topologeria nasio

7/29/2019 topologeria nasio

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J.- D. Nasio

TOPOLOGERAIntroduccin a la topologade Jacques Lacan

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Thpologera


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De Juan David Nasio en esta bibliotecaEl silencio en psicoanlisis (comp.)Los ojos de Laura. El concepto de objeto a en la teora deJ. Lacan

La primera versin en castellano de esta obra apareci comotercera parte de Los ojos de Laura. El concepto de objeto a enla teora de J. Lacan, de Juan David Nasio, publicada pornuestro sello editorial en 1988 y reimpresa en 1997 y 2006.


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TopologeraIntroduccin a la topologade Jacques LacanJuan David NasioAmorrortu editoresBuenos Aires - Madrid


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Biblioteca de psicologa y psicoanlisisDirectores: Jorge Colapinto y David MaldavskyTopologerie. Introduction a la topologie psychanalytique, extradode Les yeu:c de Laure. Le concept d'objet a dans la thorie de J. Lacan,Juan David Nasio Les yeu:c de Laure, Aubier, Pars, 1987Traduccin: Jos Luis Etcheverry 'Ibdos los derechos de la edicin en castellano reservados porAmorrortu editores S.A., Paraguay 1225, 7" piso - C1057AAS BuenosAiresAmorrortu editores Espaa S.L., C/San Andrs, 28 - 28004 Madridwww.amorrortueditores.comLa reproduccin total o parcial de este libro en forma idntica o modificada por cualquier medio mecnico, electrnico o informtico,incluyendo fotocopia, grabacin, digitalizacin o cualquier sistemade almacenamiento y recuperacin de informacin, no autorizadapor los editores, viola derechos reservados.Queda hecho el depsito que previene la ley nO 11.723Industria argentina. Made in ArgentinaISBN 978-950-518-117-9

Nasio, Juan DavidTopologera. Introduccin a la topologa de JacquesLacan. - 18 ed. - Buenos Aires : Amorrortu, 2007.96 p. ; 23x14 cm.- (Biblioteca de psicologa y psicoanlisis /dirigida por Jorge Colapinto y David Maldavsky)Traduccin de: Jos Luis EtcheverryISBN 978-950-518-117-91. Psicoanlisis Lacaniano. 1. Etcheverry, Jos Luis, trad.

11. TtuloCDD 150.1957

Impreso en los Talleres Grficos Color Efe, Paso 192, Avellaneda,provincia de Buenos Aires, en enero de 2007.Tirada de esta edicin: 2.000 ejemplares.


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ndice general

9 1. Topologa y psicoanlisis25 2. Construccin visualizada del cross

capLema, 25. 1. Tres nociones previas a la construccin del cross-cap: homomorfismo, inyeccin/inmersin y recta proyectiva, 27. 2. Construccin de la esfera provista de un cross-cap, oinmersin del plano proyectivo en el espacio detres dimensiones, 33. Modelo intuitivo del crosscap: una pelota pinzada, 51. 3. Lectura tridimensional del cross-cap, 52.

60 3. Pensar el objeto a con el cross-capLema, 60. 1. Adentro/afuera, 65. 2. El cortelacaniano del ocho interior, 72. 3. Pensar el objeto a con el disco, 83. a. La caracola marina y elpunto flico, 84. b. El objeto a se reduce a unpunto, 87. c. El objeto a es no especular, 89. Re-ferencias bibliogrficas de los textos de JacquesLacan sobre el cross-cap, 93.

94 ndice topolgico

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1. Topologa y psicoanlisis

A Swann y a su alegra de vivir.Me atormento con el problema de averiguar cmoes posible representar de manera plana, bidimen-sional, algo tan corporal como nuestra teora de lahisteria.s. Freud, Carla a Breuer del 29 de junio de 1892.

La interdiccin de lo imaginario ha hecho mucho mal a los psicoanalistas en su trabajo de pensar lo real. No es seguro que uno deba pronunciarse contra la imagen en favor del decir o delnmero. Tratndose de lo real psquico, la cuestin sigue siendo: qu diferencia hay entre pretender decir eso real con conceptos, escribirlo connmeros y mostrarlo con artificios imaginarios?

La introduccin de la topologa por Lacan enla dcada de 1960, en particular las elaboraciones recientes sobre los nudos, constituye en miopinin una tentativa de aprehender lo real conrecursos imaginarios y - lo veremos-, ms queimaginarios, fantasmticos; recursos que llama-

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r artificios topolgicos. Esta manera de abordarla topologa, que tiene ms relacin con el dibujoque con el clculo, con la pizarra que con el papel,con la mostracin que con la demostracin, contrara la creencia segn la cual hacer topologaes, para los analistas, hacer ciencia. Para trazaruna lnea de demarcacin entre la topologa clsica y la nuestra habra que proceder como en elcaso de la lingstica e inventar un nombre, porejemplo topologera (estoy convencido de que lainvencin del trmino ((lingistera ha sido benfica para disipar muchos malentendidos).

Dicho esto, queda por saber si el inters de lospsicoanalistas por la topologa corresponde auna especie de refinamiento excesivo, de preocupacin por problemas ultramenores, fragmentarios y sin consecuencias, lo que sera propio delperodo final, agonizante, de una teora, o bien sial contrario este inters corresponde a la reconstitucin, abierta por Lacan, de una nueva esttica trascendental conforme a la experiencia, nodel sujeto del conocimiento, sino del sujeto del inconsciente.

Pero, qu es esto real que exige disponer deuna topologa para abordarlo, y de qu topologase trata? Respondamos en dos lenguas ligeramente diferentes, una freudiana, lacaniana la otra.

Freud supona dos mundos reales e ignotos,uno exterior, e interior, psquico, el otro. Apoyn-

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dos e en Kant se congratulaba con la conclusinde que, de los dos, slo lo real interior tema posibilidades de ser cognoscible.1

Una doble observacin complicar esta simple divisin de mundos. En primer lugar, si esque uno puede aprehender lo real interno, paraello hace falta un dispositivo exterior, aun cuando dependiente de las condiciones de eso mismoreal interno. Este dispositivo tcnico no es para Freud el concepto, el pensamiento o el conocimiento, sino la experiencia psicoanaltica misma. Ahora bien, estos dos mundos aparentemente separados se interpenetran en la relacin analtica en la forma cruzada de un quiasmo que ligael deseo del paciente con el del psicoanalista. Lafrontera es tan dilatada que absorbe a los dosmundos que ella separa.

y despus, segunda observacin: al final de suvida, Freud lleg a concebir de otra manera la divisin interior-exterior. Sin desarrollarlo verdaderamente, admiti que el aparato psquico tema extensin en el espacio, y que el espacio a suvez era la proyeccin de este aparato.2

1 No obstante, nos dispondremos satisfechos a experimentar que la enmienda de la percepcin interior no ofrece dificultades tan grandes como la de la percepcin exterior, y queel objeto interior es menos incognoscible que el mundo exterior . (S. Freud, Lo inconciente . , en Obras completas, Buenos Aires: Amorrortu, vol. 14, 1979, pg. 167).

2 N uestro supuesto de un aparato psquico extendido en el

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Sin embargo, a pesar de estos ltimos cuestio-narnientos, la obra freudiana y, en general, lospsicoanalistas cuando practican el anlisis siguenescombrados con esa intuicin indesarraigablesegn la cual el psiquismo es un adentro limita-do por una superficie (la piel) vuelta hacia lo realexterior.A la dualidad de los reales freudianos sucedeuna topologa lacaniana que pone en juego rela-ciones ms precisas. En lugar de dos reales setrata de uno solo, UIVOCO, sin divisin, definidoesencialmente por su modalidad de ser imposi-ble de representar, y en el cual el psicoanlisis si-ta la dimensin del sexo de agotamiento impo-sible. Frente a lo real est el sujeto; y entre losdos, el conjunto de los recursos con que el sujetoaborda eso real del sexo: recursos referidos a lossignificantes y recursos referidos al objeto a. Losprimeros recursos son denominados sntomas;los segundos, fantasmas. As, entre el sujeto y elsexo se encuentra una serie de relaciones cau-sales, en general paradjicas, constitutivas de loque el psicoanlisis llama la realidad. De estaespacio. . . (S. Freud, Esquema del psicoanlisis, en op. cit.,vol. 23, 1980, pg. 198).

La espacialidad acaso sea la proyeccin del carcter exten-so del aparato psquico. Ninguna otra derivacin es verosmil.En lugarde las condiciones a priori de Kant, nuestro aparatopsquico. 'Psique es extensa, nada sabe de eso (S. Freud,..Conclusiones, ideas, problemas, en op. cit., pg. 302).12


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realidad psicoanaltica procura dar razn la topologa.

Cuatro relaciones, ms bien cuatro parejasparadjicas de conceptos que definen la realidadson recreadas, puestas en escena por nuestrosartificios topolgicos.

He aqu brevemente cada una de esas parejas,y el ser topolgico que las figura:

1.la demanda y el deseo, figurados por el toro;2. el sujeto dividido y su decir-un decir signi

ficante--, figurados por la banda de Moebius;3. un significante y los otros, figurados por la

botella de Klein, y4. por ltimo, el sujeto en su relacin con el ob

jeto (fantasma), figurado por el cross-cap (esferaprovista de un cross-cap).

Retomemos cada una de esas parejas puntualmente, en la forma de una pregunta:

1. La primera pareja atae a la cuestin de larepeticin. Cmo aceptar que sea preciso repetir dos vueltas para regresar al punto de partiday comprobar que algo se ha perdido, cuando enapariencia no se ha hecho ms que renovar elmismo gesto? Sin embargo, para perder verdaderamente hace falta en efecto dar dos veces lavuelta. Me explico: la primera vuelta correspon-

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de al trazado de una repeticin local llamada de-manda, mientras que la segunda comprende laserie continua de esas repeticiones. De esas dosvueltas resulta el deseo. La demanda, en su ex-presin ms simple (figura 1), es un mensaje di-rigido al Otro, que vuelve al sujeto en su forma

Figura 1. Una demanda local.

invertida, pero sin que el cuerpo resulte afecta-do, es decir, sin que nada se desprenda de la pul-sin. Hace falta que la primera vuelta de una de-manda local se encuentre con la vuelta de unasegunda demanda para que haya en efecto sepa-racin; o tambin, no habr deseo mientras nohayan sido enlazadas demandas (al menos dos)que formen una serie continua. El toro nos per-mite pensar el trazado de dos vueltas continuas(


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2. La segunda pareja atae a la cuestin delsujeto. Cmo ocurre que seamos sujeto en el mo-mento en que no somos ms que un decir y, si-multneamente, que seamos el sustento ausentede las futuras repeticiones? O tambin, cmoocurre que seamos otro, que cambiemos por el so-lo hecho de decir? El ser topolgico introducidodesde hace tiempo en la teora lacaniana y que fi-gura esta antinomia del sujeto es la banda deMoebius. En lugar de definir el sujeto, la banda

lnea del ocho interiorFigura 3.Ocho interioroplano de la serie de demandas en el toro.

de Moebius nos lo muestra. Pero sera falso iden-tificar directamente el sujeto con la banda y de-cir, sealndola: he aqu el sujeto. No; lo que nosinteresa en la banda de Moebius es que su pro-piedad de tener un solo borde cambia si se operaen ella un corte mediano (al menos es el caso pa-ra una cinta que tiene una sola semitorsin). Enese momento, es decir en el momento de cortar si-guiendo la lnea mediana de la banda y des-cribiendo con las tijeras una curva cerrada (que

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vuelve a su punto de partida), la banda propiamente dicha desaparece; el resultado es unacinta que ya no es una banda de Moebius (figuras4y5).

