Integral Definida
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FACFYM La Practica no te hace perfecto pero si el mejor..!!!
Facultad de Ciencias Fsicas y Matematicas
Calculo Integral
Tema:Integral Indenida
Darwin Daz Delgado
2015 - I
Chiclayo, junio del 2015
Computacion e Informatica 1 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
-
Contents
1. Integral Denida 3
1.1. Area, Integral denida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Propiedades de la Integral Denida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Teoremas Fundamentales del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
-
Chapter 1
Integral Denida
1.1. Area, Integral denida.
El gran problema se plantea cuando se intenta calcular el area de regiones mas generales
que las poligonales. Los primeros matematicos que intentaron resolver el problema de
una forma seria fueron los griegos, utilizando el metodo de exhaucion . Este metodo,
atribuido a Arqumedes, consiste en encajar la region entre dos polgonos, uno inscrito y
otro circunscrito. Si la diferencia entre las areas de los dos polgonos es peque~na, entonces
podemos aproximar el area de la region por cualquier numero comprendido entre el area
del polgono inscrito y el area del polgono circunscrito. El metodo que emplearemos aqu
es parecido. Se trata de aproximar el area de la region S que esta debajo de la curva
y = f(x), desde a hasta b. Es decir que S esta limitada por la graca de una funcion
continua f positiva (f(x) 0), las rectas verticales x = a y x = b, y el eje x.
S =(x; y) 2 R2=a x b; 0 y f(x)
3
-
1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
Observacion: Calcular el area de guras cuyos lados son rectos es relativamente facil
Consideremos la funcion y = f(x) = x2 desde 0 hasta 1
1
1
(1; 1)
y = x2
ahora aproximaremos el area de la region S por exceso, usando rectangulos (n = 4) cuyas
bases tienen una longitud de 1=4 y cuyas alturas estan dadas por el valor de f(x) = x2
en los puntos extremos de la derecha de cada rectangulo. Se puede observar que el area
de la suma de los rectangulos es mayor al area de la region S
lo mismo podemos hacer para aproximar el area de la region S por defecto, usando
rectangulos (n = 4) cuyas bases tienen una longitud de 1=4 y cuyas alturas estan dadas
por el valor de f(x) = x2 en los puntos extremos de la izquierda de cada rectangulo. Se
puede observar que el area de la suma de los rectangulos es menor al area de la region S
Computacion e Informatica 4 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
veamos ahora que sucede si consideramos mas rectangulos (n = 8) para la aproximacion
del area de la region S por exceso y por defecto
Computacion e Informatica 5 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
si observamos ambas aproximaciones por exceso y defecto podemos notar que a mas
rectanguloshes decir si n es un numero muy grande (n !1)
imejor es la aproximacion,
si denotamos a Rn como la suma de las areas de los rectangulos para cada valor de n;
podemos decir que:
Area de la region S = limn!1
Rn
Nota: Ahora formalizaremos esta idea
Consideremos la siguiente graca que corresponde a una funcion general, en la cual se
consideran rectangulos con ancho 4x = b an
y altura f(xi), donde xi es el extremo
derecho de cada intervalo (ancho)
notemos que x0 = a, es el limite izquierdo que corresponde al rectangulo cuya area se
denota por A1, luego:
Computacion e Informatica 6 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
x1 = a+4xx2 = a+ 24 xx3 = a+ 34 x
...
