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Universidad de SonoraDepartamento de Matemáticas

Programa de Maestría en Matemática Educa-tiva

Diplomado "La Enseñanza de las Matemá-ticas en la

Educación Secundaria"

Material Didáctico sobre Construcciones Geométricas

Responsable:Villalba Gutiérrez Martha Cristina

Colaboradores:Del Castillo Bojórquez Ana GuadalupeVargas Castro Jorge Ruperto

Hermosillo, Sonora. Octubre de 2006

Geometría: Construcciones Geométricas

Contenido:

Lección 1: Estructuras y PolígonosActividad 1 Construcción de estructuras 1

Actividad 2 Construcción de cuadriláteros dadas las medidas de sus lados

Actividad 3 Construcción de triángulos dadas las medidas de sus lados

Actividad 4 Construcción de estructuras 2

Lección 2: Doblado de Papel Actividad 5 Doblando papel; trazos notables

Actividad 6 Doblado de papel. Trazo de mediatrices, bisectrices y medianas en un

triángulo

Actividad 7 Doblado de papel. Trazo de las alturas en un triángulo.

Actividad 8 Trazos notables con regla y compás

Actividad 9 Trazo de mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo con regla

y compás

Lección 3: Software de Geometría DinámicaActividad 10 Explorando “El Geómetra” Trazo de mediatrices, bisectrices, media-

nas y alturas en un triángulo usando software de geometría dinámica

Actividad 11 Reflexiones en el plano

Lección 4: Experiencias para el salón de clases

Actividad 12 Diseñando una actividad para el salón de clase.

Lectura: “Reconocimiento y Análisis de Figuras Geométricas Bidimensionales: La

teoría de Van Hiele” Musser y Burger

Elaboración de los Materiales:Responsable: Martha Cristina Villalba

Colaboradores: Anaguadalupe del Castillo y Jorge Ruperto Vargas.


Presentación

Este material se compone de una secuencia de actividades que tienen como centro la

construcción de trazos, figuras y estructuras en las que las acciones requeridas para

llevarlas a cabo ponen en juego la utilización de estrategias que implican a su vez

búsqueda de relaciones entre los elementos geométricos implicados. Estos procesos se

hacen concientes una vez que se les es solicitada la socialización de sus resultados en la

que mediante argumentos consistentes y manipulaciones apropiadas les permitan

verificar la validez del proceso y la construcción misma.

Justificamos estas estrategias pues consideramos que los enfoques vanguardistas

hacia el aprendizaje, como la aproximación constructivista y la aproximación sociocultural,

que están teniendo un impacto considerable en los currículos actuales, legitiman y

promueven que los procesos de pensamiento matemático van más allá de un

razonamiento meramente deductivo y demostrativo en el sentido formal. Los aprendices,

sus entendimientos y las interacciones con la comunidad de su clase, son centrales en la

visión del proceso de enseñanza - aprendizaje. Como una consecuencia, se busca que

los procesos de razonamiento, como parte del pensamiento matemático, sean promovidos

ahora mediante una variedad de acciones hechas por los participantes en un proceso de

estudio con el fin de comunicarse y explicar a otros, tanto como a ellos mismos, lo que

ellos ven, lo que descubren y lo que piensan y concluyen.

Así, la finalidad de este material didáctico es promover el desarrollo de habilidades

propias del pensamiento geométrico y la construcción de conocimiento a través de

observaciones, manipulaciones, descripciones y argumentaciones. En general el

ambiente propuesto es de juego y retos utilizando materiales manipulables. En dicho

ambiente, las estrategias utilizadas en cada situación pueden diferir, y en este sentido, se

aprovecha la diferencia (o coincidencia) para inducir las discusiones en base a

argumentos que validen esas estrategias en términos de generalidad o economía.

La manipulación y construcción de figuras geométricas contribuirá a un

conocimiento más elaborado sobre las mismas, pasando de las nociones

fundamentalmente perceptivas a la conceptualización de las formas y figuras mediante la

detección de regularidades y la consideración de elementos y relaciones.




