UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO

NOMBRE DEL ALUMNO: JESUS ERNESTO LOPEZ LOPEZ

1er CUATRIMESTRE SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2014

PROFESOR: JOSE ANTONIO FERRA

MATERIA: MATEMATICAS

TEMA INVESTIGADO: FUNCIONES, GRAFICAS Y PROGRESIONES

LICENCIATURA: ING EN SISTEMAS DE LA INFORMACION

JUCHITAN DE ZARAGOZA, OAX. MIERCOLES 10 DE DICIEMBRE DEL 2014

2

Contenido

FUNCIONES Y GRAFICAS ................................................................................................................. 3

Concepto de Función: .................................................................................................................... 3

TIPOS DE FUNCIONES Y GRAFICAS ............................................................................................. 3

Función Lineal .................................................................................................................................. 3

Imagen de la Función Lineal: ....................................................................................................... 4

Función cuadrática ......................................................................................................................... 4

Grafica de la Función Cuadrática: .............................................................................................. 5

Funciones polinomiales ................................................................................................................ 5

Imagen de la Función Polinómica ............................................................................................... 6

Funciones Racionales .................................................................................................................... 6

Ejemplo de la Función Racional: ................................................................................................. 7

Funciones Exponenciales ............................................................................................................. 7

Ejemplo de la Función Exponencial ........................................................................................... 8

Funciones Logarítmicas ................................................................................................................ 8

Ejemplo de la Función Logarítmica ............................................................................................ 9

PROGRESIONES ............................................................................................................................... 10

Progresiones Aritméticas ........................................................................................................... 10

Imagen de la Progresión Aritmética ......................................................................................... 11

Progresión Geométrica ................................................................................................................ 12

Imagen de la gráfica de la Progresión Geométrica: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 ................................. 14

CONCLUSIÓN: .................................................................................................................................... 15

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................... 16

3

FUNCIONES Y GRAFICAS

Concepto de Función:

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de

manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o

ninguno), que llamamos imagen o transformado.

TIPOS DE FUNCIONES Y GRAFICAS

Función Lineal En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función

polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano

cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

"𝑭(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃"

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es

la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica

m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea

se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

"𝑭(𝒙) = 𝒎𝒙"

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

"𝑭(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃"

Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también

de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal. Cuando b es distinto de cero,

dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el

contexto de álgebra lineal.

4

Imagen de la Función Lineal: f(x)= mx + b

Función cuadrática En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una

función polinómica definida por:

𝒀 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 " Con a ≠ 0

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de

simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el

vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo

(es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en

la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en

campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral

indefinida es una familia de funciones cúbicas.

5

Grafica de la Función Cuadrática: f(x) = x2 + x +1

Funciones polinomiales En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un

polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

𝒇 ∶ 𝒙 −→ 𝑷(𝒙)

Donde 𝑷(𝒙) es un polinomio definido para todo número real 𝒙; es decir, una

suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:

"𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏 − 𝟏𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

Donde n es un entero no negativo y an ≠ 0

Los números a0, a1,…, an se llaman coeficientes del polinomio,

El número a0 es el término independiente

El número an es el coeficiente principal y al término anxn se le conoce como

termino principal

6

Existe algo conocido como comportamiento asintótico: Es una descripción de lo

que sucede cuando x se vuelve grade en la dirección positiva (x ∞) o negativa

(x -∞)

Imagen de la Función Polinómica: P(x) = x3 - 2x2 – 4x + 8

Funciones Racionales En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede

ser expresada de la forma:

"𝑭(𝒙) =𝑷(𝒙)

𝑸(𝒙)

Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio

nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en

todos los valores de x que no anulen el denominador.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o

cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números

racionales o no.

7

Uno de los ejemplos seria la Función Homografica, que se expresa de esta

manera:

"𝑭(𝒙) =𝒂𝒙+𝒃

𝒄𝒙+𝒃

Si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es

una Hipérbola Equilátera

Ejemplo de la Función Racional: 𝑭(𝒙) =𝒙𝟑+𝟐𝒙

𝟐(𝒙𝟐−𝟓)

Funciones Exponenciales Es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de

Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el

conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la

misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base

de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo

exponencial en base a si tiene la forma

"𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

8

Donde a € R con a > 0, a ≠ 1 y x es un número real. Esto significa que la base

de la función siempre es positiva, por lo que el valor f(x) siempre es positivo; además,

la base no puede ser la unidad, porque se convertiría en la función constante f(x) = 1x

= 1.

