nombres racionals 3eso santillana

1 Nombres racionalsA LA VIDA QUOTIDIANA... El codi de barresEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Reconixer lestructura dels codis de barres. Calcular el dgit de control dun codi de barres. Relacionar el clcul del dgit de control amb els nombres racionals i decimals.

1

Estructura del codi de barres i el seu dgit de controlMtode de clcul del dgit de controlBuscarem el dgit de control del codi de barres de lexemple i comprovarem que est ben calculat. 1r Agafem les dotze primeres xifres per lesquerra (totes menys lltima): 978842943672. Multipliquem els elements senars per 1 i els parells per 3. El resultat s: 9, 21, 8, 24, 4, 6, 9, 12, 3, 18, 7, 6 2n Sumem els valors que hem obtingut en el pas anterior: 9 + 21 + 8 + 24 + 4 + 6 + 9 + 12 + + 3 + 18 + 7 + 6 = 127 3r Dividim la suma resultant entre 10 i agafem el residu de la divisi. 127 = 12 de quocient i 7 de residu 10 4t El dgit de control s el resultat de restar a 10 el residu del pas anterior: 10 7 = 3. Per tant, el dgit est ben calculat. Important: Si el residu de la divisi del pas 3r fos 0, agafarem 0 com a dgit de control.

Actualment, les empreses identifiquen els seus productes amb un codi de barres. Aix, als supermercats, quan es passa el codi de cada article pel lector ptic, aquest lector identifica larticle, en busca el preu a la base de dades del supermercat i lanota en el tiquet. El codi de barres s un sistema didentificaci que permet controlar la gesti de mercaderies i racionalitzarne el subministrament. Cada codi de barres porta associat un nombre per facilitar-ne la interpretaci. Quan parlem de codis de barres, ens referim a aquest nombre, ja que s ms fcil treballar-hi. Hi ha diversos tipus de codificaci, i el ms ests a Europa s lanomenat EAN13. Consta de tretze dgits que identifiquen cada producte de manera inequvoca:

COMPETNCIA MATEMTICA

Els tres primers dgits indiquen que el codi s un ISBN i els dos segents corresponen al pas. A lexemple sn 84, els dgits associats a Espanya. Les set xifres segents identifiquen lempresa i el producte. A lexemple, 294 correspon a leditorial Santillana, i 3672 identifica el producte. Lltima xifra s lanomenat dgit de control i es calcula en funci de les altres dotze xifres. En aquest cas s el 3. Amb el dgit de control es poden detectar errors en els codis del pas, lempresa o el producte.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) En un supermercat han aparegut alguns codis amb dgits de control mal calculats. Indica en quin dels codis aquest dgit s erroni. 9789501266566 9788429464115 8411111500001 5449000000996

b) Observa que aquests dos codis tenen el mateix dgit de control: 8410201030106 y 8420101030106. Fixat en lordre de les xifres de tots dos nombres. Qu hi observes? Podries construir rpidament diversos codis amb les mateixes xifres, de manera que el dgit de control fos el mateix? c) Inventa una manera de calcular els dgits de control similar a la que es fa servir a EAN13.

50

MATEMTIQUES 3r ESO

MATERIAL FOTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

12Clcul del dgit de control amb nombres racionals i decimalsFES AQUESTES ACTIVITATS.RECURSOS PER A LAULA COMPETNCIA MATEMTICA

El mtode de clcul del dgit de control per als codis de barres es basa en operacions senzilles amb nombres naturals. En el pas 3r es tracta de realitzar un quocient en qu el divisor s sempre 10. Si sabem que una de les possibles interpretacions duna fracci s com a quocient de dos nombres, analitzarem la relaci entre el mtode de clcul del dgit de control i els nombres racionals. Imagina que el resultat obtingut en el pas 3r fos 121. En aquest cas tindrem el quocient 121 : 10, que ex121 pressat com una fracci seria . 10 Les fraccions el denominador de les quals s una potncia de 10 les anomenem fraccions decimals. Aquesta fracci la podem escriure com una suma dun nombre enter i una fracci imprpia, s a dir, expressar-la com un nombre mixt. 121 1 = 12 + 10 10

a) A continuaci tens les sumes obtingudes en el 3r pas per a quatre codis diferents. Calcula el dgit de control associat fent servir fraccions. 76 84 117 135 b) Troba, en cada cas, el valor de la suma obtinguda en el pas 3r, sabent el valor del dgit de control i del nombre enter obtingut en la descomposici. Nombre enter: 7, dgit de control: 4. Nombre enter: 10, dgit de control: 2. Nombre enter: 9, dgit de control: 7.

Quina fracci haurem de sumar a la fracci anterior per obtenir un nombre enter?Aquella fracci ser el que li falta a la part fraccionria 1 de la descomposici, , per arribar a la unitat. 10 1 9 1 = 10 10 El numerador daquesta fracci, 9, s el dgit de control corresponent a la suma 121. Comprova-ho tu mateix.

Tamb s possible calcular el dgit de control fent servir nombres decimals. Hem vist que, una vegada obtinguda la suma de les xifres, calculem el quocient i el residu de la seva divisi entre 10. Ara b, podem treballar de la mateixa manera expressant el resultat daquesta divisi com un nombre decimal. Aix doncs, podem calcular el resultat de manera rpida, separant la xifra de la dreta amb una coma, ja que dividim entre 10. En el cas anterior, per a la suma 121 tindrem com a resultat 12,1. Si restssim aquest nombre de lenter immediatament superior, 13, tindrem: 13 12,1 = 0,9 La xifra de les dcimes del resultat, 9, s el dgit de control.

FES LACTIVITAT SEGENT. A continuaci tens les sumes obtingudes en el pas 3r per a quatre codis. Determina el dgit de control associat fent servir nombres decimals. 95MATEMTIQUES 3r ESO

74

106

132


51

2 Nombres realsA LA VIDA QUOTIDIANA... La Terra i els seus movimentsEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Fer servir la notaci cientfica per treballar amb nombres molt grans. Treballar amb els moviments de la Terra. Calcular la velocitat dels diferents moviments terrestres. Conixer la participaci espanyola en les investigacions geogrfiques.

1

Localitzaci de punts a la TerraCada punt de la Terra queda determinat de manera inequvoca amb aquestes coordenades: els graus de la seva latitud (nord o sud respecte de lequador) i els graus de la seva longitud (est o oest respecte del meridi zero).

Per situar punts en lesfera terrestre sha de definir un sistema de coordenades. Saps quines sn les coordenades que defineixen la situaci de qualsevol punt de la Terra? En primer lloc, definim lequador com la lnia imaginria formada pel cercle mxim perpendicular a leix de gir de la Terra. A partir daquest equador situem els punts cap al sud i cap al nord. La situaci dun punt respecte de lequador sanomena latitud i va de 0 a 90 graus. Tamb hem de definir un meridi zero o lnia vertical que ens serveixi per situar els punts a lest i a loest respecte daquest meridi. El que es fa servir actualment s el que passa per Greenwich (Gran Bretanya). La situaci dun punt respecte daquest meridi zero sanomena longitud i va de 0 a 180 graus.

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Investiga on s Greenwich i per qu es va triar aquest meridi. b) Quan es va triar aquest meridi? c) Aquest meridi passa pel territori espanyol. Amb lajuda dun atles, assenyala alguna localitat que tingui longitud 0. d) Investiga sobre levoluci de les representacions cartogrfiques.

2COMPETNCIA MATEMTICA

Forma i mida de la TerraFES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) La unitat de longitud principal s el metre, que es va definir com la deumilionsima part del quadrant (quarta part) del meridi terrestre. Quina s la longitud del meridi terrestre en metres? b) Una milla nutica, que s una unitat que es fa servir en navegaci, equival a la longitud dun minut del meridi terrestre. Tenint en compte que un meridi terrestre fa 360, calcula la longitud duna milla nutica en metres. c) Si poguessis fer un tnel que travesss la Terra passant pel centre, on arribaries? Aquest punt sanomena antpodes. d) Fent servir la definici de metre, calcula quina s la longitud del radi de la Terra. e) Ara que ja saps quin s el radi de la Terra, calculan el volum. f) Si la densitat mitjana de la Terra s de 5,5 tones per metre cbic, quin ns el pes?

La Terra t, aproximadament, la forma duna gran esfera. Estudis recents han descobert que s una mica aplatada en algunes zones, per per als clculs que et demanem que facis a continuaci considerarem que t la forma duna esfera perfecta. Quan facis les activitats que et proposem, expressa els resultats en notaci cientfica.

60

MATEMTIQUES 3r ESO


23Moviment de rotaci de la TerraFES LES ACTIVITATS.RECURSOS PER A LAULA COMPETNCIA MATEMTICA

La Terra t un moviment de rotaci que fa que doni una volta sobre el seu eix de gir cada 24 hores. El resultat ms tangible daquest moviment s lalternana dels dies i les nits. A la fotografia segent, feta des de la Lluna, pots apreciar la lnia fosca que separa la part de la Terra on s de dia daquella on s de nit.

a) Quan la Terra rota sobre si mateixa, cada punt descriu una circumferncia. La longitud daquesta circumferncia s la mateixa per a tots els punts? En quins s ms gran? I ms petita? b) Calcula la velocitat de rotaci de la Terra a lequador en metres per segon. Per fer-ho, troba la longitud de la circumferncia a lequador i divideix-la entre els segons que t un dia. c) Troba la velocitat de rotaci aproximada que hi ha al lloc on vius. Agafa com a radi de la circumferncia en aquest lloc: graus de latitud r = R 1 90 on R s el radi de la circumferncia. d) Hi ha altres llocs de la Terra on els seus habitants es desplacin a la mateixa velocitat de rotaci que tu? Indican algun.

