Lecc 1ªGeometría

Lecc 1ª GeometríaLecc 2ª RectaLecc 3 ª SegmentoLecc 4 ª Operaciones con SegmentosLecc 5ª El PlanoLecc 6ª ¿Porqué decimos que tres puntos no situados en la misma recta determinan un solo plano?Lecc 7ª Semiplano - Líneas ParalelasLecc 8ª Rectas PerpendicularesLecc 9ª Rectas Secantes - Líneas Convergentes - Líneas Divergentes - Rectas que se cruzanLecc 10ª Planos Paralelos - Planos PerpendicularesLecc 11ª ÁngulosLecc 12 ª Ángulos (Continuación)Lecc 13 ª Operaciones Aritméticas con los ÁngulosLecc 14 ª Ángulos determinado por Rectas Paralelas cortadas po una SecanteLecc 15 ª Ángulos de lados Paralelos - Ángulo de lados Perpendiculares- Bisectriz de un ánguloLecc 16 ª Polígonos - Partes de un Polígono - Clases de PolígonosLecc 17ª ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un Polígono Regular?Lecc 18 ª Ángulo exterior de un PolígonoLecc 19 ª Triángulo - Igualdad de TriángulosLecc 20 ª Clasificación de los Triángulo según sus lados.Lecc 21ª Clasificación de los Triángulos según sus ángulos - Relación entre los ángulos y los lados de los triángulos.Lecc 22ª Mediatriz de un Triángulo - CircucentroLecc 23 ª Bisectrices de un Triángulo - Incentro - Altura de un Triángulo - Ortocentro - Mediana - Baricentro - Baricentro y Gravedad.Lecc 24 ª Distancias del Baricentro a cada vérticeLecc 25ª Distancias del Baricentro a cada vértice (Continuación)Lecc 26ª Cuadriláteros.- Clasificación de los Cuadriláteros.Lecc 27 ª Cuadriláteros -Clasificación de los Cuadriláteros.Lecc 28 ª El Trapecio - Trapezoide - Simetría y eje de simetríaLecc 29 ª Simetría y eje de SimetríaLecc 30 ª Figuras SimétricasLecc 31 ª Figuras CongruentesLecc 32 ª Asimetría - Trapezoides - Trapezoide AsimétricoLecc 33 ª CircunferenciaLecc 34 ª Cálculo de la longitud de una circunferenciaLecc 35 ª-Fórmula para el cálculo de la longitud de una Circunferencia

- Elementos de una Circunferencia

Lecc 36 ª Posiciones relativas de un punto respecto a una CircunferenciaLecc 37 ª Posiciones relativas de dos CircunferenciasLecc 38 ª Calcular la longitud de un arco de CircunferenciaLecc 39 ª RadiánLecc 40 ª ¿Cuántos radianes tiene una circunferencia?Lecc 41 ª Los Ángulos en la circunferencia

Lecc 42 ª Los Ángulos en la circunferencia (Cont.)Lecc 43 ª Los Ángulos en la circunferencia (Cont.)Lecc 44 ª Lugar GeométricoLecc 45 ª-Arco capaz de un Segmento

-Potencia de un Punto

Lecc 46 ª-Segmentos Proporcionales

-Teorema de Thales de Mileto

Lecc 47 ª-Razón de Semejanza

-Semejanza de Polígonos

Lecc 48 ª Semejanza de Polígonos (Cont.)Lecc 49 ª Escalas y Fórmulas de las EscalasLecc 50 ª-Mapas

-Los mapas de Google

-Perímetro

GEOMETRÍA

La palabra Geometría procede de dos palabras griegas que son:geo que significa tierra y metron que significa medida. La unión de

ambas palabras – geometría – significa medida de la tierra.

Hace más de 2000 años los egipcios que vivían en las orillas del río Nilo y se dedicaban a la agricultura, tenían problemas con las crecidas que este río provocaba. Cuando las aguas del Nilo inundaban las tierras y al retirarse dejaban sustancias que enriquecían los campos para futuras cosechas, producía también un problema, y es que borraba las señales de los límites de los campos.Cada agricultor tenía señalada en el suelo las medidas de sus terrenos. Cuando las aguas se retiraban y borraban las señales, se volvían a medir las tierras. Los encargados de hacer las nuevas mediciones eran los agrimensores. La palabra agrimensor significa: encargado de medir la tierra.

¿DE QUÉ SE OCUPA LA GEOMETRÍA?Como ni estamos en Egipto ni nos dedicamos, por ahora, a la agricultura, es lógico que hoy, la Geometría se ocupe del estudio de algo más que de medir terrenos. La Geometría que es una rama de las Matemáticas estudia: los puntos geométricos, rectas, planos, curvas, polígonos, poliedros, superficies, volúmenes, etc.Comenzamos el estudio de la Geometría por el:

PUNTO GEOMÉTRICO¿Qué es un punto geométrico?El punto es la parte, el elemento, la cosa más simple y una de las más importantes de la Geometría.Un punto no tiene medidas, es decir, no puedes medir su anchura o largura. Solo apreciamos el lugar donde se encuentra.Imagina que tienes un papel sobre la mesa y dejas caer el bolígrafo de punta. Al impactar contra el papel deja una pequeña señal y cuando nos referimos a ella, hablamos de punto.

Es costumbre representarlo por una cruz y a un lado la letra por la que le identificamos

Ejemplos:

El lugar donde se cortan o se juntan las rectas es el punto (en color rojo que para lograr verlo hemos de ampliar la imagen) y las hemos

representado con las letras A y B. Las denominamos: punto A y punto B.Cuando hablamos de intersección de dos o más líneas nos referimos a las líneas que se cortan. La palabra intersección procede de dos palabras latinas: inter que significa entre ysectio que significa corte.

RECTA

La recta es un conjunto de puntos colocados unos detrás de otros en la misma dirección. La línea recta no tiene principio ni fin. Cuando dibujamos una línea recta, en realidad, representamos una parte de ella. Unas veces la representamos con dos letras mayúsculas que se refieren a dos de sus puntos, o bien, con una letra minúscula:

Toma un trozo de hilo por los extremos, cada uno con una mano y ténsalo fuerte. De este modo obtienes una recta.La recta es la distancia más corta entre dos puntos.

SEMIRRECTACuando en una recta señalas un punto, a cada uno de los tramos a ambos lados de la misma llamamos semirrecta:

Como puedes observar, la recta que pasa por el punto A ha quedado dividida en dos partes representadas por las semirrectas m y n.Podemos decir que una semirrecta es parte de una recta que tiene principio u origen y no tiene fin. Las semirrectas m y n, tienen origen en A.

A la primera semirrecta la podemos representar:

A la segunda semirrecta la representamos:

Las dos semirrectas de una misma recta siempre son opuestas y además tienen el mismo origen. Las puntas de flecha nos indican que tienen sentidos OPUESTOS o CONTRARIOS, la semirrecta m tiene sentido hacia la izquierda y la semirrecta n tiene sentido hacia la derecha.

15.1 Si en una recta señalas un punto ¿en cuántas partes queda dividida la recta? ¿cómo se llaman cada una de las partes?

Respuesta: a) En dos partes b) semirrectas.

15.2 En el ejercicio anterior ¿tienen algún punto en común las semirrectas?

Respuesta: Sí, el punto que hemos fijado.

15.3 ¿El punto común de dos semirrectas es principio de una y final de otra?

Respuesta: No. Es principio de ambas.

SEGMENTO

Si sobre una recta señalas dos puntos, el trozo de esa recta llamamos segmentoEn la figura siguiente tienes la recta r sobre la que hemos señalado dos puntos A y B. Al trozo de recta entre A y Bllamamos segmento.

Cuando veas la notación se refiere al segmento existente entre A y B. Casi siempre, a los segmentos los designamos con letras mayúsculas.

15.4 Si en una recta fijas dos puntos ¿en cuántas partes has dividido a la recta?

Respuesta: En tres partes.

15.5 ¿Cuántas semirrectas y cuántos segmentos creamos al fijar dos puntos en una recta?

Respuesta: 2 semirrectas y un segmento.

Solución:En la figura que tienes a continuación puedes ver:

1) Los puntos A y B.2) Las semirrectas m y n3) El segmento AB

Las semirrectas m y n tienen principio u origen pero no tienen fin.La porción de recta (en color rojo) comprendida entre los puntosA y B es un segmento.

15.6 Si decimos que una semirrecta tiene un origen, el final ¿dónde se encuentra?

Respuesta: En el infinito, no tiene límite. 15.7 Dos semirrectas ¿pueden tener un punto común?

Respuesta: Sí, el punto origen de ambas.

15.8 ¿Cuántos puntos necesito para trazar una recta que los incluya?

Respuesta: Dos puntos.

15.9 ¿Existe alguna diferencia entre recta y semirrecta?

Respuesta: Sí, la recta no tiene ni principio ni fin, la semirrecta aunque tampoco tiene fin, sí tiene un origen.

15.10 Si unimos dos semirrectas opuestas ¿qué resultado obtenemos?Respuesta: La recta.

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Sumar:Para sumar segmentos, los colocamos uno a continuación de otro, sobre la misma recta, es decir, agregamos un segmento al siguiente y el valor de la suma será la longitud total obtenida.Supongamos que tenemos los segmentos:

tal como los tienes en la figura siguiente.

Los colocamos sobre una recta, uno a continuación de otro, tal como ves en la figura que tienes a continuación y la suma de los

tres segmentos será el segmento

Supongamos que tenemos 3 segmentos que miden 2, 3 y 6 cm., y los colocamos sobre una misma línea, uno a continuación de otro. Obtendremos un segmento de 11 cm:

El resultado gráfico será:

Restar:Para restar dos segmentos puedes llevarlos a ambos sobre la misma línea haciendo coincidir uno de los extremos de los dos. El segmento sobrante, será la diferencia.

Tengo 2 segmentos de 2 y 5 cm., respectivamente:

Los llevo sobre la recta r haciendo coincidir los extremos A y C:

La diferencia nos vendrá dada por el segmento que medirá 3 cm.

Multiplicar:En esta operación aritmética estudiamos el producto de un número natural por el valor de un segmento.Consiste en sumar tantos segmentos iguales como unidades tiene el número natural.

En la figura siguiente tienes un segmento de 2 cm., que lo multiplicamos por el número 4 que es un número entero y positivo.Sobre la recta r colocamos este segmento, uno a continuación de otro, tantas veces como unidades tiene el número natural, en nuestro caso, 4.

La longitud del segmento resultante será el valor del producto, es decir, 8 cm.

Dividir:En esta operación aritmética estudiamos el cociente del valor de un segmento entre un número natural. El cociente que obtengamos será valor del segmento que nos piden. En realidad, se trata de la operación inversa a la que hemos realizado en el producto.

Supongamos que nos dan el valor del segmento que es de 12 cm. y nos dicen que lo dividamos entre el número natural 4:

Si dividimos 12 entre 4 obtendremos que el segmento que ha sido multiplicado por 4 vale 3 cm.

El resultado de la división de un segmento de 12 cm., entre 4 será un segmento que mide 3 cm.

15.11 Haciendo uso de una regla realiza el producto: sabiendo que el segmento que el segmento es igual a 2 cm.

Respuesta: 10 cm

EL PLANO

Si en este momento estás leyendo lo que está escrito en esta página, es que miras a la pantalla del ordenador. Te habrás fijado que la pantalla es una superficie lisa, llana, plana,…lo mismo que la tapa de tu pupitre, el cristal de tu ventana, etc.Todos estos ejemplos representan el plano.

El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho:

En el plano podemos dibujar puntos, líneas, etc. Debes tener presente:a) Entre dos puntos sólo existe una recta.

b) Por un punto pueden pasar infinitas rectas:

Por el punto P pasan cuantas rectas desees.

A tener en cuenta:a) Si sobre un plano o superficie plana dibujas una recta, todos sus puntos están contenidos en dicho plano o superficie plana.b) Un plano puede contener infinitas rectas.

c) Por una recta pueden pasar infinitos planos:

Por la recta r (en color negro) pueden pasar infinitos planos.

TRES PUNTOS NO SITUADOS EN LÍNEA RECTA DETERMINAN UN PLANO:

Casi siempre que nos referimos a un plano o superficie plana nos imaginamos 4 esquinas o vértices. La realidad es un poco distinta, para definir o determinar un plano nos es suficiente con tres puntos que no estén en la misma recta:

Los puntos A, B y C no están en la misma recta, aunque 2 de ellos sí lo están. Siempre que los tres puntos no se encuentren en la misma recta, al unirlos, crearemos un plano, y solamente uno:

Si la figura te parece como parte de un plano no importa, siempre será un plano.

¿POR QUÉ DECIMOS QUE TRES PUNTOS NO SITUADOS EN LA MISMA RECTA DETERMINAN UN SOLO PLANO?

La contestación la encuentras en tu casa seguramente. Una silla que tiene 4 patas, puede determinar 2 planos, incluso más. Es suficiente que una de las patas sea un poco más larga o más corta que las demás.

Dado que las patas no están situadas en la misma recta determinan, en el caso de que una sola de las patas sea de distinta longitud, dos planos.

¿Cómo lo puedes comprobar? Observarás que una de las patas no toca el suelo y al sentarte sobre ella y moverte, notarás un pequeño vaivén que se produce al pasar del contacto de tres patas al contacto de tres pero una de ellas distinta al caso anterior.

Supongamos que el punto de contacto de las patas de la silla con el suelo sean los puntos A, B, C y D.

Vamos a suponer que la pata correspondiente al punto B no tenga la misma longitud, que sea más corta que las otras tres que miden igual.Verás que cuando haces apoyar esta pata, crearás un plano con los punto A, B y C (recuerda que 3 puntos no situados en línea recta determinan un plano).

El punto D corresponderá a otro plano, por eso no hace contacto con el suelo.

Si ahora haces apoyar la pata correspondiente al punto Dcrearás el plano A, C y D.

Diremos que la silla “cojea” al pasar de un plano a otro.

En la siguiente figura verás los dos planos en distintos colores:

TRES PUNTOS SIEMPRE DETERMINAN UN SOLO PLANONo olvides que tres puntos no situados en línea recta determinan un solo plano aunque las patas no tengan la misma longitud o el suelo no sea plano.

Puedes hacer la prueba con tres dedos de tu mano puestos verticales y separados. Coloca un libro sobre ellos y notarás que no se cae. Los tres dedos son los tres puntos que determinan un plano.

Es importante cuanto se relaciona con objetos que tienen tres patas, tres pies, etc., que los llamamos trípodes (tri tanto en griego como en latín significa tres y podo que significa pie). Estos objetos se utilizan como soporte de aparatos que se usan para múltiples usos de precisión.

A continuación tienes una fotografía de un trípode:

Cuando se necesitan ciertos tipos de fotografías, el trípode se utiliza para colocar la cámara sobre ella. Estaremos seguros que no tendrá ningún movimiento porque los tres puntos de apoyo determinan un solo plano.Otro aparato que necesita de trípode es el teodolito(instrumento que sirve para mediciones de mucha precisión a distancia) que puedes apreciar en la siguiente figura. Se trata de un teodolito muy antiguo. Apreciarás que descansa sobre tres puntos. Aunque el suelo no sea liso, tres puntos determinan un plano.

En las otras dos fotografías, teodolitos más modernos siendo usados en medición de terrenos:

SEMIPLANO

Una recta trazada en un plano, le divide a éste en dos semiplanos, lógicamente las partes no es necesario que sean iguales:

La recta r ha creado dos semiplanos.

A cada zona en la que ha sido dividido el plano se le puede llamar región, porción de plano, banda, además de semiplano.A la recta que divide a un plano en dos regiones o semiplanos se la conoce también con el nombre de frontera o recta frontera.

15.12 Una recta y un punto fuera de ella ¿pueden definir un plano? ¿Por qué?Respuesta: Sí. Porque dos puntos de la recta y un tercer punto no contenido en ella, determinan 1 plano (tres puntos no situados en línea recta determinan un plano).

15.13 Un punto situado en un plano ¿ocupará siempre alguna de las dos regiones o semiplanos?

Respuesta: No, el punto puede estar situado en la recta que divide al plano.

15.14 Dos puntos situados en dos semiplanos ¿qué determinan?Dibuja.

Respuesta: Un segmento (tiene principio y fin).

15.15 ¿Puedes asegurar que cualquier segmento que une dos puntos situados en distintas regiones de un plano cortarán a la recta frontera o la recta de división?

Respuesta: Sí.

15.16 Si dos puntos estuviesen en el mismo semiplano, el segmento que los une ¿puede llegar a cortar a la recta de frontera?Comprueba dibujando.

Respuesta: No.

Dibujo:

LÍNEAS PARALELAS

Las líneas que situadas en el mismo plano no se tocan por mucho que las prolonguemos son líneas paralelas:

Las rectas A y B son paralelas. Las vías del tren son paralelas. En todos los puntos, las distancias entre ambas líneas es siempre la misma.

