Octubre 2018

Guía de Estudio Cálculo Diferencial Programa Actualizado

TURNO MATUTINO

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Propósito de la Asignatura Tiene el objetivo de desarrollar el pensamiento lógico-matemático para interpretar situaciones reales e hipotéticas que le permitan a los estudiantes, proponer alternativas de solución desde diversos enfoques, priorizando las habilidades tales como la búsqueda de patrones o principios que subyacen a fenómenos, la generación de diversas alternativas para la solución de problema, el manejo de la información, la toma de decisiones basadas en el análisis crítico de información matemática, interpretación de tablas, graficas , diagramas y textos con símbolos matemáticos, argumentación de propuestas de solución y predicción del comportamiento de un fenómeno a parir del análisis de sus variables, mediante la aplicación derivada. El programa de cálculo diferencial está integrado por tres bloques. Bloque I: Límites y continuidad Bloque II: La derivada Bloque III: Aplicaciones de la derivada. Competencias Disciplinares a desarrollar. 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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BLOQUE 1: Límites y continuidad

Propósito del bloque. Emplea de manera crítica y reflexiva el concepto de límite en la solución de diversas situaciones de su entorno, reconociendo su importancia en la construcción de nuevos conocimientos.

Actividad 1. Contesta las siguientes preguntas.

I. Realiza una línea del tiempo de la historia del cálculo, aportadores y aplicaciones.

II. Investiga el concepto de límite matemático y su interpretación geométrica.

III. Investiga de manera analítica los diferentes tipos de límites.

IV. Investiga las propiedades de los límites.

Actividad 2. Calcula los límites a partir de su gráfica.

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥)

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) =

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =

a

b.-

3

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) =

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =

c.

-

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥)

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) =

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

e

..

d

..-

4

f.

-

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) =

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) =

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

lim𝑥→6

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−2𝑓(𝑥)

lim𝑥→4

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→8

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−4𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−2𝑓(𝑥) =

lim𝑥→2

𝑓(𝑥)

lim𝑥→4

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =

lim

𝑥→−1𝑓(𝑥)

5

Actividad 3. Calcula los límites que se te solicitan de acuerdo con el caso.

CASO 1.- Por sustitución directa 𝑎. − lim

𝑥→1(𝑥 + 1);

𝑏. − lim𝑥→−1

(2𝑥2 − 3𝑥 + 1), 𝑐. − lim

𝑥→0(𝑥3)

𝑑. − lim𝑥→2

(2𝑥3 − 1)

𝑒. − lim𝑥→0

(√𝑥 + 1 ; 𝑓. − lim

𝑥→1(2𝑥3 + 4𝑥 − 3)

𝑔. − lim𝑥→

𝜋

2

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

ℎ. − lim𝑥→−3

(𝑥+1

𝑥+3),

𝑖. − lim𝑥→

𝜋

8

cos (𝑥)

𝑗. − lim𝑥→100

log (𝑥)

𝑘. − lim𝑥→3

√6𝑥 − 2

𝑖. − lim𝑥→

1

2

2𝑥−6

𝑥−4 ;

𝑚. − lim𝑥→−1

(2𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3) 𝑛. − lim

𝑥→−23𝑥+1

ñ. − lim𝑥→2

2𝑥√5𝑥 − 1;

𝑜. − lim𝑥→0

(3−𝑥

2+𝑥)

𝑥

CASO 2.- Cuando resulta una indeterminación [0

0]

𝑎. lim𝑥→3

(𝑥3 − 27

2𝑥 − 6)

𝑏. − lim𝑥→5

(8𝑥 − 40

𝑥2 − 25)

𝑐. − lim𝑥→2

(𝑥3 − 8

𝑥 − 2)

𝑑. − lim𝑥→9

(4𝑥 − 36

𝑥2 + 2𝑥 − 72)

6

𝑒. − lim𝑥→−1

(𝑥2 − 3𝑥 − 4

𝑥2 + 2𝑥 + 1)

𝑓. − lim𝑥→1

(2𝑥2

𝑥4 − 2𝑥3)

𝑔. − lim𝑥→1

(𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑥2 − 3𝑥 + 2)

ℎ. − lim𝑥→1

(√𝑥 − 1

𝑥 − 1)

𝑖. − lim𝑥→4

(3 − √5 + 𝑥

2 − √8 − 𝑥)

𝑗. − lim𝑥→2

(√𝑥 − 1 − 1

√𝑥 + 2 − 2)

𝑘. − lim𝑥→0

(𝑥2 + 𝑥4

𝑥6 − 𝑥2)

𝑙. − lim𝑥→0

(√2 − 𝑥 − √2 + 𝑥

𝑥2 + 𝑥)

CASO 3.- Cuando resulta una indeterminación [∞

∞]

a. − lim 𝑥→∞

(5𝑥3 + 2𝑥3 − 1

2𝑥 + 3)

