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ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

1.1.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

1.- Objeto de la estadística

La Estadística es el conjunto de métodos necesarios para recoger, clasificar, representar y resumir datos así como para inferir (extraer consecuencias) a partir de ellos. Se divide en dos ramas principales: • Estadística descriptiva. Su objetivo es examinar a todos los individuos de un conjunto.

Trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos mediante observaciones. Se organizan los datos en tablas, se realizan gráficos y se obtienen parámetros estadísticos que caracterizan la distribución de la población estudiada.

• Estadística inferencial. Establece previsiones y conclusiones generales sobre una población

a partir de los resultados obtenidos de una muestra de la misma. 2.- Población y muestra • Población es el conjunto formado por todos los elementos que tienen una determinada

característica que vamos a estudiar.

• Individuo es cada uno de los elementos de una población.

• Muestra es un subconjunto extraído de una población, con objeto de reducir el campo de experiencias.

• Tamaño de la muestra es el número de elementos de la muestra.

• Muestreo es el proceso mediante el cual se extrae una muestra de la población. 3.- Caracteres

• Carácter o atributo estadístico es la propiedad que estudiamos en los individuos de una

población. Por ejemplo el color de ojos o la edad de un grupo de personas. • Variable es el conjunto de los valores que puede tomar un carácter o atributo. Son variables

la edad y la talla de las personas y también el color de sus ojos o su profesión. Atendiendo al tipo de valores (cada posibilidad recibe el nombre de modalidad) que toman pueden ser: • Cualitativas: no numéricas. • Cuantitativas: numéricas. Las variables numéricas pueden ser: • Discretas: Toman valores que se pueden ordenar. Entre cada dos valores no hay valores

intermedios. • Continuas: Pueden tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo de la recta real. Las variables cualitativas pueden ser: • Ordinales: Las que tienen un orden implícito. • Nominales: Las que no tienen un orden implícito. • Dicotómicas: Las que sólo presentan dos modalidades. EJEMPLOS

ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL 1

1.- Deseamos conocer la estatura de todos los soldados que forman el ejército. Enuncia la población, los individuos y una posible muestra. Resolución: • La población está formada por todos los soldados. • Los individuos son cada uno de los soldados. • Una muestra es el subconjunto de los soldados que se tallan, que pueden

ser los primeros en alistarse en cada provincia. 2.- En una fabrica de bombillas se efectúa un control de calidad sobre 100 unidades para averiguar cuántas son defectuosas. Enuncia la población, los individuos y la muestra. Resolución: • La población está formada por toas las bombillas fabricadas. • Los individuos son cada una de bombillas fabricadas. • La muestra está formada por las100 bombillas examinadas. 3.- Enuncia dos caracteres cuantitativos. Resolución: • La talla de un individuo de una determinada población. • El diámetro de una pieza de precisión de un lote fabricado. 4.- Enuncia dos caracteres cualitativos. Resolución: • La profesión de las personas mayores de 20 años de Ceuta. • El estado civil de los habitantes de Ceuta. 5.- Enuncia dos modalidades de una variable estadística cualitativa. Resolución: Si consideramos la variable cualitativa profesión son modalidades: • economista. • sociólogo. 6.- Enuncia dos variables estadísticas discretas. Resolución: Son variables estadística discretas: • Números de empleados de cada fábrica de la PYME. • Número de hijos de 20 familias. 7.- Enuncia dos variables estadísticas continuas. Resolución: Son variables estadística continuas: • Peso de las personas de una población. • Temperaturas de una ciudad en un determinado período de tiempo. 8.- Enuncia dos variables estadísticas cualitativas nominales.


Resolución: Son variables estadísticas nominales. • Color de los ojos. • Sabor de un helado. 9.- Enuncia dos variables estadísticas cualitativas dicotómicas. Resolución: Son variables estadísticas dicotómicas. • El sexo de los individuos de una clase. • Tener o no teléfono móvil los individuos de una población.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar el peso de los alumnos de un instituto si se sólo se pesan los delegados/as y subdelegados/as. Solución: Población son todos los alumnos del instituto. Muestra es el conjunto de delegados/as y subdelegados/as. Individuo es cada uno de los alumnos. 2.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar la anchura de los tornillos de una caja si sólo se miden 10 tornillos. Solución: Población son los tornillos de la caja. Muestra son los 10 tornillos que se miden. Individuo es cada tornillo. 3.- Considera los siguientes caracteres: el peso de un individuo, el sexo de un individuo, la longitud de un tornillo, el color de los ojos de una persona, el número de gajos de una naranja, la profesión de un individuo. ¿Cuáles de los anteriores caracteres son cuantitativos? Solución: Peso, la longitud de un tornillo, el número de gajos de una naranja. 4.- Considera los siguientes caracteres: el peso de un individuo, el sexo de un individuo, la longitud de un tornillo, el color de los ojos de una persona, el número de gajos de una naranja, la profesión de un individuo. ¿Cuáles de los anteriores caracteres son cualitativos? Solución: el sexo de un individuo, el color de los ojos, la profesión de un individuo. 5.- Considera las siguientes modalidades: cincuenta kilos, mujer, doce centímetros, azules, 13 gajos, profesor: a) ¿Cuáles pertenecen a una variable cuantitativa?, b) ¿Cuáles pertenecen a una variable cualitativa? Solución: a) cincuenta kilos, doce centímetros, 13 gajos; b) mujer, azules, profesor. 6.- Considera las siguientes variables: alumnos de un instituto, talla de esos alumnos, hijos de una familia, peso de los anteriores alumnos, espectadores de un partido de fútbol, temperaturas de una ciudad: a) ¿cuáles de las anteriores son continuas?, b) ¿cuáles son discretas? Solución: a) talla, peso, temperatura; b) alumnos, hijos, espectadores. 7.- Considera las siguientes variables: opinión sobre un partido político, color del pelo, trato recibido en un hotel, sabor de una comida, calificación de un examen, olor de una habitación: a) ¿cuáles de las anteriores son ordinales?, b) ¿cuáles son cardinales? Solución: a) partido, trato recibido, calificación; b) color del pelo, sabor, olor.

