Instituto Politécnico Nacional Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada

Unidad Legaria

Análisis del juego “escoba del 1” para el estudio de fracciones en estudiantes en su

primer año de secundaria

Tesis que para obtener el grado de

Maestro en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta

Marcelo Fabián Astorucci Monroy

Directores de Tesis

M.C. Juan Gabriel Molina Zavaleta

Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza

Ciudad de México, Mayo de 2018.

ii

FORMATO SIP13

iii

FORMATO SIP14

iv

Autorización de uso de obra

Instituto Politécnico Nacional P r e s e n t e Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Marcelo Fabián Astorucci Monroy (se anexa copia simple de identificación oficial), manifiesto ser autora y titular de los derechos morales y patrimoniales de la obra titulada Análisis del juego “escoba del 1” para el estudio de fracciones en estudiantes en su primer año de secundaria, en adelante “La Tesis” y de la cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales “La Tesis” por un periodo de diez años contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se renovará automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación. En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de autor de “La Tesis”. Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La Tesis”, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido de “La Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso.

Ciudad de México, a 14 de mayo de 2018.

Atentamente

. Marcelo Fabián Astorucci Monroy .

v

RESUMEN

Esta investigación tiene la intención de brindar una herramienta para reducir

una de las dificultades históricas que conlleva la educación matemática: la

enseñanza-aprendizaje de fracciones.

La herramienta es un dispositivo didáctico implementado en tres etapas. La

primera consistió en develar los conocimientos sobre fracciones que traen los

estudiantes de primaria, a través de un diagnóstico. Una vez identificados los ocho

estudiantes que no manejan los conceptos de fracción como parte de un todo, la

relación de equivalencia en fracciones y la relación de orden en fracciones unitarias,

se los dividió en dos grupos iguales: por un lado, los estudiantes control para tener

un parámetro de comparación y por otro, los estudiantes invitados a jugar a la

escoba del 1 en un ambiente controlado (con el fin de incluir videograbaciones de

las partidas como insumo para el análisis de los datos). Finalmente, para evaluar el

impacto real que tuvo el juego, se realizó un segundo diagnóstico que evaluó

exactamente los mismos conceptos que el primer diagnóstico.

La implementación del dispositivo duró dos semanas. El primer diagnóstico

fue propuesto la clase previa al comienzo del tema fracciones. Después de una

semana de trabajo en el aula, los cuatro estudiantes tuvieron la instancia de juego

(45 minutos: el equivalente a una hora de clase) y al final de las dos semanas de

trabajo, se les propuso a los ocho estudiantes seleccionados el segundo diagnóstico.

vi

ABSTRACT

The aim of this dissertation is to deliver a tool which can help reduce a significant

difficulty within the field of mathematics: the teaching and learning of fractions.

The abovementioned consists of a three-stage didactic method. The first step was

to assess students’ prior knowledge of fractions (from Primary School) with a

Diagnostic Test. The subsequent step involved the division into two identical

groups of all eight students who failed to identify the concept of fractions as part

of a set, to understand equivalent fractions and to order unit fractions. One such

group was formed by those students who would later be used as model comparison

parameters to evaluate the impact of the activity; the other was formed by students

who were asked to play Escoba in a controlled practice (the aim was to produce

visual recordings of the rounds as input for data analysis).

To conclude, a second Diagnostic Test was placed, covering the same topics as the

first, in order to measure the actual impact of the game.

The activity was implemented over two weeks. The first Diagnostic Test was

placed before the lesson on fractions was delivered and was followed by a week of

classwork where four students were engaged in the game for 45 minutes (which

accounts for one school period). After two weeks of work, all eight students were

asked to sit for the second Diagnostic Test.

vii

ÍNDICE GENERAL

Índice de figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Índice de gráficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Índice de tablas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Capítulo 1. PROBLEMÁTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Contexto Escolar . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Problemática observada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Justificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Capítulo 2. MARCO TEÓRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Investigaciones sobre la utilización de juegos y/o materiales concretos para la enseñanza-aprendizaje de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Investigaciones que involucran la dificultad en la enseñanza-aprendizaje de número racional como fracción . . . . . . . 17

2.1.3 Investigaciones en las que se utilizó como marco teórico la Investigación-Acción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Marco Conceptual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Pregunta de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Capítulo 3. METODOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1 Dispositivo Didáctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Sesión de aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Capítulo 4. ANÁLISIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1 Respuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 Análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Trabajos a futuro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Plano del área de influencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Figura 2. Piezas del juego escoba del 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Figura 3. Primer diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 4. Segundo diagnóstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 5. Leyenda de la imagen 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 6. Leyenda de la imagen 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 7. Primer diagnóstico de alumna 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 8. Primer diagnóstico de alumna 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 9. Primer diagnóstico de alumno 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 10. Primer diagnóstico de alumno 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 11. Segundo diagnóstico de alumna 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 12. Segundo diagnóstico de alumna 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 13. Segundo diagnóstico de alumno 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 14. Segundo diagnóstico de alumno 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Figura 15. Simulacro de jugada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 16. Simulacro de jugada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

ix

ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Resultados parciales de la primera partida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Tabla 2. Resultados de la segunda partida. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tabla 3. Resultados de la tercera y última partida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tabla 4. Respuestas de los estudiantes en el primer diagnóstico. . . . . . . . . . . . . . . 41

Tabla 5. Respuestas de los estudiantes seleccionados en el segundo diagnóstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Tabla 6. Cantidad de conceptos que manejan los estudiantes según el primer diagnóstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tabla 7. Comparación de resultados antes y después de la aplicación del juego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

x

GLOSARIO DE TÉRMINOS

Juego co-instruccional. El juego como parte de las actividades del aula para

alcanzar los objetivos educativos. (Gairín, 1990)

Juego de estrategia. Demanda poner en práctica habilidades, razonamientos y

destrezas que permitan elaborar y ejecutar un plan.

Juego matemático. Este tipo de juego tiene objetivos matemáticos y cognitivos

específicos.

Estrategia. En un proceso regulable, conjunto de las reglas que aseguran una

decisión óptima en cada momento. (Real Academia Española)

Acción lúdica. Acción que produce alegría, diversión y placer.

Fracción como parte de un todo. División en partes iguales de una totalidad.

Fracciones equivalentes. Fracciones que representan el mismo número (la

misma cantidad).

Fracción unitaria. Fracción con numerador uno (una parte de la totalidad).

1

INTRODUCCIÓN

El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de la

matemática. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado

tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no

tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la belleza? (De

Guzman, 2003, contraportada)

Desde hace miles de años que el ser humano ha indagado la realidad que

lo rodea, esta curiosidad que lo llevó a conocer y manipular su entorno también

lo ha llevado a imaginar y a buscar actividades que lo estimulen, lo desafíen y lo

diviertan al mismo tiempo. Esto nos lleva a pensar que el juego debe de existir

desde que existe la humanidad, seguramente no en su misma forma que hoy en

día lo conocemos, pero seguramente existía. Lo que sí es cierto es que ha

evolucionado junto con la humanidad, más allá del tiempo que ha de existir.

De la misma manera que el juego ha sido inherente al crecimiento y al

desarrollo de la humanidad, también está fuertemente ligado a los inicios de la

matemática. Si recorremos la historia de la matemática, sin necesidad de

profundizar, nos cruzamos con la geometría de Euclides, la sucesión de

Fibonacci, el hotel de Hilbert, la conjetura de Goldbach, entre otros grandes

descubrimientos que irrefutablemente nos incita a pensar que estos grandes

matemáticos se divertían al investigar, ¿no tiene su veta lúdica el teorema de los

cuatro colores, el concepto de equivalencia topológica o la teoría de grafos? Sin

ir más lejos, la teoría de juegos formalizada por el matemático húngaro John

Von Neumann (1903 - 1957) expone el estrecho vínculo entre la matemática y

el juego.

En el aula nos encontramos con muchos estudiantes que ven a la

matemática como inalcanzable y aburrida, esto converge ineludiblemente a la

siguiente pregunta ¿por qué no buscar formas de contagiar ese encanto

2

subyacente de la matemática a quienes no la visualizan? ¿A través del juego se

podrá conquistar a las masas? O al menos, ¿su uso podrá posibilitar el

aprendizaje?

El rechazo y la falta de interés que muchos sienten ante la matemática

interpelan a quienes nos dedicamos por la enseñanza de la matemática haciendo

patente la necesidad de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Esta

necesidad ha ido mutando, a lo largo de los años, el objeto de estudio de la

matemática educativa, por ejemplo, el uso de los juegos como herramienta.

La presente investigación es una evaluación de la utilización del juego

“escoba del 1” para posibilitar el aprendizaje de algunos conceptos vinculados

a las fracciones en estudiantes de primer año de secundaria.

3

Capítulo 1

Problemática

1.1 Contexto escolar

El dispositivo didáctico será implementado en el Liceo Espigas. Este

liceo es un proyecto de la Fundación Retoño en el Uruguay gestionada por la

Asociación Civil AUDEC (Asociación Uruguaya de Desarrollo, Educación y

Capacitación). Está ubicado en el barrio Puntas de Manga, en una zona sub

urbana sobre la ruta nacional No 6 en el km. 18, ciudad de Montevideo (Figura

1). Aparte de liceo, el Centro Educativo cuenta con diversos programas

atendiendo aproximadamente a 500 niños y adolescentes de hasta 18 años de

edad.

Figura 1. Plano del área de influencia

4

Según el censo de 2011, en esta zona hay un total de 6538 viviendas, de

las cuales 6194 están ocupadas y viven 20252 personas. Casi la tercera parte de

los hogares tienen ingresos por debajo de la línea de pobreza. Esto la coloca en

una de las zonas con mayor número de pobres de Montevideo. El 49% de los

jefes de hogar (quienes tienen ingresos) solo alcanzaron a finalizar estudios

primarios y solo el 4% alcanzó estudios terciarios.

Entre las mujeres adolescentes de la zona, hay una gran proporción de

madres (el 20% de las adolescentes tuvo al menos un embarazo).

“En términos socio-económicos, la zona de influencia se caracteriza por

tener niveles importantes de vulnerabilidad social, analizando indicadores como

pobreza, hacinamiento o nivel educativo” (Equipos Mori, 2013, p. 16).

“La desafiliación del sistema educativo a los 15 años es 10 puntos

porcentuales más alta en la zona (25%) que en el resto de Montevideo (15%), y

esa diferencia aumenta aún más a los 17 años” (Equipos Mori, 2013, p. 17).

