GRAFICAS DE FUNCIONES LINEALES
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Funciones
GRAFICAS DEFUNCIONES LINEALES
Funciones1. Coordenadas en el plano
Observa:
– La catedral está en el punto (1, 3).
– El ayuntamiento en el punto (4, 1).
Para situar un punto en el plano se necesitan dos rectas perpendiculares que se llaman ejes de coordenadas.El punto de corte de los ejes se llama origen.
• La primera se mide sobre el eje horizontal o de abscisas; se llama abscisa del punto.
• La segunda se mide sobre el eje vertical o de ordenadas; se llama ordenada del punto.
Eje de ordenadas
Eje de abscisasOrigen
– El jardín botánico en el punto (7, 2).
Este plano es el de una ciudad.
Cualquier punto tiene dos coordenadas.
O
Funciones
Eje de abscisas
Eje de ordenadas
I cuadrante
IV cuadranteIII cuadrante
II cuadrante
O
Origen
Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá:
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I)
Funciones 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II)
Primer cuadrante
Cuarto cuadrante
Tercer cuadrante
Segundo cuadrante
O
Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.
(+, +)(– , +)
(– , – ) (+, – )
• Los puntos del primer cuadrante tienen abscisa y ordenada positivas.
• Los del segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva.
• Los del tercer cuadrante tienen abscisa y ordenada negativas.
• Los del cuarto cuadrante tienen abscisa positiva y ordenada negativa.
X
Y
Funciones
Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números que se llaman coordenadas del punto.
Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5);
D (-3, -4); E (5, -5)
El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada.
Las abscisas positivas estána la derecha del origen.
Las negativas, a la izquierda.
Las ordenadas positivas estánpor encima del origen. Las negativas, por debajo.
A(4, 1)B(-2, 1)
C(0, 5)
D(-3, -4)E(5, -5)
O
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III)
Funciones
Una función puede darse mediante una tabla.
Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses).
Edad(meses)
Longitud(cm)
2 43 84 156 297 348 389 42
A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada.(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm.(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm.
La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
3. Relaciones dadas por tablas (I)
Funciones3. Relaciones dadas por tablas (II)
El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que el grifo esté goteando.
Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla:
Tiempo(minutos)
Nivel deagua (cm)
0 015 1030 1445 1760 19
A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variablenivel de agua, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una tabla.
Funciones4. Relaciones dadas por gráficas (I)
En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le corresponde una determinada altitud.
Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica:
A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente,y a la variable altura en metros, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica.
Cuando llevan 100 km recorridos es cuando están a mayor altitud.
Funciones
Una función puede darse mediante una gráfica.
Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de un coche según la velocidad a la que circula.
Si el coche va a 130 km/h, consume, aproximadamente, 8 litros cada 100 km
El consumo mínimo se consigue a 60 km/h:
punto (60, 4)
El consumo de gasolina depende (o está en función) de la velocidad del coche.
4. Relaciones dadas por gráficas (II)
Funciones
Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área.
1 cm 2 cm3 cm
l cm
1 cm2
4 cm2 9 cm2 l 2 cm2
A cada valor del lado le corresponde un área.El área es función del lado: A = l 2
Lado
Área
A = l 2
A la variable lado l se le llama variable independiente, y a la variable área, variable dependiente.
5. Relaciones dadas por fórmulas
Funciones
Consideremos otra relación dada por una fórmula: y = 2x +1
Si x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3)Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, -1)
Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, 5)
Observa que a cada número x le correspondeun único número y.El número y depende del valor dado a x.O también: y está en función de x.
A x se le llama variable independiente.
En este caso puede tomar cualquier valor
A y se le llama variable dependiente.
Toma valores que dependen de la x: y = 2x +1
Las relaciones deeste tipo se llaman
funciones.
En una función,la correspondencia entre las variables
debe ser única
6. Idea de función (I)
Funciones 6. Idea de función (II)
• Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, que llamamos imagen o transformado.
• Variable independiente: la que se fija previamente. • Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente.
La fórmula f(x) = 3x + 1 define una función.
f(x) = 3x + 1
x es la variable independientef(x) es la variable dependiente
Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5, el valor que toma la
variable dependiente es f(5) = 3 · 5 + 1 = 16. (La imagen de 5 es 16; y es única, pues la operación 3 · 5 + 1 es
única.)Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = -5.
En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente.