Figura 4. Banda de Moebius.

Figura 5. Cinta no moebiusiana, obtenida tras el corte.

No basta entonces con representar el sujetoen el espacio; es menester tambin el acto de cortar, de trazar una curva cerrada. El acto de decires del mismo orden porque el significante determina, hiende al sujeto en dos: lo representa y, representndolo, lo hace desaparecer. Es cortandola banda como se puede decir: he aqu el sujeto.

3. La tercera pareja atae a la cuestin del nexo, que es tan dificil imaginar, entre un significante y el resto de la cadena significante. Es difcil imaginarlo porque se trata de aprehender c-mo un conjunto de elementos significantes slotiene consistencia a condicin de que en l falteuno y, sobre todo, de que ese uno faltante se en-16


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cuentre en el exterior del conjunto o bien constituya su borde. La cadena significante consiste si,y slo si, un significante le ((ex-siste como su borde. Y no obstante, cuando uno intenta acotar estalgica del par significante --SI (el Uno) y S2 (elconjunto)-, en el momento de la aparicin de unsntoma en el curso de la cura por ejemplo, se impone enseguida el problema de la relacin entreesta formacin del inconsciente (el sntoma) y elinconsciente mismo. La buena respuesta, aunque mal formulada, sera: no hay inconscientesalvo ah donde hay sntoma, ni antes, ni despus. Se habra podido utilizar la expresin ((in-manencia y formular tambin: el inconscientees inmanente al significante-sntoma. Ni una niotra de estas frmulas es adecuada para figurarla lgica de la relacin entre un significante y losotros. Recurramos entonces a la topologa. La referencia aqu no es el corte, sino lo que se llamala circunferencia de retroceso de la botella deKlein. La familia de curvas constitutivas de latrama de esta superficie sigue un movimiento talque, replegndose sobre ella misma, toma en determinado lugar la forma del gollete de una botella. A primera vista, esa circunferencia de retroceso correspondera entonces al gollete, es deciral contorno de un agujero. En verdad, topolgicamente esta circunferencia es parametrizable,por toda la superficie, como si el gollete fuera pa-

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rametrizable as en la base, en el cuello, como encualquier otro punto del cuerpo de la botella. Para nosotros, la circunferencia de retroceso representa la excepcin, 8 1, que puede aparecer encualquier punto de la superficie y que condicionasu sostenimiento.

Figura 6. Botella de Klein.4. Por ltimo, la cuarta pareja atae a la cues

tin de la relacin del sujeto con el objeto (cuestin esta la ms cercana a los dos reales freudia-

banda de Moebius

Figura 7. Recorte de la esfera provista de un cross-cap.nos). Cmo comprender que el sujeto pueda incluir en l un objeto -y al mismo tiempo incluirse en un objeto- que le es, no obstante, radical-18


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mente exterior y heterogneo? En otras pala-bras: Cmo comprender que eso que llamamosfantasma no sea una imagen en el interior de laeconoma psquica del sujeto, sino un aparato,una edificacin que se distribuye, se extiende enla realidad confundindose con ella? Es el hechode mostramos que el adentro y el afuera son unasola y misma cosa lo que confiere su valor alcross-cap. Sigamos a una hormiga que parta deun punto de la cara anterior del lbulo izquierdo,por ejemplo; ella pasa por la lnea de falsa interseccin y repentinamente se encuentra sobre lacara posterior e interior del lbulo derecho, hastaencontrar nuevamente, siempre sobre la cara interior, pero por delante, la lnea de falsa interseccin. Entonces sale hacia atrs del lbulo izquierdo, sobre su cara exterior, recorre esa caraposterior y despus la anterior hasta llegar a supunto de partida. De esta manera habr pasadodel exterior al interior y del interior al exteriorsin haber comprobado lmite alguno, sin haberatravesado ninguna frontera. Para la hormigano habr habido diferencia entre un supuesto interior y un supuesto exterior de nuestra superficie.3 Si ahora consideramos este trayecto de lahonniga como el trazado de un corte en doble la-

:3 En nuestro captulo 3, infra, pg. 68, retomaremos esteejemplo de la hormiga, as como la indistincin entre interiory exterior.

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zo, habr recortado el cross-cap en dos partes:una banda uniltera de Moebius, que representaal sujeto, y un disco biltero, que representa alobjeto a. De esta manera se obtienen los treselementos de la articulacin del fantasma, propuestos por Lacan: el sujeto ($), el corte (O) y elobjetoa.

Cada uno de estos seres geomtricos (salvo eltoro y en cierta medida la banda) que acabamosde mostrar es el resultado de cierto forzamientooperado por la subsuncin de una superficie abstracta en el espacio ambiente euclidiano. La superficie abstracta es en s irrepresentable ennuestras dimensiones intuitivas habituales,4 co-mo no sea forzndola y produciendo una representacin no regular, bastarda, de una superficieque slo existe como variedad de un espacio abstracto. Lo vemos bien: la topologa con la cual lospsicoanalistas piensan y trabajan no es ni la topologa general, ni la algebraica. Aunque afin ala topologa combinatoria, es en ltima instanciauna topologa particularsima, que caracterizarcomo mostrativa y fantasmtica. No trabajamos

4 Como lo escribe J. Petitot en una introduccin esclarecedora sobre la geometra hiperblica: La superficie es abstracta en la medida en que no existe inyeccin regular de ellaen el espacio (prefacio al libro de 1. Hermann, Paralllisme,Pars: Denoel, 1980, pg. XXXIV).

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con ecuaciones, nmeros y letras, sino con tije-ras, tizas y caucho.

Ahora bien, estos seres, estos lugares, sonreales o ficticios? Ni lo uno ni lo otro. Son artifi-cios singulares, efectuaciones espaciotemporalesque, a la manera de un teatro especial, dramati-zan la paradoja: la separacin del deseo pasa aser un agujero, el itinerario repetitivo de las de-mandas sigue el trazado de un ocho (doble lazo),o an, el significante de la excepcin (SI) toma laforma del gollete de una botella. Son como ele-mentos intermediarios entre el dominio topolgi-co estricto, del que proceden, y las parejas de con-ceptos paradjicos de la teora analtica. No cons-tituyen verdaderas superficies porque, en virtudde su inmersin en el espacio ambiente, son re-presentaciones no regulares; tampoco son con-ceptos, segn la acepcin usual, puesto que susentido ni se explica ni se demuestra: slo semuestra. Se muestra dibujando, cortando o pe-gando.Pero sera un error creer que esta superficieque no es tal, y que este concepto efectuado singu-larmente en el espacio, estos mixtos, como los lla-mara Albert Lautman,5 son la metfora, buenao mala, de la paradoja. No ilustran la paradoja,

5 A. Lautman, Structure et existence en mathmatiques,Pars: Hennann, 1938, pg. 107.

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sino que son su mismo ser. No se dir que el concepto del sujeto es ilustrado por la banda de Moebius, sino, insisto, se mostrar la banda y, cortndola por el medio, se dir: este es el sujeto. Elartificio no designa el ser del sujeto: lo es.6 N o selee tampoco la representacin, sino que se lapractica, y es esta prctica la que le da su sentido. El sentido est en el uso de la representacin.Ahora bien, cuando uno dice uso, dice tambinmalogro y fuga. Lo que escapa cuando uno traba-ja con esos mixtos topolgicos es el cuerpo. Enten-dmonos: no el cuerpo como extensin ni comoimagen, sino como lugar parcial de goce: goce dela mirada y del tacto. Practicar la topologa significa tratar con el cuerpo la representacin y, enese mismo acto, inscribir esa prctica en el conjunto de nuestras producciones fantasmticas.Qu es, en efecto, el fantasma, si no una accin,un obrar hasta confundirnos con lo poco decuerpo que perdemos?

A pesar de las objeciones que pudiera plan-tear este abordaje clnico7 de la topologera,tengo dos razones para persistir. La primera:por qu no aplicar a nuestra prctica de la topo-

6 En este sentido, y en una frmula general, diramos queel ser de lo psquico, el estatuto ontolgico del psiquismo, esprecisamente la topologera analtica.

7 Trmino con el cual Pierre Soury haba calificado nuestroproyecto en ocasin de un debate sobre este texto.

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loga el concepto de goce que empleamos en eltrabajo con nuestros pacientes, y decirnos que laparte de goce que esta prctica conlleva (miraday tacto) es slo la transformacin del goce presente en la cura bajo la forma del fantasma? Escomo si uno pudiera hablar de transmisin fantasmtica de una prctica a otra. La topologaque nosotros trabajamos no escapa al apotegmalacaniano: No existe metalenguaje. En otrostrminos, no hay lenguaje (aunque sea el del manejo de los seres topolgicos) que no sea desbaratado por el goce.

La segunda razn que me lleva a persistir enla topologa atae a lo imaginario de los psicoanalistas. En qu puede la prctica con los objetos topolgicos transformar en los psicoanalistasque a ella se entregan las condiciones de su imaginario? Yen qu medida eso imaginario modificado, adaptado a las exigencias de la topologa,llevar al psicoanalista a escuchar de otra manera a sus analizados y a su propia experiencia?Parto de la suposicin de que, en el analista quemaneja con frecuencia estos artificios, la familiaridad que llega a adquirir con ellos puede ha-bituarlo poco a poco, si no a apercibir, al menos aimaginar hasta cierto punto un espacio otro, msprximo a la representacin topolgica de lo realpsquico. Ya no se tratara de pretender eliminarla intuicin en beneficio de un supuesto formalis-

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roo topolgico, sino de transfonnarla. Acaso en-tonces el ejercicio de la topologa pennita abrir elcampo de un nuevo imaginario, ligado a la expe-riencia del inconsciente.