15.17 Si tienes una recta y un punto no perteneciente a esta recta ¿cuántas rectas paralelas a la recta anterior pueden pasar por dicho punto? Contesta después de haberlo comprobado con un dibujo.

Respuesta: Solamente una recta que sea paralela a la dada.

RECTAS PERPENDICULARES

Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales.Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.

COMO DIBUJAR CON REGLA Y COMPÁS DOS RECTAS PERPENDICULARES:Antes de comenzar a desarrollar lo propuesto en este apartado vamos a recordarte ¿qué entendemos por arco?

Arco: Es una parte, una porción, un trozo comprendido entre dos puntos de una circunferencia:

La curva comprendida entre los puntos A y B (en color rojo) de la circunferencia, es la parte o porción de la misma que llamamos arco.

Veamos como lo hacemos en 4 pasos:

En la figura siguiente tenemos el segmento y con un radio un poco mayor que la mitad del segmento y haciendo centro enA trazamos dos arcos como los tienes dibujados a continuación:

Con el mismo radio y haciendo centro en B trazas otros dos arcos que se cortan en C y D quedándote:

Ahora unes los puntos de intersección de los arcos, puntos C yD,

con una recta y ésta, será perpendicular al segmento

En el caso que te dijeran que trazaras una perpendicular a un segmento desde un punto concreto, por ejemplo:

Como ves, se trata de trazar una perpendicular al segmento desde el punto P.

Tomas el compás y con un radio capaz de cortar al

segmento en dos puntos C y D trazas el arco correspondiente:

Volvemos a hacer uso del compás, hacemos centro en C y D con

un radio algo mayor de la mitad del segmento y trazamos los dos arcos que tienes a continuación cuyo punto de intersección es el punto E:

Ahora sólo nos falta unir los puntos E y P. La recta que une

ambos puntos es perpendicular a :

Ahora vamos a estudiar como trazar sirviéndonos con regla y compás una perpendicular a un segmento, pero por uno de sus extremos.

En primer dibujamos el segmento

Con un compás y haciendo centro en A, que será el punto de intersección con la perpendicular que trazaremos después, con un radio cualquiera (este radio lo usarás varias veces) trazamos un arco:

Ahora, con centro en C, y con el mismo radio trazamos otro arco:

Los arcos que hemos dibujado se han cortado en D.

Con el mismo radio, y con centro en D, trazamos el arco siguiente:

Con el mismo radio y centro en E dibujamos el arco que ves en la figura siguiente:

Por último, no tienes más que unir los puntos A y F para obtener

la perpendicular al segmento en el origen A:

Ejercicio: Trata de dibujar, con regla y compás, los ejemplos que se te han explicado sobre el trazado de líneas perpendiculares.

15.18 Si trazas varias rectas perpendiculares a otra dada ¿cómo son entre sí las rectas que has dibujado? Dibújalas.

Respuesta: Paralelas.

Las rectas m, n, r y s son paralelas entre sí y perpendiculares a la recta t.

RECTAS SECANTES

Son las que situadas en un plano se cortan en un punto.

Las rectas A y B de la siguiente figura se cortan en el punto C. Estas rectas se dice también que son concurrentes oconvergentes que significa que tienden a unirse o que la distancia entre ellas se va haciendo menor hasta cortarse en un punto

LÍNEAS CONVERGENTES

Son las que saliendo de dos puntos del mismo plano, a medida que avanzan se juntan en un punto dado:

Como ves, las rectas han salido de los puntos A y B y si se prolongan, se juntarán en C.

LÍNEAS DIVERGENTES

Son las que saliendo del mismo punto, a medida que avanzan se van separando una de otra:

Divergir o separarse es lo contrario de convergir.

15.19 ¿Dos rectas convergentes pueden llegar a cortarse?

Respuesta: Sí, siempre que se las alarguen convenientemente.

15.20 Dos o más rectas secantes ¿podemos decir que son convergentes?Respuesta: Sí, porque las rectas secantes se cortan y por ello han convergir, dirigirse a un punto.

RECTAS QUE SE CRUZAN

Las rectas que se cruzan están en distintos planos y por lo que no tienen ningún punto en común. Nunca se encuentran.

Las rectas que tienes a la izquierda en color azul están situadas en planos diferentes y comprobarás que no tienen, por mucho que se prolonguen, ningún punto en común

En la fotografía de la derecha puedes ver una autovía sobre una carretera y un río.

La autovía está en un plano superior a la carretera y el río.También la carretera y el río están en planos diferentes.

Las líneas pintadas en blanco del centro de la carretera y de la autovía se cruzan.

Puedes observar en la fotografía de la página siguiente uno de los puentes más largos y más altos del mundo que se encuentra en el sur de Francia, se trata del Viaducto de Millau en Aveyron de 2460 metros de longitud, una anchura de 32 metros y una altura de 270 metros aunque desde el suelo hasta la parte alta de los postes hay 350 metros.

Puedes ver las distintas líneas que forman el río Tarn y muchas pequeñas carreteras, cada una en un plano distinto. Estas líneas y la calzada de la autovía de 6 carriles, se cruzan.

PLANOS PARALELOS

Dos planos son paralelos cuando no tienen ningún punto en común y siempre se mantienen a la misma distancia.

PLANOS PERPENDICULARES

Dos planos son perpendiculares entre sí cuando una recta contenida en uno de ellos es perpendicular a otra recta contenida en el otro.

Las semirrectas que forman los bordes de los dos planos A y B en las dos figuras que tienes a continuación, son perpendiculares, luego los planos que contienen a dichas semirrectas también lo serán y la INTERSECCIÓN de los dos planos crea una recta:

A la izquierda tienes dos planos perpendiculares y en color gris la recta de intersección de los dos planos

También en gris la línea de intersección de los planos A y B que se cortan

13. 21 ¿Cuántos planos ves en la habitación de la fotografía siguiente?

Respuesta: 4 planos

Solución:

A los planos que vemos los hemos numerado:

Se tratan de los planos: techo, suelo, pared frontal, tabique derecho. No vemos el tabique izquierdo ni el que tenemos a nuestra espalda.

13.22 ¿Puedes indicar dos rectas que se CRUZAN en la habitación de la fotografía siguiente?

Solución:

Con una línea gruesa de color rojo hemos trazado las rectas que se cruzan:

Ambas rectas formadas por la intersección de planos, pertenecen, la que está en el techo a los planos del techo y

pared izquierda y la que se encuentra en el suelo corresponde al plano del suelo y a plano de la pared derecha.

ÁNGULO

Ángulo, palabra que procede del latín angulus y significa rincón, ángulo, es la parte de un plano que está limitado por dos semirrectas que tienen el mismo origen al que le llamamosvértice.

En la figura vemos que ángulo, es la parte del plano (en verde) comprendida entre dos semirrectas r y s. No hablamos de rectas sino de semirrectas, porque éstas tienen origen o principio y no tienen fin. Si tuvieran fin hablaríamos de segmentos.

Los ángulos, según el espacio que abarcan sus lados pueden ser:

RECTOS: Los que valen 90º:

AGUDOS: Los que valen menos de 90º:

OBTUSOS: Los que valen más de 90º:

ÁNGULO LLANO:

El ángulo LLANO equivale a dos ángulos rectos o 180º

ÁNGULO CONVEXO

Los ángulos CONVEXOS valen menos de 180º o menos que un ángulo LLANO.

ÁNGULO CÓNCAVO

Los ángulos CÓNCAVOS valen más de un ángulo LLANO o 180º

Ejercicios de repaso:

15.23 ¿Cuántos planos se pueden trazar por un punto?

Respuesta: Ninguno. Necesitamos una recta.

15.24 ¿Cuántos planos se pueden trazar por dos puntos?

Respuesta: Infinitos porque dos puntos definen una recta y por una recta puedo trazar infinitos planos.

15.25 ¿Cuántas rectas puedo trazar por dos puntos?

Respuesta: Una recta. Dos puntos definen una recta.

15.26 ¿Puede una recta pertenecer a dos planos que se cortan?

Respuesta: Sí. La recta de intersección de dos planos que se cortan pertenece a ambos.

ÁNGULOS

DOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos se dice que son complementarios cuando sumados valen un recto o 90º

DOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de ambos vale dos rectos, un llano o 180º.

ÁNGULOS ADYACENTES Dos ángulos son adyacentes, contiguos o consecutivos los que están situados, uno a continuación del otro de manera que un lado es común (el mismo) para los dos ángulos y los otros dos lados pertenecen a una misma recta y la suma de sus ángulos vale 180º:

Estos dos ángulos son contiguos, uno pegado al otro, pero no son adyacentes porque aunque tengan el lado OB común, los otros dos lados no corresponden a la misma recta, y además, la suma de sus ángulos no suman 180º:

Estos ángulos son adyacentes porque tienen el lado OB común a los dos ángulos y los otros dos lados pertenecen a la misma recta y la suma de ambos ángulos equivale al valor del ángulo llano.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICEDos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas de los lados del otro.

Los lados son las semirrectas de .

En cambio, los lados no son semirrectas de

15.27 ¿Cuánto vale el complemento de un ángulo de 64º?

Respuesta: 35º

Solución: Cuando la suma de dos ángulos da 90º decimos que son complementarios. Si uno de ellos vale 64º el otro será igual a: 90º- 64º = 35º

15.28 ¿Cuál es el suplemento de un ángulo de 150º?

Respuesta: 30º

Solución:Sabemos que la suma de los ángulos suplementarios vale 180º. Si uno de ellos vale 150º, el otro valdrá: 180-150 = 30º

15.29 Si un ángulo vale 50º ¿Cuánto vale su suplementario?

Respuesta: 130º

15.30 ¿Cuál es el suplemento de 150º 40’?

Respuesta: 29º 20’

Solución:180º puedo escribir como: 179º 60’ porque 60’ equivale a un grado y de este modo puedo restar los minutos de los minutos y los grados de los grados: 179º 60’-150º 40’ = 29º 20’

15.31 ¿Cuál es el complemento de 29º 32’?

Respuesta: 60º 28’

Solución:90º puedo escribirlo: 89º 60’ y de este modo resto minutos con minutos y grados con grados: 89º 60’-29º 32’ = 60º 28’

15.32 ¿Cuál es el complemento de 29º 32’ 55’’?

Respuesta: 60º 27’ 5’’

Solución:90º puedo escribirlo: 89º 59’ 60’’ ya que un minuto tiene 60 segundos y de este modo resto segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados: 89º 59’ 60’’-29º 32’ 55’’ = 60º 27’ 05’’

15.33 ¿Cuál es el suplemento de 114º 12’ 30’’?

Respuesta: 65º 47’ 30’’

Solución:180º puedo escribir como: 179º 59’ 60’ porque 60’’ equivale a un minuto y de este modo puedo restar los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y los grados de los grados: 179º 59’ 60’’-114º 12’ 30’’ = 65º 47’ 30’’

15.34 Un ángulo vale 129º ¿cuánto vale su adyacente?. Dibújalo.

Respuesta: 51º

Solución:Los ángulos adyacentes (que están seguidos, contiguos y que sumados nos dan 180º):

15.35 Un ángulo vale 129º ¿cuánto le falta para convertirse en un ángulo llano?

Respuesta: 51º

Solución:Llamamos ángulo llano al que vale 180º, luego le falta 180º- 129º = 51º.

15.36 ¿Son opuestos por el vértice los ángulos de la figura siguiente? ¿Por qué?

Respuestas: No son ángulos opuestos por el vértice; porque los lados de uno de los ángulos, no son semirrectas de los lados del otro.

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON LOS ÁNGULOS

Con las medidas de los ángulos puedes realizar las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar,….

SUMAR ÁNGULOS

Si nos dicen que sumemos los ángulos A= 32º0’19’’ y B=74º44’42’’ que los tenemos en la figura siguiente no tenemos más poner uno a continuación del otro girando el ángulo B (agregamos, sumamos, ponemos uno a continuación del otro) y el resultado será la suma de ambos valores:

15.37 Calcula la suma:

Respuesta: 105º50’49”

Solución:Sumamos la columna de los segundos: 58+12+44+55 = 169”.Calculo cuántos minutos hay en 169” dividiendo entre 60:

Obtengo 2 como cociente y 49 como resto, es decir, que tengo 2’ y 49”.Sumamos los minutos: 34+45+34+55 = 168’ A estos 168’ tengo que sumar los 2’ que proceden de la suma de los segundos: 168+2 = 170’

170’ divido entre 60 para ver cuántos grados hay, el resto de la división serán los minutos que quedan, 50’ y el cociente, 2 los grados que debo añadir a la suma de los grados de los 4 ángulos:Sumamos los grados: 12+23+35+33 = 103º a los que debo añadir los 2º procedentes de la suma de la columna de los minutos, es decir, 103+2 = 105º


Respuesta: 149º59’21’’


Respuesta: 100º

RESTAR ÁNGULOS

Dados los ángulos A y B de la figura que tienes a continuación verás que hemos restado los valores de los ángulos y su diferencia la tienes en color rosa:

15.40 Calcula la diferencia:


Solución:Comienzo a restar a partir de los segundos y veo que en el sustraendo (55’’) tengo más segundos que en el minuendo (44”). Para poder restar, de los 24’ del minuendo quito 1’, o 60” y se los paso a los 44” con lo que me quedan: 60+44 = 104” y a esta cantidad ya puedo restarle 55” quedándome 49”.Ahora resto la columna de los minutos teniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 24’ sino 23’.Como en el sustraendo tengo 33’, es decir, una cantidad superior a los 23 del minuendo debo quitar 1º de la columna de los grados del minuendo (13º). Ahora me quedan, en el minuendo, 12º y 60+23 = 83’. A esta cantidad le resto 33’ y me quedan: 83 – 33 = 50’.Solo me quedan restar los grados, teniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 13º sino 12º: 13-12 = 1º.

15.41 Calcula la diferencia:


15.42 Calcula la diferencia: 95º34’55’’ – 50º50’50’’=


PRODUCTO DEL VALOR DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL:

Si a un ángulo de 30º multiplicamos por el número natural 5 obtendremos un ángulo de 150º tal como lo ves en la figura de más abajo:

15.43 Multiplica:


Solución:Si multiplico 4x42” obtengo: 168”. En 168” tengo 2’ y me quedan 48 como resto al dividir 168 entre 60.Multiplico 4x44’ y obtengo: 176’ a los que debo añadir los 2’ que obtuve del producto de los segundos: 176+2 = 178’.Esta cantidad la divido entre 60 para saber los grados que contiene:

Por fin, multiplico 4x23º obteniendo: 92º a los que debo añadir los 2º procedentes del producto de los minutos:92+2=94º

15.44 Multiplica:


15.45 Multiplica:


COCIENTE DEL VALOR DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL:Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número, seguidamente, pasamos a minutos el resto que nos haya quedado (multiplicando por 60) sumándolos a los que tengamos en el dividendo y continuamos con la división. Si nos queda un resto (dividiendo los minutos), lo transformamos en segundos (multiplicándolo por 60) y sumándolos a los que haya en el dividendo. Seguimos dividiendo por el número natural y damos por concluida la división.Ejemplo:

15.46 Calcula el cociente de:

Respuesta: 9º21’25’’ y el resto 1’’

15.47 Calcula el cociente y el resto de la división:

Respuesta: 13º24’59” y el resto 4”

15.48 ¿El ángulo convexo y el ángulo obtuso tienen algún parecido?

Respuesta: Sí, los dos valen más 90º.

15.49 ¿En qué se diferencia un ángulo obtuso de un ángulo convexo?

Respuesta: Un ángulo obtuso vale más de 90º y menos 180º y el ángulo convexo está comprendido entre 0º y 180º.

15.50 ¿Puede decirse que todos los ángulos agudos son también convexos?

Respuesta: Sí porque los agudos están comprendidos entre 0º y 90º y los convexos entre 0º y 180º.

15.51 ¿Puede decirse que todos los ángulos convexos son también ángulos agudos?

Respuesta: No porque los agudos valen menos de 90º y son convexos los que están comprendidos entre 0º y 180º.

15.52 ¿Todos los ángulos obtusos son convexos?

Respuesta: No (comprueba el ejercicio 15.49)

15.53 Un ángulo llano es igual a dos rectos?

Respuesta: Sí porque un ángulo llano equivale a 180º o dos ángulos rectos.

15.54 Realiza una tabla en la que podamos comprobar el valor del ángulo y el nombre que recibe.

Respuesta: Representando por el ángulo que forman las semirrectas Ay B con vértice en O podemos hacer la tabla siguiente:

ÁNGULOS DETERMINADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan:

Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:

Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:

Interiores o internos:

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.

Ángulos exteriores o externos:

Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.

Ángulos correspondientes:Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Los ángulos del mismo color son correspondientes:

El ángulo a se corresponde con el ángulo a’El ángulo b se corresponde con el ángulo b’El ángulo c se corresponde con el ángulo c’El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

Ángulos alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí.

