J.- D. Nasio

TOPOLOGERA Introduccin a la topologa de Jacques Lacan

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Thpologera

De Juan David Nasio en esta biblioteca

El silencio en psicoanlisis (comp.)

Los ojos de Laura. El concepto de objeto a en la teora de J. Lacan

La primera versin en castellano de esta obra apareci como tercera parte de Los ojos de Laura. El concepto de objeto a en la teora de J. Lacan, de Juan David Nasio, publicada por nuestro sello editorial en 1988 y reimpresa en 1997 y 2006.

Topologera Introduccin a la topologa de Jacques Lacan

Juan David Nasio

Amorrortu editores Buenos Aires - Madrid

Biblioteca de psicologa y psicoanlisis Directores: Jorge Colapinto y David Maldavsky Topologerie. Introduction a la topologie psychanalytique, extrado de Les yeu:c de Laure. Le concept d'objet a dans la thorie de J. Lacan, Juan David Nasio Les yeu:c de Laure, Aubier, Pars, 1987 Traduccin: Jos Luis Etcheverry

'Ibdos los derechos de la edicin en castellano reservados por Amorrortu editores S.A., Paraguay 1225, 7" piso - C1057AAS Buenos Aires Amorrortu editores Espaa S.L., C/San Andrs, 28 - 28004 Madrid

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Queda hecho el depsito que previene la ley nO 11.723 Industria argentina. Made in Argentina

ISBN 978-950-518-117-9

Nasio, Juan David Topologera. Introduccin a la topologa de Jacques

Lacan. - 18 ed. - Buenos Aires : Amorrortu, 2007. 96 p. ; 23x14 cm.- (Biblioteca de psicologa y psicoanlisis /

dirigida por Jorge Colapinto y David Maldavsky) Traduccin de: Jos Luis Etcheverry

ISBN 978-950-518-117-9

1. Psicoanlisis Lacaniano. 1. Etcheverry, Jos Luis, trad. 11. Ttulo

CDD 150.1957

Impreso en los Talleres Grficos Color Efe, Paso 192, Avellaneda, provincia de Buenos Aires, en enero de 2007.

Tirada de esta edicin: 2.000 ejemplares.

ndice general

9 1. Topologa y psicoanlisis

25 2. Construccin visualizada del cross-cap Lema, 25. 1. Tres nociones previas a la construc-cin del cross-cap: homomorfismo, inyeccin/ inmersin y recta proyectiva, 27. 2. Construc-cin de la esfera provista de un cross-cap, o inmersin del plano proyectivo en el espacio de tres dimensiones, 33. Modelo intuitivo del cross-cap: una pelota pinzada, 51. 3. Lectura tridi-mensional del cross-cap, 52.

60 3. Pensar el objeto a con el cross-cap Lema, 60. 1. Adentro/afuera, 65. 2. El corte lacaniano del ocho interior, 72. 3. Pensar el ob-jeto a con el disco, 83. a. La caracola marina y el punto flico, 84. b. El objeto a se reduce a un punto, 87. c. El objeto a es no especular, 89. Re-ferencias bibliogrficas de los textos de Jacques Lacan sobre el cross-cap, 93.

94 ndice topolgico

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1. Topologa y psicoanlisis

A Swann y a su alegra de vivir.

Me atormento con el problema de averiguar cmo es posible representar de manera plana, bidimen-sional, algo tan corporal como nuestra teora de la histeria.

s. Freud, Carla a Breuer del 29 de junio de 1892.

La interdiccin de lo imaginario ha hecho mu-cho mal a los psicoanalistas en su trabajo de pen-sar lo real. No es seguro que uno deba pronun-ciarse contra la imagen en favor del decir o del nmero. Tratndose de lo real psquico, la cues-tin sigue siendo: qu diferencia hay entre pre-tender decir eso real con conceptos, escribirlo con nmeros y mostrarlo con artificios imaginarios?

La introduccin de la topologa por Lacan en la dcada de 1960, en particular las elaboracio-nes recientes sobre los nudos, constituye en mi opinin una tentativa de aprehender lo real con recursos imaginarios y -lo veremos-, ms que imaginarios, fantasmticos; recursos que llama-

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r artificios topolgicos. Esta manera de abordar la topologa, que tiene ms relacin con el dibujo que con el clculo, con la pizarra que con el papel, con la mostracin que con la demostracin, con-trara la creencia segn la cual hacer topologa es, para los analistas, hacer ciencia. Para trazar una lnea de demarcacin entre la topologa cl-sica y la nuestra habra que proceder como en el caso de la lingstica e inventar un nombre, por ejemplo topologera (estoy convencido de que la invencin del trmino ((lingistera ha sido be-nfica para disipar muchos malentendidos).

Dicho esto, queda por saber si el inters de los psicoanalistas por la topologa corresponde a una especie de refinamiento excesivo, de preocu-pacin por problemas ultramenores, fragmenta-rios y sin consecuencias, lo que sera propio del perodo final, agonizante, de una teora, o bien si al contrario este inters corresponde a la recons-titucin, abierta por Lacan, de una nueva estti-ca trascendental conforme a la experiencia, no del sujeto del conocimiento, sino del sujeto del in-consciente.

Pero, qu es esto real que exige disponer de una topologa para abordarlo, y de qu topologa se trata? Respondamos en dos lenguas ligeramen-te diferentes, una freudiana, lacaniana la otra.

Freud supona dos mundos reales e ignotos, uno exterior, e interior, psquico, el otro. Apoyn-

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dos e en Kant se congratulaba con la conclusin de que, de los dos, slo lo real interior tema posi-bilidades de ser cognoscible.1

Una doble observacin complicar esta sim-ple divisin de mundos. En primer lugar, si es que uno puede aprehender lo real interno, para ello hace falta un dispositivo exterior, aun cuan-do dependiente de las condiciones de eso mismo real interno. Este dispositivo tcnico no es pa-ra Freud el concepto, el pensamiento o el conoci-miento, sino la experiencia psicoanaltica mis-ma. Ahora bien, estos dos mundos aparentemen-te separados se interpenetran en la relacin ana-ltica en la forma cruzada de un quiasmo que liga el deseo del paciente con el del psicoanalista. La frontera es tan dilatada que absorbe a los dos mundos que ella separa.

y despus, segunda observacin: al final de su vida, Freud lleg a concebir de otra manera la di-visin interior-exterior. Sin desarrollarlo verda-deramente, admiti que el aparato psquico te-ma extensin en el espacio, y que el espacio a su vez era la proyeccin de este aparato.2

1 No obstante, nos dispondremos satisfechos a experimen-tar que la enmienda de la percepcin interior no ofrece difi-cultades tan grandes como la de la percepcin exterior, y que el objeto interior es menos incognoscible que el mundo exte-rior .. (S. Freud, Lo inconciente .. , en Obras completas, Bue-nos Aires: Amorrortu, vol. 14, 1979, pg. 167).

2 N uestro supuesto de un aparato psquico extendido en el

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Sin embargo, a pesar de estos ltimos cuestio-narnientos, la obra freudiana y, en general, los psicoanalistas cuando practican el anlisis siguen escombrados con esa intuicin indesarraigable segn la cual el psiquismo es un adentro limita-do por una superficie (la piel) vuelta hacia lo real exterior.

A la dualidad de los reales freudianos sucede una topologa lacaniana que pone en juego rela-ciones ms precisas. En lugar de dos reales se trata de uno solo, UIVOCO, sin divisin, definido esencialmente por su modalidad de ser imposi-ble de representar, y en el cual el psicoanlisis si-ta la dimensin del sexo de agotamiento impo-sible. Frente a lo real est el sujeto; y entre los dos, el conjunto de los recursos con que el sujeto aborda eso real del sexo: recursos referidos a los significantes y recursos referidos al objeto a. Los primeros recursos son denominados sntomas; los segundos, fantasmas. As, entre el sujeto y el sexo se encuentra una serie de relaciones cau-sales, en general paradjicas, constitutivas de lo que el psicoanlisis llama la realidad. De esta

espacio ... (S. Freud, Esquema del psicoanlisis, en op. cit., vol. 23, 1980, pg. 198).

La espacialidad acaso sea la proyeccin del carcter exten-so del aparato psquico. Ninguna otra derivacin es verosmil. En lugar de las condiciones a priori de Kant, nuestro aparato psquico. 'Psique es extensa, nada sabe de eso (S. Freud, .. Conclusiones, ideas, problemas, en op. cit., pg. 302).

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realidad psicoanaltica procura dar razn la to-pologa.

Cuatro relaciones, ms bien cuatro parejas paradjicas de conceptos que definen la realidad son recreadas, puestas en escena por nuestros artificios topolgicos.

He aqu brevemente cada una de esas parejas, y el ser topolgico que las figura:

1.la demanda y el deseo, figurados por el toro; 2. el sujeto dividido y su decir-un decir signi-

ficante--, figurados por la banda de Moebius; 3. un significante y los otros, figurados por la

botella de Klein, y 4. por ltimo, el sujeto en su relacin con el ob-

jeto (fantasma), figurado por el cross-cap (esfera provista de un cross-cap).

Retomemos cada una de esas parejas pun-tualmente, en la forma de una pregunta:

1. La primera pareja atae a la cuestin de la repeticin. Cmo aceptar que sea preciso repe-tir dos vueltas para regresar al punto de partida y comprobar que algo se ha perdido, cuando en apariencia no se ha hecho ms que renovar el mismo gesto? Sin embargo, para perder verdade-ramente hace falta en efecto dar dos veces la vuelta. Me explico: la primera vuelta correspon-

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de al trazado de una repeticin local llamada de-manda, mientras que la segunda comprende la serie continua de esas repeticiones. De esas dos vueltas resulta el deseo. La demanda, en su ex-presin ms simple (figura 1), es un mensaje di-rigido al Otro, que vuelve al sujeto en su forma

Figura 1. Una demanda local.

invertida, pero sin que el cuerpo resulte afecta-do, es decir, sin que nada se desprenda de la pul-sin. Hace falta que la primera vuelta de una de-manda local se encuentre con la vuelta de una segunda demanda para que haya en efecto sepa-racin; o tambin, no habr deseo mientras no hayan sido enlazadas demandas (al menos dos) que formen una serie continua. El toro nos per-mite pensar el trazado de dos vueltas continuas (

2. La segunda pareja atae a la cuestin del sujeto. Cmo ocurre que seamos sujeto en el mo-mento en que no somos ms que un decir y, si-multneamente, que seamos el sustento ausente de las futuras repeticiones? O tambin, cmo ocurre que seamos otro, que cambiemos por el so-lo hecho de decir? El ser topolgico introducido desde hace tiempo en la teora lacaniana y que fi-gura esta antinomia del sujeto es la banda de Moebius. En lugar de definir el sujeto, la banda

lnea del ocho interior

Figura 3. Ocho interior o plano de la serie de demandas en el toro.

de Moebius nos lo muestra. Pero sera falso iden-tificar directamente el sujeto con la banda y de-cir, sealndola: he aqu el sujeto. No; lo que nos interesa en la banda de Moebius es que su pro-piedad de tener un solo borde cambia si se opera en ella un corte mediano (al menos es el caso pa-ra una cinta que tiene una sola semitorsin). En ese momento, es decir en el momento de cortar si-guiendo la lnea mediana de la banda y des-cribiendo con las tijeras una curva cerrada (que

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vuelve a su punto de partida), la banda pro-piamente dicha desaparece; el resultado es una cinta que ya no es una banda de Moebius (figuras 4y5).