Posteriormente, el uso de software de geometría dinámica en las actividades 10 y 11

permite que se “interactúe” con elementos que propician la adquisición de ciertos

conceptos, no con una mentalidad estática, como lo haría un dibujo por bien que esté

hecho, sino con una percepción de “vida” al asociarle movimientos a la figura. Estos

elementos importantes que dan un viraje a la visión de la geometría plana, son las

llamadas transformaciones geométricas en el plano, aunque sólo nos restringimos a las

llamadas isometrías; o sea, aquellas cuya imagen obtenida al aplicar una de estas

transformaciones a una figura, conserva la forma y magnitudes de la figura original. Las

principales de estas transformaciones son: Traslación, Rotación y Reflexión. En estos

materiales se aborda únicamente la Reflexión.

ObjetivosYa que consideramos que los trazos, manipulaciones físicas y uso de software de geometría di-

námica, además de constituir un objeto geométrico en sí mismos, son un medio para indagar pro-

piedades de figuras y hacer conjeturas, así como también constituir un importante recurso para fo-

mentar la argumentación, planteamos los siguientes objetivos:

Objetivo general de los materiales

Desarrollar habilidades de construcción de estrategias y conjeturas, así como de integra-

ción del “hacer” y “reflexionar” para poder producir argumentos propios que determinen su

ámbito de validez. Es decir, promover el desarrollo de habilidades propias del pensamien-

to geométrico a través de construcciones, observaciones, manipulaciones y validaciones.

Objetivos específicos

1. Encontrar estrategias que permitan hacer los trazos o construcciones requeridas.

2. Expresar argumentos que justifiquen la validez de sus estrategias, así como las

propiedades de las construcciones solicitadas.

3. Identificar y relacionar propiedades de trazos en figuras planas.

4. Identificar propiedades de figuras planas que justifiquen sus clasificaciones.

5. Llevar a los profesores la experiencia de hacer geometría en el sentido que lo mar-

ca el enfoque curricular:




6. Explorar y reflexionar acerca del uso de las nuevas tecnologías como apoyo en la

enseñanza y aprendizaje de la geometría

Metodología A continuación, se dará una breve descripción de las actividades que componen este

material didáctico con el fin de que sirvan como guía metodológica en su desarrollo.

Lección 1: Estructuras y PolígonosEsta es una secuencia de actividades que está organizada para que una experiencia

inicial de construcción de una torre (Actividad 1), se vea impactada por los resultados que

se obtendrán al analizar propiedades de cuadriláteros y de triángulos (Actividades 2 y 3),

de tal manera que al construir de nuevo la torre en un segundo intento (Actividad 4), se

logre poner en evidencia cómo el conocimiento geométrico –en este caso la propiedad de

los triángulos que habrán identificado como útil para esta construcción- determina la

estabilidad de la torre construida.

Nos parece importante señalar que el ambiente de competencia entre equipos

para lograr construir la torre más alta (que se mantenga estable), uniendo palillos con

bombones, en un tiempo de 15 a 20 minutos, genera mucho entusiasmo. Los

participantes se sienten “fuera de clase”, es decir, están jugando a ganar utilizando su

ingenio. Resulta favorable aprovechar “el fracaso” de mantener las torres erguidas y

mantener el ambiente de juego (dar premios, tomar fotos, etc.). Se discute lo que funcionó

mejor para lograr la mayor altura y lo que no funcionó.

Cuando se abordan las actividades 2 y 3 las torres se dejan por un lado, como si

se pasara a otra cosa. Es hasta que se han hecho suficientes reflexiones sobre las

propiedades de las figuras estudiadas cuando el asesor pide que de nuevo retomen el

reto de volver a construir su torre y seleccionar un equipo ganador. Es aquí en donde se

verá si efectivamente las reflexiones hechas acerca de una de las propiedades del

triángulo se asume como un conocimiento funcional para enfrentar dicho reto.