El 25% mencionado anteriormente se compone de un 8% que abandonó

Primaria (completa o incompleta) y el restante 17% lo hizo en Ciclo Básico. A

los 17 años, la no asistencia a un centro de enseñanza formal se incrementa

hasta el 50%.

5

1.2 Problemática observada

En las zonas con vulnerabilidad socioeconómica los niños y adolescentes

–en su mayoría– han repetido algún año en primaria, y según un artículo

publicado en el 2016 por la United Nations Educational, Scientific and Cultural

Organization (en adelante UNESCO), la repetición es la variable con mayor

magnitud asociada al aprendizaje después del índice de nivel socioeconómico.

Como se puede ver a continuación en la Gráfica 1, hay una diferencia de

15 puntos porcentuales en los estudiantes (en el año previo al ingreso

secundario) que han repetido algún año y los que no han repetido.

Gráfica 1. Barra gris: Sin repetición. Barra rosada: Al menos repitió un año en primaria.

Es claro que en las zonas con vulnerabilidad socioeconómica los factores

que afectan el avance y el aprendizaje en el ámbito educativo son múltiples. Esta

problemática hace que la práctica docente sea un factor esencial para que los

estudiantes logren aprendizajes significativos. El clima socioemocional y las

6

interacciones positivas tienen una vinculación fuerte con el aprendizaje. En este

sentido, es que se requiere generar distintos tipos de estrategias a la hora de

impartir clases.

A la multiplicidad de factores externos se le suma el factor académico.

La matemática como la mayoría de las ciencias, utiliza un lenguaje alejado del

lenguaje cotidiano, como también una simbología totalmente nueva y exclusiva.

Este obstáculo epistemológico (Bachelard, 1976) se acentúa más para

estudiantes que es el primer año que se enfrentan a un curso exclusivo de

matemática (es el comienzo de la abstracción), sin ir muy lejos y a modo de

ejemplo: ¿qué es un número arriba de otro separado de una rayita? Por otra

parte, en matemática hay muchos conceptos que conllevan una gran dificultad

en su aprendizaje, entre ellos se encuentra el concepto de fracción –siendo

motivo de diversas investigaciones respecto a su enseñanza–aprendizaje–.

La principal razón por la que es difícil entender el concepto de fracción

(también ocurre con otros conceptos) está en las distintas acepciones que

coexisten, entre ellas: la fracción como parte de un todo, el resultado de una

división entre enteros, un punto de una escala graduada situado entre dos

enteros y/o la comparación entre dos valores (como razón). Otra gran

dificultad presente en este concepto son los distintos algoritmos (y cada uno de

ellos válidos) que se utilizan para operar con fracciones, compararlas y para

convertir un número en fracción y viceversa.

La enseñanza–aprendizaje de la matemática ha sido un problema que

también ha dado lugar a una cantidad importante de investigaciones. Uno de

los principales factores que incide directamente en la enseñanza, es el ambiente

que se establece en la tríada docente-estudiante-contenidos. Para que este

ambiente sea provechoso y productivo, debe invitar por un lado, que el docente

sienta la necesidad de enseñar y por otro, que los estudiantes tengan la necesidad

de aprender. El responsable de generar este ambiente es el docente,

7

maravillando y motivando a los estudiantes en comprender lo importante que

son los conocimientos tanto en su trayecto escolar como para la vida cotidiana.

Particularmente en el caso de las fracciones, suele suceder que son vistas

como algo totalmente inconmensurable con la realidad, ya sea por la dificultad

que implica su comprensión o por la manera que se suele presentar este

conocimiento en el aula. Un intento por revertir el rechazo, la frustración y la

falta de interés que comúnmente se da en el aprendizaje de las fracciones, es

cambiar cómo se presenta este conocimiento a los estudiantes. En correlación

con este intento, el juego puede ser una muy buena estrategia y la escoba del 1

–el juego en cuestión– está diseñado de manera que cualquier estudiante puede

jugar, tenga o no, conocimiento previos sobre fracciones.

8

1.3 Justificación

El juego

Existen distintas definiciones de lo que es el juego, a lo largo de la historia

se han proporcionado numerosas definiciones y el carácter complejo de cada

una de ellas dificultan (por no decir imposibilitan) consensuar en una sola. Pero

sí se puede precisar la importancia de incluir esta acción (jugar) en la enseñanza

de la matemática y en efecto, utilizarlo como recurso en esta investigación.

El juego es un instrumento didáctico activo, contrariamente a la clase de

matemática expositiva (pasiva para los estudiantes) que muchas veces se suele

practicar en el aula. El juego, en sí mismo, tiene en cuenta los procesos

intelectuales, afectivos y el intercambio de punto de vista en sus participantes,

como también la relación y la comunicación entre ellos. Jugar implica tomar

riesgos, estos riesgos implican exponerse, mostrarse como uno es, desplegar

habilidades, como también animarse al error, a perder o a ganar. Si a todas estas

características mencionadas, se le suman (cuando el juego es bien escogido) la

motivación y la estimulación para explorar, se puede ver al juego como un

medio para generar situaciones de alto valor educativo y cognitivo, permitiendo

a los estudiantes experimentar, explorar, descubrir y reflexionar.

De Guzmán (1984) establece una similitud entre lo que implica jugar y

hacer matemática en el aula reconociendo ciertas semejanzas. Ambas

actividades requieren de una comprensión inicial (reglas del juego –

comprensión del enunciado), una búsqueda de estrategias (para ganar el juego

– para encontrar una solución al problema) y la aplicación de técnicas y

habilidades. Años más tarde, De Guzmán (1989), reafirmando la idea anterior,

continúa con las semejanzas entre jugar y hacer matemática. Un juego

cualquiera comienza con una introducción de unas cuantas reglas que define y

reconoce los objetos que se necesitan cuya función están definidas. Y

exactamente lo mismo ocurre con los objetos de cualquier teoría matemática,

9

están determinadas por definiciones implícitas y la manipulación de los objetos

matemáticos están ligados a las definiciones o axiomas pertinentes de la teoría.

Por otra parte, el juego asimismo contribuye al desarrollo de las

capacidades cognitivas como el lenguaje, la creatividad, la motricidad y las

relaciones sociales. Para Vigotsky (1988) la riqueza del juego en la enseñanza

está en potenciar el desarrollo y facilitar la apropiación de conocimientos por

medio de actividades significativas para los estudiantes, siempre y cuando se

desarrolle bajo intervenciones adecuadas del docente.

Según Chemello (2004) el juego puede utilizarse para diagnosticar el

estado de un determinado saber, iniciar el trabajo de un conocimiento nuevo,

para que los estudiantes reutilicen un conocimiento aprendido o para evaluar

sus aprendizajes.

En esta ocasión, con la escoba del 1, se evaluará y se busca consolidar los

conceptos de fracción como parte de un todo, fracción equivalente y relación

de orden en fracciones unitarias.

Material concreto

Los estudiantes a esta edad (entre 12 y 13 años), están en pleno pasaje de

lo que Inhelder y Piaget (2008) llaman estadio de las operaciones concretas y

estadio de las operaciones formales. El estadio de las operaciones concretas se

caracteriza por tres tipos de operaciones mentales: seriación, clasificación y

conservación. La seriación es la capacidad de ordenar los objetos en progresión

lógica (de menor tamaño a mayor tamaño, de más liviano a más pesado, etc.)

de manera que no necesitan la comparación dos a dos para realizarla. La

clasificación que se logra en esta etapa es la clasificación múltiple y la inclusión

de clases. La clasificación múltiple implica disponer objetos teniendo en cuenta

más de una característica y la inclusión de clases supone comprender la relación

10

entre clases y subclases, por ejemplo, dentro de los animales, cuales son

vertebrados y cuales invertebrados.

Teniendo presente en qué etapa están los estudiantes, se hace de suma

importancia trabajar con material concreto, ya que muchos estudiantes (en

particular los que presentan dificultades para lograr un aprendizaje significativo

de los conceptos) necesitan de herramientas características de la etapa cognitiva

que están superando.

Trabajar con material concreto-tangible permite el desarrollo de

nociones lógicas básicas (por lo explicado anteriormente), estimula los sentidos

y la creatividad y aún más importante, propone un aprendizaje significativo a

través de la vivencia misma de situaciones, como dice la frase conocida “oigo y

olvido. Veo y recuerdo. Hago y entiendo”, efectivamente el trabajar con

material concreto va directo a la última oración “hago y entiendo”.

Fracciones

En el programa de educación inicial y primaria (2008) –en Uruguay– se

expone que en el último año de primaria se trabaja el concepto de fracción

como parte de un todo, como razón entre dos números enteros, relación de

orden en fracciones con igual y distinto denominador y equivalencia entre

fracciones como la representación de un mismo número racional.

Como es preocupante el poco manejo que los estudiantes demuestran

tener en torno a estos conceptos, resulta conveniente buscar estrategias que

reviertan, o intenten revertir esta situación. Es por eso que se decidió trabajar

con el juego la escoba del 1 que, de manera implícita, están presentes los

conceptos mencionados.

11

Capítulo 2

Marco teórico

2.1 Estado del arte

La búsqueda de literatura se realizó en tres pilares: investigaciones en las

que la utilización de juegos sea el eje, en el que el concepto de número racional

como fracción y sus dificultades en la enseñanza-aprendizaje sea el eje y por

último, en las que la Investigación-Acción (en adelante IA) sea el marco teórico

utilizado. Esta revisión se realizó principalmente en español y como

complemento en inglés.

2.1.1 Investigaciones sobre la utilización de juegos y/o materiales

concretos para la enseñanza-aprendizaje de la matemática

En el trabajo realizado por Martínez y Meza (2017) titulado “Adición

entre Fracciones como Parte de un Todo Utilizando El Juego Con Regletas A3”

se plantea como objetivo –en estudiantes de cuarto grado de primaria– a través

de la utilización del juego con regletas A3 analizar la comprensión del proceso

de adición entre fracciones como parte de un todo.

El análisis se lleva a cabo a partir de diagnósticos, con el objetivo de

evidenciar las debilidades y fortalezas en su comprensión de la adición, estos

fueron propuestos antes de implementar el juego y luego de hacerlo.