Figura 4. Banda de Moebius.

Figura 5. Cinta no moebiusiana, obtenida tras el corte.

No basta entonces con representar el sujeto en el espacio; es menester tambin el acto de cor-tar, de trazar una curva cerrada. El acto de decir es del mismo orden porque el significante deter-mina, hiende al sujeto en dos: lo representa y, re-presentndolo, lo hace desaparecer. Es cortando la banda como se puede decir: he aqu el sujeto.

3. La tercera pareja atae a la cuestin del ne-xo, que es tan dificil imaginar, entre un signifi-cante y el resto de la cadena significante. Es dif-cil imaginarlo porque se trata de aprehender c-mo un conjunto de elementos significantes slo tiene consistencia a condicin de que en l falte uno y, sobre todo, de que ese uno faltante se en-

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cuentre en el exterior del conjunto o bien consti-tuya su borde. La cadena significante consiste si, y slo si, un significante le ((ex-siste como su bor-de. Y no obstante, cuando uno intenta acotar esta lgica del par significante --SI (el Uno) y S2 (el conjunto)-, en el momento de la aparicin de un sntoma en el curso de la cura por ejemplo, se im-pone enseguida el problema de la relacin entre esta formacin del inconsciente (el sntoma) y el inconsciente mismo. La buena respuesta, aun-que mal formulada, sera: no hay inconsciente salvo ah donde hay sntoma, ni antes, ni des-pus. Se habra podido utilizar la expresin ((in-manencia y formular tambin: el inconsciente es inmanente al significante-sntoma. Ni una ni otra de estas frmulas es adecuada para figurar la lgica de la relacin entre un significante y los otros. Recurramos entonces a la topologa. La re-ferencia aqu no es el corte, sino lo que se llama la circunferencia de retroceso de la botella de Klein. La familia de curvas constitutivas de la trama de esta superficie sigue un movimiento tal que, replegndose sobre ella misma, toma en de-terminado lugar la forma del gollete de una bote-lla. A primera vista, esa circunferencia de retro-ceso correspondera entonces al gollete, es decir al contorno de un agujero. En verdad, topolgica-mente esta circunferencia es parametrizable, por toda la superficie, como si el gollete fuera pa-

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rametrizable as en la base, en el cuello, como en cualquier otro punto del cuerpo de la botella. Pa-ra nosotros, la circunferencia de retroceso repre-senta la excepcin, 8 1, que puede aparecer en cualquier punto de la superficie y que condiciona su sostenimiento.

Figura 6. Botella de Klein.

4. Por ltimo, la cuarta pareja atae a la cues-tin de la relacin del sujeto con el objeto (cues-tin esta la ms cercana a los dos reales freudia-

banda de Moebius

Figura 7. Recorte de la esfera provista de un cross-cap.

nos). Cmo comprender que el sujeto pueda in-cluir en l un objeto -y al mismo tiempo incluir-se en un objeto- que le es, no obstante, radical-

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mente exterior y heterogneo? En otras pala-bras: Cmo comprender que eso que llamamos fantasma no sea una imagen en el interior de la economa psquica del sujeto, sino un aparato, una edificacin que se distribuye, se extiende en la realidad confundindose con ella? Es el hecho de mostramos que el adentro y el afuera son una sola y misma cosa lo que confiere su valor al cross-cap. Sigamos a una hormiga que parta de un punto de la cara anterior del lbulo izquierdo, por ejemplo; ella pasa por la lnea de falsa inter-seccin y repentinamente se encuentra sobre la cara posterior e interior del lbulo derecho, hasta encontrar nuevamente, siempre sobre la cara in-terior, pero por delante, la lnea de falsa intersec-cin. Entonces sale hacia atrs del lbulo iz-quierdo, sobre su cara exterior, recorre esa cara posterior y despus la anterior hasta llegar a su punto de partida. De esta manera habr pasado del exterior al interior y del interior al exterior sin haber comprobado lmite alguno, sin haber atravesado ninguna frontera. Para la hormiga no habr habido diferencia entre un supuesto in-terior y un supuesto exterior de nuestra superfi-cie.3 Si ahora consideramos este trayecto de la honniga como el trazado de un corte en doble la-

:3 En nuestro captulo 3, infra, pg. 68, retomaremos este ejemplo de la hormiga, as como la indistincin entre interior y exterior.

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zo, habr recortado el cross-cap en dos partes: una banda uniltera de Moebius, que representa al sujeto, y un disco biltero, que representa al objeto a. De esta manera se obtienen los tres elementos de la articulacin del fantasma, pro-puestos por Lacan: el sujeto ($), el corte (O) y el objetoa.

Cada uno de estos seres geomtricos (salvo el toro y en cierta medida la banda) que acabamos de mostrar es el resultado de cierto forzamiento operado por la subsuncin de una superficie abs-tracta en el espacio ambiente euclidiano. La su-perficie abstracta es en s irrepresentable en nuestras dimensiones intuitivas habituales,4 co-mo no sea forzndola y produciendo una repre-sentacin no regular, bastarda, de una superficie que slo existe como variedad de un espacio abs-tracto. Lo vemos bien: la topologa con la cual los psicoanalistas piensan y trabajan no es ni la to-pologa general, ni la algebraica. Aunque afin a la topologa combinatoria, es en ltima instancia una topologa particularsima, que caracterizar como mostrativa y fantasmtica. No trabajamos

4 Como lo escribe J. Petitot en una introduccin esclarece-dora sobre la geometra hiperblica: La superficie es abs-tracta en la medida en que no existe inyeccin regular de ella en el espacio (prefacio al libro de 1. Hermann, Paralllisme, Pars: Denoel, 1980, pg. XXXIV).

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con ecuaciones, nmeros y letras, sino con tije-ras, tizas y caucho.

Ahora bien, estos seres, estos lugares, son reales o ficticios? Ni lo uno ni lo otro. Son artifi-cios singulares, efectuaciones espaciotemporales que, a la manera de un teatro especial, dramati-zan la paradoja: la separacin del deseo pasa a ser un agujero, el itinerario repetitivo de las de-mandas sigue el trazado de un ocho (doble lazo), o an, el significante de la excepcin (SI) toma la forma del gollete de una botella. Son como ele-mentos intermediarios entre el dominio topolgi-co estricto, del que proceden, y las parejas de con-ceptos paradjicos de la teora analtica. No cons-tituyen verdaderas superficies porque, en virtud de su inmersin en el espacio ambiente, son re-presentaciones no regulares; tampoco son con-ceptos, segn la acepcin usual, puesto que su sentido ni se explica ni se demuestra: slo se muestra. Se muestra dibujando, cortando o pe-gando.

Pero sera un error creer que esta superficie que no es tal, y que este concepto efectuado singu-larmente en el espacio, estos mixtos, como los lla-mara Albert Lautman,5 son la metfora, buena o mala, de la paradoja. No ilustran la paradoja,

5 A. Lautman, Structure et existence en mathmatiques, Pars: Hennann, 1938, pg. 107.

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sino que son su mismo ser. No se dir que el con-cepto del sujeto es ilustrado por la banda de Moe-bius, sino, insisto, se mostrar la banda y, cor-tndola por el medio, se dir: este es el sujeto. El artificio no designa el ser del sujeto: lo es.6 N o se lee tampoco la representacin, sino que se la practica, y es esta prctica la que le da su senti-do. El sentido est en el uso de la representacin. Ahora bien, cuando uno dice uso, dice tambin malogro y fuga. Lo que escapa cuando uno traba-ja con esos mixtos topolgicos es el cuerpo. Enten-dmonos: no el cuerpo como extensin ni como imagen, sino como lugar parcial de goce: goce de la mirada y del tacto. Practicar la topologa sig-nifica tratar con el cuerpo la representacin y, en ese mismo acto, inscribir esa prctica en el con-junto de nuestras producciones fantasmticas. Qu es, en efecto, el fantasma, si no una accin, un obrar hasta confundirnos con lo poco de cuerpo que perdemos?

A pesar de las objeciones que pudiera plan-tear este abordaje clnico 7 de la topologera, tengo dos razones para persistir. La primera: por qu no aplicar a nuestra prctica de la topo-

6 En este sentido, y en una frmula general, diramos que el ser de lo psquico, el estatuto ontolgico del psiquismo, es precisamente la topologera analtica.

7 Trmino con el cual Pierre Soury haba calificado nuestro proyecto en ocasin de un debate sobre este texto.

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loga el concepto de goce que empleamos en el trabajo con nuestros pacientes, y decirnos que la parte de goce que esta prctica conlleva (mirada y tacto) es slo la transformacin del goce pre-sente en la cura bajo la forma del fantasma? Es como si uno pudiera hablar de transmisin fan-tasmtica de una prctica a otra. La topologa que nosotros trabajamos no escapa al apotegma lacaniano: No existe metalenguaje. En otros trminos, no hay lenguaje (aunque sea el del ma-nejo de los seres topolgicos) que no sea desbara-tado por el goce.

La segunda razn que me lleva a persistir en la topologa atae a lo imaginario de los psico-analistas. En qu puede la prctica con los obje-tos topolgicos transformar en los psicoanalistas que a ella se entregan las condiciones de su ima-ginario? Yen qu medida eso imaginario modi-ficado, adaptado a las exigencias de la topologa, llevar al psicoanalista a escuchar de otra mane-ra a sus analizados y a su propia experiencia? Parto de la suposicin de que, en el analista que maneja con frecuencia estos artificios, la fami-liaridad que llega a adquirir con ellos puede ha-bituarlo poco a poco, si no a apercibir, al menos a imaginar hasta cierto punto un espacio otro, ms prximo a la representacin topolgica de lo real psquico. Ya no se tratara de pretender eliminar la intuicin en beneficio de un supuesto formalis-

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roo topolgico, sino de transfonnarla. Acaso en-tonces el ejercicio de la topologa pennita abrir el campo de un nuevo imaginario, ligado a la expe-riencia del inconsciente.

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2. Construccin visualizada del cross-capl

Lema. Nuestro punto de partida ha sido el es-tudio de las elaboraciones topolgicas de Lacan. Trabajando en detalle el origen y la construccin del objeto topolgico acaso ms importante de la teora lacaniana, a saber, el cross-cap o, ms exactamente, la esfera provista de un cross-cap,2 hemos hecho la experiencia de que era posible hacer formalmente de ello una presentacin cla-ra.3 La exposicin que sigue est destinada a un lector en quien no se supone conocimientos ma-temticos.4

1 Este captulo fue realizado en colaboracin con F. Tingry, en tanto que B. Hatry tuvo a bien participar en la prepara cin del texto.

2 Por el momento no distinguiremos entre el cross-cap y la esfera provista de wi cross-cap. Aunque se trate de dos objetos muy diferentes, provisionalmente emplearemos por comodidad uno u otro de manera indistinta.