8.- Considera las siguientes variables: opinión sobre el sabor de una comida, opinión sobre si está salada una comida, estar en posesión de una tarjeta de crédito, calificación de un examen, olor de una habitación. ¿Cuáles son dicotómicas? Solución: opinión sobre si está salada, estar en posesión de una tarjeta de crédito.


1.2.- TABLAS ESTADÍSTICAS. FRECUENCIAS

1.- Tablas estadísticas Las tablas estadísticas son una forma de presentar la información de una variable estadística. En la primera columna se colocan los valores (xi), marcas de clase o modalidades de la variable y en las siguientes las frecuencias. Para tabular los datos procederemos de la siguiente manera: • Recogida de datos • Ordenación de los datos de menor a mayor, si son numéricos, o en el orden natural, si se

trata de una variable cualitativa nominal. • Recuento de frecuencias o veces que se repite cada dato. • Agrupación de los datos. Se agrupan cuando la variable es continua o discreta con un

número muy grande de datos. Las clases no deben ser menos de 5 ni más de 20. Se debe procurar que todas las clase tengan el mismo tamaño a no ser que haya datos muy dispersos. Marca de clase: es el punto medio de los extremos de cada clase. Los valores extremos son los límites de clase: inferior, Li, y superior, Li+1, Las clases no deben solaparse ni tener huecos, es decir, el límite inferior de una clase ha de ser igual al límite superior de la anterior; pero cada extremo sólo pertenece a una clase, para ello se toman intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha.

• Construcción de la tabla estadística: En la tabla aparecerán diversas columnas, siendo habitual colocar de izquierda a derecha el valor de la variable, la marca de clase (para datos agrupados) y las frecuencias absolutas y relativas.

2.- Frecuencia absoluta • Frecuencia absoluta del valor xi de una variable estadística, y lo representamos por ni, es el

número de veces que se repite dicho valor. • Frecuencia absoluta acumulada del valor xi, y la representamos por Ni, es la suma de las

frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi más la frecuencia absoluta de xi:

Nk = n1 + n2 + ... + nk = ∑=

k

1iin

3.- Frecuencia relativa • Frecuencia relativa de un valor xi, fi, es el cociente entre la frecuencia absoluta de xi, y el

total de datos que intervienen en la distribución: fi = Nni . Es un tanto por uno, ∑

=

n

1iif = 1.

• Frecuencia relativa acumulada del valor xi, Fi, es el cociente entre la frecuencia absoluta

acumulada de xi y el número total de datos que intervienen en la distribución: Fi = NNi

4.- Observaciones

• Las tablas deben llevar un enunciado explicativo sin necesidad de texto que las acompañe. • Deben incluir los totales de cada columna. • Deben indicarse las unidades de medida. • Siempre hay que utilizar el mismo número de decimales ya que nos da la precisión del dato. • Suele haber redundancias para facilitar la lectura.

EJEMPLOS 1.- Las notas de los alumnos de 1º de Bachillerato son las siguientes:

5 3 4 1 2 8 9 8 3 6 5 4 2 1 7 2 1 9 5 10 1 8 3 8 3

Efectúa la tabla adecuada a dichos datos con frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. Resolución:


xi ni Ni fi Fi 1 4 4 0,16 0,16 2 3 7 0,12 0,28 3 4 11 0,16 0,44 4 2 13 0,08 0,52 5 3 16 0,12 0,64 6 1 17 0,04 0,68 7 1 18 0,04 0,72 8 4 22 0,16 0,88 9 2 24 0,08 0,96

10 1 25 0,04 1,00 25 1

2.- Las edades de un grupo de personas son: 3 2 11 13 4 3 2 4 5 6 7 3 4 22 4 5 3 2 5 6 27 15 4 21 12 4 5 3 6 29 13 6 17 6 13 6 5 12 26 12 construye la tabla estadística de datos agrupados Resolución:

Clase Marca de clase ni Ni fi Fi [0-5) 2,5 14 14 0,350 0,350 [5-10) 7,5 12 26 0,300 0,650 [10-15) 12,5 7 33 0,175 0,825 [15-20) 17,5 2 35 0,050 0,875 [20-25) 22,5 2 37 0,050 0,925 [25-30) 27,5 3 40 0,075 1 40 1

3.- Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde n, N y f representan frecuencia absoluta, acumulada y relativa.

xi ni Ni fi 1 4 2 6 0,12 3 15 4 6 0,12 5 31 6 9 0,18 7 4 8

Resolución: Completamos la tabla observando la columna de frecuencias absolutas

acumuladas Ni y la frecuencia relativa fi = ni/N siendo N = ∑=

n

1iin y ∑

=

n

1iif = 1.

