A travs de nuestro mdulo hemos construido el camino que nos ha permitido realizar inferencias acerca de parmetros poblacionales basados en estadsticos muestrales; el ltimo tema que trabajamos consideraba la estimacin de dichos parmetros con intervalos de estadsticos muestrales que tenan un nivel de confianza bajo el cual podamos indicar que se encontraba el parmetro. Hemos llegado finalmente a la cumbre de nuestro curso que es el de realizar hiptesis de un parmetro poblacional para determinar por medio de estadsticos muestrales si nuestras suposiciones son aceptadas o rechazadas. Una hiptesis estadstica se define como cualquier supuesto que se haga sobre alguno o algunos hechos poblacionales. Los siguientes ejemplos podran ser tomados como hiptesis: Ejemplos Si una empresa que produce botellones, botellas y bolsas de agua desea probar que el peso promedio de una bolsa de agua, en su proceso de produccin, es de 125 ml sta sera la hiptesis y lo lgico sera que se tomara una muestra de bolsas de agua, se pesaran y se determinara el peso promedio de las mismas para establecer si la hiptesis se acepta o no. Ntese que es interesante realizar dichas pruebas de hiptesis porque en caso de encontrar que el supuesto no se cumple la empresa debera realizar ajustes en su proceso de produccin ya que podra incurrir en pleitos legales por ofrecer a los consumidores un producto que no cumple con las caractersticas ofrecidas en el mercado. En esta seccin nos dedicaremos a estudiar dichas pruebas de hiptesis, analizaremos los pasos necesarios para rechazarla o no y los errores que podramos cometer al rechazar una hiptesis cuando en realidad deba aceptarse o viceversa. Observemos el significado de los conceptos que utilizaremos en esta primera parte. Otros ejemplos podran ser: El ingreso promedio de los trabajadores de una empresa es superior a $2500.000 El saldo promedio en las cuentas de ahorro en una entidad financiera es inferior a $20000.000 El rendimiento promedio de los trabajadores de una empresa es diferente si trabajan en la jornada de la maana o de la tarde.

PRUEBAS DE HIPTESIS

El porcentaje de hombres que prefieren determinada marca de celular es superior a la proporcin de mujeres.

El procedimiento que se emplea en la prueba estadstica de una hiptesis, es contraria a la forma usual de pensar. De hecho es semejante al mtodo matemtico de prueba de contradiccin. El proceso se basa nuevamente, en informacin muestral por lo cual, as como se puede llegar a una buena decisin en el sentido de rechazar la hiptesis nula cuando es falsa o no hacerlo cuando es cierta, tambin se puede cometer errores que consisten en rechazar la hiptesis nula cuando es cierta, constituyendo el error tipo I o no rechazar la hiptesis nula cuando es falsa cometiendo error tipo II. La siguiente tabla ayuda a entender la explicacin de la terminologa bsica de la prueba de hiptesis.

DECISIN CON RESPECTO A H0

H0 HIPTESIS NULA CIERTA FALSA

Rechazar Error tipo I (Nivel de significancia )

Correcto (1- )

No rechazar Correcto (1 )

Error tipo II

Hiptesis:esunenunciadoreferentealparmetrodeunapoblacinqueseprobarconelfinderechazarloono.Prueba de hiptesis: es un procedimiento con el cual se prueba si la hiptesisrealizada de un parmetro es razonable, basndose en las observaciones de unamuestra.Hiptesisnula:esunaafirmacinacercadeunparmetropoblacional.Hiptesisalternativa:esunaafirmacinqueseaceptaencasodequelaevidenciamuestralproporcioneunapruebadequelahiptesisnulanoescierta.Nivel de significancia: es la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando escierta.ErrordetipoI:esaquelqueserealizacuandoserechazalahiptesisnula,siendoenrealidadverdadera.ErrordetipoII:esaquelquesecometecuandoseacepta lahiptesisnulasiendoestaenrealidafalsa.