3 Un primer esbozo esquemtico de esta presentacin se encuentra en F. Tingry, Nom propre et topologie des surfaces, tesis, 1983.

4 Para el lector deseoso de dar sus primeros pasos en la ro-pologa, recomendamos un excelente libro de iniciacin: M. Frchet y K Fan, Introduction a la topologie combinatoire, Pars: Librairie Vuibert, 1946.

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Segn veremos, el cross-cap es el objeto que resulta de la transformacin de otro objeto topo-lgico ms general y ms conocido por los mate-mticos, llamado plano proyectivo. En un primer abordaje, su diferencia reside en el hecho de que el cross-cap es visible, en tanto que el plano pro-yectivo no lo es. Nuestra exposicin consistir, precisamente, en seguir paso a paso esta trans-formacin de un objeto invisible en un objeto visi-ble. En una fonnulacin ms rigurosa, debemos decir que la esfera provista de un cross-cap cons-tituye la representacin, en el espacio de tres di-mensiones, de una superficie abstracta de dos dimensiones, llamada plano proyectivo. Esta re-presentacin tridimensional es por as decir de-fectuosa, y resulta de la inmersin del plano pro-yectivo en el espacio ambiente usual. Para com-prender mejor los diversos momentos de esta inmersin, en una primera parte expondremos algunas nociones previas. Despus seguiremos paso a paso las cuatro etapas que, del plano pro-yectivo, conducen al cross-cap.

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1. Tres nociones previas a la construccin del cross-cap: homomorfismo, inyeccin/inmersin y recta proyectiva

Para seguir las cuatro etapas de la inmersin del plano proyectivo, hay que tener presentes tres nociones indispensables para comprender el paso de una etapa a la siguiente: la nocin de homo-morfismo, la de inyeccin/inmersin y la nocin de lo que es una recta en un plano proyectivo.

HOMOMORFISMO. En topologa, dos objetos son homomorfos si cumplen dos propiedades nota-bles: a todo punto de uno de los objetos correspon-de un punto y slo uno del otro, y recprocamente. y a dos puntos vecinos de uno corresponden dos puntos vecinos del otro, y recprocamente. Estas dos propiedades, llamadas respectivamente bi-yeccin y bicontinuidad, hacen del homomorfis-mo una transformacin reversible entre dos obje-tos. Tomemos un disco de caucho, deformmoslo hasta convertirlo en una elipse o un cuadrado; di-remos entonces que estas superficies que tan di-ferentes parecen por su forma, son sin embargo estrictamente homomorfas porque cumplen las dos propiedades que definen al homomorfismo, la biyeccn y la bicontinuidad. En ese caso se di-r que esas superficies (disco y cuadrado) son equivalentes porque son homomorfas.

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INYECCIN E INMERSIN. La inyeccin, lo mismo que la inmersin, es una transformacin de un objeto inicial en un objeto final que se obtiene in-troduciendo el primero en un medio especfico. Puede ocurrir que el objeto final sea equivalente al objeto inicial, y que entre ellos se cumpla el ho-momorfismo como lo hemos definido. Pero puede ocurrir tambin que las condiciones del espacio en que se desarrolla la transformacin produz-can un objeto final que no sea completamente equivalente al objeto inicial. El primer caso, en que los dos objetos son por entero equivalentes, se llama inyeccin. En el segundo caso, llamado inmersin ,5 la equivalencia slo se verifica par-cialmente. Si retomamos lo dicho acerca de las dos propiedades del homomorfismo, la biyeccin y la bicontinuidad, comprobamos que en el caso de la inmersin la primera propiedad no se cum-ple, que no hay biyeccin entre el objeto inicial y el objeto final.

5 El trmino inmersin no es exclusivo de los toplogos. Tambin hablan de inmersin los poetas. He aqu lo que dice R. Char: .. Lo que advendr conoce -eomo conoce lo pasado-una suerte de inmersin. Comentando este poema, M. Blan-chot escribe: .. Esta inmensidad de la inmersin que es el es-pacio mismo del canto en que vive el todo. Otro poema de Char, Partage formel, lo esclarece as: En poesa, es sola-mente a partir de la comunicacin y de la libre disposicin de la totalidad de las cosas entre ellas a travs de nosotros como alcanzamos a ser comprometidos y definidos, en condiciones de obtener nuestra forma original. .. (R. Char, Quures com-pletes, Pars: Gallimard, 1983, pg. 1144).

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Las dos transformaciones, aquella en que la biyeccin se cumple y que se llama inyeccin, y la otra, la inmersin, en que la biyeccin no se cum-ple, son ambas aplicables al caso del plano pro-yectivo.6 El plano proyectivo se dir inyectado o inmerso segn el medio en que se haya produci-do esa transformacin y segn el resultado final de esta. Si la transformacin se ha desarrollado en un medio-espacio de ms de tres dimensiones, el objeto final ser por entero equivalente al pla-no proyectivo. Hablaremos entonces de inyeccin del plano proyectivo. Si en cambio se desarrolla en un espacio euclidiano de tres dimensiones, el objeto final no ser equivalente al plano proyec-tivo. Hablaremos en este caso de inmersin del plano proyectivo. Como veremos despus, la es-fera provista de un cross-cap es el resultado final de la inmersin del plano proyectivo en.un espa-cio euclidiano de tres dimensiones.

RECTA PROYECTIVA. Definidas estas nociones de homomorfismo, de inyeccin y de inmersin, veamos ahora qu es una recta en un plano pro-yectivo. Comencemos por considerar el plano or-

6 Para profundizar esta diferencia entre inyeccin e inmer-sin se puede consultar M. Spivak, A Comprehensive Intro-ductwn to Differential Geometry, Publish or Perish (segunda edicin), 1979, vol. 1, pgs. 13-8. Y tambin Encyclopedic Die-tionary of Mathematics (de fuente japonesa), MIT Press, 1977, vol. 1, pgs. 679 y 681.

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dinario (figura 1): sabemos que dos rectas perte-necientes a este plano son paralelas cuando no tienen punto comn, cuando no se cortan.

Figura 1. Rectas paralelas en el plano ordinario.

A diferencia del plano ordinario, el plano pro-yectivo es aquel en que las rectas paralelas se cortan en un punto del infinito. Veremos que el dibujo global de este plano es imposible. Intuiti-vamente, una idea aproximada nos la proporcio-nan las trayectorias paralelas de varios barcos que se alejan de la costa y parece que se fueran a encontrar en un punto del horizonte (figura 2).

horizonte

Figura 2. Rectas paralelas en el plano proyectivo.

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Una de las caractersticas topolgicas de una recta perteneciente al plano proyectivo es tener un punto del infinito. Destaco el hecho de que la recta proyectiva posee un punto del infinito, en tanto que la recta del plano ordinario es infinita sin punto del infinito.

He aqu ahora la otra caracterstica de la rec-ta proyectiva: toda recta proyectiva es una recta cerrada. Esto significa que para pensar una rec-ta del plano proyectivo debemos concebirla ce-rrndose en su punto del infinito, es decir, como una circunferencia.

Para demostrar esta propiedad fundamental que la recta proyectiva tiene de ser homomorfa a una circunferencia, habr que hacer correspon-der un punto de la recta proyectiva a un punto de la circunferencia. He aqu la presentacin, muy intuitiva, que hemos elegido: tracemos una cir-cunferencia C y despus una recta Ll, que se supo-ne perteneciente al plano proyectivo. Tomemos sobre la circunferencia el punto ms cercano a la recta Ll y llammoslo B.

Proyectando sobre el punto B todos los puntos de la recta Ll, por ejemplo, los puntos Ll(l)' Ll(2)' Ll(3)' Ll(4)' etc., obtenemos un haz de lneas 4, ~,~,

~, etc., que pasan por B y cortan la circunferen-cia C en los puntos C(1)' C(2)' C(3)' C(4)' etc. Vemos que los puntos de Ll tienen su correspondiente en los puntos de la circunferencia. Sin embargo, hay

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Figura 3. La recta proyectiva (tJJ es homomorfa a una circun-ferencia (e).

un problema. Cuando queremos trazar una lnea t para hallar la correspondencia del punto B de la circunferencia con un punto de !l, comproba-mos que esta recta tes paralela a !l, y por lo tanto no la corta. La recta t no puede cortar a !l, salvo si agregamos a !l un punto del infinito. Marque-mos entonces a la derecha del dibujo el punto del infinito oo!l (figura 3). Podremos afirmar as que tes la recta de proyeccin de 00 !l sobre el punto B de la circunferencia C. Ahora podemos enunciar que existe biyeccin porque todos los puntos de la recta proyectiva !l, incluido oo!l, tienen un corres-pondiente sobre la circunferencia C; y que existe bicontinuidad, porque a dos puntos vecinos en !l corresponden dos puntos vecinos en C, y recpro-camente. Que exista biyeccin y bicontinuidad entre !l y C nos permite decir que, efectivamen-te, !l es homomorfa a C; por lo tanto, que la recta proyectiva es homomorfa a una circunferencia.

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Si la recta proyectiva es homomorfa a una circunferencia, podemos afinnar que toda recta proyectiva es una recta cerrada que tiene un punto del infinito .

... ............. iWiiO ii~,i~iiO; ii ............ . ...

. ' '.

recta proyectiva ~

Figura 4. Una recta proyectiua es una recta cerrada; por lo tanto, una circunferencia.

2. Construccin de la esfera provista de un cross-cap, o inmersin del plano proyectivo en el espacio de tres dimensiones

Ahora, si la recta proyectiva es homomorfa a la circunferencia, cmo dibujar un plano llama-do proyectivo que contuviera a todas esas rectas, es decir, a todas esas circunferencias? El proble-ma se complica porque esas circunferencias no se incluyen en un solo grupo, sino que se distribu-yen en diferentes grupos. Cada uno de estos gru-pos se compone de una infinitud de circunfe-rencias que pasan por un solo punto del infinito que les es comn. As, el dibujo de un plano pro-yectivo se complica en extremo porque hara fal-ta representar un nmero infinito de grupos de

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circunferencias, referidos cada uno a un punto del infinito. Tendramos que dibujar un plano que tuviera por lmite una lnea compuesta de todos los puntos del infinito que sirven de punto de referencia a cada uno de esos grupos. La prin-cipal dificultad para concretar el dibujo es pre-cisamente la representacin del lmite del plano proyectivo, es decir, de esa lnea compuesta por los puntos del infinito. Para mostrar la imposibi-lidad de semejante dibujo, ofrecemos un esque-ma muy simplificado (figura 5). Con respecto a esta imposibilidad, reparemos, con Pierre Soury, en la curiosidad histrica de que la dificultad de dibujar el plano proyectivo slo se reconoci ex-plcitamente un siglo despus que el plano pro-yectivo se imagin.7

Un p1lDto del inJinito por donde p88IlD ~ una inJinidad de cizcunferencias

Lnea ---compuesta por los

p1lDtos del inJinito

Figura 5. Esquema que muestra la imposibilidad de dibujar el plano proyectivo.