Como la frecuencia absoluta de 2 es 6 y la frecuencia relativa de 2 es 0,12:

0,12 = N6 ⇒

0,126 = N ⇒ N = 50.

xi ni Ni fi 1 4 4 0,08 2 6 10 0,12 3 5 15 0,10 4 6 21 0,12 5 10 31 0,20 6 9 40 0,18 7 4 44 0,08 8 6 50 0,12 50 1,00


EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Las notas de los 30 alumnos de una clase de Filosofía de 1º de Bachillerato son las siguientes:

6 3 5 1 2 8 9 8 3 7 6 4 5 2 9 1 7 2 1 7 8 9 5 10 2 10 3 8 3 10 Efectúa la tabla adecuada a dichos datos con frecuencias absolutas y relativas.

2.- Las edades de un grupo de personas son:

3 2 11 13 4 3 2 4 5 6 4 5 3 2 5 27 15 4 21 3 6 29 13 6 17 6 13 6 5 6 construye la tabla estadística de datos agrupados

3.- Completa la siguiente tabla

xi ni Ni fi 1 0,1 2 2 3 7 4 15 0,5 5

Solución:

xi ni Ni fi 1 3 3 0,1 2 2 5 6/9 3 2 7 6/9 4 15 22 0,5 5 8 30 8/30

4.- Sea X una variable estadística que indica el tiempo de permanencia de quince empleados en una empresa. Construye 6 intervalos de clase de igual amplitud siendo el primero (0, 5].

X 10 15 16 20 22 24 30 29 24 5 12 21 2 6 13 Solución: (0,5], (5,10], (10,15], (15,20], (20,25], (25,30].

5.- Completa la siguiente tabla

Clases Marcas ni Ni fi [15-20) 17,5 2 2 0,05

0,20 [25-30) 27,5 13

32,5 31 5

[40,45) 39 [45-50)

Solución:

Clases Marcas ni Ni fi [15-20) 17,5 2 2 0,05 [20-25) 22,5 8 10 0,20 [25-30) 27,5 13 23 0,325 [30-35) 32,5 8 31 0,20 [35-40) 37,5 5 36 0,125 [40,45) 42,5 3 39 0,075 [45-50) 47,5 1 40 0,025


1.3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS

A veces es conveniente expresar la información mediante un gráfico para hacerla clara y evidente. Su finalidad es entrar por los ojos, así pues han de ser muy fáciles de interpretar. Aparte de los que estudiamos existen otros, como pirámides de población y series temporales.

1- Diagrama de barras

Los diagramas de barras son útiles para datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan en el eje de abscisas los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas, según proceda. Por los puntos marcados de la variable en eje X, se levantan barras de la misma anchura y de altura igual a la frecuencia correspondiente.

2.- Polígono de frecuencias

Los polígonos de frecuencias se usan para datos cualitativos ordinales o cuantitativos discretos. Se representan en el eje de abscisas los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas, según proceda. A cada valor de la variable se le asigna un punto del plano de abscisa el valor de la variable y de ordenada su frecuencia. La serie de puntos obtenidos de esta forma se une mediante segmentos. En algunos casos el polígono une los extremos de las frecuencias acumuladas.

3.- Histogramas

Los histogramas se usan para representar distribuciones cuantitativas continuas. Sobre el eje de abscisas se señalan los límites de las clases. Sobre el mismo eje se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud de la clase y por altura la necesaria para que las áreas de estos rectángulos sean proporcionales a las frecuencias respectivas. En el caso de clases de igual tamaño, las alturas de los rectángulos pueden ser iguales que las frecuencias. 4.- Diagrama de sectores

Los diagramas de sectores se usan para distribuciones cualitativas o cuantitativas discretas. Para dibujarlo debemos tener en cuenta que cada sector representa los distintos valores de la variable. El ángulo central de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia absoluta o relativa correspondiente. Es decir:

αi = 360°.h i


EJEMPLOS 1. Construye los diagramas de barras absolutas y acumuladas de las notas de 30 alumnos dadas en la tabla adjunta.

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ni 2 3 1 1 1 3 2 5 7 5

Resolución: Los diagramas son las figuras adjuntas:

2. Construye el polígono de frecuencias absolutas y acumuladas de las notas de 30 alumnos dadas en la tabla adjunta.

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ni 2 3 1 1 1 3 2 5 7 5

Resolución: Los polígonos son las figuras adjuntas:

3. Construye el histograma de frecuencias absolutas y acumuladas de las notas de 36 alumnos dadas en la siguiente tabla.

Edades [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) ni 13 11 6 2 1 3

Resolución: Los histogramas son las figuras adjuntas:


4.- Construye el diagrama de sectores correspondiente a la tabla que muestra la inversión publicitaria (millones $) en la Unión Europea:

Países Inversión Alemania 8.234 Gran Bretaña 6.915 Francia 4.663 España 3.000 Holanda 2.970 Italia 2.846 Dinamarca 1.084 Bélgica 464 Grecia 164 Irlanda 127

Resolución: Es la figura de la derecha.


