cada intervalo.

i0 f n


Distribución de frecuencias


Editores

8. FRECUENCIA RELATIVA ( ih )

Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número totalde datos.

ii

fh

n ; i0 h 1


9. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( iF )

Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuen-cias absolutas.

Ejemplos:Suponiendo «k» intervalos:

1 1

2 1 2

3 1 2 3

k 1 2 3 k

F f

F f f

F f f f

F f f f f n

n = número total de datos

i 1

i jj 1

F f

10. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( iH )

Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuen-cias relativas.

Ejemplos:

Suponiendo «k» intervalos:

1 1

2 1 2

3 1 2 3

k 1 2 3 k

H h

H h h

H h h h

H h h h h 1

n = número total de datos

i

i jj 1

H h

Problema Aplicativo 1

Distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable discreta.

1. Considermos los siguientes datos correspondientes al número de hijos de 20 familias8 7 2 1 4 2 7 2 4 1 2 7 4 6 4 1 2 4 0 4(n < 25)

Nº de hijos( xi )

ConteoFrecuencias absolutas Frecuencias relativas Frec. relativas porcentuales

Simple ( fi ) Acum. (Fi ) Simple ( hi ) Acum. ( H i ) Simple ( h% ) Acum. ( H% )

0124678

IIII

IIIIIIIIII I

IIIII

1356131

149

15161920

0,050,150,250,300,050,150,05

0,050,200,450,750,800,951,00

5%15%25%30%5%

15%5%

5%20%45%75%80%95%

100%

TOTAL n = 20 1,00 100%

Raz. verbal



Problema Aplicativo 2Distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable de datos agrupados en intervalos de clase.

1. Considermos los siguientes datos correspondientes a los pesos de 40 niños de los Planteles de Aplicación «Guamán Poma de Ayala»

31 38 57 29 60 68 51 59 20 50 36 65 76 4253 52 34 88 89 54 40 43 46 63 45 51 50 6249 48 67 71 45 39 44 58 44 72 56 53

Regla para construir la distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable agrupada en intervalos.

1º Determinación del rango (R)

maxX 89

minX 20

Entonces:

max minR X X

89 2R 690

2º Determinación del número de intrervalos de clase (k)Usamos la fórmula de STURGES:

k 1 3,2log n

k 1 3,2log 40

k 6,12 7

Si el valor de «k» resulta decimal, se redondea al númeroinmediato superior

3º Determinación del tamaño de los intrervalos de clase (C)

R 69C C 10

k 7

4º Límites de claseSe toma el menor valor de los datos como el límite inferiordel primer intervalo de clase; se agrega C para obtener ellímite superior de dicha clase. Entonces los intervalos declase son:

20;30

30;40

40;50

50;60

60;70

70;80

80;90

5º Determinación de la marca de clase iy

Se desarrolla para cada intervalo de clase.

6º Determinación de la frecuencia de clase ix

Se determina el número de datos que caen en cadaintervalo de clase.

Construyendo la tabla de frecuencias

( xi ) ( yi ) Conteo Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Frec. relativas porcentualesSimple ( fi ) Acum. (Fi ) Simple ( hi ) Acum. ( Hi ) Simple ( h% ) Acum. ( H% )

20; 30 25 II 2 2 0,050 0,050 5 % 5 %

30;40 35 IIIII 5 7 0,125 0,175 12,5 % 17,5 %

40;50 45 IIIII IIIII 10 17 0,250 0,425 25 % 42,5 %

50;60 55 IIIII IIIII II 12 29 0,300 0,725 30 % 72,5 %

60;70 65 IIIII I 6 35 0,150 0,875 15 % 87,5 %

70;80 75 III 3 38 0,075 0,950 7,5 % 95 %

80;90 85 II 2 40 0,050 1,000 5 % 100 %TOTAL n = 40 1,00 100 %


Editores

INTERPRETACIÓN

• La frecuencia absoluta simple nos indica las veces que serepite un dato.f1 = 2 Hay 2 alumnos con pesos entre 20 y 30 kg.f3 = 10 Hay 10 alumnos con pesos entre 40 y 50 kg.

• La frecuencia absoluta acumulada

3F 17 Hay 17 alumnos con pesos entre 20 y 50 kg.

5F 35 Hay 17 alumnos con pesos entre 20 y 70 kg.

• La frecuencia relativa simple nos indica la razón en que seencuentra la frecuencia de un dato (f) y el número total dedatos (n).

