Geometría Rectas Paralelas -...
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Iniciativa de Matemática Progres iva®
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www.njctl.org
Rectas Paralelas
Geometría
2015-06-15
Slide 2 / 207
Tabla de ContenidosClick sobre el tema para ir a la sección
Rectas intersecantes, paralelas e inclinadas
Construcción de rectas paralelas
Rectas y transversales
Preguntas de muestra PARCC
Rectas paralelas y demostración
Propiedades de las rectas paralelas
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Vídeos de Contrucción. Tabla de Contenidos
Click sobre el tema para ver ese video
Rectas Paralelas Ángulos correspondientes
Rectas Paralelas Ángulos Interiores Alternos
Rectas Paralelas Ángulos Exteriores Alternos
Rectas Paralelas Usando el Menú Opciones
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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructuraMP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructuraMP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
Slide 5 (Answer) / 207
Rectas Intersecantes, paralelas e inclinadas
Volver a la Tabla de Contenidos
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Quinto Postulado de Euclides
El Quinto Postulado de Euclides es probablemente el más famoso.
Esto molestó a los matemáticos por miles de años
Quinto Postulado: Que si una recta al incidir sobre dos líneas rectas hace los ángulos internos menores que dos ángulos
rectos, las dos rectas al prolongarse indefinidamente se encontrarán en el lado sobre el cuál están los dos ángulos
menores que los dos ángulos rectos.
r
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Esto pareció tan natural que los geómetras griegos pensaron que ellos serían capaces de demostrarlo y no necesitarían que sea un
postulado.
Ellos se resistieron a usarlo por años.
Sin embargo, se dieron cuenta que lo necesitaban.
Y no pudieron probarlo.
Sólo tuvieron que postularlo.
Quinto Postulado de Euclides
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Dice que existen dos casos posibles si una recta corta a otras dos rectas.
1 2
3 4
Quinto Postulado de Euclides
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Los pares de ángulos sobre ambos lados, (ó ∠1 y ∠3 ó ∠2 y ∠4) juntos suman 180º, dos ángulos rectos, y las dos rectas rojas nuca se encuentran.
Como esto....
1 2
3 4
Quinto Postulado de Euclides
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O como ésto.
1 2
3 4
O, ...
Quinto Postulado de Euclides
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Estos forman un ángulo menor a 180º en un lado (ángulos ∠2 y ∠4), y más que 180º sobre el otro lado (ángulos∠1 y ∠3), en este caso las rectas se juntan sobre el lado que tienen los ángulos de menor medida.
Como éste...
1 2
3 4
Quinto Postulado de Euclides
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Ó como este.
1 2
3 4
Quinto Postulado de Euclides
Slide 13 / 207
Ellos no lo podían demostrar desde los otros axiomas y postulados. Pero sin esto hubo un gran cantidad de importantes partes de la
geometría que no podían demostrar.
De manera que dieron por hecho que sea el postulado definitivo de la Geometría Euclidiana. Por los siguientes miles de años, los
matemáticos lo sintieron así. Se mantuvieron intentanto demostrar por qué este postulado no era necesario.
No tuvieron éxito.
Quinto Postulado de Euclides
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En 1866, Bernhard Riemann tomó la otra perspectiva.
Para su disertación doctoral diseñò una geometría en la cual los postulados de Euclides no eran verdaderos, más bien que asumir que sí lo eran.
Esto condujo a la Geometría No Euclidiana donde las rectas paralelas siempre se encuentran, mientras que en la otra geometría nunca se encuentran.
Quinto Postulado de Euclides
Slide 15 / 207
Pero unos cincuenta años después la geometría no Euclidianase convirtió en la base matemática de la Relatividad General De Einstein. en base al rechazo del quinto postulado.
Esto creo la idea del espacio-
tiempo curvado. Esta es la teoría aceptada ahora para la forma de nuestro universo.
Quinto Postulado de Euclides
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Las rectas que están en el mismo plano y nunca se encuentran se llaman paralelas.
Las rectas que se cortan se llaman no paralelas ó intersecantes.
Todas las rectas que se cortan están
en un plano común.
Quinto Postulado de Euclides
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Las rectas que están en diferentes planos y nunca se encuentran se llaman inclinadas.
m
n
P
Q
Las rectas m y n en en la figura están inclinadas.
Quinto Postulado de Euclides
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B
a
Postulado de las Paralelas
Una manera de afirmar el Quinto Postulado de Euclides es decir que las rectas paralelas nunca se encuentran.
Una extensión de esto es el Postulado de las Paralelas: dada una, recta y un punto que no esté sobre la recta, existe uno y sólo una recta que puede ser dibujada pasando por ese puntoy que sea paralela a la recta.
¿Puedes estimar donde estaría ubicada la recta?
Slide 19 / 207
B
a
Postulado de las Paralelas
Una manera de afirmar el Quinto Postulado de Euclides es decir que las rectas paralelas nunca se encuentran.
Una extensión de esto es el Postulado de las Paralelas: dada una, recta y un punto que no esté sobre la recta, existe uno y sólo una recta que puede ser dibujada pasando por ese puntoy que sea paralela a la recta.
¿Puedes estimar donde estaría ubicada la recta?
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
La pregunta en esta diapositiva direcciona a MP2
Slide 19 (Answer) / 207
B
a
¿Puedes imaginar alguna otra recta que podría ser trazada pasando por el punto B y aún ser paralela a la recta a?
Postulado de las Paralelas
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B
a
¿Puedes imaginar alguna otra recta que podría ser trazada pasando por el punto B y aún ser paralela a la recta a?
Postulado de las Paralelas
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
La pregunta en esta diapositiva direcciona a MP2
Slide 20 (Answer) / 207
Las Rectas Paralelas son dos rectas en un plano que nunca se encuentran.
Podemos decir que las rectas DE y FG son paralelas.
Ó, simbólicamente:
Paralelas, Intersecantes e Inclinadas
DE FG║
D E
F G
La pregunta en esta diapositiva direcciona a MP2
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Las Rectas Paralelas son dos rectas en un plano que nunca se encuentran.
Podemos decir que las rectas DE y FG son paralelas.
Ó, simbólicamente:
Paralelas, Intersecantes e Inclinadas
DE FG║
D E
F G
La pregunta en esta diapositiva direcciona a MP2
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6
Recuerde a los estudiantes a lo largo de la lección sobre el papel de la notación y el orden de las letras (si es necesario), para nombrar segmentos semirrectas y rectas.
También enfatice la notación para las rectas paralelas.
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No se puede asumir que las rectas sean paralelas a menos que esté indicado que lo son. Ver que son paralelas no es suficiente. Existen dos maneras de indicar que las rectas son paralelas.
La primer manera es como se muestra en la diapositiva anterior:
Símbolo para rectas paralelas
D E
F G
DE FG║
Slide 22 / 207
m
k
La otra manera para indicar que las rectas son paralelas es indicarlas con flechas como se muestra abajo.
Las rectas que comparten la flecha (en rojo para que sean más visibles) son paralelas.
Si dos diferentes pares de rectas son paralelas las que coinciden en el número de flechas son paralelas como se muestra abajo.
Símbolo para rectas paralelas
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m
k
La otra manera para indicar que las rectas son paralelas es indicarlas con flechas como se muestra abajo.
Las rectas que comparten la flecha (en rojo para que sean más visibles) son paralelas.
Si dos diferentes pares de rectas son paralelas las que coinciden en el número de flechas son paralelas como se muestra abajo.
Símbolo para rectas paralelas
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6
Recuerde a los estudiantes a lo largo de la lección sobre el papel de la notación y el orden de las letras (si es necesario), para nombrar segmentos semirrectas y rectas.
También enfatice la notación para las rectas paralelas.
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m
k
a
b
Esto indica que las rectas k y m son paralelas entre sí.
Y, las rectas a y b son paralelas entre sí.
Pero las rectas k y m no son paralelas con a y b.