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2. Construccin visualizadadel cross-capl

Lema. Nuestro punto de partida ha sido el estudio de las elaboraciones topolgicas de Lacan.Trabajando en detalle el origen y la construccindel objeto topolgico acaso ms importante de lateora lacaniana, a saber, el cross-cap o, msexactamente, la esfera provista de un cross-cap,2hemos hecho la experiencia de que era posiblehacer formalmente de ello una presentacin clara.3 La exposicin que sigue est destinada a unlector en quien no se supone conocimientos matemticos.4

1 Este captulo fue realizado en colaboracin con F. Tingry,en tanto que B. Hatry tuvo a bien participar en la preparacin del texto.

2 Por el momento no distinguiremos entre el cross-cap yla esfera provista de wi cross-cap. Aunque se trate de dosobjetos muy diferentes, provisionalmente emplearemos porcomodidad uno u otro de manera indistinta.

3 Un primer esbozo esquemtico de esta presentacin seencuentra en F. Tingry,Nom propre et topologie des surfaces,tesis, 1983.4 Para el lector deseoso de dar sus primeros pasos en la ro-pologa, recomendamos un excelente libro de iniciacin: M.Frchet yK Fan, Introduction a la topologie combinatoire,Pars: Librairie Vuibert, 1946.

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Segn veremos, el cross-cap es el objeto queresulta de la transformacin de otro objeto topolgico ms general y ms conocido por los mate-mticos, llamado plano proyectivo. En un primerabordaje, su diferencia reside en el hecho de queel cross-cap es visible, en tanto que el plano proyectivo no lo es. Nuestra exposicin consistir,precisamente, en seguir paso a paso esta trans-formacin de un objeto invisible en un objeto visible. En una fonnulacin ms rigurosa, debemosdecir que la esfera provista de un cross-cap constituye la representacin, en el espacio de tres dimensiones, de una superficie abstracta de dosdimensiones, llamada plano proyectivo. Esta representacin tridimensional es por as decir defectuosa, y resulta de la inmersin del plano proyectivo en el espacio ambiente usual. Para comprender mejor los diversos momentos de estainmersin, en una primera parte expondremosalgunas nociones previas. Despus seguiremospaso a paso las cuatro etapas que, del plano proyectivo, conducen al cross-cap.

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1. Tres nociones previas a la construccindel cross-cap: homomorfismo,inyeccin/inmersin y recta proyectivaPara seguir las cuatro etapas de la inmersindel plano proyectivo, hay que tener presentes tresnociones indispensables para comprender el paso

de una etapa a la siguiente: la nocin de homomorfismo, la de inyeccin/inmersin y la nocinde lo que es una recta en un plano proyectivo.

HOMOMORFISMO. En topologa, dos objetos sonhomomorfos si cumplen dos propiedades notables: a todo punto de uno de los objetos corresponde un punto y slo uno del otro, y recprocamente.y a dos puntos vecinos de uno corresponden dospuntos vecinos del otro, y recprocamente. Estasdos propiedades, llamadas respectivamente biyeccin y bicontinuidad, hacen del homomorfismo una transformacin reversible entre dos objetos. Tomemos un disco de caucho, deformmoslohasta convertirlo en una elipse o un cuadrado; diremos entonces que estas superficies que tan diferentes parecen por su forma, son sin embargoestrictamente homomorfas porque cumplen lasdos propiedades que definen al homomorfismo,la biyeccn y la bicontinuidad. En ese caso se dir que esas superficies (disco y cuadrado) sonequivalentes porque son homomorfas.

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INYECCIN E INMERSIN. La inyeccin, lo mismoque la inmersin, es una transformacin de unobjeto inicial en un objeto final que se obtiene in-troduciendo el primero en un medio especfico.Puede ocurrir que el objeto final sea equivalenteal objeto inicial, y que entre ellos se cumpla el ho-momorfismo como lo hemos definido. Pero puedeocurrir tambin que las condiciones del espacioen que se desarrolla la transformacin produz-can un objeto final que no sea completamenteequivalente al objeto inicial. El primer caso, enque los dos objetos son por entero equivalentes,se llama inyeccin. En el segundo caso, llamadoinmersin 5 la equivalencia slo se verifica par-cialmente. Si retomamos lo dicho acerca de lasdos propiedades del homomorfismo, la biyecciny la bicontinuidad, comprobamos que en el casode la inmersin la primera propiedad no se cum-ple, que no hay biyeccin entre el objeto inicial yel objeto final.

5 El trmino inmersin no es exclusivo de los toplogos.Tambin hablan de inmersin los poetas. He aqu lo que diceR. Char: ..Lo que advendr conoce -eomo conoce lo pasadouna suerte de inmersin. Comentando este poema, M. Blan-chot escribe: ..Esta inmensidad de la inmersin que es el es-pacio mismo del canto en que vive el todo. Otro poema deChar, Partage formel, lo esclarece as: En poesa, es sola-mente a partir de la comunicacin y de la libre disposicin dela totalidad de las cosas entre ellas a travs de nosotros comoalcanzamos a ser comprometidos y definidos, en condicionesde obtener nuestra forma original. .. (R. Char, Quures com-pletes, Pars: Gallimard, 1983, pg. 1144).

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Las dos transformaciones, aquella en que labiyeccin se cumple y que se llama inyeccin, y laotra, la inmersin, en que la biyeccin no se cumple, son ambas aplicables al caso del plano proyectivo.6 El plano proyectivo se dir inyectado oinmerso segn el medio en que se haya producido esa transformacin y segn el resultado finalde esta. Si la transformacin se ha desarrolladoen un medio-espacio de ms de tres dimensiones,el objeto final ser por entero equivalente al plano proyectivo. Hablaremos entonces de inyeccindel plano proyectivo. Si en cambio se desarrollaen un espacio euclidiano de tres dimensiones, elobjeto final no ser equivalente al plano proyectivo. Hablaremos en este caso de inmersin delplano proyectivo. Como veremos despus, la esfera provista de un cross-cap es el resultado finalde la inmersin del plano proyectivo en.un espacio euclidiano de tres dimensiones.

RECTA PROYECTIVA. Definidas estas nociones dehomomorfismo, de inyeccin y de inmersin,veamos ahora qu es una recta en un plano proyectivo. Comencemos por considerar el plano or-

6 Para profundizar esta diferencia entre inyeccin e inmersin se puede consultar M. Spivak, A Comprehensive Intro-ductwn to Differential Geometry, Publish or Perish (segundaedicin), 1979, vol. 1, pgs. 13-8. Y tambin Encyclopedic Die-tionary of Mathematics (de fuente japonesa), MIT Press,1977, vol. 1, pgs. 679 y 681.

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dinario (figura 1): sabemos que dos rectas perte-necientes a este plano son paralelas cuando notienen punto comn, cuando no se cortan.

Figura 1. Rectas paralelas en el plano ordinario.

A diferencia del plano ordinario, el plano pro-yectivo es aquel en que las rectas paralelas secortan en un punto del infinito. Veremos que eldibujo global de este plano es imposible. Intuiti-vamente, una idea aproximada nos la proporcio-nan las trayectorias paralelas de varios barcosque se alejan de la costa y parece que se fueran aencontrar en un punto del horizonte (figura 2).

horizonte

Figura 2. Rectas paralelas en el plano proyectivo.

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Una de las caractersticas topolgicas de unarecta perteneciente al plano proyectivo es tenerun punto del infinito. Destaco el hecho de que larecta proyectiva posee un punto del infinito, entanto que la recta del plano ordinario es infinitasin punto del infinito.

He aqu ahora la otra caracterstica de la rec-ta proyectiva: toda recta proyectiva es una rectacerrada. Esto significa que para pensar una rec-ta del plano proyectivo debemos concebirla ce-rrndose en su punto del infinito, es decir, comouna circunferencia.

Para demostrar esta propiedad fundamentalque la recta proyectiva tiene de ser homomorfa auna circunferencia, habr que hacer correspon-der un punto de la recta proyectiva a un punto dela circunferencia. He aqu la presentacin, muyintuitiva, que hemos elegido: tracemos una cir-cunferencia C y despus una recta Ll, que se supo-ne perteneciente al plano proyectivo. Tomemossobre la circunferencia el punto ms cercano a larecta Ll y llammoslo B.

Proyectando sobre el punto B todos los puntosde la recta Ll, por ejemplo, los puntos Ll(l)' Ll(2)'Ll(3)' Ll(4)' etc., obtenemos un haz de lneas 4, ~ , ~ ,

~ , etc., que pasan por B y cortan la circunferen-cia C en los puntos C(1)' C(2)' C(3)' C(4)' etc. Vemosque los puntos de Ll tienen su correspondiente enlos puntos de la circunferencia. Sin embargo, hay

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Figura 3. La recta proyectiva (tJJ es homomorfa a una circun-ferencia (e).

un problema. Cuando queremos trazar una lneat para hallar la correspondencia del punto B dela circunferencia con un punto de !l, comproba-mos que esta recta tes paralela a !l, y por lo tantono la corta. La recta t no puede cortar a !l, salvosi agregamos a !l un punto del infinito. Marque-mos entonces a la derecha del dibujo el punto delinfinito oo!l (figura 3). Podremos afirmar as quetes la recta de proyeccin de 0 0 !l sobre el punto Bde la circunferencia C. Ahora podemos enunciarque existe biyeccin porque todos los puntos de larecta proyectiva !l, incluido oo!l, tienen un corres-pondiente sobre la circunferencia C; y que existebicontinuidad, porque a dos puntos vecinos en !lcorresponden dos puntos vecinos en C, y recpro-camente. Que exista biyeccin y bicontinuidadentre !l y C nos permite decir que, efectivamen-te, !l es homomorfa a C; por lo tanto, que la rectaproyectiva es homomorfa a una circunferencia.

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Si la recta proyectiva es homomorfa a unacircunferencia, podemos afinnar que toda rectaproyectiva es una recta cerrada que tiene unpunto del infinito

. . . ............. iWiiO i i ~ , i ~ i i O ; ii ............ . .... '.

recta proyectiva ~

Figura 4. Una recta proyectiua es una recta cerrada; por lotanto, una circunferencia.

2. Construccin de la esfera provista de uncross-cap, o inmersin del plano proyectivoen el espacio de tres dimensiones

Ahora, si la recta proyectiva es homomorfa ala circunferencia, cmo dibujar un plano llamado proyectivo que contuviera a todas esas rectas,es decir, a todas esas circunferencias? El problema se complica porque esas circunferencias no seincluyen en un solo grupo, sino que se distribuyen en diferentes grupos. Cada uno de estos grupos se compone de una infinitud de circunferencias que pasan por un solo punto del infinitoque les es comn. As, el dibujo de un plano proyectivo se complica en extremo porque hara falta representar un nmero infinito de grupos de

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circunferencias, referidos cada uno a un puntodel infinito. Tendramos que dibujar un planoque tuviera por lmite una lnea compuesta detodos los puntos del infinito que sirven de puntode referencia a cada uno de esos grupos. La prin-cipal dificultad para concretar el dibujo es pre-cisamente la representacin del lmite del planoproyectivo, es decir, de esa lnea compuesta porlos puntos del infinito. Para mostrar la imposibi-lidad de semejante dibujo, ofrecemos un esque-ma muy simplificado (figura 5). Con respecto aesta imposibilidad, reparemos, con Pierre Soury,en la curiosidad histrica de que la dificultad dedibujar el plano proyectivo slo se reconoci ex-plcitamente un siglo despus que el plano pro-yectivo se imagin.7

Un p1lDto del inJinito por donde p88IlD~ una inJinidad de cizcunferencias

Lnea--- compuesta por losp1lDtos del inJinitoFigura 5. Esquema que muestra la imposibilidad de dibujarel plano proyectivo.