31

h 0,2504 1 de cada 4 alumnos tienen sus

pesos entre 40 y 50 kg.

43

h 0,30010 3 de cada 10 alumnos tienen sus


• La frecuencia relativa acumulada

342,5

H 0,425100

42,5 de cada 100 alumnos tienen sus


695

H 0,950100 95 de cada 100 alumnos tienen sus


• La frecuencia relativa porcentual simple nos indica elporcentaje que representa la frecuencia de un dato, repectoal total de datos.

3h 100 25% El 25% de los alumnos tienensus pesos entre 40 y 50 kg.

4h 100 30% El 25% de los alumnos tienensus pesos entre 50 y 60 kg.

• La frecuencia relativa porcentual acumulada

4H 100 72,5% El 72,5% de los alumnos tienen sus pesos entre 20 y 60 kg.

Raz. verbal



A) PRESENTACIÓN GRÁFICA DE VARIABLES CUANTITATIVAS.Tomaremos la tabla de frecuencias del Problama Aplicativo Nº 02 del capítulo que precede a éste, para efectuar las diferentesgráficas:-1. DIAGRAMA DE BARRAS.

En el eje de las abscisas con centro en las marcas de clase se levantan perpendicularmente barras de longitud igual a lafrecuencia absoluta o relativa.

10

2

4

6

8

10

12

20 30 40 50 60 70 80 90 xi

fi

Pesos en Kg.

Núm

ero

deni

ños

10

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

20 30 40 50 60 70 80 90 xi

hi

00

2. HISTOGRAMAS.Es una representación para datos agrupados en intervalos de clase.Sobre el eje de las abscisas, se levanta perpendicularmente rectángulos con centro en la marca de clase, de ancho igualtamaño del intervalo de clase y una altura igual a la frecuencia absoluta o relativa.

10

2

4

6

8

10

12

20 30 40 50 60 70 80 90 xi

fi

Pesos en Kg.

Núm

ero

deni

ños

10

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

20 30 40 50 60 70 80 90 xi

hi

00

3. POLÍGONO DE FRECUENCIASEl polígono de frecuencias se obtiene uniendo los extremos superiores de las barras o los puntos medios de las basessuperiores de los rectángulos del histograma.

10

2

4

6

8

10

12

20 30 40 50 60 70 80 90 xi

fi

Pesos en Kg.

Núm

ero

deni

ños

10 20 30 40 50 60 70 80 90 xi

hi

00

2

4

6

8

10

12

Representación gráfica de variables


Editores

4. POLÍGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA.Se utiliza para representar variables agrupadas de intervalos de clase. En el eje de abscisas se representa los intervalos declase y sobre ellas se levanta rectángulos igual que los histogramas, solo que la altura de los rectángulos corresponde a lafrecuencia acumulada; la ojiva se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos.

40 1,000

29 0,725

35 0,875

17 0,425

7 0,175

2 0,050

38 0,950

Fi

29

Hi

B) PRESENTACIÓN DE VARIABLES CUALITATIVAS.La tabla muestra el número de pacientes internados en unhospital durante el año 2010 y 2011.

