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La mirada geométrica

XIV JAEM Girona 2009 1


1Pepa Jiménez, 2Gisela Zaragoza, y Mequè Edo3 1Thau Sant Cugat, 08190–Sant Cugat del Vallès, [email protected]

2Thau Sant Cugat, 08190–Sant Cugat del Vallès, [email protected] 3Dep. de Didàctica de les Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona [email protected]

Resumen

En esta comunicación se presentan algunas propuestas didácticas con conexión con la realidad. Se han creado unas situaciones de aprendizaje y de enseñanza para desarrollar la competencia matemática. Al mismo tiempo, tienen relación y vinculación con otras áreas, como el conocimiento del medio. Para la realización de determinadas actividades ha sido imprescindible la utilización de recursos tecnológicos TIC, de la escuela o de la red. Estas herramientas nos han permitido pasar del mundo real al virtual y viceversa.

Nuestra comunicación pretende reflexionar sobre la relación de la geometría con la realidad. Los conceptos geométricos nos ayudan y nos proporcionan herramientas para interpretar y entender mejor nuestro entorno. Uno de los objetivos de nuestra propuesta es desvelar en los alumnos una mirada poliédrica que les permita interpretar y reflexionar sobre su entorno más inmediato.

PALABRAS CLAVE: Geometría, Primaria, Conexión con la realidad.

1. Introducción

“La mirada geométrica” consta de cuatro unidades didácticas que se incluyen en el ámbito de la competencia matemática y que tienen como eje los conceptos geométricos. La geometría se aborda, a menudo, como un bloque independiente, único y poco cohesionado con el resto de los conceptos matemáticos, por lo que esta experiencia parte de un enfoque relacional.

Las propuestas que compartimos se están realizando este curso académico 2008-09 a las clases de tercero de primaria de la escuela Thau, en Sant Cugat del Vallès. En nuestra escuela la geometría se trabaja durante el segundo y tercer trimestre del curso. Los presentes contenidos se corresponden con los que se proponen en el currículum del primer curso del Ciclo Medio en el campo de la geometría.

El planteamiento metodológico ha consistido en pensar actividades en que el aprendizaje sea absolutamente funcional, ayudándonos a interpretar el mundo que nos rodea, creando al mismo tiempo la necesidad de aplicar lo aprendido. Previamente se habían trabajado en el aula los contenidos curriculares que más tarde se utilizaron para resolver la cuestión planteada.

En el desarrollo de los proyectos se ha partido de la formulación y reformulación de preguntas y de la resolución de situaciones reales que comporten la utilización de todos los conocimientos matemáticos de que disponen. Otro aspecto remarcable desde el



punto de vista metodológico es el trabajo cooperativo, mediante el cual se analizan los resultados, se extraen conclusiones y se verbalizan procesos. En definitiva, se consigue un objetivo común de aprendizaje en grupo.

Los proyectos matemáticos son situaciones excelentes para generar conocimiento y, a la vez, explican y dan sentido a la realidad, interpretándola y conociéndola mejor.

Breve descripción de las unidades didácticas que componen el proyecto de “La mirada geométrica”:

Orientándonos en nuestra ciudad

Esta unidad didáctica nos permite conocer mejor el entorno donde vivimos, paseamos y realizamos actividades cotidianas. Los alumnos también aprenden a elaborar hipótesis, estimaciones y comparaciones matemáticas de los recorridos que hacemos habitualmente, orientándose a partir del plano de la ciudad. Finalmente se analiza como podemos intervenir en nuestra ciudad haciendo propuestas que mejoren nuestra vida. Por ejemplo: ampliación del carril bici en Sant Cugat.

La geometría en el paisaje urbano

La actividad está destinada a reconocer en nuestro entorno urbano los elementos geométricos que hemos trabajado en el aula. Para tal fin, los hemos fotografiado, analizado desde el punto de vista funcional y descrito utilizando al máximo el vocabulario aprendido. Finalmente, como colofón de nuestra mirada geométrica sobre el paisaje, presentaremos nuestras producciones a los niños y niñas de la clase de 3º A. Si son de su interés creamos una exposición abierta al resto de la escuela.