7 Pierre Soury, Chanes et noeuds, Pars, 1986, texto 142.

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Si verdaderamente nos empeamos en obtener una representacin visible de ese plano proyectivo, es decir, una representacin en el espacio de tres dimensiones, debemos desembarazarnos poco a poco de esas rectas proyectivas-circunferencias, que tan difcil resulta imaginarjuntas. Transformaremos para ello, con auxiliode la nocin de homomorfismo, esas circunferencias y el plano que las contiene en elementosms manejables. A travs de una serie de trans-formaciones sustituiremos el plano proyectivopor un objeto llamado cross-cap o, ms exactamente, esfera provista de un cross-cap. Una yotro son superficies, pero mientras que el planoproyectivo es una superficie abstracta, la esferaprovista de un cross-cap es una superficie concreta. Esta ltima consiste en una representa-cin irregular, bastarda, que aparece cuando unohace inmersin del plano proyectivo en el espaciohabitual.

Para llegar a esta esfera provista de un crosscap tenemos que pasar por cuatro etapas. En primer lugar transformaremos por homomorfismoel plano proyectivo en un objeto ms manejable:el haz de rectas. Una vez construido el haz derectas, intentaremos reemplazarlo por un objetoequivalente, ms manejable an, llamado hemisferio. Tropezaremos entonces con una dificul-

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tad para realizar esta sustitucin, y ella nos inducir en un primer tiempo a transformar el hazde rectas no en un hemisferio regular, sino en unhemisferio mal pegado. Pero como este hemisferio extravagante tampoco habr de satisfacernos, nos veremos obligados en un segundo tiem-En resumen:lra. etapa

2da. etapa

3ra. etapa

4ta. etapa

Conclusin:

El plano proyectivo es homomorfo al haz de rectas (a un punto delplano proyectivo corresponde unarecta del haz).Una dificultad: no existe biyeccin entre el haz de rectas y el hemisferio.Una mala solucin: hemisferiomal pegado.

: Una solucin mejor que la precedente, pero todava defectuosa: laesfera provista de un cross-cap.Obtenemos una mejor representacin, pero la dificultad no queda resuelta: no hay todava biyeccin entre el haz de rectas y estanueva representacin.

inmersinplano proyectivo _____ esfera provistade un cross-cap.

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po a transformar por fin el haz de rectas en unaesfera provista de un cross-cap.

Primera etapa. Demostremos que el planoproyectivo es homomorfo al haz de rectas. Antetodo recordemos que un haz de rectas (figura 6)es el conjunto de las rectas del espacio que pasanpor un punto dado, O; estas rectas son tanto hori-zontales (por ejemplo, d', N, M. . . ) como verti-cales (por ejemplo, dI' d2, d3, d4... .

Figura 6. Un haz de rectas.Ahora pongamos el haz en correspondencia

con nuestro plano proyectivo, que el dibujo de lafigura 7 se limita a evocar: solamente lo evoca,puesto que ya dijimos que es imposible figurarexactamente ese plano.

Para establecer el homomorfismo entre el plano proyectivo y el haz de rectas debemos hacer

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corresponder puntos con rectas: los puntos delplano proyectivo con las rectas del haz. Pero,qu puntos del plano proyectivo? Todos los pun-tos, desde luego: quiero decir los puntos ordina-rios, pero tambin los puntos del infinito. Ahorabien, estos puntos del infinito son los que verda-deramente nos interesan y los que nos opondrndificultades cuando intentemos realizar el homo-morfismo.

~ e ; d e IinfinitocomnalJ.ylJ.

Figura 7. Homomorfismo entre el plano proyectivo y el haz derectas.Comencemos entonces por colocar simple-

mente el plano proyectivo sobre el haz de rectasde manera que estas lo atraviesen. Los puntos 1,2, 3, 4, 5, etc., por los cuales el plano es atravesa-do, corresponden a las rectas dI' d2 d3, d4, d5,etc., que lo atraviesan. A cada punto correspondeuna recta, y recprocamente.

Pero nos encontramos con un problema: aqu recta del haz corresponde el punto del infini-to (00 ~ ~ ' ) comn a las rectas y ~ ' del plano pro-yectivo? A primera vista no disponemos de rama38


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alguna del haz que correspondiera a ese punto.La solucin consiste en elegir una recta horizon-tal d' del haz y del plano Q, que pase por O y quesea paralela a las dos rectas 11 y 11' del plano pro-yectivo. Podemos imaginar que esta recta escogi-da sea la que pasa por el punto del infinito (00 1111') del plano proyectivo, comn a las dos rectas 11y 11'. As hemos establecido la biyeccin: a cadapunto del plano proyectivo, incluidos sus puntosdel infinito, corresponde una sola recta del haz, yrecprocamente. Hemos obtenido tambin la bi-continuidad: a dos puntos vecinos en el planoproyectivo corresponden dos rectas vecinas en elhaz, y recprocamente. Cumplidas estas dos con-diciones, podemos afinnar que el plano proyecti-vo es homomorfo al haz. Por consiguiente, en losucesivo podemos dejar de hablar del plano pro-yectivo y referimos, en cambio, a su equivalente,ms manejable, que es el haz de rectas.

Segunda etapa. Dificultad para estableceruna biyeccin entre el haz de rectas y un hemis-ferio.Ahora queremos desembarazarnos del haz derectas y trabajar con un objeto ms manejablean, el hemisferio. Veamos pues si son equiva-lentes, es decir, si se cumple la operacin de bi-yeccin entre las rectas del haz y los puntos delhellsferio.

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Comencemos trazando el haz de las rectas horizontales y verticales que pasa por el centro O(figura 8), y recubrmoslo con una calota (hemisferio) de centro O. El borde de esta calota se apoya sobre el plano ordinario Q

.....--_..... .----- hemisferio(calota)

Plano Q

emisferioFigura 8. Haz y hemisferio. La recta horizontal d' corta elborde del hemisferio en dos puntos opuestos A y A'.

Existe biyeccin entre el haz de rectas y elhemisferio? Si examinamos el dibujo (figura 8)es evidente que las rectas verticales del haz (dI'd2... atraviesan la calota en un solo punto cadauna de ellas, y que en este caso la biyeccin secumple: a una recta vertical del haz correspondeun punto de la calota. Pero la biyeccin no secumple en el caso de las rectas horizontales, co-mo d' y d", porque estas rectas cortan dos veces,cada una de ellas, el hemisferio en su borde. Para cada recta horizontal tenemos ms de un punto de interseccin: precisamente tenemos dos.Por ejemplo, la recta d' corta el borde del hemis-40


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ferio en dos puntos, Ay N. Estos puntos diametralmente opuestos se llaman puntos antip-dicos.

Estamos entonces frente a un problema: noexiste homomorfismo entre el haz de rectas y elhemisferio; para ello, en efecto, habria sido preciso que a cada recta del haz correspondiera unpunto y slo uno del hemisferio, lo que no se cumple en el caso de las rectas horizontales como d'.A estas les corresponden, en el borde, dos puntos, y no uno solo.

Para conseguir la biyeccin que buscamos,que ponga en correspondenciauna recta horizontal del haz, por ejemplo d', con un punto y slo unodel borde del hemisferio, es preciso eliminar el hecho de que existan dos puntos. En verdad, si quisiramos, podramos establecer esta biyeccin sindificultad alguna y de manera inmediata, recurriendo a determinado clculo matemtico. Poresta va terica obtendriamos enseguida el homomorfismo deseado entre el haz de rectas y unhemisferio, condensando los dos puntos opuestosdel borde, en uno solo. Un matemtico habriaprocedido de ese modo y se habria conformadocon ello. Pero nosotros preferimos otro camino.

Queremos permanecer en el espacio de tresdimensiones y saber si manipulando el hemisferio como lo hariamos con un objeto real alcanza-

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remos la biyeccin buscada: una recta del haz para un punto del borde del hemisferio. Nos empeamos en perseverar en el registro de los dibujosy de las cosas manipulables hasta tropezar conuna imposibilidad infranqueable. Haremos enconsecuencia un primer ensayo de manipulacindel hemisferio. Resultar un fracaso, y esto nosobligar a adoptar otro procedimiento: conseguiremos por fin nuestro cross-cap.

Tercera etapa. Una mala solucin: el hemisferio mal pegado.

Imaginemos que pegamos uno con otro los dospuntos opuestos Ay A', del borde del hemisferio,para convertirlos en uno solo. Entonces, a la recta d' corresponder un solo punto. Para que todas las rectas horizontales del haz tengan comocorrespondiente un solo punto cada una de ellas,tendramos que pegar, adems, todas las otrasparejas de puntos diametrahnente opuestos delborde del hemisferio.Ahora bien, qu ocurre? En el afn de conseguir la biyeccin, y queriendo pegar de maneracruzada los puntos opuestos del borde del hemisferio, pronto advertimos la imposibilidad de realizar semejante sutura. Esto se debe a que hemos intentado pegar torpemente el borde manteniendo el hemisferio apoyado sobre un plano.Mientras persistamos en pegar el hemisferio sin

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abandonar el plano, la sutura resultar imposible, no la podremos efectuar correctamente.

El dibujo de la figura 9 es la mejor aproximacin que pudimos encontrar para evocar hastaqu punto es imposible poner en prctica y aunrepresentar este modo de sutura.

Figura 9. Hemisferio mal pegado.No hemos entonces encontrado la biyeccin

que procurbamos, y en consecuencia no obtuvimos un objeto ms manejable, que fuera equivalente al haz de rectas. Nuestro interrogante era:es o no es el haz de rectas homomorfo al hemisferio? Ahora, tras nuestra tentativa de pegadura,podemos responder: el haz de rectas no es homomorfo al hemisferio con borde (calota) de la figura 8, ni al hemisferio mal pegado de la figura 9.

Acaso la sutura no se puede realizar porqueoperamos una pegadura demasiado rudimentaria y sin mtodo. Hay otra manera de pegar dosa dos los puntos opuestos del borde del hemisferio? S, a condicin de hacer esa pegadura sinapoyar el hemisferio sobre un plano, como lo es-

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taban la calota (figura 8) y el hemisferio mal pegado (figura 9). Librado del plano, el borde delhemisferio se volver flexible y manejable.