1.- Se ha tabulado el peso de los recién nacidos durante una semana en una maternidad, obteniéndose los siguientes resultados:

Peso en kg. [2.5, 2.8) [2.8, 3.1) [3.1, 3.4) [3.4, 3.7) [3.7, 4.3) Nº de niños 1 2 8 14 5

Teniendo en cuenta que no todos los intervalos tienen igual amplitud, representa gráficamente estos datos mediante el procedimiento más adecuado. Solución: Histograma de alturas 2, 4, 16, 28 y 5 respectivamente. 2.- Los valores de los datos y la frecuencia absoluta de una distribución viene dados en la siguiente tabla. Representa el diagrama de barras y de barras acumuladas de la distribución.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 n 4 5 8 7 5 10 7 4

3. La siguiente tabla recoge el tiempo de retraso que sufren en la incorporación a clase los alumnos de un instituto:

Retraso en minutos [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) nº de alumnos 5 15 18 10 4

a) Representa los datos mediante un histograma. b) A continuación representa los datos mediante un sector circular. c) ¿Es adecuado el uso de este diagrama para la distribución? 4.- El gráfico siguiente muestra la distribución de la población ocupada en España en 1996. Teniendo en cuenta que la población ocupada en España es de 12,5 millones halla la tabla correspondiente a dicho gráfico.


1.4.- MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

1.- Media aritmética

La media aritmética de una variable estadística es el cociente entre la suma de todos los valores

de la variable y el número de valores. Se representa por x . Su fórmula es: x = nxN1

iin

1=i∑

Consideraciones: • Para distribuciones continuas el cálculo de la media se efectúa con las marcas de clase. • No se puede calcular la media con datos cualitativos o si la distribución tiene clases abiertas. • Si a todos los valores de la distribución se les suma un mismo valor la media aumenta en

dicho valor. • Si a los valores de la distribución se les multiplica por mismo número la media se multiplica

por dicho número.

2.- Moda

Moda de una variable estadística es el valor de la variable que presenta la mayor frecuencia absoluta. La moda se representa por Mo La moda no tiene por qué ser única, puede haber varios valores de la variable con la mayor frecuencia, se dice que es bimodal, trimodal, etc.. Cálculo: • Datos simples: Mo será el valor xi de mayor frecuencia ni. Si todos los datos de una

distribución tienen la misma frecuencia, esa distribución no tiene moda. • Datos agrupados: El intervalo modal será el intervalo de mayor frecuencia fi, la moda Mo se

obtiene con la fórmula:

M0 = 21

1i D+D

DC + L

siendo: Li límite inferior de la clase modal. c amplitud de los intervalos. D1 frecuencia absoluta de la clase modal menos la de la clase anterior (fi - fi-1) D2 frecuencia absoluta de la clase modal menos la de la clase siguiente (fi - fi+1)

Consideraciones: • La moda es menos representativa que la media aritmética, pero se puede hallar aún cuando

se trate de distribuciones de datos cualitativos. • En la moda no intervienen todos los datos de una distribución. • La moda puede tomar valores extremos de la distribución y no tiene porqué estar centrada.

Cálculo gráfico

Para distribuciones continuas se obtiene una aproximación de forma gráfica. Para ello se representa el histograma de frecuencias absolutas y a continuación se unen cada extremo de la clase modal con el extremo correspondiente de las contiguas, tal como se ve en la figura. La moda Mo viene dada por la abscisa del punto de corte de estos dos segmentos.

3.- Mediana

Mediana, Me, de una variable estadística es el valor central; es decir aquel que verifica, tal que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él.


Cálculo: • Datos simples: Se ordenan los datos de menor a mayor, la mediana es el valor central de la

variable si es único. Si hay dos valores centrales, se toma como mediana la semisuma de esos dos valores centrales.

• Datos agrupados: el intervalo viene dado por el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Ni) excede a la mitad del número de datos. A continuación en la columna de frecuencias acumuladas se calcula donde está el valor mediano mediante la fórmula:

Me =n

N-2N

c+L i

1-i

i

siendo: Li límite inferior de la clase mediana c amplitud del intervalo N nº de datos Ni-1 frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana ni frecuencia absoluta de la clase mediana.

Consideraciones • La mediana es muy útil cuando existe algún valor raro que afecta a la media, o cuando los

datos están agrupados en clases y alguna de ellas es abierta. • La mediana es un parámetro que depende del orden en que estén situados los datos y no de

su valor. • Para distribuciones continuas o agrupadas que se puedan representar mediante un

histograma, la mediana es el valor de la variable que divide al histograma en dos partes de igual área.