Símbolo para rectas paralelas
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Si dos diferentes rectas en el mismo plano que no son paralelas se cortan, son rectas intersecantes en un punto.
Sabemos que se forman cuatro ángulos.
Paralelas, Intersecantes e Inclinadas
D
E
F G
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A partir de esos cuatro ángulos, exiten cuatro pares de ánguloslineales o pares lineales.
Los Pares Lineales son ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes; los ángulos son suplementarios.
∠ 1 y ∠ 3 son un par lineal
D
E
F G
1 23 4
Enumera los otros pares lineales.
Paralelas, Intersecantes e Inclinadas
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A partir de esos cuatro ángulos, exiten cuatro pares de ánguloslineales o pares lineales.
Los Pares Lineales son ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes; los ángulos son suplementarios.
∠ 1 y ∠ 3 son un par lineal
D
E
F G
1 23 4
Enumera los otros pares lineales.
Paralelas, Intersecantes e Inclinadas
[This object is a pull tab]
Res
pues
ta
∠ 1y∠ 2, ∠ 2 y∠ 4, ∠ 3y∠ 4
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Si los ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes son congruentes, las rectas son perpendiculares.
Rectas perpendiculares
D
E
F G
DE FG⊥Symbolicamente se escribe como
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Si los ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes son congruentes, las rectas son perpendiculares.
Rectas perpendiculares
D
E
F G
DE FG⊥Symbolicamente se escribe como
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6
Recuerde a los estudiantes a lo largo de la lección sobre el papel de la notación y el orden de las letras (si es necesario), para nombrar segmentos semirrectas y rectas.
También enfatice la notación para rectas perpendiculares.
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Si dos rectas se intersecan, definen un plano, de modo que son co-planares.
Rectas inclinadas
m
n Q
PLas rectas m y n en la figura son inclinadas.
Dos rectas que no se intersecan pueden o ser paralelas si están en el mismo plano o inclinadas si están en planos diferentes.
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Si dos rectas se intersecan, definen un plano, de modo que son co-planares.
Rectas inclinadas
m
n Q
PLas rectas m y n en la figura son inclinadas.
Dos rectas que no se intersecan pueden o ser paralelas si están en el mismo plano o inclinadas si están en planos diferentes.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
Se pueden usar ejemplos adicionales de rectas inclinadas:la línea recta entre el techo y la pared frontal y la línea recta entre el piso y el lado de la pared son inclinadas (MP2 y MP4)
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Usando el siguiente diagrama, nombra una recta que esté inclinada con respecto a la recta HG: una recta que no está en un plano común.
A B
CD
E F
GH
Rectas inclinadas
∠ 1y∠ 2, ∠ 2 y∠ 4, ∠ 3y∠ 4
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Usando el siguiente diagrama, nombra una recta que esté inclinada con respecto a la recta HG: una recta que no está en un plano común.
A B
CD
E F
GH
Rectas inclinadas
∠ 1y∠ 2, ∠ 2 y∠ 4, ∠ 3y∠ 4[This object is a pull tab]
Res
pues
ta
Recta BC, Recta AD, Recta AE, Recta BF
Este ejemplo direcciona a MP2
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1 ¿Están inclinadas las rectas a y b?
Yes
No
a
b
G
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1 ¿Están inclinadas las rectas a y b?
Yes
No
a
b
G
[This object is a pull tab]
Res
pues
ta
Sí, las rectas a y b son inclinadas. Las rectas a y b son no coplanares y no se
intersecan.
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2 ¿Cuántas rectas se pueden dibujar pasando por C y que sean paralelas a la recta AB?
B
AC
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2 ¿Cuántas rectas se pueden dibujar pasando por C y que sean paralelas a la recta AB?
B
AC[This object is a pull tab]
Res
pues
ta
Una rectaB
AC
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A B
CD
E F
GH3 Nombra todas las rectas paralelas a EF.
A ABB BCC DCD HDE HG
Res
pues
ta
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4 Nombra las rectas inclinadas a EF.
A BCB DCC HDD ABE GC
A B
CD
E F
GHR
espu
esta
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5 Dos rectas intersecantes siempre son coplanares.
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
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6 Dos rectas inclinadas son coplanares.
Verdadero
Res
pues
taFalso
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7 Completa esta afirmación con la palabra más apropiada:
Dos rectas inclinadas son __________ paralelas.
A siempreB nuncaC algunas veces R
espu
esta
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Rectas y Transversales
Volver a la tabla de contenidos
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12
3 4
56
7 8
k
m
n
Transversales
(Este es el nombre de la recta que Euclides usó para intersecar dos rectas en su quinto postulado).
En la imagen se muestra la recta n, transversal, intersecando a la recta k y a la recta m.
Una Transversal es una recta que intersea dos o más rectas coplanares.
La recta k y la recta m pueden o no ser paralelas.
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Los ángulos Interiores son los 4 ángulos que están entre las dos rectas.
Cuando una recta transversal interseca dos rectas, se forman ocho ángulos. A esos ángulos se les da nombres especiales.
3 4
56
k
m
n
Ángulos formados por una Transversal
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Ángulos Exteriores son los 4 ángulos que están afuera de las dos rectas.
Cuando una transversal interseca dos rectas, se forman ocho ángulos. A esos ángulos se le da nombres especiales.
12
7 8
k
m
n
Ángulos formados por una Transversal
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8 Nombra todos los ángulos interiores.
A ∠ 1
B ∠ 2
C ∠ 3
D ∠ 4
E ∠ 5
F ∠ 6
G ∠ 7
H ∠ 8
123 4
567 8
k
m
n
Res
pues
ta
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9 Nombra todos los ángulos exteriores.
A ∠ 1
B ∠ 2
C ∠ 3
D ∠ 4
E ∠ 5
F ∠ 6
G ∠ 7
H ∠ 8
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567 8
k
m
nR
espu
esta
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Los ángulos correspondientes son pares de ángulos que están en la misma posición relativamente transversal como se muestra arriba.
Ángulos Correspondientes
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567 8
k
n
m
Existen cuatro pares de ángulos correspondientes formados cuando se intersecan dos rectas.
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10 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 1?
123 4
567 8
k
m
n
Res
pues
ta
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11 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 7?
123 4
567 8
k
m
nR
espu
esta
Slide 45 / 207
12 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 6?
123 4
567 8
k
m
n
Res
pues
ta
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13 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 4?
123 4
567 8
k
m
n
Res
pues
ta
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Existen dos pares formados por la transversal; se muestran en rojo y azul.
Ángulos Interiores Alternos
3 4
56
k
m
n
Los ángulos interiores alternos son ángulos interiores que están en lados opuestos de la transversal.
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Existen dos pares formados por la transversal; se muestran en rojo y azul.
Ángulos Interiores Alternos
3 4
56
k
m
n
Los ángulos interiores alternos son ángulos interiores que están en lados opuestos de la transversal.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6Enfatiza separar las palabras para entender el significado.
Alterno significa "opuesto"Interior significa "dentro de"
Así que ángulos interiores alternos están en los lados opuestos de la transversal y adentro de las otras 2 rectas.
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Ángulos Exteriores Alternos
12
7 8
k
m
n
Existen dos pares formados por una transversal; se muestran arriba en rojo y azul.
Los ángulos exteriores alternos son ángulos exteriores que están en lados opuestos de una transversal.
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Ángulos Exteriores Alternos
12
7 8
k
m
n
Existen dos pares formados por una transversal; se muestran arriba en rojo y azul.
Los ángulos exteriores alternos son ángulos exteriores que están en lados opuestos de una transversal.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6Enfatiza separar las palabras para entender el significado.
Alterno significa "opuesto"Exterior significa "dentro de"
Así que ángulos exteriores alternos están en los lados opuestos de la transversal y afuera de las otras 2 rectas.
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14 ¿Cuál es el ángulo interior alterno que se aparea con ∠ 3?
A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4
E ∠5F ∠6G ∠7H ∠8
123 4
567 8
k
m
n
Res
pues
ta
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15 ¿Cuál es el ángulo exterior alterno que se aparea con ∠ 7?
