36422-6-2005LA PROPORCIN UREAQu tienen en comn las matemticas y las flores? Aparentemente nada, pero si observamos la Naturaleza con atencin veremos que hay una proporcin numrica que se repite en muchas formas vegetales y animales. Y es que existe un nmero que rige cosas tan dispares como los ptalos de una rosa y la msica de Debussy. Es la proporcin urea, que el hombre ha descubierto en la Naturaleza y ha utilizado para la creacin esttica.

Ya en la antigedad se la bautiz como proporcin divina por sus propiedades supremas, incomprensibles y singulares. En REDES intentaremos explicar las cualidades de esta proporcin con la ayuda deMario Livio, director del instituto que gestiona el telescopio Hubble.Este astrnomo, enamorado de la combinacin de ciencia y arte, nos contar como las flores y plantas organizan sus hojas siguiendo la proporcin urea para aprovechar al mximo el espacio y la luz del sol. El valor numrico de esta razn es el llamado nmero de oro o FI, o sea, 1,618 con infinitas cifras decimales. La espiral logartmica surgida tambin a partir del este nmero es muy habitual en algunas formas de la Naturaleza como los huracanes, los cuernos del carnero, los moluscos e incluso las galaxias.El descubrimiento del nmero de oro data de la poca de la Grecia Clsica donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseos arquitectnicos y escultricos. Ms recientemente tambin ha inspirado a artistas como Dal, que incluy la proporcin urea en algunos de sus cuadros. El programa incluye varios reportajes que explican la importancia de la razn urea en disciplinas como la fotografa, el cine, la pintura o la msica.

364ENTREVISTALA PROPORCIN UREA

MARIO LIVIOMario Livio es director del instituto que gestiona el telescopio Hubble. Sus campos de inters abarcan desde los agujeros negros a la formacin de planetas. Adems es un fantico del arte y ha publicado libros acerca de la interseccin entre arte y ciencia.

Eduard Punset:Mario, voy a decirle algo a los teleespectadores.Mario Livio:Por supuesto!Eduard Punset:No estoy muy seguro de que vayan a creerme. A saber qu dirn si les sugiero que si trazo una lnea como sta... tal y como hizo el inventor de la geometra hace ms de 2000 aos... y creo aqu una proporcin, bueno, qu dirn si les digo que con esta lnea trazada hace ms de 2000 aosMario Livio:SEduard Punset:surge una proporcin que luego encontrarn en las galaxiasMario Livio:SEduard Punset:En los ptalos de las rosas, en los cuadros? E incluso en las pirmides, parece ser, aunque tal vez eso no sea cierto.Mario Livio:Es sorprendente, verdad?Eduard Punset:Increble!Mario Livio:S. Por este motivo, mis editores, cuando escrib el libro, hablaron de: el nmero ms asombroso del mundo. Es decir, resulta increble que a partir de algo tan simple como lo que has demostrado que hizo Euclides en el ao 300 a. C., se descubriera un nmero que luego aparece en las plantas, en las galaxias, en la bolsa pero eso fue lo que pas.Eduard Punset:Cul es el posible origen de esta proporcin? Era algo que estaba en la naturaleza, en las leyes fsicas, o se invent?Mario Livio:Creo que todo empez porque con las cosas que tienen que ver con la simetra pentmera, sabes? Como la estrella de cinco puntas, por ejemplo, tambin llamada pentagramaEduard Punset:PentagramaMario Livio:S. Si miras a este tipo de estrella, a todos nos gusta. La bandera de EEUU tiene 50 estrellas de este tipo Y bueno a todos los discpulos de Pitgoras les gustaba mucho esta estrella, porque les gustaba mucho el nmero cinco. El cinco era el nmero del amor, del matrimonio, etctera... y utilizaban dicha estrella como smbolo de su hermandad. Pues bien, en una estrella de este tipo, si miramos... bueno, si tomamos uno de los tringulos, y consideramos la proporcin de la longitud del lado del tringulo...Eduard Punset:SMario Livio:hasta la base del tringulo, eso es exactamente la proporcin o seccin urea. Y Cada vez que miramos un pentgono, por ejemplo, si tomamos un