El marco teórico que se utiliza para llevar adelante la investigación es la

“Investigación cualitativa”, este tipo de investigación tiene el beneficio que

abarca una amplia gama de situaciones donde puede ser aplicable, ya sea como

comportamientos, procesos de aprendizaje, emociones, sentimientos, entre

otras. También es usual su uso para explorar áreas sustantivas sobre las que se

puede conocer poco y obtener un conocimiento nuevo. Por otra parte, este

12

marco teórico conlleva la implementación de un método en la misma línea de

investigación y que es la etnográfica, ya que permitió conocer los fenómenos,

los procesos desarrollados en su complejidad, como también acceder a un

enfoque humanista y hermenéutico del sujeto y su realidad.

Según Martínez y Meza (2017) los cambios que se han obtenido fueron

favorables en la comprensión de la adición de fracciones como parte de un todo.

Esta conclusión se reflejó en la comparación de los diagnósticos ya que en los

propuestos inicialmente se encontraron debilidades y dificultades en la

conceptualización elaborada por los estudiantes, mientras que en el diagnóstico

propuesto posteriormente a la aplicación del juego, los procesos realizados por

los estudiantes se manifestaron (en la mayoría) de manera eficaz.

Como se puede apreciar, al igual que en la investigación que se está

llevando a cabo, se utiliza el juego como estrategia metodológica para el

mejoramiento en la comprensión de conceptos matemáticos, particularmente,

la adición entre fracciones. También se evidencia que el juego brinda un

acercamiento que elimina la apatía que muchos estudiantes presentan hacia la

matemática ayudando que logren aprendizajes significativos. No es menor

destacar la similitud en el desarrollo de este trabajo con la investigación que se

llevará adelante: la utilización de un diagnóstico previo y posterior a la aplicación

del juego como recurso para la comparación de los resultados, como también

el análisis del impacto que tuvo el juego en el aprendizaje de los contenidos en

cuestión.

González (2014) en su tesis de maestría “Estrategias utilizadas por

estudiantes universitarios al intentar ganar juegos de estrategia bipersonales”

tiene dos objetivos centrales, las características que tienen las estrategias

utilizadas por los estudiantes universitarios al intentar ganar en el juego “círculo

de monedas” y si la práctica de juegos favorece los procesos de pensamientos

para la resolución de problemas. En esta investigación se convocó a 3

13

estudiantes, dos jugadores y un colaborador técnico para que filmara las partidas

a realizar. Se filmó las partidas de manera que se vean los movimientos de los

jugadores y se les solicitó que hicieran apuntes de sus conclusiones que iban

pensando a medida que transcurría el juego.

La realización de las partidas evidencia que los jugadores identificaron

dos estrategias ganadoras de las cuatro que tiene el juego. En cuanto a las

características de las estrategias que utilizaron se pudo identificar: prueba y

error, búsqueda de patrones, simplificación de tareas difíciles y pensar hacia

adelante.

Como lo manifiesta la autora, una condición básica para dar lugar a la

utilización de distintas estrategias es la comprensión de las reglas y ser

consciente del propósito del juego. Otro factor importante es que los jugadores

se sientan desafiados intelectualmente por el otro, si el otro jugador muestra

una reducida gama de estrategias o no comprende el juego, generaría dos

inconvenientes: el desinterés por jugar y la falta de búsqueda de estrategias para

ganar o el mejoramiento de las habilidades de juego.

Si bien hay mucha literatura que demuestra que los juegos favorecen los

procesos de pensamiento para la resolución de problemas, en este juego, con

las estrategias que surgieron se evidencia que efectivamente favoreció los

procesos. Las características de las estrategias mencionadas son similares a las

utilizadas en la resolución de problemas matemáticos. Específicamente, para

enfrentarse a un problema matemático, se pasa por tres fases (al igual que en el

juego): comprensión del problema (comprensión de las reglas del juego),

concebir un plan de resolución (elaborar un plan para ganar), y ejecutar el plan

(poner a prueba el plan).

En Offenholley (2012) se presentan algunos juegos para utilizar en la

clase de matemática justificando que su uso, por su propia naturaleza, aumenta

el aprendizaje a través de las emociones positivas que genera la experiencia de

14

jugarlo, disminuyen la ansiedad aumentando la motivación y hasta se puede

profundizar en el aprendizaje.

En el presente, se describe un estudio que se hizo en Escocia que

consistió en poner a jugar, los primeros veinte minutos de cada clase, a

estudiantes de primaria al Brain Training de Nintendo –es un jugo que presenta

pruebas de lectura, juego de memoria y desafíos aritméticos–. Este estudio que

se realizó con 600 niños mostró una sensible mejora en matemática con

respecto a los niños “control” (que no se sometieron a jugar veinte minutos

diarios, sino que tuvieron clase normal).

En este artículo también se evidencia dos grandes herramientas que

brinda el juego (a criterio del docente-investigador). Por un lado, habilita la

creación de mundos imaginarios e identidades facilitando exponencialmente el

aprendizaje. Y por otro, que al ser un juego bien escogido, cambia la actitud en

la clase y ante la asignatura, comprometiéndose más, reconociendo el valor de

la matemática y el respeto por el otro.

Villabrille (s.f.) considera que el juego constituye un papel importante en

la enseñanza de la matemática en distintos momentos del proceso enseñanza-

aprendizaje. Enumera varias razones de porqué considerar un juego en la

enseñanza, entre ellos se destacan: la motivación de los estudiantes, el desarrollo

de habilidades y destrezas, y generar una actitud positiva de los estudiantes ante

la matemática. Por otra parte, hace una posible clasificación de los distintos

juegos: reglados, libres, estrategia, azar y colectivos e individuales. Si bien no

todos serían una buena elección para generar aprendizaje (por ejemplo los

individuales y libres muchas veces no lo son), los reglados, de estrategia y

colectivos los señala como buena opción para llevar a cabo el trabajo en el aula.

Pone como ejemplo el triángulo de Pascal, el tangram, los poliminos, el

tetraminos y desarrolla distintas actividades que se podrían utilizar con cada uno

de ellos.

15

Cabe mencionar que la escoba de 1, según la clasificación de la autora,

entraría en un juego reglado ya que es un juego con determinadas reglas a seguir

y objetivos a lograr.

Muñoz (2014) en su trabajo de grado realiza un análisis de la situación

actual en la enseñanza de la matemática en Argentina, afirmando la necesidad

de un cambio y éste lo propone a través de la utilización de materiales didácticos

en el aula, particularmente con juegos. En consecuencia, el objetivo del trabajo

es mostrar la importancia que tiene la utilización de materiales concretos o

interactivos en la clase de matemática, sin ánimos de establecerlos como única

metodología, sino que la intención es mostrar las ventajas y también las

desventajas de utilizarlos.

Si se tiene en cuenta que el cerebro está dividido en dos hemisferios y

cada uno funciona de forma diferente, hay que tener presente que el hemisferio

izquierdo es el encargado de las funciones como el pensamiento secuencial, el

análisis lógico, la capacidad de escucha, el lenguaje, etc.; mientras que el

hemisferio derecho se encarga de las funciones como la memoria fotográfica,

la creatividad, la imaginación, la orientación espacial, la concentración, etc.

Ciertamente en la clase de matemática se suele trabajar de manera que se

favorece exclusivamente el lado izquierdo, perdiendo el gran potencial cerebral.

En consecuencia, el trabajo con materiales manipulativos favorece el desarrollo

del hemisferio derecho, logrando de esta manera un desarrollo integral de la

capacidad cerebral de cada estudiante. Al igual que en Villabrille (s.f.), la autora

enumera ventajas y también desventajas de la utilización de material concreto

en el aula. A continuación se explicitarán las ventajas que (a criterio del docente-

investigador) se destacan: que facilita la comprensión y constituye un medio

suficientemente rico para aprender, permite reflexionar sobre los conceptos y

propiedades tangiblemente (en palabras de la autora: se piensa con la palma de

la mano), es el camino a la abstracción, es motivador, fomenta la escucha y la

16

cooperación, garantiza un aprendizaje atractivo y ayuda a trabajar de forma

simbólica permitiendo que resuelvan problemas casi de forma inconsciente.

La autora no habla de desventajas, sino que habla de factores que

condicionan la utilización de esta metodología. Uno de estos factores es el

centro educativo (haciendo referencia al apoyo que reciben los docentes para

trabajar de esta forma como también contar con los recursos para llevarla a

cabo), el profesorado (tiene que estar formado en esta área o interesarse en la

misma para que se pueda llevar a cabo de manera efectiva y también debe estar

en formación permanente) y por último y no menos importante, las familias y

los estudiantes deben percibir que efectivamente es una forma de aprender, en

tanto, no puede ser muy esporádico el uso de juegos o materiales concretos ya

que su influencia sería nula o puede generar la falsa sensación de que “en la

clase jugamos y no hacemos matemática”.

Finalmente describe muchos juegos didácticos, material concreto para

trabajar en el aula, pasatiempos, juegos de mesa, entre otros.

Se puede ver cómo las ventajas en la utilización de juegos y material

concreto se reiteran en los distintos artículos citados. Por otro lado, en el caso

de los factores que desfavorecen, en la institución en que se llevará a cabo esta

investigación, ninguno es un inconveniente, ya que el liceo brinda los recursos,

el investigador-docente trabaja con esta metodología periódicamente y se

interesa en el tema desde inicios de su formación.

17

2.1.2 Investigaciones que involucran la dificultad en la enseñanza-

aprendizaje de número racional como fracción

La tesis de maestría: “Dificultades en la enseñanza de las operaciones con

números racionales en la educación secundaria” (Castaño, 2014, p. 1) se centra

en las dificultades –reconocerlas e identificarlas– a las que se enfrentan los

docentes a la hora de abordar las operaciones con números racionales. El marco

teórico utilizado es el de Creswell –que define cuatro diseños de métodos

mixtos–, en el caso de esta investigación, el diseño es recurrente, puesto que se

hace una aplicación secuencial de un diseño cuantitativo y uno cualitativo que

se aplican independientemente, pero cuyos resultados se complementan para

identificar las dificultades. Según lo obtenido en la encuesta y en el taller, se dio

de manifiesto que las dificultades en los estudiantes –con respecto a las

operaciones con los números racionales– están enfocadas en el conocimiento

acumulativo previo que se tiene. En esta literatura, casi el 60% de los docentes

encuestados atribuye que los problemas son de aprendizaje y no de enseñanza,

mientras que el otro 40% se lo atribuye a la enseñanza o a ambas.

