INTERPOLACION CUBICA POR TRAMOS.

Quiz& entre todas las funciones polinomiales por

ramos las mds ~populares debido a sus propiedades son 10s

I cdbicos especial splines cdbicos.

$to se debe a que dichas funciones son fdciles de calcular,

valuar y ademds modelan con suavidad la tendencia de un

~njunto de datos.

En este capitulo vamos a.estudiar diferentes tipos de

unciones cdbicas por tramos, que nos permitirgn resolver

tra vez, el problema de construir una curva que pase por un

e puntos

*- '1 Interpolaci6n cfibica de Hermite.

: Supongamos que se tiene la siguiente tabla de valores:

3 declr que se conocen 10s valores de una f-unclon' g y su

?rivada en un conjunto de puntos {xi) i = l,...,n. k En esta secci6n vamos a ver que es muy f6cil construir a ?a funcidn formada o r un wolinomio cdbico en cada

.da con g y su derivada

bnocida en cada punto xi.

Antes de resolver este problema vamos a resolver un

%so especial del mismo, a partir del cual la expresi6n de @

$-solucidn del problema general serd inmediata.

Sblema: ~eterminar un polinomio cdbico P(y) tal que P(O)

= P;'

Soluci6n:

Expresemos el polinomio P(y) en la forma

P ( Y ) = Po q , (y ) + P , ~ , ( Y ) + p;, q3(y) + P ; ~ , ( Y ) ( 2 . 1 . 1 )

donde 10s q, ( y ) i = 1,. . 4 son polinomios cdbicos. Pa

calcular q l ( y ) observemos que si Po = 1 y P, = P; = P; =

entonces

P ( Y ) = q,(y)

Por lo tanto, q, (y) debe satisfacer que:

De estas condiciones es muy fgcil obtener q , (y ) pues

que, como y = 1 es una razz doble tenemos que q, debe ser

la forma:

donde a y b son coeficientes que se determinan por 1

condiciones q, ( 0 ) = 1 y q; ( 0 ) = 0 . De aqul se obt iene

= 1, b = 2 . Luego

Procediendo de manera similar' es fzcil calcular q,,

y q,, y se obtiene

q,(y) = y2(3 - 2 ~ )

q3(y) = ( Y - 1I2y

q4(y) = y2(y-1)

. - Luego sustituyendo en ( 2 . 1 . 1 ) obtenemos final

)=Po(y -1 )2 ( 1 + 2 y ) + ~ ~ y 2 ( 3 - 2 y ) + ~ & ( y - 1 ) 2 y + P ; y 2 ( y - l )

Observemos ahora que a partir de ( 2 . 1 . 2 ) es

ener el polinomio P i ( x ) tal que:

pi m i + 1 = Qi+l

; x i 1 = Si+l

Para transformar el interval0 [ x i , X I en

lizamos el siguiente cambio de variable X - Xi

Y = 9 Axi = - xi Axi

Como la idea es obtener la expresidn para

tir de la de P ( y ) debemos tener en cuenta que

d 1 ; ( x ) = - d x

P ( Y ( x ) ) = P ' ( Y ) Y ' = P ' ( Y ) - A x i

1 1 ) = P 1 ( 0 ) -- - si - P ( X ~ + ~ ) = P 1 ( l ) --

A X ~ A X ~

Esto significa que resolver el problema para

valente a resolver el problema para p ( y ) tomand

Po = 91 Pl = gi+1

PA = siAxi P; = si+l Axi

Por lo tanto, de ( 2 . 1 . 1 ) resulta que:'

77

Finalmente sustituyendo y por x y ql, q2, q3 Y q4 par

las expresiones correspondientes obtenemos que

De esta forma hemos obtenido una familia de polinomios

cllrbicos {P,(x)) cada uno definido en el interval0 [xi I

xi+d . Como Pi (x) satisface (2.1.3) i = 1,. . .,n-1, entonces la funci6n definida por

f (x) = Pi(x) para xi 5 x 5

i = l,...,n-1

es .una funci6n continuamente diferenciable, constituida por

secciones de polinomios cllrbicos. Esta funci6n se conoce con

el nombre de interpolante cllrbico de Hermite y se puede

demostrar que aproxima muy bien a la funci6n g y que lo hace

mejor en la medida que las longitudes de 10s intervalos

[xi, xi+,] son m%s pequefias. .Veamos a continuaci6n algunos ejemplos:

E jemplo 2.1

Supongamos que g(x) = 1/(1 + x2) y queremos calcular

el interpolante cllrbico de Hermite que coincide con g en 10s

puntos -3, -1, 0, 1 y 3. Como

nec os pa: cons

bterpolante f son 10s siquientes:

Tabla 2.1

Valores de la funci6n g = 1/(1 + x2) y de su primera

derivada .

Teniendo en cuenta que s, = g1 (xi) y gi =

y util

O.l(x +

0.06(-1

izando

1l2[2(~

simplif i

pl(x)

22

cando

- (x + - - 8

obt

2 I -

0.5

.l-x

4

nces q

2[2(-1

23

.-x )

De manera similar se obtienen las s

presiones para 10s polinomios P2, P3 y P, :

P2(x) = 0.5x3 + x2 + x + 1

P3(x) = 1.5x3 - 3x2 + x + 1

trui

igui

Por lo tanto, el interpolante cdbico de Hermite para 1

funci6n g = 1/(1 + x2) est% dado por

El grgfico de la funci6n f aparece en la figura 2.1

Fig. 2.1 Interpolante ctibico de Hermite para g = 1/( 1 + x2) X + puntos de interpolacf6n.

