54 UN

ITA

T 1

LecturaLectura

CONTINGUTS

1. Nombres irracionals2. Els nombres reals3. Intervals i semirectes4. Arrels i radicals5. Potències i arrels amb calculadora6. Propietats dels radicals

ET CONVÉ RECORDAR

• Com podem expressar un decimal exacte en forma de fracció.

• Com podem expressar un decimal periòdic en forma de fracció.

1. Nombres irracionals• Els nombres racionals són els que es poden escriure com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal és exacta o periòdica.• Els nombres irracionals són els no racionals, és a dir, els que no poden obtenir-se com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal és infinita no periòdica. Hi ha infinits nombres racionals.

La diagonal del quadrat: el nombre 12

El teorema de Pitàgores ens proporciona el valor de la diagonal d'un quadrat el costat del qual mesura 1: d = 112 + 12 = 1–21–2 és irracional perquè no es pot escriure com a quocient de dos nombres enters.

Altres irracionals expressats mitjançant radicals

D’acord amb el que hem vist per a 1–2, si p no és un quadrat perfecte, 1–p és irra-cional. I, en general, si p no és un potència n-èsima exacta,

n1–p és un nombre

irra cional.

El nombre d’or: 1–5 + 1

2

La diagonal d’un pentàgon el costat del qual és igual a la unitat és el nombre (1–5 + 1): 2 que és irracional i històricament el primer nombre del qual es va tenir consciència que ho era.Els grecs van considerar que la proporció φ: 1 era especialment harmoniosa, per la qual cosa la van anomenar proporció àuria i van batejar φ amb el nom de nombre auri.

El nombre π

π és la relació entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. A diferèn-cia d’altres nombres irracionals, π no es pot representar de forma exacta. Per fer operacions matemàtiques, es fan servir aproximacions: 3,14 (arrodonida per de-fecte) o 3,1416 (arrodonida per excés).

2. Els nombres realsEl conjunt format pels nombres racionals i els irracionals s’anomena conjunt de nombres reals i es designa per Á.

Reals Á

Racionals Q

Enters ZNaturals N → 0; 4; 24

6; 1–—121

Enters negatius → –11; –273

; 31—–8

Fraccionaris → 5,84; 76

; 5,83; – 3 10

(

No racionals → 1–2; 1–3; φ; π; –1–5 + 2; 2 + 51–3

⎫⎫⎫

⎫⎫⎫⎫⎫

⎫⎫⎫⎫⎫

Amb els nombres reals podem fer les mateixes operacions que amb els nombres racionals: suma, resta, multiplicació, divisió (excepte amb el zero) i extreure arrels de qualsevol índex (excepte arrels d'índex parell de nombres negatius).

La recta real

Els nombres racionals se situen en la recta real de manera que en cada tram, per petit que sigui, n'hi ha infinits. Tot i així, entre els nombres reals hi ha infinits fo-rats ocupats pels nombres irracionals; entre tots, omplen la recta real.

Si en una recta situem un origen (el zero, 0) i marquem la longitud unitat, a cada punt li correspon un nombre racional o un nombre irracional, és a dir, a cada punt de la recta li correspon un nombre real. Per això la recta numèrica rep el nom de recta real.

0 1

• La recta real és completa, és a dir, a cada punt de la recta li correspon un nom-bre real i a cada nombre real, un punt de la recta. • Entre cada dos nombres racionals hi ha altres infinits nombres racionals.

Representació de nombres sobre la recta real

Els nombres reals poden ser expressats en la recta real, segons els casos, de ma-nera exacta o bé amb tanta aproximació com vulguem. • Els decimals periòdics, en forma de fracció.• Els radicals quadràtics, mitjançant la construcció de triangles.• Les expressions decimals es poden representar de manera aproximada.

