INFERENCIA ESTADSTICANotas de claseProfesores:A. Leonardo Bauelos S. Nayelli Manzanarez Gmez)))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.TEMA IVPRUEBAS DE HIPTESISINTRODUCCINCuando en un problema especfico debe determinarse si se acepta (valida) una afirmacin(hiptesis) o no, el procedimiento de toma de decisiones en torno a la afirmacin recibeel nombre deprueba de hiptesis.Definicin 4.1 Una hiptesis es una afirmacin acerca de la distribucin deprobabilidad de una variable aleatoria.Laspruebasdehiptesissonpartedelainferenciaestadstica,yamenudoinvolucranamsdeunparmetrodeladistribucin.Supngase,porejemplo, quesedesea estimar el promedio de la estatura de los alumnos de la Facultad de Ingeniera, yse pretende saber si el promedio es1.67 o no lo es. Lo anterior se expresara:...(4.1)Donde recibe el nombre de hiptesis nula, mientras que se denomina hiptesisalternativa.Enlaexpresin4.1seplanteaunahiptesisalternativadedoslados;sinembargo,esposibleplantearhiptesisalternativasdeunlado,generandopropuestascomo:...(4.2)Paraprobarunahiptesisesnecesarioseleccionarunamuestraaleatoria,ymediante un estadstico de pruebaadecuado determinar si se acepta la hiptesis o serechaza, aceptndose entonces la alternativa. Con la finalidad de aceptar o rechazarunahiptesis,debengenerarseregionesdeaceptacinyrechazo,porejemploparalahiptesis sobre la media poblacional planteada por (4.1) se tiene:Fig.4.1Definicin 4.2 Una prueba de hiptesis estadstica para alguna caractersticadesconocida de una poblacin es cualquier regla que permite rechazar ono rechazar una hiptesis nula con base en una muestra aleatoria de lapoblacin.ERRORES DE TIPO I Y TIPO IILa decisin que se toma de aceptar o rechazar una hiptesis segn los datos observadosen una muestra y empleando un estadstico de prueba adecuado, est sujeta a error. Enparticular se pueden cometer dos tipos de errores. Cuando la hiptesis nula se rechazasiendoqueesverdaderasecometeunerrordeltipoI,mientrasquesiseaceptalahiptesis nula cuando es falsa entonces se comete un error del tipo II. Si la hiptesisY la conclusin es es verdaderaes falsaNo se rechaza Ningn error Error tipo IIS se rechaza Error tipo I Ningn errorTabla 4.1 Tipos de error en las pruebas de hiptesis.Las probabilidades de cometer errores del tipo I y II se denotan mediante y respectivamente, es decir...(4.3)Adems recibe el nombre de nivel o tamao de significacin de la prueba.INFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 2S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G. Si la hiptesisY la conclusin es es verdaderaes falsaNo se rechaza S se rechaza Tabla 4.2 Probabilidades de error en las pruebas de hiptesisDefinicin 4.3La potencia de una prueba de hiptesis estadstica es la probabilidad derechazar una hiptesis falsa. Es decir:Como se coment anteriormente, los resultados de una prueba de hiptesis estnsujetosaerror,porloquenosedicequeseapruebalahiptesisnula,esmsrecomendabledecirnoserechaza.Elnorechazarsignificaquenosetienensuficientes elementos para rechazarla, lo que no necesariamente significa que hay unaalta probabilidad de que sea verdadera.PRUEBAS DE HIPTESISAdems de las pruebas de hiptesis unilaterales y bilaterales como fueron las ecuaciones(4.2) y (4.1), las pruebas se clasifican en simples y compuestas. Las hiptesis simples sonaquellasqueespecificanelvalordelparmetroalqueserefieren,porejemplo: .Lashiptesiscompuestassonaquellasquenoespecificanelvalordelparmetro, por ejemplo:, .S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 4.1El tiempo transcurrido entre dos seales consecutivas de un contador Geigerdepartculasradioactivas,esunav.a.condistribucinexponencialconparmetro .A fin de probar la hiptesis de que para un material en particular ,contra la alternativa, de que, se realiza una sola observacin de y se decide no rechazar si yslo si el valor observado de ocurre en elintervalo. Calcular los tamaos de los errores tipo I y tipo II.ResolucinPara el error