. Ejemplo 2.2

- - construyamos el interpolante cGbico de Hermite

incide con g en 10s puntos -2,-1,0 y 2. cdmo g ( x )

ene primera derivada en 0 vamos a experimentar

ferentes valores de s, para ver c6mo esto influye en

rma de1 interpolante. Organicemos nuevamente nuest

tos en una tabla

Tabla 2.2 Valores de la funci6n g = XO y de su primera + derivada

Observemos un momento la expresi6n (2.1.4) para i =

a claro que, independientemente de1 valor de S3 1

inomio P, que constituye el interpolante f es siempre

mo y coincide con el polinomio nulo, ya que s, = g l (

I S2 = g l ( - 1 ) = 0, g, = g( -2 ) = 0 y g, = g ( - 1 ) = 0.

Usando (2.1.4) y 10s valores de la tabla 2.2

iene ademss que

P2(x ) = ( x + 1 ) 2 ( ( s 3 - 2 ) ~ + 1 )

( 2 , ~ ) ~ x2 P3(x) = ((s, + 1 ) x + 1 ) + - (3-x)

4 4

Por ejemplo, si tomamos s3 = 0 entonces

erpolante cdbico de Hermite est% dado por:

0 -2 5 x -1

( x + 1)2(-2x + I ) , -1 = x = 0

1 0 5 x 5 2

que no

con

la

: ros

Similarmente, si

r

s3 = 1 entonces

Los grdficos de estas funciones se pueden apreciar en

las f iguras 2.2 y 2 - 3 respectivamente.

Fig. 2.2 Interpolante cdbico Fig. 2.3 Interpolante cdbico 1 3

de Hermite para g = X? con de Hermite para g = X? con I P

s3 = 0. s3 = 1.

N6tese que el cardcter local de la interpolac

Hermite se aprecia en estas figuras, ya que las variaciones

de la pendiente en 0 s61o afectan una vecindad de este

punto.

Acerca de la interpolaci6n de Hermite, ya sea mediante

un tinico polinomio, o por tramos, recomendamos a1 lector el

libro [Prel, cuyo capitulo 3 contiene un amplio material

sobre el tema e incluye estimaciones de 10s errores de

aprox imaci6n. Ademds se puede consultar el libro

donde el autor construye un spline de Hermite de clase c2, I

0

rue interpola a a v sus derivadas hasta el seuundo orden v .. d * 4

e est6 formado por polinomios de grado 5 .

!.2 Spline cubico de interpolaci6n.

Para construir el inter~olante cdbico de Hermite hemos

;upuesto que se conocen 10s valores de g1 en 10s puntos de

.nterpolacidn. Pero si esto no es as%, las pendientes

; i = 2, ..., n-1 se pueden escoger de modo que el

hterpolante f tenga hasta segunda derivada continua. En

:a1 caso se dice que f es un spline cdbico de interpolacidn.

En otras palabras, un spline cdbico es una funcidn

Iormada por secciones de polinomios cdbicos 10s cuales se

Inen con la mayor suavidad posible (sin que f sea

Recesariamente t - un dnico polinomio) . Si exigimos que cada polinomio P,(x) del spline cdbico

i I

Satisfaga las condiciones ( 2 . 1 3 entonces est5 claro que $' mdependietemente del valor de s,, la funcidn f definida por

jl (x) en cada interval0 [xi , xi+,] es continuamente C

iiferenciable. Por lo tanto, para lograr que f sea un spline PI *

iasta con tomar 10s si de modo que fw sea continua. 1"

Derivando dos veces la expresidn (2.1.4) que define

jada P,(x) se obtiene directamente que: n ,

2Xi + Xi+, - 3X - 2 Si+l para xi 5 x xi+,

Axi2

Como f est5 formda por secciones de polinomios cdbicos,

-0s Gnicos posibles puntos de discontinuidad de f son 10s 1

Wntos xi donde se empatan dos polinomios cdbicos. Luego, <

;a continuidad de f" es equivalente a exigir que:

Pero de (2.2.1) resulta que:

mientras que

Por lo tanto, de (2.2.2) y (2.2.3) obtenemos que f t l es

continua si escogemos 10s s, de mod0 que satisfagan la

ecuaci6n :

que es equivalente a

Finalmente dividiendo por A x + Ax, se obtiene que 10s s, deben satisfacer las ecuaciones:

a, s,-, + d,s, + (1 - a,)s,+, = b, i = 2 1 (2.2.4)

donde

d, = 2 a, = Ax,/(Ax,-, + Ax, ) (2.2.5)