pentgono y trazamos una diagonal en dicho pentgonoEduard Punset:SMario Livio:la proporcin de la diagonal al lado del pentgono es la proporcin urea.Eduard Punset:1,61Mario Livio:18, s. 1,618, s, ste es el nmero de oro, la proporcin urea. Los propios griegos, para poder dibujar un pentgono o una estrella de cinco puntas tuvieron que definir esta proporcin urea, y por ello Euclides lo defini con tanta precisin, con esta lnea que dividi en dos partes.Eduard Punset:Hay una idea sorprendente, que es la serie de Fibonacci. Que es 1, 1, 2, 3, 5, 8 bueno, como sea, aadiendo los ltimos dos se consigue siempreMario Livio:El siguiente.Eduard Punset:Y esto es fantstico! Es increble! Has explicado la historia de cmo intent explicar y cmo lleg a la serie, observando conejos y por qu no nos lo cuentas?Mario Livio:Pues bien, Fibonacci vivi en el s. XIII, fue una persona muy interesante. Posiblemente el principal matemtico de su poca en Europa. Cabe recordar que, por aquel entonces, en Europa se utilizaban todava los nmeros romanos.Eduard Punset:CiertoMarioLivio:Aunque los hindes y los rabes ya utilizaban los nmeros indo-arbigos. Y de hecho adopt como misin introducir los nmeros indo-arbigos en Europa, porque calcular con nmeros romanos no era una tarea sencilla. Y escribi un libro llamado Liber Abaci en el que solucionaba muchos problemas; uno de ellos es el problema sobre los conejos que mencionas: que si encierras una pareja de conejos al cabo de un mes tendrn un conejo que a partir del mes siguiente tambin tendr nuevas cras de conejo cada mes, y quera saber cuntos conejos haba al ao, por decirlo as.Y as se obtiene la secuencia de 1, 1, 2, 3, 5, etc. En la que cada nmero, empezando por el tercero, equivale a la suma de los dos nmeros anteriores.Bueno, esto por s mismo hubiera sido tan slo una curiosidad sorprendente si no fuera porque esta misma secuenciaEduard Punset:Se aplicaMario Livio:Aparece en muchos, muchos lugares!Eduard Punset:Tales como...?Mario Livio:Como la disposicin de las hojas de las plantas, por ejemplo. Sabes? Se puede ver en las hojas de las plantas... o en los girasoles. En los girasoles, en la cabeza del girasol, se ven espirales en una direccin u otra. Y si las contramos, veramos que siempre son dos nmeros de Fibonacci, en una direccin y en la otra.Eduard Punset:O en los ptalos de las margaritas, creoMario Livio:SEduard Punset:Los he contado yo mismoMario Livio:SEduard Punset:fui al jardn, recog una margarita yMario Livio:SEduard Punset:1, 2, madre ma!Mario Livio:Lo ms interesante es que si partimos de la secuencia de Fibonacci y avanzamos lo suficiente en la secuencia, la razn de dos nmeros adyacentes cualesquiera se acerca ms y ms a la proporcin urea. As que la secuencia de Fibonacci es la proporcin urea, pero disfrazada.Eduard Punset:Disfrazada!Mario Livio:SEduard Punset:Increble!Mario Livio:Esto es lo que la hace tan fascinante: que esta frecuencia y la proporcin urea aparecen en muchsimos fenmenos reales, ya sean naturales o realizados por el hombre. Sin embargo, quiero resaltar que no hay nada especialmente misterioso en todo estoEduard Punset:Nada mgicoMario Livio:No en este nmero, no. Es decir, hay que dejar a un lado la mitologa. En realidad surge de las propiedades de los sistemas que estudiamos, que o bien presentan una simetra pentmera, por lo que siempre tienen la seccin urea, o bien es una necesidad, por ejemplo en el caso de la planta, las hojas estn dispuestas de este modo porque si estuvieran, pongamos, formando 90 grados, al acabar un giro las prximas hojas se solaparan con las anteriores, y esto no es bueno para la planta, que necesita luz, y lluvia, etctera. As que hay que encontrar el ngulo que aproveche el espacio con ms eficacia. Y resulta que este ngulo est relacionado con la proporcin urea porque as es como, matemticamente, se puedeEduard Punset:Hacer que sobreviva la hojaMario Livio:S. No es que las plantas sepan matemticas, slo que, sabes? Necesitan