Ángulos alternos externos:

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’, y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

15.55 Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:

1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2?

2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6?7. ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

Respuestas:

1. Adyacentes y suplementarios.2. Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro

interno.3. Sí, juntos valen 180º.4. Sí, por ser opuestos por el vértice.5. Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante,

siendo uno un ángulo interior y el otro un ángulo exterior.

6. No porque aunque se encuentren en el mismo lado de la secante los dos son ángulos interiores.

7. No porque no están situados al mismo lado de la secante y además, los dos son interiores.

8. Sí por estar opuestos por el vértice.9. Son ángulos alternos externos ya que se encuentran

a distinto lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas.

10. No porque no son alternos y además, los alternos internos son iguales entre sí.

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS

A) Dos ángulos de lados paralelos, los dos agudos o los dos obtusos, son iguales.

Los ángulos y A’O’B’ tienen sus lados paralelos (los lados OA y O’A’ son paralelos entre sí, como también lo son OB y O’B’).Los dos ángulos son obtusos y vemos que son iguales.

B) Si los lados de ambos ángulos, uno obtuso y otro agudo tiene sus lados paralelos (OA paralelo con O’A’, OB paralelo con O’B’) son suplementarios.

Si sumas ambos ángulos comprobarás que el resultado es de 180º, es decir, son suplementarios.

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

Igual que en el caso anterior, podemos considerar que los ángulos sean los dos obtusos o los dos agudos y que uno sea obtuso y el otro agudo o viceversa.

A) En el caso de que ambos ángulos sean agudos o ambos obtusos y sus lados perpendiculares tienen el mismo valor.

Observa que los lados de ambos ángulos son perpendiculares entre sí; el lado OA es perpendicular al lado O’A’ y el OB es perpendicular al lado O’B’. Vemos que cuando se dan las condiciones anteriores, los ángulos son IGUALES (en el ejemplo, 30º).

B) Si los lados de ambos ángulos, uno agudo y el otro obtuso son perpendiculares, los ángulos son suplementarios:

Los lados OA y O’A’ son perpendiculares lo mismo que OB con relación a O’B’ y los ángulos que forman los lados a los que acabamos de hacer referencia, son suplementarios: 31º + 149º = 180º

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La palabra bisectriz procede del latín bis que significa dos vecesy secare que significa cortar.

Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales:

La recta OA es la bisectriz porque al ángulo de 36º lo divide en dos partes iguales de 18º cada una.

15.56 Uno de los ángulos adyacentes mide 100º50’50’’ ¿Cuánto mide el otro?


15.57 ¿Cuánto vale el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes?

Respuesta: 90º

Solución:

En la figura tenemos dos ángulos adyacentes uno de 135º (en color rojo) y el otro (en color azul claro) de 45º.

Trazamos las bisectrices de cada uno de los ángulos y el ángulo obtuso de 135º se ha dividido en dos ángulos que miden 67º30’ cada uno y el ángulo agudo de 45º ha quedado dividido por su bisectriz en dos ángulos de 22º30’ cada uno.Midiendo el ángulo que forman las dos bisectrices comprobamos que su medida angular equivale a 90º.No importa la medida de los ángulos adyacentes, la medida angular de sus bisectrices será de 90º

15.58 ¿Cuánto valen cada uno de los ángulos que forman dos rectas perpendiculares?

Respuesta: 90º

15.59 Tenemos dos rectas paralelas cortadas por una recta secante. Uno de los ángulos vale 119º. ¿Cuánto valen los otros siete?

Respuesta: a) 119º; b) 61º; c) 119º; d) 61º; e) 119º; f) 61º; g) 119º; h) 61º

Solución:

Gráficamente tenemos:

15.60 En la figura:

Demuestra que la suma de los ángulos a y c son iguales al

ángulo

Solución:

En (1) trazo una paralela a la recta AEn (2) prolongo uno de los lados del ángulo aEn (3) prolongo uno de los lados del ángulo c

Los nuevos ángulos que se han formado con las prolongaciones de los lados corresponden a a’ y c’ que son iguales a los ángulos a y c por correspondientes (al mismo lado de la secante y ambos internos).

En este caso, las paralelas las forman las rectas A y K.

Lo dicho anteriormente puedes comprobarlo en la figura siguiente:

Verás que la suma de los ángulos a’ y c’ son iguales al ángulo bpor opuestos por el vértice.

Haciendo las mediciones de los ángulos en la última figura obtenemos:

POLÍGONOS

¿Qué significa la palabra polígono?La palabra polígono procede del griego. En griego, poli significa muchos y gonos significa lados.

Polígono significa una figura plana limitada o cerrada por líneas rectas o curvas que no están situadas en línea recta.Ejemplos de polígonos:

PARTES DE UN POLÍGONO

De un polígono debes conocer los componentes siguientes:

Lados: son los segmentos que lo limitan.Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos (color verde).Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos (color rojo).

CLASES DE POLÍGONOS:

Podemos clasificar a los polígonos teniendo en cuenta:

1. Sus lados:

Los polígonos según el número de lados que tienen reciben nombres diferentes.

Un polígono o figura cerrada necesita al menos tres lados porque con menos no puede cerrarse un área, una superficie.

Tienes a continuación una Tabla con los nombres de los polígonos según el número de lados:

Número de lados Nombre del polígono1 no existe2 no existe3 triángulo

4 cuadrilátero5 pentágono6 hexágono7 heptágono8 octógono9 eneágono10 decágono11 endecágono12 dodecágono13 tridecágono14 tetradecágono15 pentadecágono16 hexadecágono17 heptadecágono18 octodecágono19 eneadecágono20 isodecágono30 triacontágono40 tetracontágono50 pentacontágono60 hexacontágono70 heptacontágono80 octacontágono90 eneacontágono100 hectágono106 megágono

10100 googólgono

Si tria es tres, al añadirle conta le convierto en triaconta = 30Si penta es 5, al añadirle conta le convierto en pentaconta = 50Si hepta es 7, al añadirle conta le convierto en heptaconta = 70

2) Sus ángulos:

Pueden ser cóncavos y convexos.Recuerda que un ángulo convexo vale menos de 180º o dos rectos y un cóncavo más de 180º o dos rectos.Un polígono es convexo cuando sus ángulos valen menos de 180º.Un polígono es cóncavo cuando tiene, por lo menos, un ángulo cóncavo o mayor que 180º.

Ejemplos:

3) Igualdad de lados y ángulos:

Cuando un polígono tiene sus LADOS Y ÁNGULOS iguales se llaman polígonos REGULARES.

Si los lados y ángulos no tienen la misma medida se llaman polígonos IRREGULARES .

Ejemplos:

REGULARES:

IRREGULARES:

¿CUÁNTO VALE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR?

Si observas las figuras que tienes a continuación:

ves que en el caso del triángulo vale 180º.En el caso del cuadrado el total de grados es de 360º.En el caso del pentágono la suma de los ángulos interiores es de 540º¿Hay que aprenderse de memoria el valor de la suma de los ángulos interiores de CADA polígono regular?. NO

Te basta con hacer un cálculo muy sencillo:

1º cuenta el número de lados2º al número obtenido de contar los lados réstale 23º al valor de la diferencia anterior multiplícale por 180El producto obtenido es la suma de los grados de un polígono regular.15.61 ¿Cuántos grados suman los ángulos interiores de un polígono de 5 lados o pentágono?Respuesta: 540º

Solución:

Hallo la diferencia:

Este valor lo multiplico por

180º:

Daría lo mismo que multiplicar 108º que vale cada ángulo del pentágono regular por los 5 que tiene:

15.62 ¿Cuántos grados suman los ángulos interiores de un tetradecágono o polígono de 14 lados?Respuesta: 2160º

Daría lo mismo que multiplicar el valor de un ángulo de un tetradecágono regular que es de 154º17’9’’ por los 14 ángulos interiores iguales que tiene:

¿POR QUÉ LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR VALE: número de lados menos 2 por

180º?

Vamos a fijarnos en la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo:

Cualquiera que sea la forma de un triángulo, la suma de sus ángulos interiores vale 180º. Si sumas los valores de los ángulos interiores de cualquiera de los triángulos anteriores comprobarás que siempre suman 180º.

A continuación tienes dos polígonos, uno de 9 lados (ENEÁGONO) y el otro de 14 (TETRADECÁGONO).

En el primer polígono hemos dibujado 7 triángulos y como cada triángulo tiene 180º, los ángulos interiores de un eneágono valdrán:

En el segundo polígono hemos dibujado 12 triángulos y como cada uno tiene 180º, los ángulos interiores de un tetradecágono valdrán:

En cualquier polígono (de más de tres lados) puedes dibujar triángulos. Para dibujar un triángulo necesitas tres lados. Con un cuadrado puedes dibujar 2 triángulos; con un pentágono 3; en un hexágono 4; en un heptágono 5, etc.

Vemos que el número de triángulos obtenidos en cada polígono es igual al número de lados menos 2. Como los grados de un

triángulo valen 180º, basta con multiplicar este número por el de lados menos dos.

ÁNGULO EXTERIOR DE UN POLÍGONO:

El ángulo exterior de un polígono está formado por un lado cualquiera y la prolongación del que está a continuación:

En la figura ves un triángulo equilátero cuyo ángulo interior (azul) vale 60º y el exterior (naranja) 120º. La suma de ambos nos da 180º.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º y la suma de los ángulos exteriores 360º

Puedes comprobar en la figura anterior que al ser un triángulo equilátero, sus ángulos interiores son iguales a 60º.Los ángulos exteriores serán iguales y si cada uno vale 120º los tres ángulos valdrán

¿CUÁNTO VALE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR?

Si observas el pentágono que tienes a continuación comprobarás que, además de fijar los valores de los ángulos interiores en color azul, hemos dibujado los valores de los ángulos exteriores en verde:

Puedes comprobar que la suma de un ángulo interior de un polígono con su exterior vale un ÁNGULO LLANO lo que es lo mismo que 180º. Podemos decir también, que el valor de un ángulo interior de un polígono con el valor de su correspondiente ángulo exterior forman ÁNGULOS ADYACENTES.

La suma de todos los ángulos exteriores de un polígono es de

360º. En el ejemplo de la figura última

15.63 Si el ángulo exterior de un polígono vale 70º14’30’’¿Cuánto vale su correspondiente ángulo interior?


15.64 Si te dicen que el ángulo exterior de un polígono regular vale 36º ¿cuántos lados tiene dicho polígono?

Respuesta: 10 lados

Solución:Si te dicen que cada ángulo vale 36º y todos valen 360º basta que dividas:

Gráficamente tienes la solución:

Se trata de un decágono regular.15.65 La suma de los ángulos interiores de un polígono regular asciende a 1620º ¿cuántos lados tiene este polígono?Respuesta: 11 lados, endecágono regular Solución:La suma de los ángulos interiores de un polígono regular se obtiene restando dos al número de lados y a esa diferencia la multiplicamos por 180º.Lo que acabas de leer podemos escribir:

La suma de los áng. int. de un polígono regular =

Como nos dicen que la suma de los ángulos interiores es de 1620º, escribiremos:

TRIÁNGULO:

El triángulo, como ya lo estudiamos, es un polígono de tres lados.Todo triángulo tiene tres ángulos interiores cuya suma es de 180º y otros tantos exteriores. Cada ángulo exterior vale lasuma de los interiores no adyacentes a él.

En la figura que tienes a continuación tienes un triángulo cuyo ángulo exterior tiene el mismo valor que los interiores no adyacentes a él.

15.66 En la figura siguiente tienes un triángulo en el que conoces el valor del ángulo exterior. ¿Cuál es el valor del ángulo indicado con una X?

Respuesta:

IGUALDAD DE LOS TRIÁNGULOS

A) Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre éstos:

Si los lados OA y O’A’ son iguales entre sí lo mismo que OB y O’B’ y el ángulo comprendido entre estos lados, los triángulos serán iguales.

B) Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y sus dos ángulos contiguos a él.

En la figura que tienes a continuación observarás que si el lado ay a’ son iguales; los ángulos A y A’ son iguales, lo mismo que B y B’ también, los triángulos serán iguales.

C) Dos triángulos son iguales si los lados son iguales.

D) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado de mayor longitud iguales.

En la figura ves que los lados a y a’ son iguales, lo mismo que b yb’. Los ángulos opuestos al lado de mayor longitud, en ambos triángulos son iguales, por tanto, ambos triángulos son iguales.

Comprobarás que en un triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

Los nombres que reciben son:

1) triángulos equiláteros

Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.

Son los triángulos cuyos tres lados son

iguales:

2) triángulos isóscelesLa palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.

La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.

Como ves en la figura, tienes el triángulo isósceles con dos lados iguales. Si tiene 2 lados iguales tendrá también dos ángulos iguales.

3) triángulos escalenos

La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes.

15.67 ¿Sería correcto decir que en un triángulo equilátero cada ángulo mide 59º38’56’’?

Respuesta: Incorrecto. Cada ángulo debe medir 60º porque la suma de todos es 180º y como son iguales basta que dividas

15.68 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 30º16’ ¿Cuánto vale el ángulo desigual?

Respuesta: 119º28’

15.69 El triángulo que tienes en la figura siguiente ¿qué tipo de triángulo es, según sus lados y cuánto mide el ángulo X?

Respuestas: Escaleno y el ángulo X vale 56º06’

15.70 ¿Puede existir un triángulo cuyos ángulos miden 66º56’44’’, 43º12’33’’ y 69º50’43’’?¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque la suma de sus ángulos es 180º

15.71 ¿Qué clase de triángulo es el que tiene por ángulos 65º43’58’’, 55º37’55’’ y 63º12’13’’?

Respuesta: No existe. La suma de sus ángulos superan 180º

15.72 En un triángulo isósceles el ángulo desigual vale 66º14’34’’ ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos iguales?


15.73 ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo? Razona la respuesta.

Respuesta: No tiene ninguna.

Explicación: Recuerda que diagonal es una recta que uno dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro (estudiaremos más adelante) . En un triángulo es imposible dibujar una diagonal que una dos vértices no consecutivos. Porque si parto de un vértice y voy al 2º no consecutivo me encuentro con un lado del triángulo.

Debes tener en cuenta de que cada vértice salen tantas diagonales como lados tiene el polígono menos 3 pero las contamos dos veces.

Del cuadrado saldrían: 4 (vértices)x(4 – 3) = 4, pero se repetirían la mitad de las diagonales, luego, el número de diagonales del cuadrado serán 2.

El pentágono tendrá: 5 (vértices)x(5 – 3) =5x2 = 10 pero repetiríamos la mitad, 5 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 10 – 5 = 5 diagonales. El hexágono tendrá: 6 (vértices)x(6 – 3) =6x3 = 18 pero repetiríamos 9

diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 18 – 9 =9 diagonales.

El heptágono tiene: 7 (vértices)x(7 – 3) =7x4 = 28 pero repetiríamos, las mitades, 14 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 28 – 14 =14 diagonales.

Para hacer el cálculo más sencillo aplicas la fórmula

representando por n el número de lados del polígono:

15.74 Cuántas diagonales tiene un polígono de 28 lados?

Respuesta: 350 diagonales

15.75 En un triángulo, ¿puede uno de sus ángulos ser cóncavo?

Respuesta: No, porque un ángulo cóncavo vale más de 180º

Los dos lados a y b de la figura forman un ángulo cóncavo de 225º y para trazar el tercer lado del triángulo vemos que nos es imposible.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Se dividen en:

1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación tres ejemplos de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

Tomemos como ejemplo el de la figura en el que los catetos miden 3 y 4 cm., respectivamente y 5 cm., la hipotenusa.

Con las medidas de los catetos formamos cuadrados

Con la longitud de la hipotenusa formamos otro cuadrado (c):

Si calculas el área del cuadrado formado por el cateto (a): lado

al cuadrado obtienes como valor del área:

Si a continuación calculas el cuadrado formado por el cateto (b),

el valor de su área vale

El cuadrado formado por la longitud de la hipotenusa tiene un

área de

Si sumas las áreas de los cuadrados de los catetos, es

decir obtienes el área formada por el cuadrado de la

hipotenusa,

Fíjate en la figura siguiente:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Siendo a y b las longitudes de los catetos los catetos, y c la longitud de la hipotenusa podemos escribir:

Resuelve:

(a) Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 5 y 6 cm., respectivamente.

El resultado es de 7,81 cm. porque la suma de los cuadrados de

los catetos es de donde

(b) Sabiendo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo vale 10 cm., y uno de los catetos 8 cm.

¿Cuál es el valor del otro cateto?

El resultado es de 6 cm.

Porque

2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º).

En el dibujo siguiente tienes dos triángulos acutángulos.

3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º).

En la siguiente figura tienes dos triángulos obtusángulos

15.76 ¿Puede un triángulo rectángulo tener, además de su ángulo recto, dos ángulos de 56º y 45º? ¿Por qué?