Las figuras poligonales en el arte

Actividad que nos permite combinar una visión artística y una visión geométrica. A partir del estudio de determinadas pinturas, donde los artistas juegan con las líneas, las curvas y los polígonos, analizándolos desde los dos puntos de vista. Este enfoque nos permite, a su vez, conocer pintores importantes, su obra, la relación entre los títulos y lo que vemos reflejado en los cuadros, la representación pictórica abstracta y la figurativa, el gusto estético... Para concluir, se realiza una composición abstracta con las TIC (jugando con las líneas y el color). En este proceso se utilizan básicamente los elementos geométricos conocidos (rectas, curvas, figuras planas...).

La escuela Thau en 3D

Actividad que nos permite analizar la estructura arquitectónica de la escuela, a aprender a diferenciar cada una de las partes que configuran el edificio y a relacionar este proceso con las figuras geométricas en volumen y con el resto de contenidos trabajados anteriormente en el campo de la geometría. Finalmente, a ser capaces de construir una maqueta de la propia escuela teniendo en cuenta los conceptos y cálculos matemáticos.

Estas cuatro unidades están relacionadas entre si. Los contenidos conceptuales implicados son la línea, las figuras planas y los cuerpos geométricos en tres dimensiones, tal como se encuentran en la realidad, formando parte de un todo. El



objetivo final que nos proponemos con esta manera de trabajar es que nuestros alumnos sean competentes y capaces de conectar la escuela con el mundo.

A continuación presentamos desarrolladas las dos primeras unidades didácticas que componen el proyecto de “La mirada geométrica”. Estas dos unidades están interrelacionadas y comparten diferentes puntos de conexión. Por ésta razón aconsejamos una lectura relacional y complementaria entre ambas unidades didácticas.

2. Desarrollo de la comunicación

2.1 Orientándonos en nuestra ciudad

Preparación de la salida al Ayuntamiento de Sant Cugat

Aprovechamos la salida al Ayuntamiento de Sant Cugat, actividad organizada desde el área de sociales, para aprender a orientarnos en nuestra ciudad. A partir del plano de la ciudad los alumnos piensan y negocian, en grupos, diferentes itinerarios, desde la estación de Sant Cugat al Ayuntamiento.

Durante la salida

Cada equipo, con la ayuda del plano, inicio su recorrido. Durante el mismo toman fotos con la cámara digital de elementos del paisaje urbano que tengan relación con la mirada geométrica que se está trabajando en clase.

Al volver a la escuela.

Sobre un nuevo plano se marcan los diferentes itinerarios que se han realizado, se analizan y se comentan conjuntamente.

a) Recorrido del equipo azul. Pl. Lluís Millet-Avenida Lluís Companys b) Recorrido del equipo rojo. Pl. Lluís Millet-C/Roselló c) Recorrido de retorno por parte de todo el grupo

Al ver gráficamente la representación de los recorridos una alumna, Berta, pregunta cuantos metros hemos andado. La maestra responde con nuevas preguntas:

- ¿Cuántos metros crees que hemos recorrido?

- ¿Todos hemos andado la misma distancia?

Rápidamente todos los alumnos hacen estimaciones, concepto matemático que hemos aprendido al resolver problemas.



Realización de estimaciones de los recorridos

Nos hemos dividido en el grupo azul y el rojo y para hacer más operativo el proceso nos hemos vuelto a dividir. Cada subgrupo ha pensado cuantos metros hay entre la estación y el Ayuntamiento. Cada grupo ha utilizado los materiales que ha creído convenientes en el momento de efectuar los cálculos. Algunos han utilizado la regla, otros han hecho una serie de pasos por la clase, algunos han cogido la calculadora. Hemos realizado una puesta en común de los descubrimientos y resultados.