Por otra parte, en sí mismas las actividades 2 y 3 dan lugar a diversas situaciones

en donde la observación, las conjeturas, los argumentos, las descripciones y el enunciado

de definiciones cobra especial importancia. Todas estas acciones son componentes

importantes del pensamiento matemático en general y del geométrico en particular.

Material : Se necesitarán palillos de dientes y bombones miniatura como conectores. Tiras

acoplables. Estas pueden hacerse de cartoncillo, madera, plástico, etc.

Organización: Se trabaja en equipos de dos a cuatro personas que permanecerán

durante toda la secuencia. Durante la construcción de las torres el instructor asume el

papel de juez imparcial que otorgará o no premios… Durante las actividades 2 y 3 los

equipos trabajarán sobre las actividades escritas usando el material propuesto y el

instructor será el guía de las discusiones. Durante la actividad 4 el trabajo independiente

en cada equipo es importante, la comparación de las torres finalmente construidas de

nuevo, se plantea como la situación que detone la oralidad de las reflexiones hechas.

Discusión: Las preguntas que se encuentran en las actividades pueden servir de guía

para el instructor al terminar la construcción de la torre por primera vez. En las actividades

2 y 3 se puede solicitar que cada equipo lea en voz alta la regla que escribió para

determinar si es posible o no construir un cuadrilátero o un triángulo dadas las longitudes

de cuatro o tres segmentos respectivamente y propiciar la discusión en todo el grupo

sobre las diferentes maneras de enunciarla. Igualmente es conveniente promover la

discusión permanente entre equipos conforme van avanzando en las actividades.




Finalmente las preguntas hechas en la actividad 4 pueden ser la guía para la discusión

grupal una vez que se han respondido al interior del equipo.

Lección 2: Doblado de PapelLas actividades se inician a partir de un segmento dibujado en una hoja

de papel transparente. Se generan estrategias adecuadas para la

construcción de: el punto medio, una línea perpendicular, una línea

paralela y la mediatriz del segmento dado, solamente apoyándose en el

doblado del papel. La finalidad es que cada vez que una estrategia dé el resultado

esperado, se argumente por qué sí funciona y si funcionaría en general.

Las definiciones que se proporcionan están en calidad de información para dar

seguimiento a las actividades que las requieren. No se pretende que se memoricen. Si el

resultado de algún trazo resulta “equivocado”, el asesor seguramente promoverá una

discusión para asegurarse qué interpretación se le ha dado a esa definición y mediante la

participación grupal se aclare lo necesario.

Más adelante se les solicita que tracen las tres mediatrices, medianas, bisectrices y

alturas en cuatro triángulos diferentes, como los que se muestran a continuación, con la

finalidad de que aseguren la funcionalidad de su estrategia.

Esta actividad lleva implícita, una situación de estudio adicional acerca de las

características de los puntos de concurrencia. A juicio del asesor, él (ella) puede tomar la

iniciativa de inducir el estudio de los que considere convenientes, mencionarlos como

información o dejar como tarea su investigación. Este punto será retomado




posteriormente para ser analizado con el uso de tecnología, particularmente con software

de geometría dinámica.

Material : Hojas sueltas de papel transparente (al menos 20 hojas) para cada uno de los

participantes.

Organización: El material se reparte para trabajar individualmente, aunque pueden estar

en equipos de dos a cuatro personas. El asesor promueve la discusión grupal en cada

actividad, particularmente después de cada uno de los trazos requeridos.

Discusión: Se sugiere que después de cada trazo se compartan, en forma grupal, las

estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los argumentos utilizados para

conjeturar su generalidad, se logre algún acuerdo sobre la o las que se consideren más

adecuadas.

Lección 3: Software de Geometría Dinámica

Estas actividades llevan al estudiante a retomar algunos de los trazos ya hechos mediante

doblado de papel. Particularmente las indicaciones para iniciar el uso de este tipo de

software son breves puesto que se aprovecha el análisis hecho anteriormente sobre las

propiedades de las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas de los triángulos y las de

los puntos de concurrencia de esos elementos. Inicialmente se dan algunas indicaciones

generales de construcciones en ese ambiente de construcciones interactivas que

proporciona el software de tal manera que de manera natural el participante se ve inmerso

en ese ambiente de cómputo por lo que los propósitos de la lección se logran sin

contratiempos.