Lo deseable es entonces desarrollar el proceso de tal manera que la probabilidad de error sea lo ms pequea posible. La forma quiz un poco extraa, de desarrollar un proceso de prueba de hiptesis estadstica, se basa en problemas para evaluar las probabilidades de las decisiones incorrectas, siendo en general ms fcil resolver el asociado con la de cometer error tipo I, llamado el nivel de significancia de la prueba, que la de cometer error tipo II. Una prueba de hiptesis en trminos muy simples, en observar si entre el supuesto que la hiptesis nula contiene y la informacin proporcionada por la muestra, existe diferencias significativas que lleve el rechazo de aquella, o si tan diferencia es insignificante y se debe a las fluctuaciones propias del azar, caso en el cual se considera que no existe evidencia suficiente para rechazarla. Por esta visin del proceso se habla tambin de pruebas de significancia. El concepto de nivel de significancia implica puntos de referencia hasta los cuales se consideran significantes las diferencias y est asociado con la proporcin de muestras de un tamao dado, que pueden llevar a cometer error tipo I, siendo los niveles ms usuales 10%, 5%, 1% Pasos para probar hiptesis Podemos clasificar el procedimiento para aceptar o rechazar una hiptesis nula (probar la hiptesis) en los siguientes pasos: 1. Planteamiento de las hiptesis: la hiptesis nula ( 0H ) y la hiptesis alternativa ( 1H ) Notaremos en adelante con 0H a la hiptesis nula y con 1H a la hiptesis alternativa. Recordemos que en lenguaje matemtico la primera se lee h sub-cero y la segunda h sub-uno. La hiptesis nula es la afirmacin que hacemos respecto al parmetro poblacional, por ejemplo consideremos el nmero de cajas de penicilina que solicita la farmacia de un hospital mensualmente si se sabe que los encargados de realizar los pedidos indican o afirman que en promedio se entregan 500 cajas mensuales a los usuarios; sta sera la hiptesis nula:

0 : 500H = Por otra parte, una hiptesis alternativa sera encontrar que en promedio se entregan menos de 500 cajas de este medicamento:

1 : 500H < En cuyo caso los encargados de realizar los pedidos seran investigados sobre el por qu estn solicitando ms medicamentos de los necesarios (alguien podra pensar que se estn comercializando fuera del hospital y entonces habra un estudio o investigacin judicial al respecto).

Existen dos tipos de hiptesis alternativas la compuesta unilateral como 1 : 500H < o

1 : 500H > y la compuesta bilateral como 1 : 500H que tambin se puede escribir como

1 : 500 y 500H < > . Si observamos la alternativa compuesta bilateral contiene la dos posibilidades de hiptesis unilateral. Para elegir o establecer la hiptesis nula o alternativa desarrollaremos unas reglas de decisin segn el problema a estudiar y primordialmente basada en la evidencia que aportan las observaciones de la muestra, pero esto lo realizaremos ms adelante. 2. Seleccionar el nivel de significancia. Recordemos que el nivel de significancia es la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando esta es verdadera, no existe un nivel de significancia para todos los contextos y la eleccin de este valor depende del investigador o de la persona encargada de realizar el estudio. Lo que s debe ser claro es que al ser una probabilidad dicho valor debe estar entre 0 y 1, y por lo general se utilizan valores como 0.05, 0.01 y 0.10; ntese que dichos valores no son probabilidades altas ya que se desea que sea muy pequea la probabilidad de rechazar una hiptesis cuando sta era verdadera. Se utiliza la letra griega (alpha) para denotar el nivel de significancia y existe dicho valor porque si analizamos una poblacin tomando una muestra aleatoria puede ocurrir que el estadstico muestral no satisfaga la hiptesis nula pero si se hubiese tomado otra muestra es posible que la misma s satisfaga la hiptesis entonces habramos rechazado la hiptesis nula cuando en realidad existan muestras que nos permitan aceptarla o no rechazarla. En algunos textos no suele utilizarse la palabra aceptar porque en realidad no es que se acepte la hiptesis sino que al no encontrar evidencia que muestre lo contrario no podemos rechazar la hiptesis pero tampoco hay la suficiente certeza para afirmar que es cierta. 3. Consideramos los supuestos bajo los cuales vamos a realizar la prueba:

a. Tamao de la poblacin (finita, infinita) b. Tamao de la muestra (grande o pequea) c. Para que parmetro de la poblacin se est realizando la prueba (media, proporcin,

varianza, diferencia de medias, diferencia de proporciones) d. Cuando sea necesario hay que indicar si se conoce o no la varianza poblacional.