sobrevivir.Eduard Punset:Y qu es lo que encontr Dal en esta proporcin para incluir ese dodecaedro en su famoso cuadro el...?Mario Livio:El sacramento de la ltima cena, s. De hecho, en este cuadro Dal incluy la proporcin urea dos veces. En primer lugar, si miramos la proporcin de la longitud del cuadro con respecto a la altura, equivale a la proporcin urea.Eduard Punset:Ya veoMario Livio:Adems, pint este gran dodecaedro suspendido sobre la mesa, porque el dodecaedro, para Platn, representaba todo el universo. Y resulta que el dodecaedro est estrechamente relacionado con este nmero, 1,618...: si queremos calcular el volumen de un dodecaedro cuya longitud sea de, digamos, 1 cm., podemos expresarlo con la proporcin urea perfectamente.Eduard Punset:Tambin no?Mario Livio:S.Eduard Punset:Y qu me dices de las galaxias, de las leyes que rigen las espirales en las galaxias?Mario Livio:S, muchas galaxias tienen formas espirales, por ejemplo, detrs de ti tienes puedes ver la galaxia M51, con esta forma. Muchas galaxias, incluida la nuestra, la Va Lctea, tienen forma espiral. Esta espiral recibe el nombre de espiral logartmica: puesto que tiene la propiedad de que, en movimiento, crece de un modo concreto.Eduard Punset:Como una amonita.Mario Livio:S, se observa por ejemplo en el nautilo (nautilus pompilius)Eduard Punset:Exacto!Mario Livio:Y en muchas cosas ms se observa este tipo de forma.Eduard Punset:Qu bonito!Mario Livio:Es realmente bonito. Hubo un matemtico famoso, Bernoulli, que escribi un libro sobre esta espiral tan hermosa. Resulta que este tipo de espirales, no todas, pero las espirales logartmicas s, estn relacionadas con la proporcin urea, en el sentido de que si tomamos un rectngulo, cualquier rectngulo bueno, perdona, no cualquier rectngulo, uno cuya longitud con respecto a la anchura sea la proporcin ureaEduard Punset:Sea la proporcin ureaMario Livio:la proporcin urea: s. Y si cortamos un cuadrado, obtenemos un rectngulo ms pequeo que tambin incluye la proporcin urea. Si volvemos a cortar otro cuadrado, otro ms pequeo, sigue siendo un rectngulo ureo... etc. Si conectamos los puntos de corte, obtenemos una espiral logartmica.Eduard Punset:Ya veo Qu fantstico! Sabes? Colecciono algunos fsiles, y tengo una amonita, que es exactamente como ests diciendo. Segn evolucionan, crecen, y sus lneas son realmente hermosas. He odo que sucede lo mismo con la msica. De hecho, al parecer Pitgoras, segn cuenta la historia, estaba caminando por la calle, oy un ruido, entr a su taller y empez lo que sera el principio de la armona. Incluso en la actualidad, cuando hablo con msicos, a menudo les formulo la siguiente pregunta, les digo: Oye, cmo puede ser que esto suene bien y en cambio esto suene tan horrible? Es decir, por qu suenan bien las cosas? Tiene algo que ver tambin con la proporcin urea?Mario Livio:Que algo suene bien o mal no est directamente relacionado con la proporcin urea. Es decir, lo que al parecer descubri Pitgoras fue que a partir de frecuencias con proporciones de nmeros simples, como por ejemplo del 2 al 3, del 1 al 4 etctera obtenamos sonidos consonantes, que nos sonaban bien; mientras que las frecuencias que no estaban en proporciones de nmeros simples nos sonaban disonantes.Sin embargo, se ha sugerido que algunos compositores utilizaron la proporcin urea en su msica. Por ejemplo, se ha dicho que Bartok compuso sus obras de tal modo que si contamos los compases desde, pongamos, el inicio de la pieza y un momento en el que se produce un cambio, y luego hasta el final, el nmero de compases responde a la proporcin urea. Creo que los indicios sobre Bartok no son muy convincentes, me parecen ms convincentes las pruebas sobre Debussy.Eduard Punset:DebussyMario Livio:S. Por lo visto Debussy s lo hizo. Debussy conoca a un grupo de pintores llamados Les Nabis. Y ellos conocan la seccin urea y hablaban a menudo del tema. As que l posiblemente habl de ello. Y tambin escribi una vez