HOMOTECIA Nº 2-2010servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2010/2-2010.pdf · 2016. 8. 23. · HOMOTECIA...

Nº 2 - AÑO 8 - Valencia, 1º de Febrero de 2010 Tiraje: 100 ejemplares

EEDDIITTOORRIIAALL Lleva a una discusión bastante interesante lograr una definición de los que en el medio educativo, son llamados PROBLEMAS MATEMÁTICOS. En los diferentes cursos de matemática de los distintos niveles de la educación venezolana, son denominados así aquellos ejercicios de raciocinio que se pueden resolver utilizando procedimientos matemáticos y de lógica. Un nombre más adecuado que podría dársele es el de PROBLEMAS DIDÁCTICOS porque sirven para enseñar a los alumnos a asociar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas; es decir que lo que se persigue es ayudarlos a pensar con lógica. Generalmente, el planteamiento de este tipo de problema se estructura así: se enuncian explícitamente los datos necesarios para resolverlos; el método que debe ser propuesto por el estudiante, para utilizar en el procedimiento de resolución permitiendo relacionar los datos; y el resultado buscado que se obtiene mediante la aplicación de reglas de razonamiento y la información aportada por los datos, proceso llevado a cabo siguiendo tal método. Todo implica que el discente comprenda lo que se está preguntando, que abstraiga el problema, es decir que encuentre una expresión matemática que represente el problema y así resolverlo; y como final, entender lo que quiere significar el resultado obtenido. ¿Pero son ciertamente problemas matemáticos? Más aún, ¿son problemas? A la primera pregunta respondemos no: un problema matemático es el que resuelve un matemático dentro de su ciencia; es decir halla la respuesta a una interrogante relacionada con conocimientos propios de la naturaleza de la matemática. Con respecto a la segunda acotemos acá que la palabra problema proviene del griego προβαλλεω , que significa “lanzar adelante". Así,

se concibe un problema como un obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que reclama ser aclarada. En conclusión un problema se caracteriza porque no se sabe cuál es la solución que se ha de obtener. Es usual que en un aula o en un texto de matemática, se resuelvan o propongan estos llamados problemas mostrando soluciones finamente acabadas: la solución se conoce de antemano, y en la mayoría de las veces se omiten comentarios sobre: intentos previos fallidos, casos particulares examinados o los refinamientos realizados a una primera solución no totalmente satisfactoria antes de llegar a la solución final. Quizás se justifique esta actitud argumentando el fin educativo que se persigue, pero en conclusión, no se les puede llamar problemas matemáticos, tampoco es muy seguro llamarlos problemas didácticos y la acepción mas adecuada posiblemente se la dimos al principio de este escrito: ejercicios de raciocinio que se pueden resolver utilizando procedimientos matemáticos y de lógica.

BBeerrnnaarrdd BBoollzzaannoo Nació el 5 de Octubre de 1781 y falleció el 18 de Diciembre de 1848, ambas fechas en Praga, capital de la antigua República de Checoslovaquia, y hoy en día ubicada en la República Checa al separarse de Eslovaquia a las cero horas del 1º de enero de 1993. Praga ahora es capital de la República Checa; y Bratislava de Eslovaquia.

BBEERRNNAARRDD BBOOLLZZAANNOO

((**11778811--†11884488))

Bernard Bolzano liberó al cálculo del concepto infinitesimal. También dio ejemplos de la correspondencia de las funciones 1-1.

Fue un filósofo, matemático y teólogo quien hizo significantes contribuciones tanto a las matemáticas como a la Teoría de la Ciencia, en algunos aspectos constituye un interesante precedente de la lógica matemática. En su obra póstuma "Paradojas de lo infinito" presenta conceptos que aparecen como una anticipación de la Teoría de Cantor acerca de los números transfinitos.

Ingresó a la facultad de filosofía en la Universidad de Praga en el 1796, estudió filosofía y matemática. Escribió: Mi especial placer por las matemáticas.

En metafísica se opuso a Kant, reivindicando el carácter constructivo, y no simplemente regulativo de algunas ideas metafísicas como las relativas a Dios y a la mortalidad del alma.

Por interesantes que sean sus especulaciones metafísicas y teológicas, hoy se está en común acuerdo que la más importante e influyente contribución de este pensador se halla en sus ideas sobre lógica y teoría de conocimiento. Bolzano influyó sobre muchos que intentaron depurar la lógica de todo psicologismo y fundarla en el análisis de preposiciones. Según Bolzano, la lógica tiene como misión estudiar las proposiciones como tales, es decir las proposiciones en sí. Las proposiciones son enunciados mediante los cuales se declara que algo es o no es, con independencia de que sea verdadero o falso.

Bolzano, se adelantó a los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de función continua y en la demostración de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de análisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros científicos, o de permanecer inéditos, como su importante Teoría de Funciones, que apareció en 1930, la influencia de sus ideas fue escasa.

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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD DE CARABOBO

DIRECTOR–EDITOR:

Prof. Rafael Ascanio Hernández

SUB-DIRECTOR: Prof. Próspero González Méndez

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN:

Prof. Rafael Ascanio Hernández Prof. Próspero González Méndez

COMISIÓN

ARCHIVO Y REGISTRO HISTÓRICO

Prof. María del Carmen Padrón Prof. Zoraida Villegas

Prof. Ivel Páez

COMISIÓN REVISORA DE MATERIAL A PUBLICAR:

Prof. Elda Rosa Talavera de V. Prof. Omaira Naveda de F. Prof. José Tadeo Morales

Reflexiones “¿Qué es en realidad la invención matemática? No consiste en hallar nuevas combinaciones con objetos matemáticos ya conocidos. Esto puede hacerlo cualquiera, pero las combinaciones que podrían formarse así serían en número infinito, y la mayor parte estaría desprovista de interés. Inventar, consiste precisamente en no construir las combinaciones inútiles, sino en construir aquellas que son útiles, y que son una ínfima minoría. Inventar es discernir, es elegir”. Henry Poincaré en “Ciencia y Método” (1963). Pág. 102. Tercera Edición. Madrid, España: Editorial Espasa-Calpe.

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HOMOTECIA Nº 2–Año 8 Lunes, 1º de Febrero de 2010

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CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA:: AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE ÁÁRREEAASS DDEE RREEGGIIOONNEESS PPLLAANNAASS PPOORR IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN

ÁREA DE UNA REGIÓN BAJO UNA CURVA.-

El cálculo del área de una región bajo una curva se ha convertido en un ejemplo clásico del uso del Cálculo Integral. Obsérvese la figura adjunta: El área entre la curva de la función )(xfy = y el eje x, desde ax = hasta bx = , es aproximadamente igual

a la suma de las áreas de un gran número de rectángulos como el dibujado. El área de cada uno de los rectángulos construidos bajo la curva es )(xf veces h. Cuando h se reduce, los rectángulos son más estrechos y se va a tener un número mayor de

éstos, con lo que el área total se aproxima cada vez más al área buscada. Con el cálculo integral es posible obtener este valor siempre y cuando se conozca a la función )(xfy = que describe la curva.

Consideraciones teóricas:

Si f(x) es continua y no negativa en el intervalo bxa ≤≤ , se puede hacer lo siguiente:

1. Se divide el intervalo [ ]ba, mediante una partición regular bxxxxxa nn =<=<<<= −1210 ... en un número finito

de n subintervalos conformados de la siguiente manera: [ ] [ ] [ ]nn xbxxxxax == − ,,,,,, 12110 L siendo sus longitudes o

amplitudes todas iguales, xxx n∆==∆=∆ ...21 , calculándose la misma por n

abxi

−=∆ .

2. Si i toma n valores en estas condiciones, se tendrá que 1,2,,3,2,1,0 −−= nni K . Al considerar la correspondiente

Suma de Riemann, ésta vendrá dada por:

[ ]∑−

=

∆⋅=1

0

)(n

iiin xxfS

Esta Suma de Riemann representa la suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva en el intervalo [ ]ba, cuyas alturas

vienen dadas por los )( ixf y sus bases por los xi∆ .

En general, según lo planteado en la figura adjunta anterior, la Suma de Riemann representa un valor aproximado del área de la región limitada por la función )(xfy = y el eje x, desde ax = hasta bx = .

Al continuar el proceso, es decir al aumentar el número de subintervalos, entonces la amplitud de los mismos tiende a cero: 0, →∆∞→ xnSi . (Véanse las siguientes figuras).

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


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(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Entonces, por definición de la integral definida se tiene que: ∑ ∫=∞→

∆==∆n

i

b

a xiin

dxdondedxxfxxfLim1

,)()(

Dadas las condiciones en las que se ha llegado a esta conclusión, las mismas permiten afirmar que el valor obtenido es positivo, condición matemáticamente natural en una magnitud como el área. Por lo tanto se hace posible enunciar la siguiente definición.

Definición.-

Sea f(x) una función continua, no negativa en ningún punto del intervalo [ ]ba, . Se dice, entonces, que el valor del área A de la

región encerrada por la gráfica de la función f(x), el eje x de las abscisas y las rectas verticales x=a y x=b, se obtiene por:

[ ] )()()()()(1

aFbFxFdxxfxxfLimAn

K

b

a

baKK

n−===∆= ∑ ∫

=∞→

Fórmula o Regla para calcular el área de una región bajo una curva

Consideraciones consecuentes.-

Pero estas condiciones en las que se ha llegado a la definición anterior deben considerarse como teóricamente ideales, es decir no todos los casos a estudiar van a ser similares. Por esto es conveniente hacer las siguientes consideraciones.

1. Si )(ygx = es una función continua no negativa en el intervalo dyc ≤≤ , entonces ∫d

cdyyg )( representa el área

limitada por la curva )(ygx = , el eje “y”, y las ordenadas y=c ∧ y=d:

∫ ====d

cyejeelydycyygxporlimitadadyygA ".",),(,)(



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2. Si y=f(x) no toma valores positivos en el intervalo bxa ≤≤ , de tal manera que la gráfica de la curva está por debajo del eje “x”, entonces el área viene dada por:

[ ]∫ ===−=b

axejeelybxaxxfyporlimitadadxxfA ".",),(,)(

3. Si x=g(y) no toma valores positivos entre c y d, es decir la curva está a la izquierda del eje “y”, entonces el área viene

dada por:

[ ] .,"",)( dycyrectaslasyejeelporlimitadadyygAd

c=∧=−= ∫

4. Si y=f(x) toma valores tantos positivos como negativos, el área viene dada por:

[ ]∫ ∫ −+=b

a

c

bdxxfdxxfA )()(

En el próximo número, presentaremos algunos ejemplos de cálculo del área de una región bajo una curva.


