III Taller de arte y geometria -...

III. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA II: TRIÁNGULOS. DOCU-MENTACIÓN PARA EL TALLER1

Edelmira Badillo y Mequè Edo

• Actividad 1. Familiarización e introducción al tema de triángulo• Actividad 2. Definición de triángulo. Construcción• Actividad 3. Actividad de síntesis: definición de triángulo y sus partes• Actividad 4. Construcción de producciones artísticas de triángulos• Actividad 5. Construcción y representación de triángulos con la ayuda del

geoplano

• Actividad 6. Clasificación de triángulos: según sus lados y sus ángulos; elestudio de las alturas de un triángulo y del ortocentro (OPCIONAL)

• Actividad 7. Actividad de síntesis: tipos de triángulos según sus lados ysegún sus ángulos (OPCIONAL)

• Actividad 8. Condición necesaria que han de cumplir los lados de untriángulo

• Actividad 9. Condición necesaria que han de cumplir los ángulos de untriángulo

• Actividad 10. Cálculo de perímetro y cálculo de áreas de triángulos• Actividad 11. Actividad individual de evaluación• Actividad 12. Actividad de investigación y juegos

WOLTERS KLUWER ESPAÑA 1

1. Los instrumentos que a continuación reproducimos están relacionados con la experiencia «Taller de Arte y Geo-metría en el Ciclo Superior de Primaria: Triángulo» de esta obra.

Taller de Arte y Geometría


ACTIVIDAD 1. FAMILIARIZACIÓN E INTRODUCCIÓN AL TEMA DE TRIÁNGULOS

1. Comentamos la imagen de las figuras 1 y 2.

a) Cuando observamos esta imagen (ver figura 2), ¿qué palabras relacionadas con la Geo-metría te vienen a la cabeza? En otras palabras, ¿qué elementos geométricos identificas?

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b) ¿Qué forman las líneas cuando se cortan o se tocan o se intersectan?

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c) ¿Podéis explicar o definir con vuestras palabras qué es un triángulo?

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d) ¿Puedes identificarlos en el cuadro? ¿Qué partes crees que tiene un triángulo?

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e) ¿Qué otras cosas ves en el cuadro? ¿ves «tri-ángulos»?

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f) ¿Ves diferentes tipos de triángulos? ¿Cuáles? ¿Podrías enumerarlos? ¿Puedes explicar odefinir con tus palabras qué es un triángulo?

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FIGURA 1


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FIGURA 2


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2. Investigación

a) Rasgos de la vida y obra del autor (Wassily Kandinsky).

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b) Otras obras de arte del mismo autor que permitan estudiar triángulos.

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c) Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden a estudiar estetema: triángulos, tipos de triángulos, etc.

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d) Coloquémonos en lugar del pintor, ¿qué ideas y sentimientos crees que quiere transmitircon esta obra?

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e) ¿Qué podemos destacar de los colores? ¿De la intensidad de los mismos?

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f) ¿De la posición y la colocación de las líneas? ¿Y de las figuras?

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g) ¿Distingues distintos planos? ¿Cuántos planos ves? Describe el fondo y el primer plano.

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h) ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?

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3. Conoce a Wassily Kandinsky y su obra

Descripción de la obra

●● Título: Tranquilidad.●● Año: 1930.●● Autor: Wassily Kandinsky (1866-1944).●● Técnica: acuarela y tienta china.●● Medidas: 1811/18 x 13 pulgadas.●● Ubicación: Thomas Gallery, Munic (colección privada).

Tranquilidad (1930)D

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ACTIVIDAD 2. DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO. CONSTRUCCIÓN

FASE I. Definición individual

1. Responde individualmente a estas preguntas:

a) ¿Qué es para ti un triángulo?

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b) ¿Qué partes tiene un triángulo?

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c) ¿Cuántos tipos de triángulos conoces?

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d) ¿Puedes enunciarlos y representarlos?

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2. En el cuadro Tranquilidad de Wassily Kandinsky, buscadistintos tipos de triángulos y enúncialos.

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FASE II. Confrontación entre iguales

Sois editores de un libro y tenéis que redactar una página con la definición del conceptode triángulo y tipos de triángulos que presentaréis en una transparencia. Sugerencia: partiendo devuestras definiciones (FASE I), podéis incorporar nuevas ideas utilizando otras definicionesde este concepto. Por ejemplo, las siguientes:

Definición 1: Editorial MOLINO

Definición 2: Diccionario de la Real Academia española

Definición 3: http://es.wikipedia.org

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Un triángulo es una figura bidimensional de tres lados.

m. GEOM. Figura geométrica formada por tres rectas que secortan mutuamente, formando tres ángulos.