Material : Equipo de cómputo con un programa de geometría dinámica instalado (Cabrí,

Geómetra, Cinderella, GeoGebra,…)

Organización: Se sugiere que cada participante tenga acceso a una computadora. A lo

más pueden estar en parejas. El asesor promueve la socialización de los resultados

obtenidos conforme avanza el desarrollo de las actividades

Discusión: Se sugiere que después de cada trazo se compartan, en forma grupal, las

experiencias de uso de este tipo de manipulación dinámica. Que se enfatice en la




posibilidad que brinda este ambiente para promover nuevas conjeturas, así como la

oportunidad de rechazarlas o fortalecerlas.

Lección 4: Experiencias para el salón de clasesEsta actividad (12) se centra en la reflexión y evaluación de lo experimentado con el fin de

diseñar materiales apropiados para el salón de clases. Además de aprovechar las

experiencias de las actividades anteriores se proporciona una lectura que sirva como guía

teórica para organizar los contenidos según la taxonomía presentada por los Van Hiele.

Material : Lectura: “Reconocimiento y Análisis de Figuras Geométricas

Bidimensionales: La teoría de Van Hiele” Musser y Burger. Textos de secundaria,

libros de apoyo para los maestros, Planes y Programas.

Organización: Se sugiere que se formen equipos para tanto para evaluar las actividades

desarrolladas como para seleccionar un tema específico del cual presentarán su

planeación, su estructura, contenido y fundamentación

Discusión: Enfatizamos que al evaluar las actividades será necesario promover las reflexiones entre

los participantes acerca de:

Lo que aprendieron: No solamente conceptos o definiciones, sino el tipo de

“trabajo geométrico” que realizaron en términos de las habilidades específicas que

cada tarea demandó, por ejemplo, en cuanto a la necesidad de visualizar

propiedades de las construcciones hechas, junto a la capacidad de buscar

estrategias y argumentos para validarlas y determinar su generalidad.

Cómo lo aprendieron: Los procesos que cada quién tuvo que realizar para

aprender. Por ejemplo, cómo usaron o relacionaron lo que ya sabían, el papel que

jugaron las actividades propuestas, los materiales y el ambiente de intercambio de

opiniones que se propició, entre otros.

Cómo se les “enseñó”. El papel que jugó el (la) instructor(a). ¿Qué hizo?

Para el diseño de la actividad posiblemente se tenga que trabajar parte de ella como

tarea. Se sugiere que se les solicite su presentación de manera formal, proyectando cada

equipo su trabajo ante el grupo y sometiéndolo a su valoración.






Secuencia deSecuencia de ActividadesActividades


Lección 1 : Estructuras y Polígonos Actividad 1

Construcción de estructuras 1

Para esta actividad se necesitarán palillos de dientes y bombones miniatura (u otro tipo de material que sirva como conector). Se trabaja en equipos de 4 personas.

Su equipo tiene 10 minutos para construir la estructura más alta posible que se pueda sostener por sí sola. Al término de los 10 minutos, mida la altura de su estructura y conteste las siguientes preguntas.

Altura: _____________________

1. ¿Qué características observan en su estructura? (se mantiene rígida, se bambolea, se ladea, alcanzó poca altura, etc.)

2. ¿A qué creen que se deban esas características?

Sin destruir esta estructura, continúen con las siguientes actividades




Lección 1 Estructuras y PolígonosActividad 2

Construcción de cuadriláteros dadas las medidas de sus lados

1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el asesor para tratar de

construir cuadriláteros con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene

los recuadros en blanco. Si puede construir el cuadrilátero, trate de cambiar su

forma sin cambiar la longitud de sus lados y llene la sexta columna. En los ren-

glones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.