L 2

Suponiendo entonces que s, y s, se escogen de alguna

Pa, tenemos en (2.2.4) un sistema de n-2 ecuaciones

.meales para calcular las n-2 inc6gnitas s,, . . . , La C latriz de este sistema es tridiagonal y de (2.2.4) y (2.2.5)

ulta claro que es de diagonal dominante por filas ya que

d, = 2 > a, + (1 - a,) = 1

Por lo tanto, (2.2.4) tiene exact amente una soluci6n

fie se puede hallar por el metodo de eliminaci6n de Gauss # in pivoteo [For]. Los parsmetros s, y sn dependen de las 14 ondiciones que impongamos en la frontera. A continuacign I@ iresentamos algunas de ellas. 78

s' t

Si se conoce el valor de g1 en x, y xn entonces resulta

y natural tomar s, = g1 (x,) y sn = gl(xn). En tal caso el i@ pline cGbico no s61o interpola a g en 10s puntos '+* ?$ k < * * * j X n sino que ademds interpola a g' en x, y x,. Este B bline se conoce la+

como swline cGbico completo y si

enotamos por g: y gl 10s valores de g' en x, y x, &d

1

pectivamente, en n

tonces Sl1 . se calculan como

0luci6n del sistema de ecuaciones lineales:

. . an- I dn- 1 1-

donde b, = g:, b, = gl, y el resto de 10s elementos de la < matriz y el lado derecho est6n dados por (2 -2.5) .

ii) Otra posible condici6n de frontera consiste en exigir >i I I ;$

que la segunda derivada del spline en 10s extremos sea 0, o ,'% - -

sea que

De (2.2.1) se obtiene que esta condici6n da lugar a las 4 ecuaciones:

Este tipo de spline se conoce como spline ctibico

natural y desde cierto punto de vista no es muy recomendable '

ya que la imposici6n arbitraria de la condici6n (2.2.7)

puede provocar que cerca de 10s extremos x, y x- el

error aumente (a menos que realmente gff(xl) = gv Sin embargo en el capitulo 3 mostraremos que el spline

natural de interpolaci6n tiene otras propiedades muy

interesantes que justifican su uso.

De (2.2.4) y (2.2.8) se tiene que las pendientes

s . . . s del spline ccbico natural se calculan coma soluci6n del sistema lineal:

QZ ' Q1 Qn ' Qn-1 nde b1 = 3 , b n = 3

Ax1 Axn- 1

s( el resto de 10s coeficientes de la matriz y el lado

krecho se calculan segtin (2.2.5) .

i ) Si uno no conoce nada acerca de las derivadas de g en

3s 1. puntos extremos, entonces una posibilidad es escoger s1

Cs, de manera que P1 coincida idgnticamente con P, y

coincida con P . En otras palabras, se trata de

oger s1 y sn de mod0 que 10s puntos x, y x no Sean

ntos de ruptura de la funci6n f.

Como f es un spline cfibico sabemos que

(J' (x,)=p,(J) (x,) 9 Pn-l(')(~n-1 )=pn(j) ( ~ ~ - 1 ) j = 0 , 1 9 2

if Pero P1 y P2 son polinomios cfibicos que se pueden g hcribir como:

gcx)=pi(xz)+~i ( ~ 2 ) (x-x2)+p\'(x2) (x-x,)~/~+P~ ' ' (x,) (x-x2)3/6 b(r)=p2(x2)+~5 (x2) (x-x2)+P2(x2) (x-x,)~/~+P~' ' (x,) (x-x2)3/6

Por lo tanto, esta condici6n de frontera es equivalente

exigir que P; (x,) = Pi' ' (x,) o sea que f" sea cont'inua

x, y similarmente en xn,, .

. u

N6tese que si se utiliza esta condici6n de frontera

nces la primera y la dltima seccidn polinomial

erpolan a la funci6n g en un punto adicional que no es de

ura, lo cual nos ilustra nuevamente el hecho de que en

interpolaci6n polinomial por tramos, 10s puntos de

rpolaci6n y de ruptura no necesariamente tienen que

En resumen, si escogemos la condici6n de frontera iii)

as pendientes s , . . , s n de1 spline se calculan

soluci6n del sistema de ecuaciones lineales:

- - "1

b 2 .

bn- 1

b n - -

- a 1 0 d 2 1-a,

an-1 dn- 1

a n a n -

e dl = A x 2 a, = x, - x1 a, = xn - xn-, dn = Axn-,

bn son el lado derecho de las ecuaciones (2.2.10) y

.11) respectivamente y el resto de 10s elementos de la

iz y el lado derecho est6n dados por (2.2.5).

Acerca de c6mo seleccionar las condiciones de frontera

line cdbico el lector puede tambign referirse a

[Spa], [Lucl y [Powl.

Un aspect0 que nosotros no hemos tratado aqui es el

r que se comete cuando interpolamos valores de una

i6n g mediante un spline cdbico f . Este error depende

i6n de las condiciones de frontera que hayamos escogido

a construir f (vea [Bool] , [Kam] , [Ahll y [Pow] .

- - s 1

S 2

Sn- 1

S n - d

- -

- 0

Por ejemplo en [Bool], C. de Boor demuestra que si f es

el spline ccbico completo que interpola a una funci6n g de

clase C4, entonces Ilg-f ll, = O(h4) donde h = max hi, hi =

xi+, - xi .Este tipo de error es el m5s pequefio que se puede esperar cuando f es un spline ccbico.

Por eso, en [Beh] 10s autores estudian una serie de

condiciones de frontera para el spline ccbico que

interpola datos igualmente espaciados, de mod0 que el error

de interpolaci6n sea de O(h4).