𝑏. − lim𝑥→∞

(2𝑥3 + 2𝑥2 − 1

2𝑥3 − 1)

𝑐. − lim𝑥→∞

(3𝑥6 + 3𝑥3 + 2

7𝑥6 + 𝑥 − 1)

𝑑. − lim𝑥→∞

(𝑥2 − 9

𝑥(𝑥2 + 9))

𝑒. − lim𝑥→∞

(𝑥3 − 5

−𝑥2 − 4)

𝑓. − lim𝑥→∞

(√𝑥 + 3

𝑥 − 2)

𝑔. − lim𝑥→∞

((𝑥 + 5)(𝑥2 − 𝑥 + 3)

𝑥2 − 𝑥 − 3)

ℎ. − lim𝑥→∞

(3𝑥2 − 2𝑥 − 5)

𝑖. − lim𝑥→∞

(1

𝑥2)

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Bloque II: La derivada

Propósito del bloque: Aplica los métodos de derivación, trabajando en forma, metódica en forma organizada para contribuir en la solución de situaciones hipotéticas y/o reales de manera crítica y reflexiva. Actividad 4. Contesta el siguiente cuestionario

a.- Realiza una línea del tiempo de los diferentes aportadores del cálculo y las

aplicaciones de la derivada.

b.- Investiga la definición de derivada.

c.- Investiga en que consiste la interpretación geométrica de la derivada; represéntalo en

un esquema.

d.- Investiga cual es la regla de los 4 pasos para obtener la derivada de una función.

e.- Investiga las reglas de derivación algebraicas, y trascendentes para obtener la

derivada de una función.

Actividad 5. Encuentra la derivada de la función usando la regla de los 4 pasos.

𝑎. − 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑏. − 𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑐. − 𝑦 = 2𝑥 − 3 𝑑. − 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 𝑒. − 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 1

𝑓. − 𝑦 =𝑥 + 1

𝑥 − 1

𝑔. − 𝑦 =𝑥2 − 1

𝑥 + 2

ℎ. − 𝑦 =2𝑥 + 1

𝑥

𝑖. − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

8

Actividad 6. Obtener la derivada de cada función algebraica usando las reglas de derivación respectivas.

𝑎. − 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 𝑏. − 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2

𝑐. − 𝑦 =1

3𝑥 −

5

2

𝑑. − 𝐷𝑥(𝑓) = 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑒. − 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑓. − 𝑦 = 4√𝑥 − 2√𝑥

3+ 3√𝑥

4

𝑔. − 𝑦 =3

2√𝑥−

4

3√𝑥3 +

1

5√𝑥5

ℎ. − 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1 − 7𝑥−2 + 3𝑥−3 + 4

𝑖. − 𝑓(𝑥) =2𝑥 + 3

3𝑥 − 1

𝑗. − 𝑦 =𝑥 − 3

𝑥2 − 1

𝑘. − 𝑓(𝑥) =3𝑥2 + 𝑥 − 1

4𝑥2 − 𝑥 − 1

𝑙. − 𝑦 = (𝑥 − 5)(4𝑥2 − 𝑥 + 3) 𝑚. − 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 2𝑥)(𝑥 − 4)

Actividad 7. Obtener la derivada de cada función trascendente aplicando la regla respectiva.

𝑎. − 𝑦 = cos(𝑥) + 1 𝑏. − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 𝑐. − 𝑓(𝑥) = cos(𝑥 + 1) 𝑑. − 𝑦 = cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒. − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)) 𝑓. − 𝑓(𝑥) = tan (𝑥3) 𝑔. − 𝑦 = ln(𝑥 + 1) ℎ. − 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 − 𝑥 + 1) 𝑖. − 𝑓(𝜃) = sec(2𝜃) − 𝜃 𝑘. − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ln(𝑥)

𝑙. − 𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos (𝑥)

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Actividad 8. Usando la regla de la cadena obtener la derivada de cada función.

𝑎. − 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)4 𝑏. − 𝑦 = (3𝑥2)−3

𝑐. − 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥 − 2𝑥2)12

𝑑. − 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥)−34

𝑒. − 𝑦 = (2

𝑥)

10

𝑓. − 𝑓(𝑥) = √3𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 1

𝑔. − 𝑓(𝑥) = (cos (𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥))

3

ℎ. − 𝑦 = (ln (−3𝑥2 + 5𝑥 − 1))−12 𝑖. − 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥

𝑗. − 𝑓(𝑥) = (√𝑙𝑛 (𝑥 + 1

𝑥 − 1))

5

Actividad 8. Por medio de la derivación implícita obtener la derivada. 𝑎. − 𝑥3𝑦 + 3𝑥2𝑦3 = 𝑥𝑦2 𝑏. − 3𝑥4𝑦2 − 5𝑥2𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑦3 𝑐. − 𝑥𝑦4 − 𝑥2𝑦2 = −𝑥2 − 5 𝑑. − 4 + 3𝑥4 = 1 + 2𝑦4 − 𝑥𝑦 𝑒. − 12𝑥𝑦 − 4𝑥2𝑦3 = 5 − 𝑥2𝑦 𝑓. − 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 + 𝑦2 = 7 𝑔. − 𝑦5 + 𝑦 + 𝑥 = 0 ℎ. − 2𝑥6 + 2𝑥3𝑦 − 𝑥𝑦7 = 10