Funciones
La fórmula que expresa el área de un cuadrado en función de su lado es A = l 2
Para representarla
gráficamente:Primero: formamos la tabla de valores
Lado: l Área: l 2
0 0 1 1
1,5 2,25 2 4
2,5 6,25 3 9 4 16
0 1 2 3 4
02468
1012141618
Segundo: representamos los pares asociados, uniendo los puntos.
Ejemplo:
(2, 4)
(3, 9)
(4, 16)
7. Representación gráfica de funciones (I)
Funciones
El precio del revelado de un rollo de 36 fotos es de 1,50 euros. Y por cada foto cobran 0,35 euros. Representa la gráfica de esta función.
Primero: formamos la tabla de valores
Número de fotos l
Importe en euros
0 1,50 1 1,85 2 2,20 3 2,55 4 2,90 5 3,25 6 3,60
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
fotos
euro
s
Segundo: representamos los pares asociados.
Ejempl
o:
(En este caso no tiene sentido unir los puntos: no se revelan fracciones de
fotos.)
Variabledependiente
Variable independiente
7. Representación gráfica de funciones (II)
Funciones7. Representación gráfica de funciones (III)
La planta de Macintoch ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla:
Para representarla gráficamente: representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica.
Tiempo(meses)
Longitud(cm)
0 21 62 113 174 215 246 267 278 28
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
Tiempo (meses)
Lon
gitu
d (c
m)
(2, 11)
(6, 26)
Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.
Funciones7. Representación gráfica de funciones (IV)
Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1.
Para representarla gráficamente:
x y = f(x)
–3 –5 –2 –3 –1 –1 0 1 1 3 2 5
En este caso no se pueden unir los puntos ya que la función está definida únicamente para los números enteros.
Es decir, f(x) = 2x + 1.
1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas
(2, 5)
O
(–3, –5)
Funciones
Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de $1.20:(a) forma una tabla que relacione peso con precio.
0 1 2 3 4 5 6 70
1.22.43.64.8
67.28.49.6
Peso en kiloseu
ros
(b) representa la gráfica de la función asociada.
Peso (kilos)
Costo (pesos)
1 1.2 2 2.4 3 3.6 4 4.8 8 9.6
10 12 35 42
Multiplicando por 1.2 el número de kilos, se tiene:
Trazando los pares (1, 1,2), (2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene:
La fórmula de
esta función es:y = 1.2 x
Las funciones cuyas gráficas son rectas que pasan
por el origen se llaman funciones lineales o de
proporcionalidad directa
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I)
Funciones
Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales.
51
y = 5x
–5–1
21
y = 2x
42
– 44
y = – x
3–3
00
y = 0,2x
15
x y
x y x y
x y
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II)
Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x
Funciones 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (III)
Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la etiqueta del paquete que reproducimos:
Peso en kg Precio por kg en $ Total en $
0.820 5.12 4.20
Las magnitudes precio y peso son directamente proporcionales.Si x es el peso en kg, e y el precio, la expresión que da el precio en pesos es y = 5.12 x.
0,5 1 1,5
7
6
5
4
3
2
1
Calculamos valores, representamos y unimos los puntos.
Las funciones se la formay = mx se llaman funciones lineales.Son rectas que pasan por el origen.
m es la pendiente o inclinación de la recta.
y = 5,12x
Peso (kg)
Pes
os
Funciones 9. Funciones afines (I).
Representa las siguientes funciones: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x –
4
–30
y = x – 3
14
–40
y = 2x – 4
23
10
y = x + 1
43
30
y = 2x + 3
–3–3
x y
x y x y
x y
Funciones 9. Funciones afines (II)
Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:
Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente la función:
t = 0.01 d + 15 (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m)
d t
0 15 150 16.5 600 21
1050 25.5 … …
400 800 1200
18
12
6
O
24
Tem
pera
tura
(ºC
)Profundidad (m)
t = 0.01d + 15
Las funciones de la forma y = mx + n (n 0) se llaman funciones afines.Son rectas que no pasan por el origen.· m es la pendiente o inclinación de la recta.· n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen.
Funciones
Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto.(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función.
3º. La fórmula de esta función es: y = 5x
(c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?
Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 …Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 …
1º. Hacemos la tabla
2º. Observamos que las magnitudesson directamente proporcionales:
51
102
5xx
1 por 5
2 por 5
x por 5
y = 5x es una función de
proporcionalidad directa.
12. Resolución de problemas (I)
Funciones
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
tiempo
espa
cio
(2, 10)
(1, 5)
23
4,6
4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)...
5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4.6 min
Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 5
Observa que las escalas de los ejes son distintas
Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto.(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?
Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x
12. Resolución de problemas (II)