LOS POLIGONOS

1. Definiciones.

Un triángulo es un polígono cerrado y convexo constituido por tres ángulos (letras mayúsculas y sentido contrario a las agujas del reloj) y tres lado (letras minúsculas).

Según sus lados y ángulos pueden ser:

- Equilátero: sus tres ángulos y lados son iguales.

- Isósceles: tiene dos lados y ángulos iguales y uno desigual.

- Escaleno: tiene tres lados y ángulos son distintos.

Según sus ángulos se clasifican en:

- Rectángulo: uno de sus ángulos es recto (=90º).

- Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (< 90º).

- Acutángulo: sus tres ángulos son agudos (> 90º).

2 . Propiedades:

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º sexagesimales.

2. El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

* Recordamos que: - Ángulos suplementarios: suman 180º.

- Ángulos complementarios: suman 90º.

Al trazar una paralela desde C al lado BA y prolongamos el lado BC se demuestra que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes:

3. Puntos y rectas notables de los triángulos

Las rectas y puntos notables de un triángulo son:

- las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro , centro de la circunferencia circunscrita (1) al triángulo;

1. Una propiedad de la circunferencia circunscrita a un triángulo consiste en que ésta pasa por los puntos medios del triángulo de exincentros,y por los puntos medios de los segmentos definidos por los exincentros y del incentro del triángulo de partida.

- las medianas, , que se cortan en el baricentro , centro de gravedad del triángulo;

- las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

- las alturas, , que se cortan en el ortocentro .

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas

La mediana es el segmento definido por un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Propiedad:

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de .

Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar se han definido otros tres triángulos iguales: .

Consideramos una mediana . Si es el baricentro se cumple que .

Las alturas

La altura es el segmento obtenido al trazar desde cada vértice una perpendicular al lado opuesto.

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a .

Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde a uno de ellos, por ejemplo al lado , obteniendo

y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que y .

Las bisectrices exteriores de los ángulos del triángulo se cortan en tres puntos llamados exincentros. Cada exincentro es el centro de cada circunferencia exinscrita, siendo, cada una de ellas, tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos.

Por otro lado, las bisectrices interiores de un triángulo son las alturas del triángulo definido por sus exincentros, se cumple así, que un triángulo cualquiera es el órtico del triángulo formado por sus exincentros.

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.

El triángulo órtico tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo ABC.

3. Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Teorema de la altura. Dado el triángulo rectángulo, recto en A, e inscrito en una circunferencia de diámetro igual a la hipotenusa BC, se demuestra, basándose en la semejanza de los triángulos ABH y AHC, que el cuadrado de la altura correspondiente al lado de la hipotenusa es igual al producto de los segmentos BH y HC. AH² = BH · CH Este teorema tiene su aplicación al establecer que la altura AH es el segmento correspondiente a la raíz cuadrada de un número obtenido como producto de otros dos (BH y CH), siendo su suma (BH+CH) el diámetro o hipotenusa del triángulo.

Ejemplo: La raíz cuadrada de un número es igual al producto de dos números (BH ·HC). Para obtener la raíz cuadrada de 7, multiplicamos 7·1 ó 3,5 · 2. Siendo h² = 7 · 1; h =√7 ó h² = 3,5 · 2; h =√7. Teorema del cateto. El cuadrado de la medida AB de un cateto de un triángulo rectángulo, es igual al producto de su hipotenusa BC por la proyección BH de aquél sobre esta. El fundamento está basado en la semejanza de los triángulos ABC y AHB.

Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach

El triángulo que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo se llama triángulo órtico.

Las bisectrices del triángulo órtico de están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.

La circunferencia circunscrita al órtico de se llama circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de y y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de y .

Entre las propiedades importantes de esta circunferencia cabe mencionar:

- su tangencia con las exinscritas e inscrita al triángulo de referencia.

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del circuncentro (mediatrices) u ortocentro (alturas).

Ejercicio:

Sea es el triángulo órtico de un triángulo desconocido . Al hallar vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada órtico y cada circunferencia de Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.

Paso 1. Dibujamos las bisectrices de , que coinciden con las alturas de .

Paso 2. Trazamos por y perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, . Esta es la primera solución. Señalamos el ortocentro y la circunferencia de Feuerbach.

Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de , como , cuyo ortocentro coincide con el vértice . Las otras soluciones serían , con ortocentro en y , con ortocentro en .

Recta de Simson

La circunferencia circunscrita (mediatrices) a un triángulo ABC cumple la propiedad de mantener alineados los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del triángulo desde

cualquier punto (p.e. P) de la circunferencia. A la recta formada por los pies de las perpendiculares mencionadas es la llamada recta de Simson.

Si unimos con el ortocentro de , el punto medio del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de .

Recta de Euler

El baricentro, el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC, están alineados en una recta llamada de Euler.

La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, .

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: .

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de , segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de ”.

Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.