Cuarta etapa. Una solucin mejor que la precedente, pero defectuosa todava: hemisferio mejor pegado y obtencin de una esfera provista deun cross-cap; mas no por ello habremos obtenidola biyeccin entre el haz de rectas y esta esferacoronada por un cross-cap.

Volvamos a nuestra segunda etapa, al momento de la calota apoyada sobre el plano. Queramos conseguir la biyeccin entre una recta horizontal cualquiera del haz y un punto y slo unodel borde del hemisferio. Habamos intentadopegar el borde de manera de reducir a un puntosolo cada pareja de puntos opuestos. Ahora peguemos ese borde sin que el hemisferio est obligado a permanecer apoyado sobre un plano y siguiendo un procedimiento metdico. Veremosque esta vez reduciremos a un punto cada par depuntos opuestos, y que la sutura se realiza porfin. Esta nueva pegadura nos conducir al caboal objeto llamado esfera provista de un cross-cap.y sin embargo, no quedaremos satisfechos. Unanueva e inesperada dificultad no nos permitirestablecer la biyeccin deseada. Habremos hecho bien la pegadura, pero, como lo hemos de ex-

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plicar despus, la sutura resultante no responder a nuestra expectativa: habremos pegado demasiado. Antes la pegadura pecaba por defectoporque era imposible (hemisferio mal pegado)reunir dos puntos en uno solo; ahora, segn veremos, pecar por exceso porque reunir cuatropuntos en uno solo. Volveremos sobre esta nuevadificultad. Pero procedamos antes a la pegaduraque nos lleva al cross-cap.

En primer lugar volvamos a nuestro hellsferio con forma de calota, pero no lo apoyemos estavez en un plano (figura 10). Hundmoslo hastaque se convierta en una especie de cuenco (figura 11).

Ahora tomemos sobre el borde del cuenco dosparejas de puntos antipdicos: por ejemplo (A,N) y (B, B'). Tirando ligeramente hacia arriba lospuntos A, A' y hacia abajo los puntos B, B' (figura12), deformamos el cuenco hasta obtener el objeto de la figura 13.

bundlrpon. trBDolarmaren.....,..,1, ,,,

I- ~ - - - - - ~ ~". , ...... .,. ,1 ............... ..., , ,

A ' __________ 1__________ A',,,,Figura 10. Hemisferio no apoyado en un plano.

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Figura 11. Cuenco.Para construir la esfera provista de un cross

cap, no nos queda ms que pegar de manera cruzada los cuatro segmentos siguientes del borde- ....-- ,-....del hemisferio: AB con el segmento A'B' y AB' con-l segmento A'B (figura 14). Insistamos en sea-

Figura 12. Cuenco.

Figura 13.

lar que se trata de una pegadura cruzada. Cerramos entonces el hemisferio haciendo coincidiras todos los puntos constituyentes de uno de los46


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Modelo intuitivo del cross-cap: una pelota de tripa pinzadaen su parte superior.

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segmentos del borde con todos los puntos constituyentes del segmento opuesto del borde, y lomismo en el caso de los puntos de los otros dossegmentos. Por ejemplo, el punto 1 quedar pegado de manera cruzada con el punto 4, y el punto 2 quedar pegado con el punto 3 (figura 14).

La representacin topolgica as obtenida esuna esfera pinzada cuya parte superior muestraclaramente la sutura en tanto es una lnea vertical trazada entre los puntos A yA', que ahora sehan convertido en un solo punto (extremidad superior de la lnea), y los puntos B y B', que se hanconvertido ellos tambin en un solo punto (extremidad inferior de la lnea) (figura 15).

Observacin: es esta superficie global la queLacan llama en general cross-cap. En realidadel nombre cross-cap designa solamente la partesuperior pinzada que corona a la parte inferioresfrica, en tanto que el conjunto de la superficiese llama esfera provista de un cross-cap (figura16). Precisemos que el cross-cap propiamente dicho es una superficie abierta porque tiene unborde, mientras que la esfera provista de uncross-cap es una superficie cerrada porque notiene borde.

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Figura 4 ~ a d u r a cruzada del s e g m e n t o ~ o n E " y delsegmento AB' con lf:'LInea deI - ~ ~ ~ - - - - - ~ . u ~ a

Figura 15. Esfera provista de un cross-cap.

EsCeraproviatede uncroea-


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Modelo intuitivo del cross-cap: una pelotapinzada (fotografia)

Hemos hecho la experiencia de que una vezaprendida y adquirida esta demostracin formal, se haca necesario volver visible y, por quno, palpable el cross-cap.No podamos conformarnos con demostrar elcross-cap, necesitbamos efectuarlo tambin enuna dimensin espaciotemporal. En un primermomento habamos pensado en darle forma manipulando pasta de modelar. Pero tras algunastentativas intentamos con diferentes materiales(hilos metlicos, por ejemplo), hasta que por fintuvimos la idea de utilizar una pelota inflada,tan liviana como el aire, pinzndola en su partesuperior. Enseguida nos sorprendi ver lo bienque esta simple pelota pinzada evocaba el resultado al que habamos llegado con una demostracin rigurosa.

CONCLUSIN. La esfera provista de un crosscap resulta de la inmersin del plano proyectivoen un espacio tridimensional.

Hemos llegado, por fin, a la esfera provista deun cross-cap. Pero, cumple la pegadura as efectuada la biyeccin que buscbamos, entre lasrectas horizontales del haz y los puntos del borde

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del hemisferio, es decir, los puntos de la lnea desutura? No; la sutura as constituida no pennitela biyeccin. Explicaremos por qu. Pero desdeahora podemos concluir que no habindose cumplido la biyeccin, la esfera provista de un crosscap, que acabamos de construir, no es un objetoequivalente al plano proyectivo. Si retomamos eldistingo entre inmersin e inyeccin, diremosentonces que el plano proyectivo est inmerso, yno inyectado en tres dimensiones. Lo que entonces vemos en un espacio de tres dimensiones, esdecir la esfera provista de un cross-cap, es unarepresentacin visible, pero defectuosa, del plano proyectivo; no es, por lo tanto, su equivalente.El defecto se sita, muy precisamente, en la lnea de la sutura.

3. Lectura tridimensional del cross-capa. La lnea de sutura tal como la vemosen un espacio de tres dimensiones:una lnea vertical ordinaria

Por qu la sutura as obtenida no pennite labiyeccin? Para comprender por qu la biyeccinno se cumple es preciso ante todo distinguir dosclases de rectas horizontales en el haz; una clase

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compuesta solamente por dos rectas horizontales, d' y su perpendicular d" (figura 17), y otraclase compuesta por todas las dems rectas horizontales oblicuas, como N y M. Para las dos rectas perpendiculares de la primera clase, la biyeccin se confirma plenamente; en efecto, a cadauna de ellas corresponde un solo punto, y reC-procamente. Ejemplo: a d' corresponder el punto nico (A, A'), Ya su perpendicular d" corresponder el punto nico (B, B'). O sea que las dos rectas horizontales perpendiculares del haz tienensu correspondiente respectivo en los dos extremos, superior e inferior, de la lnea de sutura.

N o ocurre lo mismo en el caso de las rectas horizontales oblicuas del haz. La biyeccin no secumple para ellas porque no tenemos una correspondencia de una recta a un punto --como logradamente sucede con las rectas horizontales perpendiculares-, sino de dos rectas a un punto. Enuna palabra: la biyeccin entre el haz y la esferaprovista de un cross-cap no se cumple para lasrectas horizontales oblicuas.

Consideremos bien la figura 14. Ella muestrael instante previo a la pegadura del borde. Los puntos A y A' arriba, y B Y B' abajo, se harn respectivamente, en el momento de la pegadura efectiva,un solo punto. Un solo punto arriba, para el queestableceremos la notacin AA', y un solo puntoabajo, cuya notacin ser BB' (figura 15).

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En el nivel de A y A' hay slo dos puntos porpegar, y lo mismo en el caso de B y B'. Ahorabien, en cualquier otro nivel del borde, interme-dio entre esos extremos, advertimos que no haydos puntos por pegar, sino cuatro: un punto porcada uno de los cuatro segmentos del borde ple-gado. Es evidente que la diferencia entre los ex-tremos del borde, en que slo hay dos puntos porpegar, y los niveles intermedios, en que hay cua-tro, se debe al hecho de haber plegado nosotros elborde en cuatro.

Consideremos por ejemplo los cuatro puntosque numeramos 1,2,3,4 (figura 14). Cmo pe-garemos estos cuatro puntos? Recordemos quese trataba de pegar dos a dos todos los puntosopuestos diametralmente del borde del hemisfe-rio; buscbamos con ello que cada pareja de pun-tos se asociara a una recta horizontal del haz.As, los puntos 1 y 4 corresponden a la recta hori-zontal oblicua M del haz, y los puntos 2 y 3, a larecta horizontal oblicua N del haz (figura 18). Elpunto 1 quedar pegado a su opuesto, el punto 4;yel punto 2, a su opuesto, el 3. Qu resulta deesto? Queramos pegar estos puntos dos a dos,pero dada su situacin, a saber, en el mismo ni-vel sobre el borde, en el momento de la pegadurase confunden los cuatro en un solo punto de lalnea de sutura (figura 18).

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Ahora que est pegado el borde plegado encuatro, tenemos de la sutura una visin mejorque en el caso del hemisferio mal pegado; ella se

~ ....PiaDoQ

Dos rectashorizontalesperpendicularesdel haz

corresponden a dos puntosde la lineade sutura

Figura 17. Aqu la biyeccin se cumple: a cada recta unpunto.