Cálculo gráfico Para hallar gráficamente la mediana se representa el polígono de frecuencias relativas acumuladas (Fi). Situamos en el eje de abscisas la variable y en el eje de ordenadas los porcentajes correspondientes. Se traza una paralela al eje X por el punto correspondiente al 50 %. La abscisa del punto de corte de esa paralela con la gráfica nos da la mediana. EJEMPLOS 1.- Las anotaciones de los encuentros de un jugador de baloncesto se muestran en el siguiente cuadro. Halla la media y moda.

Encuentro 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Anotaciones 10 18 17 8 10 9 19 10 7 10

Resolución: Para hallar la media utilizamos la siguiente tabla

xi ni xi ni 7 1 7 8 1 8 9 1 9 10 4 40 17 1 17 18 1 18 19 1 19 10 118


Siendo su valor:

• x = nxN1

iin

1=i∑ =

10118 = 11,8 puntos

• Para hallar la moda utilizamos la siguiente tabla

xi 7 8 9 10 17 18 19 Ni 1 1 1 4 1 1 1

La moda es el valor más frecuente, por lo tanto Mo = 10 puntos. 2.- Dada la distribución estadística, calcula la media y moda.

Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Resolución: Construimos la siguiente tabla auxiliar.

Clases Marcas: xi ni xini (0-5] 2,5 4 10 (5-10] 7,5 6 45 (10-15] 12,5 7 87,5 (15-20] 17,5 10 175 (20-25] 22,5 2 45 (25-30] 27,5 1 27,5

30 390

• x = nxN1

iin

1=i∑ =

30390 = 13

• El Intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta: (15-20]. Para hallar el valor de la moda aplicamos la fórmula de interpolación:

M0 =21

1i D+D

DC + L =2)-(107)-(10

7-105+ 15+

= 16,36

3.- La superficie sembrada (miles de Ha) de lentejas en España durante los años de 1970 a 1974 fue la dada en la tabla, calcula la superficie mediana.

Año 1970 1971 1972 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105

Resolución: La mediana se obtiene buscando el valor que deja la mitad de la distribución a la izquierda; como N/2 = 2,5; el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada excede a 2,5 es Me = 87. 4.- Dada la distribución de frecuencias calcula el valor de la mediana.

xi 1 2 3 4 5 ni 1 2 4 2 1

Resolución: Para calcular la mediana utilizamos la tabla adjunta:

xi 1 2 3 4 5 Ni 1 3 7 9 10


Observamos en la columna de frecuencias acumuladas que valor tiene una frecuencia acumulada que supera por primera vez N/2 = 5.

Resulta ser el valor 3, con frecuencia acumulada 7.


1.- El número de goles anotados por un equipo de fútbol en los partidos de liga, se muestran en el siguiente cuadro. Halla la media, mediana y moda de las anotaciones.

Encuentro 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Anotaciones 1 2 1 4 1 3 2 0 1 3

Solución: x = 1,8; Me = 1,5; M0 = 1. 2.- Dada la distribución estadística calcula la media, mediana y moda.

xi (0, 6] (6, 12] (12, 18] (18,24] (24,30] ni 2 6 7 10 5

Solución: x =17; Me = 18; M0 = 20,25. 3.- Halla la media de la siguiente distribución estadística

Color del cabello rubio pelirrojo negro castaño ni 4 6 5 10

Solución: No se puede hallar. 4.- Dada la distribución estadística calcula la media.

edad menor de 15 15 a 30 30 a 50 mayor que 50 nº 450 1254 656 143

Solución: No se puede hallar. 5.- Considera los datos 2, 4, 6, 8 y 10, calcula su media. a) Si sumas 5 a cada uno de los datos anteriores, ¿cuánto vale la media? b) Si multiplicas por 10 cada uno de los datos anteriores, ¿cuánto vale la media? Solución: x = 6, a) x +5 = 11, b)10 x = 60. 6. Dada la siguiente distribución calcula su moda y mediana.

xi 1 2 3 4 5 6 ni 6 5 4 10 4 1

Solución: Me = 3,5; M0 = 4. 7.- Dada la distribución estadística calcula su moda y mediana.

Ii (0, 10] (10,20] (20, 30] (30,40] (40,50] ni 1 6 7 4 2

Solución: Me = 24,3; M0 = 22,5. 8.- Dada la distribución estadística calcula moda y median gráficamente.

Ii (30, 40] (40, 50] (50,60] (60,70] (70,80] ni 7 8 15 25 20

Solución: M0 = 66,7, Me = 63.


1.5.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN 1.- Rango

Se llama rango o recorrido de una distribución, y se denota R, a la diferencia entre los valores extremos de la variable. Además existen otros rangos: • Rango intercuartílico: diferencia entre el tercer y primer cuartil. Ri = Q3. -Q1 • Rango intercuartílico superior: diferencia entre el mayor valor de la variable y el tercer

cuartil. • Rango intercuartílico inferior: diferencia entre el primer cuartil y el menor valor de la

variable. • Rango entre percentiles: diferencia entre dos percentiles, p. e., P = P90-P10.

Observaciones: • Cuanto menor es el recorrido de una distribución mayor es el grado de representatividad de

los valores centrales. • Es sencillo de calcular. • Viene dado en las mismas unidades que la variable. • Presenta el inconveniente de que sólo depende de los valores extremos; de forma que basta

que uno de ellos se separe mucho, para que el rango se vea afectado, es por lo que se definen los otros rangos.