123 4
567 8
k
m
nA ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠5F ∠6G ∠ 7H ∠8
Res
pues
ta
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123 4
567 8
k
m
n
16 ¿Cuál es el ángulo exterior alterno que se aparea con ∠ 2?
A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠5F ∠6G ∠7H ∠8
Res
pues
ta
Slide 52 / 207
123 4
567 8
k
m
n
17 ¿Cuál es el ángulo interior alterno que se aparea con ∠ 6?
A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠5F ∠6G ∠7H ∠8
Res
pues
ta
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Ángulos interiores del mismo lado
Hay dos pares de ángulos formados por la transversal, se muestran en rojo y en azul.
3 4
56
k
m
n
Los ángulos interiores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.
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Ángulos interiores del mismo lado
Hay dos pares de ángulos formados por la transversal, se muestran en rojo y en azul.
3 4
56
k
m
n
Los ángulos interiores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6Enfatiza separar las palabras para entender su significado.
Igual lado significa "sobre el mismo lado", Interior significa
"adentro de"Así que los ángulos interiores del mismo lado están sobre el mismo lado de la transversal y adentro de las otras 2 rectas.
Nota: conocidos como ángulos interiores consecutivos
Slide 54 (Answer) / 207
Ángulos Exteriores del mismo lado
12
7 8
k
m
n
Los ángulos exteriores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.
Hay dos pares de ángulos formados por la transversal, se muestran en rojo y en azul.
Slide 55 / 207
Ángulos Exteriores del mismo lado
12
7 8
k
m
n
Los ángulos exteriores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.
Hay dos pares de ángulos formados por la transversal, se muestran en rojo y en azul.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6Enfatiza separar las palabras para entender su significado.
Igual lado significa "sobre el mismo lado", Interior significa
"adentro de"Así que los ángulos interiores del mismo lado están sobre el mismo lado de la transversal y adentro de las otras 2 rectas.
Nota: conocidos como ángulos interiores consecutivos
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123 4
567 8
k
m
n
18 ¿Cuál es el ángulo interior del mismo lado que se aparea con ∠ 6?
A ∠1B ∠2C ∠3D ∠4E ∠6F ∠7G ∠ 8
Res
pues
ta
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123 4
567 8
k
m
n
19 ¿Cuál es el ángulo exterior del mismo lado que se aparea con ∠ 7?
A ∠ 1B ∠ 2C ∠ 3D ∠ 4E ∠ 6F ∠ 7G ∠ 8
Res
pues
ta
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123 4
567 8
k
m
n
b. ∠ 1 y ∠ 3
c. ∠ 1 y ∠ 5
d. ∠ 3 y ∠ 6
e. ∠ 3 y ∠ 5
f. ∠ 3 y ∠ 8
Desliza cada palabra dentro del recuadro apropiado para clasificar cada par de ángulos.
Clasificando ángulos
Exteriores alternos
Interior Igual Lado VerticalCorrespondiente
igual lado Interiores Alternos
Par lineal
a. ∠ 1 y ∠ 2
Res
pues
ta
Slide 58 / 207
1 23 4
5 67 8
kj
t
20 ∠ 3 y ∠ 6 son...
A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos
Res
pues
ta
Slide 59 / 207
1 23 4
5 67 8
kj
t
21 ∠ 1 y ∠ 6 son ____.
A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos
Res
pues
ta
Slide 60 / 207
1 23 4
5 67 8
kj
t
22 ∠ 2 y ∠ 7 son ____.
A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos
Res
pues
ta
Slide 61 / 207
1 23 4
5 67 8
kj
t
23 ∠ 4 y ∠ 8 son ____.
A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos R
espu
esta
Slide 62 / 207
1 23 4
5 67 8
kj
t
24 ∠ 1 y ∠ 7 son ____.
A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos R
espu
esta
Slide 63 / 207
1 23 4
5 67 8
kj
t
25 ∠ 5 y ∠ 8 son ____.
A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos
Res
pues
ta
Slide 64 / 207
1 23 4
5 67 8
kj
t
26 ∠ 2 y ∠ 5 son ____.
A Ángulos correspondientesB Ángulos exteriores alternosC Ángulos exteriores del mismo ladoD Ángulos verticalesE Ninguno de esos
Res
pues
ta
Slide 65 / 207
Rectas paralelas y demostraciones
Volver a la tabla de contenidos
Laboratorio- Comenzando un negocio-Hoja de trabajo
Laboratorio- Comenzando un negocio- Diapositivas para el profesor
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Rectas paralelas y demostraciones
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Laboratorio- Comenzando un negocio-Hoja de trabajo
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Prác
tica
de
mat
emát
ica
Este laboratorio direcciona a MP1, MP3, MP4, MP6 y MP7
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Además de los postulados y teoremas usados hasta ahora, hay tres propiedades esenciales de congruencia en las que
nos vamos a basar a medida que avancemos.
Existen también cuatro propiedades de igualdad, tres de las cuales están muy cercanamente relacionadas para coincidir
con las propiedades de congruencia.
Propiedades de congruencia e igualdad
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Todas ellas representan una suerte de sentido común que Euclides habría descripto como una Comprensión Común y
los que ahora llamamos Axioma.
Las propiedades de congruencia son ciertas para todas las cosas congruentes: segmentos, ángulos y figuras.
Las propiedades de igualdad son ciertas para todas las medidas de cosas incluyendo longitudes de rectas y medidas
de ángulos.
Propiedades de congruencia e igualdad
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Una cosa siempre es congruente a sí misma.
Aunque esto es obvio será usado como una razón para demosstrar teoremas.
Por ejemplo, cuando un segmento sirve como lado para dos triángulos diferentes, podemos decir que los lados de aquellos triángulos son congruentes con la razón:
Propiedad Reflexiva de Congruencia
Propiedad Reflexiva de Congruencia
A B
CD
En el diagrama, AC ≅ AC
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Las medidas de ángulos o longitudes de lados pueden ser tomadas como que son iguales a sí mismas, incluso si
hay partes de diferentes figuras,
con la razón:
Propiedad Reflexiva de Igualdad
Propiedad Reflexiva de Igualdad
A B DC
El Postulado de la suma de segmentos nos dice que
AC = AB + BC y BD = CD + BC
La Propiedad Reflexiva de la Igualdad indica que la logitud BC es igual a sí misma en ambas ecuaciones.
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Propiedad Simétrica de Congruencia
Si una cosa es congruente a otra, la segunda cosa también es congruente a la primera.
De nuevo, esto es obvio pero permite reversar el orden de las afirmaciones sobre las propiedades congruentes con la razón:
Propiedad Simétrica de Congruencia
Por ejemplo:
∠ABC es congruente a ∠DEF que ∠DEF es congruente a ∠ABC,
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Propiedad Simétrica de Igualdad
Si una cosa es congruente a otra, la segunda cosa también es igual a la primera.
De nuevo, esto es obvio pero permite reversar el orden de las afirmaciones sobre las propiedades de la igualdad con la razón:
Propiedad Simétrica de Igualdad
Por ejemplo:
Si m∠ ABC = m∠ DEF, entonces m∠ DEF = m∠ ABC,
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Si dos cosas son congruentes a una tercera cosa, entonces ellas también son congruentes entre sí.
De manera que si ΔABC es congruente a ΔDEF y ΔLMN también es congruente a ΔDEF, entonces podemos decir que ΔABC es congruente a ΔLMN debido a
con la razón:
Propiedad Transitiva de Congruencia
Propiedad Transitiva de la Congruencia
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Si dos cosas son iguales a una tercera cosa, entonces son también iguales entre sí.
Si m∠A = m∠B y m∠C = m∠B, entonces m∠A = m∠C
Esto es idéntico a la propiedad transitiva de la congruencia excepto si trata con las medidas de cosas en lugar que con
las cosas.
Propiedad Transitiva de Igualdad
Propiedad Transitiva de Igualdad
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Si una cosa es igual a otra, entonces puede ser sustituída por otra.