4

Moviment de translaci de la TerraFES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Quant temps triga la Terra a fer una volta completa al voltant del Sol? b) Calcula la velocitat de translaci de la Terra al voltant del Sol en quilmetres per hora. c) Calcula la velocitat de translaci de la Terra al voltant del Sol en quilmetres per hora. Tingues en compte que la distncia mitjana de la Terra al Sol s de 150 milions de quilmetres aproximadament.

Tot i que al llarg de la histria hi ha hagut altres teories, la Terra es mou al voltant del Sol, en el moviment que anomenem de translaci. Aquest moviment, juntament amb la inclinaci del seu eix de gir, origina les estacions. La trajectria que segueix s una ellipse, per sassembla tant a una circumferncia que podem considerar que s un moviment circular.

5

Un recorregut per la histriaFES AQUESTA ACTIVITAT. Fes un treball dinvestigaci en qu, per a cadascun daquests dos esdeveniments, assenyalis la situaci poltica i econmica en qu es van desenvolupar, les qestions matemtiques que pretenien resoldre i els problemes que van superar. Hi pots afegir, a ms, tots els aspectes que consideris interessants.

Fixar la forma i la mida de la Terra, aix com la seva situaci respecte de les estrelles, ha constitut un repte al llarg de milers danys. En aquest procs hi han participat cientfics espanyols. La seva aportaci destaca en dos fets: El mesurament de la longitud de lequador (feta en el territori de lactual Repblica de lEquador), en qu va participar lespanyol Jorge Juan (a la fotografia). La mesura de larc de meridi Dunkerke-Barcelona, a partir de la qual es va fixar la longitud del metre.

MATEMTIQUES 3r ESO


61

3 PolinomisA LA VIDA QUOTIDIANA... El NIF i el nmero de la Seguretat SocialEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Calcular la lletra que correspon a cada nmero de DNI. Trobar el dgit de control dun nmero de la Seguretat Social. Obtenir la lletra de DNI fent servir polinomis. Calcular el dgit de control del nmero de la Seguretat Social amb polinomis.

1

Clcul de la lletra dun nmero de DNI i del dgit de control dun nmero de la Seguretat Social

El NIF (nmero didentificaci fiscal) est format per la uni de DNI i una lletra, associada a aquest nmero de manera nica. SITUACIN PROBLEMTICA LEnric ha anat a una agncia de viatges per fer una reserva. Per fer-ho li demanen el NIF. Recorda el seu nmero de DNI, 5.366.821, per no la lletra que li correspon. Com pot calcular-la? Mtode de clcul Per obtenir la lletra associada al nmero hem de seguir els passos segents. 1r Dividim el nmero de DNI entre 23, sense obtenir decimals, i anotem el residu de la divisi. 5.366.821 : 23 = 233.340,0434... Quocient: 233.340; Residu: 1 2n Mirem en aquesta taula quina lletra est associada al residu, el nmero 1. La lletra s la R.COMPETNCIA MATEMTICA

El nmero de la Seguretat Social t 12 xifres. Les dues primeres sn lindicatiu provincial, desprs vnen 8 xifres la primera de les quals s 1 o 0, i acaba amb dues xifres que sanomenen dgit de control. SITUACI PROBLEMTICA La Llusa treballa en un centre de salut i, quan introdueix un nmero de la Seguretat Social a lordinador, lavisa que el dgit de control s erroni. Com es calcula el dgit de control? Mtode de clcul El dgit de control lobtenim a partir de les altres 10 xifres del nmero, de la manera segent. 1r Mirem la tercera xifra per lesquerra, que ser un 1 o un 0. Si s un 1, agafem les 10 xifres i formem un nombre. Si s un 0, en prescindim i agafem les altres 9. 2n Dividim aquest nombre entre 47 i anotem el residu de la divisi, que escrivim com un nombre de dues xifres. Aquest residu s el dgit de control.

A B C D E F G H

3 11 20 9 22 7 4 18

J K L M N P Q R

13 21 19 5 12 8 16 1

S T V W X Y Z

15 0 17 2 10 6 14

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Determina la lletra dels NIF segents. 49.125.369 36.713.405 22.557.217 15.151.515 b) Escriu tres nmeros diferents de DNI que tinguin associada la mateixa lletra.

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Comprova que el dgit de control daquests nmeros s correcte: 281038585534; 160123456733. b) Calcula el dgit de control per a aquests grups de 10 nmeros: 4612568974; 2102365984.

68

MATEMTIQUES 3r ESO


32Clcul de la lletra de DNI i del dgit de control fent servir polinomisPer calcular el dgit de control de la Seguretat Social podem actuar de manera semblant. Agafem les 10 primeres xifres del nombre (sense tenir en compte si la tercera xifra per lesquerra s 1 o 0) i en calculem el valor segons el polinomi: x 4.700.000.000 El dgit de control estaria format per les dues primeres xifres decimals del resultat. Tot i que en la realitat el clcul de la lletra del DNI es fa com hem vist anteriorment, podrem fer aquesta associaci de nmero i lletra amb un mtode alternatiu fent servir polinomis. Una manera senzilla i rpida dassignar una lletra a un nombre de manera coherent seria: 1r Agafem el nmero del DNI. Aquest nmero t 7 o 8 xifres. Si t 7 xifres, el multipliquem per 10, fins a aconseguir un nmero de 8 xifres. 2n Substitum aquest nmero en el polinomi segent i en calculem el valor numric. P (x ) = x +1 99.999.999

P (x) =

3.o Determinem linterval a qu pertany aquest nmero segons la taula i li associem la lletra corresponent.A B C D E F G H J K L M [1,10; 1,14) [1,14; 1,18) [1,18; 1,22) [1,22; 1,26) [1,26; 1,30) [1,30; 1,34) [1,34; 1,38) [1,38; 1,42) [1,42; 1,46) [1,46; 1,50) [1,50; 1,54) [1,54; 1,58) N P Q R S T V W X Y Z [1,58; 1,62) [1,62; 1,66) [1,66; 1,70) [1,70; 1,74) [1,74; 1,78) [1,78; 1,82) [1,82; 1,86) [1,86; 1,90) [1,90; 1,94) [1,94; 1,98) [1,98; 2,04)

Per al nombre 1.912.451.204:

P (1.912.451.204) =

1.912.451.204 = 0,4069045 4.700.000.000 En aquest cas, el dgit de control s el nombre 40.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Fent servir polinomis, calcula la lletra que correspondria a aquests nombres de DNI. 23.456.785 10.152.458 4.589.632 15.002.369COMPETNCIA MATEMTICA

Aix doncs, per al DNI 3.822.031, el valor del polinomi seria:

b) Escriu dos nombres de DNI que tinguin la mateixa lletra associada quan fem servir el clcul amb polinomis. c) Determina tots els nombres de DNI que tinguin associada la lletra K amb aquest mtode. d) Inventa un mtode propi per assignar a cada nmero de DNI una lletra. Raonan el funcionament. e) Fent servir polinomis, calcula el dgit de control dels nmeros segents. 2315678580 1615245870 4508963233 1500293695 f) Escriu dos grups de 10 xifres que tinguin el mateix dgit de control quan fem servir polinomis. g) Determina tots els grups de nmeros de 10 xifres que tinguin associat el dgit 61 amb aquest mtode. h) Inventa un mtode propi per calcular el dgit de control dun nmero de la Seguretat Social. Raonan el funcionament.

P (38.220.310) =

38.220.310 + 1 = 1,3822 99.999.999

I la lletra que li correspondria s H. Observem que, com que x s un nombre de 8 xifres, quan el dividim entre 99.999.999, obtenim un nombre decimal comprs entre 0,10 i 1,00. Quan li sumem 1, el resultat estar entre 1,10 i 2. Necessitem fer 23 intervals, un per a cada lletra. Per ferho, dividim en intervals de la mateixa longitud aquest conjunt de nombres: 2, 00 1,10 = 0,039 23 0,04

Per tant, cada interval t com a amplitud 0,04 (diferncia entre els extrems).MATEMTIQUES 3r ESO


69

RECURSOS PER A LAULA

4 Equacions de 1r i 2n grauA LA VIDA QUOTIDIANA... Animals veloosEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Conixer la velocitat que poden assolir diversos animals. Resoldre problemes reals fent servir equacions.