N formanx ................ :.: .:::: ... ,/un unto~ 1 . 2 . 3 . 4 1o .................. ..... .................. ..M ............... .PI"""QDos rectashorizontalesoblic/J4Bdel haz

corresponden a un puntode la lineade sutura

Figura 18. Aqu la biyeccin no se cumple: dos rectas por unpunto.

muestra en un espacio de tres dimensiones comouna simple lnea vertical ordinaria. Pero, qu seha hecho de la biyeccin que procurbamos entrelas rectas del haz y los puntos del borde del hemisferio, es decir los puntos de la lnea de sutu-

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ra? Y bien, tampoco ahora la hemos obtenido.Antes de la pegadura, nuestro problema era quetenamos una recta horizontal del haz para dospuntos del borde del hemisferio. Ahora que hemos pegado los cuatro segmentos del borde plegado del hemisferio, advertimos que nuestro ob-jetivo de tener un punto para cada recta, y conseguir as la biyeccin, se ha alcanzado en el casode las rectas horizontales perpendiculares d' yd", relacionadas con los puntos de los extremosde la lnea de sutura, (AA') y (BB'); en cambio, nose alcanz para todas las dems rectas horizontales oblicuas N y M, relacionadas con los puntosintennedios de la lnea, como son 1, 2, 3, 4. Comprobamos entonces que en lugar de tener unarecta por un punto, tenemos dos rectas por unpunto. Por qu? Porque esos cuatro puntos 1, 2,3, 4, en el momento de la pegadura se conviertenen un solo punto. Y como esos cuatro puntos estn en correspondencia con dos rectas horizontales oblicuas del haz, es decir, 1 y 4 con la recta M,y 2 Y3 con la recta N, concluimos que esas dosrectas tendrn por referente un nico punto. Enconsecuencia la biyeccin no se cumple. Pararealizar efectivamente esta habramos debidoobtener una relacin simple de un elemento a unelemento, de una recta a un punto. Es en efectoel caso de las dos rectas horizontales perpendiculares d' y d", puesto que a cada una le corres pon-

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de un punto y slo uno, situados en sendos extre-mos de la lnea de sutura: a una recta, un punto.En cambio, las rectas horizontales oblicuas delhaz, como M y N, tienen dos a dos el mismo pun-to por correspondiente: a dos rectas, un punto.Si retomamos el comienzo de nuestra demos-tracin donde habamos concluido en la equiva-lencia entre una recta cualquiera del haz y unpunto del infinito del plano proyectivo, ahora po-demos afinnar lo siguiente:

a. Como el punto del extremo superior y elpunto del extremo inferior de la lnea de suturaequivalen, cada uno, a una recta del haz, cadauno equivale tambin a un punto del infinito delplano proyectivo. Concretamente, los dos puntos,superior e inferior, de la Unea de sutura represen-tan dos puntos del infinito. La biyeccin aqu secumple.

b. Como cualquier punto intennedio de la l-nea de sutura equivale a dos rectas del haz, equi-vale tambin a dos puntos del infinito del planoproyectivo. Concretamente, todo punto interme-dio de esta Unea representa dos puntos del infini-to. La biyeccin no se cumple.

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b. Interpretacin de la lnea de suturaen un espacio de tres dimensionesQu evoca la lnea de sutura? Vemos un tra-

zo negro vertical ah donde logramos pegar loscuatro segmentos del borde plegado, y donde, co-mo acabamos de demostrar, la biyeccin no secumple. Contemplando el trazo, el lector puedeextraer dos interpretaciones sucesivas ligadas alhecho de que vive en un espacio tridimensional.Primero, con toda simplicidad, puede pensar quela lnea es el lugar de encuentro convergente delos cuatro segmentos del hemisferio. Despus,que en virtud de la pegadura cruzada, dos a dos, deesos cuatro segmentos, la lnea es la marca de lainterseccin de las dos componentes conexas resultantes de la sutura: una estriada, punteada laotra (figura 20). Pero como esas componentes noPunto recta dosdel horizontal puntosinfinito oblicua por pegarOOM (M) (1-4) ~ [1,2,3,4]unooN (N) (2-3) ~ solopuntoPunto recta dosdel horiwntal puntosinfinito oblicua por pegar

Figura 19. Esquema general de correspondencias; muestraque la biyeccwn no se cumple: a dos puntos del infinito corres-ponde un solo punto; en consecuencia no existe biyeccwn_

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son, de por s, otra cosa que las dos extremidadesde una misma superficie, su interseccin debedenominarse autointerseccin. En efecto, en elnivel de la lnea de sutura, la esfera provista deun cross-cap se penetra ella misma o se autopenetra.

Figura 20. Interseccin de las dos reas, o autointerseccin dela superficie.

En tres dimensiones siempre, esta lnea de lasutura o lnea de autointerseccin hace de estauna superficie cerrada con un adentro y un afuera, y que en consecuencia tiene una cara internay una cara externa. Dado que esta superficie tiene dos caras, se la llama biltera.

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3. Pensar el objeto a con el cross-cap

Volver visible lo que TW lo es, haciendo sufrir alojo.Paul Klee

Lema. Hasta aqu nos hemos impuesto traba-jar en tres dimensiones. Hemos operado la inmersin de una superficie abstracta, el planoproyectivo, en el espacio ambiente euclidiano, yas obtuvimos una superficie concreta no regular: la esfera provista de un cross-cap. La no regularidad de la superficie concreta, recordmoslo, se localiza precisamente en la lnea de suturaque pinza la parte superior de nuestra pelota(vase la fotografa, pg. 47). Insistamos en queesta superficie imperfecta es un objeto de dosdimensiones que resulta de la inmersin de otrasuperficie igualmente de dos dimensiones, peroabstracta (plano proyectivo), en el espacio am-biente de tres dimensiones. Terminamos el captulo anterior con una lectura tridimensional delcross-cap sin ver otra cosa que aquello que se nosdio de manera evidente. Esta lectura, de algn

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modo limitada, nos lo mostr como una super-ficie cerrada y biltera, es decir, que tiene dos caras, una interior, exterior la otra. Ahora bien, elcross-cap que interesa al psicoanalista es sin duda este mismo que acabamos de construir, peropensado de manera abstracta. Se trata de ver laesfera provista de un cross-cap con su defecto dela lnea y con sus dos caras, pensndola emperosin ese defecto y con una sola cara. Qu queremos decir? Que ah donde, en tres dimensiones, vemos las dos componentes conexas cruzarse en el nivel de la lnea de la sutura (figura 20),debemos esforzarnos mentalmente por aceptar,no obstante las apariencias, que esas componentes no se cruzan. Es imposible representar en tresdimensiones, con un dibujo, un cross-cap que nomuestre la interseccin de las dos componentes.Tenemos entonces dos clases de cross-cap: el quepacientemente hemos construido, con su defectode la lnea, superficie biltera y tal como se ofrece a nuestra vista, y despus otro cross-cap, uniltero, engendrado puramente por reglas algebraicas, sin el defecto de la lnea, y que no vemos.Por qu el defecto de la lnea aparece s610 en elcaso del cross-cap visible? Porque este defecto esinherente a los constreimientos propios de unaconstruccin que hemos debido realizar en tresdimensiones. El defecto de la lnea es un defectonormal mientras queramos permanecer dentro

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de nuestro espacio de tres dimensiones y obteneruna representacin visual del plano proyectivo.

As, cuando hacemos inmersin del plano proyectivo en un espacio tridimensional, obtenemosuna representacin visible, que es nuestra esferaprovista de un cross-cap, pero no conseguimos labiyeccin. Si por el contrario abandonamos el espacio de tres dimensiones en favor de una elaboracin estrictamente algebraica, obtenemos unobjeto terico sin defecto, pero entonces perdemos la posibilidad de una representacin visible.En suma, el cross-cap visible no es equivalente alplano proyectivo, mientras que el cross-cap abstracto, es decir engendrado tericamente y sinimpureza, le es equivalente.

En el esquema de la pg. 63 presentamos laarticulacin entre el plano proyectivo y las dosesferas provistas de un cross-cap: una, concreta,inmersa en nuestro espacio ordinario de tres dimensiones, y abstracta la otra.

Tenemos entonces dos clases de cross-cap,uno concreto con defecto, y abstracto y sin defecto el otro. Veremos que el cross-cap de que hablaLacan y con el cual el psicoanalista piensa determinados problemas ligados a su prctica no es niuno ni el otro, sino los dos a la vez. El cross-capque nos interesa es ciertamente el que vemos,pero al que atribuimos las propiedades de otroque no vemos. Por ejemplo, registramos clara-

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mente la lnea de autointerseccin de las doscomponentes, que pinza la parte superior denuestra pelota, y sin embargo debemos hacer co-mo si esta lnea no existiera. Examinaremos despus cmo otra caracterstica del cross-cap, la deser una superficie divisible por un corte, slo sepodr aprehender, tambin ella, por medio de este esfuerzo de abstraccin.

Espaciode tres

El ojo del psicoanalista que mira el cross-cap concreto como sifuera abstracto.

Reparemos en que este abordaje que trata lascosas concretas como si fueran abstractas, el

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cross-cap concreto como si fuera el cross-cap abstracto, se asemeja a la manera en que, segnFreud, funciona el pensamiento de los esquizofrnicos. Cuando pensamos en abstracto nos exponemos al peligro de descuidar los vnculos delas palabras con las representaciones-cosa inconscientes, y es innegable que entonces nuestrofilosofar cobra una indeseada semejanza, en suexpresin y en su contenido, con la modalidad detrabajo de los esquizofrnicos. [ . . puede ensayarse esta caracterizacin del modo de pensamiento de los esquizofrnicos: ellos tratan cosasconcretas como si fueran abstractas.1

Siguiendo este abordaje de un cross-cap concreto al que atribuimos cualidades abstractas, seabren tres problemticas en el campo del psicoanlisis: la relacin adentro / afuera; el corte y loque este significa en tanto lnea que separa yrene dos partes heterogneas, y por ltimo laespecialsima problemtica de una de esas partes recortadas que Lacan identifica con el objetoa. Prcticamente el cross-cap materializa, o mejor todava piensa materialmente, tres conceptospsicoanalticos: la indistincin adentro/afuera,el corte entre el sujeto dividido del inconsciente yel objeto a, y por ltimo las propiedades particu-

1 S. Freud, "Lo inconciente, en Obras completas, BuenosAires: Amorrortu, vol. 14, 1979, pgs. 200-1.

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lares de este objeto. El elemento comn a estostres conceptos es el de falo o de significanteflico, figurado en el cross-cap justamente por unpunto singular de esta lnea llamada de autointerseccin.2

1.i\dentro/afUeraHemos establecido que la esfera provista de

un cross-cap en su versin concreta y visible esuna superficie cerrada con un interior y un exterior. Es exactamente lo que muestra la fotografa. Sealemos que cerrada es el nombre que seda a una superficie que no tiene borde. El toro(cmara de aire) es otro ejemplo de superficieque, no teniendo borde, es cerrada, y cuyo interior no se confunde con el exterior. En efecto, sipintarnos la cara exterior del toro, su cara interior permanecer virgen, a menos que para pintarla abramos el toro con unas tijeras. En un espacio de tres dimensiones, tanto el toro comonuestra esfera provista de un cross-cap son superficies cerradas y bilteras, es decir que poseen dos caras, una hacia afuera, y hacia adentro

2 Al fmal de este captulo enumeramos los diferentes textosy seminarios de J. Lacan en los que l trata de estas tres problemticas psicoanalticas del cross-cap.