2.- Desviación media

Se llama desviación media de una variable a la media aritmética de las desviaciones absolutas respecto de la media. Se representa por dm.

Cálculo: dm = x- xn N1

iin

1=i∑

Siendo:

x media aritmética xi valores de la variable ni frecuencia absoluta asociada a los valores anteriores N número total de datos de la distribución

Observaciones: • La desviación media depende de todos los valores de la distribución. • Si no es posible hallar la media no es posible hallar la desviación media. • Viene expresada en las mismas unidades que los datos. 3.- Varianza

Se llama varianza de una variable a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Se representa por S2 y a veces se llama desviación cuadrática media.

Cálculo: s2 = ) x-(xn N1 2

iin

1=i∑ = x -N

xn 2

2ii

n

1=i∑

Observaciones: • La varianza depende de todos los valores de la distribución y de la media. • Si no es posible hallar la media no es posible hallar la varianza. • La varianza viene expresada en distintas unidades que los datos. Por lo tanto es más

interesante la desviación típica que la varianza. • Por la propia definición de varianza ésta es siempre positiva.


4.- Desviación típica

Se llama desviación típica de una variable a la raíz cuadrada positiva de la varianza de dicha variable. Se representa por S.

Cálculo: Se obtiene mediante la fórmula:

S = ) x-(xn N1 2

ii

n

1=i∑ = x -N

xn 2

2ii

n

1=i∑

Observaciones: • La desviación típica dependen de todos los valores de la distribución. • Si no es posible hallar la media no es posible hallar la desviación típica. • Viene expresada en las mismas unidades que los datos. • Conviene dar la varianza con un decimal menos que la desviación típica. • Si a los valores de una distribución se les suma un número la desviación típica no varía. • Si todos los valores de una distribución se multiplican por un mismo valor la desviación

típica queda multiplicada por dicho valor EJEMPLOS 1.- Dada la distribución de frecuencias de la tabla adjunta:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 4 6 5 6 10 9 4 6

Se pide la media, varianza y desviación típica.

Resolución: Para calcular los parámetros pedidos utilizamos la tabla siguiente.

xi ni Ni xi ni xi2ni

1 4 4 4 4 2 6 10 12 24 3 5 15 15 45 4 6 21 24 96 5 10 31 50 250 6 9 40 54 324 7 4 44 28 196 8 6 50 48 384 50 235 1323

• La media: x = nxN1

ii

n

1=i∑ =

50235 = 4,70

• La varianza: S2 = x -x n N1 22

ii

n

1=i∑ = 2)7,4(-

503231 = 4,4

• La desviación típica: S = 4,4 = 2,09 2.- Dada la distribución estadística

Ii (0, 5] (5, 10] (10, l5] (15,20] (20,25] (25, 30] ni 4 6 7 10 2 1

Calcula la media, rango, varianza y desviación típica.


Resolución: Para calcular los parámetros pedidos utilizamos la tabla siguiente.

Clases Marcas ni xini xi2ni

(0-5] 2,5 4 10 25 (5-10] 7,5 6 45 337,5

(10-15] 12,5 7 87,5 1093,75 (15-20] 17,5 10 175 3062,5 (20-25] 22,5 2 45 1012,5 (25-30] 27,5 1 27,5 756,25

30 390 6287,5

• La media es: x = nxN1

ii

n

1=i∑ = 13

• El rango es R = 30-0 = 30

• La varianza: s2 = x -N

xn 2

2ii

n

1=i∑

= 13 - 30

6288 2 = 40,6

• Desviación típica: S = 6,40 = 6,37


1.- Halla los recorridos intercuartílicos de la distribución que representa la superficie sembrada (en miles de Ha) de lentejas en España durante los años de 1970 a 1974 fue:

Año 1970 1971 1972 1973 1974 Superficie 68 75 87 99 105

Solución: Ri = 24; Risup = 6; Riinf = 7.

2.- Se ha preguntado a un grupo de deportistas las horas que dedican a entrenamiento durante el fin de semana. Los resultados aparecen en la siguiente distribución de frecuencias calcula el rango, la media, varianza y desviación típica.

Horas [0,0.5) [0.5,1.5) [1.5,2.5) [2.5,4) [4,8]

Personas 10 10 18 12 12

Solución: R = 8; x = 2,57 h; s2 = 3,7 h2 ; s = 1,93 h .

3.- Se ha tomado una muestra de los precios de un producto en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de la ciudad, y se han encontrado los siguientes precios. Construye 4 intervalos de clase de igual amplitud siendo el primero [95, 100) y calcula la media y la desviación típica.