A1 igual que en el caso del spline parab6lic0, una

forma mgs conveniente de expresar el spline ccbico f, es

escribir cada polinomio Pi(x) que define a f en el

interval0 [xi, xi+,] a traves de su f6rmula de Taylor

alrededor de xi. De (2.1.3) ya sabemos que

Pi(xi) = gi:=CO(i,l) P', (xi) = si:=CO(i,2)

mientras que segh (2.2.2)

2 Py(xi) = - - (2si + si+, - 39[xi1 xi+,]:=C0(i,3))

Axi

Por Cltimo, a1 deducir la condici6n de frontera iii) ya

vimos que 6

Pi " (x)=P;" (xi) = - (si + si+, - 2g[xi, xi+,I):=CO(i,4) Axi2

Luego Pi(x) se escribe como:

Pi(x) = CO(i,l) + CO(i,2)(x-xi) + CO(i,3)(~-x,)~/2 + + C0(i,4) (x-x~)~/~

(2.2.12)

. - jemplo 2.3

Calculemos el spline c6bico coipleto que interpola a la

rci6n g(x) = 1/(1 + x2) en 10s puntos -3, -1, 0, 1 y 3. 6

ilizando 10s datos de la tabla 2.1 y (2.2.5) , construimos elementos de la matriz y el lado derecho del sistema

.2.6). Redondeando a 3 cifras decimales obtenemos que: g h ! Ax, = 2 Ax, = 1 Ax, = 1 Ax, = 2

B a, = 0.333 h3 = 0.5 a, = 0.666 : bl U 1 k - r l g 2 - g l 2 g 3 - g 2 1 - -

L J

Por lo tanto las pendientes s , s 5 de1 spline

bico completo se calculan como soluci6n del sistema

neal :

0.333 2 0.666

lo

0.5 2 0.5 0.666 2 0.333

1 1 11 ss = [-1y2] -0.06

El mismo se resolvi6 mediante el programa TRIDSIS

enigndose 10s siguientes resultados:

La tabla 2.3 muestra la matriz CO de 10s coeficiente

del spline. Con ayuda de la misma se reconstruy6 1

expresi6n analitica de cada uno de 10s cuatro polinomios qu

constituyen el spline f. El gr5fico de esta funci6n s

aprecia en la figura 2.4

Tabla 2.3 Coeficientes del spline cirbico completo.

Fig. 2.4 Spline ctblco completo que interpola a la funcibn

g(X) = 1/(1 + x2) X + puntos de interpolaci6n.

: jemplo 2.4 Construyamos el spline cdbico natural que interpola a

bfuncidn xO en 10s ~untos -2. -1. 0 v 2 . T L

Utilizando esta vez , -~ , ~ . '

10s datos de la tabla

$culamos 10s elementos de la matriz y el lado derecho del

Etema (2.2.9) y llegamos a 10s siguientes resultados

gedondeados a 3 cifras decimales) :

Ax, = 1 Ax, = 1 Ax, = 2

Luego, las pendientes s , . . . , s del spline cdbico

atural se calculan como soluci6n del sistema lineal:

La soluci6n de este sistema se obtuvo tambign a travgs

21 programa TRIDSIS (redondeando a 3 cifras decimales):

h $ Mediante la expresi6n (2.2.12) calculamos entonces 10s b

polinomios cdbicos que constituyen el spline f y obtuvimos

'kinalmente que

donde 10s coeficientes de cada polinomio se aproximaron a

cuatro lugares decimales. La figura 2.5 nos muestra en este

caso el grdfico de f.

Fig. 2.5 Spline cribico natural que interpola a la funcibn

g(x) = x!, X + ptos. de interpolaci6n.

Observemos ahora con detenimiento las figuras 2.1, 2.2,

2.4 y 2.5. Como se puede apreciar, en general el

interpolante cGbico de Hermite aproxima me j or a las

funciones de prueba que el spline-cdbico. Esto se debe

esencialmente a que el spline cdbico "invierten parte de su

capacidad para aproximar datos en ser una funcidn suave

(tiene hasta segunda derivada continua), mientras que el

interpolante cGbico de Hermite a1 ser una funci6n menos

suave tiene mds I1libertad" para modelar un conjunto de

datos.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que la

nstrucci6n del interpolante cfibico de Hermite requiere

conozcamos la primera derivada, en 10s puntos de

terpolaci6nI de la funci6n que vamos a aproximar. Pero

chas veces en la pr6ctica no se dispone de esta

formaci6n, ya que 10s datos se han obtenido de forma

perimental y en realidad la funci6n g es desconocida. Por

of en tales problemas el spline ctibico es una herramienta

ndamental.

Los splines de tipo Hermite tambien se emplean para

nstruir curvas que preserven Itla forma de 10s datosH.

gamos aqui un parentesis.

El problema de construir un interpolante que preserve

comportamiento de 10s datos ha sido atacado con

ferentes tipos de splines y es un problema muy actual, por

auge que ha tomado en 10s Gltimos afios el disefio grgfico

r computadoras.