1

Animals terrestres

La velocitat dels animals depn en gran part del medi per on es desplacen. De la mateixa manera que amb els mitjans de transport construts per lhome, els animals ms rpids sn els que es desplacen per laire, els segueixen els que es desplacen per terra i, desprs, els que ho fan a laigua. A la taula segent apareixen velocitats mximes a qu arriben alguns animals terrestres.Animal Velocitat

Antlop americ Cavall Zebra Crvol Girafa Elefant Llebrer Gorilla Guepard LleCOMPETNCIA MATEMTICA

97 km/h 69 km/h 65 km/h 78 km/h 58 km/h 40 km/h 67 km/h 48 km/h 115 km/h 80 km/h

FES AQUESTES ACTIVITATS SUPOSANT QUE ELS ANIMALS ES MOUEN MITJANANT LEQUACI: e = v t a) Un guepard s a 75 m dun antlop. En el mateix instant en qu el guepard comena a perseguir lantlop, aquest inicia la fugida. Quin avantatge porta lantlop desprs de 5 segons? En quanta distncia es redueix lavantatge de lantlop cada segon? Quant temps triga el guepard a atrapar-lo? b) Un lle comena la persecuci duna zebra quan la distncia que els separa s de 200 m. Quants segons triga a atrapar-la? Fes un esquema i resol el problema. c) Un lle comena a perseguir una zebra que s a una distncia d (en m) dell. Expressa en funci de d el temps que triga a atrapar-la. d) Un animal, separat d metres dun altre, comena a perseguir-lo. Si les seves velocitats sn v1 i v2 km/h, respectivament, expressa en funci de d, v1 i v2 el temps que triga a atrapar-lo i quines condicions shan de complir perqu ho aconsegueixi.

76

MATEMTIQUES 3r ESO


42Animals del mar i laired) Dos animals, separats entre ells una distncia d (en m) van lun cap a laltre. Si les seves velocitats sn v1 i v2 km/h, respectivament, expressa en funci de d, v1 i v2 el temps que triguen a trobar-se.

A la taula segent apareixen velocitats mximes dalguns animals marins i aus.Animal Velocitat

Orca Dof Peix espasa Balena blava liga reial Falcillot Cigne nec

55 km/h 64 km/h 90 km/h 40 km/h 300 km/h 200 km/h 90 km/h 85 km/h

e) Calcula les velocitats de lliga reial i del falcillot en m/s. Arrodoneix-les a la unitat i fes-les servir per respondre la resta dactivitats. f) Una liga s a 810 m dun falcillot. Es dirigeix en lnia recta cap a ell sense que laltre, que vola a 80 km/h cap a ell, se nadoni. Al cap de 3 s, el falcillot se nadona i comena fugir en direcci contrria a la velocitat mxima, i lliga el persegueix. A quina distncia s lliga quan el falcillot sadona que lest perseguint? Quant disminueix la distncia entre tots dos cada segon en aquest perode? Quan el falcillot fuig, quant disminueix la distncia cada segon? Quant temps triga lliga a atrapar-lo? g) Determina el temps que trigaria una liga a atrapar un falcillot en un cas similar a lanterior, si la distncia inicial fos de 500 m i el falcillot se nadons al cap de 5 s. h) A quina distncia mnima ha de ser una lliga dun falcillot perqu aquest, que se nadona immediatament i s a 100 m de la paret rocosa on es refugia, aconsegueixi salvar-se?

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Expressa les velocitats de la balena blava i del dof en m/s. Arrodoneix a les unitats i fes-les servir per respondre la resta de les activitats. b) Un dof i una balena blava estan separats entre ells 330 m. Si avancen per trobar-se: Quina distncia els separa al cap de 10 s? En quants metres es redueix la distncia cada segon? Quant temps triguen a trobar-se? c) Si tots dos avancessin per trobar-se i estiguessin a d m de distncia, quant trigarien a trobar-se?

MATEMTIQUES 3r ESO


77



Els animals del mar i laire ms rpids arriben a velocitats superiors a les dels animals que es desplacen per terra.

5 Sistemes dequacionsA LA VIDA QUOTIDIANA... Problemes matemtics clssicsEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Conixer i resoldre problemes matemtics clssics. Resoldre problemes fent servir equacions i sistemes dequacions.

1

Problemes anticsRESOL ELS PROBLEMES SEGENTS. a) Un pastor porta a la fira el seu petit ramat dovelles, que ven a tres firaires: al primer li ven la meitat de les ovelles del ramat, ms mitja ovella; al segon, la meitat de les ovelles que li queden, ms mitja ovella, i al tercer li ven lltima ovella. Quantes ovelles t el ramat? Quantes en va vendre a cada firaire? b) Els hinds escrivien molts dels seus problemes de manera potica. Aquest ns un. Dun eixam dabelles, la cinquena part es posa sobre una flor de kadamba, la tercera part sobre una flor de silinda. El triple de la diferncia entre tots dos nombres vola cap a les flors de kutaja, i queda una abella volejant en laire, atreta per lembriagadora aroma dun gessam i dun pandanus. Diguem, formosa dona, el nombre dabelles. c) Un cavall i un mul caminaven junts amb sacs als lloms. El cavall es lamentava de la seva enutjosa crrega, i el mul li va dir: De qu et queixes? Si et prengus un sac, la meva crrega seria el doble que la teva. En canvi, si et dono un sac, la teva crrega sigualar a la meva. Digueu-me, doctes matemtics, quants sacs portava el cavall i quants el mul?

Els sistemes dequacions lineals es coneixen i treballen des de fa milers danys. Alguns van ser resolts pels babilonis, que es referien a les incgnites amb paraules. Els grecs resolien alguns sistemes fent servir mtodes geomtrics, i els hinds tamb van treballar la resoluci de sistemes. Amb la introducci dels smbols a llgebra, a partir del segle XVI, es desenvolupen les tcniques de resoluci actuals.


Alguns dels problemes que proposem aqu tenen una gran tradici matemtica. Dalguns en sabem lorigen, com el problema de leixam, que s de procedncia hind, i el del cavall i el mul, que satribueix a Euclides, per de la majoria no en sabem la font. Els problemes daquesta pgina, i alguns dels de la pgina segent, es resolen fcilment mitjanant sistemes dequacions, daltres mitjanant una equaci, mentre que nhi ha que quan mirem de resoldres mitjanant sistemes o equacions se nallarga la resoluci i s ms senzill resoldrels mentalment.

d) El problema segent tamb el podem resoldre mentalment, reflexionant sobre les dades. Mencanten els animals. En tinc diversos a casa. Tots sn gossos menys dos, tots sn gats menys dos i tots sn lloros menys dos. s a dir, que tinc... quants animals? e) En un corral hi ha conills i gallines, que tenen un nombre total de 60 caps i 192 potes. Troba el nombre de conills i gallines. Abans de resoldre el problema, contesta: Podrien ser tots els animals conills? I gallines?

84

MATEMTIQUES 3r ESO


52Altres problemes clssicsb) Un elefant mascle i un elefant femella pesen un total de 15.500 kg. La femella i una cria pesen 9.500 kg, mentre que el mascle i la cria pesaven junts 10.000 kg. Quant pesen tots tres junts? I cadascun?

RESOL ELS PROBLEMES. a) Un tren surt a les 8 hores del mat duna ciutat, A, amb destinaci a una altra ciutat, B. La seva velocitat mitjana durant el recorregut s de 80 km/h. Un helicpter surt a la mateixa hora de la ciutat B, i sobrevola la via frria per trobar el tren. La seva velocitat mitjana s de 400 km/h. En el mateix instant que es troben, lhelicpter torna a la ciutat B. Quan hi arriba canvia el rumb i es dirigeix una altra vegada cap al tren. Quan el troba, fa la volta i torna a la ciutat, i aix successivament. Si saps que la distncia entre totes dues ciutats s de 320 km, i suposant que lhelicpter no perd velocitat en els canvis de direcci, quants quilmetres recorre lhelicpter?

c) La senyora OToole, una persona decididament estalviadora, est intentant pesar-se ella, el seu nad i el seu gos, tot per un cntim. Quan puja a la bscula, marca 170 lliures. Si ella pesa 100 lliures ms que el pes combinat del gos i del nad, i el gos pesa el quaranta per cent del pes del nad, pot determinar el pes del petit querub, vost? (Endevinalla de Sam Loyd.) d) Una etapa duna volta ciclista de 180 km la va recrrer el vencedor a una velocitat mitjana de 40 km/h. La segona etapa de la volta tamb era de 180 km, per tenia un port de primera categoria a la meitat del recorregut. El vencedor daquesta etapa va pujar la primera meitat de letapa a una velocitat mitjana de 20 km/h, i del port a la meta va avanar a 60 km/h. En quina de les dues etapes va invertir ms temps el guanyador? e) Quant costen set sardines i mitja a ral i mig la sardina i mitja? f) Un ramader t pinso per alimentar una vaca durant 27 dies, i si fos una ovella en tindria per a 54 dies. Per a quant temps tindria pinso si hagus dalimentar la vaca i lovella?

MATEMTIQUES 3r ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

85



A continuaci tens altres problemes, no tan antics, per s molt comuns, que es poden plantejar amb endevinalles. Resol-los.

6 Proporcionalitat numricaA LA VIDA QUOTIDIANA... Els impostosEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Calcular percentatges successius. Comprendre els conceptes que intervenen en lIVA i en la declaraci de la renda de les persones fsiques: rendes, retencions i desgravacions. Estudiar un exemple prctic de clcul de lIVA i de la base imposable duna declaraci de la renda.