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FUENTE: Vera, Francisco (1961). “20 Matemáticos Célebres”. Buenos Aires: Compañía General Fabril Editora. Preparado por Patricio Barros. www.geocities.com/veintematematicoscelebres

PRESENTACIÓN. Las páginas de este libro exponen en forma clara y didáctica la vida y obra de los matemáticos más célebres, ubicándolos como seres de carne y hueso, buscando en el curso paralelo que siguieron sus trabajos, y en otras el contraste u oposición en que se desarrollaron. De esta manera, el lector logrará una fácil comprensión del valor y las influencias de unas tendencias sobre otras, y de sus puntos de convergencia, a veces aparentemente paradójicos. El profesor Francisco Vera de vasta y reconocida autoridad en la materia, ha escrito “20 matemáticos célebres” con un criterio ágil, a la vez que esclarecedor, que posibilita el acceso de vastos sectores de público a una actividad científica realmente fascinadora.

Capítulo Noveno

AANNTTIIKKAANNTTIIAANNOO YY KKAANNTTIIAANNOO

LLOOBBAATTSSCCHHEEWWSSKKII YY HHAAMMIILLTTOONN

NIKOLAI IWANOWITSCH

LOBATSCHEWSKI (1792-1856)

SIR WILLIAM ROWAN

HAMILTON (1805–1865)

Un matemático inglés de fines del siglo pasado, Clifford, ha llamado a Lobatschewski "el Copérnico de la Geometría". Ningún título cuadra mejor, en efecto, al geómetra ruso, cuya obra es pareja a la del astrónomo polaco, pues lo que éste hizo en la Astronomía del primer tercio del siglo XVI, es análogo a lo que hizo aquél en la Geometría del primer tercio del XIX. En la Astronomía inmediatamente anterior a Copérnico existía el confusionismo reinante en toda la Mecánica pregalileana, que se nutría del jugo aristotélico, como en la Geometría inmediatamente anterior a Lobatschewski existía el confusionismo euclídeo del que no había salido a pesar de los trabajos de los geómetras franceses de la Revolución. La dictadura filosófica del Estagirita impedía la libre investigación astronómica porque sus resultados podían poner en un aprieto algunos dogmas católicos, como la dictadura filosófica de Kant impedía la libre investigación geométrica porque sus resultados podían poner en un aprieto algunos dogmas apriorísticos. La obra de Copérnico representa el triunfo de la razón sobre la imaginación, sobre los prejuicios y sobre los sentidos, pero fue necesario que Giordano Bruno muriese en la pira para que la teoría heliocéntrica se incorporase definitivamente a la Ciencia. La obra de Lobatschewski representa el triunfo de la razón sobre la Crítica de la razón y sobre el apriorismo espacial kantiano; pero, afortunadamente, no necesitó ningún mártir para imponerse, aunque sí tuvo que luchar contra la opinión vulgar durante más de veinticinco años y permaneció en un punto muerto porque la Europa científica de entonces ignoraba el ruso y hubo que esperar a las traducciones francesas y alemanas para que el mundo matemático la conociera. El descubrimiento de Copérnico nos enseñó a considerar el Universo bajo un nuevo aspecto, como el descubrimiento de Lobatschewski nos enseñó a considerar la Geometría bajo un nuevo aspecto también.

¿Qué nuevo aspecto es éste? Muy sencillo. Más de veinte siglos llevaban los geómetras intentando demostrar el postulado de Euclides, pero a ninguno, excepto a Gauss que, como de costumbre, guardó el secreto se le ocurrió la sencilla idea genial que a Lobatschewski: prescindir de la famosa proposición euclídea que afirma que por un punto exterior a una recta hay una paralela única, y construir una Geometría rigurosamente lógica como si no existiera tal postulado. Si éste era una consecuencia de los demás, debía llegarse a una contradicción, que es la prueba matemática de la falsedad. Pues bien, Lobatschewski no sólo no llegó a ninguna contradicción, sino que se encontró con una Geometría nueva, distinta de la de Euclides, pero sin oposición lógica con ella, una Geometría que podía convivir con la griega en un sector más amplio que el que conserva el nombre primitivo aunque haya alterado su significación. El postulado de Euclides no es, pues, verdadero ni falso. Todo depende del punto de vista en que nos coloquemos, y si hasta entonces nadie lo había puesto en duda era, según palabras de Lobatschewski, "porque no se encuentra ninguna contradicción en sus consecuencias y porque la medida directa de los ángulos de un triángulo está de acuerdo con él dentro de los límites de error de las medidas más perfectas", quedando el criterio de la experiencia, que sería decisivo si pudieran calcularse los ángulos de un triángulo cuyos lados fueran inmensamente grandes, como el definido por tres estrellas del mundo extragaláctico. En la Geometría de Lobatschewski una recta puede ser perpendicular a sí misma; la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos; por un punto hay dos paralelas a una recta, y otras propiedades que desconciertan al principio porque chocan con nuestro concepto intuitivo de espacio, pero que están lógicamente encadenadas y han tenido dos consecuencias trascendentales: derribar el postulado de Euclides del lugar de privilegio que ocupaba en la Geometría y destruir la concepción kantiana de espacio. El descubrimiento de Lobatschewski es una piedra miliar en la historia de la Geometría, sobre la cual hay que grabar una fecha: 12/24 de febrero de 1826, día en que el geómetra ruso, que tenía entonces treinta y tres años, presentó su comunicación a la Sociedad de Física y Matemática de Kazan, de cuya Universidad era profesor. Acaso los no matemáticos crean que la Geometría lobatschewskiana es solo un producto mental sin ninguna realidad y que la de Euclides es la verdadera dando a las palabras realidad y verdad su sentido corriente, el que les asigna el hombre de la calle. Un sencillo ejemplo le sacará de su posible error. La más corta distancia entre dos puntos es la línea recta... en un plano; pero sobre la superficie de la Tierra, la más corta distancia entre dos puntos es un arco de círculo máximo, lo que obliga a introducir en Geometría la noción de geodésico de una superficie que es eso: la línea de mínima distancia entre dos puntos, de modo que en el plano las geodésicas son los segmentos rectilíneos euclídeos. Excepto en una pequeña extensión, el mar no es una superficie plana, sino esférica, luego la geometría del navegante no es la Geometría de Euclides, y, por tanto, ésta no es la única Geometría real y verdadera útil al hombre.



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En un plano, dos geodésicas se cortan en un punto, a no ser que sean paralelas, y no contienen espacio, mientras que en la superficie esférica dos geodésicas se cortan siempre en dos puntos y contienen espacio. Entendido esto, pasemos a una superficie menos familiar que la esfera: la pseudoesfera, descubierta por un matemático Italiano: Eugenio Beltrami, el año 1868, precisamente para dar un sentido euclídeo a la Geometría de Lobatschewski. La pseudoesfera está engendrada por la rotación de una curva llamada tractriz de un modo análogo a como la esfera está engendrada por la rotación de una circunferencia alrededor de un diámetro. Es la tractoria de Huygens y de Leibniz, que encontraron su ecuación; pero no se les ocurrió la idea de hacerla girar. La tractriz tiene la propiedad de que los segmentos de tangente comprendidos entre el punto de contacto y la asíntota son iguales, propiedad que puede servir para construirla mecánicamente. Supongamos dos ejes, uno horizontal y otro vertical, y coloquemos un hilo inextensible a lo largo del eje vertical, poniendo un extremo en el punto de intersección de los dos ejes y corrámoslo sobre el horizontal hacia la derecha. Si el otro extremo del hilo lleva un plomo, éste, en virtud de la propiedad citada, describe una rama de la curva, y corriéndolo hacia la izquierda describe la otra rama, que es simétrica de la anterior. Haciendo girar ahora la curva alrededor del eje horizontal se engendra la pseudoesfera, cuya forma se asemeja a la de dos trompas muy alargadas, como los clarines, soldadas por sus pabellones. Pues bien, la Geometría de la superficie de la pseudoesfera es precisamente la de Lobatschewski. Dejemos la obra del matemático y asomémonos un poco a la vida del hombre. Nació Nicolás Ivanovich Lobatschewski el día 2 de noviembre de 1793 en el distrito de Makiarev, dependiente del gobierno de Nijni Novgorod, y fue el segundo hijo de un modesto funcionario que murió cuando Nicolás tenía siete años, dejando a su esposa, Praskovia Ivanovna y tres niños, un tercero había nacido quince meses después que el futuro geómetra, en una pobreza rayana con la miseria. Haciendo un esfuerzo apenas concebible en la Rusia zarista de aquellos días, la madre de Nicolás se trasladó a Kazan para dar instrucción a sus hijos, y dos años después, cuando tenía nueve, Nicolás empezó sus estudios secundarios, gracias a una beca ganada por sus propios méritos, y entonces trabó conocimiento con la Matemática que cultivó después con verdadera pasión en la Universidad, fundada hacia poco tiempo, y en la que ingresó en el año 1807. El zar Alejandro I, queriendo hacer del primer establecimiento docente de Kazan una universidad de tipo europeo, llamó a varios profesores alemanes, quienes, viendo en seguida que Lobatschewski era un matemático en estado potencial, le dedicaron atención preferente. Entre ellos estaba Bartels, antiguo condiscípulo y amigo fiel de Gauss, y a quien debió gran parte de la orientación geométrica que había de conducirle a la inmortalidad. En 1811 obtuvo el título de maestro; dos años después fue nombrado profesor adjunto y tres años más tarde, apenas cumplidos los veintidós, catedrático titular de Matemática. La labor desarrollada por Lobatschewski fue formidable. Por aquellos días empezó a preocuparle el problema del paralelismo y, según se deduce de un cuaderno de notas, que se conserva hoy como una reliquia, parece que sus primeros resultados los envió a Fuss, matemático suizo que estaba entonces en San Petersburgo y trabajaba con el gran Euler, compatriota suyo, desde que Catalina II nombró a éste presidente de la Academia imperial rusa. Fuss encontró demasiado revolucionarias las ideas de Lobatschewski y perdió el original, que apareció casi un siglo después y hoy forma parte de la edición de sus obras completas ordenada por el Gobierno soviético, que ha llenado la laguna que dejó la Universidad de Kazan al publicar, al cumplirse los veinticinco años de la muerte de Lobatschewski, sólo sus obras geométricas. Además de su labor de cátedra, éste explicaba cursos complementarios con objeto de elevar la cota matemática, bastante baja, de la Rusia de su tiempo, y ordenó la biblioteca universitaria, que era un caos. A la muerte de Alejandro, 1825, sustituyó al administrador de la Universidad, cargo que desempeñó con tanto acierto como honorabilidad, en contraste con su antecesor, que había sido expulsado por malversador de fondos. En 1827 lo nombraron rector. Cerca de veinte años estuvo al frente del rectorado y cambió radical y totalmente el ambiente universitario. La Universidad era su casa y su vida. Una mañana muy temprano apareció en el vestíbulo un extranjero, quien, dirigiéndose al criado que, en mangas de camisa, barría el suelo, manifestó su deseo de visitar el edificio. El criado no sólo accedió a ello sino que, dejando en un rincón los chismes de la limpieza, se brindó a servirle de guía, dejando asombrado al visitante por la precisión con que respondía a sus preguntas, lo que hizo creer a aquél que eso del atraso del pueblo ruso era una fantasía inventada por los periodistas occidentales. Fácil es imaginar la estupefacción del extranjero, que era un representante diplomático acreditado cerca de la corte de San Petersburgo, de paso por Kazan, cuando aquella noche, en un banquete oficial dado en su honor, reconoció, al serle presentado el rector de la Universidad, al mozo de limpieza que por la mañana le había servido de cicerone. De cómo entendía sus obligaciones es ejemplo lo ocurrido en 1830, durante una epidemia de cólera que causó millares de víctimas en Kazan, cosa natural, dada la espantosa miseria reinante en las clases populares rusas de aquella época que, en vez de acudir al médico, acudían al pope, y el hacinamiento en los templos no hizo sino aumentar la mortandad. Lobatschewski alojó en la Universidad a todos los profesores y sus familias, los sometió a un severísimo régimen higiénico, y de las seiscientas personas refugiadas en las aulas sólo murieron dieciséis, es decir: el dos y medio por ciento, cifra asombrosamente pequeña. Gracias a su actividad y celo, se salvó también la biblioteca universitaria del incendio de 1842, que destruyó media ciudad y entre ella gran parte de la Universidad. Este hombre de tan excepcionales cualidades fue desposeído de su cargo no sólo como rector, sino también como profesor el año 1846 porque sí, por esas absurdas cosas incomprensibles que ocurrían en la Rusia zarista, y fue en balde, y hasta contraproducente, que el claustro de profesores protestara contra aquel atropello; pero el buen sentido se impuso, en 1855, con motivo de las fiestas del cincuentenario de la Universidad, en que Lobatschewski presentó el original de su Pangeometría, manuscrito en ruso y en francés por otra persona porque él estaba casi ciego, y al año siguiente, el día 12/24 de febrero, exactamente el día del trigésimo aniversario de su primera comunicación sobre la Geometría no-euclídea, murió el hombre que tuvo la audacia de desafiar el dogma griego del paralelismo que durante cerca de veintidós siglos había reinado como monarca absoluto en el campo de la Geometría.