Por lo general se supone que la muestra es aleatoria y la poblacin es normal. 4. Calcular el estadstico de prueba. El valor el estadstico de prueba es aquel con el que se prueba la hiptesis, es decir es el valor que se usa para determinar si se rechaza o no la hiptesis nula.

En el caso de la media poblacional se utiliza el estadstico XZ

n

= cuando se conoce la varianza

poblacional y 1nXtsn

= cuando se desconoce la varianza poblacional; por otra parte, en el caso

de la proporcin poblacional se utiliza el estadstico ! = !!!!(!!!)! si se tiene un tamao de muestra grande. 5. Establecer la regla de decisin. Con la regla de decisin se establecen las condiciones bajo las cuales se rechaza la hiptesis nula. Si consideramos el caso de la media poblacional cuando se conoce la varianza poblacional y el de la proporcin poblacional cuando el tamao de muestra es grande sabemos que stas se distribuyen normal estndar, entonces interpretaremos las reglas de decisin basados en la grfica de una distribucin normal estndar. Supongamos que deseamos realizar la siguiente prueba de hiptesis: ! 20 Con hiptesis alternativa

! > 20 Y nivel de significancia del 5% es decir con una probabilidad de ocurrencia de error tipo I (rechazar la hiptesis nula siendo verdadera). Como la media muestral se distribuye normal debemos estandarizar la variable aleatoria y buscar la probabilidad de que el valor de la media muestral sea superior o igual a 20 sea :

( 20)P X =

20XP z

n

=

( )P Z z = Con lo cual tendramos:

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsi

da

d

1.73

0.05

0

Grfica de distribucinT, df=19

Veamos ahora la interpretacin de rechazar o no rechazar la hiptesis nula en el caso de la media muestral cuando no se conoce la varianza poblacional. Considerando el mismo contexto pero como sabemos la distribucin en este caso es una t-student con n-1 grados de libertad para la cual:

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsi

da

d

1.64

0.05

0

Grfica de distribucinNormal, Media=0, Desv.Est.=1

Regin de rechazo:0.05 de probabilidaddecometererrortipoI.

z

Regin de no rechazo:0.95 de probabilidadde tomar la decisincorrecta.

Regin de rechazo:0.05 de probabilidaddecometererrortipoI.

Regin de no rechazo:0.95 de probabilidadde tomar la decisincorrecta.

Ahora supongamos que deseamos realizar la siguiente prueba de hiptesis: ! 20

Con hiptesis alternativa ! < 20

Y nivel de significancia del 5% es decir con una probabilidad de ocurrencia de error tipo I (rechazar la hiptesis nula siendo verdadera). Como la media muestral se distribuye normal debemos estandarizar la variable aleatoria y buscar la probabilidad de que el valor de la media muestral sea inferior o igual a 20 sea :

( 20)P X = 20XP z

n

=

( )P Z z =

Con lo cual tendramos:

Veamos ahora la interpretacin de rechazar o no rechazar la hiptesis nula en el caso de la media muestral cuando no se conoce la varianza poblacional.

Considerando el mismo contexto pero como sabemos la distribucin en este caso es una t-student con n-1 grados de libertad para la cual:

Ahora supongamos que deseamos realizar la siguiente prueba de hiptesis:

0 : 20H = Con hiptesis alternativa

1 : 20H Y nivel de significancia del 5% es decir con una probabilidad de ocurrencia de error tipo I (rechazar la hiptesis nula siendo verdadera). Como la media muestral se distribuye normal debemos estandarizar la variable aleatoria y buscar la probabilidad de que el valor de la media muestral sea superior a 20 sea al igual que probabilidad de que el valor de la media muestral sea inferior a 20:

( 20)P X < = 20XP z

n

< =

( )P Z z < =

( 20)P X > = 20XP z

n

> =

( )P Z z > =

Con lo cual tendramos:

Veamos ahora la interpretacin de rechazar o no rechazar la hiptesis nula en el caso de la media muestral cuando no se conoce la varianza poblacional. Considerando el mismo contexto pero como sabemos la distribucin en este caso es una t-student con n-1 grados de libertad para la cual:

6. Tomar la decisin.

En el caso de que el valor de z o t se encuentre en la regin sombreada con rojo se rechaza la hiptesis y si se encuentra en la parte no sombreada no se rechaza la hiptesis nula. Ahora que hemos identificado los pasos necesarios para probar una hiptesis nula veamos algunas aplicaciones para medias poblacionales con varianza conocida y desconocida y luego estudiemos la forma de probar la hiptesis nula de la proporcin poblacional para tamao de muestra grande.