1

LIVA i el seu procs de clculCONTESTA LES PREGUNTES COMPLETANT ELS REQUADRES. a) Quina quantitat dIVA cobra i ha dingressar a Hisenda el fabricant? s el % de=

LIVA (impost sobre el valor afegit) s un impost indirecte que incideix sobre el consum i sabona en la realitzaci de transaccions, entrega de bns i prestacions de serveis, fetes en el desenvolupament empresarial o professional. LIVA actua carregant un percentatge sobre el preu de cada producte. Aquest percentatge varia en funci del producte de qu es tracti. Els productes de primera necessitat, per exemple, porten un IVA molt redut (4%) o redut (7%), i la resta porten un IVA superior, un 16%. Des de la matria primera fins al consumidor, un producte va passant per diferents persones, cadascuna de les quals, per la feina que ha fet, apuja el preu daquest producte; s per aquest valor afegit que ha de pagar un percentatge: lIVA a Hisenda. SITUACI PROBLEMTICA Un fabricant elabora un producte que ven a un majorista per 240 . El majorista paga al fabricant un 7 % dIVA. Desprs el majorista ven el producte a una botiga per valor de 300 . Lamo de la botiga paga al majorista un 7 % dIVA. Lamo de la botiga ven el mateix producte al pblic a un preu de 390 ms el 7 % dIVA. Quant paga dIVA cadascun? Quant sumen tots els IVA?

b) Quina quantitat dIVA cobra i quina quantitat ha dingressar a Hisenda el majorista? Calcula lIVA que cobra: =

s el

% de

El majorista paga la diferncia entre el que ell ha cobrat dIVA i el que va pagar per IVA al fabricant: =

c) Quina quantitat dIVA cobra i quina quantitat ha dingressar lamo de la botiga? Calcula lIVA que cobra: =


s el

% de

Lamo de la botiga paga a Hisenda la diferncia entre el que ell cobra dIVA i el que va pagar dIVA al majorista: =

d) Quant li costa al comprador el producte?+PVP IVA

=Total

e) Comprova que el que paga el consumidor final dIVA coincideix amb la suma del que han pagat per aquest concepte les tres persones que han intervingut en el procs.=IVA final IVA fabricant

+IVA majorista

+IVA botiga

92

MATEMTIQUES 3r ESO


62La declaraci de la renda2n Fem el mateix amb la renda mobiliria:Renda mobiliria Despesa administraci Rendiment net mobiliariRECURSOS PER A LAULA COMPETNCIA MATEMTICA

A ms dels impostos indirectes com lIVA, hi ha altres tipus dimpostos, anomenats directes, com limpost sobre la renda de les persones fsiques (IRPF), limpost sobre el patrimoni, etc. LIRPF s un impost directe que paga la majoria de les persones que obtenen ingressos en concepte de: Rendes del treball. Rendes del capital mobiliari. Rendes del capital immobiliari. Per altra banda, hem de tenir en compte que en la declaraci, que normalment es fa durant els mesos de maig-juny, shi han de reflectir les rendes corresponents a lany anterior i que, prviament, shan fer retencions a compte sobre el que sha de pagar. A ms a ms, tamb hi ha deduccions familiars, pagaments a la Seguretat Social, etc. Treballarem amb un exemple molt senzill de declaraci de la renda, amb les dades fictcies segents. Completa els camps en funci de lordre indicat i determina si al senyor Vidal li retornaran diners o haur de pagar a Hisenda per aquest impost. SITUACI PROBLEMTICA El senyor Vidal, casat i amb dos fills, va tenir com a sou brut, corresponent a lany 2006, 21.000 amb les caracterstiques segents: Retencions a compte: 14 % del total Cotitzaci a la Seguretat Social: 1.068 Despeses dedubles del treball: 5 % Rendiments de les rendes mobiliries (compte corrent): 480 Retenci: 18 % Despesa dadministraci deduble: 12 Altres deduccions: Pels dos fills: 180 /fill 162 pel rendiment del treball dependent 1r Calculem, en primer lloc, el rendiment net de les rendes del treball: Renda treball Seg. Social

=

3r La base imposable ser la suma dels rendiments nets del treball i mobiliari: +R. net treball R. net mobiliari

=Base imposable

4t Apliquem a aquesta base una escala de gravamen. Per simplificar, suposem que s del 18,7 % de la base; per tant, la quota ntegra s: 18,7 % de =

5 Calculem el total de deduccions: +Per fills Per treball dependent

=Total

6 La quota lquida la calculem aix: Quota ntegra Deduccions

=Quota lquida

7 La quota diferencial (QD) s igual a la quota lquida menys les retencions a compte: Quota lquida Retenci treball

Retenci mobiliari

=Quota diferencial

8 Resultat final: a) Si CD < 0, surt a retornar b) Si CD > 0, surt a pagar

Juny: 60 % Nov.: 40 %

Despesa deduble treball

=Rendiment net del treball

MATEMTIQUES 3r ESO


93

7 ProgressionsA LA VIDA QUOTIDIANA... Inters simple i inters compostEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Relacionar linters simple amb les progressions aritmtiques. Reconixer la diferncia entre inters simple i compost. Relacionar linters compost amb les progressions geomtriques.

1

Linters simple i les progressions aritmtiquesLinters dedut en el primer any s: 6.000 0,05 = 300 El segon any es produeixen 300 ms, ja que els interessos del primer any no es reinverteixen; per tant, al final del primer any tindrem: 300 + 300 = 600 dinteressos. Al final del tercer any tindrem: 3 300 = 900 . El capital total, al final del tercer any, s: 6.000 + 3 300 = 6.900 Observa que els capitals totals al final dels anys successius, 6.300, 6.600 i 6.900, segueixen una progressi aritmtica de ra 300. En general, linters simple el calculem mitjanant aquesta frmula (en qu r s el tant per cent anual). i = i = C r t (temps en anys) 100

El valor dels diners varia amb el temps. Una barra de pa no costa el mateix ara que fa cinc anys. s per aix que quan alg porta els seus diners a un banc i els inverteix durant un cert temps, espera que el banc li retorni els diners invertits ms una altra quantitat, els beneficis de la seva inversi, que normalment anomenem interessos. SITUACI PROBLEMTICA La Clara ha invertit en un dipsit financer 6.000 a un inters del 5 % anual durant 3 anys. Els interessos produts cada any els ingressar en un compte corrent. Quins interessos haur obtingut en total al final daquests 3 anys?

C r t C r t = (temps en mesos) 12 100 1.200 C r t C r t = (temps en dies) 360 100 36.000


i =

FES LES ACTIVITATS SEGENTS.Els elements que intervenen en una operaci dinters simple (en qu els beneficis obtinguts al final de cada perode de temps no es reinverteixen) sn:

a) Si la Clara hagus invertit 10.000 al 3 % anual durant 5 anys, quin capital total hauria obtingut al final daquests 5 anys? b) Quina seria llavors la diferncia de la progressi aritmtica formada pels capitals totals al final de cada any? c) Per a una inversi dun capital C, a un rdit r durant t anys, escriu la successi formada pels capitals totals al final de lany 1, de lany 2, de lany 3, de lany t. d) Quins tipus de progressi formen aquests capitals totals? Quina ns la diferncia?

C = Capital invertit (6.000 ) t = Termini dinversi (3 anys) i = Inters simple (el que volem calcular) r = Rdit (5 % anual)Un rdit (tamb anomenat inters, per que no es refereix als beneficis) del 5 % anual ens indica que per 100 dinversi obtenim en un any 5 de benefici, s a dir, per 1 obtindrem 0,05 al final de lany.

100

MATEMTIQUES 3r ESO


72Linters compost i les progressions geomtriquesSITUACI PROBLEMTICARECURSOS PER A LAULA COMPETNCIA MATEMTICA

SITUACI PROBLEMTICA Quin capital total hauria obtingut la Clara amb la inversi anterior si no hagus retirat els interessos obtinguts al final de cada any? Ens trobem en una situaci dinters compost, ja que els interessos produts al final de cada perode de temps no es retiren, sin que safegeixen al capital i es tornen a reinvertir. El primer any, el guany que obt s el mateix que si el capital estigus dipositat a un inters simple: 6.000 0,05 = 300 Al final del primer any, linters s de 300 , per com que els 300 no es retiren, el capital al comenament del segon any s de: 6.000 (1 + 0,05) = 6.000 + 300 = 6.300 Linters produt en el segon any s: 6.300 0,05 = 315 El capital, al final del segon any s: 6.000 (1 + 0,05)2 = 6.300 + 315 = 6.615 Comprova tu mateix que, al final del tercer any, el capital total obtingut s: 6.000 (1 + 0,05)3 = 6.615 + 330,75 = 6.945,75 En aquest cas, els capitals al final de cada any: 6.300, 6.615 i 6.945,75, segueixen una progressi geomtrica de ra 1,05. r 1 + 0, 05 = 1 + 100 En general, per a les inversions a inters compost, el capital final Cf que sobt a partir dun capital C, amb un rdit r, en un temps t, s: r Cf = C 1 + 100 t

La Llusa sassocia a una cooperativa dhabitatges. Daqu a dos anys ha de pagar 5.000 . Quant ha dinvertir en un dipsit al 2 % dinters mensual compost per obtenir 5.000 ?