Siendo A, B y C tres puntos de un plano no alineados, se llamatriángulo ABC a la intersección de los ángulos ABC, CAB y BCA.

FASE III. Compartimos la definición

Pondremos en común las definiciones presentadas en las transparencias y escogeremos entretodos las que utilizaremos en clase:

1. ¿Qué es un triángulo?

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2. Partes de un triángulo y su representación.

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3. Tipos de triángulos y su representación.

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ACTIVIDAD 3. ACTIVIDAD DE SÍNTESIS: DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO Y SUS PARTES

1. Une los diferentes componentes de las columnas como creas necesario.

2. Realiza un mapa conceptual sobre triángulos aplicando los conceptos que creas necesa-rios. Te recomendamos seguir los siguientes pasos:

1. Listado de palabras clave: ángulo, lado, etc.2. Listado de conectores: «Puede ser», «Tiene...», etc.3. Construcción del mapa conceptual.

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PARTES DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN

Lados

Vértices

Ángulos

Alturas

Es el segmento trazado desde un vér-tice y que es perpendicular su ladoopuesto

Es la región del plano comprendidapor dos de los lados de un triángulo

Es el segmento de recta que une dosvértices del triángulo

Es cada uno de los puntos en el quese cortan o interceptan dos lados deltriángulo

ACTIVIDAD 4. CONSTRUCCIÓN DE PRODUCCIONES ARTÍSTICAS DE TRIÁNGULOS

1. Inspirándote en la estructura del cuadro «Tranquilidad» de Wassily Kandisnky, ¿crees quepuedes hacer una composición propia donde el triángulo sea el protagonista?

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2. Justifica el procedimiento que aplicas y los triángulos que has escogido para hacer tu com-posición.

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3. Justifica las técnicas artísticas que utilizas.

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4. Redacta los sentimientos y emociones que quieres transmitir con tu composición.

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5. No olvides los elementos que debe contener el cuadro: título, nombre, autor, año, etc.

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ACTIVIDAD 5. CONSTRUCCIÓN Y REPRESENTACIÓN DE TRIÁNGULOS CON LAAYUDA DEL GEOPLANO

1. Observa las figuras A, B y C y reflexiona sobre las siguientes preguntas:

a. ¿Cuantos triángulos identificas en la figura B?, ¿en A? y ¿en C?

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b. ¿Identificas triángulos del mismo tipo?

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c. Con la ayuda del geoplano intenta reproducir los tipos de triángulos que has encontradoen las figuras B, A y C.

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2. Con la ayuda del geoplano reconstruye un ejemplo de todos los tipos de triángulos quehas encontrado en las figuras anteriores y también los que no están. Para ello te damos dos tiposde geoplano. (trama isométrica y trama cuadricular).


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3. Después, con la ayuda de regla, compás y transportador, represéntalos en la plantilla quete proporcionamos, teniendo en cuenta el tipo de geoplano que has utilizado. No olvides com-probar si realmente son del tipo que has considerado. Justifica el procedimiento que has de rea-lizar para comprobar si son de un tipo o de otro.

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ACTIVIDAD 6. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: SEGÚN SUS LADOS Y SUSÁNGULOS

I. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

A partir de la actividad anterior clasifica los triángulos según sus lados y según sus ángulos.Verifica y justifica cuáles de las siguientes relaciones entre triángulos son posibles y cuáles no.


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ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

EQUILÁTERO Ø

ISÓSCELES

ESCALENO



II. ESTUDIO DE LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

1. Reconstruye los siguientes tres triángulos en el Geoplano y justifica:

a. ¿Qué partes del triángulo se mantienen y qué partes cambian?

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b. Analiza dónde se encuentran las altura de cada triángulo? Sugerencia: fíjate por lo menosen una de ellas.

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2. Pensemos en las alturas de un triángulo. ¿Cuántas alturas tiene un triángulo? Dibújalas.D

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III. ESTUDIO DE LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO Y DEL ORTOCENTRO

1. Opcional. Recorta en papel blanco o de color un triángulo de cada tipo según sus ángu-los. Con la ayuda de la escuadra o regla dobla y traza las alturas en cada uno de los triángulosy analiza dónde se encuentran ubicadas y dónde se cortan. A continuación mostramos el casode triángulos acutángulos, reprodúcelo y comprueba lo que pasa con los otros tipos.

a. Si el punto de corte o intersección de las alturas de un triángulo se conoce como «ortocentro».¿Crees que el ortocentro siempre se encuentra en el interior del triángulo? Justifica tu respuesta.