Para comprender el proceso que se realiza para probar una hiptesis para la media poblacional de una distribucin normal con varianza conocida realizaremos tres ejemplos en los que consideraremos diferentes tipos de hiptesis alternativa. Veamos. Continuemos analizando el caso de la productora de agua embotellada y en bolsa. En este

contexto estbamos interesados en probar la hiptesis nula

0 : 125H = Con la hiptesis alternativa

1 : 125H < Con un nivel de significancia de 0.05, sabiendo que la distribucin de la variable aleatoria muestral es normal con media 125 mililitros y desviacin tpica 0.9 mililitros y se toma una muestra aleatoria de 25 bolsas de agua. Observemos antes de realizar la prueba de hiptesis que si rechazamos la hiptesis nula diramos que se estn enviando al mercado bolsas de agua con menos de 125 mililitros y esto conllevara a la empresa a tener posibles pleitos legales. Lo primero que haremos entonces es estandarizar la variable aleatoria X :

125 1250.9 0.1825

X X XZ

n

= = =

Pruebadehiptesisparalamediapoblacionalde una distribucin normal con varianzaconocida

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsi

da

d

-1.64

0.05

0

Grfica de distribucinNormal, Media=0, Desv.Est.=1

Lo que buscamos es rechazar 0H si X z

n

< cuando 0.05 = . El valor de z corresponde al

valor de la normal que tiene probabilidad acumulada 0.05 = en la cola inferior: ( ) 0.05P Z z< =

En otras palabras queremos hallar z para el cual (en la cola superior) ( ) 0.05P Z z> = por propiedades de la simetra de la distribucin normal. Ntese que debemos realizar este proceso porque la tabla que tenemos en este caso determina tan solo los valores de las probabilidades menores o iguales que un nmero y mayores o iguales que cero.

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsi

da

d

1.64

0.05

0

Grfica de distribucinNormal, Media=0, Desv.Est.=1

Pero como ( ) ( ) 1 ( ) 1 0.95 0.05P Z z P Z z P Z z > = = < = = (por propiedades de la simetra de la distribucin normal), entonces queremos el valor para el cual ( ) 0.95P Z z< = y este valor es 1.64. Finalmente como el valor requerido est ubicado en la cola izquierda el valor solicitado es 1.64 .

Retomando nuestra bsqueda tenemos que rechazar 0H si 1.64X

n

< ; otra manera de expresar

lo anterior se obtiene despejando la media muestral as:

Se rechaza 0H si 0.91.64 125 1.64 125 0.2952 124.704825

Xn

< = = = , esto significa que

rechazamos la hiptesis nula si al tomar una muestra aleatoria el promedio de los pesos de las bolsas de agua es inferior a124.7048 mililitros. Como podemos ver es muy interesante realizar una prueba de hiptesis porque con ella establecemos para qu valores del estadstico muestral debemos rechazar la hiptesis. Tambin hubisemos podido hacer el estudio de hiptesis nula 0 : 125H = con la hiptesis

alternativa 1 : 125H > bajo un nivel de significancia de 0.05, sabiendo que la distribucin de la variable aleatoria muestral es normal con media 125 mililitros y desviacin tpica 0.9 mililitros con una muestra aleatoria de 25 bolsas de agua. En este caso determinaramos los valores del promedio muestral para los cuales se rechazara la hiptesis nula pero en este caso los valores superaran el promedio de mililitros ofrecido en el mercado; esto significa que no se demandara a la empresa pero ella s tendra que revisar su proceso de produccin porque est enviando ms mililitros y como consecuencia est perdiendo dinero.

Realicemos entonces la prueba de hiptesis y veamos cundo tendra que revisar la empresa su proceso de produccin.