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la otra. Ahora bien, a diferencia del toro, la esfera provista de un cross-cap presenta esa tan particular anomala que hemos llamado lnea de sutura y que ahora podemos denominar lnea deautointerseccin. Autointerseccin en la medidaen que las dos componentes conexas que se cruzan, puesto que pertenecen a la misma superficie, se pueden considerar como un cuerpo que entra en contacto consigo mismo. Ciertos textos detopologa la llaman tambin lnea de aUtocontacto o de autocruzamiento. Insistamos: esta lneaes verdadera en el cross-cap concreto y es falsaen el cross-cap abstracto.

Veremos que segn la manera de consideraresta lnea atribuiremos al cross-cap la propiedadde ser una superficie biltera o bien de ser unasuperficie uniltera.3 Expliqumonos. Si consi-

3 En topologa, una superficie tiene dos clases de propiedades. Por una parte, propiedades intrnsecas que dependenslo de la naturaleza misma de la superficie y que estn fundadas en reglas y clculos tericos: es el caso de la propiedadque una superficie tiene de ser orientable o no orientable. Porotra parte, propiedades extrnsecas que dependen del espacioen que la superficie est situada: es el caso de la propiedad deser uniltera o biltera (tener una cara o dos caras). La mismasuperficie, uniltera en cierto espacio, puede ser biltera enotro (cfr. H. Seifert y W. Threlfall, A Textbook ofTopology,Nueva York: Academic Press, 1980, y tambin D. W. Blackett,Elementary Topology, Nueva York: Academic Press, 1978).Observemos que el estudio de estas propiedades se vuelvems delicado cuando la superficie entra en alguna parte encontacto con ella misma, como ocurre en el caso de nuestraesfera provista de un cross-cap que, situada en un espacio de

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deramos la lnea como el lugar en que las doscomponentes se encuentran (figura 20), diremosque el cross-cap es cerrado y que tiene dos carasque se mantienen distintas, sin continuidad entre una y otra: el interior est separado del exterior, y la superficie es biltera. Si por el contrarioatribuimos a este mismo cross-cap concreto lapropiedad terica de no tener lnea de autointerseccin, partiendo del supuesto de que las componentes no se cruzan, diremos entonces que elcross-cap tiene una sola cara, que podemos recorrer entera sin discontinuidad: el interior no estseparado del exterior y la superficie es en consecuencia uniltera. En este ltimo caso afirmaremos que no existe frontera alguna entre el supuesto interior y el supuesto exterior de la superficie. En una palabra: a condicin de reconocerleuna propiedad estrictamente terica, el crosscap no tiene adentro ni afuera. La particularidaddel cross-cap de no poseer ni interior ni exteriorno es, por lo tanto, directamente aprehensiblepor el ojo; es preciso hacer un esfuerzo de abstraccin tal que, aun mirando la lnea que pinzanuestra pelota, podamos empero pensarla comoalgo que no est ah o, simplemente, como algoinexistente.

tres dimensiones, entra en contacto con ella misma a lo largode toda la lnea de autointerseccin.

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Vemos que el cross-cap que interesa al psicoanalista no es el cross-cap concreto que hemos construido en tres dimensiones, ni el abstracto que existe en frmulas algebraicas, sinola conjuncin de los dos.

Para comprender esta propiedad terica dellil cross-cap que no tuviera ni adentro ni afuera,retomemos el ejemplo de la hormiga que recorrala superficie. Ella no encontrara nunca la lneallamada de autointerseccin. Si la hormiga partede llil plliltO de la cara exterior y anterior dellbulo derecho del cross-cap para dirigirse hacia ellugar llamado de la lnea, se sorprender llegando a la cara interior y posterior del lbulo izquierdo sin haber traspuesto ningn lmite ni frontera. Es decir que habr pasado de llil supuesto exterior a llil supuesto interior sin hallar obstculoalgllilo. El obstculo que habria podido hallar sinos situramos en un abordaje concreto tridimensional, y estrictamente tridimensional, delcross-cap habria sido, por ejemplo, otra hormigaque cumpliera un itinerario simtrico: que hubiera partido de la cara exterior y anterior dellbulo izquierdo, y hubiera llegado a la cara interior y posterior del lbulo derecho. En resumen,para reconocer la propiedad terica que deja alcross-cap sin adentro ni afuera, aplicariamos

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una regla que enunciara: dos honnigas que pasaran simtricamente en el mismo tiempo y lugarno se encontraran, y una no podra representarun obstculo para la otra.

Observemos que esta propiedad terica deunilateralidad del cross-cap es asimilable a launilateralidad de la clebre banda de Moebius.En efecto, si uno recorre esta banda, se mantendr siempre sobre su nica cara. Dicho esto, launilateralidad del cross-cap es mucho ms interesante que en el caso de la banda de Moebius,porque esta es una superficie abierta, en tantoque el cross-cap es una superficie cerrada; es mucho ms curioso e interesante pensar la unilateralidad en una pelota cerrada que en una cintaabierta. Por qu? Porque si admitimos -desdecierto ngulo terico, recordmoslo-- que las supuestas dos caras de un cuerpo voluminoso cerrado forman una sola cara, inmediatamente espreciso aceptar tambin que el orden llamado interior del cuerpo est en perfecta continuidadcon el medio ambiente. El cuerpo est cerrado yno obstante el medio que lo rodea est ah adentro. O, a la inversa, el medio rodea un cuerpo ce-rrado del cual es, empero, el ncleo ms ntimo.

Desarreglar la frontera adentro/afuera: heah lo que el cross-cap ensea al psicoanlisis ycon lo cual el psicoanlisis piensa el espacio. Haytres maneras de tratar la frontera adentro/afue-

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ra. La manera intuitiva la reconoce como una divisoria o una piel que separa el adentro del afuera de un cuerpo cerrado. La manera topolgica-cross-cap abstracto- la considera directamente como una frontera inexistente porque eladentro est en continuidad con el afuera; eneste caso, desde luego, los trminos adentro yafuera ya no tienen razn de ser porque no estn ms en oposicin, sino en continuidad. Y, porltimo, la manera psicoanaltica, que si considera la frontera como inexistente, mantiene empero el empleo de estos dos trminos, adentro(interior) y afuera (exterior), pero invirtiendo porcompleto su sentido ordinario. La utilizacin psicoanaltica de expresiones como afuera, exterior, adentro e interior en relacin con problemas bien determinados condensa, en definitiva, tres tiempos de un procedimiento mental:reconocer primero que el adentro no es el afuera,anular despus esta oposicin y restaurar porltimo estos mismos trminos subvirtiendo radicalmente su sentido inicial. Concretamente: esmucho ms ceido pensar en trminos de adentro y de afuera subvirtiendo su relacin, que afirmar simplemente su inexistencia. Por ejemplo,la relacin entre el psicoanlisis en intensin y elpsicoanlisis en extensin slo recibe su verdadero alcance si se emplea la pareja interior/exterior de manera subvertida. Hay que identifi-

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car el horizonte ms lejano de la extensin delcampo analtico con el borde del agujero ms interior de la experiencia analtica.4 Pero el problema psicoanaltico principal para el cual es absolutamente indispensable distorsionar la parti-cin adentro/afuera es el de la relacin del sujetocon las dos instancias psquicas fundamentalesque son el inconsciente y el goce. En lo que a estorespecta, es suficiente aqu recordar lo esencial:el inconsciente y el goce son exteriores al sujeto,que, a travs del acontecimiento de un dicho o deun hacer, los actualiza. Basta con un dicho o unhacer para reconocer que en ese momento -yslo en ese momento, el del acontecimiento--- elinconsciente y el goce se extienden en el espaciosupuesto afuera del sujeto portador de ese dichoo de ese hacer. Toda la dificultad reside en esto:llegar a concebir el goce y el inconsciente comoinstancias exteriores, parsitas y que rodean alsujeto en el momento en que ocurre un acontecimiento en la cura. En otros trminos, es con elcross-cap como pensamos esta figura inaudita deun psiquismo exterior al sujeto, cuando en principio constituye su instancia ms ntima.

4 Cfr. J. Lacan: Conforme a la topologa del plano proyectivo, es en el horizonte mismo del psicoanlisis en extensindonde se anuda el crculo interior que trazamos como hianciadel psicoanlisis en intensin (J. Lacan, Proposition du 9octobre 1967 sur le psychanalyste de l'cole, en Annuaire del'cole Freudienne de Paris, pg. 15).

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2. El corte lacaniano del ocho interiorAquel [el psicoanalista] que sabe abrir diestra-mente, con un par de tijeras, el objeto a. ese es el amodel deseo.

J. Lacan

La otra propiedad del cross-cap que nos interesa se revela en el acto de recortar. Todos losmixtos de nuestra topologera, y en particular lasuperficie esfrica provista de un cross-cap, nicamente a condicin de sufrir cierto tipo de cortedemuestran su potencia como maternas psicoanalticos, es decir, su potencia como medios detransmisin. Nuestras superficies slo se actualizan por medio del recorte, y slo existen por losbordes que las tijeras confirman o engendran.5

Precisemos desde ahora que los cortes de quetrataremos en lo que sigue se tienen que imaginar como secciones hechas con tijeras sobre elcross-cap llamado concreto, pero a condicin derespetar la regla terica siguiente: cuando las ti-

5 Se llama corte a una seccin hecha con tijeras en la superficie, partiendo de un punto de un borde para llegar a unpunto de un borde l . .J El corte quedar terminado cuandohayamos llegado -a un punto del borde, sea un punto de losbordes primitivos o un punto de los bordes nuevos determinados por el pasaje de las tijeras (cfr. P. Appel, Thorie desfonctions algbriques, Nueva York: Chelsea, 1929, vol. 1,pg. 100).

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jeras encuentren la lnea llamada de autointerseccin, haremos como si esta lnea no existiera,como si el cross-cap que vamos a recortar no poseyera espesor ni lnea por la cual estuviera encontacto consigo mismo. Por consiguiente, si fijamos esta regla, debemos aceptar que recortaremos con tijeras concretas un cross-cap concreto,pero siguiendo un trazado terico.

Los cortes que nos interesan, practicados sobre la esfera provista de un cross-cap, son simples curvas cerradas, llamadas curvas de Jordan. Estas se pueden clasificar en dos tipos: lasque separan la superficie en dos trozos y las quela dejan continua. Las que verdaderamente nosimportan son las primeras y, en particular, aquella de que Lacan se vali para dar razn de lalgica de la repeticin significante y sus efectos,llamada ((corte del ocho interior (figura 1).6

El corte del ocho interior divide nuestro crosscap en dos: una superficie no orientable - l abanda de Moebius- identificada con el sujetodel inconsciente y una superficie orientable - u n

6 Esta expresin de ocho interior' o de ocho invertido esmala porque no indica claramente a qu deformacin de lafigura del nmero ocho se refiere. En realidad, se trata deuna simple plegadura o doblez: el lazo superior del ocho serepliega sobre el interior del lazo inferior. Si hiciera faltarebautizar este ocho lo habramos llamado ocho plegado.Observemos que los dos lazos se superponen pero que no setocan en un punto que les fuera comn.