95 108 97 112 99 106 105 100 99 98 104 110 107 111 103 110

Solución: x = 104,69; s =5,85. 4.- La suma de unos datos es de 25 unidades y la de sus cuadrados 250 unidades cuadradas. si la media y desviación típica iniciales coinciden, ¿cuál es su media y desviación típica? Solución: s = x = 5

5.- Sea la distribución formada por 1, 3, 5, 7 y 9. a) Calcula la media y desviación típica. b) Calcula la media y desviación típica si añadimos 12 a cada uno de los datos. c) Calcula la media y desviación típica si multiplicamos por 7 cada uno de los datos. Solución: a) x = 5, s = 8 ; b) x = 17, s = 8 +12; c) x = 35, s = 7 8


1.6.- COMPARACIÓN DE DISTRIBUCIONES 1.- Coeficiente de variación

El coeficiente de variación de Pearson, CV, es la desviación típica por unidad de media multiplicada por 100. Mide la dispersión relativa de la muestra. Cálculo:

CV = vp =xsx .100

Observaciones: • El coeficiente de variación no depende de la unidad utilizada puesto que es el cociente entre

la media y la desviación típica y vienen ambas dadas en las mismas unidades. • Un coeficiente de variación del 30% indica que la media es poco representativa como

medida del promedio, debiéndose optar por la mediana o la moda. • Dadas dos variables aquella que tenga un coeficiente de variación mayor es más heterogénea

y el que lo tenga menor más homogénea, siendo su media más representativa de la variable. • El coeficiente de variación no debe usarse cuando la media esté próxima a cero, pues el

denominador pequeño distorsiona el cociente.

2.- Puntuaciones típicas. Usamos los datos de media y desviación típica de una distribución para hallar los valores

normalizados o puntuaciones típicas de la variable xin = s

x-xi . Estas puntuaciones típicas

sirven para comparar los valores de dos distribuciones diferentes.

EJEMPLOS 1.- Compara las puntuaciones obtenidas por un alumno en Matemáticas e Historia sabiendo que en ambas ha obtenido un 7, estando caracterizadas las puntuaciones en ambas asignaturas por los parámetros:

x s Matemáticas 4 4 Historia 5 4

Resolución:

La nota normalizada en Matemáticas es 4

4-7 = 0,75 y en Historia es

45-7

= 0,5, luego comparativamente es mayor la nota en Matemáticas.

2.- Las anchuras de las aceras de cuatro barrios de una ciudad vienen dadas en la siguiente tabla y en las gráficas adjuntas. Asocia a cada gráfica los parámetros correspondientes:

A B C D x 198,5 198,1 193 193,4 S 9,7 3,9 4,6 8,1


(1) (2)

(3) (4)

Resolución: Observando la tabla y las gráficas obtenemos:

• A – (4) • B – (1) • C – (3) • D – (2)

3.- En un Instituto hay dos grupos de Matemáticas. Las calificaciones de la primera evaluación en cada grupo fueron las siguientes:

Grupo A 1 1 1 3 5 5 6 8 8 9 Grupo B 2 2 4 4 4 5 5 6 6 8

Utilizando la medida adecuada, di qué grupo es más homogéneo.

Resolución: Para determinar qué grupo es más homogéneo, utilizamos el coeficiente de variación que mide la desviación típica respecto a la media de una variable, es decir, su homogeneidad. Para hallarlo utilizamos las tablas adjuntas:

xi ni xini xi2ni yi ni yi

ni yi2ni

1 3 3 3 2 2 4 8 3 1 3 9 4 3 12 48 5 2 10 50 5 2 10 50 6 1 6 36 6 2 12 72 8 2 16 128 8 1 8 64 9 1 9 81 10 46 242 10 47 307

• Media de x:

x = nx N1

ii

n

1=i∑ =

1047 = 4,7

• Desviación típica de x:


sx = x -N

xn 2

2ii

n

1=i∑

= )(4,7 - 10307 2 = 2,93

• Media de y:

y = ny N1

ii

n

1=i∑ =

1046 = 4,6

• Desviación típica de y:

sy = y - N

ny2

i2i

n

1=i∑

= )6(4, - 10242 2 = 1,74

Hallamos el coeficiente de variación, de fórmula vp =xsx .100, con valores:

vp = 4,72,93 .100 = 62,3, para el primer grupo

vp = 4,61,74 .100 = 37,8, para el segundo grupo

El segundo grupo es más homogéneo, ya que su CV es menor. 4.- Se ha realizado un estudio estadístico de los pesos de los alumnos de tres aulas, siendo sus resultados redondeados los siguientes. Identifica qué gráfica corresponde a cada clase. Justifica la respuesta.

A B C x 65 64,3 67,1 s 6,5 3,2 4,5

Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3

Resolución: El gráfico 1 es el de la clase B (tiene la menor desviación típica de las tres

y su media es algo menor que 65) El gráfico 2 es el de la clase C (tiene la desviación típica intermedia de las

tres y su media es algo mayor que 65) El gráfico 3 es el de la clase A (tiene la mayor desviación típica de las tres

y su media es 65)

• La menor desviación típica corresponde al primer gráfico, pues los datos están agrupados, sin dispersión.