Respuesta: No, porque la suma de los tres ángulos debe valer 180º y en este caso, supera ese número.

15.77 Dos triángulos isósceles tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ¿Son necesariamente iguales?

Respuesta: Sí.

15.78 ¿La suma de los ángulos no rectos de los triángulos rectángulos han de sumar un ángulo recto? ¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque si el ángulo recto vale 90º los otros dos 2 ángulos no rectos tendrán que sumar 90º, de este modo, la suma de los ángulos del triángulo suman 180º

RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS Y LOS LADOS DE LOS TRIÁNGULOS

En los triángulos los ángulos dependen de los lados en cuanto a sus medidas, de ahí que podemos decir:

A) A mayor lado se opone mayor ángulo

Comprueba en la figura siguiente que a mayor lado, se oponemayor ángulo.

Lo mismo puede decirse a la inversa, a menor ángulo, se opone menor longitud de lado

B) En un triángulo, la longitud de un lado cualquiera es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

La suma de los dos lados menores será siempre mayor que el lado más grande.

En el primer triángulo la suma de los lados de menor longitud es

mayor que la del lado de mayor longitud

Lo mismo sucede en el segundo triángulo de la

figura:

C) Si un triángulo tiene sus lados iguales también serán sus ángulos opuestos.

En la figura siguiente verás en el primer triángulo que los lados a y b al tener iguales longitudes, sus ángulos opuestos miden lo mismo.

Igualmente, en el segundo triángulo los lados x e y al tener la misma longitud, sus ángulos opuestos son iguales.

MEDIATRIZ DE UN TRIÁNGULO

Se llama mediatriz al segmento PERPENDICULAR al lado de un triángulo por su punto medio.

Para trazar la mediatriz de un segmento, en nuestro caso, del

segmento debes dibujar dos semicírculos, con el mismo

radio, haciendo centro en y en

Ambas curvas se cortarán en dos puntos que son suficientes para trazar una recta que pase por dichos puntos.

En la figura que se encuentra a continuación, la tienes en rojo.

Esta recta, además de ser perpendicular a pasa por la mitad de este segmento.

En el caso de un triángulo debemos dibujar las tres mediatrices, una por cada lado siguiendo el mismo procedimiento:

CIRCUNCENTRO

Se trata del centro de una circunferencia que rodea a un triángulo y está en contacto con cada vértice del triángulo.

El circuncentro , además de ser el punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo, es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.Tomamos como ejemplo, la figura anterior

Observarás que haciendo centro en el circuncentro, la circunferencia toca a los tres vértices del triángulo. Dicho de otro modo, los vértices están a igual distancia del centro o circuncentro.

A continuación tienes otra figura donde apreciarás las mediatrices, el circuncentro y la circunferencia circunscrita.

Observa que cada mediatriz respecto al lado del triángulo es perpendicular al mismo además de pasar por su punto medio.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita (en color blanco) que rodea al triángulo tocando sus vértices.

BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO

Estudiamos anteriormente lo que era bisectriz de un ángulo. Se trata de una semirrecta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales.

Podemos decir también que cada punto de la bisectriz, equidista (está a igual distancia) de los lados del ángulo.

INCENTRO:

Un triángulo al tener 3 lados tiene también 3 ángulos. En cada trazamos su bisectriz, como observarás en la figura siguiente.

El punto donde se cortan las 3 bisectrices se llama incentro.

Haciendo centro en el incentro podemos dibujar una circunferencia inscrita, dentro del triángulo.

Cada lado del triángulo está a igual distancia del incentro

15.79 Un triángulo tiene tres lados que miden 7, 2 y 10 metros. ¿Qué nombre tiene este triángulo?

Respuesta: No tiene nombre porque no existe. Razonamiento: la suma de las medidas de los dos menores debe superar la medida del lado mayor.

15.80 Un triángulo isósceles el ángulo mayor mide 132º ¿cuánto medirán cada uno de los otros dos?

Respuesta: 24º

15.81 Todos los polígonos tienen diagonales ¿es cierto?

Respuesta: No es cierto, el triángulo no tiene diagonales y es un polígono.

15.82 ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 23 lados?Respuesta: 230 diagonales

ALTURA DE UN TRIÁNGULO

La altura es el segmento perpendicular comprendida entre un vértice y el lado opuesto.

En la figura anterior ves las alturas de dos triángulos. En ambos casos se trata de segmentos que partiendo de un vértice son perpendiculares al lado opuesto.

ORTOCENTRO

Esta palabra procede del griego ortos que significa recto ykéntron= centro.

Si un triángulo tiene 3 lados, tendrá 3 ángulos y por lo tanto, 3 alturas. Cada altura parte de un vértice y llega perpendicularmente al lado opuesto.

En la figura anterior ves que las tres alturas se cortan en punto. Este punto se llama ortocentro.

MEDIANA

Se llama mediana al segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

es la mediana que partiendo del vértice A llega al punto medio de su lado opuesto.

BARICENTRO

Esta palabra procede del griego barús, barys que equivale a pesado, grave.Dado que en el triángulo tenemos tres lados y tres vértices también tendremos 3 medianas.Las medianas de un triángulo se cortan en un punto al que llamamos baricentro.

Las medianas es decir, el baricentro.

BARICENTRO Y CENTRO DE GRAVEDAD

Si tomas una plancha, de cualquier material, de forma triangular y la suspendes del baricentro, la plancha permanece en equilibrio sin moverse. De este sencillo ejemplo deducimos que el baricentro, en las condiciones anteriores, equivale al centro de gravedad.

DISTANCIAS DEL BARICENTRO A CADA VÉRTICE

Si a cada mediana le divides en tres partes iguales, cada trozo, será la tercera parte de su longitud.

Es importante que sepas que la distancia del baricentro a

cada uno de sus vértices es igual a de su

longitud y que se halla a del lado.Compruébalo en la figura siguiente:

Podemos decir que la distancia del baricentro a cada vértice es el doble de la distancia al punto medio del lado opuesto correspondiente.

15.83 Demuestra que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera vale 360º

Demostración:

Sabemos que un ángulo exterior de un triángulo vale la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

Puedes comprobar que el ángulo exterior en color verde que vale 113º equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Para demostrarlo trazamos una paralela al lado a partir

deC y obtenemos la línea

Escribimos los valores de los ángulos que se nos han creado:

Los ángulos y son iguales porque son alternos internos (vemos que valen 58º).

Los ángulos y

son iguales porque son correspondientes (vemos que valen 55º).

El ángulo exterior cuyo valor es de 113º equivale a la suma de los ángulos:

+ , es decir, 58º+55º.

15.84 En un triángulo rectángulo un ángulo vale 33º44’ ¿Cuánto valen los otros dos?

Respuesta: 56º16’ y 90º

15.85 Dibuja el incentro y ortocentro de un triángulo isósceles.

Respuesta:En la figura tenemos en color verde las alturas del triángulo isósceles. El punto donde se encuentran las tres alturas (la altura es la recta que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto) en color amarillo es el ortocentro.

El incentro o lugar donde se encuentran las bisectrices (la bisectriz divide al ángulo en dos partes iguales) lo tenemos en color verde.

15.86 ¿Es posible que el ortocentro se sitúe fuera del triángulo? Responde y demuestra.

Respuesta: Sí

Demostración: Cuando el triángulo es obtusángulo el ortocentro queda fuera del triángulo:

Partimos de un triángulo obtusángulo:

Vemos que el triángulo tiene un ángulo obtuso, es decir, mayor que 90º.

Como el ortocentro es el lugar donde se juntan las alturas y éstas son perpendiculares a los lados opuestos, prolongamos los

lados en color verde:

Trazamos las alturas en color rojo:

1ª Desde el ángulo A y es perpendicular al lado en este caso, a su prolongación.

2ª Desde el ángulo B y es perpendicular al lado

3ª Desde el ángulo C y es perpendicular al lado en este caso, a su prolongación.

DISTANCIAS DEL BARICENTRO A CADA VÉRTICE

15.87 En un triángulo acutángulo ¿puede el ortocentro hallarse fuera del triángulo?

Respuesta: No, es preciso que el triángulo sea obtusángulo (que uno de sus ángulos sea mayor que 90º).

15.88 ¿Puede el incentro hallarse fuera del triángulo? Razona la respuesta.

Respuesta: No. El incentro es el punto donde se cortan las bisectrices del triángulo. Ese punto es el centro de la circunferencia inscrita y por lo tanto, equidista, está a igual distancia de los tres lados.

15.89 Dibuja el baricentro, circuncentro y ortocentro de dos triángulos. ¿Qué puedes afirmar después de comprobarlos en los dos triángulos sobre la situación o colocación de esos tres puntos?

Respuesta: Se hallan situados en la misma línea.Comprobación:

En color cian tienes trazadas las alturas que se encuentran en el punto 1, en el punto 2, baricentro (color magenta)se cortan las medianas y en el punto 3, el circuncentro (color verde), se cortan las mediatrices.Puedes comprobar que los tres puntos forman parte de una recta (color gris). En el ejemplo siguiente en el que tenemos un triángulo obtusángulo, también comprobamos que los tres puntos solicitados se encuentran sobre la misma línea.

Los lados del triángulo en color blanco.El ortocentro en cian fuera del triángulo. Observa que las alturas son perpendiculares a las prolongaciones de los lados opuestos. El baricentro en magenta en el interior del triángulo.El circuncentro en verde fuera del triángulo.

15.90 Sirviéndote de una regla y un compás dibuja un triángulo cuyos lados midan exactamente 4, 6 y 8 cm calcula su baricentro. Comprueba con la regla que las distancias: OA es el doble de ON, OB es el doble de OR y OC el doble de OM.

Respuesta:

Solución:

Para dibujar un triángulo, sirviéndote de regla y compás cuyos lados midan, exactamente, 4 cm., 6 cm. y 8 cm., primero dibuja un segmento horizontal de 4 cm .

Con centro en el extremo B del segmento y con un radio de 6 cm traza un arco como tienes a continuación:

Con centro en el extremo A del segmento anterior y con un radio de 8 cm traza un arco como tienes a continuación:

Unimos el punto de corte O de ambos arcos con los extremos

del segmento :

Para hallar el punto medio de un lado puedes hacer lo siguiente:

1.- De los extremos del lado AO, haciendo centro en A y con un radio de 5 cm. trazo el arco y con el mismo radio, haciendo

centro en O trazo el arco

2.- Uno con una recta los dos puntos de corte de ambos arcos:

y de este modo calculo el punto medio del segmento AO que será el punto K.

La mediana relativa al vértice B será la línea que une este vértice con el punto K que es la mitad del lado opuesto AO, es decir, BK

De igual modo dibujas las otras medianas obteniendo la figura en la que quedan representadas todas las medianas y su punto de encuentro en O:

15.91 ¿Podemos decir que el baricentro y el ortocentro coinciden en un triángulo equilátero? Demuestra que es cierta tu respuesta dibujando con una regla y un compás. Si los dibujos, con triángulos del mismo tamaño y en papel transparente, por separado, podrías ver las coincidencias si les superpones.

Respuesta: Sí coinciden.

Demostración:

Dibujamos dos triángulos equiláteros iguales.

En el primero trazamos las medianas (líneas que partiendo de un vértice llegan al punto medio del lado opuesto- en color azul-).En el segundo dibujamos las tres alturas del triángulo (segmentos que unen perpendicularmente cada vértice con el lado opuesto (en color verde).

Hemos superpuesto (poner un triángulo encima del otro) ambos triángulos y notarás que las líneas coinciden, en cambio, los valores de los ángulos que han sido colocados a distintas distancias de sus vértices no. Que coincida o no el texto no importa, son las medianas con las alturas, el ortocentro con el baricentro, los vértices y lados de cada triángulo quienes tienen que coincidir.

15.92 En un triángulo equilátero ¿coinciden el incentro y el circuncentro? Demuéstralo sirviéndote de un compás y una regla.

Respuesta: Sí coinciden.Demostración:Dibujamos un triángulo equilátero:

Recuerda que el incentro es el lugar donde se encuentran las tres bisectrices de un triángulo.

Como comprobarás en la figura, cada bisectriz, en azul divide al cada ángulo de 60º en dos partes iguales de 30º.

Haciendo centro en G, el incentro,, podemos dibujar una circunferencia inscrita.

En la figura siguiente hemos trazado las mediatrices del triángulo equilátero de iguales medidas al anterior.Recuerda que la mediatriz es un segmento que pasando por el punto medio del lado es perpendicular a dicho lado en ese punto medio, en X e Y.

Comprobarás que todas las mediatrices son perpendiculares a cada lado en su punto medio encontrándose todas ellas en el punto H que es el circuncentro o centro de la circunferencia circunscrita.

Si superponemos ambas figuras obtenemos el siguiente resultado:

Notamos que los lados de ambos triángulos, el incentro y circuncentro coinciden.Las notaciones de texto, al referirse a medidas diferentes, es lo que no coincide, pero esto es indiferente.

15.93 ¿Coinciden el incentro, circuncentro, ortocentro y baricentro en un triángulo equilátero?

Respuesta: Sí, coinciden (basta que dibujes 4 triángulos equiláteros iguales, cada uno en una hoja transparente para comprobar la coincidencia).

15.94 Para que un ángulo de un triángulo sea igual a su adyacente ¿cómo tiene que ser el triángulo?

Respuesta: Triángulo rectángulo.

Explicación:Dibujamos dos triángulos:

Sabemos que los ángulos adyacentes, contiguos o consecutivos valen 180º. Para que dos ángulos sean iguales y adyacentes, cada uno deberá valer 90º porque juntos han de valer 180, y además, deben ser iguales (2º triángulo de la figura).Si no fuera rectángulo los dos ángulos adyacentes no serían iguales aunque sumaran 180º (en color verde del primer triángulo de la figura).

15.95 ¿Puede ser un triángulo, al mismo tiempo, isósceles y rectángulo?

Respuesta: Sí.

Comprobación:Los lados en color verde son iguales ya que miden igual, luego el triángulo es isósceles y además es un

triángulo rectángulo por tener un ángulo recto. Puedes ver que a lados iguales se oponen ángulos iguales.

15.96 ¿Puede ser un triángulo, a la vez, rectángulo y equilátero?

Respuesta: No.

Explicación:Si un triángulo es equilátero, es decir, sus lados iguales, sus ángulos serán también iguales. Para saber su valor dividimos 180 entre 3 y vemos que cada ángulo de un triángulo equilátero vale 60º.Un triángulo rectángulo siempre ha de tener un ángulo de 90º y nunca podrá ser equilátero porque para ser equilátero, sus 3 ángulos deben ser iguales, y 3 por 90º nos dan 270º y como un triángulo no debe pasar de 180º la respuesta a la pregunta del problema será negativa.

CUADRILÁTEROS

Acabamos de estudiar el polígono de tres lados, es decir, el triángulo. Ahora comenzamos a estudiar los polígonos de cuatro lados o cuadriláteros.La suma de todos los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º.

También en los cuadriláteros tenemos: lados, vértices, ángulos y diagonales:

Todo cuadrilátero tiene 4 lados, 4 vértices, 4 ángulos y dos diagonales.

CUADRILÁTERO CÓNCAVO

Un cuadrilátero es cóncavo si tiene un ángulo cóncavo (mayor que 180º):

La suma de sus ángulos interiores es: 224º+59º+32º+45º= 360º

CUADRILÁTERO CONVEXO

Un cuadrilátero es convexo cuando cada uno de sus ángulos interiores es menor que 180º:

15.97 ¿Es posible la existencia de un cuadrilátero que trazando sobre él una recta pueda cortar a más de dos lados? Razona tu respuesta.Respuesta: Sí, basta que el cuadrilátero sea cóncavo.

Demostración gráfica:

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros se dividen en tres grupos teniendo en cuenta el paralelismo de sus lados

1) Paralelogramos: los que sus lados opuestos son paralelos. Cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.2) Trapecios: los que tienen 2 lados opuestos paralelos.Trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno3) Trapezoides: los que no tienen ningún par de lados paralelos. Trapezoide simétrico y trapezoide asimétrico.

Vamos a estudiarlos separadamente.

PARALELOGRAMOS

Son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelosEn la figura que tienes a continuación observarás:

A) que los lados y son iguales, lo mismo que

y .

B) que los ángulos opuestos son también igualesC) que las diagonales se cortan en su punto medio O.

CUADRILÁTEROS (Continuación)

CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS

Cuadrados: Los que sus cuatro ángulos son iguales y valen 90º y sus cuatro lados también son iguales.

Todo cuadrado tiene 2 diagonales que son iguales y además, son bisectrices.Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.Comprueba en el dibujo siguiente cuanto acabamos de decir.

Las diagonales AC y BD son iguales y son bisectrices, han dividido al ángulo de 90º en dos partes iguales de 45º, y además, son perpendiculares en O.

Rectángulos: Son los paralelogramos que tienen:a) sus lados opuestos iguales y paralelos,b) sus cuatro ángulos iguales y cada uno vale 90º,c) tiene iguales sus diagonales.