En otras palabras, se trata de que el interpolante

struido mantenga las propiedades de monotonia y/o

vexidad de 10s datos. Por ejemplo, si en el interval0

xi+,] 10s datos. se comportan de forma creciente, o sea

g(xi) g(xi+,), entonces resulta natural exigir que un en interpolante f satisfaga la condici6n fl(x) 2 0 para

Mds aGn, sea 6, = g[xi, xi+,] - g[xi, xi-,] la ferencia de las pendientes entre las dos rectas que pasan

r 10s puntos consecutivos xi-,, xi y xi+, (vea la fig. 6 ) . Si 6, y 6,+, son positivas entonces es de esperar

e un buen interpolante f sea convex0 en [xi,xi+,], o sea e fll(x) > 0 para x E [xi, xi+,].

'(1-1 x 1 x1*1 x 1*2

F i g . 2 . 6 Interpolante convex0 para "datos convexos".

En [Fri] 10s autores construyen un interpolante cdbico de Hermite que preserva la monotonia de 10s datos. En cada

intervalo [xi ,x,+,] , esta funcidn f es un polinomio cdbico que satisface las condiciones de interpolacidn: f ( x , ) =

Sus derivadas en 10s entremos

se escogen de mod0 que f 1 ( x ) tenga,~ en [xi , xi+,] , el mismo signo que la pendiente de la recta que pasa por x i g (x i ) )

Y ( ~ i + l , g (x i+ l ) ) . La primera solucidn propuesta a1 problema de construir

un interpolante que mantenga la monotonia y la concavidad de

10s datos se debe a Schweikert [Sch], que introdujo 10s

llamados splines de tensidn. Un spline de tensidn es una

funcidn de clase C2, que en cada interval0 [ x i , xi+i 1 satisface la ecuaci6n diferencial: a 2

e p es el llamado parsmetro de tensidn. N6tese que si p

entonces el spline de tensidn se reduce a1 spline cGbico

acabamos de estudiar, mientras que para p > 0 , cada

ci6n se escribe como combinaci6n lineal de las funciones

epx, e-px . En particular, cuando p + + co, el spline de tensidn se

oxima a1 lineal que interpola 10s datos. Este Gltimo

line ya sabemos que no es una funci6n suave, per0 conserva

forma de 10s datos. Por eso, es de esperar que para

gGn valor finito de p, el spline de tensidn resultante sea

funci6n suave con esta misma propiedad.

Sobre 10s splines de tensi6n el lector puede consultar

rnss [Ren], [Cli].

Los splines de tensi6n son muy costosos desde el punto

ista computacional. Esto explica por qu6 otros autores

ul], [Bool], [Nie]) han tratado de preservar la forma de

datos usando splines polinomiales. La idea general es

oducir puntos de ruptura adicionales en el spline cfibico

estudiamos en.esta secci6n. De esta forma se logra

ervar la convexidad, aunque no la monotonicidad, lo cual

ebe a que en el spline cfibico todas las secciones est%n

adas (no es un esquema local) y por lo tanto a1

ar una de ellas varian tambign todas las dem%s. Esta

itaci6n del spline cGbico se puede superar en la

ualidad (ver [Shl] ) . Sobre la construccidn de splines polinomiales que

serven la monotonia y/o convexidad de 10s datos tambign

pueden consultar 10s siguientes trabajos: BOO^], [Daw],

Y [Mcl.

Spline c6bico parametric0 y peri6dico.

Con mucha frecuencia, en problemas pr%cticos de diversa

97

. m

indole, 10s datos que uno necesita aproximar est6n

dispuestos de modo que para una misma abcisa se tiene m5s de

un valor (vea por ejemplo la fig. 2.7).

* *

*

*

*

*

*

Fig. 2.7 Datos de un problema hip6tbtico donde para una

abcisa se tienen 2 valores diferentes.

En tal caso hay que considerar que 10s datos

representan una curva plana y en consecuencia debemos

aproximarlos mediante una curva, ya que una funci6n no puede

tomar dos valores diferentes en el mismo punto.

Supongamos entonces que se dispone de un conjunto de

puntos x i yi) i = 1,. . .,n situados en el plano, y se dese construir una curva que pase por 10s mismos. Los punto

( x i yi) se pueden considerar como puntos de una curva, qu paramgtricamente se describe mediante dos funcione

(desconocidas) :

x = s(t) a l t r b

Y = h(t)

de mod0 que para ciertos valores

tl < t2 < . . . < tn

del parsmetro t se tiene que

9 8

Una vez que se han escogido 10s valores ti de1

6metro t de mod0 que cumplan la condicidn (2.3.1),

emos entonces construir el spline cdbico f , que interpola

abcisas de la curva original, es decir que pasa por 10s

ntos ( t i x i ) i = 1 , . . n y el f , que interpola las

enadas, o sea que toma el valor y, en cada t i ,

hnsiderando en 10s extremos una de las condiciones que

udiamos en la secci6n anterior.

Las funciones f , ( t ) , f , ( t ) definen entonces una curva

x = f l ( t )

Y = f , ( t )

pasa por 10s puntos (x i , y , ) i = 1 , . . . , n . Esta curva se

oce como spline cdbico param&trico, pues depende de la

ecci6n del par6metro t .