Buscamos es rechazar 0H si X z

n

> cuando 0.05 = en este caso el 1.64z = porque se

busca el valor que arroja la probabilidad resaltada con rojo

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsi

da

d

1.64

0.05

0

Grfica de distribucinNormal, Media=0, Desv.Est.=1

Entonces se rechaza 0H si 125 1.640.925

X > ; otra manera de expresar lo anterior se obtiene

despejando la media muestral as:

Se rechaza 0H si 0.91.64 125 1.64 125 0.2952 125.295225

Xn

> + = + = + = , esto significa que

rechazamos la hiptesis nula si al tomar una muestra aleatoria, el promedio de los pesos de las bolsas de agua es superior a125.2952 mililitros o 125.3 mililitros. Por ltimo analizaremos la prueba de hiptesis nula 0 : 125H = con la hiptesis alternativa

1 : 125H bajo un nivel de significancia de 0.05, sabiendo que la distribucin de la variable aleatoria muestral es normal con media 125 mililitros y desviacin tpica 0.9 mililitros con una muestra aleatoria de 25 bolsas de agua.

Como la hiptesis alternativa puede expresarse como 1 : 125 o 125H < > entonces

rechazaremos la hiptesis nula se rechaza si 2 2

125 125 o 0.9 0.925 25

X Xz z

> < debe resaltarse

que ahora buscaremos en la distribucin de la normal 2

( ) 2P Z z< = y

2( ) 2P Z z

> = en

cuyo caso 0.0252

1.96z z = =

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsi

da

d

-1.96

0.025

1.96

0.025

0

Grfica de distribucinNormal, Media=0, Desv.Est.=1

De este modo obtendremos que se rechaza la hiptesis nula si 125 1251.96 o 1.960.9 0.925 25

X X > <

con lo cual al despejar X en ambas desigualdades se tendr que rechazaremos 0H si

0.9 0.9125 1.96 o 125 1.9625 25

X X > + <

Con lo cual

125 0.3528 o 125 0.3528X X> + < 125.3528 o 124.6472X X> <

Diremos que si la media muestral del peso en mililitros de las bolsas de agua es inferior a 124.6472 e inferior a 125.3528 entonces la hiptesis nula se rechaza. Tambin hubisemos podido analizar las siguientes pruebas de hiptesis y el mismo es muy

similar al tratado anteriormente.

Probar la hiptesis nula

0 : 125H Con la hiptesis alternativa

1 : 125H <

Probar la hiptesis nula

0 : 125H Con la hiptesis alternativa

1 : 125H >

Existe otro mtodo para examinar una prueba de hiptesis, ste es el p-valor que determina el nivel menor de significancia al que puede rechazarse la hiptesis nula, nos preguntaremos entonces para qu determinar este nuevo valor? Esto se debe a que alguien podra pensar que sera mejor realizar la prueba de hiptesis con un nivel de significancia de 0.01 porque l nos dira que la probabilidad de cometer un error de tipo I es muy pequea; por ello segn los datos muestrales buscaremos el nivel ms pequeo al cual podemos rechazar una hiptesis nula. El p-valor ser entonces la probabilidad de obtener un valor del estadstico de la prueba igual de extremo o ms que el valor obtenido cuando la hiptesis nula es verdadera. Esto significa que si la probabilidad o e p-valor es mayor que el nivel de significancia, no se rechaza la hiptesis nula porque este valor es el menor valor al que se rechaza la misma; por el contrario si el valor es menor que el nivel de significancia es muy posible que la hiptesis nula sea falsa y como consecuencia es rechazada por ser el menor nivel de significancia al cual se puede rechazar la hiptesis nula. El p-valor no es slo una forma de decidir el rechazo o no de la hiptesis nula sino que proporciona informacin adicional acerca de la fuerza con que podemos apoyar o no la prueba de hiptesis. Por ejemplo si el p-valor es: (Mason/Lind/Marchal) Menor que 0.10 se tiene una evidencia no muy fuerte de que la hiptesis nula no es verdadera. Menor que 0.05 se tiene una evidencia fuerte de que la hiptesis nula no es verdadera. Menor que 0.01 se tiene una evidencia muy fuerte de que la hiptesis nula no es verdadera. Menor que 0.001 se tiene una evidencia extremadamente fuerte de que la hiptesis nula no es

verdadera. Como ejemplo consideremos el segundo caso de prueba de hiptesis que vimos:

0 : 125H = con hiptesis alternativa 1 : 125H > bajo un nivel de significancia de 0.05, sabiendo que la distribucin de la variable aleatoria muestral es normal con media 125 mililitros y desviacin tpica 0.9 mililitros con una muestra aleatoria de 25 bolsas de agua. En este ejemplo se rechazaba la hiptesis si 125.2952X > , determinemos el p-valor:

125.3 125( 125.3) ( 1.67) 1 ( 1.67) 1 0.9525 0.04750.925

P X P Z P Z P Z

> = > = > = < = =

Esto quiere decir que al menor nivel de significancia que se puede rechazar la hiptesis nula es 0.0475; como 0.05 es mayor podemos pensar que la hiptesis nula no es verdadera y debera rechazarse. Veamos ahora el anlisis de prueba de hiptesis para la media poblacional cuando no se conoce la varianza o la desviacin tpica.

Como vimos en la seccin de distribuciones muestrales cuando se estudia una distribucin muestral con varianza desconocida sta se distribuye t-student con n-1 grado de libertad (recordemos que n es el tamao de la muestra). El anlisis que realizaremos es anlogo al de la distribucin normal con varianza conocida slo que ahora nuestra distribucin no es normal sino t-student por ello expondremos los casos con sus respectivas conclusiones. Si tenemos una muestra aleatoria de tamao n cuyas observaciones provienen de una distribucin normal con media para un nivel de significancia tenemos:

Si se desea probar la hiptesis nula 0 0:H = con la hiptesis alternativa 1 0:H < O se desea probar la hiptesis nula 0 0:H con la hiptesis alternativa 1 0:H <

Entonces se rechaza 0H si 0

1,n

Xt t

sn

= < . Donde 1,nt es el valor de la t-Student con n-1

grados de libertad y probabilidad . Si se desea probar la hiptesis nula 0 0:H = con la hiptesis alternativa 1 0:H >

O se desea probar la hiptesis nula 0 0:H con la hiptesis alternativa 1 0:H >

Entonces se rechaza 0H si 0

1,n

Xt t

sn

= > . Donde 1,nt es el valor de la t-Student con n-1

grados de libertad y probabilidad . Si se desea probar la hiptesis nula 0 0:H = con la hiptesis alternativa 1 0:H

Que es lo mismo que probar la hiptesis nula 0 0:H = con la hiptesis alternativa

Pruebadehiptesisparalamediapoblacionalde una distribucin normal con varianzadesconocida

1 0 0: o H > < .

Entonces se rechaza 0H si 0

1, 2n

Xt t

sn

= > o 0

1, 2n

Xt t

sn

= < Donde

1, 2nt es el valor de

la t-Student con n-1 grados de libertad y probabilidad 2 .

Ejemplo 80 Consideremos de nuevo el estudio de hiptesis nula 0 : 125H = con la hiptesis alternativa

1 : 125H > bajo un nivel de significancia de 0.05, sabiendo que la distribucin de la variable aleatoria muestral es normal con media 125 mililitros y desviacin tpica muestral 0.12 mililitros en una muestra aleatoria de 25 bolsas de agua.

Se rechaza 0H si 0

1,n

Xt t

sn

= > Donde 1,nt es el valor de la t-Student con n-1 grados de

libertad y probabilidad : Hallemos el valor de 24,0.05t , buscamos en la tabla de la distribucin t-Student el valor para el cual la probabilidad es 0.05 con 24 grados de libertad.

Luego el valor de 24,0.05t para el cual 24( ) 0.05P t t> = es 24,0.05 1.71t = . Con lo anterior diremos que se rechaza la hiptesis nula si

01,n

Xt t

sn

= >

Es decir si t es superior a 1.71 Nuestro ltimo anlisis de pruebas de hiptesis est orientado a las proporciones muestrales que tanto en el rea empresarial como en muchas otras reas es de inters porque permite establecer, por ejemplo, el porcentaje de productos de cierta empresa que solicitan mensualmente los consumidores o el porcentaje de una poblacin que utiliza cierta marca de automviles entre muchos otros contextos.