Este es un paso común en una demostración donde una cosa es probada igual a otra y reemplazada por otra en una expresión usando la razón:
Propiedad de Sustitución de la Igualdad
Por ejemplo si x + y = 12, y x = 2y
Podemos sustituir 2y por x para obtener
2y + y = 12
y usar la propiedad de la división para obtener y = 4
Propiedad de Sustitución de la Igualdad
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Teorema de los ángulos correspondientes
De acuerdo a los ángulos correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?
Si las rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
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Podríamos elegir cualquier par de ángulos correspondientes: ∠2 y ∠6; ∠3 y ∠7; ∠1 y ∠5; o ∠4 y ∠8.
Juntos vamos a probar que ∠2 y ∠6 son congruentes.
Para clarificar el argumento, vamos a comprobar que un par de aquellos ángulos son iguales. Puedes seguir el mismo enfoque para demostrar los otros tres pares de ángulos iguales.
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Demostración de ángulos correspondientes
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Dado: que la recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Demostar: m∠2 = m∠6
Demostración de ángulos correspondientes
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Afirmación 1 La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Razón 1Dado
Propiedad Transitiva de Congruencia
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Afirmación 1 La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Razón 1Dado
Propiedad Transitiva de Congruencia
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Prác
tica
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MP7Deje en claro que para
cualquier demostración el primer paso es comenzar con lo "Dado". Luego, se
usan las propiedades de la primer afirmación para hacer preguntas y continuar para
resolver la demostración
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Quinto Postulado: Que si una recta al incidir sobre dos líneas rectas hace los ángulos internos menores que dos ángulos
rectos, las dos rectas al prolongarse indefinidamente se encontrarán en el lado sobre el cuál están los dos ángulos
menores que los dos ángulos rectos.
Recuerda el Quinto Postulado de Euclides. El que no gustó pero que igual necesitan.
Quinto Postulado de Euclides
Demostración de ángulos correspondientes
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Quinto Postulado de Euclides
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3 4
Recuerda que anteriormente en esta unidad hemos aprendido que esto significa que...
Si los pares de ángulos interiores sobre ambos lados de la
transversal, (tanto ∠1 y ∠3 o ∠2 ∠4) suman 180º, las dos rectas rojas son paralelas...y nunca se juntan.
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27 De modo que, en este caso, ¿qué ángulos deberán sumar 180º en base al quinto postulado de Euclides?
A ∠1 y ∠4
B ∠6 y ∠8
C ∠4 y ∠5
D ∠3 y ∠6
E Todos los de arriba
Res
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Razón 2Quinto Postulado de Euclides
Afirmación 2 ∠3 y ∠6 son suplementarios∠4 y ∠5 son suplementarios
¿Qué otros ángulos son suplementarios a ∠3, debido a que juntos forman un ángulo recto? ¿Qué podemos decir sobre ∠6?
Demostración de ángulos correspondientes
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Razón 2Quinto Postulado de Euclides
Afirmación 2 ∠3 y ∠6 son suplementarios∠4 y ∠5 son suplementarios
¿Qué otros ángulos son suplementarios a ∠3, debido a que juntos forman un ángulo recto? ¿Qué podemos decir sobre ∠6?
Demostración de ángulos correspondientes
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ica Las preguntas en esta
diapositiva direccionan a MP2 y MP3.
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Razón 3Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
Afirmación 3 ∠2 & ∠3 son suplementarios
¿Qué sabemos sobre los ángulos suplementarios?
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nDemostración de ángulos correspondientes
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Razón 3Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
Afirmación 3 ∠2 & ∠3 son suplementarios
¿Qué sabemos sobre los ángulos suplementarios?
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nDemostración de ángulos correspondientes
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diapositiva direccionan a MP2 y MP4..
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Razón 4Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales
Afirmación 4 m∠2 = m∠6
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nDemostración de ángulos correspondientes
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Afirmación Razón
1La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Dado
2 ∠4 y ∠5 son suplementarios ∠3 y ∠6 son suplementarios
Quinto Postulado de Euclides
3 ∠3 & ∠2 son suplementariosLos ángulos que forman un par lineal son suplementarios
4 m∠2 = m∠6 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales
Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Prueba: m∠2 = m∠6
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nDemostración de ángulos correspondientes
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Propiedades de las Rectas Paralelas
Este es un resultado importante, que fue sólo hecho posible por el Quinto Postulado de Euclides.
Esto lleva a otros importantes resultados. Nos permite probar algunos otros pares de ángulos suplementarios.
Y, funciona en reversa, si se encuentra cualquiera de esas condiciones podemos comprobar que las rectas son paralelas.
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Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas
Hemos demostrado que si dos rectas son paralelas, sus ángulos correspondientes son iguales.
El opuesto debería también ser cierto:
Si dos rectas son cortadas por una transversal y sus ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
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Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas
Hemos demostrado que si dos rectas son paralelas, sus ángulos correspondientes son iguales.
El opuesto debería también ser cierto:
Si dos rectas son cortadas por una transversal y sus ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
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Teac
her N
otes
You might need to explain the difference between an original if-then statement and its converse, which is formed by switching the hypothesis & conclusion.Ex: Original: If it is 3pm in New Jersey, then it is 1pm in Colorado.Converse: If it is 1pm in Colorado, then it is 3pm in New Jersey.
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Para cada caso se usa la misma razón: los ángulos correspondientes de las rectas paralelas son iguales.
Demostrar la relación entre ciertos ángulos si sabemos que las rectas son paralelas.
O
Probar que las rectas son paralelas si sabemos la relación entre aquellos ángulos.
Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas
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Este patrón será cierto de cada teorema demostramos sobre los ángulos formados por la intersección transversal de las rectas paralelas.
Esto prueba la relación entre las rectas sabiendo que son paralelas, o prueba que las rectas son paralelas.
Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas
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Teorema de los Ángulos Interiores Alternos
De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores Alternos, ¿cuál de esos ángulos son congruentes?
Si rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.
Res
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Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Probar: ∠ 3 ≅ ∠ 5 y ∠ 4 ≅ ∠ 6
Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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Afirmación 1 La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Razón 1Dado
De acuerdo al Teorema de los Ángulos Correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?
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Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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Afirmación 1 La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Razón 1Dado
De acuerdo al Teorema de los Ángulos Correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?
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Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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ica Las preguntas en esta
diapositiva direccionan a MP3 y MP6.
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Razón 2Cuando dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son congruentes.
Afirmación 2 ∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6
¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 1? ¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 2? ¿Por qué esos ángulos son congruentes?
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Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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Razón 2Cuando dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son congruentes.
Afirmación 2 ∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6
¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 1? ¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 2? ¿Por qué esos ángulos son congruentes?
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Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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Prác
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ica Las preguntas en esta
diapositiva direccionan a MP3, MP6 y MP7.
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Razón 3Los ángulos verticales son congruentes
¿Qué sabemos de los ángulos que son congruentes al mismo ángulo? Explica tu respuesta.
Afirmación 3 ∠1 ≅ ∠3 ∠2 ≅ ∠4
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Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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Razón 3Los ángulos verticales son congruentes
¿Qué sabemos de los ángulos que son congruentes al mismo ángulo? Explica tu respuesta.
Afirmación 3 ∠1 ≅ ∠3 ∠2 ≅ ∠4
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Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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diapositiva direccionan a , MP2, MP3 y MP6.
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Razón 4Propiedad Transitiva de Congruencia
Afirmación 4 ∠3 ≅ ∠5 ∠4 ≅ ∠6
Pero aquellos son los pares de ángulos interiores alternos que tenemos que demostrar que son congruentes. Así que nuestra prueba esta completa: los Ángulos Alternos Interiores de las Rectas Paralelas son congruentes.