Enfermedad Número de pacientes2010 2011

Hepatitis (H) 100 120Tifoidea (T) 200 150

Sida (S) 50 80Neumonía (N) 180 150

Gastritis (T) 320 300

Diabetes (D) 150 200

Total 1000 1000

1. DIAGRAMA DE RECTÁNGULOS O BARRAS.

0

50

150

100

200

250

300

350

2010

Fi

HE

PAT

ITIS

TIF

OID

EA

SID

A

NE

UM

ON

IA

GA

STR

ITIS

DIA

BE

TE

S

0

50

150

100

200

250

300

350

Fi

HE

PAT

ITIS

TIF

OID

EA

SID

A

NE

UM

ON

IA

GA

STR

ITIS

DIA

BE

TE

S

2011

AÑO 2010 AÑO 2010 y 2011

0

50

150

100

200

250

300

350

2010

Fi

HE

PAT

ITIS

TIF

OID

EA

SID

A

NE

UM

ON

IA

GA

STR

ITIS

DIA

BE

TE

S

0

50

150

100

200

250

300

350

Fi

HE

PAT

ITIS

TIF

OID

EA

SID

A

NE

UM

ON

IA

GA

STR

ITIS

DIA

BE

TE

S

2011

AÑO 2010 AÑO 2010 y 2011

2. DIAGRAMA DE SECTORES.Ampliando los datos de la tabla de frecuencias ante-rior, tenemos:

Enfermedad fi hi ih 360º Hepatitis (H) 100 0,10 0,10 36 60º 3 º

Tifoidea (T) 200 0,20 0,20 36 20º 7 º

Sida (S) 50 0,05 0,05 36 80º 1 º

Neumonía (N) 180 0,18 0,18 360 8º 64, º

Gastritis (T) 320 0,32 0,32 360º 115,2º

Diabetes (D) 150 0,15 0,15 36 40º 5 º

Total n = 1000 1,00 = 360º

HEPATITIS10%

TIFOIDEA20%

SIDA5%

NEUMONIA18% GASTRITIS

32%

DIABETES15%

HEPATITIS

TIFOIDEA

SIDA

NEUMONIA

GASTRITIS

DIABETES

HEPATITIS10%

TIFOIDEA20%SIDA

5%

NEUMONIA18%

GASTRITIS32%

DIABETES15%

Raz. verbal



1. Los números del recuadro representan la edad de 30 niñosque participan en un concurso de matemática.

11 10 9 13 13 1013 9 12 13 13 1112 10 13 10 12 910 13 13 13 12 1313 9 10 12 11 9

a) ¿Cuántos alumnos tienen 12 años?b) ¿Qué porcentaje del total de alumnos encuestados

tienen 11 años?

2. Las notas que obtuvieron 25 alumnos en este curso son:

15 16 14 13 15

10 18 13 10 16

12 16 12 11 13

13 12 18 13 10

15 15 16 11 12a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron la nota 14?b) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron la nota

16?

3. las edades que tienen 40 alumnos en un aula son:

10 12 13 10 9 13 12 1012 13 10 11 10 13 10 910 10 9 12 11 12 11 1013 11 11 9 10 11 10 1211 10 12 10 12 10 11 10

a) ¿Qué porcentaje de alumnos tienen 10 años?b) ¿Qué porcentaje de alumnos tienen más de 10 años?

4. Número de hijos por familia: 4 1 6 1 4 3 4 2

3 0 7 3 3 3 3 53 5 6 2 3 2 3 61 0 5 3 2 4 2 32 1 5 4 1 1 4 4

a) ¿Cuántas familias no tienen hijos?b) ¿Cuántas familias tienen 2 hijos?c) ¿Qué porcentaje del total de familias tienen 3 hijos?

5. Observe la tabla de frecuencias siguiente:

Edad Frecuencia Frec. relativa

1213

14 151

3

15

16

Total n

Se presentan tres proporciones. Encierre en una nube( ) la que permite encontrar el total de datos.

I.n 1

15 3 II.

15 3

n 1 III.

15 1

n 3

6. Si se sabe que27 3

n 4 , donde 27 es la frecuencia absoluta

de un dato y n es el total de datos, entonces3

4 es la

frecuencia relativa.Si se “saca tercia” en los numeradores de la proporción

27 3

n 4 , se obtiene

9 1

n 4 .

• ¿Es1

4la nueva frecuencia relativa del mismo dato? ¿Por

qué? .................................................................• ¿Es 9 la nueva frecuencia absoluta del mismo dato?

¿Por qué? ..................................................................• ¿No está bien “sacar tercia” en la expresión inicial? ¿Por

qué? ...........................................................................• Al “sacar tercia”, ¿se altera el número total de datos?

¿Por qué? ..................................................................

7. La tabla siguiente presenta las notas de 32 alumnos en unexamen de matemática, y sus respectivas frecuencias, perofaltan algunos valores.

Notas f i hi hi(%)

09 4 h1 h1 (%)

10 63

16h2 (%)

11 f31

8h3 (%)

12 12 h4 37,50 %

13 f53

16h5 (%)

Total 32 1 100%

Coloque en cada recuadro el valor correspondiente.

f3 vale

f5 vale

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN


Editores

h1 vale

h4 vale

h1 (%) vale

h2 (%) vale

h3 (%) vale

h5 (%) vale

8. Con respecto a la tabla anterior se puede afirmar que:

alumnos tienen nota desaprobatoria.

alumnos tienen nota aprobatoria.

alumnos tienen menos de 12.

alumnos tienen 12 o menos.

alumnos tienen más de 10.

alumnos tienen 10 o más.

Además:

de cada alumnos tienen 09 de nota

de cada alumnos tienen 11 de nota.