La seleccidn de una parametrizaci6n apropiada es

ndamental para lograr que el interpolante no tenga

osidades". En este sentido, la experiencia ha

ostrado que cualquier parametrizaci6n que aproxime la

gitud de arc0 es conveniente. Sin embargo, para lograr

el par6metro sea exactamente la longitud de arc0 se

esita un considerable esfuerzo de c6lculo. Por eso, en

pr5ctica se toman como par6metros:

t, = 0

t i + , = ti + d, i = 1 , . . . ,n-1 ( 2 . 3 . 2 )

nde d, es una aproximacidn de la longitud del arc0

e va de x i y , ) a (xi+,, y,+,), la cual se puede escoger

99

- 0

de una de las siguientes formas:

i) d, = 1-

ii) d, = A x i 2 + A y i 2

iii) di = I A x i I + I A Y I I

iv) di = m a x ( ( A x i ( , ( A Y I ( )

Ndtese que la seleccidn i) representa la longitud de

la cuerda que pasa por 10s puntos ( x i , - y i ) y ( x i + , , y , + , ) y

en la pr6ctica se ha podido comprobar que esta seleccidn es

muy conveniente.

Si ya se han escogido de alguna forma 10s puntos ti i =

l , , n entonces de (2.2.4) se obtiene inmediatamente que

las pendientes del spline f , ( t ) que interpola las abcisas,

se calculan como solucidn del sistema:

donde

a, = A t , / ( A t , - , + A t , ) con A t , = ti+, - ti ( 2 . 3 . 5 )

A x i - , A t , - , A x i b, = 3 +

A t i - , A t i - , + A t 1 A t , A t i - , + A t , I La primera y la Gltima ecuacidn del sistema (2.3.4)

dependen de la condicidn de frontera seleccionada. Por

ejemplo, si tomamos la condicidn ii) entonces el sistema

(2.3.4) se completa con las ecuaciones.

Axn- 3 -

A t n -

$ En general, cualquiera que sea la condici6n escogida $ asta con sustituir en la ecuaci6n correspondiente A x , por B

Y Qi Par xi .

De f orma similar, las pendientes s,, . . . , sn del spline

t l uue inter~ola las odenadas se obtienen como solucidn . A

un sist L

:ema lineal cuya ma triz coinc ide COI

tentras que el lado derecho se obtiene de sustituir x , por

o sea:

r A t i

Una vez construidos 10s splines f l ( t ) y f 2 ( t ) , si se

sea un gr6fico del spline paramgtrico basta con

eccionar diferentes valores del parsmetro t , digamos t** 1 '

1, ..., m y evaluar cada una de las funciones f, y f 2 que

erpolan las abcisas y las ordenadas respectivamente. De

se obtienei

x* = j

Y; =

@e pertenecen a la curva que representa el spline

- 0

paramgtrico.

Supongamos ahora que 10s puntos ( x , y ) provienen de

un problema cuyas caracteristicas hacen suponer a1

especialista que la curva de interpolacih debe ser cerrada.

Entonces ninguna de las condiciones de frontera estudiadas

en la seccidn anterior es dtil. Para lograr que el spline

paramgtrico sea una curva cerrada y que en el punto de

cierre el empate sea suave, basta con exigir que las

funciones f , y f 2 que interpolan las abcisas y ordenadas

respectivamente Sean periddicas, es decir que:

f , ( J ) ( t , ) = f , ( J ) ( t , ) j = 0 , 1 , 2

f 2 ( J ) ( t , ) = f ,(J) ( t , )

La condicidn (2.3.7) para j = 0 , o sea el cierre de la

curva, se logra simplemente considerando que el primer y el

dltimo punto de interpolacidn coinciden ( ( x , y , ) = (x,,

y , ) ) pues en tal caso como:

f i ( t 1 ) = xi i = 1 , . . .,n f z ( t 1 ) = Yl

f l ( t l ) = X1 = X, = f l ( t n )

f , ( t , ) = Y, = Yn = f , ( t n )

Por otro lado, como f ; ( t , ) = s, y f ; ( t , ) =

condici6n (2.3.7) para f , y j = 1 est% garantizada si en el

sistema (2.3.4) se elimina la incdgnita . s, porque s, = s l .

De manera similar se .debe proceder en el sistem

correspondiente para el c5lculo de las pendientes del splin

f 2 -

Por dltimo, teniendo en cuenta que s, = s,, de (2.2.2)

102

entonces

3 2 . 2 . 3 ) obtenemos que:

-- -- - -- - - f:(tn) = - 6 + +

4" Atn-1 Atn-1

; Luego, la condicidn ( 2 . 3 . 7 ) para f1 y j = 2 se 1:

diante la ecuacidn

[F s 2 +

- 3 Sn-1 - + A tn-1

I

T f equivalentemente por :

6 f

A tn-I + s, + - A t 1

En resumen, las pendientes s , . . . , s n ( sn = periddico f 1 que interpola las abcisas de 10s

Obtinen como soluci6n del sistema de ecuaciones:

expresa

s,) de1

datos,

donde

dl = 2 a, = At,.-l/(At, + Atn-,)

y el resto de 10s elementos de la matriz y el lado derecho

estzn dados por (2.3-5)

De forma analogs las pendientes s,, . . . , sn-, del spline peri6dico f, que inter~ola las ordenadas de 10s datos se

calculan como solucibn de un sistema lineal con la misma

matriz que (2.3.8) donde el lado derecho b est5 dado por ,i b 4 (2.3.6) para i = 2,--=,n-l Y 9

L 4

B

La matriz del sistema (2.3.8) (y el similar para f,) f

4 es tridiagonal ciclica Y de diagonal dominante por f ilas. -4 Luego el mismo Se ~uede resolver por metodo de elirninacibn ' i 1

de Gauss sin pivoteo. En el anexo, presentamos tambign una .b

3 descripcibn sencilla del metodo de Gauss adaptado a este

tipo de sistema.