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En la dirección ideológicamente opuesta de Lobatschewski está Hamilton, que nació doce años después que el geómetra ruso y le sobrevivió nueve, de modo que tienen común un período de cuarenta y un años, a pesar de lo cual se ignoraron mutuamente: ignorancia lamentable por parte de Hamilton, porque si éste hubiera conocido la obra de aquél, no habría fundado el Álgebra sobre el concepto kantiano de tiempo y hubiera dedicado buena parte del suyo a otras tareas, toda vez que la Geometría no-euclídea, al demostrar la inconsistencia del apriorismo espacial, habría advertido a Hamilton que el apriorismo temporal llevaba el mismo camino. Esto no quiere decir que la producción hamiltoniana sea de escaso valor. A Hamilton le debe la ciencia grandes y fecundas aportaciones que han hecho que su nombre figure entre los iniciadores de la Matemática moderna, pero su kantianismo le impidió tener una visión más precisa del estado del Álgebra de su época, del que hablaremos brevemente luego de dibujar a grandes rasgos el perfil personal del polo opuesto de Lobatschewski desde el punto de vista de la filosofía matemática, Hamilton era irlandés. Nació en Dublín el 3 de agosto de 1805 y su nombre de pila era William Rowan, lo que ha hecho que muchos lo confundan con su coetáneo y homónimo William Hamilton, filósofo y profesor de Lógica de la Universidad de Edimburgo. También los confundieron algunos contemporáneos, lo cuál molestaba grandemente al matemático. En su tumba figura como fecha de nacimiento el 4 de agosto, error que obedece a que nació a media noche en punto. Hamilton, enamorado de los pequeños detalles, decía haber nacido el 3, pero al final de su vida rectificó "por razones sentimentales" y aceptó el 4. Cuando tenía tres años, su padre, que era abogado, lo envió con su hermano James, pastor del pueblecito de Trim, a treinta kilómetros de la capital de Irlanda, para que aprendiera lenguas orientales. Al llegar Hamilton a Trim, sabía inglés, lo que, naturalmente, no tiene nada de particular, pero sí tiene ya algo y aun algos de particular que a los cinco años tradujera latín, griego y hebreo; que a los ocho supiera francés e italiano y cantase en hexámetros latinos las bellezas del paisaje de Irlanda cuando la prosa inglesa le parecía pobre para tal menester. A los diez años conocía el árabe y el persa, y exactamente tres meses después, James Hamilton escribía a su hermano el abogado: "Tu hijo no puede saciar su sed de aprender lenguas orientales. Las sabe casi todas, aparte de algunos dialectos poco importantes. El conocimiento del hebreo, persa y árabe lo va a completar con el del sánscrito. Ha aprendido ya los elementos del caldeo y del siríaco, del indostánico y de los idiomas que hablan los países malayos y otros, y va a comenzar el chino; pero aquí es difícil procurarse libros apropiados y cuesta caro traerlos de Londres. Sin embargo, hará un sacrificio porque tengo la seguridad de que es la mejor colocación que puedo dar al dinero." No había cumplido los catorce años cuando Hamilton, caso único de monstruosidad lingüística, escribió un poema en persa dando la bienvenida al embajador del Shah, que visitaba Dublín. El encopetado personaje hizo llevar a su presencia al autor de los versos y quedó maravillado al encontrarse con que era un niño. A Hamilton se le puede aplicar, invertida su significación, la conocida décima:

Asombróse un portugués

de ver que en su tierna infancia

todos los niños en Francia

supieran hablar francés.

Arte diabólica es,

dijo torciendo el mostacho,

que para hablar en gabacho

un fidalgo en Portugal

llega a viejo y lo habla mal

y allí lo parla un muchacho.

Además de saber tan enorme cantidad de idiomas, sabía con igual maestría esgrima y natación y era de carácter tan irascible que a un condiscípulo que le llamó mentiroso lo desafió a muerte, pero los padrinos arreglaron la cosa y no pasó nada. Hamilton tenía entonces quince años escasos. Por aquellos días fue a Trim un famoso calculador norteamericano; un tal Zerath Colburn, que influyó en la futura orientación de Hamilton. Tuvo con él una conversación de la que sacó el convencimiento de que la lingüística no servía para nada. Colburn le descubrió trucos, diciéndole que todo era cuestión de memoria: de memoria monstruosa, porque en una ocasión un espectador preguntó a Colburn si el número 4294967297 era primo, y el calculador contestó instantáneamente y sin vacilar, que no, porque era divisible por 641, lo cual es cierto. Precisamente tal número es el quinto de Fermat y costó no poco trabajo encontrarle el divisor 641 tan rápidamente dado por Colburn, quien no supo responder cómo había averiguado lo que Euler descubrió un siglo antes. Hay una carta de Hamilton a su primo Arturo en la que reconoce que Colburn le convenció de la inutilidad lingüística y entonces pensó dedicarse a la Matemática. lo que hizo con la misma intensidad con que se había entregado al estudio de los idiomas, pues a los diecisiete años sabía Cálculo Integral y a los dieciocho ingresaba en el Trinity College de Cambridge con el número 1 en una promoción de cien candidatos. Y no estará de más advertir que se preparó solo. A los diecinueve años tuvo la primera novia, cuya belleza se dedicó a cantar en versos griegos y, ¡claro! ella se casó con otro. Hamilton sufrió un ataque de nervios cuando la que pudo ser su suegra le dio la noticia, e intentó suicidarse arrojándose al río, pero como era buen nadador, no consiguió, a pesar suyo, hundirse, y se consoló componiendo un poema "a la ingrata". Hamilton fue, en esto, un goethiano puro. El año 1827, es decir, cuando apenas tenía veintidós de edad, fue nombrado profesor de Astronomía de la Universidad de Dublín y director del Observatorio anexo a la cátedra, y aquel mismo año, durante unas vacaciones, conoció en el pintoresco distrito de los lagos al poeta Wordsworth. Al día siguiente de serle presentado Hamilton le envió un poema de noventa versos, muy malos por cierto.



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No fue así su Theory of system of Rays, publicada en igual fecha en las Transactions of the Royal Irish Academy, que es un profundo estudio de los sistemas doblemente infinitos de las rectas en el espacio en relación con el problema de la refracción, de la luz, que llamó poderosamente la atención de los físicos y cuyas conclusiones se comprobaron después experimentalmente.

Poco después tuvo la segunda novia. Hamilton debió de haberse olvidado ya de lo que pasó con la primera porque también componía versos esta vez en latín, a los lindos ojos de la segunda, la cual hizo lo mismo que aquélla: casarse con otro.

La vena poética de Hamilton era inagotable. A Coleridge también le dedicó interminables poemas como a Wordsworth; pero, a diferencia de éste, que los soportaba pacientemente, Coleridge se vengaba devolviéndole indigestas meditaciones sobre la Trinidad y otros misterios teológicos, lo cual sacaba de sus casillas a Hamilton, quien, pluma en ristre, le rebatía sus argumentos en hexámetros de hemistiquios mal partidos.

Veinticinco años tenía cuando se enamoró por tercera vez y, como se dice en Castilla, "a la tercera va la vencida". Se casó. Ella se llamaba Elena Bayley y, seguramente, no fue víctima del lirismo hamiltoniano porque si lo hubiera sido habría hecho lo que sus dos antecesoras. Además, parece que quedó curado de esta manía, porque no se conocen versos suyos posteriores a su matrimonio.

En cambio, y afortunadamente para la Ciencia, aumentó su producción matemática, publicando al poco tiempo de casado una memoria titulada Theory of conjugate functions, or algebric couples, and Essay on Algebra as science of pure time, Irish Trans., 1837.

Esta memoria tiene un vicio de origen: su ortodoxia kantiana. El Álgebra, como ciencia del tiempo puro, no tiene ningún sentido matemático, y, precisamente por esto, apasiona y seguirá apasionando a los aficionados, como apasionan y seguirán apasionando los problemas de la cuadratura del círculo y de la trisección del ángulo, la demostración del postulado de Euclides y otras cuestiones de Matemática patológica de cuyos cultivadores conviene huir como medida de profilaxis.

Pero, al lado del vicio apuntado, la memoria de Hamilton tiene una virtud: la de considerar los números complejos como una pareja de números reales en un cierto orden, lo que le permitió construir una teoría aritmética que ha despojado a los mal llamados números imaginarios de su misterio, verdaderamente imaginario, que los hacía aparecer, ¡a ellos, tan inofensivos! como monstruos.