Los lados AB y CD son iguales y paralelos lo mismo que los ladosBC y AD. Las diagonales AC y BD también son iguales entre sí.

Rombos: son paralelogramos que tienen:a) sus lados iguales y paralelos dos a dos, b) dos ángulos interiores son iguales y agudos y los otros dos, además de iguales son obtusos.

c) Las dos diagonales son iguales y perpendiculares.

Comprobamos en la figura siguiente las propiedades que acabamos de mencionar.

En la figura precedente vemos:

1) que las dos diagonales son bisectrices (comprueba el valor de los ángulos – en amarillo y en magenta el valor de su bisectriz)

2) que los cuatro lados son iguales

3) que las diagonales son perpendiculares en O y se cortan en el punto medio de ellas.

Romboides: son paralelogramos que tienen:

a) lados paralelos dos a dos

b) sus diagonales no son perpendiculares

c) sus ángulos opuestos son iguales

d) si sus ángulos interiores valieran 90º se transformaría en un rectángulo y si sus lados fuesen iguales se transformaría en un rombo.

En la figura puedes comprobar cuantas características hemos señalado:

a) Los lados AB y CD son paralelos lo mismo que AD y BC. La misma consideración podemos hacer en la otra figura: MN y RSson paralelos del mismo modo que MS y NR.

b) Sus diagonales no son perpendiculares en los puntos O y Krespectivamente.

c) Sus ángulos opuestos son iguales.

15.98 Dibuja un rombo y señala los puntos medios de cada uno de sus lados. Si unes los puntos medios ¿qué figura obtienes, un rectángulo o un cuadrado? Demuéstralo.

Respuesta: Un rectángulo.

Demostración:Dibujamos un rombo (4 lados iguales). Los ángulos son iguales dos a dos. A mayor ángulo se opone mayor lado, luego, si los ángulos son distintos dos a dos, los lados también serán de distintas medidas dos a dos y es lo que indica la siguiente figura:

El cambio de color de cada uno de los lados de los rombos indica su punto medio.

15.99 ¿Si unieras los puntos medios de los lados de un rectángulo ¿Qué obtendrías: un rombo, otro rectángulo o un cuadrado?

Respuesta: Un rombo.

Demostración gráfica:( Los puntos medios de los lados quedan fijados en los puntos de cambio de color).

15.100 Si en un rectángulo trazamos sus diagonales ¿cuántos triángulos obtenemos y qué tipo de triángulo es cada uno de ellos teniendo en cuenta sus lados?

Respuestas: 4 triángulos; isósceles.

Demostración:Dibujamos las dos diagonales y obtenemos 4 triángulos.

Como puedes comprobar, son iguales dos a dos.

Son isósceles, cada uno de ellos porque tienen iguales dos lados. Basta que nos fijemos el valor de sus ángulos, y recuerda, a ángulos iguales se oponen lados iguales:

15.101 Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.

Respuesta: porque tiene dos lados iguales AB y AC, y por lo tanto, dos ángulos iguales y un ángulo recto.

15.102 Sabes que un romboide es un paralelogramo que tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos y sus diagonales no son perpendiculares ni son iguales. El punto de corte de las diagonales es el centro del romboide.¿Cómo dibujarías con regla y compás un romboide cuya base mida 4 cm. y sus diagonales, 6 y 8 cm.?

Solución por si tienes dificultades:

1º dibujamos la base de 4 cm.

2º de los extremos de la base trazo dos arcos de 3 y 4 cm. de radio que son la mitad de lo que miden sus diagonales:

Ahora unimos el punto de corte de ambos arcos, O, con los

extremos del segmento El punto O es también la intersección o punto de encuentro de las diagonales del

romboide lo que equivale a decir que y son las mitades de las dos diagonales y, además, el punto medio del paralelogramo.

3º Duplico las distancias y así obtengo las medidas

exactas de ambas diagonales 6 y 8 cm y

4º Uno los puntos A, A’, B’ y B y ya tengo el romboide de 4 cm. de base y unas diagonales de 6 y 8 cm.

Los lados y que son iguales miden 6 cm. y los

lados y

4 cm.

El romboide completo lo tengo a continuación:

15.103 ¿Puede tener un rombo un ángulo de 90º? Razona tu respuesta.

Respuesta: No. En un rombo dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos. El corte de sus diagonales forman ángulos de 90º.

Demostración gráfica

Un rombo, tal como lo ves en la figura anterior, podemos dividirle en 4 triángulos rectángulos siendo 360º la suma de sus ángulos. Cada triángulo tiene un ángulo de 90º en la intersección de las dos diagonales. Los otros dos ángulos de cada triángulo rectángulo valen 52º y 38º (la mitad del ángulo agudo 76º) y la mitad del obtuso 104º). La suma de todos los ángulos: 52+38+90 =180º.

Para que un rombo tuviera ángulos de 90º tendría que tener sus lados y ángulos iguales, y en este caso estaríamos hablando del cuadrado.

EL TRAPECIO

El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos pero los otros dos no lo son y la suma de sus ángulos vale 360º.

En la figura precedente observarás que dos lados son paralelos y a los otros dos lados podemos considerarlos como concurrentes o divergentes.

Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellas es la altura

15.104 ¿Por qué decimos que un trapecio es un cuadrilátero y no decimos que es un paralelogramo?

Respuesta: Un paralelogramo es un polígono de 4 lados paralelos dos a dos. Un trapecio también es un polígono de 4 lados pero de sus 4 lados, dos solamente son paralelos.

15.105 ¿Todos los paralelogramos son cuadriláteros?

Respuesta: Sí porque tienen todos 4 lados y además, paralelos dos a dos.

BASE DE UN TRAPECIO

Hemos dicho que el trapecio tiene una base grande y una pequeña, para resolver un problema ¿cuál de ellas se toma?El valor de la base es la media de los dos valores. Imagínate que tienes un trapecio de 4 m., como base menor y 6 m., como base mayor, el valor de la base de ese trapecio es la semisuma (la

mitad de la suma) de ambos, es decir

TRAPECIO ISÓSCELES

El trapecio que tiene iguales sus lados no paralelos es un trapecio isósceles:

Los lados y son iguales, por eso, es un trapecio isósceles.

Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. y son iguales.

TRAPECIO RECTÁNGULO

Es el que tiene dos ángulos de 90º:

Como ves, el lado no paralelo es perpendicular a y por eso tiene dos ángulos rectos.

Las diagonales son diferentes y no son perpendiculares.

15.106 Un trapecio rectángulo un ángulo vale 30º23’ ¿Cuántos grados miden los otros tres?

Respuesta: 90º; 90º y 149º37’

15.107 ¿Es el trapecio rectángulo un paralelogramo?

Respuesta: Todo trapecio es un cuadrilátero pero no es un paralelogramo porque no tiene sus lados paralelos dos a dos.Solamente tiene paralelos dos de sus cuatro lados.

TRAPEZOIDES

Antes de comenzar a estudiarlos es necesario que tengas el concepto de simetría muy claro.

SIMETRIA Y EJE DE SIMETRÍA

La palabra simetría procede del griego syn que significa a la vez y de la palabra metronque significa medida. Pero, ¿qué es una simetría?

Observa dibujo siguiente:

Trazamos una línea de color rojo por la mitad de la mariposa que tienes debajo:

Las dos mitades de la mariposa son simétricas, es decir, a la vez, las dos mitades tienen las mismas medidas. Si esta mariposa con la línea roja a la que llamamos eje de simetría la tuvieses en un papel y la doblaras por el eje o línea roja, verías que coinciden exactamente.

Si cortásemos por el eje de simetría y distanciásemos ambas mitades las veríamos:

Hay algunos que dicen que las dos mitades son iguales, otros que son idénticas. La verdad es que igual e idéntico vienen a ser lo mismo, pero estas dos mitades tienes que decir que son simétricas con referencia a un eje, es decir, del eje de simetría.

Nosotros no decimos que estas dos mitades de la mariposa son iguales porque aunque los tamaños y formas sean iguales, sin embargo, su posición sobre el plano no es la misma, es la contraria.

Para saber si dos trozos de cartón son iguales, pones uno sobre otro y si coinciden en todos sus puntos diremos que son iguales. Si cada una de las dos mitades de la mariposa colocas una sobre otra, la verdad es que no coinciden en absoluto.

Veamos la figura siguiente muy fácil de dibujar, basta una regla y un lapicero:

Se trata de la mitad de un sencillo obelisco. Para completar, nos hace falta la otra mitad, nos falta su simétrica que es:

Si las dos partes las colocamos una frente a otra:

Las aproximamos y por los puntos de unión de las dos mitades trazamos una recta de color rojo nos queda:

Si esta figura la tuvieses en una hoja de papel, verías que al doblar la hoja por la línea roja o eje de simetría, coinciden las líneas de un lado con las del otro lado.

SIMETRIA Y EJE DE SIMETRÍA (Cont.)

Veamos otro ejemplo; dibujamos una mano:

Ahora añadimos a este dibujo otra mano como si la mano anterior la hubiésemos reflejado en un espejo

¿Puedes asegurar que sean simétricas? ¿Qué harías para saberlo?

Primero dibujaríamos una recta vertical entre las dos manos a igual distancia de ambas:

En segundo lugar, doblaríamos la hoja por la raya roja o eje de simetría y si coinciden exactamente todos los puntos de un lado con los del otro, puedo asegurar que ambas manos son simétricas.

15.108 ¿Son simétricas las dos figuras que representan una “e” mayúscula?

Razona la respuesta.

Respuesta: No son simétricas. Al doblar el papel por la raya roja o eje los puntos de una y otra E no se corresponden.

15.109 La “e” de la derecha ¿cómo tendríamos que escribirla?

Respuesta: gráfica

15.110 Tenemos a continuación un hexágono. ¿Cuántos ejes de simetría hemos dibujado?

Respuesta: Solamente uno, el de color rojo. Al doblar por el eje de color rojo coinciden las líneas. La línea de color azul veo que no es un eje de simetría porque no divide al hexágono en dos partes simétricas.

FIGURAS SIMÉTRICAS

Llamamos figuras simétricas a las que tienen una o más líneas de simetría.

Todos los polígonos regulares (son los que tienen lados y ángulos iguales) son figuras simétricas y tienen tantos ejes de simetría como lados.

Aunque no nos hemos referido a los ejes de simetría horizontales también cumplen con todo lo dicho al referirnos a los verticales:

Un pentágono regular es simétrico respecto a un eje de simetría horizontal (en color amarillo).

En el ejemplo siguiente tenemos un rombo y comprobamos que su diagonal transversal nos sirve como eje de simetría horizontal.

Si dibujas varios rombos seguidos unos de otros, y trazas un eje de simetría horizontal externo nos quedaría:

Podemos conseguir efectos interesantes si cada fila de rombos los pintamos de colores diferentes:

15.111 ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado?.Dibújalas.

Respuesta: 4 ejes de simetría.

Dibujo

Las dos diagonales y las dos que unen los puntos medios de cada lado.

15.112 ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero? Dibújalos.

Respuesta: 3 ejes de simetría por tener sus lados y ángulos iguales.

Dibujo:

15.113 ¿Cuántos ejes de simetría tiene un hexágono regular? Dibújalos.

Respuesta: 6 ejes de simetría.

Dibujo:

Si por cualquiera de las líneas de color doblase el papel que contuviera esta figura, coincidirían ángulos y líneas.

15.114 ¿Cuántos ejes de simetría un triángulo isósceles? Razona tu respuesta. Dibuja.

Respuesta: 1 eje de simetría. No es un polígono regular, de los tres lados y tres ángulos, dos son iguales, luego al no ser un

polígono regular, no tiene tantos ejes de simetría como número de lados.

Dibujo:

15.115 ¿Cuántos ejes de simetría un trapecio isósceles? Razona tu respuesta. Dibuja.

Respuesta: 1 eje de simetría. Al no tener sus 4 lados y ángulos iguales su único eje de simetría vendría dado por su altura siempre que ésta una los puntos medios de los lados paralelos.

Dibujo:

15.116 ¿Cuántos ejes de simetría un trapecio rectángulo? Razona tu respuesta. Dibuja.

Respuesta: Ninguno por no tener sus lados diferentes no es un polígono regular. Generalmente, los polígonos irregulares no son simétricos.

Dibujo:

No hay posibilidad de trazar ningún eje de simetría.

15.117 ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo escaleno? Dibújalo.

Respuesta: Ninguno.

Dibujo:

Tienen distintas medidas sus lados y ángulos, por lo tanto, no es una figura simétrica.

FIGURAS CONGRUENTES

La palabra congruencia procede del latín congruere que significaconvertir a un tiempo.Dos figuras son congruentes cuando una pueda ser convertida en la otra.

Luego, si una es convertida en la otra, ambas figuras serán iguales y cuando las superponemos coincidirán en todos sus puntos.¿Cómo llevamos a cabo la conversión (que una se convierta en la otra)?

Sencillamente por medio de movimientos. Estos movimientos generalmente son de rotación y traslación.También puedes dibujar una figura en un papel transparente y llevar el dibujo obtenido sobre el otro y si coinciden en formas y tamaños en todos sus puntos puedes asegurar que las dos figuras son congruentes.

15.118 ¿Son congruentes los segmentos y que muestra la figura siguiente? Razona la respuesta.

Respuesta: Sí son congruentes. Basta trasladar el punto C sobre el A y después girarlo, coincidirán todos los puntos del segmento.

15.119 ¿Son congruentes los ángulos de la figura que tienes a continuación?

Respuesta: Si son congruentes.

15.120 ¿Son congruentes los triángulos que ves a continuación?A veces, por causa de efectos ópticos debidos a colores y formas muchas figuras nos pueden hacernos equivocar cuando las observamos a simple vista.

Respuesta: Sí son congruentes.

ASIMETRÍA

Muchas palabras de origen griego que comienzan por a como: asimetría, ateo, átomo, etc., para saber su significado, eliminas la “a” (significa sin) y en nuestros ejemplos nos quedarían:simetría, teo, tomo. Pues bien, si les antepones la “a” significan lo contrario, por ejemplo, asimetría significa desigualdad, desequilibrio, desproporción,….

La palabra griega teo que significa Dios, ateo significará sin Dios.

La palabra griega tomos significa dividir, átomo significa indivisible.

Las figuras que no tienen eje de simetría se llaman asimétricas.

TRAPEZOIDES

En primer lugar nos referimos a los trapezoides simétricos, es decir, que tengan un eje de simetría.

Se llama trapezoide simétrico al que tiene los lados consecutivos de igual medida.

Sus diagonales son perpendiculares y posee un eje de simetría:

En la siguiente figura observamos que los lados AB y AD son iguales lo mismo que CB y CD.

Las diagonales BD y AC son perpendiculares y se cortan en O que es el punto medio de la diagonal BD.

El eje AC sería el eje de simetría.

TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO

Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos ni eje de simetría.

Comprobarás que la figura precedente no tiene lados paralelos. La suma de sus ángulos interiores será de 360º, como todos los cuadriláteros.

15.121 ¿Qué tienen en común los trapezoides simétricos y asimétricos?

Respuesta: Que son cuadriláteros.

15.122 Escribe el nombre de cada una de las figuras que tienes a continuación:

Respuestas:

1) Trapezoide asimétrico

2) Trapecio rectángulo

3) Paralelogramo: romboide

CIRCUNFERENCIA

Hemos estudiado los polígonos y a la circunferencia la podemos considerar como un polígono de infinitos lados. Observa las figuras siguientes:

Verás que cuanto más lados tenga el polígono más se parece a una circunferencia. Si en el número de lados en infinito podemos hablar de una circunferencia.

DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA

Nos referimos a la definición tradicional en la que se nos dice que una circunferencia es: una curva cerrada en la que todos los puntos de esta curva equidistan (están a igual distancia) de otro punto interior que llamamos centro(color azul).

En la figura anterior tenemos en color rojo una LÍNEA curva cerrada. Cada punto de la línea curva cerrada o circunferencia la unimos con una recta (color negro) con el punto del centro (azul).

Cada recta a la que llamamos radio medirá exactamente lo mismo.

Longitud de la circunferencia

Presta mucha atención a lo que hemos dicho referente a la circunferencia de que se trata de una línea curva cerrada en la que cada punto de esa línea equidista del centro.

Supongamos que tenemos un aro de alambre. Si damos un corte al aro, y estiramos al alambre nos quedará una línea recta cuyalongitud será la misma de la que tiene la circunferencia que corresponde al aro.

Observa la figura que tienes a continuación:

La distancia AB es la longitud de la circunferencia.

Otra forma para medir, por ejemplo, la longitud de una rueda delantera de un coche, tal como lo vemos más abajo, sería hacer una señal en la rueda y en el suelo. Después, movemos el coche de modo que la pintura de la rueda coincida con el suelo y en ese lugar volvemos a marcar en el suelo.