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Demostración de Ángulos Interiores Alternos
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Afirmación Razón
1La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
Dado
2 ∠1 ≅ ∠5 y ∠2 ≅ ∠6
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son ≅
3 ∠1 ≅ ∠3 y ∠2 ≅ ∠4 Los ángulos verticale son ≅
4 ∠3 ≅ ∠5 y ∠4 ≅ ∠6Propiedad Transitiva de la Congruencia
Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas con la recta n
Probar: ∠3 ≅ ∠5 ∠4 ≅ ∠6
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nDemostración de Ángulos Interiores Alternos
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Teorema de los Ángulos Interiores Alternos
Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos interiores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
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Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores son congruentes.
De acuerdo al Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos ¿con qué ángulos son congruentes?
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Ya que la demostración para el Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos es muy similar al Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos se completará esta demostración como una parte del trabajo en la casa para esta lección.
Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos
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Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos Opuestos
Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos exteriores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
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Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.
De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado ¿qué pares de ángulos son suplementarios?
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Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.
De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado ¿qué pares de ángulos son suplementarios?
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Ans
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According to Same-Side Interior Angles Theorem:m<3+m<6=1800
m<4+m<5=1800
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Demostración de Ángulos Interiores del mismo lado
Dado: Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
Prueba: ∠3 y ∠6 son suplementarios y ∠4 y ∠5 son suplementarios
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28 ¿Qué razón aplica al paso 1?
Afirmación Razón
1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
?
2m∠ 3 + m∠ 6 = 180ºm∠ 4 + m∠ 5 = 180º
?
3 ? Definición de ∠ s suplementarios
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nA Definición de suplementarioB Quinto Postulado de EuclidesC DadoD Los ∠s Interiores Alternos son ≅E Los ∠s Correspondientes are ≅
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29 ¿Qué razón aplica al paso 2?
Afirmación Razón
1 La recta m y k son paralelas e intersecados por la recta n ?
2m∠ 3 + m∠ 6 = 180ºm∠ 4 + m∠ 5 = 180º
?
3 ? Definición de ∠ s suplementario
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A Definición de suplementarioB Quinto Postulado de EuclidesC DadoD Los ∠s Interiores Alternos son ≅E Los ∠s Correspondientes are ≅
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30 ¿Qué afirmación sería la del paso 3?
ABCDE
Afirmación Razón
1La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n
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2 Las sumas de m∠3 y m∠6 y de m∠4 y m∠5 son 180º.
?
3 ? Definición de ángulos suplementarios
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∠3 y ∠6 son suplementarios∠6 y ∠5 son suplementarios∠2 y ∠6 son suplementarios∠4 y ∠5 son suplementarios∠3 y ∠5 son suplementarios
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Afirmación Razón
1 Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n Dado
2m∠ 3 + m∠ 6 = 180ºm∠ 4 + m∠ 5 = 180º
Quinto Postulado de Euclides
3∠ 3 y ∠ 6 son suplementarios∠ 4 y ∠ 5 son suplementarios
Definición de ∠ s suplementarios
Demostración de ángulos interiores del mismo lado
Dado: La recta m y la recta k sonparalelas e intersecadas por la recta n
Prueba: ∠3 y ∠6 son suplementariosy ∠4 y ∠5 son suplementarios
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Teorema de los ángulos interiores opuestos del mismo lado
Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
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Teorema de los Ángulos Exteriores del mismo lado
Si dos rectas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores del mismo lado son suplementarios.
De acuerdo al Teorema de los Ángulos Exteriores del mismo lado ¿qué ángulos son suplementarios?
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Demostración de Ángulos Exteriores del mismo lado
Dado: Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
Prueba: ∠2 y ∠7 son suplementarios
Demostrando que ∠2 y ∠7 son suplementarios estamos probando además que ∠1 y ∠8 son suplementarios ya que el mismo argumento aplica a ambos pares de ángulos.
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31 ¿Qué razón aplica al paso 1?A Definición de ∠s suplementariosB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD ∠s que forman un par lineal son
suplementarios
Afirmación Razón
1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
?
2 ? Los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios
3 ? Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?
5 ∠2 y ∠7 son suplementarios ?
E ∠s suplementarios al mismo ∠ are ≅
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Afirmación Razón
1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
?
2 ? Ángulos Interiores del mismo lado son suplementarios
3 ? Ángulos que forman un par lineal son suplementarios
4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?
5 ∠2 y ∠7 son suplementarios ?
32 ¿Qué afirmación se hace en el paso 2?
A ∠2 y ∠1 son suplementariosB ∠7 y ∠8 son suplementariosC ∠3 y ∠6 son suplementariosD ∠4 y ∠5 son suplementariosE ∠5 y ∠8 son suplementarios
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33 ¿Que afirmación se hace en el paso 3?ABCDE
∠2 y ∠3 son suplementarios∠1 y ∠3 son suplementarios ∠6 y ∠8 son suplementarios∠6 y ∠7 son suplementarios∠7 y ∠1 son suplementarios
Afirmación Razón
1 La rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n ?
2 ? Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios
3 ? Ángulos que forman un par lineal son suplementarios
4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?
5 ∠2 y ∠7 son suplementarios ?
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Afirmación Razón
1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
?
2 ? Ángulos del mismo lado interior son suplementarios
3 ? Ángulos que forman un par lineal son suplementarios
4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 ?
5 ∠2 y ∠7 son suplementarios ?
34 ¿Qué razón aplica al paso 4?A Definición de ∠s suplementariosB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD ∠s que forman un par lineal
son suplementarios E ∠s suplementarios al mismo ∠ son ≅
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35 ¿Qué razón aplica al paso 5?
Afirmación Razón
1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas a la recta n
?
2 ? Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios
3 ? Ángulos que forman un par lineal son suplementarios
4 ∠ 2 ≅ ∠ 6 y ∠ 3 ≅ ∠ 7 ?
5 ∠ 2 y ∠ 7 son suplementarios ?
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nA Definición de ∠s suplementariosB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC Dado
D ∠s que forman un par lineal son suplementarios
E ∠s suplementarios al mismo ∠ son ≅
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Demostración de ángulos exteriores del mismo lado
Afirmación Razón
1Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
Dado
2 ∠3 y ∠6 son suplementarios Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios
3 ∠2 y ∠3 son suplementarios∠6 y ∠7 son suplementarios
´Ángulos que forman un par lineal son suplementarios
5 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7 Ángulos suplementarios al mismo ángulo son congruentes
6 ∠2 y ∠7 son suplementarios Propiedad de sustitución de la igualdad
Dado: La rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n
Prueba: ∠2 y ∠7 son suplementarios(y así que ∠1 y ∠8 lo son también)
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Teorema del Ángulo Exterior del mismo lado
Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos exteriores del mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
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Propiedades de las Rectas Paralelas
Volver a la Tabla de Contenidos
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Propiedades de las Rectas Paralelas
Existen varios teoremas y postulados relacionados a las rectas paralelas. Vaya, por favor al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas".
Click aquí para ir al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas"
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Propiedades de las Rectas Paralelas
Existen varios teoremas y postulados relacionados a las rectas paralelas. Vaya, por favor al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas".
Click aquí para ir al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas"
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emát
ica
Este laboratorio direcciona a MP1, MP3, MP4, MP5, MP6, MP7
y MP8
Slide 119 (Answer) / 207
123 4
567 8
k
n k ║m
m
Ejemplo: si m∠4 = 54º, calcula la m∠8.
Explica tu respuesta.
Propiedades de las Rectas Paralelas
Res
pues
ta
Slide 120 / 207
Ejemplo: si m∠3 = 125º, calcula la m∠5.
Explica tu respuesta.
123 4
567 8
k
n k ║m
m
Propiedades de las Rectas ParalelasR
espu
esta
Slide 121 / 207
Ejemplo: si m∠2 = 78º, calcula la m∠8.
Explica tu respuesta.
123 4
567 8
k
m
n k║m
Propiedades de las Rectas Paralelas
Res
pues
ta
Slide 122 / 207
Ejemplo: si m∠3 = 163º, calcula m∠6. Explica tu respuesta.