La teoría aritmética del número complejo, cuya representación gráfica es un vector en un plano, inspiró a Hamilton la idea de generalizar al espacio la interpretación de las rotaciones en el plano, y se encontró con la sorpresa de que había creado unos entes, a los que dio el nombre de cuaternios, que no satisfacían la ley conmutativa del producto, es decir: que el orden de factores altera el producto.

Este descubrimiento tiene una fecha exacta: 16 de octubre de 1863, en que Hamilton, paseando con su esposa, fue asaltado por la fórmula fundamental de la nueva Álgebra y la escribió en el parapeto del puente que cruzaba en aquel momento.

El cálculo de cuaternios es un poco complicado. Aparte de su dificultad intrínseca, tiene el inconveniente la notación, que es verdaderamente anárquica, pues cada autor tiene la suya propia.

El Congreso de Cassel de 1903 intentó poner orden en este caos y, en efecto, todos los matemáticos estaban de acuerdo en que era preciso uniformar la notación, en vista de lo cual acordaron tres notaciones nuevas.

A los efectos de estos ensayos de divulgación baste decir que el principal mérito de la obra hamiltoniana es haber podido establecer un Álgebra consecuente consigo misma en la que no se verifica la propiedad de la inalterabilidad del producto cualquiera que sea el orden en que se multipliquen los factores.

En vista de esto, era lógico que los matemáticos se preguntaran si había otros sistemas de números de más de dos componentes reales que verificaran todas las leyes formales de la Aritmética. Weierstrass resolvió negativamente la cuestión, demostrando el llamado teorema final de la Aritmética, es decir: el teorema con que termina el desarrollo natural de esta ciencia.

El descubrimiento de Hamilton enseña el camino que hay que seguir para establecer otros sistemas de Álgebra, y hoy se construyen Álgebras a voluntad, es decir: sistemas que comprenden un conjunto de elementos y dos operaciones, llamadas adición y multiplicación que se pueden efectuar con dos elementos del conjunto de tal manera que satisfagan los postulados que previamente se hayan establecido.

La teoría de cuaternios gozó del favor de los físicos de las dos últimas generaciones; pero hoy está sustituida por el Análisis sensorial, más sencillo, que ha tomado gran impulso a partir de 1905 gracias a la relatividad generalizada. No obstante, sigue teniendo apasionados defensores, los cuales cuentan con una Liga mundial para el progreso de la teoría de cuaternio, fundada en 1895 por el matemático japonés Kimura, que hizo sus estudios en los Estados Unidos.

Hamilton murió creyendo que habla realizado una obra análoga a los Principia de Newton. "Mi descubrimiento, dijo, me parece tan interesante a mediados del siglo XIX como lo fue el de las fluxiones [Cálculo Diferencial] a fines del XVII." Se equivocó, y la culpa de su equivocación la tuvo Kant.

Los últimos años de Hamilton contrastan con los primeros. Quizá un poco borrachín, pero humilde y devoto. El día final de su vida fue el 2 de septiembre de 1865, y murió de gota. En su mesa de trabajo se encontraron verdaderas montañas de papel, y entre ellas, restos de comida y hasta platos intactos.


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LLeeiibbnniizz,, BBeerrnnoouullllii yy …… NNeewwttoonn:: ““CCOOMMOO AALL LLEEÓÓNN PPOORR SSUUSS GGAARRRRAASS””

Por: Próspero González Méndez

Con el título de este artículo quiero hacer referencia al libro del mismo nombre del catedrático de la Historia de la Ciencia en la Universidad Autónoma de Madrid, José Manuel Sánchez Ron, Profesor de Física Teórica, colaborador del diario El País y autor de numerosos libros. Es uno de los historiadores españoles más prestigiosos y respetados. La expresión “como al león por sus garras” se le atribuye al matemático suizo Johann Bernoulli cuando reconoció un texto de Newton sin firma. La historia en referencia es como sigue. Eran las cuatro de la tarde del 29 de enero de 1697. Isaac Newton – ya Sir Isaac – acababa de regresar a su casa desde la Torre de Londres, la sede del Mint, la Casa de la Moneda inglesa, de la que era Worden (el segundo de la institución, tras el Master) desde hacía pocos meses. Se encontraba cansado, no era todavía un hombre mayor (tenía 53 años), pero sus mejores momentos, físicos e intelectuales, ya habían pasado; además, el Mint se encontraba en medio de una reacuñación. Una carta le aguardaba, su remitente era Johann Bernoulli, miembro de una célebre familia de matemáticos suizos, con el que Newton tenía algunas cuentas pendientes, especialmente en lo que se refería a su controversia con Leibniz sobre la prioridad en la invención del cálculo infinitesimal (Johann defendía la prioridad de Leibniz). En el número de Junio de 1696 de la famosa revista Acta Eruditorium, Bernoulli había desafiado a los “mejores matemáticos que ahora viven en el mundo”, a resolver el “problema de cuál sería el camino por el que un cuerpo pesado descendería más rápidamente desde un punto a otro que no estuviera directamente, debajo”. Fijó un plazo de seis meses para la resolución del problema. Cuando pasaron éstos, sólo había recibido una respuesta: la de Leibniz. Pero este no incluía la solución, sólo la afirmación de que había resuelto el problema, junto con el ruego de que ampliase el plazo hasta la pascua y que volviese a anunciar el problema por toda Europa. ¿Quería, tal vez, disfrutar más humillando a sus colegas, incapaces de resolver la cuestión? Bernoulli aceptó; añadió un segundo problema, y envió copias de ambas a dos grandes revistas científicas: les philosophical transactions, de la Royal Society inglesa, y el Nouvel Journal des Scavans. Y también a dos grandes científicos británicos: Isaac Newton y Jhon Wallis. ¿Buscaban ambos, Leibniz y Bernoulli, y ahora de manera totalmente directa, la suprema humillación del autor de los Principia? Esta fue la carta que Newton encontró el 29 de enero de 1697. Catherine Barton, sobrina del gran físico y matemático, que vivía con éste, dejó escrito que su tío “no durmió hasta que no hubo resuelto el problema, lo que sucedió hacia las cuatro de la madrugada”. Por la mañana, Newton fechó una carta a Charles Montagne, presidente de la Royal Society, en la que consignaba las respuestas a ambos problemas. Indiferente a los planes y deseos de Bernoulli, dispuso que su respuesta apareciese de manera anónima en el número de febrero de philosophical transactions. No obstante, el suizo (que también recibió una respuesta del matemático francés Marqués de L’Hôpital) no tuvo dificultad en reconocer a su autor. “Como se reconoce al león por sus garras”, dicen que fueron sus palabras. Queda uno tentado a inferir, por lo menos, una moraleja (o paráfrasis): dime como resuelves un problema matemático y te diré que arte–mente, tienes. Es posible hacer conjeturas en cuanto a la capacidad de discernimiento, abstracción, racionalidad matemática, creencias que alcanza a mostrar un docente en formación matemática (a quien está dirigido este artículo), cuando cumple con las evaluaciones escritas. En ocasiones, la heurística, la algoritmia esgrimidas en respuesta a interrogantes matemáticas, el orden, la coherencia y el acto de hilvanar el “discurso” escrito son de acentuadas deficiencias teóricas. El tratamiento que algunos docentes en formación matemática y en determinados oportunidades, practican en la resolución de problemas, es de sumo interés para los investigadores que siguen el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El seguir a “ciegas” el trabajo didáctico del docente–facilitador del mencionado proceso no es lo más recomendable, es una guía. El docente en formación matemática, y he aquí la exhortación, está “obligado” intelectualmente a desarrollar su sustantividad cognitiva; su independencia intelectual, su individual proceso intelectivo, su facultad de pensar (NOUS). Finalmente, alcanzar la propiedad del espíritu humano de reconocerse en sus atributos esenciales y en todas las modificaciones que en si mismo experimenta: CONCIENCIA.


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Discusiones de Postgrado

EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEE LLAA EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA..

En las ediciones anteriores comenzamos la publicación de los artículos que se originaron de los ensayos pensatorios conclusivos producto de las sesiones de lectura y discusión crítica entre los participantes cursantes de la asignatura conducente “Epistemología de la Educación Matemática”, de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios de Postgrado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, durante el periodo lectivo 1-2009 (enero-abril).

Se iniciaron las discusiones con la lectura del libro de Robert Blanché, “La Epistemología”.

En este libro, el autor nos presenta algunas posiciones muy particulares sobre la epistemología y refuerza las mismas confrontando los aportes de otros autores, a los cuales se les reconoce mundialmente su condición de epistemólogos.

A continuación presentamos el siguiente y último de los referidos al libro de Blanché, cuya autora es la participante Alexandra Betancourt.

LLAA EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA Por: ALEXANDRA BETANCOURT

C. I. Nº: 17.648.006

Si bien sabemos que epistemología etimológicamente significa el estudio del conocimiento, su ocupación es más amplia, porque define el saber y todo lo relacionado con éste, además del grado con el que cada uno resulta cierto. Asimismo se le confiere calidad de ciencia verdadera por mediar una investigación profunda. Por otro lado, no todos categorizan la epistemología con ese término y a partir del nombre que le es otorgado se orienta un determinado estudio. Podemos mencionar así la “teoría del conocimiento”, la cual siendo una expresión que emplean alemanes e italianos, ésta misma posee en sí un carácter más filosófico mientras que epistemología se limita al conocimiento científico. Sin embargo en medio de estos problemas planteados, se llegó a considerar en un momento del tiempo sólo una disyunción entre cual palabra emplear y cual no, por lo que se designó a ambas el término “gnoseología” para erradicar dichas discrepancias, aunque sin efecto alguno se dejó de usar.

Por su parte Piaget considera que epistemología y teoría del conocimiento tienen la misma definición y estructura. En este mismo orden de ideas, la filosofía de la ciencia también podría considerarse igual a la epistemología y en Lectures sur la philosophie de la science la epistemología se define dentro de uno de sus aspectos característicos cuando se filosofa sobre las ciencias. Actualmente se reconoce que la epistemología tiene su aparición en las ciencias siempre que ha ocurrido una crisis en la cual se debe reflexionar sobre los fundamentos que sustentan ésta. Asimismo que resultan de vacíos ocurridos en los métodos utilizados y con el tiempo son estudiados y superados, es decir, cuando la ciencia no puede dar una respuesta interviene la epistemología, así se ubica en un nivel superior a la ciencia y que tiene su origen en los obstáculos que se le presentan a los científicos. Por tal motivo se expone que no se puede disociar el análisis de los métodos científicos a la epistemología y debemos considerar la metodología como parte de la epistemología. Pero si se llegara a limitar la epistemología a una reflexión sobre la ciencia, esa reflexión va a tener una línea filosófica.