una carta a su editor, y le dijo: en la obra que te he mandado, falta un comps, pero es muy importante para el nmero, para el nmero de oro. Eso dijo. As que tal vez lo utilizara en su msica.Eduard Punset:As que si los nmeros se pueden utilizar para expresar algo tan maravilloso y sofisticado como la armona de la msica, parece lgico entonces que los nmeros puedan usarse para expresar las leyes fsicas, naturales del universo.Mario Livio:Bueno, esto es lo que deca Pitgoras, fue el primero en decirlo. Segn l, todo es nmero. Y, de hecho, utilizamos las matemticas, sabes? Trabajo con el Telescopio Espacial Hubble, soy un terico que intenta explicar el universo. Y utilizamos las matemticas para explicar el universo; nos valemos de frmulas matemticas. En cierto modo, esto ha sido un misterio que muchos se han planteado a lo largo de los siglos. Desde Galileo a Eugene Wigner, todos se preguntaban: por qu tienen tanta fuerza las matemticas que, si queremos explicar el universo, si queremos explicar la bolsa, la sociologa, la msica, utilizamos para ello las matemticas? Es una pregunta muy complicada.Eduard Punset:La siguiente pregunta sera: y qu hay de la posibilidad de que las matemticas sean una mera invencin humana? Algo que solo surge de nuestra cabeza o bien se trata de algo permanente, con existencia ah fuera? Es decir, hemos inventado las matemticas o hemos descubierto los nmeros?Mario Livio:Pues bien, Galileo pensaba que las habamos descubierto. Galileo crea que las matemticas constituan el lenguaje del universo y que nicamente las descubramos en el universo. Eso crea. E, incluso hoy, hay algunos fsicos que conozco que siguen pensando que es un descubrimiento. Es un poco como cuando Michelangelo sugiri en algn momento que tal vez sus esculturas ya estaban all, que l las descubra al retirar la piedra. Por otro lado, hay quien piensa que las matemticas son ntegramente una invencin de la mente humana, y que no existen fuera del cerebro humano. Pero entonces la pregunta es: muy bien, y por qu funcionan tan bien? Bueno, esta gente te dira que funcionan bien porque lo que sucede es que los matemticos inventan teoras matemticas y los fsicos, por as decirlo, escogen entre dichas teoras las que funcionan, y las mejoran continuamente. As que es algo parecido a una seleccin natural de ideas en lugar de especies, entiendes?Eduard Punset:ClaroMario Livio:Tal vez sa sea la respuesta. Pero yo creo que la respuesta se inscribe en algn punto entre estos dos extremos.Eduard Punset:En medio, no?Mario Livio:S. Yo creo que hemos inventado las matemticas. Pero creo que hemos inventado un tipo especfico de matemticas que encaja con nuestra percepcin del universo, es decir: se nos da bien ver lneas rectas, bordes, etc.Eduard Punset:CubosMario Livio:Exacto. Creo que es lo que condujo a Euclides a inventar los axiomas especficos de la geometra que invent. Si hubiramos tenido, por ejemplo, visin infrarroja, y todo se nos apareciera algo borroso, tal vez habramos inventado un tipo distinto de matemticas porque, sabes? Hoy en da sabemos que el conjunto de axiomas de Euclides no es el nico conjunto posible.Eduard Punset:NoMario Livio:Se puede inventar una geometra riemanniana, una geometra lobachevskiana, otros tipos de geometra. Por qu invent Euclides este tipo especfico? Creo que tiene que ver con el modo en el que percibimos la naturaleza.Eduard Punset:As que cuando trabajas con el telescopio Hubble, observando el universo, si quisieras decirle a alguien en el otro extremo del universo quin eres y qu haces, tal vez sera til mandarle el nmero 1.6 la proporcin urea.Mario Livio:Tal vez, pero no est muy claro que funcionara. Si resulta que otras civilizaciones inteligentes, en caso de existir, han logrado llegar al mismo tipo de matemticas que tenemos nosotros, con el mismo tipo de axiomas geomtricos, etc. lo cual no es imposible; pues si tambin viven en un planeta de baja gravedad como nosotros, tal vez lo hayan