• La mayor desviación típica corresponde al tercer gráfico, pues los datos están muy dispersos, más o menos todos con la misma frecuencia, tanto los próximos a la media como los alejados de ella.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Las ganancias de dos tiendas (en miles de euros) durante los años 1970 a 1975 fueron

Año Tienda A Tienda B

1970 5,9 4,5

1971 2,5 3,8

1972 7,4 5,7

1973 8,1 3,5

1974 4,8 5,5

1975 3,7 4,6

a) ¿Qué tienda da más beneficios?, b) ¿Cuál tiene mayor estabilidad en dichos beneficios? Solución: a) mayores beneficios la A, ya que Ax = 5,4 y Bx = 4,6; b) más estable la B ya que sA = 1,97 y sB = 0,80. 2.- Dada la distribución de frecuencias de la tabla adjunta, se pide el coeficiente de variación

xi 1 2 3 4 5 ni 1 2 4 2 1

Solución: vp = 30,11 .100 = 36,51%

3.- Las siguientes distribuciones tiene aproximadamente la misma media (5) y 1, 2, 3 y 4 como desviaciones típicas. Asigna a cada gráfica su desviación típica.

(a) (b)

(c) (d)

Solución: (a) –2, (b) –3, (c) –1, (d) –4.


1.7.- EJERCICIOS FINALES

1.- Completa los datos que faltan en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, donde ni, Ni y fi representan frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa de X. Calcula la media y moda de la distribución anterior.

X ni Ni fi 1 4 0,08 2 4 3 0,16 4 7 23 5 5 6 38 7 7 45 8

Solución: x = 4,76 ; M0 = 6 .

X ni Ni fi 1 4 4 0,08 2 4 8 0,08 3 8 16 0,16 4 7 23 0,14 5 5 28 0,10 6 10 38 0,20 7 7 45 0,14 8 5 50 0,10

2. La siguiente tabla recoge el retraso en el trabajo de los empleados de una empresa: a) Representa los datos mediante un histograma. b) Calcula el retraso medio y la desviación típica.

Retraso en minutos [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) nº de empleados 5 15 18 10 4

Solución: x = 9,46 minutos; s = 4,30 minutos.

3.- Los pesos de los 100 alumnos de una clase vienen dados por la siguiente tabla. a) Calcula la media, desviación típica, mediana, moda. b) Efectúa una representación tipo histograma de dicha distribución.

Peso [40-48) [48-56) [56-64) [64-72) [72-80) Frecuencia 12 23 25 18 22

Solución: x = 6,12; s = 10,58; Me = 60,8; Mo = 57,8.

4.- Las puntuaciones obtenidas por 20 personas en una prueba quedan reflejadas en el siguiente histograma. a) Construye la tabla adecuada a los siguientes datos. b) Efectúa un diagrama de sectores a partir de dicha tabla. c) ¿Es adecuado dicho diagrama? Solución:

Peso [0-2) [2-4) [4-6) [6-8) [8-10) Frecuencia 2 4 8 5 1

5.- Los siguientes datos indican el tiempo de permanencia de 15 empleados en una empresa: a) Construye 6 intervalos de clase de igual amplitud siendo el primero (0, 5].


b) Representa el histograma de frecuencias absolutas.

Permanencia 10 15 16 20 22 24 5 12 21 2 6 13 26 29 24 Solución:

[0-5) [5-10) [10-15) [15-20) [20-25) [25-30) 1 2 3 2 5 2

6.- El diagrama de barras muestra las calificaciones obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcula la calificación media, teniendo en cuenta el siguiente cuadro de equivalencias:

Notas Intervalo Suspenso [0,5) Aprobado [5,7) Notable [7,9) Sobresaliente [9,10)

Solución: x = 5,36. 7.- Los siguientes datos corresponden a la altura en centímetros de los alumnos de una determinada clase:

151, 153, 156, 157, 157, 160, 161, 162, 163, 164, 165 167, 168, 169, 170, 171, 172, 177, 178, 182, 183

Realiza una representación gráfica. 8.- Dada la distribución estadística calcula la media, mediana y moda.

Ii [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20,25) 25 o más ni 3 5 7 8 2 5

Solución: x =15,17; Me =15; Mo =15,7.

9.- Calcula la media, mediana, moda y la desviación típica de la estatura de 40 chicos.

Intervalo 148,5-153,5 153,5-158,5 158,5-163,5 163,5-168,5 168,5-173,5 173,5-178,5 Alumnos 2 4 11 14 5 4

Solución: x =164,5; Me = 164,57; Mo = 164,75; s = 6,24.

10.- Se ha aplicado un test sobre la satisfacción en el trabajo a los 88 empleados de una fábrica obteniéndose los siguientes resultados:

Trabajadores [38-44) [44-50) [50-56) [56-62) [62-68) [68-74) [74-80) % Satisfacción 7 8 15 25 18 9 6

a) Representa la distribución mediante algún diagrama b) Calcula la media, mediana, moda, recorrido y desviación típica Solución: b) x = 58,98; Me = 59,36; Mo = 59,53; R = 42; s = 9,76. 11.- Sea X una variable estadística cuya media vale 2. Definimos otra variable Z que cumple que zi = 3 xi. Demuestra, usando la fórmula, que la media de Z es 6. 12.- Se eligen al azar tres números entre el 0 y el 9 y con ellos se forma un número de tres cifras. Se sabe que la media de las tres cifras es 5 y que la moda existe y es 7.¿Cuál es el mayor número que se pudo formar de esta manera? Solución: 771.


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