Grupo Rojo

a) Alberto, el portavoz, explica que han utilizado la regla y que el intervalo entre 0-0’5 centímetros equivalía, para ellos, a un metro en la realidad. Creen que hay 84 metros de distancia entre los dos puntos.

b) Mar explica que ellos han medido con la regla la longitud de las calles en el plano. Ellos creen que hay 2.600 metros.

Grupo Azul

a) Marina nos explica, señalando el plano que tenemos colgado en la pizarra, los cálculos que han realizado y como han multiplicado por 4, que son los tramos de su recorrido. Creen que hay aproximadamente 65 metros.

Berta sostiene que no es posible porque una pista de atletismo mide 400 metros. También explica que los laterales de la pista miden 60 metros.

Juan interviene y afirma: “entre portería y portería de nuestro campo de fútbol hay 100 metros y por tanto es imposible que sea real el resultado de estos grupos”.

b) Arnau explica que para realizar los cálculos ha pensado lo siguiente: “mi primo cuando hace maquetas de automóviles pasa los números que hay en la revista y los multiplica por 4 para hacerlos de un tamaño más grande”. Juan le responde que el coche de su primo se puede poner encima de una mesa. Berta añade, inmediatamente, que tendrían que multiplicar por 10. Ellos creen que hay 2.804 metros de distancia.

Lógicamente sus estimaciones y argumentaciones están impregnadas por ideas y conocimientos que han ido adquiriendo dentro y fuera de la escuela. Aparece claramente la idea de escala. Miramos los mapas que hay en la clase: Cataluña, comarcas y un plano con los barrios y distritos de Sant Cugat. Se llega a la conclusión de que los tres mapas explican de forma diferente la realidad. Pol afirma: los mapas son representaciones de la realidad. Cada grupo, así pues, ha medido con la regla y con pasos, pero con escalas y criterios diferentes.



Tabla 1. Cálculos estimados

Rojos Azules

a) 84 metros

b) 2.600 metros

a) 2.804 metros

b) 65 metros

Valoramos entre todos los resultados y del análisis surge la idea de medir el campo de fútbol de la escuela. Hemos medido, por grupos, el campo de fútbol de la escuela y ahora sabemos que sus dimensiones son las siguientes:

c) Tiene una anchura de 50’20 m.

d) Tiene una longitud de 88’70 m.

Con los resultados de la medición del campo de fútbol comenzamos a ver que hay resultados que se alejan mucho de la realidad, por exceso o por defecto. Helena comenta que su padre tiene un programa de ordenador que le permite calcular los circuitos que le prepara cuando tiene que hacer un entrenamiento para una carrera de atletismo. Propone calcular también nuestros recorridos con Google Earth y ver si nos hemos acercado a las distancias reales. Con el ordenador de la clase y desde el Google Earth revisamos los siguientes recorridos:

a. Buscamos y marcamos la estación de Sant Cugat y el Ayuntamiento. b. Marcamos el punto de inicio de los recorridos (azul-rojo) c. Marcamos los trayectos recordando y buscando las calles por donde habíamos

pasado. d. Decidimos hacer los cálculos en metros. También podría ser en kilómetros,

pulgadas, etc.

Tabla 2. Cálculos con el Google Earth

Azules: 1.150 metros

Rojos: 1.220 metros



Acabamos la sesión expresando la longitud de los recorridos siguiendo nuestro propio estilo:

11 veces x 100 metros = 1.100 metros

Portería Portería

Hemos recorrido en nuestra salida, aproximadamente, unas once veces la distancia entre portería y portería del campo de fútbol escolar.

En otra jornada.

En el plano de Sant Cugat hemos marcado con un círculo la situación de nuestra casa. Mientras han realizado este trabajo colectivo una alumna ha apuntado el nombre de los diferentes barrios de la ciudad donde viven los niños de la clase. Los niños quieren identificar su calle en el plano.