TambiénEl % de los alumnos tienen 09 de nota.

El % de los alumnos tienen 10 de nota.



El % de los alumnos tienen menos de 11.

El % de los alumnos tienen más de 10.

9. Con respecto a la tabla siguiente:

Sueldos Frecuencias Frec. relativas

S/. 800 f1 h1

S/. 900 f2 h2

S/. 1 000 f3 h3

S/. 1 100 f4 h4

S/. 1 200 f5 h5

Total n ¿?

demuestre que h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 1

10. Dado el siguiente cuadro estadístico:

10;20

20;30

30;4040;50

3

5

10

7

3

x

18

y

i sL L fi

Se pide calcular (2x+3y).


2

x

12

y

2

8

20

50

i sL L fi

15;20

20;25

25;30

30;35

Se pide calcular (3x+4y).


i sL L hi Hi

12;16 x 0,4

16;20 0,2 0,6

20;24 y 0,7

24; 28 0,18 0,88

28; 32 z 1

Se pide calcular (x+y) - z

Raz. verbal



13. Se hace una encuesta a 80 trabajadores y se obtubo elsiguiente cuadro estadístico.

i sL L y i f i

12;16 x a

16;20 y b

20;24 z c

24; 28 w d

Se pide calcular (a - x+b - y+c - z+d-w)

14. Según la Asociación de lucha contra la Bulimia y la Anorexia,las pautas culturales han determinado que la delgadez seasinónimo de éxito social.Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal”motivados por modelos, artistas o por la publicidadcomercial.Durante el mes de marzo del año 2012, en un colegio de laciudad de Lima, después de las vacaciones de verano, seobservó con precaución a 27 alumnos con síntomas deanorexia, registrándose los siguientes signos visibles:Dieta Severa Miedo a EngordarHiperactividad Uso de Ropa HolgadaDieta Severa Uso de LaxantesMiedo a Engordar Dieta SeveraUso de Ropa Holgada Dieta SeveraUso de Ropa Holgada Dieta SeveraDieta Severa Dieta SeveraUso de Ropa Holgada HiperactividadUso de Laxantes Miedo a EngordarUso de Laxantes Dieta SeveraUso de Ropa Holgada Uso de LaxantesHiperactividad Uso de LaxantesUso de Ropa Holgada HiperactividadDieta SeveraResuma la información anterior en una tabla de distribuciónde frecuencias.

15. Clasifica en discretas o continuas las siguientes variables:a) Número de habitantes por kilómetro cuadrado.b) Número de bacterias de cierto tipo, por mililitro.c) Densidad de diferentes muestras de un mismo líquido.d) Número de frutos de un árbol de la misma especie.e) Velocidad de un vehículo al pasar por un determinado

punto.f) Puntuaciones obtenidas en un test por un grupo de

personas.g) Superficie dedicada a cierto cultivo, por hectáreas, en

un municipio.h) Peso de un niño al cumplir 3 años.


Editores

ACTIVIDAD DE CONSOLIDACIÓNA . Clasifica según el carácter de la variable las

siguientes situaciones:1 . Situaciones:

• Cantante favorito• Longitud de espárragos• Marca de refresco favorita• Tipo de música preferida• Raza de perros• Nº días soleados al mes

2 . Situaciones:• Nº días de vacaciones• Autor literario favorito• Nº hermanos• Nota media en selectividad• Temperatura media ciudad• Nº días falta a clase

3 . Situaciones:• Nº días lluviosos al mes• Tiempo de espera autobús• Nº faltas en un dictado• Color de ojos• Películas vista al mes• Nota media en selectividad

B . Realiza una tabulación que incluya la frecuenciaabsoluta, relativa y sus acumuladas, cuando seanecesario aproxima hasta las centésimas, de los datosque se corresponden con las situaciones siguientes:

4. El número de veces que han cambiado dedomicilio 23 personas.2, 2, 0, 2, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 0, 1, 0, 4,0, 3, 0, 3 y 5.

5. El número de hermanos que tienen 20estudiantes de un centro.1, 4, 0, 2, 3, 1, 0, 3, 4, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 1, 2,1 y 1.