7 Pierre Soury, Chanes et noeuds, Pars, 1986, texto 142.

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Si verdaderamente nos empeamos en obte-ner una representacin visible de ese plano pro-yectivo, es decir, una representacin en el espa-cio de tres dimensiones, debemos desembarazar-nos poco a poco de esas rectas proyectivas-cir-cunferencias, que tan difcil resulta imaginar juntas. Transformaremos para ello, con auxilio de la nocin de homomorfismo, esas circunfe-rencias y el plano que las contiene en elementos ms manejables. A travs de una serie de trans-formaciones sustituiremos el plano proyectivo por un objeto llamado cross-cap o, ms exacta-mente, esfera provista de un cross-cap. Una y otro son superficies, pero mientras que el plano proyectivo es una superficie abstracta, la esfera provista de un cross-cap es una superficie con-creta. Esta ltima consiste en una representa-cin irregular, bastarda, que aparece cuando uno hace inmersin del plano proyectivo en el espacio habitual.

Para llegar a esta esfera provista de un cross-cap tenemos que pasar por cuatro etapas. En pri-mer lugar transformaremos por homomorfismo el plano proyectivo en un objeto ms manejable: el haz de rectas. Una vez construido el haz de rectas, intentaremos reemplazarlo por un objeto equivalente, ms manejable an, llamado he-misferio. Tropezaremos entonces con una dificul-

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tad para realizar esta sustitucin, y ella nos in-ducir en un primer tiempo a transformar el haz de rectas no en un hemisferio regular, sino en un hemisferio mal pegado. Pero como este hemisfe-rio extravagante tampoco habr de satisfacer-nos, nos veremos obligados en un segundo tiem-

En resumen:

lra. etapa

2da. etapa

3ra. etapa

4ta. etapa

Conclusin:

El plano proyectivo es homomor-fo al haz de rectas (a un punto del plano proyectivo corresponde una recta del haz). Una dificultad: no existe biyec-cin entre el haz de rectas y el he-misferio.

Una mala solucin: hemisferio mal pegado.

: Una solucin mejor que la prece-dente, pero todava defectuosa: la esfera provista de un cross-cap. Obtenemos una mejor represen-tacin, pero la dificultad no que-da resuelta: no hay todava biyec-cin entre el haz de rectas y esta nueva representacin.

inmersin plano proyectivo _____ ~ esfera provista de un cross-cap.

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po a transformar por fin el haz de rectas en una esfera provista de un cross-cap.

Primera etapa. Demostremos que el plano proyectivo es homomorfo al haz de rectas. Ante todo recordemos que un haz de rectas (figura 6) es el conjunto de las rectas del espacio que pasan por un punto dado, O; estas rectas son tanto hori-zontales (por ejemplo, d', N, M ... ) como verti-cales (por ejemplo, dI' d2, d3, d4 ... ).

Figura 6. Un haz de rectas.

Ahora pongamos el haz en correspondencia con nuestro plano proyectivo, que el dibujo de la figura 7 se limita a evocar: solamente lo evoca, puesto que ya dijimos que es imposible figurar exactamente ese plano.

Para establecer el homomorfismo entre el pla-no proyectivo y el haz de rectas debemos hacer

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corresponder puntos con rectas: los puntos del plano proyectivo con las rectas del haz. Pero, qu puntos del plano proyectivo? Todos los pun-tos, desde luego: quiero decir los puntos ordina-rios, pero tambin los puntos del infinito. Ahora bien, estos puntos del infinito son los que verda-deramente nos interesan y los que nos opondrn dificultades cuando intentemos realizar el homo-morfismo.

~e;deI infinito comn alJ.ylJ.

Figura 7. Homomorfismo entre el plano proyectivo y el haz de rectas.

Comencemos entonces por colocar simple-mente el plano proyectivo sobre el haz de rectas de manera que estas lo atraviesen. Los puntos 1, 2, 3, 4, 5, etc., por los cuales el plano es atravesa-do, corresponden a las rectas dI' d2 d3, d4, d5, etc., que lo atraviesan. A cada punto corresponde una recta, y recprocamente.

Pero nos encontramos con un problema: a qu recta del haz corresponde el punto del infini-to (00 ~ ~') comn a las rectas ~ y ~' del plano pro-yectivo? A primera vista no disponemos de rama

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alguna del haz que correspondiera a ese punto. La solucin consiste en elegir una recta horizon-tal d' del haz y del plano Q, que pase por O y que sea paralela a las dos rectas 11 y 11' del plano pro-yectivo. Podemos imaginar que esta recta escogi-da sea la que pasa por el punto del infinito (00 11 11') del plano proyectivo, comn a las dos rectas 11 y 11'. As hemos establecido la biyeccin: a cada punto del plano proyectivo, incluidos sus puntos del infinito, corresponde una sola recta del haz, y recprocamente. Hemos obtenido tambin la bi-continuidad: a dos puntos vecinos en el plano proyectivo corresponden dos rectas vecinas en el haz, y recprocamente. Cumplidas estas dos con-diciones, podemos afinnar que el plano proyecti-vo es homomorfo al haz. Por consiguiente, en lo sucesivo podemos dejar de hablar del plano pro-yectivo y referimos, en cambio, a su equivalente, ms manejable, que es el haz de rectas.

Segunda etapa. Dificultad para establecer una biyeccin entre el haz de rectas y un hemis-ferio.

Ahora queremos desembarazarnos del haz de rectas y trabajar con un objeto ms manejable an, el hemisferio. Veamos pues si son equiva-lentes, es decir, si se cumple la operacin de bi-yeccin entre las rectas del haz y los puntos del hellsferio.

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Comencemos trazando el haz de las rectas ho-rizontales y verticales que pasa por el centro O (figura 8), y recubrmoslo con una calota (hemis-ferio) de centro O. El borde de esta calota se apo-ya sobre el plano ordinario Q .

.....--_..... .----- hemisferio (calota)

Plano Q

emisferio

Figura 8. Haz y hemisferio. La recta horizontal d' corta el borde del hemisferio en dos puntos opuestos A y A'.

Existe biyeccin entre el haz de rectas y el hemisferio? Si examinamos el dibujo (figura 8) es evidente que las rectas verticales del haz (dI' d2 ... ) atraviesan la calota en un solo punto cada una de ellas, y que en este caso la biyeccin se cumple: a una recta vertical del haz corresponde un punto de la calota. Pero la biyeccin no se cumple en el caso de las rectas horizontales, co-mo d' y d", porque estas rectas cortan dos veces, cada una de ellas, el hemisferio en su borde. Pa-ra cada recta horizontal tenemos ms de un pun-to de interseccin: precisamente tenemos dos. Por ejemplo, la recta d' corta el borde del hemis-

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ferio en dos puntos, Ay N. Estos puntos diame-tralmente opuestos se llaman puntos antip-dicos.

Estamos entonces frente a un problema: no existe homomorfismo entre el haz de rectas y el hemisferio; para ello, en efecto, habria sido preci-so que a cada recta del haz correspondiera un punto y slo uno del hemisferio, lo que no se cum-ple en el caso de las rectas horizontales como d'. A estas les corresponden, en el borde, dos pun-tos, y no uno solo.

Para conseguir la biyeccin que buscamos, que ponga en correspondencia una recta horizon-tal del haz, por ejemplo d', con un punto y slo uno del borde del hemisferio, es preciso eliminar el he-cho de que existan dos puntos. En verdad, si qui-siramos, podramos establecer esta biyeccin sin dificultad alguna y de manera inmediata, re-curriendo a determinado clculo matemtico. Por esta va terica obtendriamos enseguida el ho-momorfismo deseado entre el haz de rectas y un hemisferio, condensando los dos puntos opuestos del borde, en uno solo. Un matemtico habria procedido de ese modo y se habria conformado con ello. Pero nosotros preferimos otro camino.

Queremos permanecer en el espacio de tres dimensiones y saber si manipulando el hemisfe-rio como lo hariamos con un objeto real alcanza-

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remos la biyeccin buscada: una recta del haz pa-ra un punto del borde del hemisferio. Nos empe-amos en perseverar en el registro de los dibujos y de las cosas manipulables hasta tropezar con una imposibilidad infranqueable. Haremos en consecuencia un primer ensayo de manipulacin del hemisferio. Resultar un fracaso, y esto nos obligar a adoptar otro procedimiento: conse-guiremos por fin nuestro cross-cap.

Tercera etapa. Una mala solucin: el hemisfe-rio mal pegado.

Imaginemos que pegamos uno con otro los dos puntos opuestos Ay A', del borde del hemisferio, para convertirlos en uno solo. Entonces, a la rec-ta d' corresponder un solo punto. Para que to-das las rectas horizontales del haz tengan como correspondiente un solo punto cada una de ellas, tendramos que pegar, adems, todas las otras parejas de puntos diametrahnente opuestos del borde del hemisferio.

Ahora bien, qu ocurre? En el afn de conse-guir la biyeccin, y queriendo pegar de manera cruzada los puntos opuestos del borde del hemis-ferio, pronto advertimos la imposibilidad de rea-lizar semejante sutura. Esto se debe a que he-mos intentado pegar torpemente el borde man-teniendo el hemisferio apoyado sobre un plano. Mientras persistamos en pegar el hemisferio sin

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abandonar el plano, la sutura resultar imposi-ble, no la podremos efectuar correctamente.

El dibujo de la figura 9 es la mejor aproxima-cin que pudimos encontrar para evocar hasta qu punto es imposible poner en prctica y aun representar este modo de sutura.

Figura 9. Hemisferio mal pegado.

No hemos entonces encontrado la biyeccin que procurbamos, y en consecuencia no obtuvi-mos un objeto ms manejable, que fuera equiva-lente al haz de rectas. Nuestro interrogante era: es o no es el haz de rectas homomorfo al hemisfe-rio? Ahora, tras nuestra tentativa de pegadura, podemos responder: el haz de rectas no es homo-morfo al hemisferio con borde (calota) de la figu-ra 8, ni al hemisferio mal pegado de la figura 9.

Acaso la sutura no se puede realizar porque operamos una pegadura demasiado rudimenta-ria y sin mtodo. Hay otra manera de pegar dos a dos los puntos opuestos del borde del hemisfe-rio? S, a condicin de hacer esa pegadura sin apoyar el hemisferio sobre un plano, como lo es-

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taban la calota (figura 8) y el hemisferio mal pe-gado (figura 9). Librado del plano, el borde del hemisferio se volver flexible y manejable.

Cuarta etapa. Una solucin mejor que la pre-cedente, pero defectuosa todava: hemisferio me-jor pegado y obtencin de una esfera provista de un cross-cap; mas no por ello habremos obtenido la biyeccin entre el haz de rectas y esta esfera coronada por un cross-cap.