En este orden de idea, la epistemología debe diferenciarse de la ciencia ya que esta misma es parte de la ya mencionada filosofía de la ciencia y a su vez está vinculada con ciencia y filosofía que asume una posición desde ambos criterios. En este sentido la epistemología por basarse en la filosofía para resolver problemas científicos sobrepasa más allá a una teoría del conocimiento, por la cual no se puede confundir dichas terminologías como a veces puede considerarse como si significaran lo mismo.

Los científicos y filósofos se han evocado a reflexionar sobre la tendencia de la epistemología, si se inclina hacia una postura científica o filosófica, pero más allá de esas dos grandes vertientes se puede distinguir la epistemología interna que surgen desde el interior de la ciencia, parecido a la crisis en los métodos científicos y la epistemología externa que se le considera más filosófica por tener un carácter especulativo. Un aspecto que no se puede confundir pero tampoco se desliga de la epistemología es la historia de la ciencia, que la epistemología debe tener en cuenta en su estudio, así como de su desarrollo y evolución como ciencia, en lo que se relaciona quizás tenga un carácter genético, por lo que se llega a observar que existen varias epistemología como epistemología de la matemática donde su estudio es diferente al de la epistemología de la física.



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Sin embargo, la misma epistemología está orientada al estudio de una ciencia con basamentos surgidos de la filosofía científica, por lo cual nos debemos realizar las siguientes interrogantes:

¿En que momento puede considerarse la epistemología una filosofía y cuándo debe considerarse una ciencia, si la misma epistemología se basa en la metodología científica para solventar problemas científicos pero a su vez reflexiona sobre ella lo que le otorga un carácter filosófico? La matemática, ¿Qué es? ¿Qué estudia? ¿Cuál es su propósito? Para dar respuestas debemos saber primero realmente qué es ciencia, aunque la definamos

como el estudio del conocimiento sistematizado, que da respuestas estructuradas basándose en la razón; ahora bien, si hemos a veces dudado del empleo entre la terminología “ciencia” y en determinados estudios, esta misma duda desaparece al reconocer que en las “ciencias” también se busca el conocimiento orientado pero a un determinado estudio; además el nombre de la ciencia también se basa de acuerdo al estudio que se realice, tal como por ejemplo, el nombre “Geología” viene de “geo”, tierra, y “logía”, conocimiento, es decir conocimiento o estudio de la tierra.

En otro orden de ideas, desde que los físicos empezaron a hacer sus grandes aportes al mundo, se vieron en la necesidad de utilizar un lenguaje especial, un lenguaje que describiera la naturaleza de lo externo e incomprensible para un sujeto común pero un poco comprensible para un sujeto científico, fue cuando nació la utilidad de la matemática, y desde ese momento comenzó a dar sus primeros pasos para buscar un espacio propio, apartándose poco a poco del mundo de la física. Considero este hecho históricamente inevitable, pues de no suceder desde la física se hubiese dado desde la química u otra ciencia actual le abría abierto el camino.

Por lo antes expuesto se considera que la matemática vive por sí sola en cualquier ciencia, de hecho, para que se pueda considerar una teoría de cualquier ciencia debe ser justificada a través de la matemática, y más aún, para considerar una ciencia como tal, también debe manejar este lenguaje tan maravilloso que todo puede explicar y justificar. Posiblemente no haya otra base tan fundamental en las ciencias como lo es la matemática, y es un poco irónico que los grandes físicos hayan terminado fortaleciendo a una ciencia no referida a su objeto de estudio. Pero ¿acaso la matemática solo nos sirve como herramienta para justificar la existencia de una ciencia? ¿Puede considerarse la matemática una ciencia como cualquier otra? Ya sabemos que la matemática no es precisamente algo tangible, ni observamos números cayendo de los cielos, ni mucho menos observamos el empleo con facilidad un teorema o axioma en la cotidianidad, ni mucho menos podemos dar un ejemplo real de cualquier contenido matemático. Definitivamente la matemática no es una ciencia como cualquier otra.

Entonces ¿podría ser la matemática más importante que las otras ciencias que son más “observables” y “experimentables”? Si detallamos esta pregunta con detenimiento, estamos hablando del orden jerárquico que deben tener las ciencias o lo que es igual de una ciencia respecto a otra; algunos piensan que las ciencias entre sí deben tener un orden lineal, pero debe tomarse en cuenta primero el estudio que se debe realizar. Para un paleontólogo no es tan importante la matemática como la geología, y para un biólogo le puede ser más útil usar la química como base de estudio y emplear la matemática como secundaria, por supuesto que ésto está sujeto a los intereses por los cuales se realiza cada estudio.

Pero si llegamos a esta conclusión, debemos preguntarnos nuevamente ¿será la matemática sólo una herramienta para determinados estudios y nada más? Tal y como ya nos habíamos planteado, la matemática no es cualquier ciencia, pero sí es la ciencia de lo intangible, de lo abstracto, rigurosa, estructurada, razonada, con su propio lenguaje, incomprensible para muchos pero de gran “deleite” para otros por ser una ciencia “más profunda”, ¿qué otra ciencia tiene tantas cualidades? En la actualidad ninguna otra y definitivamente no es sólo una herramienta, por el contrario es el único camino al entendimiento y al conocimiento del mundo real a través de su lenguaje, quizás no se puede observar como al crecimiento de bacterias en biología, ni como al desarrollo del universo en los estudios de la física; es aún más compleja y sólo los grandes científicos logran conocerla en su totalidad.

Esta ciencia nos ofrece el conocimiento de la verdad, puede que no nos ofrezca la verdad a través de la experiencia pero nos ofrece una que se puede comprobar en base a la razón. Por lo cual podemos preguntarnos ¿en que momento la matemática es una ciencia como tal y en que momento es una herramienta que sólo es utilizable para demostrar algo? ¿Pueden existir dos matemáticas? O ¿”una” matemática está contenida en esa “otra” matemática?


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NNiieellss BBoohhrr Nació el 7 de octubre de 1885; y falleció el 18 de noviembre de 1962, ambas fechas en Copenhague, Dinamarca, a la edad de 77 años.

Físico que realizó importantes contribuciones para la comprensión de la estructura del átomo y la mecánica cuántica. Considerado como una de las figuras más deslumbrantes de la Física contemporánea y, por sus aportaciones teóricas y sus trabajos prácticos, como uno de los padres de la bomba atómica. Fue galardonado en 1922 con el Premio Nobel de Física, "por su investigación acerca de la estructura de los átomos y la radiación que emana de ellos".

NIELS BOHR (1885-1962)

Niels Henrik David Bohr, hijo de Christian Bohr, un devoto luterano Catedrático de Fisiología en la Universidad de Copenhague, y Ellen Adler, proveniente de una adinerada familia judía de gran importancia en la banca danesa, y en los «círculos del Parlamento». Luego de doctorado Bohr en la Universidad de Copenhague en 1911 y considerado una firme promesa en el campo de la Física Nuclear, se trasladó a Inglaterra para ampliar sus conocimientos, ingresando en el prestigioso Laboratorio Cavendish de la Universidad de Cambridge, bajo la tutela de sir Joseph John Thomson (1856-1940), químico británico distinguido con el Premio Nobel en 1906 por sus estudios acerca del paso de la electricidad a través del interior de los gases, que le habían permitido descubrir la partícula bautizada luego por Stoney (1826-1911) como electrón.

Su tesis doctoral trataba precisamente sobre el estudio de los electrones, y la había llevado a territorio británico con la esperanza de verla traducida al inglés. Pero, como quiera que Thomson no se mostró entusiasmado por su trabajo, Bohr decidió abandonar el Laboratorio Cavendish y marcharse a la Universidad de Manchester, donde aprovechó las enseñanzas de otro premio Nobel, Ernest Rutherford (1871-1937), para ampliar sus saberes acerca de la radiactividad y los modelos del átomo.

A partir de entonces, entre ambos científicos, Bohr y Rutherford, se estableció una estrecha colaboración que, sostenida por firmes lazos de amistad, habría de ser tan duradera como fecunda. Rutherford había elaborado una teoría del átomo que era totalmente válida en un plano especulativo, pero que no podía sostenerse dentro de las leyes de la Física clásica. Bohr, en un alarde de audacia que resultaba impredecible en su carácter tímido y retraído, se atrevió a soslayar estos problemas que obstaculizaban los progresos de Rutherford con una solución tan sencilla como arriesgada: afirmó, simplemente, que los movimientos que se daban dentro del átomo están gobernados por unas leyes ajenas a las de la Física tradicional.

En 1913, Niels Bohr alcanzó celebridad mundial dentro del ámbito de la Física al publicar una serie de ensayos en los que revelaba su particular modelo de la estructura del átomo. Tres años después, el científico danés regresó a su ciudad natal para ocupar una plaza de profesor de Física Teórica en su antigua alma Mater, en la Universidad de Copenhague; y, en 1920, merced al prestigio internacional que había ido adquiriendo por sus estudios y publicaciones, consiguió las subvenciones necesarias para la fundación del denominado Instituto Nórdico de Física Teórica (más tarde denominado Instituto Niels Bohr), cuya dirección asumió desde 1921 hasta la fecha de su muerte (1962). En muy poco tiempo, este Instituto se erigió, junto a las universidades alemanas de Munich y Gotinga, en uno de los tres vértices del triángulo europeo donde se estaban desarrollando las principales investigaciones sobre la Física del átomo.


EL INSTITUTO NIELS BOHR EN LA CIUDAD DE COPENHAGUE


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En 1922, año en el que Bohr se consagró definitivamente como científico de renombre universal con la obtención del Premio Nobel, vino al mundo Aage Niels Bohr (1922), que habría de seguir los pasos de su padre y colaborar con él en varias investigaciones. Doctorado también en Física, fue, al igual que su progenitor, profesor universitario de dicha materia y director del Instituto Nórdico de Física Teórica, y recibió el Premio Nobel en 1975.

Inmerso en sus investigaciones sobre el átomo y la Mecánica cuántica, Niels Bohr enunció, en 1923, el principio de la correspondencia, al que añadió, en 1928, el principio de la complementariedad, según el cual, los fenómenos pueden analizarse de forma separada cuando presentan propiedades contradictorias. Así por ejemplo, los físicos, basándose en este principio, concluyeron que la luz presentaba una dualidad onda-partícula mostrando propiedades mutuamente excluyentes.

Para este principio, Bohr encontró además aplicaciones filosóficas que le sirvieron de justificación. No obstante, la física de Bohr y Max Planck era denostada por Albert Einstein que prefería la claridad de la de formulación clásica.