Preocupantemente, si nos enfocamos en el 60% nombrado, la

investigación develó una visión técnica de la enseñanza –todo aquello que es

bien enseñado, automáticamente es bien aprendido y si esto no sucede es

porque los estudiantes presentan dificultades de aprendizaje–. Por otro parte, el

resto de los encuestados –el 40% restante– hizo referencia que las dificultades

ante el aprendizaje de los números racionales se debe a que se parte de los

procesos de abstracción antes que de situaciones reales. En síntesis, esta

investigación evalúa la dificultad desde la enseñanza en asistencia a las

dificultades de aprendizaje ya presentes.

En González (2015) antes de plantear la pregunta y objetivo del trabajo,

se enumeran los errores más comunes en el estudio de fracciones. Entre ellos

(son varios) aparecen efectivamente los que están involucrados en la

18

investigación que llevaré a cabo. Uno de los errores comunes que aparece es el

de invertir la relación de orden en las fracciones unitarias argumentando que es

porque el entero del denominador es mayor. El otro que aparece, de mi interés,

es la extrapolación de la adición de enteros para encontrar equivalentes, por

ejemplo, una fracción equivalente a 3/5 sería 15/17. A partir de la enumeración

de los errores más comunes que los estudiantes de Cantabria traen desde

primaria, las preguntas de investigación son dos, por un lado, ver si estos errores

vuelven a aparecer en el primer año de secundaria y por otro identificar los

factores que llevan a que los alumnos sigan cometiéndolos.

Para llevar a cabo este trabajo, se realizó un cuestionario a 67 estudiantes,

33 niños y 34 niñas con el fin de identificar los errores comunes que continúan

cometiendo los chicos en la secundaria. Fue realizado dentro de la clase de

matemática sin decirles que era con fines de investigar para asegurar la fiabilidad

de los resultados.

La metodología aplicada fue de carácter mixto. Es decir, la identificación

de errores requiere un análisis cuantitativo de los datos obtenidos, pero para

responder la segunda pregunta (los factores que llevan a cometer los errores)

requiere de un análisis cualitativo para comprender en profundidad los factores.

Del análisis realizado en esta investigación, que por cierto es exhaustiva,

recupero los datos de interés para mí investigación. Se obtuvo un 31.3% de

errores en la relación de orden en fracciones unitarias y un 38,8% en la

extrapolación de las operaciones con enteros para encontrar equivalentes. Que

aproximadamente la tercera parte de estudiantes tengan estos errores, reafirma

la necesidad de seguir indagando dispositivos para recomponer estos errores

comunes que se siguen dando.

El artículo publicado por Barrios y Meza (2010) describe una

intervención en el aula para jóvenes entre 10 y 11 años de Córdoba en la

enseñanza de fracciones. En este advierte que una de las causas por las que la

19

matemática no se ve como una actividad divertida y llena de sorpresas (aparte

de ser una herramienta indispensable para las ciencias naturales) es la forma

mecánica y aislada de la realidad con que se enseña (generalmente).

Previo a la descripción del trabajo se realizó una referencia teórica-

práctica de los conceptos a trabajar. Conjeturando que para lograr un

acercamiento efectivo a la división de la unidad, se debe de haber trabajado

sobre la unidad y la partición de esta en partes iguales sin perder la noción de

unidad. En otras palabras, trabajar contextualmente la noción de fraccionar una

unidad, como por ejemplo, cuántas veces entra 25 centímetros en un metro,

como también medidas no exactas, cuántas veces entran 30 centímetros en un

metro, entre otras. El estudiante debe poder interpretar la fracción de unidades

en diferentes contextos. La partición y repartición en partes iguales de una

unidad dada es un concepto clave para lograr el aprendizaje de las fracciones.

Dado que la fracción tiene múltiples interpretaciones se debe dotar a los

estudiantes en su conocimiento, su manejo y el vínculo que existe entre ellas.

Este artículo considera las siguientes interpretaciones: medida (relación de una

parte y de un todo), reparto (como el resultado de una división en situaciones

de reparto), operador (como un número actuando sobre una parte,

modificándola), razón (una comparación entre dos cantidades) y relación parte-

todo. Esta última tiene siete atributos que la caracterizan: un todo compuesto

por elementos separables, la separación se puede realizar en un número

determinado de partes, las subdivisiones pueden cubrir el todo (si se quiere

cortar un pastel para tres personas, se cortan tres trozos iguales, pero estas no

componen la totalidad del pastel), el número de partes no coincide con el

número de divisiones, las partes son iguales, un parte se puede considerar como

una totalidad y por último, el todo se conserva.

Es importante mencionar que la comprensión del número no es solo el

aprendizaje de una sucesión numérica, es también la apropiación de un sistema

20

de signos como herramienta cultural en diferentes contextos en los que los

niños tengan que resolver problemas.

Luego de esta intervención (a partir de un rectángulo en cartón de un

color, marcado en doceavos y en diferente color la representación de un medio,

un tercio, un cuarto, un sexto y un doceavo), se pudo observar como emergió

el entusiasmo, su participación activa y el enlace de los conocimientos nuevos

y los ya adquiridos, como también el desarrollo del pensamiento lógico-

matemático al trabajar con material concreto.

Fazio y Siegler (2013) es un libro que resume varias investigaciones que

involucran la enseñanza-aprendizaje de las fracciones, en este, se manifiesta que

utilizar la idea de fracción como parte de un todo (ejemplo: un tercio es una

parte de un entero que fue divido en tres partes iguales), es importante pero no

logra transmitir lo suficiente. Por ejemplo, esta idea impide que no se considere

a las fracciones impropias (cuatro tercios no es un número porque no se puede

repartir cuatro partes de un objeto que fue dividido en tres), en este caso sería

eficaz el trabajo con la recta numérica así se logra la asociación de las fracciones

como magnitud y no como parte-todo.

Otra dificultad manifiesta, es la necesidad por parte de los docentes de

generar distintas estrategias con el fin de realizar las explicaciones adecuadas y

pertinentes antes de enseñar los procedimientos para realizar cálculos. Los

niños que comprenden el por qué es necesario tener fracciones con el mismo

denominador para la adición de fracciones, serán más propensos a recordar el

procedimiento correcto que aquellos niños que no lo comprenden.

Por otra parte, menciona la necesidad de que los docentes discutan y

corrijan los conceptos erróneos que tengan los estudiantes en cuanto al

concepto sobre fracción que se esté trabajando, pero no se pueden inadvertir.

Un caso común es la adición de fracciones, que es confundido con la adición

en enteros.

21

Por último, es pertinente enfatizar que el aprendizaje de los estudiantes

sobre un tema, está en correlación con el conocimiento que tenga el docente

sobre el mismo, por esta razón, es que se requiere de docentes muy bien

formados en el concepto de fracción para intentar obtener buenos resultados

por parte de los estudiantes. Si bien este libro es una guía, no brinda

herramientas para revertir las dificultades de enseñanza-aprendizaje de

fracciones, sino que invita a la reflexión sobre lo que se debe tener presente a la

hora de enseñar número racional como fracción.

2.1.3 Investigaciones en las que se utilizó como marco teórico la

Investigación-Acción

En Carbó y Mántica (2013) se trabaja bajo la metodología de la

investigación-acción. Este método no prescribe reglas que rijan las formas de

utilizarlo, pero proporciona una orientación general a los docentes para ampliar

su comprensión de las situaciones particulares a estudiar en el aula. Bajo este

método se implementa una secuencia didáctica, de manera espiralada en un

primer año de secundaria en Santa Fe, para abordar la desigualdad triangular

respecto a los lados de un triángulo para indagar la noción de infinito que

manejan (potencial o actual).

Hasta el momento de la implementación de la secuencia, los estudiantes

no habían recibido una instrucción formal acerca de los temas

relacionados con el infinito actual, por lo que sus respuestas se podían

interpretar como espontáneas. Por esta razón, se estima conveniente

trabajar previamente problemas con más de una solución o sin solución,

el compás como instrumento de medición, el conjunto de números reales

y su representación en la recta numérica, el concepto de densidad y, de

manera intuitiva, la propiedad de completitud de dicho conjunto, para

luego trabajar en una situación geométrica. (Carbó y Mántica, 2013, p.

30)

22

Como los estudiantes estaban en conocimiento que fue un proyecto de

investigación, y brindaron su consentimiento y permiso, se utilizó grabación de

audio y video (esta la realizaba el docente que era un observador no participante)

para realizar la recolección de datos.

En el estudio se pudo evidenciar que la noción de unidad de medida es

tan fuerte (en el caso de los ángulos) que no les permite ver a los ángulos de

amplitud no entera. Como consecuencia, algunos estudiantes eran conscientes

de su inestabilidad en sus fundamentos llegando a situaciones contradictorias.

Por ejemplo, sostener la idea que son millones de triángulos e inducir que por

eso son infinitos, o bien mantener la idea que son infinitos pero gráficamente

solamente se señalan los que tienen ángulos de amplitud entera. Por otro lado,

algunos estudiantes que intentaron establecer una relación entre los puntos de

una recta y los números del intervalo (1, 2), demostraron una idea conceptual

del infinito actual, pero seguían imposibilitados en establecer una conexión con

el problema, en partes, también generado por el amarre a la representación

geométrica.

En este trabajo se visualiza una manera de aplicar el marco teórico que

utilizaré en la investigación en cuestión –investigación acción–. Si bien el

contenido no coincide, la forma de implementarlo y la recolección de datos son

afín al trabajo que llevaré adelante.

23

2.2 Marco conceptual

La investigación-acción se relaciona con los problemas prácticos

cotidianos experimentados por los profesores, en vez de con los

‘problemas teóricos’ definidos por los investigadores puros en el entorno

de una disciplina del saber (Elliot, 2000, p. 24)

Para Elliot (2000) la IA en una institución educativa tiene lugar cuando

se interpreta “lo que ocurre” desde el punto de vista de quienes actúan e

interactúan y se busca una transformación de la situación.

Para que la situación en cuestión sea tangible por los participantes, es

necesaria la observación y la indagación. He aquí la importancia de consensuar

a través de un diagnóstico los conocimientos previos que traen los estudiantes

desde primaria sobre el concepto de fracción. Una vez consensuado e

identificado el problema, se formula la estrategia de acción con el fin de resolver

el problema (la intervención a través del juego la escoba del 1), se hace el análisis

correspondiente y como la investigación acción puede ser espiralada, esta

sucesión de pasos se puede volver a repetir. Como culminación del proceso de

la IA sería la formulación de la hipótesis científica, en este caso, el impacto que

tiene la escoba del 1 para el estudio de fracciones en estudiantes en su primer

año de secundaria.