Volvamos a nuestra segunda etapa, al mo-mento de la calota apoyada sobre el plano. Que-ramos conseguir la biyeccin entre una recta ho-rizontal cualquiera del haz y un punto y slo uno del borde del hemisferio. Habamos intentado pegar el borde de manera de reducir a un punto solo cada pareja de puntos opuestos. Ahora pe-guemos ese borde sin que el hemisferio est obli-gado a permanecer apoyado sobre un plano y si-guiendo un procedimiento metdico. Veremos que esta vez reduciremos a un punto cada par de puntos opuestos, y que la sutura se realiza por fin. Esta nueva pegadura nos conducir al cabo al objeto llamado esfera provista de un cross-cap. y sin embargo, no quedaremos satisfechos. Una nueva e inesperada dificultad no nos permitir establecer la biyeccin deseada. Habremos he-cho bien la pegadura, pero, como lo hemos de ex-

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plicar despus, la sutura resultante no responde-r a nuestra expectativa: habremos pegado de-masiado. Antes la pegadura pecaba por defecto porque era imposible (hemisferio mal pegado) reunir dos puntos en uno solo; ahora, segn vere-mos, pecar por exceso porque reunir cuatro puntos en uno solo. Volveremos sobre esta nueva dificultad. Pero procedamos antes a la pegadura que nos lleva al cross-cap.

En primer lugar volvamos a nuestro hellsfe-rio con forma de calota, pero no lo apoyemos esta vez en un plano (figura 10). Hundmoslo hasta que se convierta en una especie de cuenco (figu-ra 11).

Ahora tomemos sobre el borde del cuenco dos parejas de puntos antipdicos: por ejemplo (A, N) y (B, B'). Tirando ligeramente hacia arriba los puntos A, A' y hacia abajo los puntos B, B' (figura 12), deformamos el cuenco hasta obtener el obje-to de la figura 13.

bundlr pon. trBDolarmar en.....,..,

1 , , , , I

-~-----~~ ."., ...... .,. ,1 ............... ...

, , , A ' __________ 1 __________ A'

, , , ,

Figura 10. Hemisferio no apoyado en un plano.

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Figura 11. Cuenco.

Para construir la esfera provista de un cross-cap, no nos queda ms que pegar de manera cru-zada los cuatro segmentos siguientes del borde

- ....-- ,-.... del hemisferio: AB con el segmento A'B' y AB' con -el segmento A'B (figura 14). Insistamos en sea-

Figura 12. Cuenco.

Figura 13.

lar que se trata de una pegadura cruzada. Cerra-mos entonces el hemisferio haciendo coincidir as todos los puntos constituyentes de uno de los

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Modelo intuitivo del cross-cap: una pelota de tripa pinzada en su parte superior.

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segmentos del borde con todos los puntos consti-tuyentes del segmento opuesto del borde, y lo mismo en el caso de los puntos de los otros dos segmentos. Por ejemplo, el punto 1 quedar pe-gado de manera cruzada con el punto 4, y el pun-to 2 quedar pegado con el punto 3 (figura 14).

La representacin topolgica as obtenida es una esfera pinzada cuya parte superior muestra claramente la sutura en tanto es una lnea verti-cal trazada entre los puntos A yA', que ahora se han convertido en un solo punto (extremidad su-perior de la lnea), y los puntos B y B', que se han convertido ellos tambin en un solo punto (extre-midad inferior de la lnea) (figura 15).

Observacin: es esta superficie global la que Lacan llama en general cross-cap. En realidad el nombre cross-cap designa solamente la parte superior pinzada que corona a la parte inferior esfrica, en tanto que el conjunto de la superficie se llama esfera provista de un cross-cap (figura 16). Precisemos que el cross-cap propiamente di-cho es una superficie abierta porque tiene un borde, mientras que la esfera provista de un cross-cap es una superficie cerrada porque no tiene borde.

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Figura 14~adura cruzada del segmento~onE"y del segmento AB' con lf:'

LInea de I-~~~-----~.u~a

Figura 15. Esfera provista de un cross-cap.

EsCera proviate de un croea-

Modelo intuitivo del cross-cap: una pelota pinzada (fotografia)

Hemos hecho la experiencia de que una vez aprendida y adquirida esta demostracin for-mal, se haca necesario volver visible y, por qu no, palpable el cross-cap.

No podamos conformarnos con demostrar el cross-cap, necesitbamos efectuarlo tambin en una dimensin espaciotemporal. En un primer momento habamos pensado en darle forma ma-nipulando pasta de modelar. Pero tras algunas tentativas intentamos con diferentes materiales (hilos metlicos, por ejemplo), hasta que por fin tuvimos la idea de utilizar una pelota inflada, tan liviana como el aire, pinzndola en su parte superior. Enseguida nos sorprendi ver lo bien que esta simple pelota pinzada evocaba el resul-tado al que habamos llegado con una demostra-cin rigurosa.

CONCLUSIN. La esfera provista de un cross-cap resulta de la inmersin del plano proyectivo en un espacio tridimensional.

Hemos llegado, por fin, a la esfera provista de un cross-cap. Pero, cumple la pegadura as efec-tuada la biyeccin que buscbamos, entre las rectas horizontales del haz y los puntos del borde

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del hemisferio, es decir, los puntos de la lnea de sutura? No; la sutura as constituida no pennite la biyeccin. Explicaremos por qu. Pero desde ahora podemos concluir que no habindose cum-plido la biyeccin, la esfera provista de un cross-cap, que acabamos de construir, no es un objeto equivalente al plano proyectivo. Si retomamos el distingo entre inmersin e inyeccin, diremos entonces que el plano proyectivo est inmerso, y no inyectado en tres dimensiones. Lo que enton-ces vemos en un espacio de tres dimensiones, es decir la esfera provista de un cross-cap, es una representacin visible, pero defectuosa, del pla-no proyectivo; no es, por lo tanto, su equivalente. El defecto se sita, muy precisamente, en la l-nea de la sutura.

3. Lectura tridimensional del cross-cap

a. La lnea de sutura tal como la vemos en un espacio de tres dimensiones: una lnea vertical ordinaria

Por qu la sutura as obtenida no pennite la biyeccin? Para comprender por qu la biyeccin no se cumple es preciso ante todo distinguir dos clases de rectas horizontales en el haz; una clase

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compuesta solamente por dos rectas horizonta-les, d' y su perpendicular d" (figura 17), y otra clase compuesta por todas las dems rectas hori-zontales oblicuas, como N y M. Para las dos rec-tas perpendiculares de la primera clase, la biyec-cin se confirma plenamente; en efecto, a cada una de ellas corresponde un solo punto, y reC-procamente. Ejemplo: a d' corresponder el pun-to nico (A, A'), Y a su perpendicular d" correspon-der el punto nico (B, B'). O sea que las dos rec-tas horizontales perpendiculares del haz tienen su correspondiente respectivo en los dos extre-mos, superior e inferior, de la lnea de sutura.

N o ocurre lo mismo en el caso de las rectas ho-rizontales oblicuas del haz. La biyeccin no se cumple para ellas porque no tenemos una corres-pondencia de una recta a un punto --como logra-damente sucede con las rectas horizontales per-pendiculares-, sino de dos rectas a un punto. En una palabra: la biyeccin entre el haz y la esfera provista de un cross-cap no se cumple para las rectas horizontales oblicuas.

Consideremos bien la figura 14. Ella muestra el instante previo a la pegadura del borde. Los pun-tos A y A' arriba, y B Y B' abajo, se harn respec-tivamente, en el momento de la pegadura efectiva, un solo punto. Un solo punto arriba, para el que estableceremos la notacin AA', y un solo punto abajo, cuya notacin ser BB' (figura 15).

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En el nivel de A y A' hay slo dos puntos por pegar, y lo mismo en el caso de B y B'. Ahora bien, en cualquier otro nivel del borde, interme-dio entre esos extremos, advertimos que no hay dos puntos por pegar, sino cuatro: un punto por cada uno de los cuatro segmentos del borde ple-gado. Es evidente que la diferencia entre los ex-tremos del borde, en que slo hay dos puntos por pegar, y los niveles intermedios, en que hay cua-tro, se debe al hecho de haber plegado nosotros el borde en cuatro.

Consideremos por ejemplo los cuatro puntos que numeramos 1,2,3,4 (figura 14). Cmo pe-garemos estos cuatro puntos? Recordemos que se trataba de pegar dos a dos todos los puntos opuestos diametralmente del borde del hemisfe-rio; buscbamos con ello que cada pareja de pun-tos se asociara a una recta horizontal del haz. As, los puntos 1 y 4 corresponden a la recta hori-zontal oblicua M del haz, y los puntos 2 y 3, a la recta horizontal oblicua N del haz (figura 18). El punto 1 quedar pegado a su opuesto, el punto 4; yel punto 2, a su opuesto, el 3. Qu resulta de esto? Queramos pegar estos puntos dos a dos, pero dada su situacin, a saber, en el mismo ni-vel sobre el borde, en el momento de la pegadura se confunden los cuatro en un solo punto de la lnea de sutura (figura 18).

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Ahora que est pegado el borde plegado en cuatro, tenemos de la sutura una visin mejor que en el caso del hemisferio mal pegado; ella se

~ .... PiaDoQ

Dos rectas horizontales perpendiculares del haz

corresponden a dos puntos de la linea de sutura

Figura 17. Aqu la biyeccin se cumple: a cada recta un punto.

N forman

x ................ :.: .. :::: ... ,/ un unto ~1.2.3.41 o .................. ~ ......................... . M ............... .. PI"""Q Dos rectas horizontales oblic/J4B del haz

corresponden a un punto de la linea de sutura

Figura 18. Aqu la biyeccin no se cumple: dos rectas por un punto.

muestra en un espacio de tres dimensiones como una simple lnea vertical ordinaria. Pero, qu se ha hecho de la biyeccin que procurbamos entre las rectas del haz y los puntos del borde del he-misferio, es decir los puntos de la lnea de sutu-

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ra? Y bien, tampoco ahora la hemos obtenido. Antes de la pegadura, nuestro problema era que tenamos una recta horizontal del haz para dos puntos del borde del hemisferio. Ahora que he-mos pegado los cuatro segmentos del borde ple-gado del hemisferio, advertimos que nuestro ob-jetivo de tener un punto para cada recta, y conse-guir as la biyeccin, se ha alcanzado en el caso de las rectas horizontales perpendiculares d' y d", relacionadas con los puntos de los extremos de la lnea de sutura, (AA') y (BB'); en cambio, no se alcanz para todas las dems rectas horizon-tales oblicuas N y M, relacionadas con los puntos intennedios de la lnea, como son 1, 2, 3, 4. Com-probamos entonces que en lugar de tener una recta por un punto, tenemos dos rectas por un punto. Por qu? Porque esos cuatro puntos 1, 2, 3, 4, en el momento de la pegadura se convierten en un solo punto. Y como esos cuatro puntos es-tn en correspondencia con dos rectas horizonta-les oblicuas del haz, es decir, 1 y 4 con la recta M, y 2 Y 3 con la recta N, concluimos que esas dos rectas tendrn por referente un nico punto. En consecuencia la biyeccin no se cumple. Para realizar efectivamente esta habramos debido obtener una relacin simple de un elemento a un elemento, de una recta a un punto. Es en efecto el caso de las dos rectas horizontales perpendicu-lares d' y d", puesto que a cada una le corres pon-

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de un punto y slo uno, situados en sendos extre-mos de la lnea de sutura: a una recta, un punto. En cambio, las rectas horizontales oblicuas del haz, como M y N, tienen dos a dos el mismo pun-to por correspondiente: a dos rectas, un punto.