Lado A(Unidades)

Lado B (Unidades)

Lado C (Unidades)

Lado C (Unidades)

¿Se puede construir el cuadrilátero? (Si/No)

¿Se puede deformar el cuadrilátero? (Si/No)

10 10 10 10

10 7 5 4

10 5 6 4

7 6 3 4

8 6 4 4

6 4 1 2

8 3 3 2

9 2 3 3

2. Considere las longitudes de los lados de los cuadriláteros anteriores. ¿Podría

unir los segmentos en un orden diferente para hacer un cuadrilátero diferente?

Si es así, ¿en cuales?




3. Escriba con sus propias palabras una regla que describa cuándo se puede

construir un cuadrilátero dadas las longitudes de sus lados. Compare la regla

que escribió, con la de sus compañeros.

4. ¿Se pueden construir dos cuadriláteros diferentes, dadas las medidas de sus

lados? Justifique su respuesta

5. En el cuadrilátero de medidas 8, 6, 4, 4, elimine uno de los lados y cierre la fi -

gura, ¿Qué observa en cuanto a la flexibilidad de la nueva figura?

Lección 1 Estructuras y Polígonos Actividad 3

Construcción de triángulos dadas las medidas de sus lados6. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el asesor para

tratar de construir triángulos con las medidas indicadas en la tabla de abajo y

llene los recuadros en blanco. Si puede construir el triángulo, trate de cambiar

su forma sin cambiar la longitud de sus lados para llenar la quinta columna. En

los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted

mismo.




Lado A(Unidades)

Lado B (Unidades)

Lado C (Unidades)

¿Se puede construir el triángulo? (Si/No)

¿Se puede deformar el triángulo? (Si/No)

8 8 88 7 45 4 27 3 46 3 2

7. Si se le pide construir triángulos en los que un lado mide 16 unidades, y los otros dos se dan en la lista de abajo, ¿en qué casos cree que podría construir-lo? Justifique su respuesta sin tratar de construir el triángulo.

Lado B (Unidades

)

Lado C (Unidades)

¿Se puede construir el triángulo?

¿Por qué?

6 6

8 7

9 10

6 10

8 9

10 4

14 6

14 1




8. ¿Qué condición considera deben cumplir las longitudes de tres segmentos para poder construir un triángulo? Escriba con sus propias palabras una regla que describa la relación entre las medidas de los lados de un triángulo.

9. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.

10.Suponga que se le pide construir un triángulo cuyos lados miden 14.5, 21.4 y 17.3 cms. ¿Cree que podrá hacerlo? Justifique su respuesta.

11.¿Se pueden construir dos triángulos diferentes, dadas las tres medidas de sus lados? Justifique su respuesta ¿Es diferente construir triángulos a construir cuadriláteros? ¿En qué sentido?

Trate de expresar por escrito en forma resumida una conclusión que

tome en cuenta los cuestionamientos hechos

Lección 1 Estructuras y Polígonos

Actividad 4 Construcción de estructuras 2

Para esta actividad de nuevo su equipo utilizará la estructura construida en la actividad 1.




Observen su estructura y contesten las siguientes preguntas.

Altura: _____________________

1. ¿Qué tipo de figuras usaron en su estructura?

2. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más fuerte?

3. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más débil?

4. Si tuvieran la oportunidad de construir la estructura otra vez, ¿qué cambia-rían?

Construyan una nueva en 10 minutos. El propósito es construir una estructura más alta que la anterior.

Altura de la nueva estructura: _____________________

Lección 2: Doblado de PapelActividad 5

Doblando papel; trazos notablesEsta actividad se desarrolla individualmente pero comentando con su pareja de trabajo.




Usted necesita hojas transparentes para doblar. Si en el cuadernillo de actividades no se encuentran las hojas transparentes desprendibles, su asesor le proporcionará las necesarias.

Es importante que tan sólo trabaje con sus manos, la hoja que esté doblando y el lápiz con el que resaltará, en algún doblez, el trazo requerido.