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b. Analiza la secuencia de fotos anterior y explica qué crees que pasará con las alturas delos triángulos obtusángulos y rectángulos.

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2. Conclusiones finales:

a. ¿Qué podemos concluir sobre el número de alturas de cualquier triángulo?

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b. Dibuja y analiza la ubicación de las alturas y del Ortocentro en cada uno de los tipos detriángulos según sus ángulos.

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ACTIVIDAD 7. ACTIVIDAD DE SÍNTESIS: TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUSLADOS Y SEGÚN SUS ÁNGULOS

1. Recuerda:

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS

Equilátero

Isósceles

Escaleno

a. Primero estudiaremos el triángulo equilátero y después intenta hacer lo mismo con lostriángulos isósceles y escaleno.


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DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN PARTES ESTUDIO DE LAS ALTURAS

Es el triángulo que tie-ne los tres lados igua-les y por tanto, tresángulos iguales. Pode-mos decir que tienenla misma medida.

Vértices. Tiene 3 vér-tices y se representanasí:

A, B y C

Lados. Tiene 3 ladosiguales y se represen-tan así:

AB = BC = AC

Ángulos. Tiene 3 án-gulos iguales y se re-presentan así:

Alturas. La altura es elsegmento de recta per-pendicular que va deun vértice a su ladoopuesto. Todos lostriángulos tienen 3 al-turas.

h1

h2

h3

Tiene tres alturas:

h1 AC

h2 BC

h3 AB

Conclusión

Las 3 alturas de untriángulo equilátero seinterceptan en un pun-to interior del triángulo(ortocentro).



b. Estudia triángulos isósceles:

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c. Estudia triángulos escálenos:


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2. Recuerda:

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

a. Primero estudiaremos el triángulo rectángulo y después intenta hacer lo mismo con lostriángulos acutángulo y obtusángulo.

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Es el triángulo quetiene un ángulo rectoy dos ángulos agudos.Por lo tanto, los doslados que forman elángulo recto son per-pendiculares entre sí.

Vértices: tiene 3 vérti-ces y se representanasí:

A, B y C

Lados: tienen 2 ladosque pueden ser igua-les o no, y siempre sonperpendiculares. Serepresentan así:

Ángulos: tienen 1 án-gulo recto y 2 ángulosagudos y se represen-tan así:

Altura: la altura es elsegmento de rectaperpendicular que vade un vértice a su ladoopuesto.

Tiene tres alturas:

h1 = ABh2 = ACh3 = AO

Conclusión:

Las 3 alturas de untriángulo rectángulo seinterceptan en el vérti-ce del ángulo recto.Dos de las alturas sonlados del triángulo rec-tángulo.

b. Estudia triángulos acutángulos:


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c. Estudia triángulos obtusángulos:

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ACTIVIDAD 8. CONDICIÓN NECESARIA QUE HAN DE CUMPLIR LOS LADOS DEUN TRIÁNGULO

1. Construye triángulos utilizando tiras de cartulina como lados. Primero tenéis que recortartiras de cartulina de color que tengan un centímetro de ancho y de largo según se detalla a con-tinuación:

a. 3 tiras de 6 cm. c. 3 tiras de 8 cm.b. 3 tiras de 10 cm. d. 1 tira de 15 cm.

¿Siempre puedes construir triángulos usando las diferentes tiras de cartulina? ¿Por qué?

Sí, cuando ............................................................................................................................

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No, cuando ..........................................................................................................................

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Con las tiras de cartulinas de las siguientes longitudes construye, si es posible, distintos tipostriángulos. Sugerencia: para unir los lados en los vértices podéis utilizar encuadernadores.

a. 15; 10; 6 cm. c. 10; 8; 6 cm. e. 6; 6; 6 cm.b. 10; 10; 10 cm. d. 10; 6; 6 cm. f. 15; 6; 8 cm.

2. Pega estos triángulos que has construido en hojas y escribe una explicación o justificaciónsobre los siguientes aspectos:

a. ¿Qué tipos de triángulos son y por qué? Sugerencia: especifica simultáneamente el tiposegún sus ángulos y según sus lados.

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b. ¿Explica qué pasa en el caso f? Puedes modificar alguna condición para que pueda ser unejemplo de triángulo.

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c. ¿Que conclusión puedes sacar para la construcción de triángulos teniendo en cuenta lalongitud de sus lados?

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ACTIVIDAD 9. CONDICIÓN NECESARIA QUE HAN DE CUMPLIR LOS ÁNGULOSDE UN TRIÁNGULO

1. Dado el siguiente ángulo recto, construye un triángulo rectángulo y encuentra la medidade cada uno de los ángulos interiores.