La lista es la siguiente:

- Barrio antiguo: 2 alumnos - Can Magí: 2 alumnos - Parc Central: 4 alumnos - Mirasol: 4 alumnos - Valldoreix: 3 alumnos - Coll Favà: 2 alumnos - Eixemple Sud: 2 alumnos - Torreblanca: 1 alumno - Zona Golf: 1 alumno

Alumnos que viven fuera de Sant Cugat:

- Cerdanyola del Vallès: 1 alumna - Rubí: 2 alumnos - Cervelló: 1 alumno - Manresa: 1 alumno

Al ver el nombre de los compañeros marcado en el plano, Alberto ha comentado que los barrios nuevos como Coll Favà, Torreblanca i l’Eixemple Sud se parecen a lo que habíamos comentado un día sobre el Eixample de Barcelona i el Plan Cerdà. En cambio, las calles del Núcleo Histórico eran muy diferentes, ya que eran estrechas y cortas.



Ahora ya sabemos como buscar un determinado lugar con el Google Earth. Vamos a localizar, así pues, nuestra casa. Con el ordenador de la clase cada alumno introduce su dirección y marca donde vive.

Hemos decidido que haremos un viaje virtual y comenzaremos desde las casas de los niños que viven en el núcleo histórico y, de manera progresiva, iremos a los barrios más alejados de la ciudad.

Con la grabadora de la Pizarra Digital Smart, hemos grabado todos los recorridos y al finalizar la sesión hemos buscado donde se encuentra la Escuela Thau y hemos llegado a ella de manera virtual.

Desde la opción Google Maps vemos la misma zona, pero con el formato de plano, y decidimos imprimirlo. Cada alumno identifica, en este plano, su casa y marca el recorrido que realiza habitualmente, solo o en compañía de su familia.

La siguiente actividad relaciona la longitud y la geometría. Sobre una trama de papel cuadriculado y con la ayuda del plano realizan sus propios descubrimientos y representaciones y lo explican de manera geométrica (líneas secantes, perpendiculares, paralelas e intersecciones), detallando donde se encuentran y como son las calles de su barrio. También identifican edificios o espacios significativos para ellos. Por ejemplo: la panadería, el polideportivo, la biblioteca, etc.

Este es el recorrido que realiza Arnau cuando lleva la bolsa de basura al contenedor.



Este es el recorrido que hace Helena cada día cuando pasea a su perro.

Los alumnos se agrupan por proximidad y pertinencia a un barrio. Investigan y observan las conexiones. Hacen una composición, tipo puzzle, con cada uno de los mapas y se crea el plano gigante. Más adelante se realiza una puesta en común de los descubrimientos que han hecho y curiosamente se observa el desconocimiento que tienen de su entorno. Algunos alumnos se sorprenden de la poca distancia que hay entre sus casas y como los parques o las vías rápidas –Ronda Norte- actúan como zonas fronterizas.

La próxima actividad que nos proponemos consiste en calcular, con Google Earth, la distancia que hay entre nuestra casa y la escuela. Así sabremos cuantos metros/quilómetros hacemos cada día de casa a la escuela.

Surge el debate sobre la unidad que utilizaremos para medirlo, ya que el programa nos da diferentes opciones. Después de la experiencia de medida del campo de fútbol, rápidamente los alumnos y alumnas coinciden en que el quilómetro es la mejor unidad de medida para trayectos largos.

¿Cómo lo hacemos?

1.- Con el ordenador de la clase recuperamos las “direcciones marcadas” de cada niño.

2.- Apuntamos los quilómetros de cada uno de los trayectos.

3.- Guardamos los resultados en un archivo Word.