hecho bueno, pues entonces si les mandamos 1.618 etc. tal vez puedan reconocerlo como la proporcin urea. Pero quiz no. Quiz han llegado a unas matemticas muy distintas.Eduard Punset:Seguramente no lo entiendan. Seguramente tengan otra concepcin muy distinta del universo.Y me parece una coincidencia, una coincidencia muy extraa, algo que mencionas en el libro. Porque, por supuesto, esto te lleva a hablar del origen de los nmeros y las proporciones. Sostienes (corrgeme si me equivoco) que la mente de los hombres primitivos, nuestros antepasados, posiblemente funcionaba simplemente por contrastes. Vean un lobo, uno solo, y lo distinguan perfectamente de una manada de lobos; establecan un contraste entre uno y una manada. Y tuvo que pasar mucho tiempo para que empezaran a concebir semejanzas entreMario Livio:Exacto.Eduard Punset: Dos brazosMario Livio:S.Eduard Punset:Dos piernasMario Livio:Eso mismo. Es casi seguro que fue as. Al principio se trataba de pura supervivencia. Queran saber: estoy viendo un len aqu, o diez leones, muchos leones? Bueno, diez no, no utilizaban el diez: uno o muchos leones. Queran establecer este contraste. Pero, con el tiempo, empezaron a entender que tanto si hablamos de dos manos, de dos estrellas, de dos lobos, de dos cosas cualesquiera... en realidad todo son manifestaciones de lo mismo: del nmero dos.Eduard Punset:SMario Livio:Fue necesario un cerebro mucho ms avanzado para entender que todas estas cosas distintas eran en realidad el nmero dos. Y el dos fue fcil, relativamente, porque miraban al resto de personas y tambin tenan dos manos, dos senos, dos ojos, etctera... As que es probable que lo primero que aprendieran fuera uno, dos, y luego muchos.Eduard Punset:Claro! Antes de pasar al tresMario Livio:Exacto, al cuatro, etc.Eduard Punset:Hay un neurocientfico que abord la prehistoria del cerebro, y afirm algo muy parecido a lo que comentas, desde otra ptica, dijo que se tard mucho, no slo aos, sino millones de aos, tal vez, en que la gente alcanzara esa capacidad metafricaMario Livio:ExactoEduard Punset:La capacidad de juntar una cosa con otraMario Livio:Tal cual, tal cual.Eduard Punset:y ver dos.Mario Livio:S, es exactamente lo mismo, es lo que quiero decir: entender que dos manos o dos perros representan ambos al nmero dos.Eduard Punset:Eso es. Has mencionado el 10, hace unos segundos. Sabes? Para nosotros, y estoy seguro que al pblico le pasa lo mismo, resulta inconcebible que no todo el mundo haya utilizado el 10 como base. Nosotros decimos que diez unos son diez; diez dieces, cien...Mario Livio:ClaroEduard Punset:10 veces 100: 1000.Mario Livio:CiertoEduard Punset:Pero muchas civilizaciones han funcionado de un modo muy distinto, no?Mario Livio:Ciertamente. Nosotros utilizamos el 10 porque tenemos 10 dedos. Es algo obvio, no? Cuando la gente empez a querer contar lo hicieron con los dedos de las manos. Pero tambin haba quien utilizaba tambin los dedos de los pies, por lo que usaban el 20.Eduard Punset:El 20Mario Livio:En francs, 80 se dice quatre-vingts. Es decir: cuatro-veintes. Y en Europa occidental, el 20 se usaba bastante. Hubo otras civilizaciones que tomaban como base el 5. Los antiguos babilonios utilizaban el 60. El 60 resulta algo desconcertante. Pero seguimos usndolo! Por ejemplo en los 60 minutos que forman la hora.Eduard Punset:Cierto!Mario Livio:Seguimos utilizando el 60 para medir ngulos, los ngulos de un crculo etc... Cmo llegaron al 60? El 60 es muy raro, si nos paramos a pensarlo. La respuesta que ms me convence es que fue una mezcla de dos civilizaciones: una que tal vez utilizaba el 5; y la otra el 12. Los que utilizaban el doce, lo hacan porque contaban as: consideraban que cada dedo tena tres partes, y lo contaban de este modo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 12.Eduard Punset:Ya veoMario Livio:As que una civilizacin utilizaba el 12, la otra el 5, y al combinarse llegaron al 60. 12 por 5 equivale a 60.