¿Tiene a la mano su primera hoja para doblar? Si es así ya está usted listo(a) para realizar algunas de las construcciones geométricas más prácticas en una gran cantidad de de ámbitos: costura, arquitectura, albañilería, deporte, ingeniería, arte, cocina, etc.

1. Tome la hoja y diga qué hacer para obtener el trazo de un segmento de rec-ta paralelo a los bordes superior e inferior de la hoja :

____________________________________________________________

¡Trace el segmento en su hoja!

2. Ahora ¿Cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento? Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido. Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afir-mación: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Coméntenlo con el resto del grupo.

3. Si ahora traza usted una línea perpendicular al segmento que pase por ese punto medio, obtendrá la mediatriz del segmento. La mediatriz tiene la pro-piedad de que todos sus puntos están a la misma distancia de los extremos de segmento.

Trace la mediatriz y verifique la propiedad mencionada en el párrafo anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de intersección con el segmento).




Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad de la mediatriz dada en el primer párrafo de este punto.

4. Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior.

Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y pase por ese punto.

5. Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y selec-cione de nuevo un punto cualquiera –con las mismas restricciones que an-tes – Construya una paralela al segmento que pase por el punto.



Describa brevemente cómo dobló el papel para obtener la mediatriz

¿Qué es lo que le permite asegurar que la línea trazada por ese punto medio es perpendicular al segmento?

Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.



Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo

Para esta actividad el asesor le proporcionará al menos 12 hojas de papel transparente, si no se encuentran incluidas en este folleto.

1. En primer término tome 4 hojas. Dibuje en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):

2. En cada triángulo trace las mediatrices, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres mediatrices.

La mediatriz de cada lado del triángulo es la recta perpendicular a di-cho lado y que pasa por su punto medio.

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediatriz________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es paralela


3. Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.En cada uno trace las medianas, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres medianas.

Cada mediana es un segmento de línea cuyos extremos son el punto medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto a él.

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediana________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.En cada uno trace las bisectrices, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres bisectrices.

Cada bisectriz es un segmento de línea que biseca (divide en dos partes iguales) cada uno de sus tres ángulos, y por lo tanto parte de un vértice hasta el lado opuesto.

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada bisectriz.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros.

¿Cuál trazo se le dificultó menos?___________________ ¿Cuál se le dificultó más?

______________

¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad?______________

¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles? Coméntelo con sus compañeros y a juicio del asesor verifique su conjetura.


Trazo de las alturas en un triánguloPara esta actividad el asesor le proporcionará al menos 4 hojas de papel transparente, si no se encuentran incluidas en este folleto.

6. Dibuje en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden se parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):

7. En cada triángulo trace las alturas, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres alturas.

Cada altura es un segmento de línea que parte desde un vértice hasta el lado opuesto -o su prolongación-, con una dirección perpen-dicular a ese lado opuesto.

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada altura.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros.




¿En cuál triángulo el trazo de las alturas se le dificultó menos? _____________

¿En cuál se le dificultó más? ______________

¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué particularidad cree que tomarán esas características en un triángulo isósceles? Comente con sus compañeros lo que haya conjeturado y registre en sus notas lo que le parezca importante, con el propósito de verificarlo posteriormente en la Sesión 3.

9. Observe los triángulos dibujados entre líneas paralelas de la siguiente figu-ra y responda a las cuestiones que se plantean, sin hacer mediciones, sola-mente estimando o calculando en base a lo que se observa:

¿Todas sus alturas son diferentes?_______________

¿Cómo podría usted argumentar la validez de su respuesta? Escriba brevemente su argumento y luego comente con sus compañeros.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



A B

C D E



Trazos notables con regla y compás

Esta actividad se desarrolla individualmente pero comentando con su pareja de trabajo.

Necesitará hojas blancas para trabajar, las cuales le serán proporcionadas por el asesor.

6. Tome la hoja y diga qué hacer para obtener el trazo de un segmento de rec-ta paralelo a los bordes superior e inferior de la hoja :

____________________________________________________________

¡Trace el segmento en su hoja!