123 4
567 8
k
m
n k ║m
Propiedades de las Rectas Paralelas
Res
pues
ta
Slide 123 / 207
Nombra todos los ángulos congruentes con ∠1.
123 4
567 8
k
m
n k ║m
Propiedades de las Rectas ParalelasR
espu
esta
Slide 124 / 207
Nombra todos los ángulos suplementarios a ∠1.
123 4
567 8
k
m
n k ║m
Propiedades de las Rectas Paralelas
Res
pues
ta
Slide 125 / 207
36 Encuentra todos los ángulos congruentes a ∠ 5.A ∠1B ∠4C ∠8D todos los de arriba
1 23 4
5 687
j ║ m
j
m
k
Res
pues
ta
Slide 126 / 207
37 Calcula el valor de x.
j
m5x+30
120º
j ║m
kR
espu
esta
Slide 127 / 207
38 Calcula el valor de x.
j
m1.5x+40
110º
j ║ mk
Res
pues
ta
Slide 128 / 207
39 Si la m∠ 4 = 116º entonces m∠ 9 = _____º?
k ║m
n ║p
n p
2 13 4
567 8
91011 12
1314 15 16
k
m
Res
pues
ta
Slide 129 / 207
40 Si la m∠ 15 = 57º, entonces la m∠ 2 = _____º.
A 57B 123C 33D ninguno de los de arriba
k ║m
n ║p
n p
2 13 4
567 8
91011 12
1314 15 16
k
m
Res
pues
ta
Slide 130 / 207
Con el diagrama dado, existen no transversales, pero podemos extender una de las rectas para armar una transversal.
Extendiendo rectas para armar transversales
131º
1
41º
Calcula m∠1.
Slide 131 / 207
Luego completa el ángulo que es correspondiente al ángulo de 131º. ¿Qué ángulo corresponde a 131º?
131º
1
41º
Calcula m∠1.
Extendiendo rectas para armar transversales
Res
pues
ta
B
Slide 132 / 207
Luego completa la medida del ángulo adyacente a 131º que está dentro del triángulo. ¿Cuál es la medida de este ángulo? Explica tu respuesta.
131º
1
41º
131º
Calcula m∠1.
Extendiendo rectas para armar transversalesR
espu
esta
Slide 133 / 207
Como se recordará, el tercer ángulo en el triángulo debe hacer que la suma de los ángulos sea igual a 180º. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo del triángulo?
131º
1
41º
131º49º
Calcula m∠1.
Extendiendo rectas para armar transversales
Res
pues
ta
Slide 134 / 207
Y, finalmente el ángulo 1 es suplementario al ángulo de 90º. ¿Cuál es la m∠ 1?
131º
1
41º
131º49º
90º
Calcula m∠1.
Extendiendo rectas para armar transversales
Slide 135 / 207
Y, finalmente el ángulo 1 es suplementario al ángulo de 90º. ¿Cuál es la m∠ 1?
131º
1
41º
131º49º
90º
Calcula m∠1.
Extendiendo rectas para armar transversales
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica La pregunta en esta
diapositiva direcciona a MP2.
Slide 135 (Answer) / 207
m∠1 = 90º
131º
1
41º
131º49º
90º
Calcula m∠1.
Extendiendo rectas para armar transversales
Slide 136 / 207
Calcula los valores de x e y.
Transversales dobles
132º
xº
(4y+12)º
Res
pues
ta
Slide 137 / 207
(14x+6)º 66º
2zº
(3y-6)º
Calcula los valores de x, y, z.
Rectas Transversales y PerpendicularesR
espu
esta
Slide 138 / 207
41 Calcula la m∠1.
1
126º
110º
Res
pues
ta
Slide 139 / 207
42 Calcula el valor de x.
(3x)º
54º
A 12B 54C 42D 18
Res
pues
ta
Slide 140 / 207
43 Calcula el valor de x.
(2x-3)º
(4x-61)º
Res
pues
ta
Slide 141 / 207
122º
(16x+10)º
44 Calcula el valor de x.
Res
pues
ta
Slide 142 / 207
Si m∠3 = 56º, calcula la m∠7 que hace que la rectas k y m sean paralelas.
Explica tu respuesta.
123 4
567 8
k
m
n
Demostración de Rectas Paralelas
Res
pues
ta
Slide 143 / 207
Si m∠4 = 110º, calcula la m∠6 que hace que las rectas k y m sean paralelas.
Explica tu respuesta.
123 4
567 8
k
m
n
Demostración de Rectas ParalelasR
espu
esta
Slide 144 / 207
Si m∠1 = 48º, calcula la m∠7 que hace que las rectas k y m sean paralelas.
Explica tu respuesta.
123 4
567 8
k
m
n
Demostración de Rectas Paralelas
Res
pues
ta
Slide 145 / 207
Si m∠5 = 54º, calcula la m∠4 que hace que las rectas k y m sean paralelas.
Explica tu respuesta.
123 4
567 8
k
m
n
Demostración de Rectas Paralelas
Res
pues
ta
Slide 146 / 207
45 ¿Qué afirmación demostraría que las rectas k y m son paralelas?
12
3 4
567 8
k
m
n
A m∠2 = m∠4B m∠5 + m∠6 =180ºC m∠3 = m∠5
D m∠1 + m∠5 =90º Res
pues
ta
Slide 147 / 207
46 En este diagrama, ¿qué opción de las siguientes es correcta?
123º64º 57º
132º
e f g
h
i
A e║fB f║gC h║i
D e║g
Res
pues
ta
Slide 148 / 207
47 Si las rectas a y b son cortadas por una transversal, ¿cuál de las siguientes No probaría que son paralelas?
A Los ángulos correspondientes son congruentes.B Los ángulos interiores alternos son congruentes.C Los ángulos interiores del mismo lado
complementarios.
D Los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.
E Todas las de arriba.
Res
pues
ta
Slide 149 / 207
48 Calcula el valor de x para el que a║b.
a
bxº
115º
d Res
pues
ta
Slide 150 / 207
49 Calcula el valor de x que hace a║b.
(6x-20)º
2xº
a
b
cd
Res
pues
ta
Slide 151 / 207
50 Calcula el valor de x para el cual m║n.
m
n
(14x - 10)º
(5x)º
Res
pues
ta
Slide 152 / 207
51 Si a║b, ¿cómo podemos probar que m∠ 1 = m∠ 4?
A Teorema de los ángulos correspondientesB Teorema de los ángulos correspondientes opuestosC Teorema de los ángulos interiores alternosD Teorema de los ángulos interiores alternos
opuestos
ab
c1 4
32
Res
pues
ta
Slide 153 / 207
52 Si m∠ 1 = m∠ 3, ¿cómo podemos demostrar a║b?
A Teorema de los ángulos correspondientesB Teorema de los ángulos correspondientes opuestosC Teorema de los ángulos interiores alternosD Teorema de los ángulos interiores alternos
opuestos
ab
c1 4
32
Res
pues
ta
Slide 154 / 207
53 Dado m∠ 1 = m∠ 2, m∠ 3 = m∠ 4, ¿qué podemos probar? (elige todas las que aplican)A a║bB c║dC la recta a es perpendicular a la recta cD la recta b es perpendicular a la recta d
ab
d
12
3
4 5 c
Res
pues
ta
Slide 155 / 207
54 Dado a║b, ¿qué podemos probar?
A m∠1 = m∠2B m∠1 = m∠4C m∠2 = m∠3D m∠1 + m∠3 = 180º
ab
c1 4
32
Res
pues
ta
Slide 156 / 207
Construcción de rectas paralelas
Volver a la tabla de contenidos
Slide 157 / 207
Construcción de rectas paralelas
Volver a la tabla de contenidos
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Prác
tica
de
mat
emát
ica La lección entera con
construcciones direcciona a MP5
Slide 157 (Answer) / 207
Construcción de Rectas Paralelas
Construir figuras geométrica significa construir rectas, ángulos y figuras con herramientas básicas adecuadas.
Podemos usar un compás, una regla para construcciones, pero también podemos usar técnicas de plegado de papel.