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Bloque 3: Aplicaciones de la derivada

Proposito del bloque: Utiliza las reglas de derivación para resolver situaciones de la vida real y/o hipoteticas del medio que los rodea, favoreciendo con ello con la construcción de nuevos conocimientos y afrontando los retos que se presenten. Actividad 9. Contesta el siguiente cuestionario

a.- Investiga que son los puntos máximo, mínimo y punto de inflexión de una función.

b.- Investiga en que consiste el método de la segunda derivada.

c.- Como se calcula la posición del punto de inflexión.

d.- En que consiste la concavidad y cuantos tipos hay de la concavidad de una función.

e.- En que consiste el intervalo donde la función crece o decrece.

Actividad 10. Resolver los siguientes problemas.

La siguiente página web https://es.slideshare.net/profalany/metodos-para-resolver-

problemas-polya se te recomienda que la consultes, aquí te sugiere una estrategia de

como resolver problemas como los que vas a resolver.

1.- Encuentra la ecuación de la recta tangente para cada función en el punto dado. a.- 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 − 3; en el punto 𝑃(2, −5) b.- 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 8; en el punto 𝑃(−3, 10). c.- 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 9𝑥2 + 10𝑥 − 3; cuando 𝑥 = −2. 𝑑. −𝑦 =

𝑥2

3𝑥+10; cuando 𝑥 = 5.

2.- La función posición de una flecha que se lanza verticalmente hacia arriba es 𝑠(𝑡) = 58.8𝑡 − 4.0𝑡2; en donde 𝑠 está dado en metros y 𝑡 en seg; encuentra la velocidad de la flecha a los 3 segundos. 3.- La función posición de una partícula que se mueve en línea recta es 𝑠(𝑡) = 𝑡3 − 𝑡2 + 15𝑡 + 2 donde 𝑠 está dado en metros y 𝑡 en seg; encuentra la velocidad y aceleración de la partícula a los 4 seg.

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4.- El tamaño de cierta población (P) después de 𝑡 años está dada por 𝑃(𝑡) =

250𝑡 + 20𝑡2; determinar la tasa de crecimiento para 𝑡 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠. 5.- Un cuerpo se lanza hacia arriba de acuerdo con ℎ(𝑡) = 80 + 40𝑡 − 4.9𝑡2; donde ℎ(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 y 𝑡 (𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑔. ); determina a) la velocidad a los 3 𝑠𝑒𝑔; b) la aceleración a los 7 𝑠𝑒𝑔., c) el tiempo que tarda en alcanzar la "ℎ" 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎, d) cual es la "ℎ" 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 que alcanza, e) la velocidad con que choca con el piso. 6.- Encuentra las coordenadas de la posición del máximo y/o mínimo y punto de inflexión. a.- 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 b.- 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 10 c.- 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥2 + 36𝑥 − 1 d.- 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 9𝑥2 − 15𝑥 − 9 e.- 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 9𝑥2 − 30𝑧 + 1 7.- Se quiere construir una caja abierta con una lámina cuadrada de 60 cm de lado, cortando cuadrados iguales en cada esquina, como se ve en la figura. ¿Cuáles serían las dimensiones de la caja? ¿Cuál sería el volumen máximo que tendría dicha caja?

60 𝑐𝑚

60 𝑐𝑚

𝑥

𝑥

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8.- La suma de un número y el triple de otro es 120. ¿Cuáles son esos números para que el producto se máximo? 9.- Las páginas de un libro deben contener un área impresa de 216 𝑐𝑚2, los márgenes laterales miden 2 𝑐𝑚 y los márgenes superior e inferior miden 3 𝑐𝑚. Encuentra la dimensión de la hoja para que su área sea mínima. 10.- Se quieren construir botes cilindricos sin tapa de 500 𝑐𝑚3 de volumen. ¿Qué dimensiones deben tener cada bote para que se ocupe la cantidad mínima de material?

ℎ

3𝑐𝑚

3𝑐𝑚

2𝑐𝑚

2𝑐𝑚

𝑟 ℎ

𝑟

13

11.- Al trasladar un espejo de 70 𝑐𝑚. 𝑝𝑜𝑟 100 𝑐𝑚., sa ha roto por uno de sus vértices, y se ha hecho añicos un triángulo rectángulo de 6 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑟 9 𝑐𝑚, calcule por donde debe cortarse este espejo para obtener un nuevo espejo que también sea rectángulo y de mayor área posible, vea figura.

70 𝑐𝑚 cm

6 𝑐𝑚 cm

100 𝑐𝑚 cm

9 𝑐𝑚 cm