Si retomamos el comienzo de nuestra demos-tracin donde habamos concluido en la equiva-lencia entre una recta cualquiera del haz y un punto del infinito del plano proyectivo, ahora po-demos afinnar lo siguiente:

a. Como el punto del extremo superior y el punto del extremo inferior de la lnea de sutura equivalen, cada uno, a una recta del haz, cada uno equivale tambin a un punto del infinito del plano proyectivo. Concretamente, los dos puntos, superior e inferior, de la Unea de sutura represen-tan dos puntos del infinito. La biyeccin aqu se cumple.

b. Como cualquier punto intennedio de la l-nea de sutura equivale a dos rectas del haz, equi-vale tambin a dos puntos del infinito del plano proyectivo. Concretamente, todo punto interme-dio de esta Unea representa dos puntos del infini-to. La biyeccin no se cumple.

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b. Interpretacin de la lnea de sutura en un espacio de tres dimensiones

Qu evoca la lnea de sutura? Vemos un tra-zo negro vertical ah donde logramos pegar los cuatro segmentos del borde plegado, y donde, co-mo acabamos de demostrar, la biyeccin no se cumple. Contemplando el trazo, el lector puede extraer dos interpretaciones sucesivas ligadas al hecho de que vive en un espacio tridimensional. Primero, con toda simplicidad, puede pensar que la lnea es el lugar de encuentro convergente de los cuatro segmentos del hemisferio. Despus, que en virtud de la pegadura cruzada, dos a dos, de esos cuatro segmentos, la lnea es la marca de la interseccin de las dos componentes conexas re-sultantes de la sutura: una estriada, punteada la otra (figura 20). Pero como esas componentes no Punto recta dos del horizontal puntos infinito oblicua por pegar OOM (M) (1-4) ~ [1,2,3,4]

un

ooN (N) (2-3) ~ solopunto

Punto recta dos del horiwntal puntos infinito oblicua por pegar

Figura 19. Esquema general de correspondencias; muestra que la biyeccwn no se cumple: a dos puntos del infinito corres-ponde un solo punto; en consecuencia no existe biyeccwn_

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son, de por s, otra cosa que las dos extremidades de una misma superficie, su interseccin debe denominarse autointerseccin. En efecto, en el nivel de la lnea de sutura, la esfera provista de un cross-cap se penetra ella misma o se autope-netra.

Figura 20. Interseccin de las dos reas, o autointerseccin de la superficie.

En tres dimensiones siempre, esta lnea de la sutura o lnea de autointerseccin hace de esta una superficie cerrada con un adentro y un afue-ra, y que en consecuencia tiene una cara interna y una cara externa. Dado que esta superficie tie-ne dos caras, se la llama biltera.

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3. Pensar el objeto a con el cross-cap

Volver visible lo que TW lo es, haciendo sufrir alojo.

Paul Klee

Lema. Hasta aqu nos hemos impuesto traba-jar en tres dimensiones. Hemos operado la in-mersin de una superficie abstracta, el plano proyectivo, en el espacio ambiente euclidiano, y as obtuvimos una superficie concreta no regu-lar: la esfera provista de un cross-cap. La no re-gularidad de la superficie concreta, recordmos-lo, se localiza precisamente en la lnea de sutura que pinza la parte superior de nuestra pelota (vase la fotografa, pg. 47). Insistamos en que esta superficie imperfecta es un objeto de dos dimensiones que resulta de la inmersin de otra superficie igualmente de dos dimensiones, pero abstracta (plano proyectivo), en el espacio am-biente de tres dimensiones. Terminamos el cap-tulo anterior con una lectura tridimensional del cross-cap sin ver otra cosa que aquello que se nos dio de manera evidente. Esta lectura, de algn

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modo limitada, nos lo mostr como una super-ficie cerrada y biltera, es decir, que tiene dos ca-ras, una interior, exterior la otra. Ahora bien, el cross-cap que interesa al psicoanalista es sin du-da este mismo que acabamos de construir, pero pensado de manera abstracta. Se trata de ver la esfera provista de un cross-cap con su defecto de la lnea y con sus dos caras, pensndola empero sin ese defecto y con una sola cara. Qu que-remos decir? Que ah donde, en tres dimensio-nes, vemos las dos componentes conexas cruzar-se en el nivel de la lnea de la sutura (figura 20), debemos esforzarnos mentalmente por aceptar, no obstante las apariencias, que esas componen-tes no se cruzan. Es imposible representar en tres dimensiones, con un dibujo, un cross-cap que no muestre la interseccin de las dos componentes. Tenemos entonces dos clases de cross-cap: el que pacientemente hemos construido, con su defecto de la lnea, superficie biltera y tal como se ofre-ce a nuestra vista, y despus otro cross-cap, uni-ltero, engendrado puramente por reglas alge-braicas, sin el defecto de la lnea, y que no vemos. Por qu el defecto de la lnea aparece s610 en el caso del cross-cap visible? Porque este defecto es inherente a los constreimiento s propios de una construccin que hemos debido realizar en tres dimensiones. El defecto de la lnea es un defecto normal mientras queramos permanecer dentro

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de nuestro espacio de tres dimensiones y obtener una representacin visual del plano proyectivo.

As, cuando hacemos inmersin del plano pro-yectivo en un espacio tridimensional, obtenemos una representacin visible, que es nuestra esfera provista de un cross-cap, pero no conseguimos la biyeccin. Si por el contrario abandonamos el es-pacio de tres dimensiones en favor de una elabo-racin estrictamente algebraica, obtenemos un objeto terico sin defecto, pero entonces perde-mos la posibilidad de una representacin visible. En suma, el cross-cap visible no es equivalente al plano proyectivo, mientras que el cross-cap abs-tracto, es decir engendrado tericamente y sin impureza, le es equivalente.

En el esquema de la pg. 63 presentamos la articulacin entre el plano proyectivo y las dos esferas provistas de un cross-cap: una, concreta, inmersa en nuestro espacio ordinario de tres di-mensiones, y abstracta la otra.

Tenemos entonces dos clases de cross-cap, uno concreto con defecto, y abstracto y sin defec-to el otro. Veremos que el cross-cap de que habla Lacan y con el cual el psicoanalista piensa deter-minados problemas ligados a su prctica no es ni uno ni el otro, sino los dos a la vez. El cross-cap que nos interesa es ciertamente el que vemos, pero al que atribuimos las propiedades de otro que no vemos. Por ejemplo, registramos clara-

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mente la lnea de autointerseccin de las dos componentes, que pinza la parte superior de nuestra pelota, y sin embargo debemos hacer co-mo si esta lnea no existiera. Examinaremos des-pus cmo otra caracterstica del cross-cap, la de ser una superficie divisible por un corte, slo se podr aprehender, tambin ella, por medio de es-te esfuerzo de abstraccin.

Espacio de tres

El ojo del psicoanalista que mira el cross-cap concreto como si fuera abstracto.

Reparemos en que este abordaje que trata las cosas concretas como si fueran abstractas, el

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cross-cap concreto como si fuera el cross-cap abs-tracto, se asemeja a la manera en que, segn Freud, funciona el pensamiento de los esquizo-frnicos. Cuando pensamos en abstracto nos ex-ponemos al peligro de descuidar los vnculos de las palabras con las representaciones-cosa in-conscientes, y es innegable que entonces nuestro filosofar cobra una indeseada semejanza, en su expresin y en su contenido, con la modalidad de trabajo de los esquizofrnicos. [ ... ] puede ensa-yarse esta caracterizacin del modo de pensa-miento de los esquizofrnicos: ellos tratan cosas concretas como si fueran abstractas. 1

Siguiendo este abordaje de un cross-cap con-creto al que atribuimos cualidades abstractas, se abren tres problemticas en el campo del psico-anlisis: la relacin adentro / afuera; el corte y lo que este significa en tanto lnea que separa y rene dos partes heterogneas, y por ltimo la especialsima problemtica de una de esas par-tes recortadas que Lacan identifica con el objeto a. Prcticamente el cross-cap materializa, o me-jor todava piensa materialmente, tres conceptos psicoanalticos: la indistincin adentro/afuera, el corte entre el sujeto dividido del inconsciente y el objeto a, y por ltimo las propiedades particu-

1 S. Freud, "Lo inconciente, en Obras completas, Buenos Aires: Amorrortu, vol. 14, 1979, pgs. 200-1.

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lares de este objeto. El elemento comn a estos tres conceptos es el de falo o de significante flico, figurado en el cross-cap justamente por un punto singular de esta lnea llamada de autoin-terseccin.2

1.i\dentro/afUera

Hemos establecido que la esfera provista de un cross-cap en su versin concreta y visible es una superficie cerrada con un interior y un exte-rior. Es exactamente lo que muestra la fotogra-fa. Sealemos que cerrada es el nombre que se da a una superficie que no tiene borde. El toro (cmara de aire) es otro ejemplo de superficie que, no teniendo borde, es cerrada, y cuyo inte-rior no se confunde con el exterior. En efecto, si pintarnos la cara exterior del toro, su cara inte-rior permanecer virgen, a menos que para pin-tarla abramos el toro con unas tijeras. En un es-pacio de tres dimensiones, tanto el toro como nuestra esfera provista de un cross-cap son su-perficies cerradas y bilteras, es decir que po-seen dos caras, una hacia afuera, y hacia adentro

2 Al fmal de este captulo enumeramos los diferentes textos y seminarios de J. Lacan en los que l trata de estas tres pro-blemticas psicoanalticas del cross-cap.

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la otra. Ahora bien, a diferencia del toro, la esfe-ra provista de un cross-cap presenta esa tan par-ticular anomala que hemos llamado lnea de su-tura y que ahora podemos denominar lnea de autointerseccin. Autointerseccin en la medida en que las dos componentes conexas que se cru-zan, puesto que pertenecen a la misma superfi-cie, se pueden considerar como un cuerpo que en-tra en contacto consigo mismo. Ciertos textos de topologa la llaman tambin lnea de aUtocontac-to o de autocruzamiento. Insistamos: esta lnea es verdadera en el cross-cap concreto y es falsa en el cross-cap abstracto.