La distancia entre las dos señales del suelo corresponderá a la longitud de la rueda:

Diámetro

El diámetro es la línea que une dos puntos de la línea de la circunferencia y que pase por el centro de la misma

Los puntos A y B situados sobre la línea de la circunferencia y que pasa por el centro de ella es un diámetro.

Lo mismo sucede con las líneas que unen los puntos C y D, y E y F, también son diámetros de la misma circunferencia.

15.123 Fijándote en la última figura ¿a qué equivale la longitud del diámetro de cualquier circunferencia?

Respuesta: A dos veces la longitud del radio.

15.124 ¿Cómo se llama a la distancia máxima entre dos puntos de una circunferencia? ¿Por qué punto pasará?

Respuesta: Diámetro. Pasará por el centro de la circunferencia.

CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

Como es lógico, habrás pensado hace un rato, que para calcular la longitud de una rueda, de un aro metálico, etc., no vamos a poner pintura en un punto de la rueda o del aro y hacer rodar hasta que nos haga una segunda señal en el suelo para después medir la distancia entre ambas señales.

Sería descabellado decir que con cortar el aro y enderezarlo ya podíamos medir su longitud.

La historia del cálculo de la longitud de una circunferencia tiene su historia, y muy larga por cierto. Casi 4 mil años ya comenzaron a darse cuenta algunos que se dedicaban al estudio de la naturaleza que algo raro pasaba entre el diámetro de una circunferencia y laperiferia (de ahí el nombre de pi) o la curva o longitud de la circunferencia.

Hacían circunferencias con materiales blandos y de este modo medían, calculaban fácilmente sus longitudes. Dividían las longitudes de las diversas circunferencias y las dividían entre sus diámetros y siempre obtenían casi el mismo cociente.

Daba igual que la circunferencia tuviera un diámetro grande que uno pequeño, siempre obtenían casi el mismo resultado.

Hablamos de casi porque el número que resultaba de dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro no acababa nunca.

Las cifras decimales del cociente nunca se acaban.

Para que te des una idea, observa el valor de tal cociente con sus 200 primeras cifras decimales:

Como comprenderás, a este número había que darle un nombre para ahorrarnos complicaciones y pérdidas de tiempo, pues bien, por eso de periferia se le llamó PI y se le representa por la letra griega y se ha tomado la costumbre de utilizar para pequeños cálculos 4 decimales redondeando la cuarta cifra

decimal quedándonos el valor de

Trabajando con circunferencias. Para que adquieras un buen conocimiento de la circunferencia y el cálculo de su longitud, sirviéndote de una regla y un compás vamos a hacer alguna pequeña práctica.

Dibuja una recta de 9 cm., que será el diámetro. Después, calcula la mitad de la misma y coloca la aguja del compás en ese punto, es decir, a 4,5 cm., del origen del diámetro y traza una semicircunferencia que pase por el origen y final del diámetro, tal como tienes en la figura:

Si ahora estirásemos la semicircunferencia hasta ponerla recta la veríamos sobrepasando a la longitud del diámetro en algo más de 5,13 cm. Lo ves en la figura siguiente:

En la figura que tienes a continuación hemos dibujado algo así como una rueda girando y avanzando.

El radio de la rueda, es decir, la mitad del diámetro viene representado por una flecha roja. Al comienzo del movimiento de la rueda, la flecha señala el suelo.

A medida que la rueda avanza hacia la derecha la flecha va cambiando de posición.

Cuando la flecha coincida con el suelo por segunda vez querrá decir, que la rueda ha dado un giro completo o lo que es lo mismo, la rueda ha dado una vuelta completa y la medida entre estas dos posiciones de la flecha equivaldrá a la longitud de la rueda.

Observa que el diámetro de la rueda mide 4 cm., y la longitud de la rueda es de 12,5663 cm., (puedes comprobar con una regla graduada).

Si divides la longitud de la circunferencia entre el diámetro obtienes el valor de es decir, 3,1416 (no tenemos en cuenta el resto de las cifras decimales).

15.125 Observa la figura en la que el personaje Obélix estira la semicircunferencia. Comprobarás que el diámetro mide 9 cm., y la longitud de la semicircunferencia 14,137 cm. El cociente entre estas dos magnitudes ¿corresponderá con el valor de ? Razona la respuesta.

Respuesta: No, porque en este caso, estamos averiguando la longitud de media circunferencia. El diámetro por equivale a la longitud de la circunferencia y en este caso sería: Pero como se trata de la mitad de la circunferencia, el valor de

ésta sería: cm., y si divides que es exactamente, la mitad del valor de .

15.126 Tienes tres ruedas de distintos tamaños que puedes ver en la siguiente figura:

¿Serán iguales los cocientes de dividir sus longitudes respectivas entre sus diámetros? Razona la respuesta.

Respuesta: Sí, sus cocientes valen 3,1416 porque no importan sus tamaños, sino el cociente de dividir la longitud de cada una de ellas entre el valor de su diámetro

FÓRMULA PARA EL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

Has visto hasta este momento que en lo que se refiere a la circunferencia hemos utilizado 2 valores: diámetro y No es costumbre utilizar el diámetro, sino el valor del radio.

Mientras no digamos lo contrario, a partir de este momento, usaremos el radio cuando nos refiramos a la circunferencia. Recuerda que el radio es la mitad del diámetro.

La longitud de una circunferencia depende de dos valores, uno de ellos se mantiene invariable, el valor de y el otro valor el del radio.

Cuanto mayor sea el valor del radio, mayor será la longitud de la circunferencia y el otro factor que aparece en todo los cálculos de longitudes de circunferencias y se mantiene siempre con el mismo valor sea grande como pequeña la figura es La longitud de la circunferencia depende del tamaño del radio. El factor se mantiene en el cálculo de las longitudes de todas las circunferencias.

Si representamos por L la longitud de una circunferencia y por r el valor del radio, diremos que:

Sería lo mismo que multiplicar el diámetro ( 2x ) por 3,1416 ( )

15.127 Calcula la longitud de una rueda cuyo radio mide 3,5 dm. La respuesta debe contener 3 decimales.

Respuesta: 21,991 dm.

15.128 Una circunferencia tiene una longitud de 124,756 cm. ¿Cuánto vale el radio? (respuesta con 3 decimales).


Solución:

Sustituyo los valores que conozco en la

fórmula y obtengo: de donde:

15.129 Una circunferencia cuya longitud vale 123,45 m. ¿cuál es el valor de su diámetro?


ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Es necesario que aprendas los elementos de toda circunferencia:

1) centro. El punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

2) radio. Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

3) cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia sin que pase por el centro:

4) sagita: Segmento que une el centro de un arco de circunferencia con el punto medio de la cuerda que le corresponde:

El segmento es la sagita.

5) diámetro: Segmento o cuerda que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia que pase por el centro de la circunferencia.

Todas líneas en rojo son diámetros.

6) ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma.

En este caso, el ángulo central vale 59º.

7) arco: Es una parte, una porción, un trozo comprendido entre dos puntos de la circunferencia:

La curva comprendida entre los puntos A y B de la circunferencia, es la parte o porción de la misma que se llamaarco.

POSICIONES RELATIVAS DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

La posición de un punto con relación a una circunferencia puede ser triple:

1) Que el punto esté fuera de la circunferencia.

2) Que esté sobre la misma línea de la circunferencia.

3) Que el punto esté dentro de la circunferencia.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

Una recta respecto a una circunferencia puede ocupar las siguientes posiciones:

a) Si una recta no tiene ningún punto en común con una circunferencia la llamamos recta exterior a la circunferencia:

Como ves, la circunferencia y la recta no tienen ningún punto perteneciente a la vez, a ambas figuras.

b) Si una recta tiene un punto en común con una circunferencia decimos que se trata de una recta tangente a la circunferencia:

Tangente es una palabra que procede del latín y significa tocar,palpar.La recta es tangente a la circunferencia en el punto A. Le toca en el punto A.

El punto A de la recta es también un punto de la circunferencia, es decir, que el punto es común para la recta y para la circunferencia y se le llama punto de tangencia.. También podemos decir que una recta es tangente a una circunferencia cuando la distancia entre el centro de la circunferencia al punto común es igual al radio:

El punto P es común para la recta y para la circunferencia, y la distancia entre P y el centro de la circunferencia equivale al radio.

c) Si una recta tiene dos puntos comunes con una circunferencia decimos que se trata de una recta secante a la circunferencia.

La palabra secante que procede de la palabra latina secaresignifica cortar.

Podríamos decir también que una recta es secante a una circunferencia si le corta a ésta por dos puntos:

Observarás que la recta corta a la circunferencia en los puntos Ay B a la circunferencia.

15.130 ¿Puedo trazar tres rectas tangentes a una circunferencia por el punto de tangencia? Razona la respuesta.

Respuesta: No, solamente una.

Razonamiento:

Observa la figura siguiente:

El radio OA es perpendicular a la recta r en el punto de tangencia por formar entre ambas (radio y recta) un ángulo de 90º, luego la recta r es tangente a la circunferencia en el punto A que está sobre la circunferencia.

Si trazamos otra recta, la recta s, como te muestra la figura siguiente, el punto de tangencia ha cambiado de lugar.

Ves que el radio OB forma un ángulo de 90º con la recta s, es decir, es tangente en el punto de tangencia B mientras que la recta r es tangente a la circunferencia en el punto A.Tenemos dos rectas tangentes en puntos diferentes sobre la circunferencia.Por cada recta que tracemos tendremos un nuevo punto de tangencia.

15.131 Desde un punto exterior a una circunferencia ¿cuántas tangentes a ella puedo trazar? Dibuja.

Respuesta: Dos tangentes.

Dibujo:Lo vamos a hacer en partes:

1) dibujo una circunferencia y el punto exterior:

2) dibujo una segunda circunferencia que pase por el punto exterior A y por el centro de la circunferencia O:

Los puntos T1 y T2 son los puntos de tangencia.

3) Ahora dibujo dos rectas que nacen en A y pasan por T1 y T2 y serán las tangentes a una circunferencia desde un punto exteriorA:

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Hemos estudiado hasta ahora las posiciones relativas de un punto y una recta respecto a una circunferencia. Ahora estudiarás las posiciones relativas de una circunferencia respecto a otra circunferencia.

1) Dos circunferencias pueden ser exteriores una respecto a la otra cuando no tienen ningún punto en común y la distancia entre los centros de ambas es mayor que la suma de sus radios.

Comprobarás que la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios:

2) Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando la suma de sus radios es igual a la distancia de sus centros, lo que

quiere decir que:

Siendo r el radio de la circunferencia más pequeña y R el de la mayor y D la distancia entre los centros:

3) Dos circunferencias son secantes cuando la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.También decimos que dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes:

4) Dos circunferencias son tangentes interiores cuando éstas tienen un solo punto común.En estas circunferencias la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios:

Las dos circunferencias tienen un punto común, en P.Puedes comprobar que la distancia entre los centros de ambas circunferencias es igual a D y la diferencia entre las longitudes de los radios R y r, verás que es también igual a D.Es muy importante que te fijes bien en que las distancias de los centros de las circunferencias tangentes interiores debe ser igual a la diferencia de sus radios.

Podemos escribir la siguiente igualdad, como resumen a todo lo dicho hasta ahora:

5) Una circunferencia es interior a otra circunferencia cuando no tienen ningún punto en común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de las longitudes de sus radios.Lógicamente, podemos dibujar más de una circunferencia interior mientras se cumplan las condiciones indicadas más arriba.

Tienes en la figura precedente dos circunferencias cuyos radios son R = 3,5 cm., y r = 1,1 cm.La circunferencia pequeña se encuentra dentro de la mayor y no tienen ningún punto en común.La distancia entre los radios es de 1,24 cm. La diferencia entre las medidas de los radios es: 3,5 – 1,1 = 2,4.Comprobamos que la diferencia de los radios es mayor que la distancia entre sus centros.

6) Dos circunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro pero sus radios tienen distintas medidas.

15.132 ¿Pueden dos circunferencias compartir la misma recta tangente? Razona y dibuja.

Respuesta: Sí, siempre que las circunferencias sean tangentes interiores.Dibujo:

En la siguiente figura dibujamos las dos circunferencias interiores tangentes. El punto P es común para la recta y para las dos circunferencias.

15.133 ¿Cuántas circunferencias tangentes interiores puedo dibujar? Razona la respuesta y dibuja.

Respuesta: Puedo dibujar tantas como quiera mientras cumplan las dos condiciones: 1ª) que la distancia entre sus centros sea igual a la diferencia de sus radios, y 2ª) que todas tengan un punto común.

Dibujo:Debes ir comprobando en la figura lo que se te va diciendo.Los centros de las circunferencias en orden de mayor radio a menor las tienes representadas por: C1, C2 y C3.

En la parte superior de los centros indicados, tienes las distancias entre ellos.Analicemos paso a paso:Entre el centro de la circunferencia más grande y la circunferencia mediana verás la indicación de 30 unidades, es decir: C1 – C2 = 1,5 cm.Entre los centros de la circunferencia más grande y el centro de la menor: C1 – C3 = 3,5 cmEntre los centros de la circunferencia mediana y la menor: C2 – C3 = 2 cm. Estas medias debes compararlas con las que obtenemos de restar los radios:La longitud del radio de la circunferencia más grande: r1 menos la longitud del radio de la circunferencia mediana r2, lo que equivale a: 5 – 3,5 = 1,5 cm., coincide con la distancia entre sus centros.

La longitud del radio de la circunferencia más mediana: r2 menos la longitud del radio de la circunferencia más pequeña r3, lo que equivale a: 3,5 – 1,5 = 2 cm., coincide con la distancia entre sus centros.La longitud del radio de la circunferencia más grande: r1 menos la longitud del radio de la circunferencia más pequeña r3, lo que equivale a: 5 – 1,5 = 2 cm., coincide con la distancia entre sus centros.

15.134 Una circunferencia de radio 4 cm., contiene en su interior otra circunferencia de radio 3 cm. ¿Crees que es posible que la segunda circunferencia sea interior? Razona y comprueba con un dibujo.

Respuesta: Sí, siempre que la diferencia de sus radios sea mayor que la distancia entre sus centros.

Dibujo:

Puedes comprobar en la figura que la distancia entre sus centros es de 0,5 cm., y la diferencia de sus radios 4 – 3 = 1 cm., por lo tanto, se cumple la desigualdad.

15.135 Supongamos que tienes una bicicleta y que el radio de la rueda mide 0,5 m. ¿Qué distancia en metros has recorrido después que las ruedas hayan dado 100 vueltas?

Respuesta: 314,16 m.

Solución:

Por cada vuelta recorre:

Tras girar 100 vueltas habrá recorrido:

15.136 El radio de una rueda de una bicicleta mide 0,45 m. ¿Cuántas vueltas completas deben dar las ruedas para recorrer una longitud de 500 m.?

Respuesta: 176 vueltas completas

CALCULAR LA LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA

Arco, como ya lo sabemos es un trozo, una parte de la longitud de la circunferencia.

El arco es la parte de la longitud de la circunferencia que corresponde al ángulo central O de 82º.

Compruebas que una circunferencia de radio 3,41cm., cuya

longitud total sería de

Esta longitud corresponde a la longitud total de la circunferencia, es decir, a los 360º.Lo que tenemos que calcular ahora es la longitud del trozo de circunferencia que corresponde a 82º. Para ello, con una regla de tres podemos conocerla:

Vemos que la longitud del arco es de 4,88 cm.

15.137 Calcula la longitud del arco de una circunferencia correspondiente a un ángulo de 50º siendo 4 cm., el radio de la circunferencia.

Respuesta: 3,49 cm.

Solución:A la longitud total de la circunferencia que es

de:

La regla se tres será: A 360º (toda la circunferencia) corresponden 25,12 cm. a 50º corresponderá una longitud de……… x cm.de donde,

15.138 ¿Qué longitud de arco corresponden a 30º en una circunferencia de 8 cm., de radio?

Respuesta: 4,18 cm.La longitud del arco dependiendo del radio y del ángulo:La longitud es mayor, cuanto mayor sea el ángulo central de la circunferencia y también dependerá de la longitud del radio de la circunferencia.

Cuanto mayor sea el ángulo central más larga será la longitud del arco y cuanto mayor sea el radio más larga será la longitud del arco:

En la figura anterior puedes comprobar que la longitud del arco es mayor cuanto mayor valor sea el radio, sin variar el ángulo. Lo puedes comprobar en la figura anterior.Con el mismo radio y distintos ángulos centrales, la longitud del arco será mayor cuanto mayor sea el ángulo central:

15. 139 Un arco de circunferencia mide 3,49 m. y el radio 5 m. ¿Cuál es el valor del ángulo?

Respuesta: 40º

Solución:

Si a la longitud de toda la circunferencia corresponden 360º a una longitud de 3,49 m correspon. xº

de donde

15.140 Un arco mide 2,11 m., y su ángulo central 30º ¿cuál es el valor del radio?

Respuesta: 4 m.