xi = a+ i4 x = a+ in(b a)
luego:
Suma de Areas = A1 + A2 + ::::::::::::+ An
=b an
f(x1) +b an
f(x2) + :::::+b an
f(xn)
=nX
i=1
b an
f(xi)
como la sumatoria depende de \ i "
=b an
nXi=1
f(xi)
recordemos que el area bajo la curva que se quiere aproximar es el lmite de las suma de
las areas Ai, es decir
limn!1
(Suma de Areas) = limn!1
b an
nXi=1
f(xi)
como el lmite depende de \n "
= (b a) limn!1
1
n
nXi=1
f(xi)| {z }Area bajo la curva
usando la notacion de integrales tenemos:
Z ba
f(x)dx = (b a) limn!1
1
n
nXi=1
f(xi) (1.1)
Computacion e Informatica 7 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
Formulas de sumas:nX
i=1
c = nc
nXi=1
cai = cnX
i=1
ai
nXi=1
(ai + bi) =nX
i=1
ai +nX
i=1
bi
nXi=1
i =n(n+ 1)
2
nXi=1
i 2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
nXi=1
i 3 =hn(n+ 1)
2
i2
Ejemplo 1.1.1 Hallar:
Z 10
x3dx
Solucion:
f(x) = x3, a = 0; b = 1
xi =i
n
entonces f(xi) = f in
=
i3
n3
(1; 1)
y = x3
1
0 1
Z 10
x3dx = (1 0) limn!1
1
n
nXi=1
f(i
n)
= limn!1
1
n
nXi=1
i3
n3
= limn!1
1
n4
nXi=1
i3
Computacion e Informatica 8 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
= limn!1
1
n4
hn(n+ 1)2
i2= lim
n!11
n4
n4 + 2n3 + n24
= limn!1
14+
2
4n+
1
4n2
=1
4
Ejemplo 1.1.2 Hallar:
Z 21
(4x3 3x2)dx
Solucion:
f(x) = 4x3 3x2, a = 1; b = 2xi = 1 +
i
n
Z 21
(4x3 3x2)dx = (2 1) limn!1
1
n
nXi=1
f(1 +i
n)
= limn!1
1
n
nXi=1
h41 +
i
n
3 3
1 +
i
n
2 i
= limn!1
1
n
nXi=1
h 4i3n3
+9i2
n2+
6i
n+ 1
i
= limn!1
1
n
h 4n3
nXi=1
i3 +9
n2
nXi=1
i2 +6
n
nXi=1
i+nX
i=1
1i
= limn!1
1
n
h 4n3
hn(n+ 1)2
i2+
9
n2n(n+ 1)(2n+ 1)
6+
6
n
n(n+ 1)
2+ n
i
= limn!1
h1 +
1
n
2+
3
2
1 +
1
n
2 +
1
n
+ 3
1 +
1
n
+ 1
i= 8
Computacion e Informatica 9 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
Ejercicios 1.1.1
1. Usando denicion de integral denida, calcular las siguientes integrales:
a)
Z 11
x(x+ 1)dx b)
Z 22
x2dx
c)
Z 22(x2 2x+ 2)dx d)
Z 22(x2 2x+ 2)dx
e)
Z b0
x3dx f)
Z 21
(4x3 3x2)dx
2. Expresar el siguiente limite como una integral denida sobre el intervalo dado:
a) limn!1
nXi=1
1
n+ i; sobre [0; 1] b) lim
n!1
nXi=1
1
n+ i; sobre [2; 6]
c) limn!1
nXi=1
i
(2i+ n)2; sobre [0; 1] d) lim
n!1
nXi=1
n
i2; sobre [0; 1]
e) limn!1
nXi=1
pn+ ipn3
; sobre [0; 1] f) limn!1
nXi=1
i
npi2 + n2
; sobre [0; 1]
3. Exprese como una integral denida sobre [0; 1] y luego calcule la integral
limn!1
1np1 + n2
+2
np4 + n2
+ ::::+n
npn2 + n2
4. Exprese el lmite
limn!1
4n2
nXk=1
(2n+ k) sen 2k2n
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0;
2]
5. Exprese el lmite
limn!1
nXk=1
ln
npk + 2n ln np2k + n
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0; 1]
Computacion e Informatica 10 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.1 Area, Integral denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
6. Exprese el lmite
limn!1
nXk=1
(n+ k)pkn
n3 + 3k2n
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0; 2]
7. Exprese el lmite
limn!1
nXk=1
1pnpn+ k
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0; 1]
8. Exprese el lmite
limn!1
nXk=1
2k
n3
pk2 + n2
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0; 1]
9. Exprese el lmite
limn!1
nXk=1
1
n2(n k)
2k + nn
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [0; 2]
10. Exprese el lmite
limn!1
nXk=1
n+ 2k
n2 + 2nk + 2k2
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [1; 3]
11. Exprese el lmite
limn!1
nXk=1
3
n
pln(n+ 3k) ln(n) + 1
como la integral denida de una funcion sobre el intervalo [1; 4]
12. Dibuje la region cuya area A esta dada por la formula
A = limn!1
2
n
nXk=1
r4 4k
2
n2
Computacion e Informatica 11 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.2 Propiedades de la Integral Denida. CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
1.2. Propiedades de la Integral Denida.
1.
Z ba
Kf(x)dx = K
Z ba
f(x)dx
2.
Z ba
f(x) g(x)dx = Z b
a
f(x)dxZ ba
g(x)dx
3.
Z ba
f(x)dx =
Z ca
f(x)dx+
Z bc
f(x)dx
donde f es integrable en [a; c] [c; b][a; b]; a c b
4.
Z ba
f(x)dx = Z ab
f(x)dx
5.