A continuacin describiremos los posibles casos de pruebas de hiptesis que se pueden presentar en un contexto. Si se desea probar la hiptesis nula ! = ! con la hiptesis alternativa ! !

O se desea probar la hiptesis nula ! ! con la hiptesis alternativa ! < !

Prueba de hiptesis para la proporcinpoblacionalcontamaodemuestragrande

Entonces se rechaza 0H si Z= !!!!!!(!!!!)! < Si se desea probar la hiptesis nula ! ! con la hiptesis alternativa !: > !

Entonces se rechaza 0H si Z= !!!!!!(!!!!)! > Si se desea probar la hiptesis nula ! = ! con la hiptesis alternativa ! !

Que es lo mismo que probar la hiptesis nula ! = ! con la hiptesis alternativa ! < ! o !: > !

Entonces se rechaza 0H si Z= !!!!!!(!!!!)! < o si Z= !!!!!!(!!!!)! > Ejemplo 81 En una muestra aleatoria de 100 auditores, 78 se mostraron de acuerdo con la siguiente afirmacin: el flujo de caja es un importante indicador de la rentabilidad. Efecte una prueba de hiptesis para la hiptesis nula de que la mitad de los miembros de la poblacin estara de acuerdo con la afirmacin frente a la hiptesis alternativa bilateral con un nivel de significancia del 10%. Se desea probar la hiptesis nula !: = 0,50 con la hiptesis alternativa !: 0,50 Que es lo mismo que probar la hiptesis nula !: = 0,50 con la hiptesis alternativa

!: < 0,50 o !: > 0,50

Entonces se rechaza 0H si

2

0.500.50(1 0.50)

100

PZ z

= >

o

2

0.500.50(1 0.50)

100

PZ z

= <

Entonces, dado que el valor de la proporcin muestral es 78 0.78100

P = = tenemos que ste valor en

la ecuacin planteada es: = !,!"!!,!"!,!"(!!!,!")!"" = 5,6

Para el nivel de significancia del 10% el valor !,!"=1,64 (Tabla de la distribucin normal) entonces se rechaza la hiptesis H0. Indicando que con este nivel de significancia se puede decir que la proporcin si es diferente a 0,5.

AutoestudioLlego el momento de aplicar los temas tratados anteriormente, para reforzar nuestros conocimientos es necesario practicar; por ello tal y como se indica en gua de actividades por semana, por favor realice la o las guas prcticas de la semana y revise el o los libros sugeridos en el mapa conceptual de la unidad 8 (todo lo referente a pruebas de hiptesis) sino logra acceder a los libros sugeridos, consulte un libro fsico de inferencia estadstica, luego realice los ejercicios en la gua prctica de la semana y si tiene alguna duda consulte al tutor que le corresponda. Para acceder al libro mencionado debe ingresar a la biblioteca virtual en otra pgina de internet distinta a la del mdulo. Las instrucciones para ingresar a la biblioteca aparecen a continuacin; por favor sgalas y realice los ejercicios del libro (slo aquellos que cubran los temas tratados hasta ahora). Para acceder al libro En la unidad 8, aparece un mapa conceptual; al ubicarse en las hojitas se despliega la bibliografa y para acceder a dichos libros debe seguir los siguientes pasos:

1. enlapginaprincipaldecampusvirtualdebajodelCAEdicebibliotecavirtual,declickenestelink.

2. Allseabrelapginadelabibliotecaydebeescribirsuusuarioycontrasea.3. Haganclickenlibroselectrnicoseingreseelusuarioylacontrasea.4. Ahoradeclickenelibro,vuelvaalapginadelmapaconceptualydeclicksobreel libro

quedeseanconsultar. Si sigui correctamente las instrucciones debe poder visualizar el libro indicado.

Adicionalmente puede revisar el libro Estadstica para Administracin y Economaescrito porDavidR.Anderson,DennisJ.Sweeneyqueseencuentraengoogle(libros);busqueenelndicelostemas tratados: pruebas de hiptesis (captulo 9, desde la pgina 338). Luego resuelva losejerciciosallpropuestos.