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disco- identificada con el objeto a. Agreguemosque la diferencia entre los cortes que separan lasuperficie en dos trozos y los que no la separanreside en el hecho de que los cortes separadoresatraviesan la lnea de autointerseccin un nmero par de veces, en tanto que los no separadoresla atraviesan un nmero impar de veces. Co-

..... .....

1..........._.. ."-. : : : : : : " - - ~ ..../ legadura

Figura 1. Ocho interior y ocho plegado.

mo veremos, el ocho interior atraviesa dos vecesesa lnea. Descomponiendo la superficie en dospartes absolutamente heterogneas, el ocho interior confinua en acto que esas partes, aunqueheterogneas, no por ello dejaban de componeresa nica pieza que es la esfera provista de uncross-cap. Dicho de otro modo, es preciso cortarel cross-cap para comprobar que la porcin orien-

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table y la porcin no orientable que de ello resulta, es decir el objetoa y el sujeto del inconsciente,han podido coexistir juntas y en continuidad enuna superficie ininterrumpida.

Ahora bien, por qu elegir ese trazado en forma de ocho interior para dividir el cross-cap,siendo que con otras secciones cerradas, que tu-vieran otro contorno y atravesaran tambin lalnea de autointerseccin un nmero par de veces, obtendramos una separacin idntica?7Ello obedece a que el trazado en dos lazos del corte llamado del ocho interior materializa comoningn otro los diferentes momentos de la repeticin del significante.

La importancia que en la teora lacaniana tiene este trazado en dos lazos, de los que uno engloba al otro, rebasa la problemtica del crosscap. Independientemente de los contextos tericos en que interviene, el ocho interior responde auna articulacin definida: en todos los casos, soporta la funcin del dicho en su relacin con el su-jeto. Existe un trmino para designar esa relacin fundamental, y es el de repeticin. El ochointerior u ocho plegado representa grficamente

7 Advirtase que si recortamos una ventanita en nuestrapelota cross-cap en un lugar bien alejado de la lnea de autointerseccin, obtendremos los mismos dos trozos que resultan del corte del ocho interior. As, un corte que no atraviesala lnea de autointerseccin divide tambin al cross-cap endos partes distintas.

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la lgica de la repeticin de los significantes y suefecto de sujeto. As, cuando operamos una incisin en el cross-cap siguiendo un corte de este tipo, hacemos algo ms que materializar la incidencia de las palabras (no importa cules) sobreuna superficie que las preexiste: inscribimos en loreal el efecto que esas palabras provocan una vezque han sido dichas. Expliqumonos. Tomemosel ocho plegado, pensemos con l la repeticin,apliqumoslo sobre nuestra superficie esferoide,verifiquemos que atraviesa dos veces la lnea deautointerseccin y reconozcamos que los efectosproducidos han sido los efectos de la repeticin.

Concretamente, el corte de la repeticin enforma de ocho plegado incluye tres aspectos: eldespliegue de la curva en dos lazos, su cierre fi-nal y sus efectos registrables en la transformacin del cross-cap. Comencemos por describir losdos lazos. La unidad nnima del movimiento repetitivo est dada por un vector de orientacinprogresiva y por otro de orientacin retroactiva.8.-...El vector AB muestra los dos estados de un acon-tecimiento: antes de repetirse, en A, y cuando serepite, en B. Ahora bien, nada nos autoriza a ha-

8 Este esquema del aprescoup retoma el esquema del primer estadio del Grafo, construido por Lacan en el curso de losseminarios Las formaciones del inconsciente y El deseo y suinterpretacin (1957, 1958, 1959), para figurar los dos estados del significante. El padre . del ocho plegado parece serese ncleo mnimo del Grafo del deseo.

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blar de repeticin si no introducimos un tercerelemento, trivial, pero decisivo: el simple hechode contar. Si no contamos un antes y un despus,o, ms bien, una primera, una segunda y unaensima vez, nunca habr repeticin. En otrostrminos, el estado del acontecimiento antes deser repetido pasa al estado repetido a condicinde que exista una cuenta y alguien que cuente,

AFigura 2. Esquema del apres-coup.

entendindose que esta cuenta slo se verificauna vez cumplida la repeticin en B. Antes de larepeticin, y en consecuencia antes de contar, Ano exista; A no ser primero si un segundo, B, nolo repite. Debemos trazar entonces el vector HAde orientacin retroactiva y significar as que Bconsagra a A como acontecimiento original. Esteprimer lazo esquematiza simplemente el movimiento que conocemos con la expresin aprescoup. A slo se vuelve primero apres-coup, despus que hemos contado a B como su repeticin.

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El lazo grande que engloba al pequeo representa la operacin de contar como talo, msexactamente, el elemento que hace posible elclculo, a saber, el trazo de escritura. Este elemento - e l trazo del escrito-- no es, empero, lmismo reductible a un nmero. Se sita fuera dela serie o, si se quiere, fuera de la sucesin repetitiva. En esta calidad de elemento exterior lleva elnombre, que le ha dado Lacan, del Uno en ms.

Hemos dicho que en el horizonte de la cuentahay siempre uno que cuenta y calcula. Pero cuenta y calcula sin poder contarse a s mismo. Laimpotencia radical del ser hablante y gozante esno poder reconocerse en las repeticiones sucesivas. El sujeto cuenta, pero l no se cuenta, o msbien es contado como un sujeto en menos. El enlace final de esta curva doble que tiene la formade un ocho interior significa que la repeticin seha cumplido y hace nacer un sujeto nuevo queacabamos de calificar como sujeto en menos. Elpunto e de la figura 3 marca entonces tres aspectos: la clausura del movimiento de repeticin, laclausura de la operacin de cuenta y el surgimiento de un sujeto nuevo.

Si ahora, siguiendo el movimiento y la orientacin de esta curva del ocho interior, hacemosincisin en la esfera provista de un cross-cap (figura 4), obtendremos al final del corte dos superficies: una equivalente a una banda de Moebius,

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que Lacan identifica con ese sujeto nuevo, y laotra equivalente a un disco, que identifica con elobjeto a. En definitiva, recortar el cross-cap con

\JnO en ms

Figura 3. Constituyentes del ocho interior.Lnea del cortedel ocho interior

Figura 4.

Parte equivalente a unabanda de Moebius: $

Parte equivalentea un disco: a

tijeras que siguieran el trazado del ocho interiorconstituira el gesto que materializa espacialmente el hecho de que la repeticin produce unsujeto y deja caer un residuo.

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Observemos dos cosas, una de ellas referida alos detalles del recorte de la superficie, y la otra,atinente a los efectos que se producen. Trasladmonos a la figura 4 y miremos el trayecto queefectan las tijeras. Las tijeras significantes co-mienzan su recorrido en un punto de la lnea deautointerseccin, para volver a pasar por ella enun punto ligeramente ms bajo, despus de haber hecho incisin en la cara anterior de la pelotasiguiendo el trazado de un giro. Una vez que hanllegado a este segundo nivel de la lnea, prosiguen su recorte (representado en nuestro dibujopor un vector en lnea de puntos), pero esta vezsobre la cara posterior. Por ltimo, volvern aencontrarse con la lnea en el punto en que co-menzaron su trayecto. En este momento precisoen que el lazo se cierra, la superficie se separa endos trozos.

Pasemos ahora a esas dos partes recortadas.Para comprender cabalmente su naturaleza, esindispensable -o t ra vez- evitar el error de confundir el cross-cap concreto con el cross-cap abstracto. Debernos ser, entonces, claros. La incisinefectiva hecha con unas tijeras metlicas en unasuperficie espesa (nuestra pelota, por ejemplo,pero realizada en yeso) no es otra cosa que la alegora o la mostracin espaciotemporal de uncorte terico trazado sobre una superficie sin espesor, ni lnea, ni puntos en que entrara en con-

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tacto consigo misma (esta ltima superficie abstracta no tiene, en consecuencia, lnea de autointerseccin).

Si respetamos este distingo concreto/abstracto en el caso del corte, no nos resultar dificil respetarlo tambin en cuanto a los productos delcorte. En efecto, los dos trozos separados tras laincisin espaciotemporal de una pelota cross-capde yeso arrastran consigo, cada uno, la porcinde lnea de autointerseccin que originariamente los pinzaba cuando formaban parte de la superficie global. Entonces, cada uno de los dos trozos lleva la huella de la anomala, que es la autointerseccin. Ahora bien, se trata de considerarestos dos trozos haciendo abstraccin de nuevode esas porciones de lnea en que cada uno de ellosentrara en contacto consigo mismo. Con estacondicin, es decir, pensarlos sin esa lnea de autocontacto, se los podr legtimamente considerar equivalentes a una banda no orientable eluno y a un disco orientable el otro. Siempre a tra-vs de esta perspectiva terica, sealemos que laesfera provista de un cross-cap es globalmenteuna superficie no orientable. Desde el punto devista topolgico, en la coexistencia continua de loorientable y lo no orientable en una nica superficie, es lo no orientable lo que imprime su sello:es la banda la que prevalece sobre el disco. Si noslimitramos a considerar simplemente y sin a

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nada por el carcter no orientable de esta banda.!l

De los dos trozos disjuntos producidos por elcorte, ya hemos examinado el caso de la banda deMoebius y su relacin con el sujeto del inconsciente.12 N os resta considerar ahora el otro trozo-or ientable- donde Lacan sita al objeto a.

3. Pensar el objeto a con el discoConsideremos ahora una propiedad particu

lar de esta parte central de la pelota cross-cap(dibujada en puntillado en la figura 4) que elcorte del ocho interior acaba de enuclear. A lavista, este trozo desprendido tiene la forma deuna caracola marina y lleva la marca de unapequea porcin de la lnea de autointerseccin.Esta superficie parece seguir un movimiento enespiral ascendente, a la manera, si se quiere, deuna pequea construccin para guardar automviles, de rampas circulares con dos plataformas(figura 5).

11 En esta misma perspectiva, pero con un sentido ligeramente diferente, Lacan escribe: pero con su doble lazo [esdecir, el doble lazo que es el corte en forma de ocho interior],que haga de la esfera una asfera o cross-cap" (ibid., pg. 39).

12 Vase supra, captulo 1, pgs. 9-24.

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Pero recordemos otra vez que si consideramoseste mismo trozo desde el punto de vista terico,no habr residuo de la lnea de autointersecciny por consiguiente tampoco tendr la forma deuna caracola; slo presenta esta forma en tres di-mensiones. Desde este punto de vista terico, enque ya nos hemos situado varias veces, la super-ficie caracola marina equivale, y slo en ese casoequivale, a un disco orientable. Pero lo que lleva Lacan a identificar ese disco con el objeto a nofue

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