Veremos que segn la manera de considerar esta lnea atribuiremos al cross-cap la propiedad de ser una superficie biltera o bien de ser una superficie uniltera.3 Expliqumonos. Si consi-

3 En topologa, una superficie tiene dos clases de propie-dades. Por una parte, propiedades intrnsecas que dependen slo de la naturaleza misma de la superficie y que estn fun-dadas en reglas y clculos tericos: es el caso de la propiedad que una superficie tiene de ser orientable o no orientable. Por otra parte, propiedades extrnsecas que dependen del espacio en que la superficie est situada: es el caso de la propiedad de ser uniltera o biltera (tener una cara o dos caras). La misma superficie, uniltera en cierto espacio, puede ser biltera en otro (cfr. H. Seifert y W. Threlfall, A Textbook ofTopology, Nueva York: Academic Press, 1980, y tambin D. W. Blackett, Elementary Topology, Nueva York: Academic Press, 1978). Observemos que el estudio de estas propiedades se vuelve ms delicado cuando la superficie entra en alguna parte en contacto con ella misma, como ocurre en el caso de nuestra esfera provista de un cross-cap que, situada en un espacio de

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deramos la lnea como el lugar en que las dos componentes se encuentran (figura 20), diremos que el cross-cap es cerrado y que tiene dos caras que se mantienen distintas, sin continuidad en-tre una y otra: el interior est separado del exte-rior, y la superficie es biltera. Si por el contrario atribuimos a este mismo cross-cap concreto la propiedad terica de no tener lnea de autointer-seccin, partiendo del supuesto de que las com-ponentes no se cruzan, diremos entonces que el cross-cap tiene una sola cara, que podemos reco-rrer entera sin discontinuidad: el interior no est separado del exterior y la superficie es en conse-cuencia uniltera. En este ltimo caso afirmare-mos que no existe frontera alguna entre el su-puesto interior y el supuesto exterior de la super-ficie. En una palabra: a condicin de reconocerle una propiedad estrictamente terica, el cross-cap no tiene adentro ni afuera. La particularidad del cross-cap de no poseer ni interior ni exterior no es, por lo tanto, directamente aprehensible por el ojo; es preciso hacer un esfuerzo de abs-traccin tal que, aun mirando la lnea que pinza nuestra pelota, podamos empero pensarla como algo que no est ah o, simplemente, como algo inexistente.

tres dimensiones, entra en contacto con ella misma a lo largo de toda la lnea de autointerseccin.

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Vemos que el cross-cap que interesa al psi-coanalista no es el cross-cap concreto que he-mos construido en tres dimensiones, ni el abs-tracto que existe en frmulas algebraicas, sino la conjuncin de los dos.

Para comprender esta propiedad terica de llil cross-cap que no tuviera ni adentro ni afuera, retomemos el ejemplo de la hormiga que recorra la superficie. Ella no encontrara nunca la lnea llamada de autointerseccin. Si la hormiga parte de llil plliltO de la cara exterior y anterior dell-bulo derecho del cross-cap para dirigirse hacia el lugar llamado de la lnea, se sorprender llegan-do a la cara interior y posterior del lbulo izquier-do sin haber traspuesto ningn lmite ni fronte-ra. Es decir que habr pasado de llil supuesto ex-terior a llil supuesto interior sin hallar obstculo algllilo. El obstculo que habria podido hallar si nos situramos en un abordaje concreto tridi-mensional, y estrictamente tridimensional, del cross-cap habria sido, por ejemplo, otra hormiga que cumpliera un itinerario simtrico: que hu-biera partido de la cara exterior y anterior dell-bulo izquierdo, y hubiera llegado a la cara inte-rior y posterior del lbulo derecho. En resumen, para reconocer la propiedad terica que deja al cross-cap sin adentro ni afuera, aplicariamos

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una regla que enunciara: dos honnigas que pasa-ran simtricamente en el mismo tiempo y lugar no se encontraran, y una no podra representar un obstculo para la otra.

Observemos que esta propiedad terica de unilateralidad del cross-cap es asimilable a la unilateralidad de la clebre banda de Moebius. En efecto, si uno recorre esta banda, se manten-dr siempre sobre su nica cara. Dicho esto, la unilateralidad del cross-cap es mucho ms inte-resante que en el caso de la banda de Moebius, porque esta es una superficie abierta, en tanto que el cross-cap es una superficie cerrada; es mu-cho ms curioso e interesante pensar la unila-teralidad en una pelota cerrada que en una cinta abierta. Por qu? Porque si admitimos -desde cierto ngulo terico, recordmoslo-- que las su-puestas dos caras de un cuerpo voluminoso ce-rrado forman una sola cara, inmediatamente es preciso aceptar tambin que el orden llamado in-terior del cuerpo est en perfecta continuidad con el medio ambiente. El cuerpo est cerrado y no obstante el medio que lo rodea est ah aden-tro. O, a la inversa, el medio rodea un cuerpo ce-rrado del cual es, empero, el ncleo ms ntimo.

Desarreglar la frontera adentro/afuera: he ah lo que el cross-cap ensea al psicoanlisis y con lo cual el psicoanlisis piensa el espacio. Hay tres maneras de tratar la frontera adentro/afue-

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ra. La manera intuitiva la reconoce como una di-visoria o una piel que separa el adentro del afue-ra de un cuerpo cerrado. La manera topolgica -cross-cap abstracto- la considera directa-mente como una frontera inexistente porque el adentro est en continuidad con el afuera; en este caso, desde luego, los trminos adentro y afuera ya no tienen razn de ser porque no es-tn ms en oposicin, sino en continuidad. Y, por ltimo, la manera psicoanaltica, que si consi-dera la frontera como inexistente, mantiene em-pero el empleo de estos dos trminos, adentro (interior) y afuera (exterior), pero invirtiendo por completo su sentido ordinario. La utilizacin psi-coanaltica de expresiones como afuera, exte-rior, adentro e interior en relacin con pro-blemas bien determinados condensa, en defini-tiva, tres tiempos de un procedimiento mental: reconocer primero que el adentro no es el afuera, anular despus esta oposicin y restaurar por ltimo estos mismos trminos subvirtiendo radi-calmente su sentido inicial. Concretamente: es mucho ms ceido pensar en trminos de aden-tro y de afuera subvirtiendo su relacin, que afir-mar simplemente su inexistencia. Por ejemplo, la relacin entre el psicoanlisis en intensin y el psicoanlisis en extensin slo recibe su verda-dero alcance si se emplea la pareja interior/ex-terior de manera subvertida. Hay que identifi-

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car el horizonte ms lejano de la extensin del campo analtico con el borde del agujero ms in-terior de la experiencia analtica.4 Pero el proble-ma psicoanaltico principal para el cual es abso-lutamente indispensable distorsionar la parti-cin adentro/afuera es el de la relacin del sujeto con las dos instancias psquicas fundamentales que son el inconsciente y el goce. En lo que a esto respecta, es suficiente aqu recordar lo esencial: el inconsciente y el goce son exteriores al sujeto, que, a travs del acontecimiento de un dicho o de un hacer, los actualiza. Basta con un dicho o un hacer para reconocer que en ese momento -y slo en ese momento, el del acontecimiento--- el inconsciente y el goce se extienden en el espacio supuesto afuera del sujeto portador de ese dicho o de ese hacer. Toda la dificultad reside en esto: llegar a concebir el goce y el inconsciente como instancias exteriores, parsitas y que rodean al sujeto en el momento en que ocurre un aconteci-miento en la cura. En otros trminos, es con el cross-cap como pensamos esta figura inaudita de un psiquismo exterior al sujeto, cuando en prin-cipio constituye su instancia ms ntima.

4 Cfr. J. Lacan: Conforme a la topologa del plano proyec-tivo, es en el horizonte mismo del psicoanlisis en extensin donde se anuda el crculo interior que trazamos como hiancia del psicoanlisis en intensin (J. Lacan, Proposition du 9 octobre 1967 sur le psychanalyste de l'cole, en Annuaire de l'cole Freudienne de Paris, pg. 15).

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2. El corte lacaniano del ocho interior

Aquel [el psicoanalista] que sabe abrir diestra-mente, con un par de tijeras, el objeto a. ese es el amo del deseo.

J. Lacan

La otra propiedad del cross-cap que nos inte-resa se revela en el acto de recortar. Todos los mixtos de nuestra topologera, y en particular la superficie esfrica provista de un cross-cap, ni-camente a condicin de sufrir cierto tipo de corte demuestran su potencia como maternas psico-analticos, es decir, su potencia como medios de transmisin. Nuestras superficies slo se actua-lizan por medio del recorte, y slo existen por los bordes que las tijeras confirman o engendran. 5

Precisemos desde ahora que los cortes de que trataremos en lo que sigue se tienen que imagi-nar como secciones hechas con tijeras sobre el cross-cap llamado concreto, pero a condicin de respetar la regla terica siguiente: cuando las ti-

5 Se llama corte a una seccin hecha con tijeras en la su-perficie, partiendo de un punto de un borde para llegar a un punto de un borde l ... J El corte quedar terminado cuando hayamos llegado -a un punto del borde, sea un punto de los bordes primitivos o un punto de los bordes nuevos determi-nados por el pasaje de las tijeras (cfr. P. Appel, Thorie des fonctions algbriques, Nueva York: Chelsea, 1929, vol. 1, pg. 100).

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jeras encuentren la lnea llamada de autointer-seccin, haremos como si esta lnea no existiera, como si el cross-cap que vamos a recortar no po-seyera espesor ni lnea por la cual estuviera en contacto consigo mismo. Por consiguiente, si fija-mos esta regla, debemos aceptar que recortare-mos con tijeras concretas un cross-cap concreto, pero siguiendo un trazado terico.

Los cortes que nos interesan, practicados so-bre la esfera provista de un cross-cap, son sim-ples curvas cerradas, llamadas curvas de J or-dan. Estas se pueden clasificar en dos tipos: las que separan la superficie en dos trozos y las que la dejan continua. Las que verdaderamente nos importan son las primeras y, en particular, aque-lla de que Lacan se vali para dar razn de la lgica de la repeticin significante y sus efectos, llamada ((corte del ocho interior (figura 1).6

El corte del ocho interior divide nuestro cross-cap en dos: una superficie no orientable -la banda de Moebius- identificada con el sujeto del inconsciente y una superficie orientable -un

6 Esta expresin de ocho interior' o de ocho invertido es mala porque no indica claramente a qu deformacin de la figura del nmero ocho se refiere. En realidad, se trata de una simple plegadura o doblez: el lazo superior del ocho se repliega sobre el interior del lazo inferior. Si hiciera falta rebautizar este ocho lo habramos llamado ocho plegado. Observemos que los dos lazos se superponen pero que no se tocan en un punto que les fuera comn.

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disco- identificada con el objeto a. Agreguemos que la diferencia entre los cortes que separan la superficie en dos trozos y los que no la separan reside en el hecho de que los cortes separadores atraviesan la lnea de autointerseccin un nme-ro par de veces, en tanto que los no separadores la atraviesan un nmero impar de veces. Co-

..... .....

1 : ............ _ ... .."-. _::::::"--~ .... / \ plegadura

Figura 1. Ocho interior y ocho plegado.

mo veremos, el ocho interior atraviesa dos veces esa lnea. Descomponiendo la superficie en dos partes absolutamente heterogneas, el ocho in-terior confinua en acto que esas partes, aunque heterogneas, no por ello dejaban de componer esa nica pieza que es la esfera provista de un cross-cap. Dicho de otro modo, es preciso cortar el cross-cap para comprobar que la porcin orien-

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table y la porcin no orientable que de ello resul-ta, es decir el objeto a y el sujeto del inconsciente, han podido coexistir juntas y en continuidad en una superficie ininterrumpida.

Ahora bien, por qu elegir ese trazado en for-ma de ocho interior para dividir el cross-cap, siendo que con otras secciones cerradas, que tu-vieran otro contorno y atravesaran tambin la lnea de autointerseccin un nmero par de ve-ces, obtendramos una separacin idntica?7 Ello obedece a que el trazado en dos lazos del cor-te llamado del ocho interior materializa como ningn otro los diferentes momentos de la repe-ticin del significante.