Según Ander-Egg (2013) para realizar una investigación basada en la

Investigación-Acción-Participativa (en adelante IAP), se requieren dos pilares

fundamentales: el origen de la demanda (explicado en la justificación de esta

disertación) y tener conocimiento de los protagonistas potenciales (descrito en

el contexto escolar).

Logrados estos dos pilares, la primera fase de la IAP es el desarrollo de

un plan. En la clase anterior al comienzo de número racional se le propone (a

todo el grupo) un primer diagnóstico (figura 3) con el fin de evaluar los

24

conocimientos previos que traen desde primaria. Una vez seleccionados los

estudiantes que manejan las mismas carencias en el tema fracciones es que se

lleva a cabo la intervención. La segunda fase es poner el plan en práctica, esto

es, con la mitad de los estudiantes seleccionados, de manera aislada del resto, se

les propone jugar a la escoba del 1. Mientras se pone en marcha las partidas, a

modo de observar (tercera fase), se filma (con el consentimiento de las familias,

por medio de carta formal, otorgando al docente-investigador permiso de

imagen) y se registra lo que el docente-investigador considere relevante para

llevar adelante el estudio, la revisión y la reflexión de los efectos de la acción

(cuarta fase y última en este caso). No es menor destacar que todos los

estudiantes tienen el mismo tiempo de trabajo de aula (dos semanas) y los

estudiantes que jugaron a la escoba del 1, la única instancia de más que tuvieron,

fue el juego.

La IAP, al igual que otras teorías de investigación que trabajan en la

transformación social, se caracteriza por ser realista en cuanto a sus metas y sus

mecanismos para llevarla a cabo. Cabe mencionar que este realismo en la acción

requiere tener en cuenta algunos factores importantes.

Uno de estos factores es saber distinguir en tres categorías los objetivos

planteados: entre deseable, probable y posible. Lo deseable es lo que se quiere

lograr. En esta investigación sería que el impacto del juego sea altamente

positivo en el aprendizaje y la conceptualización de lo investigado (es el logro

del objetivo en su totalidad). Lo probable es lo que efectivamente se obtiene en

la realización de la investigación. En términos de este trabajo, las conclusiones

a las que se llegarían luego de la filmación, los registros realizados por el

docente-investigador y la comparación de los diagnósticos propuestos a los

estudiantes seleccionados. Finalmente, lo posible. Es lo que efectivamente se

concluye y se logra, ya sea poco, mucho o nada.

25

Un segundo factor a tener en cuenta para lograr el realismo en la acción,

es tener presente la multidimensionalidad. Esto hace referencia a evitar (en la

medida de lo posible) la subjetividad de una sola dimensión (la profesión y la

socioculturalidad del docente-investigador). Por ejemplo, en el caso que fuese

sociólogo, se corre el riesgo de que las explicaciones a las observaciones sean

todas desde una mirada sociológica. En otras palabras, no sesgar la

comprensión ni las conclusiones de lo investigado por causa de la naturaleza

profesional. En concordancia con la multidimensionalidad, está la

policausalidad de todo lo que acontece, tener claro que no existe una única

causa, todos los fenómenos y procesos, sociales y en el aula, responden a una

realidad afectada por varios componentes de distinta índole.

Y por último, se requiere de una visión polinuclear. Hay que saber ver y

mirar considerando todos los factores nombrados anteriormente, estar atentos

a los diferentes aspectos y dimensiones de lo que realmente sucede. La

fragmentación de la realidad ayuda a lograr una profunda comprensión de los

problemas puntuales. Si bien esta fragmentación es necesaria, no es suficiente,

se necesita lo que Ander-Egg (2013) denomina: una perspectiva sistémica.

Cuando el docente busca transformar una problemática identificada en

su práctica, lo puede hacer a través de un proceso complejo, cíclico entre

deconstrucción-comprensión-reconstrucción sistemático, es a lo que se le llama

investigación en educación. En este ámbito, la IAP es un proceso de

investigación que resulta de la reflexión ante la problemática registrada junto a

la planificación y ejecución de acciones para intentar mejorar la práctica docente

en relación con la situación problema.

Una vez determinado el problema se realiza la desconstrucción y

comprensión. La descripción retrospectiva, introspectiva y detallada de todo lo

que concierne al problema (la situación en la que están los estudiantes con

respecto a los conocimientos sobre el tema fracciones a través de un

26

diagnóstico). Este proceso permite tener una visión amplia de la práctica que es

la principal fuente de información para la investigación. El siguiente paso,

previo a la reconstrucción, es la implementación y sistematización de la

propuesta para comenzar el análisis (la selección de la población a investigar).

La reconstrucción es el resultado obtenido después de la implementación de las

acciones realizadas que hipotéticamente darán solución a la situación problema.

27

2.3 Pregunta de investigación

Como es de conocimiento por varias investigaciones, los juegos en la

clase de matemática enriquecen la comprensión de los conceptos involucrados

y los procesos de resolución de problemas empleados por los estudiantes. Estos

antecedentes han despertado el interés en realizar la investigación en la misma

línea. Concretamente, se llevará a cabo en un primer año de secundaria en un

liceo de contexto vulnerable social y culturalmente de Montevideo a través del

análisis del juego: escoba del 1.

En efecto, la interrogante de esta investigación es: la práctica del juego la

escoba del 1 en la clase de matemática, ¿favorece la comprensión de los

conceptos involucrados: fracción como parte de un todo, fracciones

equivalentes y la relación de orden en fracciones unitarias?

Para dar respuesta a esta pregunta se plantean las siguientes: ¿qué efecto

tiene el uso del juego en el aula de matemática sobre el aprendizaje de

fracciones? y ¿qué estrategias utilizan los estudiantes para ganar el juego escoba

del 1?

Estas preguntas planteadas como objetivo están muy vinculadas a la

pregunta de investigación, en tanto, son sendero para su respuesta. Haciendo

referencia a las preguntas planteadas como objetivo, la utilización de distintas

estrategias facilita la adquisición de los conceptos, aparte de mejorar los

procesos de los estudiantes para la resolución de problemas. En el caso

particular del juego, la incorporación de conceptos se da de manifiesto porque

de manera implícita para realizar jugadas eficaces se debe manejar los

conocimientos en cuestión.

28

Capítulo 3

Metodología

3.1 Dispositivo didáctico

El juego –escoba del 1– está compuesto por seis círculos cortados y

etiquetados (Figura 2). Uno en medios, otro en tercios, en cuartos, en sextos,

en octavos y en doceavos.

Cabe mencionar que este juego es una modificación, en las reglas y la

dinámica, de uno con el mismo nombre extraído del libro: Juegos en matemática

EGB2.

Figura 2. Piezas del juego escoba del 1

29

Según Chacón (2008), en todo juego didáctico deben destacarse tres

elementos para que realmente lo sea: el objetivo didáctico, las acciones lúdicas

y las reglas del juego.

En la escoba del 1, a través de la visualización y la manipulación de las

fichas, se buscan tres objetivos didácticos. La conceptualización de la relación

de orden existente en las fracciones unitarias (a mayor denominador menor es

el número racional que representa), la conceptualización de las distintas

equivalencias que hay en el juego (las distintas maneras que se puede ocupar la

misma sección circular) y como tercer objetivo didáctico, el entendimiento de

la fracción como parte de un todo (cada sección circular es parte de un círculo).

Las acciones lúdicas –acciones que producen diversión, placer y alegría– son

imprescindibles en un juego y generan un ambiente ameno mejorando

sensiblemente el proceso de aprendizaje en los estudiantes. La intención de

generar acciones lúdicas son las que llevaron a escoger un juego con la

modalidad y el nombre similar a un juego conocido históricamente en Uruguay

(la escoba de 15).

Reglas del juego

El juego está diseñado para jugar de a dos o de cuatro jugadores. Se

mezclan las piezas en un recipiente opaco (caja, bolsa u otro). Cada participante

extrae cuatro piezas y se colocan tres piezas en el centro de la mesa. Por turno,

se debe jugar una pieza tratando de formar un círculo con una o más de las que

haya en la mesa. Si lo logra, las reúne formando un montón, si al formar la

unidad (el círculo) no queda ninguna ficha en la mesa, se denomina escoba

(porque “barre” la mesa). En caso de que no se pueda formar el círculo, igual

el jugador debe descartarse de una pieza por turno. Cuando no tengan más

piezas en la mano, se vuelve a sacar cuatro piezas del recipiente y así

sucesivamente hasta que se terminen las piezas. Gana el jugador que obtenga la

mayor cantidad de puntos. Se obtiene un punto por círculo formado, dos

30

puntos si fue escoba y un punto para el que haya recogido la mayor cantidad de

piezas.

Es importante destacar que el juego no solo es de contenidos, sino que

también es de estrategia. A priori se identifican dos características en las

estrategias que pueden llegar a surgir en el transcurso del juego:

- Ensayo y error. Pensar y estipular qué pieza es conveniente jugar y por qué,

como también utilizar una de las piezas que haya en la mesa, que sea igual a la

que tiene el jugador, para comprobar si sirve jugarla para completar la unidad.

- Pensar hacia adelante. La posibilidad de contar qué piezas ya se jugaron, cuáles

faltan jugar y ver las piezas que tienen sus oponentes.

Si bien el juego no tiene una estrategia ganadora, el último jugador (por

ser el último en descartarse) tendrá dos puntos, ya que siempre realizará escoba

con la última pieza a jugar.

31

3.2 Sesión de aplicación

En la clase previa a comenzar el tema fracciones se les propondría a todo

el grupo un diagnóstico (Figura 3). A partir de los resultados obtenidos se

seleccionaría a los estudiantes que no manejen, en algún grado de comprensión,

el concepto de fracción como parte de un todo, la equivalencia entre fracciones

y la relación de orden en fracciones unitarias. La mitad de los estudiantes

seleccionados, serían los estudiantes “control” (con ellos no se utilizaría el juego

con el fin de tener un parámetro de comparación respecto al impacto del juego

en el aprendizaje). A la otra mitad se les implementaría el juego, en caso de ser más de

cuatro, se implementaría en instancias distintas con el fin de que la recolección

de datos sea efectiva. Una vez sentados en ronda y entregado el juego –las

secciones circulares en una bolsa opaca– se proyectarían las reglas. Primero las

leería en voz alta y luego se explicarían oralmente dejando en la pantalla una

foto de las secciones circulares etiquetadas (figura 2) para que tengan presente,

en todo momento, cómo son las piezas involucradas.