tipo I, se tieneS))))))))))))))))))))))))))))))))))))QDebe observarse que si la hiptesis nula es compuesta, entonces no se puededeterminar el valor de, es decir, si entonces:y el valor de depende de . Es por ello, que la hiptesis nula debe ser una hiptesissimple.Demanerasimilar,cuandolahiptesisalternativaescompuestatampocosepuede obtener el valor de.INFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 3S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.PRUEBAS DE HIPTESIS PARA LA MEDIACuando se desea realizar una hiptesis con respecto a la media de una variable aleatoria, debe suponerse con distribucin normal, ya sea porque se distribuye normalmenteo por el cumplimiento del teorema del lmite central. Si se considera que la media sedesconoceperoseconocelavariancia,entonceslahiptesisbilateralpuedeformularse como:. . . (4.4)donde es una constante especfica, y el estadstico de prueba es. . . (4.5)donde.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 4.2Considrese una poblacin con distribucin normal con parmetros desconocido y. Conbase en una muestra de 30 observaciones en lacual y, determinar si es correcto suponer que con unnivel de significancia de 0.01.ResolucinLa prueba de hiptesis estadstica es:El estadstico de prueba esestandarizandoLas regiones crticas y de aceptacin sonFigura 4.2Regiones de aceptacin y rechazo para la prueba de hiptesissobre la media, ejemplo 4.2.De tablas Y evaluando el estadstico de prueba para la muestra dada y suponiendo cierta se tieneDe donde se observa que el estadstico de prueba se encuentra fuera de la reginde aceptacin, es decir , Figura 4.3Estadstico de prueba fuera de la regin de aceptacin.INFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 4S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.Seconcluyeque,conbaseesestamuestra,nopareceadecuadosuponer, por lo quese rechaza.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 4.3En un estudio del rendimiento de un proceso qumico se ha observado que lavarianciaes,yenlosltimosdasdeoperacinsehantenidolossiguientes rendimientos:, 91.6Existe razn para creer que el rendimiento es menor a?ResolucinLa prueba de hiptesis estadstica es:Suponiendo distribucin normal en los datos,el estadstico de prueba es:valuandoY con, de tablas, y puesto que entonces: no se rechaza.Conbaseenlainformacinobtenidaenlamuestranohayevidenciapararechazar la hiptesis nula, de que la media es igual a 90, con una significanciadel 5%.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QCuandoenlaprcticanoseconoceelvalordelavarianciapoblacional,puedesustituirsesuvalorporsilamuestraesgrandesintenerunefecto perjudicial de consideracin.Sila variancia se desconoce y la muestra es pequea entonces el estadsticode prueba essiempre que la poblacin tenga distribucin normal.PRUEBADEHIPTESISSOBRELAIGUALDADDEDOSMEDIASSi se desea probar que las medias de dos poblaciones (con distribuciones normales) soniguales, entonces el estadstico de prueba es. . . (4.6)La prueba con alternativa de dos lados es:. . . (4.7)S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Ejemplo 4.4Medicionesrespectodelesfuerzocortanteobtenidasapartirdepruebasdecompresinindependientesparadostiposdesuelosdieronlosresultadossiguientes (mediciones en toneladas por pie cuadrado).Suelo tipoSuelo tipo Difieren los dos suelos con respecto al esfuerzo cortante promedio, a un nivelde significacin de?ResolucinINFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 5S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.El estadstico de prueba esvaluandode tablas se obtiene con se rechaza.