Pero a raíz de esta última aportación se fue constituyendo en torno a la figura de Bohr la denominada "Escuela de Copenhague de la Mecánica Cuántica", cuyas teorías fueron combatidas ferozmente por Albert Einstein (1879-1955), aunque en vano. A pesar de estas diferencias, sostenidas siempre en un plano teórico puesto que Einstein sólo pudo oponer a las propuestas de Bohr elucubraciones mentales, el padre de la teoría de la relatividad reconoció en el físico danés a "uno de los más grandes investigadores científicos de nuestro tiempo".

En la década de los años treinta, Niels Bohr pasó largas temporadas en los Estados Unidos de América, adonde llevó las primeras noticias sobre la fisión nuclear -descubierta en Berlín, en 1938, por Otto Hahn (1879-1968) y Fritz Strassmann (1902-1980)-, que habrían de dar lugar a los trabajos de fabricación de armas nucleares de destrucción masiva. Durante cinco meses, trabajó con J. A. Wheeler en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Nueva Jersey), y anunció, junto con su colaborador, que el plutonio habría de ser fisionable, al igual que lo era el uranio.

Fue en 1933 cuando Bohr propuso la hipótesis de la gota líquida, teoría que permitía explicar las desintegraciones nucleares y en concreto la gran capacidad de fisión del isótopo de uranio 235.

Exilio forzoso.

En septiembre de 1943, para evitar ser arrestado por la policía alemana debido a sus orígenes judíos, y estando su vida y la de los suyos amenazadas, se vio forzado a embarcarse con su familia en un pequeño bote de pesca y poner rumbo a Suecia, desde donde viajó al mes siguiente a Londres.

Una vez a salvo, apoyó los intentos anglo -americanos para desarrollar armas atómicas, en la creencia errónea de que la bomba alemana era inminente. Finalmente se dirige a Estados Unidos en diciembre, donde bajo el pseudónimo de Nicholas Baker, trabajó en Los Álamos, Nuevo México en el Proyecto Manhattan, cuyo resultado fue la fabricación de la primera bomba atómica.

Al término de la II Guerra Mundial (1939-1945), retornó a Dinamarca y volvió a ponerse al frente del Instituto Nórdico de Física Teórica. A partir de entonces, consciente de las aplicaciones devastadoras que podían tener sus investigaciones, se dedicó a convencer a sus colegas de la necesidad de usar los hallazgos de la Física nuclear con fines útiles y benéficos. Pionero en la organización de simposios y conferencias internacionales sobre el uso pacífico de la energía atómica, en 1951 publicó y divulgó por todo el mundo un manifiesto firmado por más de un centenar de científicos eminentes, en el que se afirmaba que los poderes públicos debían garantizar el empleo de la energía atómica para fines pacíficos. Por todo ello, en 1957, recibió el premio Átomos para la Paz, convocado por la Fundación Ford para favorecer las investigaciones científicas encaminadas a la mejora de la Humanidad.

Director, desde 1953, de la Organización Europea para Investigación Nuclear, Niels Henrik David Bohr falleció en Copenhague durante el otoño de 1962, a los setenta y siete años de edad, después de haber dejado impresas algunas obras tan valiosas como Teoría de los espectros y constitución atómica (1922), Luz y vida (1933), Teoría atómica y descripción de la naturaleza (1934), El mecanismo de la fisión nuclear (1939) y Física atómica y conocimiento humano (1958).


CONFERENCIA SOLVAY DE 1927. NIELS BOHR SE ENCUENTRA SITUADO EN LA SEGUNDA FILA, EL PRIMERO POR LA DERECHA. ENTRE LOS PARTICIPANTES DESTACAN AUGUSTE PICCARD, ALBERT EINSTEIN, MARIE CURIE, ERWIN SCHRÖDINGER, WOLFGANG PAULI, WERNER HEISENBERG, PAUL DIRAC, LOUIS DE BROGLIE Y MAX PLANCK.


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Debate con Einstein.

El debate que sostuvo Einstein con Bohr con respecto a la validez o no validez de las leyes de la Relatividad en el mundo subatómico de la Física Cuántica. Einstein decía que el universo material era "local y real", donde lo local apuntaba a que nada puede superar la velocidad de la luz, mientras que lo real apunta a que las cosas existen en una sola forma definida en un tiempo y espacio determinado. Bohr por su parte apelaba a la "función de onda" de las partículas subatómicas y al estado de "superposición" que pueden presentar estas en condiciones muy distintas a las que mantienen a los fenómenos macro. Por ejemplo un electrón podía estar en dos estados opuestos y extremamente alejados a la vez y lo que ocurre con uno en determinado punto del universo, es experimentado por el otro al otro extremo del universo.

Esto podía ser producto de una de dos alternativas: a) las partículas subatómicas se comunican unas con otras enviándose información respectiva sobre sus estados en dos puntos alejados del universo, por lo cual dicha información debiera viajar a mayor velocidad que la luz para alcanzar a llegar a destino a un tiempo simultáneo para que así se produzca la superposición, con lo cual la superposición se explicaría por la presencia de más de un electrón que se comunican en distintos puntos del universo.

Esta explicación no atentaba con que las cosas fueran reales, mas no permitía que fuesen locales, dado que existiría una velocidad de comunicación mayor que la de la luz. La otra alternativa nos decía: b) las partículas subatómicas pueden existir en dos o más estados a la vez. Estas se mantienen bajo la forma de probabilidades de manifestación en estados precisos, mas no se manifiestan en uno de estos hasta el momento en que son objeto de un estímulo determinado: la observación, y es solo después del acto de observación en que encontramos a la partícula en una coordenada específica de espacio y tiempo. Aquí lo que se atenta es la realidad misma, o el hecho de que en el mundo subatómico las cosas sean reales y se presenten en un estado específico en un tiempo-espacio preciso. En resumen, la postura de Bohr y de la Física Cuántica es que en el mundo subatómico, las cosas no pueden ser reales y locales a vez.

Es durante el desarrollo de este debate que se esgrimió la frase tan célebre por parte de Einstein: "Dios no juega a los dados". De dicha frase hay registros confiables, lo cual no ocurre con un supuesto contra argumento por parte de Bohr hacia Einstein en el mismo debate, donde dice: "¡Einstein, deja de decirle a Dios como hacer las cosas!".

De regreso a Dinamarca, fue elegido presidente de la Real Academia Danesa de Ciencias (1939). Volvió a instalarse en Copenhague, en donde continuó investigando e impartiendo clases.

Uno de los más famosos estudiantes de Bohr fue Werner Heisenberg, que se convirtió en líder del proyecto alemán de bomba atómica. Al comenzar la ocupación nazi de Dinamarca, Bohr, que había sido bautizado en la Iglesia Cristiana, permaneció allí a pesar de tener ascendencia judía. En 1941 Bohr recibió la visita de Heisenberg en Copenhague, sin embargo no llegó a comprender su postura; Heisenberg y la mayoría de los físicos alemanes estaban a favor de impedir la producción de la bomba atómica para usos militares, aunque deseaban investigar las posibilidades de la tecnología nuclear.

La obra “Copenhague”, escrita por Michael Frayn y representada durante un tiempo en Broadway, versaba sobre lo que pudo ocurrir en el encuentro que mantuvieron Bohr y Heisenberg en 1941. En 2002 apareció la versión cinematográfica del libro, dirigida por Howard Davies.

El átomo de Bohr

Las primeras aportaciones relevantes de Bohr a la Física contemporánea, como se citó en los párrafos iniciales, tuvieron lugar en 1913, cuando, para afrontar los problemas con que había topado su maestro y amigo Rutherford, afirmó que los movimientos internos que tienen lugar en el átomo están regidos por leyes particulares, ajenas a las de la Física tradicional. Al hilo de esta afirmación, Bohr observó también que los electrones, cuando se hallan en ciertos estados estacionarios, dejan de irradiar energía.

En realidad, Rutherford había vislumbrado un átomo de hidrógeno conformado por un protón (es decir, una carga positiva central) y un partícula negativa que giraría alrededor de dicho protón de un modo semejante al desplazamiento descrito por los planetas en sus órbitas en torno al Sol. Pero esta teoría contravenía las leyes de la Física tradicional, puesto que, a tenor de lo conocido hasta entonces, una carga eléctrica en movimiento tenía que irradiar energía, y, por lo tanto, el átomo no podría ser estable.


NIELS BOHR Y ALBERT EINSTEIN DEBATIENDO LA TEORÍA CUÁNTICA EN CASA DE PAUL EHRENFEST EN LEIDEN (DICIEMBRE DE 1925).


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Bohr aceptó, en parte, el modelo de Rutherford, pero lo superó combinándolo con las teorías cuánticas de Max Planck (1858-1947). En los tres artículos que publicó en el Philosophical Magazine en 1913, enunció cuatro postulados: 1) Un átomo posee un determinado número de órbitas estacionarias, en las cuales los electrones no radian ni absorben energía, aunque estén en movimiento. 2) El electrón gira alrededor de su núcleo de tal forma que la fuerza centrífuga sirve para equilibrar con exactitud la atracción electrostática de las cargas opuestas. 3) El momento angular del electrón en un estado estacionario es un múltiplo de h/2p (donde h es la constante cuántica universal de Planck).

Según el cuarto postulado, cuando un electrón pasa de un estado estacionario de más energía a otro de menos (y, por ende, más cercano al núcleo), la variación de energía se emite en forma de un cuanto de radiación electromagnética (es decir, un fotón). Y, a la inversa, un electrón sólo interacciona con un fotón cuya energía le permita pasar de un estado estacionario a otro de mayor energía. Dicho de otro modo, la radiación o absorción de energía sólo tiene lugar cuando un electrón pasa de una órbita de mayor (o menor) energía a otra de menor (o mayor), que se encuentra más cercana (o alejada) respecto al núcleo. La frecuencia f de la radiación emitida o absorbida viene determinada por la relación: E1-E2=hf, donde E1 y E2 son las energías correspondientes a las órbitas de tránsito del electrón.

Merced a este último y más complejo postulado, Bohr pudo explicar por qué, por ejemplo, los átomos de hidrógeno ceden distintivas longitudes de onda de luz, que aparecen en el espectro del hidrógeno como una distribución fija de líneas de luz conocida como Serie de Balmer.

En un principio, esta estructura del átomo propuesta por Bohr desconcertó a la mayor parte de los científicos de todo el mundo; pero, a raíz de que su colega y maestro Rutherford le felicitara efusivamente por estos postulados, numerosos investigadores del Centro y el Norte de Europa comenzaron a interesarse por las ideas del físico danés, y algunos de ellos - como James Franck (1882-1964) y Gustav Hertz (1887-1975)- proporcionaron nuevos datos que confirmaban la validez del modelo de Bohr. Su teoría se aplicó, en efecto, al estudio del átomo de hidrógeno, aunque enseguida pudo generalizarse a otros elementos superiores, gracias a la amplitud y el desarrollo que le proporcionó el trabajo de Arnold Sommerfeld (1868-1951) -que mejoró el modelo del danés para explicar la estructura fina del espectro-. De ahí que los postulados lanzados por Bohr en 1913 puedan considerarse como las bases donde se sustenta la Física nuclear contemporánea.