Click aquí para ver una animación de la construcción de una recta
paralela a otra que pasa a través de un punto
Construction by: MathIsFun
Slide 158 / 207
Dado: La recta AB y un punto C, que no está sobre la recta, dibuja una segunda recta que sea paralela a AB y que pase por el punto C.Hay tres diferentes métodos para lograr esto.
Método 1: Ángulos correspondientes
A
C
B
Construcción de Rectas Paralelas
Slide 159 / 207
La teoría de esta construcción es que los ángulos correspondientes formados por una transversal y las rectas paralelas son iguales.
Para usar esta teoría, dibujaremos una transversal a través de C que forma un ángulo agudo con la recta AB.
Entonces formaremos un ángulo congruente a C sobre el mismo lado de la transversal como el ángulo agudo formado con la recta AB.
Ya que esos son ángulos correspondientes congruentes, las rectas son paralelas.
A
C
B
Construcción de Rectas Paralelas: Método 1
Slide 160 / 207
Paso 1: Dibuja una transversal a AB pasando por el punto C y que corte a AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice (la medida del ángulo no es importante)
A
C
BD
El ángulo CDB es el ángulo que replicaremos en el punto C sobre el mismo lado de la transversal.
Construcción de Rectas Paralelas: Método 1
Slide 161 / 207
A
C
BD
F
E
Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco que corte a ambas rectas. Usando el mismo radio del compás, haz centro en el punto C y dibuja otro arco. Coloca el nombre F al punto de intersección sobre el segundo arco.
Estamos siguiendo el procedimiento que usamos previamente para construir un ángulo congruente.
Este paso es marcar las mismas distancias desde D y desde C.
Construcción de Rectas Paralelas: Método 1
Slide 162 / 207
Paso 3: ubica el radio del compás a la distancia entre los dos puntos de intersección del primer arco.
A
C
BD
F
Esto replica la distancia entre donde el arco corta a los dos catetos del ángulo a la misma distancia desde el vértice.
Cuando eso es replicado en C el ángulo construido será congruente con el ángulo original.
Construcción de Rectas Paralelas: Método 1
Slide 163 / 207
Paso 4: Centra el compás en el punto F donde el segundo arco corta la recta DC y dibuja un tercer arco.
A
C
BD
FEsto asegura que la longitud del arco para cada ángulo sea idéntica.
Construcción de Rectas Paralelas: Método 1
Slide 164 / 207
Paso 5: Marca la intersección del arco con el punto E y usa el lado de una escuadra para unir C y E.
A
C
BD
F
E
Construcción de Rectas Paralelas: Método 1
∠CDB ≅ ∠FCE así que AB║CE
Slide 165 / 207
Aquí están las rectas paralelas construidas sin las líneas auxiliares de construcción.
A BD
C E
Construcción de Rectas Paralelas: Método 1
Slide 166 / 207
Video de demostración de construcción de rectas paralelas con ángulos
correspondientes usando el Software de Geometría Dinámica
Click aquí para ver el video
Slide 167 / 207
La teoría de esta construcción es que los ángulos interiores alternos formados por una transversal y las rectas paralelas son iguales.
Para usar esta teoría, dibujaremos una transversal a través de C que forma un ángulo agudo con la recta AB.
Luego armaremos un ángulo congruente en C, sobre el lado opuesto de la transversal como el ángulo formado con la recta AB.
Ya que existen ángulos interiores alternos congruentes las rectas son paralelas.
A
C
B
Construcción de Rectas Paralelas: Método 2
Slide 168 / 207
A B
C
Método 2: Ángulos Interiores AlternosDado AB y el punto C, fuera de la recta, dibuja una segunda recta que sea paralela a AB y que pase por el punto C.
Slide 169 / 207
A B
C
D
Método 2: Ángulos Interiores AlternosPaso 1: Dibuja una transversal a la recta AB pasando por el punto C que corte a la recta AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice.
El ángulo CDB es el ángulo que replicaremos en el punto C sobre el lado opuesto de la transversal.
Slide 170 / 207
A B
C
D
F
E
Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco que corte ambas rectas en los puntos E y F.
Estamos siguiendo el procedimiento que usamos previamente para construir un ángulo congruente.
Este paso es marcar la misma distancia igual desde D sobre ambas rectas.
Método 2: Ángulos Interiores Alternos
Slide 171 / 207
A B
C
D
F
E
G
Paso 3: Usando el mismo radio, centra el compás en el punto C y dibuja un arco que pase a través de la recta DC y el punto G.
Esto replica la misma distancia entre la transversal y la nueva recta que se dibujará desde C como fue hecha para la distancia desde D.
Método 2: Ángulos Interiores Alternos
Slide 172 / 207
A B
C
D
F
E
G
H
Paso 4: De nuevo, con el mismo radio, centra el compás en el punto G y dibuja un tercer arco que corte al anterior en H.
Calcula ahora la misma distancia desde donde el arco corta a la transversal y la nueva recta como fue para el caso de la transversal y la recta original.
Método 2: Ángulos Interiores Alternos
Slide 173 / 207
A B
C
D
F
E
G
H
Paso 5: Dibuja la recta CH, que será paralela a la recta AB ya que sus ángulos interiores alternos son congruentes.
Ya que los ángulos HCG y BDF son congruentes y son ángulos interiores alternos, las rectas son paralelas.
Método 2: Ángulos Interiores Alternos
Slide 174 / 207
A B
C
D
H
Aquí están las rectas construidas sin los pasos de construcción mostrados.
Método 2: Ángulos Interiores Alternos
Slide 175 / 207
Video de demostración de la construcción de Rectas Paralelas con Ángulos Interiores Alternos usando el Software de Geometría
Dinámica
Click aquí para ver el video
Slide 176 / 207
A B
C
Método 3: Ángulos Exteriores AlternosDado la recta AB y el punto C, fuera de la recta dibuja una segunda recta que sea paralela a la recta AB y que pase por el punto.
Slide 177 / 207
B
C
DA
Paso 1: Dibuja una transversal a la recta AB a que pase a través del punto C que corte a la recta AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice.
Método 3: Ángulos Exteriores Alternos
Slide 178 / 207
A B
C
D
E
Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco para cortar las rectas AB y DC sobre el lado opuesto del punto C en A y E.
Método 3: Ángulos Exteriores Alternos
Slide 179 / 207
A B
C
D
F
E
Paso 3: manteniendo el mismo radio dibuja un arco centrado sobre C que corte a la recta DC arriba de C, en F.
Método 3: Ángulos Exteriores Alternos
Slide 180 / 207
A B
C
D
F
E
G
Paso 4: manteniendo el mismo radio dibuja un arco con centro en F que corte al arco con centro en C en el punto G.
Método 3: Ángulos Exteriores Alternos
Slide 181 / 207
A B
C
D
F
E
G
Paso 5: Dibuja la recta CE, que es paralela a la recta AB ya que los ángulos exteriores alternos formados por la transversal son congruentes.
∠ ADG ≅ ∠ ECF por lo tanto AB║CE
Método 3: Ángulos Exteriores Alternos
Slide 182 / 207
A B
C E
Aquí se muestran las rectas sin las líneas auxiliares de construcción.
Método 3: Ángulos Exteriores Alternos
Slide 183 / 207
Video de demostración de la construcción de los ángulos exteriores alternos usando
el Software de Geometría Dinámica
Click aquí para ver el video
Slide 184 / 207
Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado
Paso 1: Dibuja una recta en el papel de plegal. Colocale nombre como recta g. Dibuja un punto fuera de la recta g y colocale como nombre B.
gB
Slide 185 / 207
gB
Paso 2: Pliega tu papel de mota g están exactamente una arriba de la otra y el punto B esté en el pliegue.
Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado
Slide 186 / 207
Paso 3: Abre el papel plegado y dibuja una recta sobre el pliegue. Colocale el nombre como recta h.
gB
h
Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado
Slide 187 / 207
Paso 4: A través del punto B, haz otro pliegue que sea perpendicular a la recta h.
gB
h
Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado
Slide 188 / 207
Step 5: Open the patty paper and draw a line on the crease. Label this line i.