La importancia que en la teora lacaniana tie-ne este trazado en dos lazos, de los que uno en-globa al otro, rebasa la problemtica del cross-cap. Independientemente de los contextos teri-cos en que interviene, el ocho interior responde a una articulacin definida: en todos los casos, so-porta la funcin del dicho en su relacin con el su-jeto. Existe un trmino para designar esa rela-cin fundamental, y es el de repeticin. El ocho interior u ocho plegado representa grficamente

7 Advirtase que si recortamos una ventanita en nuestra pelota cross-cap en un lugar bien alejado de la lnea de auto-interseccin, obtendremos los mismos dos trozos que resul-tan del corte del ocho interior. As, un corte que no atraviesa la lnea de autointerseccin divide tambin al cross-cap en dos partes distintas.

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la lgica de la repeticin de los significantes y su efecto de sujeto. As, cuando operamos una inci-sin en el cross-cap siguiendo un corte de este ti-po, hacemos algo ms que materializar la inci-dencia de las palabras (no importa cules) sobre una superficie que las preexiste: inscribimos en lo real el efecto que esas palabras provocan una vez que han sido dichas. Expliqumonos. Tomemos el ocho plegado, pensemos con l la repeticin, apliqumoslo sobre nuestra superficie esferoide, verifiquemos que atraviesa dos veces la lnea de autointerseccin y reconozcamos que los efectos producidos han sido los efectos de la repeticin.

Concretamente, el corte de la repeticin en forma de ocho plegado incluye tres aspectos: el despliegue de la curva en dos lazos, su cierre fi-nal y sus efectos registrables en la transforma-cin del cross-cap. Comencemos por describir los dos lazos. La unidad nnima del movimiento re-petitivo est dada por un vector de orientacin progresiva y por otro de orientacin retroactiva.8

.-...

El vector AB muestra los dos estados de un acon-tecimiento: antes de repetirse, en A, y cuando se repite, en B. Ahora bien, nada nos autoriza a ha-

8 Este esquema del aprescoup retoma el esquema del pri-mer estadio del Grafo, construido por Lacan en el curso de los seminarios Las formaciones del inconsciente y El deseo y su interpretacin (1957, 1958, 1959), para figurar los dos esta-dos del significante. El padre .. del ocho plegado parece ser ese ncleo mnimo del Grafo del deseo.

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blar de repeticin si no introducimos un tercer elemento, trivial, pero decisivo: el simple hecho de contar. Si no contamos un antes y un despus, o, ms bien, una primera, una segunda y una ensima vez, nunca habr repeticin. En otros trminos, el estado del acontecimiento antes de ser repetido pasa al estado repetido a condicin de que exista una cuenta y alguien que cuente,

A

Figura 2. Esquema del apres-coup.

entendindose que esta cuenta slo se verifica una vez cumplida la repeticin en B. Antes de la repeticin, y en consecuencia antes de contar, A no exista; A no ser primero si un segundo, B, no lo repite. Debemos trazar entonces el vector HA de orientacin retroactiva y significar as que B consagra a A como acontecimiento original. Este primer lazo esquematiza simplemente el movi-miento que conocemos con la expresin apres-coup. A slo se vuelve primero apres-coup, des-pus que hemos contado a B como su repeticin.

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El lazo grande que engloba al pequeo repre-senta la operacin de contar como talo, ms exactamente, el elemento que hace posible el clculo, a saber, el trazo de escritura. Este ele-mento -el trazo del escrito-- no es, empero, l mismo reductible a un nmero. Se sita fuera de la serie o, si se quiere, fuera de la sucesin repeti-tiva. En esta calidad de elemento exterior lleva el nombre, que le ha dado Lacan, del Uno en ms.

Hemos dicho que en el horizonte de la cuenta hay siempre uno que cuenta y calcula. Pero cuen-ta y calcula sin poder contarse a s mismo. La impotencia radical del ser hablante y gozante es no poder reconocerse en las repeticiones sucesi-vas. El sujeto cuenta, pero l no se cuenta, o ms bien es contado como un sujeto en menos. El en-lace final de esta curva doble que tiene la forma de un ocho interior significa que la repeticin se ha cumplido y hace nacer un sujeto nuevo que acabamos de calificar como sujeto en menos. El punto e de la figura 3 marca entonces tres aspec-tos: la clausura del movimiento de repeticin, la clausura de la operacin de cuenta y el surgi-miento de un sujeto nuevo.

Si ahora, siguiendo el movimiento y la orien-tacin de esta curva del ocho interior, hacemos incisin en la esfera provista de un cross-cap (fi-gura 4), obtendremos al final del corte dos super-ficies: una equivalente a una banda de Moebius,

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que Lacan identifica con ese sujeto nuevo, y la otra equivalente a un disco, que identifica con el objeto a. En definitiva, recortar el cross-cap con

\JnO en ms

Figura 3. Constituyentes del ocho interior.

Lnea del corte del ocho interior

Figura 4.

Parte equivalente a una banda de Moebius: $

Parte equivalente a un disco: a

tijeras que siguieran el trazado del ocho interior constituira el gesto que materializa espacial-mente el hecho de que la repeticin produce un sujeto y deja caer un residuo.

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Observemos dos cosas, una de ellas referida a los detalles del recorte de la superficie, y la otra, atinente a los efectos que se producen. Traslad-monos a la figura 4 y miremos el trayecto que efectan las tijeras. Las tijeras significantes co-mienzan su recorrido en un punto de la lnea de autointerseccin, para volver a pasar por ella en un punto ligeramente ms bajo, despus de ha-ber hecho incisin en la cara anterior de la pelota siguiendo el trazado de un giro. Una vez que han llegado a este segundo nivel de la lnea, prosi-guen su recorte (representado en nuestro dibujo por un vector en lnea de puntos), pero esta vez sobre la cara posterior. Por ltimo, volvern a encontrarse con la lnea en el punto en que co-menzaron su trayecto. En este momento preciso en que el lazo se cierra, la superficie se separa en dos trozos.

Pasemos ahora a esas dos partes recortadas. Para comprender cabalmente su naturaleza, es indispensable -otra vez- evitar el error de con-fundir el cross-cap concreto con el cross-cap abs-tracto. Debernos ser, entonces, claros. La incisin efectiva hecha con unas tijeras metlicas en una superficie espesa (nuestra pelota, por ejemplo, pero realizada en yeso) no es otra cosa que la ale-gora o la mostracin espaciotemporal de un corte terico trazado sobre una superficie sin es-pesor, ni lnea, ni puntos en que entrara en con-

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tacto consigo misma (esta ltima superficie abs-tracta no tiene, en consecuencia, lnea de autoin-terseccin).

Si respetamos este distingo concreto/abstrac-to en el caso del corte, no nos resultar dificil res-petarlo tambin en cuanto a los productos del corte. En efecto, los dos trozos separados tras la incisin espaciotemporal de una pelota cross-cap de yeso arrastran consigo, cada uno, la porcin de lnea de autointerseccin que originariamen-te los pinzaba cuando formaban parte de la su-perficie global. Entonces, cada uno de los dos tro-zos lleva la huella de la anomala, que es la auto-interseccin. Ahora bien, se trata de considerar estos dos trozos haciendo abstraccin de nuevo de esas porciones de lnea en que cada uno de ellos entrara en contacto consigo mismo. Con esta condicin, es decir, pensarlos sin esa lnea de au-tocontacto, se los podr legtimamente conside-rar equivalentes a una banda no orientable el uno y a un disco orientable el otro. Siempre a tra-vs de esta perspectiva terica, sealemos que la esfera provista de un cross-cap es globalmente una superficie no orientable. Desde el punto de vista topolgico, en la coexistencia continua de lo orientable y lo no orientable en una nica super-ficie, es lo no orientable lo que imprime su sello: es la banda la que prevalece sobre el disco. Si nos limitramos a considerar simplemente y sin a

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priori topolgico la pelota cross-cap, sera al con-trario lo orientable, es decir la esfericidad, la que privara.

En nuestra opinin, Lacan sostiene este con-traste entre el cross-cap abstracto y el cross-cap concreto cuando habla de la asfera9 para desig-nar el carcter abstracto de una superficie que la banda de Moebius ha vuelto no orientable, y de la infla,lO para designar el aspecto esferoide y ce-rrado del cross-cap concreto. Desde luego que la asfera nicamente nos parecer asfera con pos-terioridad, es decir, despus de haber comproba-do nosotros que en la infla estaba contenida la banda de Moebius, despus, por consiguiente, de que se haya producido el corte y se haya despren-dido el trozo equivalente a la banda. Hace falta cortar la infla, desprender el trozo equivalente a la banda y reconocer entonces, y slo entonces, que la infla concreta que veamos en tres dimen-siones representaba una asfera en cuatro dimen-siones. Es necesario cortar para percatarse de la estructura. A fin de que la infla ~oss-cap con-creto- devenga asfera --cross-cap abstracto--hace falta un corte separador que finalmente desprenda una banda de Moebius y muestre que la superficie de la infla era una superficie domi-

9 J. Lacan, L'tourdit, en Scilicet, n 4, Seuil, 1973, pgs. 27-30, 39 Y 41-2.

10 bid., pg. 30.

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nada por el carcter no orientable de esta ban-da.!l

De los dos trozos disjuntos producidos por el corte, ya hemos examinado el caso de la banda de Moebius y su relacin con el sujeto del incons-ciente.12 N os resta considerar ahora el otro trozo -orientable- donde Lacan sita al objeto a.

3. Pensar el objeto a con el disco

Consideremos ahora una propiedad particu-lar de esta parte central de la pelota cross-cap (dibujada en puntillado en la figura 4) que el corte del ocho interior acaba de enuclear. A la vista, este trozo desprendido tiene la forma de una caracola marina y lleva la marca de una pequea porcin de la lnea de autointerseccin. Esta superficie parece seguir un movimiento en espiral ascendente, a la manera, si se quiere, de una pequea construccin para guardar autom-viles, de rampas circulares con dos plataformas (figura 5).

11 En esta misma perspectiva, pero con un sentido ligera-mente diferente, Lacan escribe: pero con su doble lazo [es decir, el doble lazo que es el corte en forma de ocho interior], que haga de la esfera una asfera o cross-cap" (ibid., pg. 39).

12 Vase supra, captulo 1, pgs. 9-24.

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Pero recordemos otra vez que si consideramos este mismo trozo desde el punto de vista terico, no habr residuo de la lnea de autointerseccin y por consiguiente tampoco tendr la forma de una caracola; slo presenta esta forma en tres di-mensiones. Desde este punto de vista terico, en que ya nos hemos situado varias veces, la super-ficie caracola marina equivale, y slo en ese caso equivale, a un disco orientable. Pero lo que llev a Lacan a identificar ese disco con el objeto a no fue slo su ndole orientable, con su valor de con-traste frente a la banda no orientable que mate-rializaba al sujeto del inconsciente. En efecto, el disco posee otras dos caractersticas igualmente importantes.

residuo de la lnea \ de autointerseccin

Figura 5. Superficie de caracola marina que materializa al objeto a.

a. La caracola marina y el punto flico. En pri-mer lugar, as como el disco orientable cae tras el

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corte arrastrando consigo el residuo de la lnea de autointerseccin, el objeto a c