Eduard Punset:Seguramente no lo entiendan. Seguramente tengan otra concepcin muy distinta del universo. Por qu no retomamos ahora este tema tan fascinante de los nmeros adorados y odiados, los famosos nmeros secretos? La gente sigue creyendo en ellos Creo que en tu libro dices, o bueno, se menciona que Ronald y Nancy Reagan se mudaronMario Livio:SEduard Punset: porque vivan en el nmero 6Mario Livio:666. S. La numerologa siempre ha tenido mucha fuerza y sigue tenindola. Sin duda empez con Pitgoras y sus discpulos. Asignaron cualidades a los nmeros. Por ejemplo, pensaban que todos los nmeros impares eran masculinos y buenos. En cambio, con bastantes prejuicios, crean que los nmeros pares eran femeninos y malos. Pero fueron ms all y les asignaron propiedades a los nmeros individuales. Por ejemplo, el nmero cinco era para ellos el nmero del amor y el matrimonio porque era la unin del dos, que era el primer nmero par, con el tres, que para ellos era el primer nmero impar, puesto que no consideraban que el uno fuera un nmero. Y como era la unin de lo femenino y lo masculino afirmaron que era el nmero del amor y del matrimonio.Y luego, por supuesto, a lo largo de la historia, la Kabbalah invent algo llamado Gematria donde asignaban valores numricos a las letras del alfabeto y entonces analizaban distintos nombres, y vean cunto eran numricamente, si significaban algo y dems Y la gente, en cierto modo, sigue haciendo lo mismo.Eduard Punset:Estoy dispuesto a aceptar que no es mgico, pero sigo encontrndolo en cierto modo misterioso. Y creo que dijiste en este maravilloso libro sobre la proporcin urea que, al final, lo que lo hace tan popular es el elemento de sorpresa. ApareceMario Livio:Donde menos lo esperas.Eduard Punset:Donde menos lo esperas. Incluso en los almanaques. Al parecer si consultas un listado de datos de Nueva York o Los Angeles, vers que el nmero uno aparece con un ritmo implacable, alrededor de un 30% de las veces. Es cierto?Mario Livio:S, s. Esto se conoce como la Ley de Bendford. Si se toma un conjunto arbitrario de nmeros como, veamos todos los nmeros que aparecen en el peridico durante un mes se ve que bueno, uno podra esperar que los nmeros fueran de tal modo que cada dgito apareciera en primer lugar con la misma frecuencia, que se encontraran unos, y doses, y treses, y nueves, y sietes pero resulta que no es as; que el uno aparece mucho ms que el dos y ms que el tres, y as Se trata de algo sorprendente cuando lo ves por primera vez, pero es cierto. De hecho un matemtico de Georgia Tech, Ted Hill, incluso demostr el motivo hace unos aos. Durante aos no haba estado nada claro por qu suceda, pero logr demostrarlo.