Cada una de las secciones ctibicas de 10s splines

pi(t) = CO(i,l) + CO(i,2)(xoti) + Co(i,3)(x-ti)2/2 + + CO(i, 4) (~-t,)~/6

(2.3.10)

por :

i = 1, ..., n-1

Axi i , 3 ) = - - ( 2 % + Si+1 - 3 -

A t

Axi (si + Si+l - 2 -1

* t i

ntras que en el caso de f, basta con sustituir en

Ndtese que el cglculo del spline (periddico o no) que

erpola datos de una curva requiere la solucidn de dos

temas de ecuaciones lineales con la misma matriz y

stintos tgrminos independientes. Esta clase de

oblema se presenta ademss cuando uno dispone de m juegos

datos, todos con las mismas abcisas: x i y , , ) , i = 1 , . . . , n . Entonces la

truccidn de 10s m splines de interpolacidn exige

olver m sistemas lineales cuyas matrices coinciden.

En este caso, se logra una mayor eficiencia realizando

sdla vez la descomposicidn LU de la matriz y resolviendo

pugs 10s dos sistemas lineales que se derivan de la

ma, para cada lado derecho (Vea [For], [Spa] ) . Acerca del spline periddico de interpolacidn el lector

de consultar 10s libros [Spa], [Ahl] y [Pre]. En

ticular H. Spath presenta la deduccidn completa del

ine periddico, per0 utilizando como incdgnitas las

undas derivadas del spline en 10s puntos de

Este mismo tipo de deduccidn se puede

el resto de las condiciones de frontera

estudiamos en la seccidn anterior. Por Gltimo, 10s

ros [Bool] y [Shu] tambign tratan el tema de 10s splines

iddicos, per0 usando la llamada base de B-splines, para

105

represen

const ruy

continuacidn ofrecemos un &jemplo de c

el spline cGbico periddico que interpola

:dm0

var

puntos de una curva cerrada. d -

E jemplo

Los datos de la tabla 2.4 representan 10s valores de la 4 lemnisca . p = J2 cos 2 0 101 5 n/4 para diferentes dn

. Vamos a construir el spline ctibico periddico y paramgtrico

que interpola estos datos.

Fig. 2.8 Spline cabico peri6dlco

Los datos aparecen organlzados en el sentido de recorrldo

de la curva.

Ndtese que como la lemniscata tiene dos lazos es muY

30 45

210

180 150 135 330

0

~- 1 .B

43 0 $+">$ 4

1 *7@ ..,q *221 z*

1 0

1 s?pd

d-2 >*<

.; Tabla 2.4 Puntos de la lemniscata. $

Tabla 2.7 Puntos por donde debe pasar el spline f 2.

Para calcular las pendientes del "spline f, usamos las

expresiones (2.3.5) y (2.3.9) que nos permiten construir 10s

elementos de la matriz y el lado derecho del sistema

(2.3.8), obtenigndose:

Utilizando el programa TRIDCSIS que presentamos en el

anexo se puede verificar que la soluci6n de este sistema

(aproximando a 3 cifras decimales) es:

Las inclinaciones del spline f, que interpola las

ordenadas se obtienen resolviendo un sistema con la misma

matriz que (2.3.12), pero donde el lado derecho se sustituye

por el vector.

W g: R Mediante TRIDCSIS se obtuvo tambign la solucidn de este

ktema que es: 'f .-

[ti,ti+, I CO(i, 1) CO(i,2) CO(i,3) CO(i,4)

[O, 0.741 1.414 0 -3.245 5.036 [0.74,1.74] 0.866 -1.022 0.468 -0.468 [1.74, 2.741 0 -0.788 0 -0.468 [2.74, 3.481 -0.866 -1.022 -0.482 5.036 [3.48, 4.221 -1.414 0 3.245 -5.036 [4.22, 5.221 -0.866 1.022 -0.468 0.468 [5.22, 6.221 0 0.788 0.001 0.468 [6.22, 6.961 0.866 1.022 0.482 -5.036

i

Las tablas 2 . 8 y 2 . 9 muestran la matriz CO de 10s

qficientes de fl y f2 respectivamente. Por medio de estas c blas se puede reconstruir la expresidn de 10s polinomios p

constituyen cada spline.

Tabla 2.8 Coeficientes de la representaci6n por tramos del

spline f,.

Tabla 2.9 Coeficientes de la representaci6n por tramos del

spline f2.

Para construir un grgfico del spline de int

podemos tomar, por ejemplo, 1 0 0 puntos equidisi

intervalo [t,, t,] = [ 0 , 6 . 9 6 ] :

Entonces si t* estg en el interval0 j

evaluamos 10s splines f , y f, en este punto,

calculamos

x* j = fly) = P i , , ( t * ) J

donde P i , , y Pi, , es el iesimo polinomio que const

y f, respectivamente . De esta forma obtenemos 100 puntos (x*, y;)

j

100 que pertenecen a la curva que representa

.erpolaci6n

cantes del

[ t i , t i + , ]

es decir

ituye a f,

j = 1, ..., el spline

peri6dico y paramgtrico (vea la fig. 2.8).