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Cuandolasvarianciaspoblacionalessedesconocen,sepuedenutilizarlasvariancias muestrales para las poblaciones, siempre que las muestras sean grandes; si lasmuestrassonpequeasperoprovienendedistribucionesnormalesconmediasyvariancias desconocidas, entonces se tienen dos casos.Muestras pequeas de poblaciones normales y variancias desconocidas pero igualesEl estadstico de prueba es:. . . (4.8)donde . . . (4.9)yMuestras pequeas de poblaciones normales y variancias desconocidas y diferentesCuando las variancias son diferentes, entonces no existe un estadstico exacto pararealizar la prueba sobre la igualdad de medias; sin embargo, una buena aproximacin laproporciona el estadstico. . . (4.10)elcualtienedistribucinaproximadamente,i.e.,;dondeelnmerodegrados de libertad est dado por. . . (4.11)y debe utilizarse el entero ms cercano.PRUEBAS DE HIPTESIS PARA LA VARIANCIASisedeseaprobarlavarianciadeunapoblacincondistribucinnormal,entonceselestadstico de prueba es. . . (4.12)dondees la variancia muestral y .La prueba de hiptesis de dos lados es:y la hiptesis nula se rechazara si . . . (4.13)o bien si . . . (4.14)INFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 6S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.))))))))))))))))))))))))))))))))))))Ejemplo 4.5La dispersin o variancia, de tiempos de acarreo en un proyecto de construccinson de gran importancia para el sobrestante, ya que los tiempos muy variablesde acarreo originan problemas en la programacin de los trabajos. El encargadode los transportes dice que el intervalo de tiempo de acarreo no debe ser mayorque40minutos(esteintervaloesladiferenciaentreeltiempomayoryelmenor). Si se supone que estos tiempos de acarreo estn distribuidos en formaaproximadamente normal, el sobrestante cree que la afirmacin acerca de loslmites quiere decir que la desviacin estndar debe ser aproximadamente 10minutos.Semidieronenrealidad15tiemposdeacarreoyseobtuvounpromediode142minutosyunadesviacinestndarde12minutos.Podrarefutarse la afirmacin de en el nivel de significancia del 5%?ResolucinSe desea probar:: : El estadstico de prueba es:La regin de rechazo es:Puesto queNo se rechaza. Con base en la informacin de la muestra no hay suficienteevidencia para concluir que la desviacin estndar es superior a 10 minutos, con.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))PRUEBASDEHIPTESISPARALAIGUALDADDEVARIANCIASParaprobarlaigualdaddedosvarianciasdepoblacionesnormalesconparmetros ydesconocidas, se utiliza el estadstico. . . (4.15)dondey la prueba de dos lados quedara como:. . . (4.16)la hiptesissera rechazada si:. . . (4.17a)o bien si. . . (4.17b)Para probar la hiptesis alternativa de un solo lado, quedando la prueba. . . (4.18)Para rechazar debe cumplirse. . . (4.19)Unconceptomuyutilizadoenlaspruebasdehiptesiseselniveldesignificacinalcanzado.Elniveldesignificacinalcanzadoenunaprueba,,esunestadstico que representa el mnimo valor de para el cual se rechaza la hiptesis nula.Es decir:Si se rechaza.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Ejemplo 4.6Dos mquinas producen piezas metlicas. Interesa la variancia del peso de estaspiezas. Se han colectado los siguientes datos.Mquina 1 Mquina 225 300.984 0.90713.46 9.65a) Probarlahiptesisdequelasvarianciasdelasdosmquinassoniguales. Emplear.INFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 7S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.b) Probarlahiptesisdequelasdosmquinasproducenpiezasquetienen el mismo peso medio. Utilizar.Resolucina)Es estadstico de prueba esde dondeDe tablas:Puesto que no se rechaza.b)El estadstico de prueba esdondevaluando: De tablas, Puesto que no se rechaza.