Con la formulación de estos postulados, Niels Bohr logró, en efecto, dar una explicación cuantitativa del espectro del hidrógeno; pero, fundamentalmente, consiguió establecer los principios de la teoría cuántica del átomo en la forma más clara y concisa posible. Pero, ante todo, su gran acierto fue señalar que estos principios eran irracionales desde el punto de vista de la mecánica clásica, y advertir que requerían una nueva limitación en el uso de los conceptos ordinarios de causalidad.

Para fijar las circunstancias en que debían concordar la mecánica clásica y las nuevas teorías de la mecánica cuántica, Bohr estableció en 1923 el denominado principio de correspondencia, en virtud del cual la Mecánica cuántica debe tender hacia la teoría de la Física tradicional al ocuparse de los fenómenos macroscópicos (o, dicho de otro modo, siempre que las constantes cuánticas lleguen a ser despreciables).

Sirviéndose de este principio, Bohr y sus colaboradores - entre los que se contaba para ese entonces joven Werner Karl Heisenberg (1901-1976), también futuro premio Nobel de Física, trazaron un cuadro aproximado de la estructura de los átomos que poseen numerosos electrones; y consiguieron otros logros como explicar la naturaleza de los rayos X, los fenómenos de la absorción y emisión de luz por parte de los átomos, y la variación periódica en el comportamiento químico de los elementos.

En 1925, Heisenberg enunció el principio de indeterminación o de incertidumbre, según el cual era utópica la idea de poder alcanzar, en el campo de la microfísica, un conocimiento pleno de la realidad de la Naturaleza en sí misma o de alguna de las cosas que la componen, ya que los instrumentos empleados en la experimentación son objetos naturales sometidos a las leyes de la física tradicional.

La formulación de este luminoso principio de Heisenberg sugirió, a su vez, a Bohr un nuevo precepto: el principio de complementariedad de la Mecánica cuántica. Partiendo de la dualidad onda-partícula recientemente enunciada por el joven Louis de Broglie (1892-1987) -es decir, de la constatación de que la luz y los electrones actúan unas veces como ondas y otras como partículas-, Bohr afirmó que, en ambos casos, ni las propiedades de la luz ni las de los electrones pueden observarse simultáneamente, por más que sean complementarias entre sí y necesarias para una interpretación correcta.

En otras palabras, el principio de complementariedad expresa que no existe una separación rígida entre los objetos atómicos y los instrumentos que miden su comportamiento. Ambos son, en opinión de Bohr, complementarios: elementos de diversas categorías, incluyendo fenómenos pertenecientes a un mismo sistema atómico, pero sólo reconocibles en situaciones experimentales físicamente incompatibles.



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Siguiendo este razonamiento, Bohr también consideró que eran complementarias ciertas descripciones, generalmente causales y espacio-temporales, así como a ciertas propiedades físicas como la posición y el momento precisos. En su valioso ensayo titulado Luz y vida (1933), el científico danés, dando una buena muestra de sus singulares dotes para la especulación filosófica, analizó las implicaciones humanas de este principio de complementariedad.

En la década de los años treinta, el creciente interés de todos los científicos occidentales por el estudio del interior del núcleo del átomo -con abundante experimentación al respecto- llevó a Bohr al estudio detallado de los problemas surgidos al tratar de interpretar los nuevos conocimientos adquiridos de forma tan repentina por la Física atómica. Fue así como concibió su propio modelo de núcleo, al que comparó con una gota líquida, y propuso la teoría de los fenómenos de desintegración nuclear. Con ello estaba sentando las bases de la fisión nuclear, que acabaría dando lugar al más poderoso instrumento de exterminio concebido hasta entonces por el ser humano: la bomba atómica.

Bohr no llegó, empero, en primer lugar al hallazgo de la fisión nuclear, conseguida por vez primera -como ya se ha indicado más arriba- por Otto Hahn y Fritz Strassmann, en el Berlín de 1938. El 15 de enero de 1939 llevó las primeras nuevas de este logro científico a los Estados Unidos de América, en donde demostró que el isótopo 235 del uranio es el responsable de la mayor parte de las fisiones. Durante este fructífero período de colaboración, en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Nueva Jersey), con J. A. Wheeler, esbozó una nueva teoría del mecanismo de fisión, según la cual el elemento 94 -es decir, el plutonio, que no habría de ser obtenido hasta un año después por Glenn Theodore Seaborg (1912-1999)-, tendría, el proceso de fisión nuclear, idéntico comportamiento al observado en el U-235.

Algunas citas famosas de Bohr:

"Hay algunas cosas que son tan serias que solo podemos bromear con ellas". Fuente: Mis Frases.

"Un tonto siempre encuentra otro más tonto que le admire". Fuente: Mis Frases.

"Aquellos que no quedan disgustados, la primera vez que inician con la mecánica cuántica, seguramente no la entendieron".

"Cualquiera que no esté impactado con la teoría cuántica no la ha entendido".

"Hacer predicciones es muy difícil, especialmente cuando se trata del futuro".

"Un experto es una persona que ha cometido todos los errores que se pueden cometer en un determinado campo".

FUENTES:


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AASSPPÉÉCCTTOOSS EEPPIISSTTEEMMOOLLÓÓGGIICCOOSS DDEELL PPRROOCCEESSOO DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN CCIIEENNTTÍÍFFIICCAA

Autora: Dorenis Mota Villegas- C.I 17072840

Maestría en Educación Matemática FACE-UC

En el presente artículo se hará referencia a algunos términos estrechamente vinculados con el proceso de la investigación científica, a saber estos son: conocimiento, ciencia, método científico y epistemología. Posteriormente se mencionará propiamente en qué consiste la investigación científica y sus tipos desde el punto de vista de varios autores.

Se define conocimiento “como un proceso en el cual se relacionan el sujeto que conoce, que percibe mediante sus sentidos, y el objeto conocido o percibido” (p. 13. Ferrater, 1964), también, sintetiza la definición de conocimiento desde el enfoque fenomenológico del siguiente modo:

Conocer es lo que tiene lugar cuando un sujeto (llamado “cognoscente”) aprehende un objeto (llamado “objeto de conocimiento” y, para abreviar simplemente objeto)…Conocer es, pues, fenomenológicamente hablando, “aprehender”, es decir, el acto por el cual un sujeto aprehende un objeto. El objeto debe ser pues, por lo menos gnoseológicamente, trascendente al sujeto, pues de lo contrario no habría “aprehensión” de algo exterior: el sujeto se aprehendería de algún modo a sí mismo. (p. 341 Ob. cit.).

En el mismo orden de ideas, Sabino (1994) señala que el conocimiento no surge de un momento a otro, se trata pues, de un proceso histórico, donde la curiosidad humana ha jugado un rol fundamental. Se evidencia que en el conocimiento intervienen dos elementos esenciales: sujeto y objeto, ahora; si el sujeto representa correctamente o no al objeto es lo que separa al conocimiento en verdadero (posiblemente de manera parcial) del falso.

El conocimiento puede clasificarse el vulgar o científico, indistintamente de si es o no verdadero; el primero, de acuerdo a Tierno (1973), consiste en aquel conocimiento “cuya explicitación no implica mayor preparación que la posesión del lenguaje propio de las necesidades básicas comunicables, sin pensamiento reflexivo acerca del método empleado” (p. 24); el segundo es definido por Sabino (2000) como aquel tipo particular de conocimiento llamado ciencia, por lo tanto, no es más que un saber que ha sido resultado de una investigación en la que se ha utilizado el método científico (Arias, 2006).

En ese sentido, es importante mencionar la relación existente, desde el punto de vista de la autora, entre estos dos tipos de conocimiento; si bien es cierto que el conocimiento vulgar es considerado cotidiano, sin método ni fundamento científico; es de éste de donde surge aquel que sí lo es, ya que si se reflexiona sistemáticamente sobre ese conocimiento, dejaría de ser superficial y adquiriría un carácter científico.

En la definición dada de conocimiento científico, en el cual se hará énfasis en este artículo, se colocaron en cursiva dos términos que aún no han sido definidos, y es menester definirlos antes de continuar con lo que es propiamente la investigación científica, se trata de los vocablos: ciencia, investigación, y método científico.

Para definir ciencia, se ha tomado el punto de vista de los siguientes autores: Sabino (2000) menciona que “se caracteriza por un tipo de conocimiento que se preocupa conscientemente por ser riguroso, sistemático, receptivo ante la crítica, deseoso siempre de objetividad” (p. 10). Arias (2006) la describe como “un conjunto de conocimientos verificables, sistemáticamente organizados y metodológicamente obtenidos, relativos a un determinado objeto de estudio o rama del saber” (p. 16); por otra parte, la ciencia es concebida como aquella manera en que se espera que cierto conocimiento se formule a través de lenguajes rigurosos y apropiados (Ferrater, 1964); por último Moreno (citado por Hurtado y Toro, 1997), define ciencia como aquel fenómeno no natural, sino histórico, constituyéndose su verdad de acuerdo al orden civilizatorio en el cual se desarrolla, obedeciendo al paradigma que la rige.



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Se puede afirmar del párrafo anterior, que todos los autores convergen en que la ciencia es un conocimiento, pero no cualquier conocimiento, sino aquel que puede ser verificable por medio de procedimientos rigurosos, en consecuencia, debe ser objetivo, ya que constantemente será sometido a fuertes críticas; cabe destacar que se considera como el único tipo de conocimiento válido y por lo tanto generalizable, en consecuencia los autores afirman que se debe desechar todo aquel conocimiento fuera de esas consideraciones.

Por otra parte, se entiende por investigar, a aquel proceso sistemático y dinámico, cambiante e intencionado que facilita conocer; es decir, hace posible que surja el conocimiento (UPEL, 2002); de manera similar, Hurtado (2006) lo concibe como un proceso continuo y organizado a través del cual puede conocerse algún evento, cuya finalidad puede estar orientada tanto a dar respuesta a alguna inquietud o problema específico, como a encontrar leyes generales.

Ambos autores presentan el acto de investigar como rígido y sistemático, y en ese sentido; están asumiendo el hecho de investigar como la acción para “encontrar” el conocimiento científico, es decir, que para ellos, investigación es sinónimo de investigación científica, ya que no es de interés investigar otro conocimiento que no sea científico; desde este enfoque, el conocimiento es considerado como conocimiento científico y a su vez es traducido como ciencia.