Una vez aclaradas las reglas, a modo de práctica y de familiarización con

el juego, se jugaría las veces que sean necesarias para asegurar la comprensión

de las reglas y el objetivo del juego. Si es necesario para que la familiarización

sea eficaz, el responsable del grupo –profesor e investigador– participaría de

estas partidas. Obtenida la familiarización del juego, se considerarían como

parte de la investigación las posteriores tres partidas. Al finalizar estas partidas,

se realizaría una puesta en común con el fin de colectivizar las conclusiones que

hayan logrado individualmente.

Como última instancia de la aplicación, se evaluaría nuevamente los

conceptos involucrados con un diagnóstico parecido al propuesto inicialmente

(Figura 4), pero esta vez, solamente a los estudiantes escogidos inicialmente.

32

No es menor destacar que con todo el grupo se seguiría trabajando

acorde a lo planificado. Solo la mitad de los seleccionados, luego del primer

diagnóstico, serían sometidos al juego. Es decir, se trabajaría el mismo tiempo

con todo el grupo (dos semanas), a excepción de la instancia de juego con los

estudiantes correspondientes.

Recolección de datos

La recolección de datos se llevará a cabo en tres instancias.

- La primera recolección será a través de la filmación de las tres partidas

consideradas.

- Como segundo insumo, será la comparación de los dos diagnósticos

propuestos con los estudiantes seleccionados, para evaluar el impacto que

tuvo el juego en los contenidos involucrados.

- Y como último recurso pero no menos importante, será la observación

constante de cómo se irá desarrollando cada partida (sacando apuntes en caso

de que se considere pertinente), como también asistiendo a los jugadores en

caso de ser necesario.

33

3.3 Aplicación

Como la investigación se realizó en el marco de la IA, antes de comenzar

con la aplicación, se les explicó que iban a ser parte de una investigación y el

primer paso de esa investigación consistía en que completaran un diagnóstico

(Figura 3).

A la siguiente clase de que todo el grupo realizara el diagnóstico, se les

explicó que a partir de los resultados obtenidos se iba a seleccionar a ocho

estudiantes y se les dijo a estos ocho estudiantes que dentro de dos semanas

deberían realizar otro diagnóstico similar al que ya habían realizado (Figura 4).

A cuatro de estos, se les comunicó que en la siguiente semana se iba a trabajar

con ellos jugando a un juego con fichas.

En todo momento los estudiantes se mostraron sumamente

colaborativos y empáticos con su participación, tanto que una vez seleccionados

los ocho estudiantes, el resto quería seguir participando de alguna manera.

Instancia de las partidas

Esta instancia se llevó a cabo después de una semana de trabajo en el

tema fracciones. El salón que se utilizó ya se había preparado para llevar

adelante la instancia. Cuando llegaron se sentaron en los bancos dispuestos en

ronda para jugar, se les brindó las fichas para que las conocieran y las pudieran

manipular. A continuación, se proyectaron las reglas y una foto con las piezas

(Figura 2) para que las tuvieran presentes en todo momento de la instancia,

tanto por su tamaño o por su color. Se leyeron y explicaron las reglas y se

dispusieron a jugar con el fin de familiarizarse (la familiarización se alcanzó en

dos partidas). Como fue explicado en la sección anterior, las siguientes tres

partidas (posteriores a la familiarización) fueron las que se tomaron como parte

de la investigación.

Desarrollo de las tres partidas

34

Si bien la motivación y la predisposición estaban dadas, para mantener

ambas, las partidas se realizaron en el escenario de una competición por el

honor, ganaba quien obtuviera más puntos al término de las tres partidas. A lo

largo de las tres partidas se pudo apreciar la gran disposición y entusiasmo que

tuvieron al estar jugando.

Primera partida

En la primera ronda quedaron sobre la mesa: dos tercios y un cuarto, el

que era mano (el alumno 23), advierte que con una pieza azul (un doceavo)

obtiene una escoba y la realiza –tenía una pieza azul–. Ellos mismos acordaron

que si la ficha tocaba las restantes de la mesa, esta ya estaba jugada. Esto generó

cierto riesgo y nerviosismo, pero de todas maneras siempre se arriesgaron a

probar si la ficha que se disponían a jugar servía o no. Las dos primeras veces

que las alumnas 10 y 12 estimaron qué ficha jugar, lo hicieron con muy poco

criterio, ya que faltando casi medio círculo para completarlo, probaron con un

cuarto y un octavo. Sin embargo, en las siguientes jugadas, ya los cuatro

jugadores realizaban estimaciones con mayor criterio y con acierto en ocasiones.

En el transcurso de la partida, entre los jugadores 20 y 23 se apuraban para

generarle una mala jugada al otro.

El jugador 20, en el transcurso del juego (la segunda vez que le tocó

jugar), para evitar perder una ficha si “probaba” y sin querer tocaba al resto, usó

una de las fichas de la mesa (cuando estaba el círculo casi completo) y la

comparó con cada una de sus fichas (Figura 5) para ver si lo que faltaba para

formar el círculo lo conseguía con alguna de sus fichas (Figura 6).

Al final de la partida, los círculos obtenidos fueron los siguientes:

Alumno 23:

𝟏𝟑+𝟏𝟑+𝟏𝟒+𝟏𝟏𝟐

1

1 Primer levante realizado.

35

14+14+16+16+112

+112

2

12+13+112

+112

3

Alumna 12:

12+14+18+184

Alumna 10: No realizó levante.

Alumno 20:

16+16+16+18+18+112

+112

+112

5

𝟏𝟔+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟏𝟐

+𝟏𝟏𝟐

+𝟏𝟏𝟐

+𝟏𝟏𝟐

6

En esta partida tuvo mayor éxito el jugador que era mano, ya que obtuvo

el mayor puntaje y también una escoba no siendo el pie (las partidas en negro

señala las que fueron escoba).

Tabla 1

Resultados parciales de la primera partida

Jugador Puntos realizados Total Alumna 10 0 puntos Alumna 12 1 por levante 1 punto

Alumno 20 2 por levante + 1 por escoba + 1 por fichas 4 puntos

Alumno 23 1 por escoba + 3 por levante 4 puntos

Segunda partida

2 Tercer levante realizado. 3 Cuarto levante realizado. 4 Segundo levante realizado. 5 Quinto levante realizado. 6 Último levante realizado.

36

En la preparación de esta partida los estudiantes se seguían mostrando

muy entusiasmados por volver a jugar. En este caso, el comienzo fue con un

doceavo, un octavo y un cuarto sobre la mesa y la alumna 12 fue mano –

quedando: 12, 10, 20 y 23–. Desde el comienzo se puede visualizar como la

jugadora 10 no necesitó probar (antes de tomar la decisión) para jugar la pieza

necesaria para hacer un levante: la jugadora 12 tiró un sexto y la jugadora 10

(inmediatamente) quitó el octavo del círculo formado y colocó el medio que

faltaba.

Antes que el jugador 23 (el pie) termine la primera vuelta, la alumna 12

(mano) le sugiere que tire el medio que tiene para que ella pueda realizar un

levante. Este advirtiendo la intención, juega una ficha chica (un sexto)

imposibilitando el futuro levante. En el transcurso del partido, entre ellos se

apuraban o trataban de distraer al de su izquierda buscando su falla cuando le

tocara.

En la segunda y última ronda, la jugadora 12 (quedaban solamente 4

fichas por jugar y dos círculos por formar) tenía una jugada ganadora y no lo

advirtió, tampoco lo hizo la jugadora 10 que era quien le tocaba a continuación.

Finalmente quien realizó el levante fue el jugador 23 que al igual que las

jugadoras anteriores tenía una ficha ganadora.

Al término de esta partida, se obtuvieron los siguientes levantes y puntos:

Alumno 12:

12+14+16+112

7

13+13+18+18+112

8

Alumno 10:

7 Primer levante realizado. 8 Segundo levante realizado.

37

13+18+18+112

+112

+112

+112

+112

9

Alumno 20:

14+16+16+18+18+112

+112

10

Alumno 23:

12+16+16+1611

𝟏𝟒+𝟏𝟒+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟏𝟐

+𝟏𝟏𝟐

+𝟏𝟏𝟐

12

Tabla 2

Resultados de la segunda partida

Jugador Puntos realizados Subtotal Total Alumna 10 1 por levante 1 punto 1 + 0 = 𝟏

Alumna 12 2 por levante 2 puntos 2 + 1 = 𝟑

Alumno 20 1 por levante 1 punto 1 + 4 = 𝟓

Alumno 23 2 por levante + 1 por escoba + 1 por fichas 4 puntos 4 + 4 = 𝟖

Tercera y última partida

Antes de comenzar la última partida, si bien se mostraron entusiastas,

motivados y alegres por seguir jugando, para que no se perdiera el ambiente

ideal notorio, se les dijo el puntaje parcial señalando que dados los puntajes

cualquiera tenía oportunidad de ganar.

Al comienzo de la partida, la ronda se conformó de la siguiente manera:

Jugadora 10 mano, 20, 23 y 12, y sobre la mesa quedaron dos sextos y un

doceavo. En la primera ronda nadie hizo juego, recién cuando comienza la

9 Quinto levante realizado. 10 Cuarto levante realizado. 11 Tercer levante realizado. 12 Último levante realizado.

38

segunda ronda es que la jugadora 10 hace el primer levante. Luego de unas

jugadas, el jugador 20 nota que no hicieron juego, aun cuando se podían formar

un círculo con las fichas que había sobre la mesa, y como tenía una ficha igual

a una de las que formaba el levante, realiza el levante sin advertir a sus

compañeros. La jugadora 10 (en todo momento) visualiza y piensa antes de cada

jugada manipulando de distintas maneras las fichas para obtener la combinación

conveniente y realizar levante. Esta partida, a diferencia de las otras dos –que

duraron 10 minutos cada una– duró 8 minutos. Finalmente, los levantes y el

puntaje final se dieron de la siguiente manera:

Alumna 10

13+16+16+18+18+112

13

12+14+1414

Alumno 20

13+14+16+16+112

15

14+16+16+112

+112

+112

+112

+112

16

Alumno 23

12+13+112

+112

17

Alumna 12

𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟏𝟐

+𝟏𝟏𝟐

+𝟏𝟏𝟐

18

13 Primer levante realizado. 14 Tercer levante realizado. 15 Segundo levante realizado. 16 Quinto levante realizado. 17 Cuarto levante realizado. 18 Último levante realizado.