2. Suma los tres ángulos del triángulo MNO. ¿Qué resultados has obtenido?

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3. Construye en papel diferentes tipos de triángulos, recórtalos. Luego enumera cada uno desus vértices y, finalmente, sepáralos de la siguiente manera:


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MEDIDA DEL ÁNGULO

OMNMEDIDA DEL ÁNGULO

MNOMEDIDA DEL ÁNGULO

MON

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R4. Ahora une los tres vértices, sin dejar espacio entre ellos, para comprobar cuánto sumanlos tres ángulos. ¿Qué tipo de ángulo forman y cuánto mide?

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5. ¿Qué conclusión puedes sacar en general de la suma de los ángulos internos de untriángulo?

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ACTIVIDAD 10. CÁLCULO DE PERÍMETRO Y CÁLCULO DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS

1. ¿Sabes lo que es el perímetro de cualquier figura geométrica o polígono?

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2. Reproduce las siguientes figuras en el geoplano y calcula su perímetro. Sugerencia: defi-ne o escoge una unidad de medida de longitud.

a)

b)

¿Sabes lo que es el perímetro de un triángulo?

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3. ¿Recuerdas qué se mantiene igual y qué cambia en los siguientes triángulos?

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4. Podrías definir una medida de longitud y estimar aproximadamente, ¿cuál es el valor delperímetro de cada uno de los triángulos?

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5. Compara los perímetros de cada triángulo. ¿Qué conclusión puedes sacar?

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6. ¿Mide los lados de cada uno de estos triángulos y suma sus medidas?

7. ¿Cómo son las sumas de los lados de los diferentes triángulos? Justifica tu respuesta.

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8. ¿Qué podríamos concluir sobre el nombre que recibe la suma de los lados de un triángulo?

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9. ¿Sabes lo que es el área de un triángulo?

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10. Reproduce las siguientes figuras en el geoplano y calcula su área. Sugerencia: define oescoge una unidad de medida de área.

a) b)

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TRIÁNGULO LADO 1 LADO 2 LADO 3 SUMA

APQ AP = PQ = AQ =MPQNPQ

11. Reproduce los siguientes polígonos con la ayuda del geoplano y responde:

a) Di qué polígonos tienen la misma área.

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b) Di qué polígonos tienen el mismo perímetro.

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13. Podrías definir una medida de área, (aprovechando la trama y el geoplano) y estimar,aproximadamente, ¿cuál es el valor del área de cada uno de los triángulos de la figura del ejer-cicio 3 de esta misma actividad?

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14. Compara las áreas de cada triángulo de la figura del ejercicio 3. ¿Qué conclusión pue-des sacar?

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15. ¿Cuánto mide la base común de estos triángulos? ¿Cuánto mide la altura común de estostriángulos?

Cálculos:

16. ¿Qué ocurre con el resultado obtenido al hacer de los lados de los diferentes trián-gulos? Justifica los resultados obtenidos.

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17. ¿Sabes que has calculado en cada caso? Justifica tu respuesta.

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TRIÁNGULO BASE COMÚN ALTURA COMÚN CALCULA

APQ

MPQ

NPQ

bxh2

bxh2

18. ¿Qué puedes concluir del cálculo de áreas de triángulos?

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19. ¿Qué pasa con el área y con el perímetro de estos tres triángulos? ¿Qué se mantiene yqué cambia?

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20. ¿Qué puedes concluir en general de la relación entre el perímetro y el área de lostriángulos?

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ACTIVIDAD 11. ACTIVIDAD INDIVIDUAL DE EVALUACIÓN

1. Coloca estas expresiones dentro de los recuadros del siguiente diagrama de forma que nosobre ni falte ninguno. No olvides que tienes que argumentar cada una de las respuestas.

Opciones: triángulo isósceles rectángulo, triángulo escaleno obtusángulo, triángulo escalenoacutángulo, triángulo isósceles, triángulo equilátero, triángulo isósceles acutángulo, triánguloescaleno, triángulo escaleno rectángulo, triángulo isósceles obtusángulo.

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Inicio

¿Tiene 1ánguloobtuso?

¿Tiene 1ángulorecto?

¿Tiene 1ánguloobtuso?

¿Tiene 3lados?

¿Tienetodos sus

ladosiguales?

¿Tiene 2lados

iguales?

¿Tiene 1ángulorecto?

Fin

No

No

No

No No

No

Si

Si

Si

Si

Si

SiSi No

2. A partir del cuadro «Tranquilidad» de Wassily Kandinsky, encuentra, si crees posible, unejemplo de cada uno de los tipos de triángulos anteriormente definidos.