Por su parte la investigación científica, es definida por Sabino (2000), como aquella actividad que permite adquirir un conocimiento de tipo científico, es decir, aquel conocimiento que es objetivo, sistemático, claro, organizado y verificable. De una manera general, y desde el punto de vista de su finalidad, Arias (2006), afirma que la investigación científica se trata de “un proceso metódico y sistemático dirigido a la solución de problemas o preguntas científicas, mediante la producción de nuevos conocimientos, los cuales constituyen la solución o respuesta a tales interrogantes.” (p. 22).

Ahora, es necesario preguntarse ¿cómo saber cuándo una investigación es científica? O mejor aun ¿Cuándo y cómo determina una investigación científica que cierto conocimiento es científico?, la respuesta está en el método científico el cual es, según Sabino (1994), el “procedimiento o conjunto de procedimientos que se utilizan para obtener conocimientos científicos, el modelo de trabajo o secuencia lógica que orienta la investigación científica.” (p. 31). En un sentido más general, Arias (2006) lo distingue como “el conjunto de pasos, técnicas y procedimientos que se emplean para formular y resolver problemas de investigación mediante la prueba o verificación de hipótesis.” (p. 18). El método científico permite aquel análisis capaz de atrapar la realidad tanto en su proceso como en su perspectiva de desarrollo, además, proporciona la forma en que se debe actuar con sus respectivas estrategias y tácticas (Hurtado y Toro, 1994). Por último la UPEL (2002) lo asocia con el conjunto de procedimientos que conducen el proceso de generar el conocimiento científico.

De lo anteriormente descrito se puede afirmar que entre la investigación científica y el conocimiento científico, se encuentra el método científico, como sustento de ambos, siendo este último “la estrategia” de la primera, para encontrar lo segundo (Rojas, 2002). También se puede concebir a la investigación científica como “la aplicación del método científico al estudio de un problema”. (Ávila, 2006).

La investigación científica se divide en varios tipos, no obstante, antes de analizarlos, se describirá en qué consiste la epistemología, siendo esta la “contralora” del conocimiento científico y por lo tanto, aquella ciencia intrínsecamente relacionada con la investigación científica.

De la epistemología es mucho lo que se puede comentar, sin embargo, en la medida de lo posible, la autora tratará de señalar, grosso modo, las definiciones más concretas del término; por una parte Blanché (1973) señala que “literalmente significa teoría de la ciencia” (p. 5). Del mismo modo, para Picardo, Escobar y Valmore (2005) es la teoría encargada de rendir cuentas de todo lo referente al conocimiento, los cuales aclaran que como la palabra proviene del griego “episteme” está referida solamente al conocimiento reflexivo y, por lo tanto, no al vulgar.

En consenso con los autores anteriores, Curcio (2002), la define como “es estatuto teórico de las ciencias, la lógica de la ciencia o investigación de los problemas lógicos o metodológicos propios de la actividad científica, sus presupuestos, la validez e implicaciones de sus enunciados” (p. 17).



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Volviendo a los tipos investigación científica, éstos pueden ser clasificados atendiendo a su nivel, diseño o propósito (Arias, 2006); dependiendo del prototipo según Labrador y otros (2002), los cuales pueden ser Cientificistas, Naturalistas, Tecnicistas, o Documentales. También Sierra (citado por Hurtado y Toro, 1997) los distingue de acuerdo a su finalidad o propósito, alcance temporal, amplitud, fuentes, marco o lugar donde se desarrollan, naturaleza, estudios a los que den lugar y el objeto al que hacen referencia.

Para concluir, se hace referencia a que los comentarios mencionados en este artículo se hacen desde el paradigma positivista; a sabiendas de que en la actualidad también se maneja el post positivismo en contraposición. Sin embargo este último será discutido en otra oportunidad.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Arias, F. (2006). El proyecto de investigación: Introducción a la metodología científica (5ª ed.). Caracas: Episteme.

Ávila, B. (2006). Introducción a la metodología de la investigación [Libro en línea]. Consultado el 26 de Octubre de 2009 en: www.eumed.net/libros/2006c/203/

Blanché, R. (1973). L`Épistémologie [La Epistemología] (A. Giralt, Trad.). Barcelona: oikos-tau.

Curcio, C. (2002). Investigación cuantitativa: una perspectiva Epistemológica y Metodológica. Colombia: Kinesis.

Ferrater, J. (1964). Diccionario de Filosofía. Buenos Aires: Sudamericana.

Hurtado, I., Toro, J. (1997). Paradigmas y métodos de investigación en tiempos de cambio. Valencia, Venezuela: Episteme.

Hurtado, J. (2006). El proyecto de investigación (4ª ed.). Bogotá: Sypal.

Labrador, M.; Orozco, C. y Palencia, A. (2002). Metodología: Manual teórico-práctico de metodología para tesistas, asesores, tutores y jurados de trabajos de investigación y ascenso. Valencia: Autor.

Picardo, O.; Escobar, J. y Valmore, P. (2005). Diccionario Enciclopédico de Ciencias de la Educación. San Salvador: El Salvador.

Rojas, M. (2002). Manual de investigación y redacción (3ª ed.). Lima: Booxxpress.

Sabino, C. (1994). Cómo hacer una tesis (2ª ed.). Caracas: Panapo.

Sabino, C. (2000). El proceso de investigación. Caracas: Panapo.

Tierno, E. (1973). Conocimiento y Ciencias Sociales. Madrid: Tecnos.

Universidad Pedagógica Experimental Libertador. (2002). Introducción a la Investigación. Caracas: FEDUPEL.


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LUDWIG SCHLÄFLI (*1814-†1895)

Ludwig Schläfli (15 de enero de 1814 - 20 de marzo de 1895). Matemático suizo. Fue un geómetra y estudioso del análisis de variable compleja, una de las figuras clave en el desarrollo de la noción de espacios de dimensiones mayores que 3. Es considerado, junto con Arthur Cayley y Bernhard Riemann, uno de los arquitectos fundamentales de la geometría multidimensional.

Biografía.

Juventud y educación. Schläfli pasó la mayor parte de su vida en Suiza. Nació en Graßwyl, pueblo natal de su madre, y se trasladó luego a la cercana Burgdorf, donde su padre era comerciante. Este deseaba que Lüdwig siguiera sus pasos, pero el joven carecía de interés por los asuntos prácticos.

En virtud de sus habilidades matemáticas, se le permitió asistir al Gymnasium de Berna en 1829. Para ese tiempo, ya estaba aprendiendo cálculo diferencial Mathematische Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen de Abraham Gotthelf Kästner (1761). En 1831 pasó a la Akademie de Berna para proseguir sus estudios. En 1834 la Akademie se convertiría en la Universität Bern, donde comenzó a estudiar teología.

Enseñanza. Luego de graduarse en 1836 obtuvo un puesto como maestro de escuela secundaria en Thun. Permaneció allí hasta 1847; en su tiempo libre estudiaba matemática y botánica mientras asistía a la universidad en Berna una vez a la semana.

En 1843 se produjo un cambio radical en su vida. Schläfli había planeado visitar Berlín y acercarse a la comunidad matemática de esa ciudad, en especial a Jakob Steiner, un conocido matemático suizo. Pero Steiner fue a Berna y allí se encontraron. Steiner no sólo quedó impresionado por los conocimientos matemáticos de Schläfli, sino también por su dominio del italiano y el francés.

Steiner le propuso a Schläfli asistir a sus colegas de Berlín: Jacobi, Dirichlet, Borchardt y el propio Steiner como intérprete en un viaje que realizarían a Italia.

Schläfli los acompañó a Italia, y el viaje le resultó muy beneficioso. Permanecieron allí más de seis meses, tiempo durante el cual Schläfli hasta tradujo algunas obras matemáticas de los otros al italiano.

Vida posterior. Schläfli mantuvo correspondencia con Steiner hasta 1856. Se presentó para una cátedra en la universidad de Berna en 1847, siendo incorporado en 1848. Allí permaneció hasta su retiro en 1891, y empleó su tiempo libre en estudiar sánscrito y traducir el

libro sagrado hindú Rig Veda al alemán, hasta su muerte en Berna en 1895.

Geometría multidimensional. Hacia 1850 el concepto general de espacio euclidiano no se había desarrollado, pero las ecuaciones lineales de n variables eran bien entendidas. William Rowan Hamilton había desarrollado los cuaterniones en la década de 1840, y John Thomas Graves y Cayley habían hecho lo propio con los octoniones. Estos sistemas trabajaban respectivamente con bases de cuatro y ocho elementos, y sugerían una interpretación análoga a la de las coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional.

Desde 1850 hasta 1852 Schläfli trabajó en su obra fundamental, Theorie der vielfachen Kontinuität, en la que inició el estudio de la geometría lineal del espacio n-dimensional. Sin embargo, sus propósitos de publicar la obra se frustraron. Primero fue rechazada por la Akademie de Viena, debido a su extensión. Igual suerte corrió en Berlín. Después de una larga pausa, se le pidió a Schläfli escribir una versión más corta, a lo que se negó. Ni siquiera su amigo Steiner pudo lograr que se publicase en el Crelle, por razones que se desconocen. Partes de la obra fueron publicadas por Cayley en inglés en 1860. La primera publicación del manuscrito completo no sucedió hasta 1901, después de la muerte de Schläfli. La primera recensión del libro apareció en la revista matemática holandesa Nieuw Archief voor de Wiskunde en 1904, escrita por el matemático holandés Pieter Hendrik Schoute.

Mientras tanto, Riemann sostuvo su famosa Habilitationsvortrag «Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen» en 1854, e introdujo el concepto de variedad n-dimensional. El concepto de espacios de mayores dimensiones comenzaba a florecer. No se sabe si Riemann estaba familiarizado con la obra de Schläfli.

Politopos. En su Theorie der Vielfachen Kontinuität Schläfli define lo que llama poliesquemas, que hoy conocemos como politopos, análogos multidimensionales de los polígonos y los poliedros. Desarrolla su teoría y halla, entre otras cosas, un análogo multidimensional de la fórmula de Euler. Determina los politopos regulares, hallando que son seis en la dimensión 4 y tres en todas las dimensiones mayores que 4.

Si bien Schläfli era bastante conocido entre sus colegas de la segunda mitad del siglo XIX, especialmente por sus contribuciones al análisis complejo, sus trabajos iniciales geométricos no merecieron la debida atención por largo tiempo. Al comienzo del siglo XX Pieter Schoute y Alicia Boole Stott comenzaron a trabajar en politopos. Alicia Boole (hija de George Boole) volvió a probar los resultados de Schläfli para politopos regulares, sólo para la dimensión 4, y luego redescubrió su libro. Más tarde Abraham Willem Wijthoff estudió los politopos semiregulares, y este trabajo fue continuado por H. S. M. Coxeter, John Conway y otros. Todavía quedan numerosos problemas a resolver en el área de investigación abierta por Schläfli.

Obtenido de: Wikipedia. Consulta: 23 Diciembre 2008.

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