7. Ahora ¿Cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento? Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido. Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afir-mación: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Coméntenlo con el resto del grupo.

8. Trace la mediatriz del segmento y verifique la propiedad mencionada en la actividad anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de intersec-ción con el segmento).




Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad de la mediatriz dada en la actividad anterior.

9. Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior.

Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y pase por ese punto.



Describa brevemente los trazos necesarios para obtener la mediatriz

¿Qué es lo que le permite asegurar que la línea trazada por ese punto medio es perpendicular al segmento?

Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.


10.Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y selec-cione de nuevo un punto cualquiera –con las mismas restricciones que an-tes – Construya una paralela al segmento que pase por el punto.


Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo con regla y compás

Para esta actividad el asesor le proporcionará al menos 16 hojas de papel.

10.En primer término tome 4 hojas. Dibuje en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):

11.Utilizando regla y compás, trace en cada triángulo las tres mediatrices.



Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es paralela


Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediatriz________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12.Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.En cada uno trace las tres medianas

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediana________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

13.Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.En cada uno trace las bisectrices


14.Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.En cada uno trace las bisectrices


15.Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros.

¿Cuál trazo se le dificultó menos?___________________ ¿Cuál se le

dificultó más? ______________




¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad?______________

¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles? Coméntelo con sus compañeros y a juicio del asesor verifique su conjetura.

Lección 3: Software de Geometría Dinámica Actividad 10

Explorando “El Geómetra”

Con el fin de familiarizarse con los comandos del software de geometría dinámica que vamos a utilizar a lo largo de esta sesión, realice las siguientes actividades guiado por su asesor:

1. Construya un segmento de recta, determine su longitud dinámica y deslice

alternativamente sus puntos extremos para observar lo que sucede.

2. Construya un ángulo, determine su medida dinámica y varíe su abertura.

Observe.




3. Construya un triángulo, etiquete sus vértices y sus lados, determine las me-

didas de sus lados y de sus ángulos, obtenga su perímetro y su área.

4. Dado un segmento de recta y un punto exterior a él, construir una recta pa-

ralela y otra perpendicular a dicho segmento que pasen por el punto dado.

5. Construir un rectángulo arbitrario.

6. Construir un cuadrado dado un lado.

7. Construir un hexágono regular.

8. Exprese sus primeras impresiones acerca del uso de un software de este

tipo.

Lección 3: Software de Geometría Dinámica Actividad 11

Trazo de mediatrices, bisectrices, medianas y alturas en un triángulo usando software de geometría dinámica

En esta actividad, mediante las acciones que a continuación se enumeran, se propone consolidar, y de alguna manera validar, algunas de las conjeturas surgidas en sesiones anteriores; vistas ahora con la potencialidad y recursos de este tipo de software computacional.

Utilizando “El Geómetra” o algún otro software de geometría dinámica, realizar las siguientes acciones:

1. Construir un triángulo y trazarle sus mediatrices y pintarlas de color azul. Deslice cualquiera de los vértices del triángulo y analice las posibles inter-secciones de las mediatrices.




¿Se intersecan siempre las tres mediatrices en un punto? Argumente____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuáles son las posibles posiciones del punto de intersección con respecto al triángulo? Detalle________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos correspondientes al punto1, pero en relación a las medianas, las cuales serán pintadas de rojo. Contes-tar las respectivas preguntas

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos correspondientes al punto1, pero en relación a las bisectrices, las cuales serán pintadas de negro. Con-testar las respectivas preguntas

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos correspondientes al punto1, pero en relación a las alturas, las cuales serán pintadas de verde. Contestar las respectivas preguntas

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




5. Deslice uno de los vértices hasta que el triángulo, con todas las líneas es-peciales trazadas, se aproxime mucho a un triángulo isósceles. Describa lo que observa.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Deslice uno de los vértices hasta que el triángulo, con todas las líneas es-peciales trazadas, se aproxime mucho a un triángulo equilátero. Describa lo que observa.

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