– Haz una representación.– Justifica el procedimiento utilizado para demostrarlo.


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TIPO DE TRIÁNGULO REPRESENTACIÓN JUSTIFICACIÓN

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Triánguloisósceles-rectángulo

Triánguloisósceles-acutángulo

Triánguloisósceles-obtusángulo

Triángulo escaleno

Triánguloescaleno-obtusángulo

Triánguloescaleno-acutángulo

Triánguloescaleno-rectángulo



¿Por qué en la tabla no aparece el buscar tres tipos de triángulos: equilátero-acutángulo,equilátero-obtusángulo y equilátero-rectángulos? ¿Crees que se podrían encontrar en el cuadrode Kandinsky? Justifica tu respuesta.

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3. Tomando como referencia el cuadro «Tranquilidad», resuelve los siguientes interrogantes:

a. ¿Cuántos tipos de triángulos según sus ángulos identificas?

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b. ¿Utiliza algún tipo de procedimiento para comprobar a qué tipo de triángulo, según susángulos, pertenece? Justifica el procedimiento utilizado.

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c. ¿Puedes expresar el procedimiento utilizado para comprobar el tipo de triángulo según susángulos mediante signos matemáticos?

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OPCIONAL. Rellena esta tabla teniendo en cuenta las condiciones qué han de cumplir loslados y los ángulos de un polígono para que puedan ser triángulos.

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R

SEGÚN LOS ÁNGULOS

SEG

ÚN

ELN

UM

ERO

DE

LAD

OS

IGU

ALES

UN ángulo recto TODOS los ángulosagudos UN ángulo obtuso

0

2

3 Ø

ACTIVIDAD 12. ACTIVIDAD DE INVESTIGACIÓN Y JUEGOS

1. Investigación I. Encontrar figuras escondidas.

Observa bien este diseño. ¿Puedes encontrar figuras básicas escondidas?

Por ejemplo, ¡aquí hay un rectángulo!


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Propuesta de investigación:

a) ¿Cuántos triángulos distintos puedes encontrar en el diseño?

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b) ¿Puedes identificarlos según sus lados y sus ángulos?

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c) ¿Algunos de ellos se parecen?

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d) ¿Qué has considerado que son «triángulos distintos»?

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e) ¿Ves triángulos con forma diferente pero que tengan la misma área (equivalentes)?

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f) ¿Ves triángulos con la misma forma pero que tengan distinto tamaño o distinta área(semejantes)?

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g) ¿Podrías encontrar y nombrar otros polígonos que no sean triángulos?

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ARRO

LLO

CU

RRIC

ULA

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¡A investigar!


DES

ARRO

LLO

CU

RRIC

ULA

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Experiencias



2. Investigación II. Lados equivalentes en un triángulo equilátero.

Reto Individual. Dispones de estos números:

Propuesta de investigación:

a) ¿Puedes colocar estos números en los círculos marcados de forma que cada lado deltriangulo equilátero sume lo mismo que los demás lados?

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b) ¿Podríais encontrar otros seis números consecutivos que cumplan las mismas condiciones?

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c) ¿Podéis encontrar más de una colección de números que servirían para rellenar los círcu-los del triángulo equilátero?

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3. Investigación III. Juego del Sim.

¡Pierde quien forma el primer triángulo!

Juego para dos jugadores. Disponemos de estos 6 puntos que forman un hexágono regular.Los dos jugadores cogen un lápiz de color distinto cada uno.

a. En cada tirada un jugador tiene que unir dos de los seis puntos con su lápiz de color. Porejemplo, posible segmento tirada 1.


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Experiencias



Ejemplo de posible segmento tirada 2:

b. No está permitido dibujar un segmento ya dibujado.

c. Pierde el primer jugador que forma un triángulo con los tres lados de su color y que tengalos tres vértices sobre el hexágono.

Propuesta de investigación juego: pensar individualmente y luego compartir los razona-mientos con los compañeros:

d. ¿Podrías justificar que en este juego no puede haber empate? (uno de los dos jugadorestiene que perder siempre a la fuerza, porque cuando se hayan formado todos los segmentosposibles seguro que habrá un triangulo con todos los lados del mismo color).

e. ¿Sabrías encontrar un desarrollo del juego en el que durante las 14 primeras jugadas nose formara ningún triángulo con los tres lados del mismo color y a la quinceava (la última posi-ble) se formaran dos triángulos del mismo color?

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¡A JUGAR!


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Experiencias

III Taller de arte y geometria -...

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