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI CUADRADAHasta este momento,se han estudiado pruebas de hiptesis estadsticas sobre parmetrospoblacionales,ensituacionesdondeseconoce(osesupone)ladistribucindelasvariablesaleatorias.Otrotipodepruebassedacuandoladistribucindelavariablealeatoriabajoestudiosedesconoce,yporlotantosedesea"probar"sisigueunadistribucin terica en particular. A este tipo de pruebas se les llama pruebas de bondadde ajuste.En particular,para la prueba de bondad de ajuste ji cuadrada, considrese unamuestra aleatoria de tamao de la distribucin de una variable aleatoria dividida en clases(intervalosexhaustivosymutuamenteexcluyentes),ysea ,el nmero de observaciones de la-sima clase. Si la hiptesisnula esdondeesunadistribucinqueseencuentracompletamenteespecificada,incluyendo todos sus parmetros, entonces la hiptesis nula es simple.Con el objeto de deducir un estadstico adecuado para considrese el casoenelqueslosetienendosclases,,entoncesrepresentaelnmerodeobservacionesenlaclaseyelnmerodeobservacionesdelaclasecon.Paralasdoscategorasexcluyenteslasprobabilidadessony, entonces bajo la hiptesis nula la probabilidad de la muestra agrupada esigual a la funcin de probabilidad binomial con parmetros y, es decir, la variable tiene una distribucin binomial. Estandarizando la variable aleatoria se tieneysiessuficientementegrandeentoncestieneunadistribucinaproximadamentenormalestndar,porloquealelevaralcuadradoseobtieneunavariablealeatoriajicuadrada con un grado de libertad.INFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 8S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.Porloqueelestadsticotieneaproximadamenteunadistribucin ji cuadrada con un grado de libertad, siempre que sea lo suficientementegrande. De forma anlogamente, para clases, el estadsticotiene aproximadamente una distribucin ji cuadrada con grados de libertad.En resumen, la prueba de bondad de ajuste ji cuadrada consiste en comparar lafrecuencia observada de la variable aleatoria en cada uno de los intervalos de clase deunatabladedistribucindefrecuenciayelvaloresperadodeladistribucinhipottica .El estadstico de prueba es donde.Elestadsticotienedistribucinjicuadradacongradosdelibertad, donde es el nmero de intervalos de clase y es el nmero de parmetrosde la distribucin hipottica. Por ejemplo para una distribucin discreta uniforme; para una distribucin de Poisson y para una distribucin normal.La hiptesis nula, de que la distribucin se ajusta a la considerada se rechazasi.Para realizar esta prueba, no se requiere que el ancho de clase sea constante, loque se requiere es que la frecuencia esperada en cada intervalo no sea cero; sin embargo,el valor mnimo no se ha establecido, la mayora de los autores utilizan los nmeros , como mnimos.La prueba de bondad de ajuste puede utilizarse tambin cuando la variable escontinua;sinembargo,debehacersenfasisenquelapruebadebondaddeajustejicuadradaesdenaturalezadiscreta,enelsentidodequecomparafrecuenciasdeobservacin y esperadas para un nmero finito de categoras. Para muestras muy grandes,lapotenciadelapruebatiendea1,loquesignificaqueescasisegurorechazarlahiptesis nula.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 4.7En un proceso de fabricacin de tela, se cuenta con el nmero de defectos pormetrocuadradoen,cadaunadeunmetrocuadrado,seobservaron los siguientes resultadosNmero de defectos Frecuencia de observacin0 01 32 53 104 145 86 o ms 10Probar la hiptesis de que los datos provienen de una distribucin de Poisson.Utilizar.ResolucinSi se considera que, el nmero de defectos por metro cuadrado tiene unadistribucin de Poisson, entoncesINFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 9S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.El estimador puntual de es:,de donde:La hiptesis estadstica es:ElnmerodedefectostienedistribucindePoissonconparmetro.El nmero de defectos no tiene distribucin de Poisson con parmetro.Para determinar el estadstico de prueba se obtiene la siguiente tabla:0 0 0.01869 0.9341 3 0.07437 3.7182 5 0.14799 7.4003 10 0.19634 9.8174 14 0.19536 9.7685 8 0.15555 7.7756 o ms 10 0.21175 10.588Puesto que para el primer intervalo, se tiene que,se agrupan los primeros dos intervalos, obtenindose ahora la siguiente tabla1 o menos 3 0.09306 4.6532 5 0.14799 7.4003 10 0.19634 9.8174 14 0.19536 9.7685 8 0.15555 7.7756 o ms 10 0.21175 10.588El estadstico de prueba es:Por otro lado, conintervalos, parmetros, se tiene que:No se rechaza la hiptesis nula, de que la distribucin es Poisson con parmetro .S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QPRUEBA KOLMOGOROV-SMIRNOVLa prueba de bondad de ajuste es muy til; sin embargo, cuando la v.a. es continua,para realizar el agrupamiento se requiere de una grancantidad de datos, con lo que elagrupamientosevuelvemscomplicado,puestoquesedebenbuscarclasesquenocontengan menos de 3, 4, o 5 valores esperados. Cuando la v.a. bajo prueba es continua,el estadstico Kolgomorov-Smirnov resulta ms adecuado.Considrese la hiptesis nula, en la cual se especifica de manera completa la funcin dedistribucin de la variable aleatoria X,utilizandolosestadsticosdeorden,,...,deunamuestraaleatoriadetamao y definiendo la funcin de distribucin acumulativa comoes decir, es la proporcin de los valores de la muestra que son iguales o menoresa.El estadstico de Kolgomorov-Smirnov se define comoINFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 10S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.donde se puede valuar puesto que es la distribucin bajo prueba, y es unestadstico independiente de la distribucin. Los valores crticos del estadstico de (Kolgomorov-Smirnov) se muestran en el apndice A, y la hiptesis nula se rechaza si S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 4.8Cierta empresa productora de championes ha registrado la demanda diaria dechampin fresco en toneladas, obtenindose los siguientes valoresUtilizar la prueba de bondad Kolmogorov-Smirnov para probar que la demandadiariadechampionestieneunadistribucinnormalconmediaydesviacin estndar. Usar Resolucin Losdatostienendistribucinnormalcon media 50 y desviacinestndar 13. Losdatosnotienendistribucinnormalcon media 50 y desviacinestndar 13.Ordenando los datos y calculando, y se tiene1 25 0.0272 0.0062 28 0.0453 0.0213 32 0.0831 0.0174 33 0.0955 0.0385 34 0.1092 0.0576 35 0.1243 0.0767 36 0.1408 0.0938 38 0.178 0.0899 42 0.2692 0.03110 43 0.2951 0.03811 44 0.3222 0.04412 47 0.4087 0.00913 48 0.4389 0.00614 48 0.4389 0.02815 49 0.4693 0.03116 51 0.5307 0.00317 52 0.5611 0.00618 53 0.5913 0.009INFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 11S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.19 56 0.6778 0.04420 57 0.7049 0.03821 58 0.7308 0.03122 59 0.7556 0.02223 59 0.7556 0.01124 61 0.8013 0.00125 63 0.8413 0.00826 66 0.8908 0.02427 67 0.9045 0.00528 68 0.9169 0.01629 72 0.9547 0.01230 76 0.9773 0.023Mximo 0.093De donde Y de tablas Y puesto que no se rechaza.Conclusin: A partir de la informacin contenida en la muestra, no puederechazarselahiptesis nula,dequelos datos provienen deuna poblacin con distribucin normal con media ydesviacin estndar.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QINFERENCIA ESTADSTICA Tema IV Pg. 12S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S./N.M.G.Apndice AnEstadistico Dde Kolmogorov-Smirnovan 0.2 0.15 0.1 0.05 0.011 0.9 0.925 0.95 0.975 0.9952 0.684 0.726 0.776 0.842 0.9293 0.565 0.597 0.642 0.708 0.8284 0.594 0.525 0.564 0.624 0.7335 0.446 0.474 0.51 0.565 0.6696 0.41 0.436 0.47 0.521 0.6187 0.381 0.405 0.438 0.486 0.5778 0.358 0.381 0.411 0.457 0.5439 0.339 0.36 0.388 0.432 0.51410 0.322 0.342 0.368 0.41 0.4911 0.307 0.326 0.352 0.391 0.46812 0.295 0.313 0.338 0.375 0.4513 0.284 0.302 0.325 0.361 0.43314 0.274 0.292 0.314 0.349 0.41815 0.266 0.283 0.304 0.338 0.40416 0.258 0.274 0.295 0.328 0.39217 0.25 0.266 0.286 0.318 0.38118 0.244 0.259 0.278 0.309 0.37119 0.233 0.252 0.272 0.301 0.36320 0.231 0.246 0.264 0.294 0.35625 0.21 0.22 0.24 0.27 0.3230 0.19 0.2 0.22 0.24 0.2935 0.18 0.19 0.21 0.23 0.27BIBLIOGRAFAMendenhall, William, et al.- Estadstica Matemtica con Aplicaciones.- Grupo EditorialIberoamrica.- Mxico, 1994.Hines,WilliamW.yMontgomery,DouglasC.-ProbabilidadyEstadsticaparaIngeniera y Administracin.- CECSA.- Mxico, 1993.Walpole, Ronald E., et al..- Probabilidad y Estadstica para Ingenieros.- Prentice Hall.-Sexta Edicin.- Mxico, 1999. 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