Z aa
f(x)dx = 0
6.
Z ba
f(x)dx =
Z b+ka+k
f(x k) dx (invarianza frente a la traslacion)
7. Si f(x) 0, 8x 2 [a; b] =)Z ba
f(x)dx 0
8. Si f(x) g(x), 8x 2 [a; b] =)Z ba
f(x)dx Z ba
g(x)dx
9. Sim yM son los valores mnimos y maximos absolutos de f en [a; b] respectivamente
tal que
m f(x) M; 8x 2 [a; b] =) m(b a) Z ba
f(x) dx M(b a)
10. Si f es una funcion contnua en el intervalo [a; b], entonces:
Z ba
f(x)dx Z b
a
jf(x)jdx
Computacion e Informatica 12 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.3 Teoremas Fundamentales del Calculo . CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
11. Si f es una funcion contnua en el intervalo [0; a], entonces:
Z a0
f(x)dx =
Z a0
f(a x)dx
12. Si f es una funcion contnua y par en el intervalo [a; a], entonces:
Z aa
f(x)dx = 2
Z a0
f(x)dx
13. Si f es una funcion contnua e impar en el intervalo [a; a], entonces:
Z aa
f(x)dx = 0
14. Si f es integrable en [a; b], entonces para cualquier c 2 R f0g se tiene que
a)
Z ba
f(x)dx =1
c
Z bcac
fxc
dx
b)
Z ba
f(x)dx = c
Z bc
ac
f(cx)dx
1.3. Teoremas Fundamentales del Calculo .
Teorema 1.3.1 (Teorema del Valor Medio para Integrales). Sea f una funcion
contnua en el intervalo [a; b], entonces 9 c 2 [a; b] tal que:Z ba
f(x) dx = f(c)(b a)
Teorema 1.3.2 (Primer Teorema Fundamental del Calculo). Sea f una funcion
contnua en el intervalo [a; b], entonces la funcion F denida por:
F (x) =
Z xa
f(t) dt; a x b
es derivable en [a; b] y ademas
d
dxF (x) = f(x); 8x 2 [a; b]
Computacion e Informatica 13 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.3 Teoremas Fundamentales del Calculo . CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
Teorema 1.3.3 ( Generalizacion Primer Teorema Fundamental del Calculo).
Sea f una funcion contnua en R, g y h son diferenciables en R entonces:
d
dx
h Z g(x)h(x)
f(t) dti= f(g(x))g0(x) f(h(x))h0(x)
Ejercicios 1.3.1
1. Demostrar que:
1 Z 10
p1 + x3dx 5
4
2. Comparando areas de regiones adecuadas pruebe la desigualdad sin evaluar la inte-
gral
3p3
2Z p30
p4 x2dx 2
p3
3. Hallar Z 12
jxj 2dx4. Si f es una funcion no negativa en [1;
p3] tal que
Z p31
f(x)dx = 2, probar que
1 Z p31
f(x)p1 + x2
dx p2
5. Demuestre que2
13Z 20
dx
10 + 3 cos x 2
7
6. Sea f una funcion con derivada contnua en [0;+1 >, tal que:
Z x0
(t x)f 0(t)dt =Z x0
t2f(t)dt
Hallar f(x); 8x > 0
7. Hallar la forma explcita de F denida por:
F (x) =
Z x0
te tdt ; x 2 R+0
Computacion e Informatica 14 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.3 Teoremas Fundamentales del Calculo . CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
8. Sea f una funcion contnua en < 0;+1 >, tal que:
x sen (x) =
Z x21
f(t) dt ; x 2 R+0
9. Si
F (x) =
Z senxx
1 + t
3 + t3dt
Hallar F 06
10. Si
F (x) =
Z x32
(xt)2sent2
dt
Hallar F 0(1)
11. Dada la funcion
f(x) = 5 +
Z x0
t+ 1
1 + sen 2(t2)dt
Hallar un polinomio P (x) de grado 2 tal que:
P (0) = f(0); P 0(0) = f 0(0); P 00(0) = f 00(0)
12. Para x > 0 sea:
g(x) =
Z px1x
ln(1 + t2) dt
Hallar g 0(x)
13. Dada la integral In =
Z 4
0
tg nx dx
a) Demostrar que In + In2 =1
n 1; 8n 2 Z; n > 1b) Sabiendo que
tg nx tg n2x; x 2 [0; 4]; 8n 2 Z; n > 1
Demostrar que:
In2 12(n 1)