3. Intervals i semirectes• L’interval obert (a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, sense incloure-hi ni a ni b: {x / a < x < b}. Es representa així:

a b

• L’interval tancat [a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, incloent-hi aquests: {x / a < x < b}. Es representa així:

a b

Unitat 1:El nombre real

ARIT

MÈTIC

A I À

LG

EBRA

12 1

1

l

d

l

2r

Enter o decimal exacte

Decimal periòdic

Expressions decimals

Radical quadràtic

0

0

0 3

–1 0 1 2 3

3,4 3,53,47

4

1

1110

110

56

0 1 2

1,7

1,73 1,741,732

1,8

Interval obert(a, b) = {x / a < x < b}

a b

Interval tancat[a, b] = {x / a < x < b}

a b

L2r

= π

76 UN

ITA

T 1

UN

ITA

T 1

• L’interval semiobert. Hi ha dos casos:L’interval (a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, in-cloent-hi b, però no pas a: {x / a < x < b}. Es representa així:

a b

L’interval [a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, in-cloent-hi a, però no pas b: {x / a < x < b}. Es representa així:

a b

• Semirectes. Hi ha quatre casos:(–`, a) són els nombres més petits que a: {x / x < a}.(–`, a] són els nombres més petits que a i el mateix a: {x / x < a}.(a, +`) són els nombres més grans que a: {x / x > a}.[a, +`) són els nombres més grans que a i el mateix a: {x / x > a}.Les seves representacions són aquestes:

a(–`, a)

a(a, +`)

a(–`, a]

a[a, +`)

• Recta real. Es representa en forma d’interval així: Á = (–`, +`).

4. Arrels i radicals

S’anomena arrel n-èsima d’un nombre a, i s’escriu n1–a, un nombre b que

compleix la condició següent:n1–a = b si bn = a

n1–a s’anomena radical; a, radicand, i n, índex de l’arrel.

Algunes peculiaritats de les arrels

• Si a > 0, n1–a existeix, sigui n el nombre que sigui.

• Si a < 0, només existeixen les seves arrels d’índex senar.En general, un nombre positiu, a, té dues arrels quadrades: 1–a i – 1–a

Forma exponencial dels radicals

n1–a = a

1n, ja que (a

1n)n = a

nn = a

n1–am = a

mn , ja que

n1–am = (am)

1n = am ·

1n = a

mn

5. Potències i arrels amb calculadoraAmb les calculadores es poden fer càlculs de potències i arrels:• Potències senzilles: h$h$x2 x 3 3

• Potències d’índex qualsevol: hx y (o bé hx ■ )• Arrels d’índex qualsevol: $x (o bé $■ )• Càlcul d’arrels amb la tecla de potència hx y

Lectura

6. Propietats dels radicals Propietat 1

• S’aplica per simplificar els radicals quan estan expressats exponencialment.

419 = 4

132 = 32/4 = 31/2 = 13

• S’aplica quan es volen comparar diversos radicals de diferent índex; en aquest cas, es redueixen a denominador comú.

⎫ ⎫ ⎫⎫ ⎫

31586 = 5861/3 = 5862/6 = 6

15862 = 61343 396

31586 > 170

170 = 701/2 = 703/6 = 61703 = 6

1343 000

Propietat 2

• S’aplica per treure factors fora d’una arrel.

118 = 132 · 2 = 132 · 12 = 3 12

1720 = 124 · 32 · 5 = 124 · 132 · 15 = 22 · 3 · 15 = 1215

• S’aplica per ajuntar dos radicals en un de sol.

115 · 120 = 115 · 20 = 1300

Propietat 3

S’aplica, conjuntament amb la propietat 1 i 2, per col·locar els productes i quo-cients de radicals sota una sola arrel.

13 · 312 = 6

133 · 6122 = 6

133 · 22 = 61108

3116 6132

= 61162

6132

= 128

25 = 6123 = 12

Propietat 4

S’aplica per obtenir la potència d'un radical.

(123)4 = 1212 = 26 = 64

( 512)3 = 5

123 = 518

Propietat 5

S’aplica per calcular l’arrel d’arrels.

3112 = 612

41315 =

1215

Unitat 1

Propietat 1np

1ap = n

1a, ja que: np

1ap = a p/np = a1/n = n

1a

Propietat 4

( n

1a)p = n

1ap, ja que: ( n

1a)p = (a1/n)p = ap/n = n

1ap

Propietat 5m

1n

1a = m · n1a , ja que:

m

1n

1a = (a1/n)1/m = a1/m · n = m · n1a

Propietat 2n

1a · b = n

1a · n

1b, ja que: n

1a · b = (a · b)1/n =

= a1/n · b1/n =

= n

1a · n

1b

Propietat 3n

1ab

= n

1a n

1b, ja que:

n

1ab

= (ab)1/n = a1/n

b1/n = n

1a n

1b

Interval semiobert(a, b] = {x / a < x < b}

[a, b) = {x / a < x < b}

a b

a b

Semirectes(–`, a) = {x / x < a}

a

(–`, a] = {x / x < a}

a

(a, +`) = {x / x > a}

a

[a, +`) = {x / x > a}

a

Potències i arrels amb calculadora

2472 → 247 hx 2 {\‘…≠≠£}1247 → $ 247 ={‘∞Ÿ|‘\“««\¢}17,845 → 17,84 hx y 5 = ={‘°≠|≠\\Ÿ£|£°¢} 5132 →→

5 $x 2 = {∫∫∫∫∫“}

$■ 5 32 = 5132

2 5132 = 321/5 → 32 hx y 5 h1/x = {∫“}

98 UN

ITA

T 1

UN

ITA

T 1

Suma i resta de radicals

Dos radicals diferents no poden sumar-se si no és a partir de les seves expressions decimals aproximades. Només poden sumar-se radicals idèntics.

Per exemple:

Només poden solucionar-se de manera aproximada o bé cal deixar-les indicades.

13 + 12

17 + 317

⎫ ⎫⎫

Sí que es pot simplificar l’expressió següent:

715 + 1115 – 15 = 1715

En altres casos es pot simplificar una suma de radicals si es treuen fora els factors comuns:

132 + 118 – 150 = 125 + 132 · 2 – 152 · 2 =

= 412 + 312 – 512 = 212

18 + 414 = 123 +

4122 = 212 + 12 = 312

Racionalització de denominadors

Malgrat que amb les eines de càlcul senzilles i potents de què disposem actual-ment no cal, encara tendim a donar els resultats finals dels problemes mitjançant expressions numèriques que no tinguin radicals en el denominador.

El procés pel qual fem desaparèixer els radicals del denominador s’anomena racionalització de denominadors.

En cada cas, ens farem aquesta pregunta: Per quina expressió he de multiplicar el denominador perquè el producte no tingui radicals? Un cop trobada l’expressió, també multiplicarem per aquesta el numerador perquè el resultat final no variï.

PRIMER CAS: ARRELS QUADRADES

213

= 2 · 1–31–3 · 1–3

= 21–3

3

SEGON CAS: ALTRES ARRELS

1 5172

= 5173

5172 ·

5173

= 5173

5175

= 5173

7

TERCER CAS: SUMES I RESTES D’ARRELS

115–13

= 1 · (15+13)(15–13) · (15+13)

= 15+13(15)2– (13)2

= 15+132

Activitats• Activitats• Activitats•

NOMBRES IRRACIONALS

1. [1.25] Digues quins d’aquests nombres són irra-cionals.

)

–34

; 1,73; 13; π; 19; 1 + 152

................................................................................................................................

2. [1.26] Ordena de més petit a més gran. Utilitza l’aproximació decimal.

a)

)

1,45; 1,4; 12

................................................................................................................................

b) 12; 313; 13

9................................................................................................................................

3. [1.64] Quines d’aquestes arrels no existeixen?

31–20,

610,12, 1–1,

51241,

41–16

................................................................................................................................

4. [1.65] Escriu un nombre racional i un d’irracional compresos entre els nombres donats.

a) 3,7 i 3,78

)

................................................................................................................................

b) 7150

i 6445

................................................................................................................................

c) 12 i 13................................................................................................................................

d) 312 i 4

13................................................................................................................................

NOMBRES REALS

5. [1.28] Classifica aquests nombres segons que per-tanyin als conjunts N, Z, Q i Á.

3 –3/4 12 7,23 –2 π 0 –41/3

31–1 11/9 1–5

2 2,48 18 1 + 12–1

41–5 1 1,010203…

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

6. [1.3] Representa: 57

, –57

i 267

7. [1.5] Representa en la recta real aquests nombres:

a) De manera exacta: –2; 3,75; 15; 0,666…

b) φ de manera exacta (1 + 152 ) i de manera aproxi-

mada (1,618…).

8. [1.24] Expressa en notació científica:

a) 32 · 105 ........................................................................................................

b) 75 · 10–4 ......................................................................................................

c) 843 · 107 ......................................................................................................

d) 458 · 10–7 ...................................................................................................

e) 0,03 · 106 ....................................................................................................

f) 0,0025 · 10–5 ............................................................................................

(a + b) · (a – b) = a 2 – b 2

L’expressió 1a – 1b s’anomena conjugat de 1a + 1b

I, al revés, 1a + 1b és el conjugat de 1a – 1b

1110 UN

ITA

T 1

UN

ITA

T 1

Activitats• Activitats• Activitats• Activitats• Activitats• Activitats

14. [1.10]

a) 41/2 ..................................................................................................................

b) 1251/3 ............................................................................................................

c) 6251/4 ...........................................................................................................

d) 82/3 .................................................................................................................

e) 645/6 ...............................................................................................................

15. [1.11] Expressa en forma radical.

a) x7/9 ..................................................................................................................

b) (m5 · n5)1/3 .................................................................................................

c) a1/2 · b1/3 .....................................................................................................

d) [(x2)1/3]1/5 .....................................................................................................

16. [1.37] Expressa com una arrel.

a) 151/2 ...............................................................................................................

b) (a2)1/3 .............................................................................................................

c) (x–1)5/4 ............................................................................................................

d) (a1/5)–4 ...........................................................................................................

e) (a2/3)1/2 ..........................................................................................................

f) a2 · a1/2 .........................................................................................................

g) (3–2/5)10/3 .......................................................................................................

17. [1.39] Expressa com a potència única.

a) 13 313 ............................................................................................................

b) 2 3

114

..............................................................................................................

c) 18 314

....................................................................................................................

d) 31a8

a2 .................................................................................................................

e) 3

11a2 .................................................................................................................

f) a

11a

...............................................................................................................

18. [1.41] Expressa com a potència única.

a) 31a7

a4 ..................................................................................................................

b) 4

11a

....................................................................................................................

c) 1125 3125

..............................................................................................................

d) 12 12

412 ......................................................................................................

e) 31a2

a1a ................................................................................................................

f) 31a2

a2 · a3

1a .......................................................................................................

POTÈNCIES I ARRELS AMB CALCULADORA

19. [1.40] Soluciona amb la calculadora.

a) 519,52 .............................................................................................................

b) 31–173 .........................................................................................................

c) 4

1(149 )3

.........................................................................................................

d) 415–9 ...............................................................................................................

e) 283/4 ...............................................................................................................

f) 8–1/3 .................................................................................................................

g) 0,03–3/2 .........................................................................................................

h) ( 510,0025)–1 ..............................................................................................

PROPIETATS DELS RADICALS

20. [1.17] Simplifica:

a) 121x9 .................................................................................................................

b) 121x8 .................................................................................................................

c) 51y10 .................................................................................................................

d) 618 ....................................................................................................................

e) 9164 .................................................................................................................

f) 8181 ..................................................................................................................

INTERVALS I SEMIRECTES

9. [1.7] Escriu en forma d’interval i representa.

a) {x / 3 < x < 5} .....................................................................................

b) {x / x > 0} ................................................................................................

c) {x / –3 < x < 1} ....................................................................................

d) {x / x < 8} .................................................................................................

10. [1.8] Escriu en forma de desigualtat i representa.

a) (–1, 4) ...........................................................................................................

b) [0, 6] ..............................................................................................................

c) (–`, –4) ........................................................................................................

d) [9, +`) ..........................................................................................................

11. [1.33] Representa les semirectes:

a) A = (–`, 2] i B = [–2, +`) en una mateixa recta.

b) Quins són els nombres que pertanyen a totes dues

semirectes?

................................................................................................................................

c) Expressa en forma d’interval la part comuna a A i B,

(A ∩ B).

................................................................................................................................

12. [1.34] Representa en la recta real.

a) (–`, –1] ∪ [3, +`]

b) (–`, 2] ∪ (7, +`)

ARRELS I RADICALS

13. [1.36] Expressa en forma exponencial.

a) 31x2 ..................................................................................................................

b) ( 51a2 )3 ...........................................................................................................

c) 81a5 · a2 ........................................................................................................

d) 3

141x ................................................................................................................

e) (1a)–3 ............................................................................................................

f) 61a3 .................................................................................................................

g) ( 41a2)2 ............................................................................................................

h) 51a10 ...............................................................................................................

1312 UN

ITA

T 1

UN

ITA

T 1

Activitats• Activitats• Activitats• Activitats• Activitats• Activitats

d) 4127 · 3

118

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

29. [1.50] Suma.

a) 13 + 3134

– 5133

................................................................................................................................

................................................................................................................................

b) 218 + 4172 – 7118

................................................................................................................................

................................................................................................................................

c) 312 + 418 – 132 + 150

................................................................................................................................

................................................................................................................................

d) 5112 + 127 – 8175 + 148

................................................................................................................................

................................................................................................................................

30. [1.53] Racionalitza i simplifica.

a) 212

....................................................................................................................

b) 416

...................................................................................................................

c) 6112

.................................................................................................................

d) 3115

................................................................................................................

31. [1.54] Racionalitza.

a) 3 315

....................................................................................................................

b) 1 81a5

..................................................................................................................

c) 815– 1

................................................................................................................................

................................................................................................................................

21. [1.19] Redueix:

a) 313 · 5

12 ........................................................................................................

b) 316 · 6

13 ........................................................................................................

c) 101a4 b6 ...........................................................................................................

22. [1.42] Multiplica i simplifica el resultat.

a) 12a · 13a · 16a ................................................................................................................................

b) 31a · 3

1a2 · 31b4 · 3

1b2 ................................................................................................................................

c) 15a · 110ab · 18a3 b · 1a ................................................................................................................................

23. [1.20] Treu del radical els factors que sigui possible:

a) 3132x4 ...........................................................................................................

b) 3181a3 b5 c .................................................................................................

c) 5164 .................................................................................................................

24. [1.21] Simplifica:

a) 19 313

................................................................................................................................

b) 511612

................................................................................................................................

c) 41a 3 b5 c1ab3 c 3

................................................................................................................................

d) ( 31a2)6

................................................................................................................................

e) (1x )3 · ( 31x )

................................................................................................................................

f) (1112)8

................................................................................................................................

25. [1.43] Simplifica els radicals següents.

a) 6153 ..................................................................................................................

b) 1511212 ............................................................................................................

c) 101a8 ................................................................................................................

d) 121a4 · b8 ......................................................................................................

e) 81(x 2y 2)2 ........................................................................................................

f) 3

141x5 · x7 ......................................................................................................

26. [1.45] Redueix a índex comú i ordena de més petit a més gran.

a) 12, 313, 4

14, 515, 6

16

................................................................................................................................

b) 3124, 4

153, 6135

................................................................................................................................

27. [1.46] Introdueix dins de l’arrel i simplifica.

a) 2 132

..............................................................................................................

b) 3

123

................................................................................................................

c) 2 3

114

...............................................................................................................

d) 2 4

1512

............................................................................................................

e) 12 112 ............................................................................................................

f) 23

3

194

................................................................................................................

28. [1.48] Fes aquestes operacions i simplifica’n el resultat.

a) 314 · 12

................................................................................................................................

................................................................................................................................

b) (12 · 313) : ( 3

12 · 13)

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

c) 6120 : 4

110

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

d) 1312 + 13

................................................................................................................................

................................................................................................................................

PENSA I RESOL

32. [1.56] Troba el valor exacte de l’àrea total i del volum d’un cilindre de 5 cm de radi i 12 cm d’altura. (Expressa’l en funció de π).

33. [1.59] Calcula l’altura d’un tetraedre regular de 8 cm d’aresta. Expressa-la amb radicals.

PROBLEMES D’ESTRATÈGIA

34. Calcula l’àrea de la zona acolorida.

A

D

B

12 cm

C