Para que le podamos entender a esta función, lo vamos a graficar y veremos

qué es lo que pasa.

Ejemplo de la Función Exponencial: y = 3x

Funciones Logarítmicas En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo

determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho

número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10

a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

Esta función tiene como base base a la función f(x) = logax, siendo a > 0 y a

≠ 1.

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, se observa que la función

logarítmica f(x) = logax, es la función inversa de la exponencial con la misma base

9

f(x) = ax. Eso quiere decir que si se aplican seguidas a un mismo número se obtiene

dicho número, es decir, (f o g) (x) = loga ax = x y (g o f) (x) = a loga x = x.

Al ser a función logarítmica, la función inversa de la exponencial, las tablas de

valores de ambas funciones son iguales si se cambian las columnas entre sí y de ahí

que sus graficas sean simétricas respecto de la recta y = x

Ejemplo de la Función Logarítmica: f(x) = Log10 (2x)

10

PROGRESIONES

Progresiones Aritméticas En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales

que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una

constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o

incluso "distancia".

Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9... es una progresión aritmética

de constante 2. Así como: 5; 2; -1; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene

cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una

progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos,

conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término

general de una progresión aritmética es:

"𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅"

El último término de la Progresión se representa de esta manera:

"𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒅"

Es como si escribieras:

a3 = a2 +d = a1 + d +d = a1 +2d

a4 = a3 +d = a1 + 2d + d += a1 +3d

a5 = a4 +d = a1 + 3d +d = a1 +4d

Si nos fijamos bien, observaremos que cualquier termino es igual al Primero +

la diferencia de la Progresión (d) * el número de términos – 1

Hay progresiones de más términos, pero siempre podemos decir que el enésimo

término es el que agarraremos, por ejemplo, en una progresión de 20 términos, el

último corresponderá a a20. Y el término que ocupa el lugar 19, lo escribiremos de esta

manera a20-1 = a19.

11

Se llama Interpolación Aritmética a dos números cualquiera, que el efecto es

encontrar una seria de números comprendidos entre ellos de forma que todos formen

una Progresión Aritmética, para ellos, debemos conocer cuántos números más

queremos colocar entre ellos para formar la progresión, aquí les pondré un ejemplo,

para que le podamos entender:

Ejemplo:

Entre los números 5 y 37 queremos encontrar 7 números que formen una

progresión, de esta manera conocemos 2 términos de la progresión:

a1 = 5 y a9 = 37

Con estos datos, partiremos para encontrar los números de la progresión

faltante:

a9 = a1 + 8d 8d = a9 – a1 = 37 – 5 = 32

d= 32 / 8 = 4

Ya que sabes el 3er término, podemos armar la progresión aritmética, que

quedaría de la siguiente manera:

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37

Imagen de la Progresión Aritmética: y = 8x (Es proporcional)

12

Progresión Geométrica Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene

multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la

progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad

finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de

términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, 5, 15, 45, 135, 405… es una progresión geométrica con razón igual a 3,

porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un

elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo

𝒂𝒏 el término en cuestión, 𝒂𝟏 el primer término y r la razón:

"𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒓(𝒏−𝟏)"

Aquí hay un ejemplo, el cuarto elemento de la serie es:

"𝒂𝟒 = 𝟓. 𝟑(𝟒−𝟏) = 𝟓. 𝟑𝟑 = 𝟏𝟑𝟓"

Formula de Último Término de la Progresión Geométrica

De cuanto estamos estudiando podemos decir que:

"𝒂𝟐 = 𝒂𝟏𝒙𝒓 "

"𝒂𝟑 = 𝒂𝟐𝒙𝒓 "

"𝒂𝟒 = 𝒂𝟑𝒙𝒓 "

"𝒂𝟏𝟑 = 𝒂𝟏𝟐𝒙𝒓 "

"𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒓 "

Siempre sucede que un término cualquiera es igual al anterior por una cantidad

constante que llamamos razón de la progresión. Lo que tenemos en (1) podemos

escribir todas las igualdades en función del primer término:

"𝒂𝟐 = 𝒂𝟏𝒙𝒓 "

"𝒂𝟑 = 𝒂𝟐𝒙𝒓; 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒂𝟐 𝒑𝒐𝒓: 𝒂𝟏𝒙𝒓 "

"𝒂𝟑 = 𝒂𝟏𝒙𝒓𝒙𝒓 = 𝒂𝟏𝒓𝟐 "

13

"𝒂𝒏 = 𝒂𝟏𝒓𝒏−𝟏 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒍𝒖𝒈𝒂𝒓 "𝒏""

Y así con los demás términos para encontrar el último término de la

Progresión Geométrica.

Sumatoria de la Progresión Geométrica

Se denomina como 𝒔𝒏 a la suma de los “n” primeros términos consecutivos de

una progresión geométrica:

𝒔𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha

suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r

𝒓. 𝒔𝒏 = 𝒓. (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏)

𝒓. 𝒔𝒏 = 𝒓. 𝒂𝟏 + 𝒓. 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒓. 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒓. 𝒂𝒏)

Puesto que 𝒓. 𝒂𝒊 = 𝒂𝒊 + 𝟏

𝒓. 𝒔𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏

Interpolación Geométrica

Se le llama así al proceso de encontrar una seria de números, comprendidos

entre ellos, tales que todos formen una progresión geométrica

Con 2 (dos) números nos basta saber cuántos términos queremos interpolar

entre ellos para encontrar la razón que debemos tomar para formar la progresión.

Ejemplo:

“Queremos interpolar 4 términos entre los números 1 y 243 de forma que den

lugar a una progresión geométrica, tenemos dos términos:”

𝒂𝟏 = 𝟏 𝒚 𝒂𝟔 = 𝟐𝟒𝟑

Tenemos dos términos, la razón será: 𝑎6

𝑎1=

243

1= 243 = 𝑟5

14

Como 243 = 35 = 𝑟5, entonces 𝑟 = 3, luego tendremos la progresión

geométrica:

1, 3, 9, 27, 81, 243

Imagen de la gráfica de la Progresión Geométrica: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒

15

CONCLUSIÓN: Todas estas funciones tienen un función en específico, las cuales no han

ayudado para poderle entender de qué manera podemos aprender muchas maneras

de cómo resolver un problema matemático.

Gracias a las funciones más conocidas como logaritmos, exponenciales,

racionales, cuadráticas y lineales encontramos resultados de manera en que le

podíamos entender tanto al problema como a la operación y en el resultado si es el

correcto.

En los ejercicios anteriores aprendimos como se usan todas las operaciones

que nos hemos encontrados con cada tema, pero lo más importante es entenderle

para que al momento en que nos pongan un ejercicio sobre estas funciones y/o

progresiones, ya no se nos dificulte en hacerlo, sino que lo hagamos con una facilidad

y que estemos seguros de que hicimos un excelente trabajo.

Sobre todos estos temas, lo más importante es practicarlo, porque de ellos se

basa todo lo que hacemos, y sin que nos demos cuenta estamos usando estas

funciones y progresiones en nuestra vida cotidiana.

Para saber más y practicar sobre estos temas, los invito a investigar, ya sea en

internet, en los libros, ya que ahí vamos a encontrar la información que nosotros hemos

estados buscando.

16

BIBLIOGRAFIA Concepto de Función:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

Función Lineal:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

Función Cuadrática:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

Funciones Polinomiales:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica

http://departamentodematematicas.itam.mx/sites/default/files/u444/pres-funcpolin.pdf

Funciones Racionales:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional

Funciones Exponenciales:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial

http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html

Función Logarítmica:

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad1/u1logte30.pdf

Progresiones:

http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n

Progresiones Aritméticas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica

http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc3_Contenidos.html

http://es.slideshare.net/pepemunoz/interpolacion-aritmetica

Progresiones Geométricas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica

http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc4_contenidos.html

http://es.slideshare.net/pepemunoz/interpolacion-geometrica