Solución:Si a 30º corresponde una longitud de 2,11 m.

A 360º corresponderán………………x .

La longitud de toda la circunferencia vale: 25,32, luego ponemos la fórmula y despejamos el valor del radio:

RADIÁN

Se trata de una palabra adoptada el año 1960 por el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES cuya oficina se encuentra muy cerca de París y que sirve así como el metro es la unidad para medir longitudes, el litro es la unidad para medidas de volumen o de capacidad, el kilogramo, unidad para medir masas, …..el radián se toma como unidad para medir ángulos. Es importante que todos los países tengamos las mismas unidades para medir distancias, pesos, áreas, volúmenes, ángulos, etc.

Es de uso frecuente el tomar como unidad en la medición de

ángulos el grado sexagesimal que equivale a (360 son los grados de un ángulo completo). A su vez, un gradosexagesimal se divide en minutos y segundos. 1 grado tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos, de ahí el nombre desexagesimal.

Existe otra unidad de medida de ángulos y es la que refiere a tomar como unidad a la centésima parte de un ángulo de 90º.Si tomas un ángulo recto y lo divides en 100 partes iguales, cada parte es un grado centesimal.Un grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal en 100 segundos centesimales. Al dividir a un ángulo recto en 100 grados centesimales, una circunferencia tendría 400 grados centesimales.

El modo de escribir abreviadamente el sistema sexagesimal

(que ya lo has estudiado) es: En el caso del sistema centesimal hay varios modos señalamos

uno:

Con el fin de que todos utilicemos el mismo sistema se adoptó elradián. Sucede que todavía el radián no es de uso corriente en todos los países ni por las personas de un mismo país. Hoy en día, las calculadoras, ordenadores, etc., los cálculos de medidas de ángulos los hacen en radianes.

¿Qué es un radián? El radián es un ángulo central cuyo arco corresponde a la longitud del radio. Se escribe 1r = 1 radián o 1rad.Ten cuidado, porque a muchas personas les cuesta un poco entender este concepto que verás es muy sencillo.

Fíjate bien en la figura siguiente:

Se trata de una circunferencia de radio R que mide 3,3 cm. El ángulo central ves que es 1r, es decir, mide 1 radián.Cuando los lados del ángulo central (los radios R) abarcan, encierran o contienen a un arco o trozo de la circunferencia cuya longitud (en azul)sea igual a la longitud del radio (R), decimos que el ángulo central mide 1 radián.

Si separamos el arco del resto de la circunferencia y medimos tal como lo ves:

Vemos que mide 3,16 cm., en lugar de 3,3. Es lógico, porque no hemos tenido en cuenta su curvatura.Si lo enderezásemos tendríamos (pasamos de A a B):

Vemos que el arco (“enderezado”) mide 3,3 cm., lo mismo que el radio de la circunferencia. Podemos afirmar que, en este caso, el ángulo central mide 1 radián.

¿CUÁNTOS RADIANES TIENE UNA CIRCUNFERENCIA?

Sabemos que la longitud de la circunferencia viene dada `por la fórmula:

Sabemos también que un radián es un ángulo central cuya longitud de arco equivale al radio.

Si una circunferencia tiene una longitud de y cada radián

tiene una longitud de r (radio), el cociente: será igual al número de radianes que tiene una circunferencia.Simplificando

obtengo:

Conocida esta equivalencia podemos resolver fácilmente los problemas de conversiones entre radianes y grados y entregrados y radianes:Supongamos que queremos saber cuántos radianes son 25º:Con una simple regla de tres: A 180º corresponden (3,1416)radianes a 25º corresponderán x “

En la figura vemos que el ángulo de 25º equivale a 0,436 radianes.Vamos a suponer que tenemos 0,8 radianes y necesitamos saber a cuantos grados corresponden.Por medio de la regla de tres: 3,1416 ( ) radianes …………..180º 0,8 “ ………….. xº

15. 141 ¿A cuántos radianes equivalen 135º?Respuesta: 2,36 radianes

15.142 ¿Cuántos grados son 1,05 radianes?Respuesta: 60º

15.143 ¿Cuántos grados son 0,52 radianes?Respuesta: 30º

LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Podemos dibujar ángulos que se relacionen con la circunferencia. Según la posición que ocupen reciben nombres apropiados con relación a esa posición.

Cuanto se refiere a los ÁNGULOS en la circunferencia, siempre RELACIONAMOS a éstos con los ARCOS que forman.

1) Ángulo central: nos hemos referido a él en más de una ocasión; se trata del ángulo formado por dos radios que son sus lados y su vértice se encuentra en el centro O de la circunferencia.

En la figura siguiente ves que el arco corresponde al ángulo

central Ô que lo representamos con el acento circunflejo sobre la letra que representa el vértice del ángulo.

El arco corresponde al ángulo central o lo que es lo mismo, la longitud del arco comprendido entre sus lados (los

radios) pertenece al ángulo central y su medida es de 96º.Cuanto mayor es el ángulo central mayor será la longitud del arco que abarcan sus lados:

Vas a tener en cuenta que cuando representamos con letras un

ángulo, por ejemplo significa que la letra señalada con en este caso la O, nos referimos a que el vértice del ángulo se encuentra en dicha letra.

Cuando nos refiramos a un arco entre dos puntos señalados con letras, por ejemplo: el arco entre los puntos A y B lo

representamos:

Las dos circunferencias de la última figura de igual radio, la longitud del arco vemos que están en razón directa con la medida del ángulo central: a mayor medida del ángulo central corresponde mayor longitud de arco. La

longitud es decir, a 50º corresponde el arco y a

111º corresponde y puedes comprobar que a mayor ángulo central corresponde mayor longitud de arco.Muchas veces cuando nos referimos a las medidas de los arcosde la circunferencia hablamos de lo que miden sus longitudes en: m., dm., cm., pero también podemos referirnos a su medida en grados, minutos y segundos, incluso en radianes.Cuando decimos que un arco mide 75º12’13’’ quiere decir que su ángulo entral tiene la misma medida.

Las medidas de los arcos de la última figura puedes expresarlos

también en grados: el arco mide 50º y arco 111º.Las medidas de los ángulos y arcos de una circunferencia se miden en grados, minutos y segundos.

15.144 Una circunferencia tiene un radio de 5 m. ¿Cuánto mide un arco de esta circunferencia que corresponde a un ángulo central 60º?

Respuesta: 5,23 m.

Solución:

La longitud total de la circunferencia m., corresponde a 380ºUna longitud de………………………..X m. corresponden a 60º

15.145 ¿Cuál es la longitud de un arco en metros sabiendo que su ángulo central vale 65º y su radio 8 m.?

Respuesta: 9,07 m.

2) Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la misma línea de la circunferencia y sus lados la cortan.

Ves que el vértice se encuentra en el punto P de la circunferencia y los lados del ángulo inscrito cortan a la circunferencia en A y enB.

¿Cuál es la medida del arco correspondiente a este ángulo inscrito de 44º? Por supuesto que no se trata de la

longitud del arco por que el ángulo tendría que ser central.

Modo de calcular el valor de un ángulo inscrito: En primer lugar trazo una línea que une el punto B con el centroO, tal como lo puedes ver en la figura siguiente:

El segmento OB y el segmento OP son iguales por tratarse del radio. Esto quiere decir que si los lados con vértice en O son iguales, los ángulos cuyos vértices están en B y en P serán iguales.Las medidas de estos ángulos los tienes a continuación y

comprobamos que tienen 44º:

Ahora observa bien la figura siguiente que como estudiamos con anterioridad e hicimos la demostración correspondiente sobre elvalor de un ángulo exterior de un triángulo, decíamos que era igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes:

El ángulo con vértice en O es igual a los valores de los ángulos

cuyos vértices están en B y en P, podríamos escribir:

Vemos que los ángulos ambos valen en nuestro ejemplo 44º.

La igualdad podemos escribirla por ser

iguales los ángulos

Esto quiere decir que podemos escribir: y de

esta igualdad despejamos :

Comprobamos que el ángulo central en vale 88º, es decir, el doble

que los ángulos inscritos y abarca el arco Esto significa que

la medida del arco que abarca el ángulo o el ángulo valdrán la

mitad de lo que abarca el ángulo central ,es decir, .

El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, luego, la medida del arco correspondiente a un ángulo inscrito equivale a la mitad del arco que comprenden sus lados o a la mitad del ángulo central correspondiente.

3) Ángulo semi-inscrito: El ángulo semi-inscrito es el que su vértice se encuentra en un punto de la circunferencia, y sus lados, uno es tangente y el otro secante con relación a la circunferencia:

En la figura siguiente señalamos el centro y creamos el ángulo

central . El lado del ángulo central es perpendicular allado

secante . El lado del ángulo central es perpendicular al

lado tangente :

Pasamos a la figura siguiente y puedes ver que hemos creado

los ángulos que abarca el arco y que abarca el

arco , es decir, los ángulos en y en . Estos ángulos son iguales (en este caso miden 46º) porque sus lados son perpendiculares:

El arco corresponde al ángulo central de 46º. Podemos escribir:

Como el valor del arco correspondiente al ángulo central es el que abarcan sus lados escribimos:

También podemos decir que:

debido a que OD es mediatriz de CE.

Como el arco es la mitad del arco podemos escribir:

Como , podemos decir que

también: Si ahora sustituyes :

tenemos la igualdad :

La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan los lados.Todo lo explicado sobre el ángulo semi-inscrito lo puedes ver en el gráfico siguiente:

Sucede como si se tratara de un ángulo inscrito. Comprobamosque la medida del ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del ángulo central y es igual, a la mitad de la medida del arco que abarcan sus lados.

LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. (Cont.)

15.146 ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice señalamos con X?. Razona la respuesta:

Respuesta: X=70º30’. Se trata de un ángulo inscrito y vale la mitad del arco que abarcan sus lados, es decir, la mitad del ángulo central.

15.147 ¿Qué valor tiene X en la figura siguiente? Razónala.

Respuesta: X=31º. Mismo razonamiento del problema anterior.

15.148 Halla el valor de X en la figura siguiente:

Respuesta: X=62º por ser ángulo central y tener el doble del valor del ángulo inscrito cuyos lados abarcan el mismo arco.

15.149 ¿Cuántos grados vale el ángulo X?

Respuesta: X=135ºSolución:

El ángulo es inscrito y sus lados abarcan el arco que corresponde al ángulo central de 270º, luego X valdrá la mitad

del ángulo central, es decir,

15.150 ¿Cuánto vale el ángulo X de la figura siguiente y cuál la longitud del arco que abarcan sus lados?

Respuesta: X= 136º30’: longitud del arco =

4) Ángulo interior: Un ángulo interior es el que tiene su vértice en un punto interior cualquiera de la circunferencia y sus lados son secantes a ella:

El ángulo es un ángulo interior del que a continuación vamos a deducir el valor del arco que abarcan sus lados..

En primer lugar prolongamos los lados y :

Ahora unimos los puntos A y D:

Si te fijas bien, el ángulo es un ángulo inscrito y vale la

mitad del central la longitud del arco que le corresponde

es :

Ves que el ángulo vale 73º, es decir, la mitad del ángulo central que mide 146º, abarcando los lados de ambos ángulos el mismo arco.

Podemos decir que

El ángulo también es un ángulo inscrito y le corresponderá

el arco

Escribiremos la igualdad

En el triángulo el ángulo en verás que es un ánguloexterior, por lo tanto, vale la suma de los interiores no adyacentes a él:

Lo representamos en la figura siguiente:

Puedes comprobar que los ángulos interiores con vértices en y

en suman los mismos grados que el exterior en :

La igualdad puedo escribirla según todo lo que acabamos de estudiar:

La medida de un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que abarcan los lados y las prolongaciones de éstos.

15.151 ¿Cuánto vale un ángulo interior a una circunferencia si los arcos abarcados por sus lados y sus prolongaciones miden 81º y 33º? Dibuja.

Respuesta: 57ºSolución:

El arco mide 81º y el arco 33º la semisuma de ambos

vale 57º tal como te indica el ángulo

Observa en la figura las medidas de los ángulos centrales (en

color magenta) tienen las mismas medidas que sus respectivos arcos.

15.152 Un ángulo interior a una circunferencia mide 42º y uno de sus arcos 54º ¿Cuánto medirá el otro arco?

Respuesta: 30º

5) Ángulo exterior: Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados

respecto a ésta pueden ser secantes, tangentes, o un lado secante y el otro tangente.Vamos a estudiar los tres casos:1º Los lados son secantes:

El ángulo que en la figura vale 20º es un ángulo interior

del triángulo y el ángulo que vale 17º es el otro ángulo interior no adyacente al exterior que vale 37º.

Sabemos que el valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes:

Sabemos que el ángulo es un ángulo inscrito y la medida

del arco que abarcan sus lados es .

Lo mismo sucede con el ángulo que es un ángulo inscrito y

la medida del arco es igual .

Ahora se trata de saber la medida de arcos que corresponde al

ángulo exterior .

Vemos que

Nos interesa despejar

Donde

Sustituyendo por las medidas de los arcos conocidos obtengo:

El valor de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.

2º Los lados son tangentes:

El razonamiento es igual al caso anterior. El ángulo es exterior del triángulo que equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes:

El ángulo es un ángulo semi-inscrito lo mismo que y

las medidas de los arcos que abarcan sus lados son respectivamente.

Los ángulos y son iguales, podemos escribir:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual al exterior no adyacente a ninguno de ellos.

Despejando el valor de

Sustituyendo los valores de y por los arcos que

abarcan sus lados llegamos:

Como ves, estamos en el mismo caso como el estudiado cuando los lados eran secantes.

3º Los lados son uno tangente y el otro secante:

En esta figura ves lo mismo de lo que hemos estudiado en el caso anterior. La suma de los ángulos interiores del

triángulo que suman 147º + 32º = 147º es igual al exterior no adyacente a ninguno de los otros dos.Siguiendo lo explicado en casos anteriores vemos que:

En los tres casos, el valor del ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.

LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. (Cont.)

15.153 Calcula las medidas de los arcos que abarcan los lados de un ángulo exterior a una circunferencia de 39º sabiendo que un arco es el triple del otro.

Respuesta: 39º y 117ºSolución:Si un arco mide xº el otro medirá 3x

Haciendo aplicación de la fórmula:

El arco menor mide 39º y el mayor

15.154 Dos tangentes a una circunferencia forman un ángulo de 46º ¿Cuánto mide el menor de los arcos que forman en la circunferencia?

Respuesta: 134ºSolución

Al menor de los arcos le damos el valor XEl mayor medirá……………………….360 – X

Aplicando la fórmula tendremos:

15.155 Trazamos una secante a una circunferencia y forma un arco de 130º. ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice está en el punto donde se encuentran la secante y el diámetro de la circunferencia? Dibuja la figura.

Respuesta: 25º SoluciónEn muchos problemas, si dibujamos bien la figura hemos conseguido más de la mitad de su solución. Es importante acompañar, siempre que sea posible, cada problema con su correspondiente figura.Comenzamos a trazar la secante a la circunferencia y el arco de 130º:

Ahora le añadimos la diagonal (ha de pasar por el centro de la circunferencia y se une con uno de los extremos de la secante:

Si ahora unimos el otro extremo de la secante con el centro y prologamos la línea:

Compruebo que me queda el triángulo isósceles cuyos ángulos los señalo del modo siguiente:

Como el ángulo central determina un arco igual al que abarcan sus lados conozco de este modo el valor de un ángulo del triángulo (por opuesto por el vértice) y los otros ángulos al ser iguales les doy el valor x a cada uno ellos, escribo la ecuación teniendo en cuenta que ka suma de los tres ángulos de un triángulo valen 180º:

La figura completa será:

15.156 Una secante a una circunferencia crea un arco de 86º. ¿Cuánto valen los ángulos inscritos cuyos lados pasan por los extremos de la secante? Dibuja el contenido del texto.

Respuestas: 43º y 137ºSolución:Trazamos la secante AB a la circunferencia con centro en O. Dibujamos los lados del ángulo inscrito que valdrá la mitad del ángulo central sin importarnos el punto de la circunferencia que elijamos, siempre tendrá el mismo valor mientras nos refiramos al mismo arco. Piensa que si tomamos los puntos de intersección de la secante a la circunferencia creamos dos arcos.Estos dos arcos los consideramos a continuación:

Los vértices en D, E y F valen lo mismo porque se refieren al mismo ángulo inscrito. Todos ellos valen la mitad del central y éste equivale al arco que abarcan sus lados.Otra solución:Otra respuesta la podemos obtener si elegimos al arco mayor como correspondiente al ángulo central:

En este caso el ángulo central abarca un arco de 274º lo que quiere decir que el inscrito en el punto C de la circunferencia vale la mitad, es decir, 137º.

15.157 Unimos por medio de una recta dos puntos A y C de una circunferencia y creamos un arco de 130º48’4’’. Por ambos puntos trazamos desde el punto exterior B a la circunferencia dos tangentes. ¿Cuánto valen los ángulos cuyos vértices se hallan en A, B y C?

Respuestas:

Solución:Los arcos en los que la cuerda AC ha dividido a la circunferencia miden 130º48’4” y 229º11’56”.

El ángulo

Los ángulos y son iguales porque el triángulo es isósceles. Si damos el valor de x a cada uno de ellos, podemos escribir la ecuación:

LUGAR GEOMÉTRICO

¿Qué se entiende por lugar geométrico?Imagínate una serie de puntos en un plano en que todos gozan de la misma propiedad a ese conjunto de puntos le llamamos lugar geométrico.Seguramente te he aclarado muy poco. Veamos un ejemplo muy sencillo.Últimamente hemos estudiado diversos aspectos de la circunferencia. La circunferencia la dibujamos en un plano, un papel, la pizarra, etc., y en realidad se trata de muchos puntos que poseen todos, la misma propiedad y es que equidistan (están a igual distancia) de otro punto fijo que llamamos centro.En este caso, la circunferencia es un lugar geométrico.

En la figura tienes 50 puntos muy grandes redondos de color amarillo. Todos estos puntos amarillos gozan de la propiedad de estar a la misma distancia del centro, representado por un gran punto circular de color rojo. La distancia de cada punto al centro viene representada por una línea azul y es la misma para todos los puntos amarillos.El lugar geométrico de los puntos amarillos representa a una circunferencia.

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos se llama mediatriz:

Cualquiera de las líneas de puntos de D tiene la misma longitud que su correspondiente en D’.

Recuerda que la mediatriz de un segmento es la perpendicular a este segmento cuyos puntos están a igual

distancia de A y B y divide a en dos partes iguales.Podemos

definir a la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B.

Todos los puntos de la mediatriz gozan de la propiedad de equidistar de dos puntos fijos.

Anteriormente definimos la bisectriz de un ángulo como la recta que partiendo del vértice divide a un ángulo en dos partes iguales.Ahora, como lugar geométrico de los puntos del plano, podríamos definir:Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.

En el siguiente dibujo vemos la bisectriz cuyos puntos están a igual distancia D del lado de las ordenadas que la distancia D’ con relación al eje de la abscisa:

En este caso, todos los puntos del plano de la bisectriz gozan de la propiedad de equidistar de los lados.

15.158 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan la misma longitud D respecto a otra recta dada?

Respuesta: Una recta paralela a otra dada.Solución:

Si tenemos una recta r:

y desde cada punto de esta línea coloco una distancia d:

Obtendré una sucesión de puntos que gozan todos de estar a la misma distancia d:

siendo estos puntos los que forman la nueva recta r’ paralela ar:

ARCO CAPAZ DE UN SEGMENTO

Se llama arco capaz de un segmento para un ángulo determinado, siempre con su misma medida, al lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve dicho segmento:

En esta figura puedes apreciar el arco que corresponde al

segmento Este arco está compuesto por los puntos del

plano desde los cuales vemos el segmento .

Te habrás dado que estos ángulos cuyos vértices crean el arco capaz son ángulos inscritos, como es lógico, todos tienen el mismo valor en nuestro ejemplo 63º. Desde este ángulo

podemos ver completamente el segmento .

Todos los puntos del plano desde donde vemos un segmento

llamamos arco capaz en nuestro caso del segmento .

Lógicamente no podemos representar todos los puntos del arco capaz de ver el segmento completamente, solamente hemos presentado seis.

POTENCIA DE UN PUNTO

Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de las distancias que hay desde un punto exterior a la c ircunferencia hasta cada uno de los puntos de intersección de la recta secante con la circunferencia.

Observa la siguiente figura en la que ves varias rectas secantes respecto a una circunferencia.

Todas ellas parten del punto P. El producto de las distancias entre dicho punto P y las intersecciones de cada recta con la circunferencia, se mantienen constantes.

Los producto de las distancias de:

15.159 La potencia del punto P de la figura siguiente vale 37,62. La distancia entre P y A es de 3,8 cm. ¿Cuántos cm., hay entre A y B?

Respuesta: 6,12 cm.

Solución:Me dice el enunciado del problema que:

15.160 Hallar las distancias y sabiendo que la potencia del punto P con relación a la circunferencia con centro en O vale 50 y una distancia vale el doble de la otra:

Respuestas:

SEGMENTOS PROPORCIONALES

¿Qué se entiende por razón de dos segmentos?

Se trata del cociente indicado de sus medidas: La razón de 5

cm., y 2 m., es:

¿Qué entendemos por proporción?Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:

El primero y últimos términos de una proporción (a y d), (5 y40) son los términos extremos. Los términos (b y c), (200 y 1)son los términos medios.

En toda proporción, el producto de los valores de los términos extremos es igual al producto de las medidas de los términos medios.

De un modo más breve se acostumbra decir: “Producto de medios igual al producto de extremos”.

THALES DE MILETOThales nació en la ciudad de Mileto (Grecia) alrededor del año 624 antes de Cristo y murió después de más de 70 años en la misma ciudad que ahora pertenece a Turquía.Ha sido uno de los hombres más sabios con muchos conocimientos de astronomía, matemáticas y filosofía.La frase: “La esperanza es el único bien común a todos los hombres, los que todo lo han perdido la poseen aún” es de Thales.Para nosotros, en este momento, es importante por su teorema.Teorema es algo que se expone, se ofrece o se propone como verdad que la podemos demostrar.

TEOREMA DE THALESDos rectas concurrentes r y s cortadas por paralelas (a, b, c y d ) los segmentos que se han creado en una de las rectas son proporcionales a sus correspondientes en la otra recta.

Nota. En algunas medidas de los próximos problemas los decimales de algunas medidas están redondeadas.

Comprueba detenidamente cuanto acabamos de decir observando la siguiente figura:

Formamos las razones siguientes:

Sustituimos los segmentos indicados por sus valores:

Hallamos los cocientes:

Los cocientes son iguales, luego:

es decir, que los segmentos creados en una recta son proporcionales a los correspondientes formados en la otra.Encontramos más proporciones entre los valores de los segmentos formados en una y otra recta.Vemos que:

También podemos establecer la siguiente proporción:

15.161 Calcula la distancia en el ejemplo siguiente:

Respuesta: 4,5 cm.

Solución:

La respuesta la obtenemos de la proporción:

15.162 Calcula el valor de x en la siguiente figura:

Respuesta: 3 cm.Solución:

15.163 Hallar la longitud del segmento en la siguiente figura:

Respuesta: 2,5 cm.

RAZÓN DE SEMEJANZA

Si nos fijamos en la figura siguiente podemos escribir las siguientes razones y proporciones teniendo en cuenta el teorema de Thales:

Cada una de las razones, es decir, cada uno de los cocientes indicados tiene el mismo valor. A este valor se le conoce con el nombre de razón de semejanza.

Sustituyendo los segmentos por sus valores:

hallamos la razón de semejanza 1,14

15.164 Calcula las medidas de los lados de un triángulo semejante al que tienes en la figura:

Sabemos que la razón de semejanza es 2.

Respuesta: 7,6 – 4,46 - y 5,82 cm.

SEMEJANZA DE POLÍGONOS

Polígonos semejantes son los que tienen iguales ángulos y suslados correspondientes son proporcionales.Comprobemos paso a paso lo que acabas de leer:

Hemos dibujado un triángulo donde indicamos el valor de sus ángulos.

Ahora trazamos el segmento

Los ángulos que se forman con lados comunes y lados paralelos son iguales, por lo tanto, los ángulos de los dos

triángulos son iguales y los lados:

son proporcionales.

Tomando medidas tenemos:

En: sustituimos por sus valores y btenemos:

Todas estas razones tienen el mismo valor (0,53 razón de semejanza), luego podemos escribir con valores numéricos:

Nota. Recuerda que en los cálculos no hemos tenido en cuenta todas las cifras decimales de ahí que se producen errores de varias décimas.

15.165 ¿Son semejantes los dos triángulos y de la figura siguiente?¿Por qué?

Respuesta: Sí, son semejantes porque tienen los mismos ángulos y los lados son proporcionales.

15.166 ¿Son semejantes los dos triángulos y de la figura siguiente?

¿Por qué son semejantes?

Respuesta: Sí, son semejantes. Tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales.

Aplicaciones

A veces, cuando estudiamos algunas materias nos preguntamos: “y esto,… ¿para qué sirve?”Hacerse este tipo de preguntas es muy aconsejable. Hallando las respuestas afianzamos la comprensión de lo que estamos estudiando.Veamos algunos ejemplos prácticos:

15.167 Imagina que te encuentras en el campo y ves el árbol de la figura siguiente y quieres saber la altura que tiene. El único dato y suficiente es que hace un día espléndido.

También tienes un metro en el bolsillo.

Respuesta: 9,475 m.

Solución:

1) Donde acaba la sombra del árbol clavo una estaca de madera en el suelo. Esta vara mide fuera de la tierra 1,6 metros y proyecta una sombra de 2,5 metros.

2) Al mismo tiempo calculo la longitud de la sombra del árbol, desde la base de su tronco hasta la estaca de madera y compruebo que hay 12 metros.

Estas medidas las tienes colocadas en la siguiente figura:

Comprobarás que este caso ya lo hemos estudiado. La figura representa a dos triángulos semejantes.

Estos triángulos semejantes son y . Tienen ángulos iguales y lados proporcionales.Siendo x la altura del árbol podemos escribir:

Podría haber escrito también la siguiente proporción:

SEMEJANZA DE POLÍGONOs (Cont.)

15.168 Calcula la altura del árbol de la figura siguiente:

Coloco un palo que mide 4 metros sobre la tierra y proyecta una sombra de 3 metros y en ese momento el árbol proyecta una sombra de 12 metros ¿Cuánto mide el árbol?

Respuesta: 16 metros

15.169 En la figura siguiente: ¿a qué distancia de la playa se encuentra el barco que ves en el horizonte? Dispones de 4 palos, un metro y has ensayado a dar pasos de un metro (en esa medida incluyes las longitudes de tus zapatos).

Respuesta: 1.500 metros.Solución:Coloco un palo (como los demás, en la playa) frente al barco y tengo en cuenta una línea imaginaria (color rojo) entre el barco y el palo (en color azul). A la longitud de esta línea le doy el valor X:

Ahora a partir del palo, giro 90º y camino de frente 100 pasos, es decir, 100 metros (para eso hemos ensayado) y en ese lugar introduzco en la arena otro palo:

A partir del segundo palo camino también de frente 2 metros y vuelvo a introducir el tercer palo:

A continuación, a partir del tercer palo giro 90º colocándome de espaldas al barco y cuento 30 metros e introduzco en tierra el último palo. A partir de aquí imagino una línea que pasando por el segundo palo llega hasta el barco:

Como ves, se han formado dos triángulos semejantes y tal como tienes en la figura siguiente:

Como los ángulos son iguales (18º, 90º y opuestos por el vértice), los lados correspondientes son proporcionales, es decir, que podemos establecer la proporción:

15.170 Basándote en el plano que tienes a la derecha de la figura siguiente, calcula la anchura del río. Verás que en este caso nos hemos ahorrado un poco de trabajo. Los dos triángulos son semejantes, sus ángulos son iguales.

Respuesta: x = 90 metros

Figura:

15.171 Si hubiésemos tomado otras medidas en el mismo punto que la primera vez en la orilla donde nos encontramos ¿habríamos obtenido el mismo resultado?

Respuesta: Sí, aproximadamente.Solución:Si las medidas en nuestra orilla hubiesen sido las que figuran a continuación obtendríamos la misma respuesta:

Comprueba:

ESCALAS

Dibujar figuras a su tamaño real en una hoja de papel muchas veces es imposible. Si el objeto que queremos representar es grande, no nos cabe.Teniendo en cuenta cuanto hemos venido estudiando recientemente, podemos solucionar este problema.

En la figura siguiente tenemos un taburete grande y otro más pequeño, ambos entre sí, son semejantes:

Recuerda que siempre que dos figuras o dos objetos tienen la misma forma y solamente se diferencian en su tamaño, podemos afirmar que son semejantes.Las medidas correspondientes son proporcionales.

Volviendo a los dos taburetes, vamos a representarlos en la figura siguiente con sus medidas reales, pueden diferir, en algún caso, en décimas de centímetro.

Si las dibujamos teniendo en cuenta sus medidas obtenemos las medidas siguientes:

Comprobarás que el taburete grande, según las medidas que se indican, es 4 veces mayor que el pequeño, es decir, se

encuentran en la relación o razón

Otra forma de expresar esta relación o razón sería: Están en la razón de 1 es a 4.Esto quiere decir que 1 cm. del pequeño equivale a 4 cm. del mayor.

FÓRMULA DE LAS ESCALAS

Según lo que venimos diciendo la escala es la relación que existe entre las medidas de un objeto en un papel y las reales, es decir, las que tiene el objeto en la realidad.Representando por E al valor de la escala la fórmula sería:

Pero muchas veces el objeto que queremos representar en un papel tiene un tamaño tan grande que solamente

representamos sus dimensiones reducidas o sus medidas en el papel. 15.172 Representa la mesa donde estudias en un folio. Necesitas un metro, una regla graduada, un lapicero, una goma para borrar y un folio.Indica la escala que has empleado, de modo que teniendo las medidas en el folio, podamos saber las dimensiones de la mesa en la realidad. Indica también, el largo, ancho y alto de la mesa en la realidad.

Respuestas: 110 cm. de largo, 70 cm. de ancho y 75 cm. de alto.

He utilizado la escala:

SoluciónMido el largo, ancho y alto de mi mesa de estudio y expreso los resultados de las mediciones en centímetros:110 cm., de largo, 70 cm., de ancho y 75 cm., de alto.Observo que dividiendo por 10 las medidas reales puedo dibujar la mesa en un folio.

Esto quiere decir que la escala esta en la relación de 10 centímetros reales por 1 centímetro dibujado.

MAPAS

Cuando las medidas reales son muy grandes con relación a un plano, un folio, etc., se recurre a los mapas.Un mapa como sabes, es la representación gráfica de una región, un país, etc., sobre una superficie generalmente plana aunque a veces esta presentación se hace en forma de esfera.

En este tipo de representaciones siempre aparecerá la escala o relación entre la medida en el mapa y su correspondiente medida real. En una palabra, todo mapa vendrá acompañado por suESCALA.

Tenemos en la figura un mapa correspondiente a una zona del sur de España.Si observas en la parte inferior derecha, verás la escala pero expresada de un modo diferente. Quiere decir que el trozo de recta que aparece cuya medida es 1,5 cm., en la realidad equivalen a 50 Km.

15.173 Sirviéndote de una regla graduada ¿puedes decir la distancia aproximada entre Almería y Málaga?

Respuesta: 200 Km., aproximadamente. Las carreteras no son rectas en todos sus recorridos.

SoluciónSegún la escala en la que 1,5 cm., a equivalen a 50 Km., mido con una regla la distancia entre ambas ciudades y obtengo casi 6 cm.Con una regla de tres: Si 1,5 cm. equivalen a 50 Km. 6 cm. equivalen a x Km.

15.174 Calcula la distancia aproximada entre Albacete y Cuenca por este mismo método sirviéndote del mapa que tienes a continuación. Consulta siempre la escala.

Respuesta:

Respuesta: 120 Km.

LOS MAPAS DE GOOGLE

Google te ofrece de forma gratuita una importante cantidad de herramientas muy útiles para multitud de trabajos.En este apartado de mapas te da la posibilidad no solamente de poder calcular distancias sino de ver el contenido de los mismos y en tres dimensiones.

Observa la figura siguiente en la que vemos carreteras, casas de campo, etc.:

Generalmente tendrás en la zona inferior izquierda la ESCALA.Es muy recomendable que aprendas a manejar esta herramienta y las otras que Google pone a tu disposición.

PERÍMETRO

La palabra española perímetro está formada por dos palabras griegas: peri que significa alrededor (peri-cardio = alrededor del corazón, peri-feria = alrededor de un núcleo central, los elementos periféricos de un ordenador como el ratón, la impresora, altavoces, micro, etc.) y la palabra metro a la que nos hemos referido anteriormente (medir).El perímetro es la medida del contorno, borde o silueta de una figura y para ello sumas las medidas de los lados o contornos.

Las figuras que tienen sus lados iguales basta multiplicar el número de lados iguales por la medida de uno de ellos.Ten en cuenta que todos los polígonos regulares tienen sus lados de la misma longitud.

Recuerda que los paralelogramos tienen sus lados paralelos e iguales dos a dos.

En el caso de la circunferencia recuerda que su longitud nos viene dada por la fórmula:

Comenzamos a calcular los perímetros de las figuras planas.

El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales.El triángulo isósceles tiene 2 lados iguales

El triángulo escaleno tiene sus tres lados de distinto tamaño:

Lecc 1ªGeometría

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