Debido a que las rectas i y g son perpendiculares a la recta h son paralelas entre sí. De modo que la recta i ║recta g.
gB
h
i
Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado
Slide 189 / 207
Video de demostración de construcción de Rectas Paralelas usando el Menú Opciones
del Software de Geometría Dinámica
Click aquí para ver el video 2
Click aquí para ver el video 1
Slide 190 / 207
C
A B
E
D
F
G
55 Las rectas en el diagrama de abajo son paralelas debido al:
A Teorema de los Ángulos Interiores Alternos B Teorema de los Ángulos Exteriores AlternosC Teorema de los Ángulos del mismo lado D Postulado de los Ángulos Correspondientes R
espu
esta
Slide 191 / 207
56 Las rectas de abajo se muestran paralelas debido a:
A Teorema de los Ángulos Interiores AlternosB Teorema de los Ángulos Exteriores AlternosC Teorema de los Ángulos del mismo ladoD Postulado de los Ángulos Correspondientes
C
A
E
D
F
G
Res
pues
ta
Slide 192 / 207
57 Las rectas de abajo se muestran paralelas debido a:
C
AD
F
G
E
A Teorema de los Ángulos Interiores AlternosB Teorema de los Ángulos Exteriores AlternosC Teorema de los Ángulos del mismo ladoD Postulado de los Ángulos Correspondientes
Res
pues
ta
Slide 193 / 207
Preguntas de muestra para la prueba PARCC
Las restantes diapositivas en esta presentación contienen preguntas tomadas de las preguntas de muestra para la prueba PARCC. Después de terminar con la unidad 3, deberías ser capaz de responder esas preguntas.
Buena Suerte!
Volver a la tabla de contenidos
Slide 194 / 207
Preguntas para la Prueba- PARCC
PARCC Preguntas de lanzamiento (EOY)
Tema: Rectas Paralelas y demostraciones
Slide 195 / 207
58 ∠CBD ≅ ∠BFE
A Dado B Definición de ángulos congruentes C Los ángulos verticales son conngruentes D Propiedad reflexiva de congruencia E Propiedad simétrica de congruencia F Propiedad transitiva de congruencia
BA
D
E
F
G
C
H
En la figura de abajo, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.
Dado: ∠CBD ≅ ∠BFEPrueba: ∠ABF ≅ ∠BFE R
espu
esta
Slide 196 / 207
59 ∠CBD ≅ ∠ ABF
BA
D
E
F
G
C
H
A Dado B Definición de ángulos congruentes C Los ángulos verticales son conngruentes D Propiedad reflexiva de congruencia E Propiedad simétrica de congruencia F Propiedad transitiva de congruencia
En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.
Dado: ∠CBD ≅ ∠BFEPrueba: ∠ABF ≅ ∠BFE
Res
pues
ta
Slide 197 / 207
BA
D
E
F
G
C
H
En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.
Dado: ∠CBD ≅ ∠BFEPrueba: ∠ABF ≅ ∠BFE
Demostración completada abajo.
Afirmación Razón
1 ∠CBD ≅ ∠ BFE Dado
2 ∠CBD ≅ ∠ ABF Los ángulos verticales son congruentes
3 ∠ ABF ≅ ∠ BFE Propiedad transitiva de la congruencia
Slide 198 / 207
Marca con círculo la razón que soporta cada recta de la demostración. PARCC pregunta de lanzamiento (EOY)
Tema: Rectas paralelas y demostraciones
Preguntas de muestra para la prueba PARCC
Slide 199 / 207
60 m∠CBD = m∠ BFEA Dado B Ángulos que forman un par lineal son suplementariosC Ángulos que son adyacentes son suplementariosD Propiedad reflexiva de la igualdadE Propiedad de sustitución de la igualdad F Propiedad transitiva de la igualdad
BA
D
E
F
G
C
H
En la figura mostrada la recta CF intersecta las rectas AD y EH en los puntos B y F respectivamente.
Dado: m∠CBD = m∠BFEPrueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º
Res
pues
ta
Slide 200 / 207
61 m∠CBD + m∠DBF = 180º
BA
D
E
F
G
C
H
En la figura mostrada la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente
Dado: m∠CBD = m∠BFEPrueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º
A Dado B Ángulos que forman un par lineal son suplementariosC Ángulos que son adyacentes son suplementariosD Propiedad reflexiva de la igualdadE Propiedad de sustitución de la igualdad F Propiedad transitiva de la igualdad
Res
pues
ta
Slide 201 / 207
62 m∠ BFE + m∠DBF = 180º
BA
D
E
F
G
C
H
En la figura mostrada la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.
Dado: m∠CBD = m∠BFEPrueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º
A Dado B Ángulos que forman un par lineal son suplementariosC Ángulos que son adyacentes son suplementariosD Propiedad reflexiva de la igualdadE Propiedad de sustitución de la igualdad F Propiedad transitiva de la igualdad
Res
pues
ta
Slide 202 / 207
BA
D
E
F
G
C
H
En la figura mostrada la recta CF interseca a las rectasAD y EH en los puntos B y F, respectivamente.
Dado: m∠CBD = m∠BFEPrueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º
Afirmación Razón
1 m∠CBD = m∠BFE Dado
2 m∠CBD + m∠DBF = 180º Ángulos que forman un par lineal son suplementarios
3 m∠BFE + m∠DBF = 180º Propiedad de sustitución de la igualdad
Slide 203 / 207
63 PARTE A Considera la construcción parcial de una recta paralela a r y pasando por el punto Q. ¿Cuál sería el paso final de la construcción?
A Dibuja una recta a través de P ySB Dibuja una recta a través de Q y SC Dibuja una recta a través de T y SD Dibuja una recta a través de W y S
La figura muestra la recta r los puntos P y T sobre la recta r y el punto Q fuera de la recta r. También se muestra la semirrecta PQ.
r
TP
Q
r
TP
Q
W
S
PARCC preguntas de lanzamiento (EOY)
Res
pues
ta
Slide 204 / 207
64 PARTE B Una vez que se completa la construcción, ¿cuál de las razones mencionadas contribuye a proveer la validación de la construcción?
A Cuando dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos correspondientes son congruentes, las rectas son paralelas.
B Cuando dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos verticales son congruentes, las rectas son paralelas.
C Definición de mediatriz (bisectriz de un segmento)D Definición de bisectriz
La figura muestra a la recta r y los puntos P and T sobre la recta r y el punto Q fuera de la recta r. También se muestra la semirrecta PQ.
r
TP
Q
r
TP
Q
W
S
Res
pues
ta
Slide 205 / 207
65 El diagrama .representa una parte de una ciudad pequeña. Las calles Maple y Pine corren exactamente de este a oeste. La avenida Oak corre exactamente de norte a sur. Todas las calles permanecen derechas.
A Las calles Birch y Elm se cortan en ángulos rectos
B Las calles Maple y Pine son paralelas.
C Si se mostrara más del mapa, La calle Elm y la avenida Oak Avenue no se cortan.
D La calle Pine corta tanto a la calle Birch como a la calle Elm.E La avenida Oak y la calle Maple son perpendiculares
Pregunta 1/7
PARCC Preguntas de lanzamiento (PBA)
Temas: Rectas intersecantes, paralelas e inclinadas
¿Qué afirmaciones son ciertas respecto a la información dada? Selecciona todas las que aplican.
Res
pues
ta
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66 ∠ ABF ≅ ∠ BFE
BA
D
E
F
G
C
H
En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente
Dado: ∠CBD ≅ ∠BFEPrueba: ∠ABF ≅ ∠BFE
A Dado B Definición de ángulos congruentes C Los ángulos verticales son conngruentes D Propiedad reflexiva de congruencia E Propiedad simétrica de congruencia F Propiedad transitiva de congruencia
Res
pues
ta
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