Fig. 2 . 9 Spl ine cdbico p e r i d d i c o

Los dotos oporecen orqonizodos en el sentido de

recorrido de lo curvo.

Diga si existen a , b, c y d tales que la funci6n

[-x + 2 -2 5 x '- -1

% c un spline ctibico natural.

:Determine 10s valores que deben tomar 10s parsmetros a,b,

$ d para que la funcidn:

a el spline ctibico cornpleto que interpola 10s datos

Calcule 10s coeficientes a, b, c y d que garantizan que

funcidn

$a el spline ctibico que en x = 1 vale 2.

- 0

4 . Construya explicitamente el spline cfibico natural que

interpola una tabla que s6io posee dos elementos:

* 5. Construya un spline cfibico paramgtrico y per6dico que

interpole:

a> 4 puntos equidistribuidos sobre un circulo de radio 2

con centro ( 0 , O ) .

b) 6 puntos sobre una elipse con centro en ( 0 , O ) y semiejes

de longitud 2 y 3.

Para resolver este problema utilice el programa SPLCUB del

anexo 2. a partir del f ichero de resultados que se obtiene

de cada corrida de1 mismo, reconstruya la expresi6n

analitica de 10s polinomios, que constituyen cada spline.

6. Construya el interpolante cfibico de Hermite para 10s

datos de la siguiente tabla.

6 dy/dx -28 -2 0 2

a> Utilice el programa SPLCUB de1 anexo 2 par

reconstruir, a partir del fichero de resultados, 1

expresi6n analitica de 10s 3 polinomios cfibicos qu

conforman el interpolante.

) Calcule la matriz CO de 10s coeficientes del spline

fibico y reconstruya, a partir de la misma, la expresi6n

nalitica de cada uno de 10s 4 polinomios que constituyen el

pline.

- .)

~valfie el interpolante en 10 puntps equidistantes del

rvalo [ - 2 , 11 y compare 10s resultados obtenidos con 10s

res en 10s mismos puntos de la funci6m x2(x2 - 1 ) .

fico del interpolante de Hermite y comp6relo

e la funci6n x2(x2 - 1 ) . i

Sea f ( x ) un spline cfibico con puntos de ruptura

x,. Suponga que f ( x ) se reduce a una recta [x , , x,] y en [x,, x,] . ~QU& puede decirse entonces de f

Construya un spline sfibico con nodos -1, 0 , 1 y 2 que sea

drdtico en [ - 1 , 0 ] y [ 1 , 2 ] y cfibico en [ 0 , 1 ] .

struya usando una calculadora el spline cfibico natural

e interpola 10s datos de la siguiente tabla.

0 .89

0.7918

x 0 . 1 5

y 0 .1680

Escriba la matriz y el lado derecho del sistema ( 2 . 2 . 9 )

e nos permite calcular las pendientes s , , s,, s, y s, del

line en 10s puntos de interpolaci6n.

) Resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando el

rograma TRIDSIS que aparece en el anexo 1.

0 . 2 7

0.2974

0 .76

0.7175

10. Construya el ' spline cfibico completo que interpola a la

funci6n f ( x ) = c o s ( l O x ) en -2, -1, -0.5, 0,0.5, l y 2 .

Haga un grdfico de f y del spline y comp6relos. -*(

\ 11. Ademas de la deducci6n que presentamos en la secci6n

2 . 2 , un spline cfibico f se puede calcular expresando cada

polinomio cfibico pi en tgrminos de sus valores en xi y y de sus segundas derivadas mi y mi+, en e,sos puntos. En

este caso, las incdgnitas m,, . . . ,m, se determinan exigiendo

que I

P ; _ , ( X , ) = pix,) i = 2,. . . ,n-1

a) Exprese cada polinomio cfibico Pi (x ) en tgrminos de 11 11

Pi ( x i ) Pi (xi+l) , mi = Pi(x i ) Y m i + l = Pi (x i+ l ) . 11

Sugerencia: escriba Pi ( x ) en tgrminos de mi y mi+, e

integre dos veces.

b) Obtenga el sistema de ecuaciones lineales (para las

incdgnitas mi . i = 2,. . . - 1 que resulta de exigir la

condici6n de continuidad de f I , P ~ ( X ) = Pi ( x i ) i =

- 1 2 . Supongamos que se dispone de 10s valores g ( x i ) i - l , , n de una funcidn g cuya expresi6n analitica se

desconoce. Construya un interpolante cfibico por tramos para

10s datos x i g ( x i ) ) i = 1,. . . ,n .

a) Calcule la pendiente s, del interpolante en xi como la pendiente de la pardbola que interpola a g en 10s puntos

Xi-1, Xi Y X i + l .

. 0

Verifique que si s61o depende de l a s t r e

t i p o de funci6n cGbica por tramos se

rpolante de Bessel y l a propiedad b) nos

o t i ene un carsc ter local , o sea que su

t o depende exclusivamd- e de 10s puntos de i r

canos a e s t e . "t

s parejas

conoce c

dice que

valor en

nterpolaci

omo

e l

un

6n