39

Tabla 3

Resultados de la tercera y última partida Jugador Puntos realizados Subtotal Total

Alumna 10 2 por levante 2 punto 2 + 1 = 𝟑

Alumna 12 1 por levante + 1 por escoba 2 puntos 2 + 3 = 𝟓

Alumno 20 2 por levante + 1 por fichas 3 punto 3 + 5 = 𝟖

Alumno 23 1 por levante 1 puntos 1 + 8 = 𝟗

Cuando se hizo la puesta en común, preguntándoles si veían alguna

particularidad en las fichas que les llamara la atención, la conclusión que surgió

fue: “cuanto más grande es el de abajo, más chica es la fracción”. Una vez que

fue escrita por uno de ellos en la pizarra y por todos en el cuaderno, se les

preguntó: ¿por qué creían que se podía formar el círculo de varias maneras

distintas? Inmediatamente nombraron varias equivalencias –casi todas con

respecto al medio–: “que dos cuartos eran iguales a un medio”, lo mismo con

tres sextos o con cuatro octavos, y la alumna 10 nombró que dos doceavos eran

iguales a un sexto. Nuevamente se les solicitó que escribieran las conclusiones

en sus cuadernos dando por finalizada la instancia del juego.

40

Capítulo 4

Análisis

4.1 Respuestas

Como se menciona en el capítulo anterior, el primer paso de esta

investigación consistió en proponer un diagnóstico (Figura 3) a todo el grupo

con el fin de evidenciar los conocimientos que tienen sobre fracciones como

parte de un todo, fracciones equivalentes y relación de orden en fracciones

unitarias. La selección de la población fue realizada a partir de sus respuestas,

en este caso, se seleccionó a todos los estudiantes que evidenciaron no manejar

en alguna medida los tres conocimientos a evaluar.

El diagnóstico (Figura 3) está compuesto por cinco actividades: 4 de

múltiple opción y la quinta pregunta de completar. En las primeras dos

actividades se evaluó el concepto de fracción como parte de un todo en dos

escenarios distintos: asociar una figura con la fracción que la representa

(actividad 1) y asociar una fracción a un contexto dado (actividad 2). En la

actividad 3 y 4 se evaluó la noción de fracciones equivalentes, por un lado, con

la comparación pictórica (actividad 3) y por otro, la asociación de la fracción

representada como cociente y su representación pictórica (actividad 4). En la

última actividad, en la parte a) se evaluó la noción de orden en fracciones

unitarias y en la parte b) en fracciones con igual denominador.

En la tabla 4 se presenta las respuestas de los estudiantes en términos de

bien (B) o mal (M), nombrándolos como “alumno n” para mantener el

anonimato de los estudiantes. Cabe aclarar que en la actividad 5, para hacer la

selección, se consideró solamente la parte a), que es la que evalúa el concepto

en cuestión.

41

Tabla 4

Respuestas de los estudiantes en el primer diagnóstico

Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5

Alumno 1 B M B B M

Alumno 2 M M M B B

Alumno 3 B M M B B

Alumno 4 B M B M B

Alumno 5 B M B B B

Alumno 6 B B B B B

Alumno 7 B B M B B

Alumno 8 B M M B B

Alumno 9 B B M B M

Alumno 10 B M M B M

Alumno 11 B M B B B

Alumno 12 B M M B M

Alumno 13 M M M B M

Alumno 14 B M B B B

Alumno 15 B B B B B

Alumno 16 B M B B M

Alumno 17 B M M M B

Alumno 18 B M B B B

Alumno 19 B M M M M

Alumno 20 M M M B B

Alumno 21 B B M B B

Alumno 22 B B B B M

Alumno 23 B M M M M

Alumno 24 B M M B B

Alumno 25 B M B B B

Los estudiantes que están en amarillo fueron la población seleccionada

para realizar la investigación. Como muestra la tabla, estos ocho estudiantes no

respondieron de manera correcta a los tres contenidos involucrados.

42

En la tabla 5 están los resultados del segundo diagnóstico de los ocho

estudiantes seleccionados. El segundo diagnóstico fue implementado luego de

que los estudiantes 10, 12, 20 y 23 jugaran a la escoba del 1 (aparecen primero

en la tabla).

Tabla 5

Respuestas de los estudiantes seleccionados en el segundo diagnóstico

Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5

Alumno 10 B M B B B

Alumno 12 B M M M M

Alumno 20 B M M B B

Alumno 23 B M B B B

Alumno 2 M M B B B

Alumno 13 B M M M M

Alumno 17 B M M B B

Alumno 19 M M M B M

En el anexo se puede ver el primer diagnóstico de cuatro estudiantes

seleccionados. Dos que participaron del juego (Figura 7 y 8) y dos que no lo

hicieron (Figura 9 y 10). En las figuras 11 y 12, 13 y 14 se puede apreciar el

segundo diagnóstico realizado por los mismos dos estudiantes que participaron

del juego y los dos que no participaron respectivamente.

43

4.2 Análisis

Como fue mencionado en la sección anterior, el plan de acción constó

de dos etapas: la realización de los diagnósticos y la implementación del juego.

Para llevar a cabo el análisis de los datos extraídos en las dos etapas se realizó

un análisis cuantitativo y cualitativo respectivamente. Con esta combinación en

el análisis de los datos se buscó dar respuesta con la mayor claridad y precisión

posible a la pregunta de investigación.

Diagnósticos

De la tabla 4 se desprenden los conocimientos previos que traen de

primaria (no se considera el factor olvido porque este puede perturbar la

realización de algoritmos, pero no los conceptos si el aprendizaje fue

significativo) sobre el concepto de número racional como fracción. Para

explicitar los resultados obtenidos se separó en cuatro categorías: no maneja

ningún concepto evaluado, maneja uno, maneja dos y los maneja todos en

alguna medida.

Tabla 6

Cantidad de conceptos que manejan los estudiantes según el primer diagnóstico

Cantidad de estudiantes Porcentaje (%)

No maneja ningún aspecto 0 0

Maneja un aspecto 3 12

Maneja dos aspectos 5 20

Maneja todos los aspectos en alguna

medida 17 68

44

Aquí se puede apreciar que en el primer año de secundaria en el liceo

Espigas de Montevideo, el 32% de los estudiantes (ocho estudiantes) no maneja,

en alguna medida, uno o dos conceptos de los tres evaluados y que son

trabajados a lo largo de los seis años de primaria. Curiosamente un porcentaje

similar al que surgió en González (2015) sobre estudiantes de Córdoba,

Argentina.

Como fue aclarado anteriormente, a partir de estos resultados, se trabajó

con el 32% de la población para analizar el impacto que tiene la escoba del 1 en

el aprendizaje de los conocimientos en cuestión. Con cuatro de ellos se aplicó

el juego y con los otros cuatro no, con el fin de tener un parámetro de

comparación.

Tabla 7

Comparación de resultados antes y después de la aplicación del juego

Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5

1er

diagnóstico

2do diagnós

tico

1er diagnós

tico

2do diagnós

tico

1er diagnós

tico

2do diagnós

tico

1er diagnós

tico

2do diagnós

tico

1er diagnós

tico

2do diagnós

tico

A. 10 B B M M M B B B M B

A. 12 B B M M M M B M M M

A. 20 M B M M M M B B B B

A. 23 B B M M M B B B B B

A. 2 M M M M M B B B B B A. 13 M B M M M M B M M M

A. 17 B B M M M M M M B B

A.19 B M M M M M M B M M

El orden en el que se encuentran los estudiantes en la tabla coincide con

la tabla 5 (los primeros cuatro alumnos son los que se sometieron al juego y el

resto son la población control). En color rojo aparecen las actividades que en

el primer diagnóstico la hicieron bien y en el segundo mal, en verde las que en

45

el primer diagnóstico la hicieron mal y en el segundo bien y finalmente en negro,

las actividades en que se mantuvo el acierto o el error.

Como se puede visualizar en los resultados de ambos diagnósticos, en la

actividad 2 la mayoría respondió mal (en ambos). Se concluye que intervino

otro factor que no se tuvo presente en la creación de los diagnósticos (la falta

de comprensión de texto, una dificultad predominante en esta población). Por

esta razón es que se menospreció esta actividad a la hora de realizar el análisis y

las conclusiones.

Como se puede observar, el juego tuvo impacto en los cuatro estudiantes.

En el primero que aparece en la tabla se evidencia la mejora en el concepto de

fracciones equivalentes y la relación de orden en fracciones unitarias; en el

segundo se devela una desmejora en la actividad que evalúa fracciones

equivalentes y en los últimos dos se evidencia una mejora en el concepto de

fracción como parte de un todo y nuevamente en fracciones equivalentes

respectivamente. Con estos resultados se puede decir que a nivel de contenidos

el juego tuvo un impacto positivo en un 75%. A esto se le suma que en dos de

las actividades (actividad 3 que evaluó fracciones equivalentes y actividad 5 que

evaluó relación de orden en fracciones unitarias) hubo una evolución en los

estudiantes que participaron del juego con respecto a los que no.

Analizando los otros participantes, se puede ver que en uno de ellos hubo

una mejora en la actividad 3; en dos de ellos si bien hubo una mejora (actividad

1 y actividad 4 respectivamente), también existió una desmejora en otra de las

actividades (actividad 4 y actividad 1 respectivamente) y el último estudiante a

analizar no presentó variación de acierto o error con respecto al primer

diagnóstico. Esto reafirma el impacto positivo que tuvo el juego sobre el

aprendizaje en esta pequeña población (la mejora exclusiva se redujo a un 25%

en los estudiantes que no se sometieron al juego).

46

Implementación del juego

El análisis de la implementación del juego se hará partida a partida.

Primera partida

En esta partida se observó el uso de dos estrategias. La primera que se

utilizó desde el inicio del juego y por los cuatro jugadores fue ensayo y error. Si

bien ellos mismo acordaron que “si la ficha toca las restantes de la mesa, esta ya

esta jugada”, la estrategia fue utilizada en todo momento, aun advirtiendo el

riesgo y el nerviosismo que generaba utilizarla. Las dos primeras veces que se

utilizó, se hizo con muy poco criterio, ya que faltando casi medio círculo

llegaron a probar con un cuarto y un octavo, pero inmediatamente, los cuatro

jugadores ya utilizaban esta estrategia con acierto. La otra “estrategia” utilizada

por dos de los jugadores –alumnos 20 y 23– era la de apurar al contrincante

(esta picardía se daba entre ellos y no involucraba al resto) con el fin de que

jugara mal.