El perode de capitalitzaci s dun mes, per tant hem t r , en qu C s el Cf = C 1 + dutilitzar la frmula 100 capital que volem trobar; Cf, el capital final, 5.000 , i r, el tant per cent mensual. Per tant, podem aplicar la frmula aix: 24 2 5.000 = C (1 + 0, 02)24 5.000 = C 1 + 100 Amb la calculadora trobem: 5.000 = C 1,608 C = 3.109,45 La Llusa hauria dinvertir 3.109,45 .

Aquesta frmula s vlida per a qualsevol perode (anys, mesos o dies). Nha ha prou de substituir r pel tant per cent de rdit en aquest perode i t pel nombre danys, mesos o dies que sinverteix.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Calcula el capital que, invertit a un inters simple del 5 %, produeix 1.500 dinteressos en 4 anys. b) Durant quant temps ha destar invertit un capital a un inters simple del 4 % perqu es tripliqui? c) Determina el capital que, invertit a un inters compost del 5 %, produeix 1.500 dinteressos en 4 anys. d) Troba el capital que, invertit a un inters compost de l1,5 % mensual, produeix en 3 anys uns interessos de 3.000 .

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Per a una inversi dun capital C, a un rdit r durant un temps t, escriu la successi formada pels capitals totals quan t = 1, t = 3, etc. b) Quin tipus de progressi formen? Quina s la ra daquesta progressi?MATEMTIQUES 3r ESO


101

8 Figures planes. reesA LA VIDA QUOTIDIANA... rees de polgons amb mesures de longitudEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Calcular lrea dun triangle si en coneixem les mides dels costats. Aplicar aquest procediment per calcular rees de recintes rectangulars. Conixer i aplicar procediments aproximats per trobar lrea de quadrilters i triangles.

1

Frmula dHerAquesta frmula s lanomenada frmula dHer, que va ser un pensador que va viure en el segle I dC. Si tenim un triangle amb costats a, b i c, en qu p s el semipermetre o meitat del permetre: p = (a + b + c)/2. Lrea del triangle la podem calcular aix: A = p (p a ) (p b ) (p c )

SITUACI PROBLEMTICA LAnna s arquitecte i ha rebut el plnol duna parcella triangular on ha de construir un edifici. Al plnol apareixen noms les longituds de tots tres costats. Com pot calcular lrea de la parcella?

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Comprova que la frmula s correcta amb un triangle rectangle de catets de 6 cm i 8 cm. Per fer-ho, calculan lrea amb la frmula que ja coneixies i amb la frmula dHer. Compara els dos resultats. b) Troba, amb la frmula dHer, lrea dun triangle de 3 cm, 4 cm i 6 cm de costats. c) Dibuixa el triangle de lactivitat anterior i mesuran una de les altures. Calculan lrea i compara el resultat amb el que havies obtingut. Tingues en compte que hi pot haver algunes variacions per laproximaci de larrel i la precisi amb qu mesures laltura.


Hi ha una frmula per calcular amb exactitud lrea dun triangle si coneixem les longituds dels tres costats, sense haver de determinar-ne laltura.

2

Clcul de lrea dun quadrilter mitjanant la frmula dHerFES AQUESTES ACTIVITATS. a) Dibuixa a la llibreta un quadrilter i triangulal. Mesura els costats de cadascun dels dos triangles que en resulten i calculan lrea amb la frmula dHer. Desprs, suma totes dues rees. b) Traa, en el quadrilter original, la diagonal diferent de lanterior. Repeteix el procs i calcula lrea del quadrilter. Obtens el mateix resultat que abans? Lhauries dobtenir? A qu creus que es deu la diferncia?

Per calcular lrea dun polgon qualsevol el podem descompondre en triangles i trobar-ne les rees. Lrea daquest polgon ser la suma de les rees dels triangles. Ara b, a lapartat anterior hem aprs a calcular lrea dun triangle si en coneixem noms els costats. Podem aplicar, per tant, la frmula dHer al clcul drees de quadrilters (en realitat, de qualsevol polgon): per ferho, nhi haur prou a dividir el quadrilter en dos triangles mitjanant una diagonal i mesurar-ne la longitud. Desprs, apliquem la frmula dHer a tots dos triangles i en trobem les rees.

108

MATEMTIQUES 3r ESO


83Mides aproximades en un quadrilter: una frmula brasileraSi la calculem com els pagesos brasilers, tenim que:RECURSOS PER A LAULA COMPETNCIA MATEMTICA

Els pagesos del nord del Brasil fan servir un mtode per calcular de manera aproximada la superfcie de terrenys amb forma de quadrilter. En primer lloc, mesuren les longituds dels costats, desprs troben la semisuma de cada parell de costats oposats i multipliquen les dues semisumes. En el cas dun quadrilter de costats a, b, c i d, amb a i c oposats, lrea ser: a + c b + d = (a + c ) (b + d ) A = 2 2 4 Estudiem un cas senzill. Suposem que hem de calcular lrea dun camp rectangular de 20 cm de base i 10 cm daltura. Lrea, calculada amb la frmula usual s:

A=

(a + c ) (b + d ) (20 + 20) (10 + 10) = = 200 4 4

Per tant, veiem que el resultat s el mateix.

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Aplica la frmula brasilera a un quadrat qualsevol. s un bon mtode? b) Aplica-la a un rectangle i un rombe qualsevol. s un mtode adequat? c) Fes servir la frmula per calcular lrea dun trapezi de 12 m i 8 m de bases i 5 m daltura. Compara-la amb lrea obtinguda amb la frmula usual. s una aproximaci correcta?

A = 20 10 = 200 m2

4

Mides aproximades dun triangle: una frmula brasileraObserva que en la frmula anterior pots canviar el nom dels tres costats i obtindrem la frmula: A = I tamb: A = (c + b ) a (c + b ) a = 2 2 4 (a + c ) b (a + c ) b = 2 2 4

Els pagesos brasilers calculen tamb lrea duna superfcie triangular amb la frmula dels quadrilters de lapartat anterior. Per fer-ho, suposen que un dels costats del quadrilter s igual a zero. Aix doncs, donat un triangle de costats a, b i c, per trobar lrea A multipliquem la meitat dun per la semisuma dels altres dos. s a dir: A = (a + b ) c (a + b ) c = 2 2 4

Quina de les frmules anteriors s la ms adequada? Comprova, per a cadascun dels triangles de les activitats a), b), c) i d), quina de les frmules ofereix una aproximaci ms bona al resultat real. Qu hi observes? Quina s laproximaci ms convenient?

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Aplica la frmula anterior a un triangle equilter qualsevol. s un mtode adequat? b) I si lapliques a un triangle rectangle de costats de 3, 4 i 5 cm, respectivament? c) I si la fas servir amb un triangle issceles amb costats iguals de 6 cm de longitud i costat desigual de 8 cm? d) Aplica aquesta frmula en el triangle de la figura mesurant-ne els costats. Compara el resultat amb lobtingut quan apliquem la frmula dHer (que s exacta). El mtode brasiler s una bona aproximaci?

MATEMTIQUES 3r ESO


109

9 Cossos geomtricsA LA VIDA QUOTIDIANA... Construccions cbiquesEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Trobar i reconixer diferents desenvolupaments del cub. Dividir un cub en parts iguals. Aplicar aquesta divisi en la construcci dun cub amb peces iguals. Construir un puzle amb cubs petits.

1

Desenvolupaments dun cub: hexminosFES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Busca tots els hexminos que permeten construir un cub: nhi ha exactament 11. Perqu no ten deixis cap et donem dues maneres de trobar-los. La primera s anar-los doblegant pels costats fins a obtenir el cub. La segona s obtenir el desenvolupament del cub posant-lo a rodar sobre el paper, i marcant-ne les cares fins que totes el toquin. b) Els daus que es fan servir en molts jocs tenen els nombre de l1 al 6, collocats de manera que la suma dels punts de cada parell de cares oposades s sempre 7. A continuaci tens els desenvolupaments de diversos daquests daus. Completals.1 2 3 5 6 32 6

Els poliedres els podem construir a partir de retallables de paper o cartolina; els dobleguem per les arestes i desprs els enganxem. Aquests retallables sn els desenvolupaments plans dels poliedres. El desenvolupament pla del cub estar format per una figura plana composta per sis quadrats iguals, units per costats complets, que anomenem hexmino. Ara b, a partir dun hexmino qualsevol, a vegades en podrem construir un cub i a vegades no. A continuaci tens diversos hexminos. Amb quins podrem formar un cub? Intenta determinar-ho mentalment. Si tens problemes, construeix-los en paper i tracta de formar cubs.

1


2

Puzle de fitxes iguals a partir dun cubc) Fes un tall al cub en qu la cara comuna a les dues peces sigui un hexgon regular. d) Construeix 2 puzles que continguin, almenys, tres peces i 3 ms de quatre peces.

Volem fer puzles per construir un cub en qu les fitxes siguin iguals. Comenarem amb un cas fcil i desprs ho anirem complicant. Pensa que construir un cub amb tres peces iguals s el mateix que dividir-lo en tres parts iguals. El ms adequat s que aguantis un cub amb la m per poder-lo manipular, a ms dimaginar-tel.

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Construeix un puzle de dues peces (s a dir, divideix el cub en dues parts iguals). Fes-ho de tres maneres diferents. b) Segurament el tall que has fet abans per dividir el cub s pla. Si s aix, fes dos talls ms que no siguin plans.

118

MATEMTIQUES 3r ESO


93Construccions amb petits cubs iguals Nhi haur algun amb ms de tres cares pintades? I sense cap cara pintada? Per veure si has respost b les preguntes anteriors, comprova que la suma de les teves respostes s igual a 27. c) Pintem ara les cares en un cub de costat 4. Respon les mateixes preguntes que en lapartat anterior. Quina en ser la suma? d) Repeteix el procs per a un cub de costat 5. e) ntenta generalitzar per al cas dun cub de n cubs petits de costat. Contesta les mateixes preguntes. f) Imagina que tenim un cub d1 m daresta subdividit en cubs ms petits d1 cm de costat cadascun. Si colloquem tots aquests cubs petits un sobre laltre, formant una columna, quina altura tindr el poliedre que es forma? Quina en ser lrea? I el volum? Coincideixen amb els del cub ms gran? Imagina que pintem totes les cares del poliedre format quan posem els cubs a la columna. Quants cubs tenen dues cares pintades? I tres? I quatre? I cinc?

Anomenem costat del cub gran el nombre de cubs petits que t en cada aresta.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Observa en la figura que necessitem 8 cubs iguals per obtenir-ne un altre de costat 2 (2 2 2), i 27 cubs per aconseguir-ne un de costat 3 (3 3 3).

Quants cubs necessitem per construir un cub de costat 4? I un de costat 5? I un de costat n? b) Construm un cub de costat 3 apilant 27 cubs. Desprs en pintem les cares exteriors.

Quants cubs petits tenen pintada una sola cara? I dues cares? I tres?COMPETNCIA MATEMTICA

4

Cub dOBerine

El cub dOBerine s un puzle per construir un cub de costat 3 a partir de fitxes formades per cubs ms petits. Fem 9 fitxes iguals de 3 cubs cadascuna, les enganxem en forma de L i unim els cubs per una cara completa, com es veu a la figura.

Lobjectiu del puzle (anomenat dOBerine pel nom del seu inventor) s construir amb aquestes 9 fitxes un cub de 3 cubs de costat (27 = 9 3).

Construeix tu mateix el cub dOBerine.

MATEMTIQUES 3r ESO


119


Imagina que tenim una pila de cubs petits iguals. El nostre objectiu en aquest apartat s reflexionar sobre qu passa quan apilem aquests cubs i en formem altres de ms grans.

10 Moviments i semblancesA LA VIDA QUOTIDIANA... Publicitat i movimentsEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Descobrir la geometria en contextos reals. Reconixer simetries de diferents tipus en anagrames o logotips. Valorar la importncia de la geometria en publicitat. Dissenyar un logotip geomtric.

1

Logotips geomtricsAquests logotips pertanyen a la CAM (Caja de Ahorros del Mediterrneo) i a la Fundaci ONCE. En el primer apareix un cercle i, a dins, un triangle i un quadrat. El segon consta dunes circumferncies entrellaades.

Cada companyia comercial o empresa, aix com els organismes pblics i privats, tenen un logotip, una figura o smbol grfic que serveix per identificar-los. El logotip s molt important perqu s la primera relaci amb lempresa o organisme que representa. s per aix que es destina molt temps, esforos i diners a dissenyar els logotips. Segur que si dediques una mica de temps a observar logotips (quan vagis pel carrer, a la premsa o en revistes, a la televisi, en els fulls de publicitat...), tadonars que hi ha molts elements geomtrics. Hi pots trobar cercles o circumferncies, triangles, quadrats, pentgons, figures circulars... A continuaci, veurs dos exemples de logotips en qu destaca la presncia delements geomtrics.

Pensa que si en els logotips apareixen amb molta freqncia motius geomtrics es perqu resulten atractius visualment. Sn, a ms, una manera de valorar la geometria.

2COMPETNCIA MATEMTICA

Logotips simtricsFES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Fixat en el logotip de Volkswagen. T cap simetria central respecte dun punt? b) s simtric respecte de cap eix? Assenyala tots els eixos de simetria que hi trobis. c) Observa el logotip de Mercedes. s simtric respecte de cap punt? d) El logotip de Mercedes, t cap eix de simetria? Quants daquests eixos hi pots trobar? e) Mirat el logotip dOpel. T cap simetria respecte dalgun punt? f) Hi ha cap eix de simetria en el logotip dOpel? Assenyala tots els que hi trobis. g) Dissenya algun logotip que tingui simetria respecte a un punt. h) Dissenya dos logotips que tinguin dos i tres eixos de simetria, respectivament.

En aquest apartat treballarem els logotips que, a ms de tenir elements geomtrics, sn figures simtriques, b respecte de leix o b amb una simetria central respecte dun punt. Observa tres logotips de marques de cotxes, corresponents a Volkswagen, Mercedes Benz i Opel.

126

MATEMTIQUES 3r ESO


103Logotips amb girsc) Dibuixa el nou logotip que obtindrem si girssim una de les figures que componen el logotip actual 60, 120, 180, 240 i 300. d) Assenyala totes les simetries que vegis en el logotip de Mitsubishi. e) Fixat en el logotip de Media Markt. Est format per un cercle i una figura que es repeteix. Quantes vegades es repeteix aquesta figura? f) Quants graus has de girar cada figura per obtenir la segent? Quin s el centre de gir? g) Dibuixa el logotip que obtindrem si girssim la figura base 45, 90, 135, 180, 225, 270 i 315. h) Busca altres exemples i assenyala quina s la figura a partir de la qual podem obtenir tot el logotip.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Observa el logotip de Mitsubishi. De quantes figures est compost? b) Quins angles hem de girar cadascuna de les figures que el componen per sobreposar-la sobre les altres dues? Quins sn els centres daquests girs?

4

Moviments i alguna cosa msVegem dos exemples ms de logotips dentitats relacionades amb les finances: Deutsche Bank i Iberagentes.

A vegades, a ms dels moviments, en els logotips hi ha elements que, almenys a primera vista no saprecien, per que hi sn presents. Observa el logotip del Banco Zaragozano. Si et fixes en la forma que t la Z inicial del banc, veurs que s el smbol del percentatge, %, estilitzat.

Aquest motiu no es veu a primera vista, per s duna manera inconscient. Amb el logotip, el banc transmet la idea que els nostres estalvis es van incrementant i, com que s la primera inicial del seu nom, es recorda fcilment.

a) Quin motiu veus en cada logotip que representa un significat positiu per a una entitat financera? b) Analitza els girs i les simetries centrals que hi ha en cadascun dels tres logotips. c) Dissenya un logotip que transmeti un determinat missatge per a un tipus dempresa.

5

Dissenya el teu logotipBusca un motiu per fer-ho (una excursi del teu curs o classe, les festes del teu barri o localitat...) i dissenyan el logotip. Ha de tenir elements geomtrics i, si s possible, hi han daparixer els moviments que hem vist.

Al llarg dels apartats anteriors daquest projecte hem analitzat uns quants logotips i hem descobert la importncia de la geometria en el seu disseny. Segur que alguns logotips than agradat ms que altres i se than acudit algunes idees sobre la millor manera de dissenyar un logotip.MATEMTIQUES 3r ESO


127


FES AQUESTES ACTIVITATS.


Ara considerarem logotips que es puguin obtenir girant una figura donada. Observa els logotips de Mitsubishi (una empresa automobilstica) i de Media Markt (una cadena de botigues).

11 FuncionsA LA VIDA QUOTIDIANA... Els moviments i les grfiquesEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Interpretar les grfiques espai-temps i velocitat-temps, que relacionen lespai o la velocitat dun mbil en funci del temps transcorregut. Relacionar aquests dos tipus de grfiques. Dissenyar una grfica a partir dun dibuix.

1

Interpretaci de les grfiques espai-tempsPer respondre les preguntes anteriors, tingues en compte que: a) La distncia inicial correspondr a un valor del temps t = 0, que segons la grfica s igual a b) Aquesta s una grfica espai-temps, i la velocitat que relaciona totes dues magnituds s de la forma: e v = . Com podem veure, en 1 segon el mbil ha t passat destar a 15 metres a estar a 20 metres, de manera que ha recorregut 5 metres. En 2 segons passa de 15 a 25 metres, i ha recorregut 10 metres, etc. Per tant, la seva velocitat s... Representa la grfica velocitat-temps. Quina forma t? c) Lexpressi algebraica del moviment indica lespai que recorre el mbil en funci del temps. En aquest cas, hi ha un espai inicial, i desprs lespai s directament proporcional al temps invertit. Lexpressi s...

En primer lloc, conv que recordem que la velocitat dun mbil s la magnitud que relaciona lespai que transcorre amb el temps invertit a fer-ho. Hi ha dos tipus de grfiques per analitzar els moviments: la grfica espai-temps i la grfica velocitat-temps. En totes dues representem, a leix horitzontal, el temps com a variable independent, i a leix vertical, lespai transcorregut o la velocitat, respectivament.

SITUACI PROBLEMTICACOMPETNCIA MATEMTICA

Observa aquestes grfiques de moviments i contesta els apartats a), b) i c) formulats per a la grfica anterior.40

Un mbil surt dun punt amb un moviment uniforme (a velocitat constant) que representem a la grfica segent.e ( metres)40

30 20 10 1 2 3 4 t (segons) 5

e (metres)

30 20 10 1 2 3 4 t (segons) 5

40

e (metres)

30 20 10 1 2 3 4 t ( segons) 5

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) A quina distncia inicial era el mbil? b) Quina s la velocitat del mbil? Com ser la grfica velocitat-temps? c) Escriu lexpressi algebraica del moviment.

134

MATEMTIQUES 3r ESO


112Anlisi de les grfiques espai-temps i velocitat-temps La forma de la grfica espai-temps no t relaci amb el moviment real del mbil, que suposem rectilini. No hem de confondre la grfica dun moviment amb el moviment real.

SITUACI PROBLEMTICA Donada aquesta grfica espai-temps, calcula la velocitat en cada tram i representa la grfica velocitat-temps corresponent.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Descriu la situaci del mbil en cadascun dels trams. Es troba ms lluny o ms a prop del punt de partida? b) En una hora, quin espai ha recorregut? I en una hora i mitja? c) La velocitat del mbil s constant, per no tot el temps, sin en cada tram. Quina s la velocitat del mbil en cada tram? d) Descriu lexpressi algebraica del moviment en els quatre trams. e) Representa la grfica velocitat-temps. Quina forma t? f) Compara la forma de la grfica velocitat-temps amb la forma de la grfica espai-temps. g) Indica els mxims i mnims de la grfica velocitattemps.

60 50 40 30 20 10 0,5 1 1,5 2 2,5

e (quilmetres)

t (hores)

Observacions importants: En la grfica hi ha quatre trams que es correspondran amb quatre velocitats diferents.

3

Disseny de grfiques a partir de dibuixosc) Imaginem un circuit circular de 100 m de radi i una velocitat constant de 30 m/s. Representa grficament la velocitat en funci del temps i lespai recorregut en funci del temps.

SITUACI PROBLEMTICA Observa el circuit de carreres de la figura: els cotxes surten del punt S i van sempre a la mxima velocitat possible.4 5 3

6

2

S

1

Tingues en compte que, quan sarriba a un revolt es frena, i quan sen surt saccelera.

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Com varia la velocitat del cotxe en funci de la seva posici al circuit? b) Representa grficament la velocitat del cotxe en funci del temps.MATEMTIQUES 3r ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

135



En aquest apartat analitzarem les grfiques espaitemps i calcularem la velocitat del mbil en cada tram. Tamb representarem la grfica velocitat-temps.

12 Funcions de proporcionalitatA LA VIDA QUOTIDIANA... Matemtiques a la premsaEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Realitzar clculs amb magnituds associades a un diari: rea de paper, gruix i tirada. Conixer el fenomen de la publicitat en la premsa escrita. Relacionar la proporcionalitat directa amb els diaris i treballar-hi. Relacionar la proporcionalitat indirecta amb els diaris i treballar-hi.

1

Les dimensions, el gruix i la tirada dun diariSITUACI PROBLEMTICA El propietari dun quiosc ven cada dia 100 exemplars de diaris esportius i 80 diaris dinformaci general. Vol posar a la venda 50 exemplars de diaris econmics i necessita saber lespai (volum) addicional que li far falta.

Els mitjans de comunicaci tenen una enorme influncia en la societat actual. En aquest projecte nestudiarem un dels ms importants: els diaris, que sn part de la premsa escrita. Per fer-ho ser convenient que compris o demanis uns quants diaris per poder fer les activitats que et proposem. SITUACI PROBLEMTICA La rotativa dun diari, per fer una estimaci de les despeses, ha de calcular la quantitat de paper en metres quadrats que ha de comprar per poder elaborar el diari durant un mes. Les dimensions daquest diari sn 29 41 cm, t 72 pgines i la seva tirada, s a dir, el nombre dexemplars de diaris que simprimeixen cada dia, s de 180.000 exemplars.

FES AQUESTES ACTIVITATS.COMPETNCIA MATEMTICA

a) Quin gruix t una pgina de diari? Per obtenir-la, mesura el gruix dun diari i divideix el resultat pel nombre de pgines. b) Calcula lespai (volum) que ocupa un diari. Suposem que t 70 pgines, de les dimensions indicades, i que el gruix de pgina s el que has trobat en lapartat anterior. c) Expressa algebraicament la funci que relaciona el volum dun diari amb el nombre de pgines. Representa-la. d) Suposant que tots els diaris del quiosc tenen el mateix gruix, quin volum ocupaven en el quiosc els diaris esportius i els dinformaci general? e) Quin volum ocuparan tots els diaris que posaran a la venda al quiosc? f) Expressa algebraicament la funci que relaciona el volum amb el nombre de diaris posats a la venda. Representa-la.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Quina rea de paper es gasta en imprimir un exemplar del diari? I en imprimir-ne mil? I deu mil? b) Quant paper es fa servir en la tirada diria? I en la tirada mensual? c) Quins tipus de relaci existeix entre la tirada dun diari i lrea de paper que es fa servir? d) Expressa algebraicament la relaci anterior i representa-la grficament.

144

MATEMTIQUES 3r ESO


122Els anuncis a la premsae) Representa la funci que relaciona els ingressos totals i el nombre de paraules en un dia laborable amb aquesta categoria nica danuncis. Quina situaci t la grfica respecte de les representades a lapartat b)? f) Respon els apartats a), b), c), d) i e), considerant que els anuncis es publiquen un diumenge.SITUACI PROBLEMTICA La direcci del diari anterior ha decidit, finalment, crear una nica categoria danuncis per paraules sense distingir entre dies laborables i festius. Desitja obtenir cada mes un total de 3 milions deuros dingressos, per encara no ha decidit a quin preu cobrar cada paraula. Una de les principals fonts dingressos de les empreses que publiquen diaris s els diners obtinguts per la inclusi danuncis publicitaris. Si observes un diari veurs que gaireb totes les pgines porten anuncis dndole diferent. A ms, acostuma a existir una secci especfica dedicada als anuncis per paraules inclosos per particulars i empreses.

SITUACI PROBLEMTICA La direcci dun diari vol revisar els diners que guanya en els anuncis per paraules. Les tarifes per paraula (en euros) sn les que figuren en la taula segent.Dia laborable Anunci normal Anunci destacat Diumenge

0,96 1,33

1,20 1,51

FES AQUESTES ACTIVITATS.COMPETNCIA MATEMTICA

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Si en un dia laborable el diari registra 80.000 paraules en anuncis normals i 20.000 paraules en anuncis destacats, quins ingressos obt en total? b) Escriu lexpressi algebraica de la funci que relaciona, en un dia laborable, el nombre de paraules amb els ingressos. Fes-ho per als anuncis normals i destacats per separat. c) Representa en una mateixa grfica les funcions de lapartat b). Quina t ms pendent? Quina grfica est per sobre de laltra? d) La direcci del diari vol crear una nica categoria danuncis. Quants euros per paraula hauria de cobrar en un dia laborable perqu els ingressos totals fossin els mateixos que els obtinguts en lapartat a)?

a) Si es fixa el preu per paraula a 1 , quantes paraules shauran de posar a la secci danuncis per paraules per obtenir els ingressos previstos? b) Si en un mes sinclouen 80.000 paraules, a quin preu shauria de cobrar cada paraula per aconseguir els ingressos previstos? c) Escriu lexpressi algebraica de la funci que relaciona el preu per paraula i el nombre de paraules que shan dinsertar al dia per obtenir els ingressos desitjats. d) Representa la funci anterior. Quina forma t la grfica? e) La direcci del diari sap que, en el mes de desembre, el nombre de paraules sincrementa el 10 %. Si augmenta el preu per paraula el 15 %, en quin percentatge augmentaran els ingressos totals respecte dels 3 milions?

MATEMTIQUES 3r ESO


145


13 EstadsticaA LA VIDA QUOTIDIANA... La poblaci espanyolaEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Conixer estadsticament la poblaci espanyola i calcular les densitats de poblaci i les taxes de natalitat i mortalitat. Obtenir informaci a partir de lanlisi de grfics estadstics. Elegir els grfics adequats per representar taules de dades.

1

Anlisi estadstica de la poblaci espanyola

SITUACI PROBLEMTICA Aquestes sn les dades de la poblaci espanyola de l1 de gener del 2002, per comunitats autnomes i lextensi en km2.Comunitat Poblaci km2


Andalusia Arag Principat dAstries Balears Canries Cantbria Castella-la Manxa Castella i Lle Catalunya Pas Valenci Extremadura Galcia Comunitat de Madrid Mrcia Comunitat Foral de Navarra Pas Basc La Rioja Ceuta Melilla

7.478.432 1.217.514 1.073.971 916.968 1.843.755 542.275 1.782.038 2.480.369 6.506.440 4.326.708 1.073.050 2.737.370 5.527.152 1.226.993 569.628 2.108.281 281.614 76.152 69.184 41.837.894

87.595 47.720 10.604 4.992 7.492 5.321 79.461 94.224 32.113 23.255 41.634 29.575 8.028 11.314 10.391 7.234 5.045 20 12 506.030

SITUACI PROBLEMTICA Per estudiar levoluci de la poblaci definim les taxes de naixements, defuncions i matrimonis. Aquestes taxes les expressem per cada mil habitants; aix doncs, una taxa de naixements de 120 per mil significa que per cada mil habitants van nixer 120 nadons.

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Troba la taxa de naixements, defuncions i matrimonis a Espanya lany 2002 si saps que hi va haver 209.065 matrimonis, 416.518 naixements i 366.358 defuncions. b) Calcula la taxa de creixement vegetatiu (naixements menys defuncions) lany 2002. c) Troba la taxa de naixements a les diferents comunitats i representa-la, si saps que el nombre de naixements va ser (en el mateix ordre de la taula): 81.980, 10.393, 6.783, 10.351, 19.020, 4.517, 16.551, 18.058, 68.314, 43.912, 9.724, 19.350, 63.212, 15.501, 5.809, 18.242, 2.537, 1.055, 1.209.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Quina comunitat t ms poblaci? b) Quina t ms extensi? I menys? c) Calcula la densitat de poblaci de les diferents comunitats. Quina en t ms? d) Representa grficament la densitat de les comunitats. Quin tipus de grfic fars servir? Per qu lhas triat?

152

MATEMTIQUES 3r ESO


132s i interpretaci de grfics per representar dadesSITUACI PROBLEMTICARECURSOS PER A LAULA COMPETNCIA MATEMTICA

SITUACI PROBLEMTICA Observa el nombre de naixements a Espanya en el perode 1994-2002:Any Naixements

Hi apareix, per cada sexe i segment dedat, el tant per cent que representa sobre el total de la poblaci. Aix doncs, pots veure que el 2020 els homes entre 0 i 4 anys seran el 2% de la poblaci.

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

370.148 365.469 362.626 369.035 365.193 380.130 397.632 406.380 416.518

FES AQUESTA ACTIVITAT. Comenta cadascuna de les pirmides. Com evolucionar la poblaci espanyola?Homes Dones

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. Com representaries les dades: mitjanant un diagrama de barres, un histograma o un grfic de sectors? Representals de manera adequada.5 4 3 2 12005

1

22020

3

4

Grups dedat 85 i ms 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4 5

1990

SITUACI PROBLEMTICA Aquesta taula mostra els cinc municipis ms poblats a Espanya l1 de gener del 2002:Municipi Habitants

Madrid Barcelona Valncia Sevilla Saragossa

3.016.788 1.527.190 .0761.871 .0704.114 .0620.419

FES AQUESTES ACTIVITATS. a) Quin percentatge de la poblaci total (41.837.894) representen les dades per separat? I juntes? b) Representa les dades mitjanant un grfic de sectors. Et sembla un grfic adequat?A continuaci tens representades les pirmides de poblaci a Espanya projectades els anys 1990, 2005 i 2020.MATEMTIQUES 3r ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

153

14 ProbabilitatA LA VIDA QUOTIDIANA... Sondejos dopiniEn aquest projecte pretenem que aprenguis a: Conixer la llei que regula el procs electoral espanyol en el Congrs dels Diputats. Relacionar el nombre de vots obtinguts amb el descons aconseguits aplicant la llei DHont. Aplicar la llei proporcional per transformar el nombre de vots en escons. Investigar les situacions ms desfavorides quan saplica la llei DHont.

1

Caracterstiques de la llei DHontSITUACI PROBLEMTICA El nombre de diputats que va correspondre a cada provncia desprs dobtenir la quota de repartiment va ser:laba Alacant Albacete Almeria Astries vila Badajoz Balears Barcelona Biscaia Burgos Cceres Cadis Cantbria Castell Ciudad Real Conca Crdova Corunya, la Girona Granada Guadalajara Guipscoa Huelva Huesca Jan 4 11 4 5 9 3 6 7 31 9 4 5 9 5 5 5 3 7 9 5 7 3 6 5 3 6 La Rioja Las Palmas Lleida Lle Lugo Madrid Mlaga Mrcia Navarra Ourense Palncia Pontevedra Salamanca Sta. Cruz de Tenerife Saragossa Segvia Sevilla Sria Tarragona Terol Toledo Valencia Valladolid Zamora Ceuta Melilla 4 7 4 5 4 34 10 9 5 4 3 8 4 7 7 3 13 3 6 3 5 16 5 3 1 1

Larticle 162 de la Llei orgnica electoral general 5/1985, de 19 de juny, diu: 1r El Congrs est format per 350 diputats. 2n A cada provncia correspon un mnim de 2 diputats, i a les poblacions de Ceuta i Melilla un diputat per a cadascuna. 3r Els 248 diputats restants es distribueixen entre les provncies en proporci a la poblaci. Per fer-ho: a) Obtenim una quota de repartiment resultant de dividir entre 248 el total de la poblaci de dret de les provncies peninsulars i insulars. b) Adjudiquem a cada provncia tants diputats com resultin (en nombres enters) de dividir la poblaci de dret provincial entre la quota de repartiment. c) Els diputats restants els distribum assignant a cadascun una de les provncies el quocient obtingut de les quals, dacord amb b), tingui una fracci decimal ms gran.COMPETNCIA MATEMTICA

4t El decret de convocatria ha despecificar el nombre de diputats que sescolliran en cada circumscripci.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Escriu les deu provncies espanyoles amb ms poblaci de dret, ordenades de ms gran a ms petita. b) Quines provncies tenen un sol diputat? c) Per qu la Llei Orgnica estableix un mnim de dos diputats per provncia?

160

MATEMTIQUES 3r ESO


142Aplicaci de la llei DHontSITUACI PROBLEMTICARECURSOS PER A LAULA COMPETNCIA MATEMTICA

Segons larticle 163 de la Llei orgnica, latribuci dels escons en funci dels resultats de lescrutini es fa de la manera segent: a) No es tenen en compte les candidatures que no hagin obtingut almenys el 3 % dels vots vlids per a la circumscripci. b) Sordenen, de ms gran a ms petit, en una columna les xifres de vots obtinguts per les diferents candidatures. Es divideix el nombre de vots obtingut entre 1, 2, 3... fins a un nombre igual al dels escons de la circumscripci. Els escons satribueixen a les candidatures que obtinguin els quocients ms petits. SITUACI PROBLEMTICA Aix, per exemple, en una circumscripci que elegeix 4 candidats, si els vots vlids han estat 240.000 repartits en sis candidatures A(84.000), B(52.000), C(36.000), D(32.000), E(20.000) i F(16.000), el repartiment es fa de la manera segent:Divisi :1 :2 :3 :4

Aquesta s la distribuci dels escons corresponent a lany 2000:* CC: 4 (1,07%) BNG: 3 (1,32 %) PA: 1 (0,89%) ERC: 1 (0,84%) IC-V: 1 (0,51%) EA: 1 (0,43%) CHA: 1 (0,33%)

CiU: 15 4,19 % IU: 8 5,45 % Altres*: 12

PP: 183 44,54 %

PSOE: 125 34,16 %

PNV: 7 1,53 %

Els resultats totals de lany van ser:Candidatures Vots % Escons

PP PSOE IU CiU PNV BNG CC PA ERC ICV EA Chunta Ar. Altres

10.321.178 7.918.752 1.263.043 970.421 353.953 306.268 248.261 206.255 194.715 119.290 100.742 75.356 1.103.056

44,52 34,16 5,45 4,19 1,53 1,32 1,07 0,89 0,84 0,51 0,43 0,33 4,76

183 125 8 15 7 3 4 1 1 1 1 1 0

A B C D E F

84.000 52.000 36.000 32.000 20.000 16.000

42.000 26.000 18.000 16.000 10.000 8.000

28.000 17.333 12.000 10.667 6.667 5.333

21.000 13.000 9.000 8.000 5.000 4.000

La candidatura A obt dos escons i les candidatures B i C, un esc cadascuna.

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) En les ltimes eleccions els resultats a Valladolid han estat els segents (percentatges respecte dels vots vlids).Candidatures Vots %

PP

PSOE

IU 19.246 6,06

Altres 17.986 5,66

168.780 111.588 53,14 35,13

FES LES ACTIVITATS SEGENTS. a) Quin angle correspon a cada sector dels partits a lhemicicle dels diputats? b) Converteix el grfic de lhemicicle en un grfic de sectors. Quin angle correspon a cada sector? c) Si el repartiment dels 350 escons es fes de manera directament proporcional al percentatge de vots obtingut, troba el nombre descons que correspondria a cada partit. d) Quines diferncies observes entre el resultat de la pregunta anterior i el que ens proporciona la llei DHont (quarta columna de la taula)?

Si saps que els escons a repartir eren 5, aplica la llei DHont i obtingues el nombre de diputats corresponents als partits a Valladolid. b) A Tarragona, els resultats van ser:Candidatures Vots %

PSC

CiU

PP

ERC

Altres

101.817 97.616 76.468 19.277 18.976 32,41 31,07 24,34 6,14 6,04

Si saps que els escons a repartir sn 6, quants diputats va aconseguir cada formaci poltica?MATEMTIQUES 3r ESO


161

nombres racionals 3eso santillana

Documents

Transcript of nombres racionals 3eso santillana