Hemos utilizado los gráficos de barras para representar las profesiones de los padres y ver a qué sector de trabajo pertenecen (Área de Conocimiento del Medio). Hemos pensado



que nuestras distancias también las podríamos explicar con un gráfico de barras. Paula nos explica que su hermana, que cursa 1r de ESO, utiliza un programa del ordenador para hacer gráficos. En el ordenador del aula tenemos instalado el programa Excel, que puede ir de perilla para introducir los resultados de los recorridos. Entre todos los introducimos y decidimos qué tipo de gráfico nos gusta más para expresar las distancias.

A medida que hemos ido investigando, conociendo y reflexionando sobre las distancias, los recorridos, los caminos y atajos para llegar a la escuela; hemos recuperado una propuesta que hicimos el día en que los niños actuaron de políticos en el Ayuntamiento.

Sergio recordaba que su grupo municipal P.I (Partido Infantil) había propuesto un carril bici que cubriera todas las escuelas de Sant Cugat, ya que así serían todos más ecológicos y sostenibles.

Marina dice que en el barrio del Turó de Can Mates, uno de los más recientes de la ciudad, hay una escuela nueva y tienen un carril bici muy cercano.

Pol comenta que cerca de la escuela se encuentra TVE y empresas muy serias, y que no se imagina a los presentadores y ejecutivos llegando en bicicleta al trabajo.

Juan comenta que este verano, en Copenhague, vio a mucha gente bien vestida que iba a trabajar en bicicleta y se plantea que esto también se podría hacer aquí.

Nos animamos a realizar una propuesta matemática:

Planificar y diseñar el circuito para que los alumnos que quieran puedan llegar a la escuela con bici. Pensamos hacerlo aprovechando los tramos de carril bici existentes

Jana se ofrece a hacer la consulta al Ayuntamiento de Sant Cugat porqué su madre trabaja en el consistorio.

Decidimos que lo dibujaremos encima de nuestro plano gigante.

Calcularemos la cantidad de quilómetros que tendríamos que añadir para llegar a la Escuela Thau.

Tomaremos una foto y la enviaremos al Departamento de Movilidad del Ayuntamiento de Sant Cugat.



A continuación presentamos la segunda unidad didáctica ya que en nuestro caso se ha planteado su desarrollo a partir de la salida escolar al Ayuntamiento de nuestro municipio. De todas formas pensamos que funcionan perfectamente independientes y aplicables a otras realidades y contextos.

2.2 La geometría en el paisaje urbano

Esta actividad está destinada a reconocer en nuestro entorno urbano los elementos geométricos, analizarlos desde un punto de vista funcional y descriptivo, utilizando al máximo el vocabulario aprendido. Aprovechando la salida al Ayuntamiento de Sant Cugat, por el centro de la ciudad, los alumnos toman fotos con la cámara digital de aquellos elementos del paisaje urbano que contienen conceptos geométricos que recuerdan haber estudiado en el aula.

Al volver a la escuela los alumnos descargan las imágenes en el ordenador y se efectúa una valoración de las dificultades y anécdotas con las que se encontraron durante el itinerario. Se proyectan las imágenes con el ordenador de la clase y se comentan entre todos aspectos:

¿Qué han fotografiado?

¿Por qué?

¿Qué les ha llamado la atención?

¿Qué han fotografiado que ya se imaginaban y que han fotografiado que no esperaban encontrar?

¿Con qué fotos han coincidido y cuáles difieren de un grupo al otro?

Al concluir se realiza una selección de las imágenes más interesantes y se guardan para otro día.

Esta conversación ha sido muy enriquecedora porque sin darse cuenta se utilizaba constantemente el vocabulario geométrico. A la hora de hacer la valoración de la actividad, los alumnos toman conciencia de los conocimientos geométricos que han incorporado y como los saben identificar en la realidad. Obviamente esto les hace sentirse muy satisfechos.

Han descubierto que han mirado un entorno conocido desde un punto de vista diferente de como lo hacen habitualmente. Le hemos puesto nombre: hemos observado la ciudad con “mirada geométrica”.



Al acabar la sesión hemos decidido hacer un recordatorio entre todos de los contenidos que hemos aprendido hasta ahora de geometría y los hemos escrito en la pizarra.

Los conceptos geométricos que hemos comentado anteriormente los repartimos y los definimos por grupos. Más adelante nos reunimos nuevamente y hacemos la corrección de las definiciones de manera oral, después de leerlas.

¿Está bien expresado?

¿Se podría añadir algo?

¿Como lo podríamos decir de otra manera?

Cada grupo ha hecho las modificaciones que ha creído oportunas. La siguiente actividad ha consistido en recuperar las imágenes seleccionadas y distribuirlas por parejas.

La comentan por escrito explicando de qué se trata, pero también qué elementos geométricos ven en cada imagen, actuando con una “mirada geométrica” (los alumnos ya utilizan la expresión, les hace incluso gracia).

Después de leerlas, y comentando una señal triangular, Georgina apunta que un día vio en una carretera una señal triangular con un ciervo. Pol explica que es así porque pueden cruzar animales y, por consiguiente, hay que ir despacio. Carla comenta que en la comarca de la Cerdaña hay señales con una vaca dibujada y que su madre le explicó que servía para advertir del cruce de rebaños. Los resultados han sido raros y divertidos, especialmente para los que lo se habían fijado en estos detalles o los ignoraban.



La conversación continua, de manera animada, inventando nuevas señales para explicar situaciones de la vida cotidiana.

Invención de señales comunicativas con criterios geométricos

María subraya que se podría avisar de la existencia de contenedores de reciclaje de papel y botellas, porque en su calle no existen.

Julia dice que de basura orgánica tampoco existen en todas las calles y que tiene que ir a una plaza próxima.

A partir de aquí nos plantemos qué otras cosas se podrían advertir mediante una señal. Si es con un triángulo, como en el caso de las vacas, son de peligro, pero si avisa de la situación de un restaurante en la autopista, o las gasolineras, tienen forma cuadrada. Sabemos que tiene que haber una relación entre la forma y la función de la señal. En este punto realizan una transferencia de conocimientos, ya que estos puntos los han estudiado en el área de Conocimiento del Medio. Nos hemos organizado por equipos para hablar sobre las señales verticales inexistentes que se podrían inventar. Cada grupo presenta un esbozo, por escrito, de su propuesta.

Esta actividad está relacionada con el área de Educación Artística, ya que cada grupo crea libremente una señal. Finalmente, como colofón de nuestra mirada geométrica sobre el paisaje, presentaremos nuestras producciones a los niños y niñas de la clase de 3º A. Si son de su interés creamos una exposición abierta al resto de la escuela.

3. Valoración

La aplicación y evaluación de las unidades didácticas que configuran el proyecto “La mirada geométrica” nos ha permitido reflexionar de manera especial sobre cómo aprenden los niños y qué mecanismos utilizan cuando se enfrentan a situaciones de la vida diaria.

La creación y realización de actividades que están vinculadas a la realidad generan una serie de estrategias y situaciones en las que se hace imprescindible utilizar todos los conocimientos que se disponen. Fácilmente se podrían identificar las diferentes competencias que se han trabajado a lo largo de las dos propuestas. Nombraremos algunas, como la competencia social y ciudadana, así como la competencia digital, que permite integrar los diferentes recursos tecnológicos en la escuela ayudando a entender mejor la sociedad actual. Finalmente, también hay que mencionar la competencia matemática, que nos ayuda a interpretar el mundo en que vivimos. Las escuelas deben de integrar actividades como las que proponemos para que los niños y niñas entiendan el verdadero sentido de la educación.

4. Agradecimientos

Nos gustaría agradecer especialmente a la Institución Cultural del CIC y a las Escuelas Thau su maestría en el mundo pedagógico a lo largo de medio siglo de historia. Concretamente a la Escuela Thau de Sant Cugat, a su profesorado y alumnado, por propiciar un ambiente de innovación, construcción y mejora permanente.



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