C. Los valores del ph.sanguíneo en 40 individuos 3 sonlos siguientes:7,32 7,34 7,40 7,28 7,29 7,35 7,33 7,347,28 7,31 7,35 7,32 7,33 7,36 7,32 7,347,31 7,35 7,36 7,26 7,39 7,29 7,32 7,347,30 7,34 7,32 7,30 7,33 7,33 7,35 7,347,33 7,36 7,33 7,35 7,31 7,26 7,39 7,35Se pide:• Preparar una tabla de frecuencias agrupando en

intervalos de igual amplitud.• Construir todos los gráficos necesarios para el

caso.

D. Las calificaciones finales obtenidas por los 80alumnos de un primer curso de Estadística figuranen la tabla adjunta:68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 73 79 8873 60 93 71 59 85 75 61 65 75 87 74 6295 78 63 72 66 78 82 75 94 77 69 74 6860 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 6267 97 78 85 76 65 71 75 65 80 73 57 8878 62 76 53 74 86 67 73 81 72 63 76 7585 77

Se pide:• Preparar una tabla de frecuencias.• Representar gráficamente los datos.• El número de estudiantes con calificaciones de

75 ó más.

E . Efectúa una tabulación de los datos en la queaparezcan las columnas de frecuencias absolutas yrelativas. Cuando sea necesario aproxima hasta lascentésimas.

6. El sabor preferido en los refrescos de unadeterminada marca de 22 personas:Naranja, cola, naranja, limón, cola, melocotón,cola, limón, cola, cola, manzana, limón,naranja, cola, piña, cola, naranja, manzana,naranja, cola, naranja y manzana.

7. Las actividades realizadas por 20 estudiantesen sus tiempos libres:Deporte, amigos, idiomas, música, idiomas,idiomas,amigos, música, deportes, baile, baile,música, deportes, idiomas, cine, amigos,deportes, amigos, música, y cine.

F. Dibuja el diagrama de barras correspondiente a lassituaciones que aparecen:

8. Preguntamos a 25 estudiantes elegidosaleatoriamente por el tipo de música queprefieren escuchar. Los resultados son:Disco, disco, rock, clásica, rock, latina, pop,rock, pop, latina, rock, flamenco, flamenco,latina, flamenco, latina, rock, clásica, disco,disco, latina, rock, disco, latina y rock.

9. Las edades de 30 estudiantes de un institutode enseñanza secundaria son las siguientes:12, 13, 12, 15, 12, 15, 13, 14, 15, 12, 12, 12,15, 15, 13, 14, 14, 16, 13, 12, 13, 14, 15, 16,15, 13, 14, 15, 15 y 12.

Raz. verbal



10. El número de llamadas telefónicas que recibenun día un grupo de 20 amigos son:4, 5, 1, 9, 5, 3, 6, 3, 7, 8, 3, 4, 1, 0, 9, 7, 6, 2,1 y 5.

G. Dibuja el diagrama de sectores correspondiente alas situaciones que aparecen en los ejercicios F .8,F .9 y F .10

H. Realiza el polígono de frecuencia y el de frecuenciaacumulada de los ejercicios del apartado D.14 yD.15

I. La tabla muestra como están distribuidos lostrabajadores de la empresa FU & FA según elmonto del sueldo mensual que recibe cadatrabajador. Hallar el porcentaje de trabajadorescuyo sueldo es al menor 620 pero inferior a 700.

Sueldo Nº de personas

De 600 619,99 9

De 620 639,99 14

De 640 659,99 10

De 660 679,99 16

De 680 699,99 20

De 700 719,99 11

TOTAL 80

J. Dado el siguiente histograma absolutas, tomadosde una muestra de tamaño 40, hallar f1 + f4 + f5

5x

4x

7

1

x2

0 2 4 6 8 10

fi

xi

K. Se hace una encuesta a 80 trabajadores y se obtuboel siguiente cuadro estadístico.

i sL L y i f i

12;16 x a

16;20 y b

20;24 z c

24; 28 w d

Se pide calcular (a - x+b - y+c - z+d-w)

L. Las actividades extraprogramáticas de un curso de32 alumnos están distribuidas como lo indica elgráfico.

El número de alumnos que participan en el folklore es:

M. En el siguiente cuadro se muestra la cantidad vendidade tres marcas de jabones durante 3 meses en unafarmacia (en cientos de unidades)

Según el cuadro, la venta de Nivea entre enero yfebrero aumentó en un %.

N. En el siguiente gráfico se muestra la producción detres fábricas de detergentes (en millones dekilogramos ) en dos meses consecutivos.

La produccción de Ace tuvo un aumento relativode:

O Del gráfico del ejercicio M.La producción total entre enero y febrerodisminuyó en:

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