Otro uso que se le dio a la estrategia (ensayo y error) fue usar una de las

fichas de la mesa –cuando estaba el círculo casi completo– y compararla una a

una con sus propias fichas (Figura 5) para ver si la sección circular que faltaba

para formar el círculo lo conseguía con sus fichas (Figura 6) y así evitar que al

probar se pudiera perder la ficha por tocar al resto.

Para finalizar el análisis de esta partida, se puede conjeturar que el jugador

23 fue el que entendió prematuramente las reglas y el objetivo del juego, ya que

obtuvo el mayor puntaje con tres levantes e incluso uno de ellos fue una escoba

siendo mano.

Segunda partida

En esta partida se dieron tres situaciones muy interesantes. Cuando

comenzó la partida con un doceavo, un octavo y un cuarto sobre la mesa, la

jugadora 10 que estaba a la derecha del mano, al ver que esta había jugado un

47

sexto (Figura 15), no necesitó probar para darse cuenta que apartando el octavo

que había sobre la mesa y jugando el medio que tenía realizaba levante (Figura

16). Esto evidencia la interiorización de la estrategia ensayo y error en la primera

partida, con interiorización se hace referencia al uso de la estrategia de manera

mental sin necesidad de la manipulación.

Cuando finalizaba la primera ronda, la jugadora 12 le sugiere al pie que

tire el medio que tenía en su poder (porque ella tenía piezas chicas). Acá es claro

que la jugadora está utilizando la estrategia pensar hacia adelante, generando sin

querer, que el jugador también utilice la estrategia, ya que advirtió su intención

y jugó una pieza chica para evitar el levante latente. La característica que se dio

a lo largo del juego fue que entre ellos se apuraban constantemente para

propiciar una jugada errónea del compañero.

En la última ronda, la jugadora 12, teniendo una ficha que generaba

levante no lo advierte y la jugadora 10 tampoco –estaba a la derecha de la

jugadora 12 y también tenía una ficha ganadora– esto se debió a la inflexibilidad

que les generaba el ir formando el círculo con las piezas que estaban en la mesa

(salvo en este caso, nunca superó la unidad las piezas de la mesa). Inflexibilidad

en las distintas combinaciones para poder formar un círculo, porque al ir

formando un círculo con las fichas que se van jugando, estaban limitando el

levante a una sola combinación. Cabe aclarar que esta inflexibilidad no fue

absoluta, como se mencionó en un caso anterior, hubo una jugada que ocurrió

lo contrario.

Tercera partida

En la primera ronda de esta partida nadie pudo hacer levante. Al igual

que lo ocurrido en la partida anterior, en la segunda ronda de esta partida, el

jugador 20 nota que las fichas que hay sobre la mesa forman un círculo (como

las que completaban el círculo estaban fuera del que se fue formando a medida

que se iban descartando, ningún jugador advirtió la posibilidad de levante) y

48

curiosamente, en lugar de comunicarlo, deja una de esas fichas afuera y juega la

misma (tenía una igual) y arma el círculo sin decir nada.

Por otro lado, la jugadora 10 evidencia manejar la estrategia ensayo y error

de manera abstracta, ya que en la partida anterior ya había manifestado la acción

y en esta partida se volvió a observar que antes de cada jugada piensa, mirando

alternadamente sus fichas y las de la mesa, antes de comenzar a manipular las

fichas de la mesa sin necesidad de utilizar las suyas.

Las primeras dos partidas duraron diez minutos, mientras que esta duró

ocho minutos. Este hecho se puede adjudicar al alcance de una mayor

comprensión de las reglas del juego y su objetivo.

A pesar de haber jugado cinco veces en total, no lograron identificar que

el último en jugar siempre hacía escoba con la última jugada. Con respecto a las

estrategias que surgieron, no se identificaron otras que las previstas en el estudio

del juego, salvo el de apurar al contrincante, pero no es una estrategia en sí

misma, sino que es una maniobra con el fin de desacreditar al contrincante.

Una vez terminadas las partidas, a los efectos de tener una visión más

confiable de la implementación del dispositivo didáctico, se les preguntó si algo

les llamaba la atención de las fichas y la conclusión que surgió fue: “cuanto más

grande es el de abajo, más chica es la fracción”, otras de las conclusiones fueron:

“dos cuartos eran iguales a un medio”, “tres sextos también”, “y cuatro

octavos” y también surgió la conclusión que “dos doceavos son iguales a un

sexto”. Esto reafirma que el juego tuvo un efecto positivo en cuanto a los

contenidos, porque claramente en esas afirmaciones está el concepto de relación

de orden en fracciones unitaria y la relación de equivalencia entre fracciones

(aun cuando no se mencionaron todas las posibles equivalencias).

49

4.3 Conclusiones

Como se puede observar en el análisis de los datos, cuando se hace

explícita la pregunta de qué visualizaron en el juego sobre matemática se hizo

manifiesta la comprensión de la relación de equivalencia y de orden en

fracciones unitarias. Si bien en la puesta en común no surge nada vinculado al

concepto de fracción como parte de un todo, el aprendizaje de este

conocimiento se ve reflejado en los diagnósticos realizado por los estudiantes.

Donde tres de ellos mantienen las respuestas correctas en la actividad que evalúa

este concepto y el cuarto estudiante, que en el primer diagnóstico había

respondido incorrectamente, lo hace de manera acertada en el segundo.

En los diagnósticos se da respuesta a parte del primer objetivo (¿qué

efecto tiene el uso del juego en el aula de matemática sobre el aprendizaje de

fracciones?). En la comparación de los diagnósticos se ve una mejora del 75%

en los estudiantes que jugaron contra un 25% en los que no. Esto reafirma lo

que varias investigaciones al respecto consideran: el efecto positivo de los

juegos en el aula de matemática cuando son bien escogidos e implementados.

El segundo objetivo hace referencia a las características de las estrategias

que utilizaron para ganar el juego de la escoba del 1. En el análisis de las partidas

realizadas se identificaron dos: ensayo y error y pensar hacia adelante. La estrategia

ensayo y error básicamente consiste en probar si una jugada sirve para realizar

un levante. Esta estrategia fue fácil de implementar (la utilizaron desde el

comienzo) porque basta con respetar y conocer las reglas del juego para llevarla

a cabo. La estrategia pensar hacia adelante consiste en prever y/o evitar que el

contrincante realice levante.

Es importante destacar que se deben dar al menos tres condiciones para

el surgimiento de estrategias: la comprensión de las reglas (por este motivo es

que se realizaron partidas de familiarización con el juego), equilibrio entre los

jugadores (la selección de estudiantes con ausencia de los mismos

50

conocimientos previos) y el juego tiene que ser un reto (involucra

conocimientos que a priori no manejan). En tanto, las condiciones para el

surgimiento de estrategias estaban aseguradas.

4.4 Trabajos a futuro

Esta investigación presenta dos limitaciones: por un lado que la

población en la que se trabajó fue muy pequeña y por otro, que si bien los

estudiantes mostraron una gran disposición para la participación de la

investigación, al haberse aplicado en una sola instancia cada diagnóstico y el

juego, pudieron haber intervenido otros factores que no fueron considerados

ni controlables que pudieron influir en las respuestas, por ejemplo su situación

emocional del momento.

Otra consideración importante a tener en cuenta es que la instancia de

juego no se hizo en una clase usual de matemática sino que se realizó en un

ambiente controlado. La ventaja de esta decisión es la recolección de datos por

medio de las videograbaciones enfocadas en los movimientos y sus

conversaciones, logrando un beneficio de los resultados para analizar.

Con varios ejemplares de este juego, esta práctica se puede desarrollar en

el aula y con todos los estudiantes. Asimismo extender el impacto positivo

(demostrado) que tiene la escoba del 1 a todo un grupo. También es de destacar

que este juego puede utilizarse en niveles inferiores, es decir, en los últimos años

de primaria y en distintas etapas del conocimiento: para diagnosticar el estado

de un determinado saber, introducción a un conocimiento nuevo o para evaluar

aprendizajes.

51

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publicado.

54

Anexos Primer diagnóstico

Actividad 1: ¿Qué fracción de la figura está sombreada?

a) 678

b) 676

c) 786

d) 766

Actividad 2: Hay 120 bolas en una caja y las dos terceras partes son rojas. ¿Cuántas bolas rojas hay

en la caja?

a) 60

b) 90

c) 80

d) 120

Actividad 3: Cada figura representa una fracción. ¿Qué figuras representan la misma fracción?

a) b) c) d)

Actividad 4: ¿Cuál de las siguientes figuras tiene 79 de los círculos en blanco?

a) b) c) d)

Actividad 5: Completa con “mayor que” o “menor que” según corresponda.

a) 7:…………………7

6

b) <7:………………… =

7:

Figura 3. Primer diagnóstico

55

Segundo diagnóstico

Actividad 1: ¿Qué fracción de la figura está sombreada?

a) 9>

b) 96

c) >9

d) 69

Actividad 2: Hay 24 bolas en una caja y las tres cuartas partes son rojas. ¿Cuántas bolas rojas hay en

la caja?

a) 24

b) 18

c) 12

d) 6

Actividad 3: Cada figura representa una fracción. ¿Qué figuras representan la misma fracción?

a) b) c) d)

Actividad 4: Identifica las fracciones equivalentes a :>.

𝒂)68

𝒃)916

𝒄)912

𝒅)1612

𝒆)1520

Actividad 5: Indica cuál es la fracción mayor.

110

12

16

Figura 4. Segundo diagnóstico

56

Figura 5

Figura 6

57

Figura 7. Primer diagnóstico de alumna 10

58

Figura 8. Primer diagnóstico de alumna 12

59

Figura 9. Primer diagnóstico de alumno 2

60

Figura 10. Primer diagnóstico de alumno 13

61

Figura 11. Segundo diagnóstico de alumna 10

62

Figura 12. Segundo diagnóstico de alumna 12

63

Figura 13. Segundo diagnóstico de alumno 2

64

Figura 14. Segundo diagnóstico de alumno 13

65

Figura 15. Simulacro de jugada.

Figura 16. Simulacro de jugada