Computacion e Informatica 15 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.3 Teoremas Fundamentales del Calculo . CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
14. Para todo n 2 N, se dene
In =
Z p 32
0
(3 2x2)ndx
a) I1 = 2I0
b) In =6n
1 + 2nIn1
15. Sea f(t) =
(t+ 2 ; t < 1
1 ; t 1 . HallarZ 22
f(t)dt
16. Sea la funcion denida por
f(x) = 3e2x +
Z senx0
(x+ 2)f(t)dt
Halle la ecuacion de la recta tangente a la graca de f en x = 0
17. Evaluar las siguientes integrales
a)
Z 42(jxj 2) dx b)
Z 22
x2 sen 3x
1 + x2dx
c)
Z 2
2
(x5 + 5) cos xp4 sen 2x dx d)
Z 22
x sen 4x+ x3 x
4
x2 + 1
dx
e)
Z 11
p1 + cos(x) dx f)
Z =40
x sec2 x dx
g)
Z 11
xpx4 + 1 x+ 1
x2 + 4
dx h)
Z 41
dxpx(px+ 1)2
dx
i)
Z 11
tet dt j)Z 22
x sen 4x+ x2
1 + 4x2dx
k)
Z 21
jex 1j+ 2ex + 1
dx l)
Z 44
x(x4 5x2 + 1)6 + e1x + 3
dx
m)
Z 13
x2px2 + 4x+ 5
dx n)
Z =2=6
1 + cos
( + sen )2dx
Computacion e Informatica 16 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.3 Teoremas Fundamentales del Calculo . CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
18. Sea f(x) =
Z ex1
t+ xpt2 + 1
dt, para x 2 R. Halle la ecuacion de la recta tangente a lagraca de f en el punto (0; f(0))
19. Pruebe que :
Z =30
cos(t3) dt 3
20. Sean f y g dos funciones con segundas derivadas continuas, tales que f(0) = g(0) =
f(1) = g(1) = 0. Pruebe que:Z 10
f(x)g00(x) dx =Z 10
f 00(x)g(x) dx
21. Sea In =
Z =40
secn x dx. Halle las expresiones A y B, en terminos de n, tal que
In = A+B In2, n 2
22. Demuestre que
arctan(
2)
Z =20
1 + sen x
1 + x2dx 1 +
2
23. Sea f : [a; b] ! R, una funcion que tiene derivada continua sobre el intervalo [a; b]vericando f(a) = f(b) = 0. Demuestre que si
Z ba
f 2(x) dx = 1, entonces
Z ba
xf(x)f 0(x) dx = 12
24. Sea f(x) =
Z 2xx
1 + cos tpt2 + 4
dt , x 2 R. Analice si f es una funcion par o impar.
25. Pruebe que la funcion f(x) =
Z 2xx20
et2
dt, 0 x 2, tiene un valor maximorelativo.
26. Calcule la integral
Z 13
2 + x+ sen (x+ 1)
(x+ 1)2 dx
Computacion e Informatica 17 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
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1.3 Teoremas Fundamentales del Calculo . CHAPTER 1. INTEGRAL DEFINIDA
27. Halle explcitamente la funcion F y analice la diferenciabilidad de F en x = 1 si
F (x) =
Z x0
f(t) dt; x 2 [0; 2]; donde f(x) =(
1 ; 0 x 11 ; 1 x 2
28. Sea y = f(x) una funcion invertible con derivada continua en [a; b], pruebe queZ f(b)f(a)
f1(y) dy +Z ba
f(x) dx = bf(b) af(a)
29. Calcule la integral
Z 2=30
x3p4 9x2 dx, usando sustitucion trigonometrica.
30. Sean f una funcion continua en [o; b] y g(x) =
Z bx0
f(t)
xdt. Demuestre que
g0(1) = bf(b)Z b0
f(t)dt
31. Sea In =
Zx4 lnn x dx, para todo n 2 N
a) Demuestre que
In =x5 lnn x
5 n
5In1; 8n 1
b) Utilizando el item a) calcule
Zx4 ln4 x dx
32. Sea la funcion
G(x) =
Z x0
xp1 + t3 dt; x 0
a) Halle G 0(x), para x 0b) Halle la ecuacion de la recta tangente al graco de G en el punto P (0; G(0))
c) Pruebe que
2 Z 20
p1 + t3 dt 6
d) Justique la desigualdad
8 G 0(2) 12
33. Sea g una funcion denida por
Z x0
f(t)dt, donde f esta dada por f(t) =
Z sen tcos t
z3 dz
Calcule
Z 6
0
g00(x)dx
Computacion e Informatica 18 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo