Matemáticas Introducción al Álgebra Superior Primer ...

Matemáticas

Introducción al Álgebra Superior

Primer Semestre

Unidad 3. Combinatoria y polinomios

Clave

05141106/06141106

Universidad Abierta y a Distancia de México


UnADM | DCEIT | MT |MIAS 2

Índice

Presentación de la unidad ...................................................................................................... 3

Competencia específica .......................................................................................................... 3

Logros ................................................................................................................................... 3

3.1. COMBINATORIA ....................................................................................................... 4

3.1.1. ordenaciones, permutaciones y combinaciones ......................................................... 4

3.1.2. Teorema del binomio de Newton ............................................................................. 7

3.1.3. Triángulo de Pascal ................................................................................................ 8

Aprende observando ............................................................................................................ 9

3.2. POLINOMIOS ............................................................................................................ 9

3.2.1. Conceptos básicos ................................................................................................ 10

3.2.2. Suma y producto de polinomios ............................................................................ 12

3.2.3. Raíces de polinomios ............................................................................................ 14

3.2.4. Teorema del residuo ............................................................................................ 14

3.2.5. Teorema de la raíz y del factor ............................................................................... 17

3.2.6. Teorema Fundamental del Álgebra ........................................................................ 19

3.2.7. Factorización de un polinomio ............................................................................... 19

Cierre de la unidad ................................................................................................................ 20

Para saber más ..................................................................................................................... 21

Fuentes de consulta .............................................................................................................. 21



Presentación de la unidad

En esta unidad aprenderás a resolver problemas básicos de conteo, a partir de los principios del

producto y la suma, mediante estrategias que se adapten a ciertas situaciones de conteo

agrupándolas en tres tipos básicos: ordenaciones, permutaciones y combinaciones. A partir de

estos tipos, se probará el Teorema del Binomio de Newton, observándolo desde un punto de

vista combinatorio.

Conocerás el conjunto de polinomios con coeficientes en un conjunto de números dado, junto

con sus operaciones básicas: suma y producto y las propiedades de las operaciones análogas a

las de los números enteros y usarlas para resolver problemas.

Competencia específica

Utilizar la combinatoria y las propiedades de los polinomios para resolver problemas de conteo

y funciones polinomiales, aplicando los conceptos de combinaciones, ordenaciones y

permutaciones, además de la estructura algebraica de los polinomios.

Logros

• Diferenciar las ordenaciones de las permutaciones y de las combinaciones.

• Resolver problemas de conteo.

• Utilizar el álgebra de los polinomios.



3.1. COMBINATORIA

En este tema estudiarás los conceptos básicos para resolver problemas de conteo, Jakob

Bernoulli (Matemático suizo, 1654-1705) publicó el primer libro de texto donde se trata parte

del material de esta unidad, en donde se explica el teorema del binomio, el cual se estudió en

casos pequeños hasta de grado 17 en el siglo XVI. Jakob Bernoulli demostró la forma general del

teorema del binomio en forma combinatoria, y Blas Pascal (Matemático francés, 1623-1662)

publicó un tratado acerca de las relaciones entre los coeficientes binomiales, las combinaciones

y los polinomios.

La forma en que se abordan estos problemas es mediante los conceptos de conjuntos, los cuales

estudiaste a lo largo de la primera unidad de la asignatura, por lo que se te pide tenerlos

presentes.

3.1.1. ordenaciones, permutaciones y combinaciones

Principios fundamentales de conteo

Partiendo de la observación trivial de que si tengo un conjunto con 𝑛 objetos, y selecciono uno

entonces lo podemos hacer de 𝑛 formas, formulamos el Principio de la suma: Si una primera

tarea se puede hacer de 𝑚 formas, una segunda tarea puede hacerse de 𝑛 formas y no es

posible hacer ambas tareas al mismo tiempo, entonces para llevar a cabo una sola de las tareas

es posible hacerlo de 𝑚 + 𝑛 formas. Más generalmente, si tenemos 𝑘 tareas y cada tarea se

puede hacer de 𝑛𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 formas y no es posible realizar dos tareas al mismo tiempo,

entonces para llevar a cabo una sola de las tareas es posible hacerlo de ∑ 𝑛𝑗𝑘𝑗=1 formas. Por

ejemplo, si queremos elegir un producto de la paletería La sonriente y sabemos que hay paletas

de 24 sabores, aguas frescas de 6 sabores y helados sencillos de 12 sabores, entonces podemos

elegir un producto de 24+6+12=42 diferentes.



El segundo principio llamado Principio del producto se formula de manera parecida: Si un

procedimiento se puede descomponer en 𝑘 tareas donde existen n1 formas de hacer la tarea 1,

después de que se ha realizado la tarea 1, hay n2 formas de hacer la tarea 2, n3 formas de hacer

las tareas 1 y 2, y así en general nk-1 formas de hacer la tarea 𝑘, después de que se han realizado

las tareas 1,2, … , 𝑘 − 1 . Por ejemplo: ¿Cuántos números pares de tres dígitos sin que se repitan

se pueden construir usando los dígitos 2, 3, 4 y 5? Escribir el número de tres dígitos (es decir,

cada dígito se puede usar a lo más una vez) se puede descomponer en tres tareas: escribir el

dígito de las centenas: c, escribir el dígito de las decenas: d, y escribir el dígito de las unidades:

u, por la condición del problema el dígito de las unidades tiene que ser par, así sólo hay dos

formas de escogerlo, d se puede escribir de 3 formas, pues ya se usó un número en las

unidades, y para c sólo quedan 2 dígitos, pues ya se usaron dos, así por el principio del producto

hay 2 × 3 × 2 = 12 números distintos que cumplen la condición pedida. Para resolver los

problemas de conteo de la sección de combinatoria será siempre básico el uso de estos

principios.

Si tomamos un conjunto con n elementos, y tomamos sucesivamente m objetos y los

acomodamos uno tras otro, hablaremos de un arreglo o un acomodo, así una pregunta natural

es ¿cuántos arreglos diferentes podemos hallar de m objetos de un conjunto dado de n

elementos? Para el primer elemento hay n formas de escogerlo, para el segundo hay n-1 formas

de escogerlo,…, para el m-ésimo hay (𝑛 − 𝑚 + 1) formas de elegirlo, así por el principio del

producto hay 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)⋯(𝑛 −𝑚 + 1) acomodos con la condición pedida, llamaremos a

estos arreglos ordenaciones de n elementos tomados de m en m y denotaremos por 𝑂𝑛𝑚 el

número de ordenaciones de n elementos tomados de m en m.

Ejemplo: Tres personas suben a un autobús en el cual hay seis asientos libres, ¿de cuántas

maneras pueden ocuparlos? La solución de este problema corresponde a ordenaciones de seis

elementos (los asientos) tomados de 3 en 3 (las personas que los ocupan), así la respuesta es

𝑂63 = 6 × 5 × 4 = 120.



Si en 𝑂𝑛𝑚 m=n, entonces 𝑂𝑛

𝑛 = 𝑛 × (𝑛 − 1) × …× (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 𝑛 × (𝑛 − 1) × …× (3) ×

(2) × (1), llamaremos a uno de estos arreglos permutación y denotaremos 𝑂𝑛𝑛 por 𝑃𝑛 y definirá

el número de permutaciones de n objetos. Si n es un número natural denotamos por 𝑛! el

factorial de n y lo definimos como 0! = 1 𝑦 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)! Así 𝑃𝑛 = 𝑛! Un problema clásico

sobre ajedrez es el siguiente ¿de cuántas formas podemos colocar 8 torres idénticas en el

tablero de ajedrez sin que se ataquen? Ya que debemos colocar una torre por columna, para la

torre que va en la columna a tenemos 8 posibilidades, una vez colocada la primera colocaremos

la segunda en la columna b, ya que la anterior torre domina un renglón del tablero (del 1 al 8)

tenemos solo 7 lugares para colocar la segunda, si proseguimos de la misma forma tenemos 6

lugares para colocar la tercera torre, así hasta llegar a un lugar para la octava torre, usando el

principio del producto, la solución es 8 × 7 × 6 × …× 1 = 8! es decir, el número de

permutaciones de 8 objetos. Para establecer la correspondencia observemos que cada torre

queda en un lugar del tablero, las coordenadas de cada torre son (𝑎, 𝐹(𝑎)),…,(𝑔, 𝐹(𝑔)) con

{𝐹(𝑎),…𝐹(𝑔)} = {1,… ,8} a cada una de estas formas le asociamos una permutación del

conjunto {𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑔}, la imagen de cada letra es la posición que ocupa en la permutación, ya

que la función 𝐹 es biyectiva, la asignación es única, por lo que 𝑃𝑛 cuenta el número de

funciones biyectivas de un conjunto de n elementos sobre otro conjunto de n elementos. Ahora

observemos que 𝑂𝑛𝑚(𝑛 − 𝑚)! = 𝑛(𝑛 − 1) × …× (𝑛 −𝑚 + 1)(𝑛 − 𝑚)! = 𝑛! por lo que

podemos escribir 𝑂𝑛𝑚 =

𝑛!

(𝑛−𝑚)! .

Si al elegir un subconjunto de tamaño m de un conjunto dado de tamaño n el orden no importa,

entonces estaremos hablando de una combinación. Por ejemplo, queremos elegir 2 estudiantes

de un grupo de 30 para participar en un concurso de matemáticas, si importara el orden la

respuesta sería 𝑂302 , pero cada pareja pudo elegirse de 2 maneras, así la respuesta es

𝑂302

2, en

general ya que no importa el orden sino sólo el conjunto, cada subconjunto de tamaño m pudo

elegirse de m! formas. Denotamos por 𝐶𝑛𝑚 el número de combinaciones de n en m ó número de



subconjuntos de tamaño m de un conjunto de tamaño n, también lo denotaremos por (𝑛𝑚) por

lo que 𝐶𝑛𝑚 = (𝑛

𝑚) =

𝑛!

(𝑛−𝑚)!𝑚!.

Un comité formado por dos mujeres y tres hombres es elegido de un grupo de cinco hombres y

cuatro mujeres, ¿de cuántas formas se puede elegir el comité? Los tres hombres pueden ser

elegidos de (53) formas y las dos mujeres de (4

2) formas, por el principio del producto el comité

puede ser elegido de (53)(42) formas.

Otro problema de ajedrez es el siguiente: ¿De cuántas formas se pueden acomodar dos torres,

una blanca y una negra, sin que se ataquen? Si colocamos primero la torre blanca tenemos 64

casillas para colocarla, esta torre domina una columna y un renglón transverso, lo que da 15

casillas. La torre negra se puede colocar en las 49 casillas restantes, por el principio del producto

se pueden colocar de 64∙49=3136 formas.

3.1.2. Teorema del binomio de Newton

Dado un elemento 𝑥 de un conjunto de números con dos operaciones de suma y producto,

definimos 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ ⋯ ∙ 𝑥, n veces. Un binomio es una expresión de la forma 𝑎 + 𝑏. El

teorema del binomio de Newton nos da una expresión para (𝑎 + 𝑏)𝑛 en términos de

combinaciones. Explícitamente nos dice que si 𝑎 y 𝑏 son variables (elementos de un conjunto

numérico) y 𝑛 es un número entero. Entonces

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑛

0) 𝑎0𝑏𝑛 + (

𝑛

1) 𝑎1𝑏𝑛−1 + (

𝑛

2) 𝑎2𝑏𝑛−2 +⋯+ (

𝑛

𝑛 − 1) 𝑎𝑛−1𝑏𝑛 + (

𝑛

𝑛) 𝑎𝑛𝑏0.

Antes de dar la demostración general usando combinatoria observemos el caso particular 𝑛 =

4. Queremos hallar el coeficiente de 𝑎2𝑏2 del desarrollo de (𝑎 + 𝑏)4=(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 +

𝑏)(𝑎 + 𝑏), para obtener 𝑎2𝑏2 se deben tomar dos a´s y dos b´s de los factores, dado que hay

cuatro factores, nombramos 1 al primero, 2 al segundo, 3 al tercero y 4 al cuarto, escogiendo un



subconjunto de dos números del conjunto {1, 2, 3, 4}, por ejemplo si elegimos {1,3}, le

asociamos un término que da 𝑎2𝑏2 , el término (sin tomar en cuenta conmutatividad) es 𝑎𝑏𝑎𝑏,

así el coeficiente de 𝑎2𝑏2 es (42). En general el coeficiente de 𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘 corresponde a todas las

cadenas de 𝑘 𝑎´𝑠 𝑦 𝑛 − 𝑘 𝑏´𝑠 que con la observación anterior corresponde al número de

subconjuntos de tamaño k de un conjunto de tamaño n dado, es decir (𝑛𝑘).

3.1.3. Triángulo de Pascal

Un problema que aparece en muchos libros de combinatoria es el siguiente: tenemos una abeja

reina y diez abejas obreras, ¿cuántos enjambres de 6 abejas se pueden formar, si la abeja reina

pertenece al enjambre y cuántos si la abeja reina no está en el enjambre? Si la abeja está en el

enjambre entonces sólo necesito 5 abejas más para formar el enjambre, esto se puede hacer de

(105) formas y si no está en el enjambre entonces sólo es un subconjunto de tamaño 6 del

subconjunto de las obreras y de estos hay (106), así el número total de enjambres de tamaño 6

del conjunto de las 11 abejas es la suma de los anteriores, es decir se tiene (116) = (10

5) + (10

6).

En general, la fórmula de Pascal es:

(𝑛 + 1

𝑟 + 1) = (

𝑛

𝑟) + (

𝑛

𝑟 + 1)

Para r y n números enteros con 0 ≤ 𝑟 < 𝑛.

Ahora bien, el triángulo de Pascal está definido como el triángulo de números en el que en el

renglón número n aparecen los n+1 números

(𝑛

0) , (

𝑛

1) , (

𝑛

2) ,… (

𝑛

𝑛 − 1) , (

𝑛

𝑛)

Los cuatro primeros renglones son:



Se obtienen a partir del segundo renglón usando (𝑛0) = (𝑛

𝑛) = 1 y la fórmula de Pascal, es

mediante este método que se calculan todos los coeficientes de un binomio a la n-ésima

potencia.

Aprende observando

Teoría de conjuntos

En este vídeo se dan los principios combinaciones

Combinaciones

3.2. POLINOMIOS

Los polinomios son el primer nivel de abstracción al que se enfrenta un estudiante durante su

educación, se da el salto cognitivo del uso de números al uso mezclado de letras y números

operándolos con las propiedades de conjuntos numéricos. Su uso en las expresiones de

https://www.unadmexico.mx/sitios/aplicaciones-107/UN100/Un_049_PermutacionesYCombinaciones/index.html



aplicación en otras áreas, hace que su estudio sea obligatorio en el nivel medio superior.

Históricamente son los árabes, en el siglo IX, los que inician el estudio de los polinomios al

resolver casos de ecuaciones de segundo grado y ecuaciones lineales, de hecho la palabra

álgebra tiene su origen del árabe.

En este tema estudiarás los polinomios como un conjunto con dos operaciones básicas y las

propiedades que se deriven de ellas, que incluyen los teoremas básicos: Teorema del residuo,

Teorema de la raíz y el Teorema Fundamental de la Aritmética.

3.2.1. Conceptos básicos

Conocemos de nuestra experiencia escolar previa que los polinomios son expresiones del tipo:

𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛 y sabemos cómo operar con ellas, si observamos esta expresión,

los coeficientes se caracterizan por subíndices en los naturales, así que es natural identificar

estas expresiones con sucesiones del conjunto numérico al que pertenezcan los coeficientes.

Se dará una definición de sucesión y luego la de polinomio.

Definición. Una sucesión de elementos de un conjunto 𝑋 es una función del conjunto de los

números naturales 𝑆:ℕ → 𝑋, por ejemplo 𝑆(𝑛) =1−𝑛

1+𝑛 es la sucesión:(1,0,

−1

3,−2

4,−3

5, ⋯ ) esta

sucesión tiene un número infinito de elementos distintos de cero, nuestro interés se centra en

las sucesiones que a partir de un elemento son todas cero, estas sucesiones son las que nos

servirán.

Cuando queremos resolver ecuaciones del tipo 2𝑥 + 3 = 0, que no tienen solución en los

enteros, nos obliga a ampliar nuestro sistema numérico, e introducimos el sistema de los

números racionales ℚ construido a partir de los números enteros, como parejas ordenadas de

enteros 𝑛/𝑚 con 𝑚 ≠ 0 con dos operaciones definidas, la suma y el producto definidos como



(𝑛

𝑚) + (

𝑝

𝑞) = (𝑛𝑞 + 𝑚𝑝)/𝑚𝑞 y (

𝑛

𝑚) × (

𝑝

𝑞) = (𝑛𝑝)/(𝑚𝑞). Se puede verificar que estas dos

operaciones satisfacen las propiedades: asociativa para la suma y el producto, existencia de

identidades para las dos operaciones, existencia de inversos para las dos operaciones, leyes

conmutativas y propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. Con este sistema

numérico podemos resolver ecuaciones como con la que iniciamos el párrafo.

De manera similar a los racionales se construye el sistema de los números reales, que pueden

ser construidos a partir de los números racionales con el fin, entre otros, de incluir soluciones de

ecuaciones de la forma 𝑥2 − 2 = 0. Los números reales contienen una copia de los racionales,

satisfacen las mismas propiedades con sus operaciones y otra propiedad adicional: el supremo.

Los números reales contienen a los números irracionales, es decir, aquellos números que no se

pueden expresar como el cociente de dos números naturales. Denotaremos por ℝ a este

conjunto.

Por último, al querer resolver ecuaciones como 𝑥2 + 1 = 0, que no tienen soluciones en los

reales, extendemos nuestro sistema numérico a los números complejos que denotaremos como

ℂ, estos son definidos como parejas (𝑎, 𝑏) ordenadas de reales en los que se definen dos

operaciones: la suma definida por (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) y el producto definido por

(𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐), con las operaciones así definidas se puede probar que

satisfacen las mismas propiedades que las de los reales y los racionales.

Estos sistemas numéricos reciben el nombre de campos, así se habla del campo de los números

racionales, del campo de los números reales o del campo de los números complejos. Los

números complejos también se denotan como 𝑎 + 𝑏𝑖 con 𝑎 𝑦 𝑏 números reales y 𝑖2 = −1.

ℝ[𝒙] = ℝ(ℕ) = {𝑓 ∈ ℝℕ|𝑓(𝑛) ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 ℕ}, los elementos deℝ[𝑥]

son sucesiones de casi puros ceros.



Definición. Los elementos de ℝ[𝑥] se llaman polinomios con coeficientes reales.

Por ejemplo, 𝑓 ∈ ℝ[𝑥], {𝑓(𝑛)} = (1,7,8,12, √2, 0, 𝜋, 0,0,0,… ,0, … ) , lo representamos con 1 +

7𝑥 + 8𝑥2 + 12𝑥3 + √2𝑥4 + 𝜋𝑥6, así nuestra definición corresponde con nuestro conocimiento

intuitivo. Sabemos sumar polinomios, daremos una definición que nos servirá para definir la

suma de polinomios.

Cambiando ℝ por otro conjunto 𝐷 de números obtenemos otro conjunto de polinomios 𝐷[𝑥].

Definición. Si 𝑓 ∈ ℝ[𝑥], denotaremos 𝑠𝑜𝑝(𝑓):= {𝑛 ∈ ℕ|𝑓(𝑛) ≠ 0}.

Definimos el grado de f como el máximo 𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑛) ≠ 0.

Del ejemplo anterior el soporte de 𝑓 es igual a {0,1,7,12, 𝜋, 8}.

3.2.2. Suma y producto de polinomios

Definición. La suma de polinomios se define como ∔:ℝ[𝑥] × ℝ[𝑥] → ℝ[𝑥], dada por

(𝑓 ∔ 𝑔)(𝑛) = 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛).

Ejemplo: la suma de los polinomios (12,−45, 32,0, 78,0,19,0, … ) ∔

(−23, 32,0, 39,0,0,9,0,… ) = (−23,−13,32,39,78, 0,19,0, … ).

Observación: ∔ cumple las siguientes propiedades:

• (𝑓 ∔ (𝑔 ∔ ℎ))(𝑛) = 𝑓(𝑛) + (𝑔(𝑛) + ℎ(𝑛)) = (𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛)) + ℎ(𝑛) =

((𝑓 ∔ 𝑔) ∔ ℎ)(𝑛) (propiedad asociativa).

• (𝑓 ∔ 𝑔)(𝑛) = 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛) = 𝑔(𝑛) + 𝑓(𝑛) = (𝑓 ∔ 𝑔)(𝑛) (propiedad conmutativa).

• Existe el neutro: 0̂: ℕ → ℝ, 0̂(𝑛) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ∈ ℕ.

• Existe el inverso respecto a ∔: ((−𝑓))(𝑛) = −𝑓(𝑛).

• El grado de f∔ 𝑔 es igual al máximo de n tal que 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛) ≠ 0.

La definición de producto también es la formalización de nuestra idea intuitiva.



Definición. Definimos el producto en ℝ[𝑥] como *:ℝ[𝑥] × ℝ[𝑥] → ℝ[𝑥] como (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑛) =

∑ 𝑓(𝑖)𝑔(𝑗)𝑖+𝑗=𝑛 .

El producto * está bien definido, ya que si 𝑛 ∈ 𝑠𝑜𝑝(𝑓 ∗ 𝑔) ⇒ (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑖)𝑔(𝑗) ⇒𝑖+𝑗=𝑛

𝑖 ∈ 𝑠𝑜𝑝(𝑓) ∧ 𝑠𝑜𝑝(𝑔) para alguna i y alguna j tal que 𝑖 + 𝑗 = 𝑛, ya que 𝑠𝑜𝑝(𝑓)𝑦 𝑠𝑜𝑝(𝑔) son

finitos, también es finito el conjunto de productos 𝑓(𝑖)𝑔(𝑗), por tanto 𝑠𝑜𝑝(𝑓 ∗ 𝑔) es finito.

El producto de polinomios satisface propiedades heredadas de los números reales.

Teorema. El producto en ℝ[𝑥] satisface:

1. * es una operación asociativa.

2. Existe en neutro multiplicativo.

3. * es conmutativo.

4. * se distribuye sobre la suma.

Demostración:

1) ((𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ)(𝑛) = ∑ (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑖)ℎ(𝑗)𝑖+𝑗=𝑛 = ∑ [(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑖)]ℎ(𝑗) =𝑖+𝑗=𝑛

∑ [∑ 𝑓(𝑘)𝑔(𝑙)𝑘+𝑙=𝑖 ]ℎ(𝑗) = ∑ (𝑓(𝑘)𝑔(𝑙))ℎ(𝑗)𝑘+𝑙+𝑗=𝑛𝑖+𝑘=𝑛 . Si hacemos lo mismo para

(𝑓 ∗ (𝑔 ∗ ℎ))(𝑛) se obtiene ∑ 𝑓(𝑘)(𝑔(𝑙)ℎ(𝑗))𝑘+𝑙+𝑗 .

2) El neutro es la función1̂: ℕ → ℝ, definida como 1̂(0) = 1 𝑦 1̂(𝑛) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 > 0.

(1̂ ∗ 𝑔)(𝑛) = ∑ 1̂(𝑖)𝑔(𝑗) = 1̂(0)𝑔(𝑛) = 𝑔(𝑛) = (𝑔 ∗ 1̂)(𝑛)𝑖+𝑗=𝑛 .

Las partes 3 y 4 se prueban de manera análoga.

Definición. 𝑥 ≔ (0,1,0, … ).

Como consecuencia de la anterior definición se tiene:

𝑥2 = (0,1,0, … ), …,𝑥𝑛 = (0,… ,0,1⏟ , 0,… )𝑛+1 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟𝑒𝑠

. Además 𝑥0 = 1̂ ≔ (1,0, … ).

Sea 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥], entonces 𝑓 = 𝑓(0)1̂ + 𝑓(1)𝑥 + ⋯+ 𝑓(𝑛)𝑥𝑛. Así podemos escribir 𝑓 =

𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛.



3.2.3. Raíces de polinomios

Dado un polinomio 𝑓 ∈ ℝ[𝑥] con grado ≥ 1 podemos igualarlo a cero para obtener una

ecuación algebraica: 𝑓(𝑥) = 0. En esta ecuación la x representa un número desconocido, a

menudo llamado incógnita, a los números c que satisfacen la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 los llamamos

raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa hallar todas las raíces de la ecuación.

Ejemplo: 3 es raíz de 𝑥4 − 5𝑥2 − 10𝑥 − 6 = 0, pues 34 − 5 ∙ 32 − 10 ∙ 3 − 6 = 0.

3.2.4. Teorema del residuo

Divisibilidad de polinomios

Consideraremos polinomios en un conjunto de números dados, que pueden ser los números

enteros, los racionales, los números reales o incluso los números complejos. Así consideraremos

los polinomios en 𝐾[𝑥], con 𝐾 el conjunto de números dados dependiendo de las operaciones

que se indiquen. Daremos en esta sección una definición de divisibilidad que generalice la de los

números enteros.

Definición. Dados 𝑓 𝑦 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥], decimos que 𝑔 divide a 𝑓 o que 𝑔 es factor de 𝑓, si existe 𝑞 ∈

𝐾[𝑥] tal que 𝑓 = 𝑞 ∗ 𝑔 (abusando del lenguaje, algunas veces no escribiremos*).

Se escribirá 𝑔|𝑓 para indicar que 𝑔 divide a 𝑓.

Ejemplo: 𝑔 = (−1,1,0, … )[𝑥 − 1] divide a 𝑓 = (−1,0,1,0, … )[𝑥2 − 1], pues (−1,0,1,0,… ) =

(1,1,0, … )(−1,1,0, … ). El concepto de divisibilidad depende del conjunto numérico en el que

se definan los coeficientes. Por costumbre escribiremos 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] para 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥], si es

necesario. La divisibilidad satisface propiedades análogas a la divisibilidad de los números

enteros.



Proposición. En 𝐾[𝑥]:

1) 𝑔(𝑥)|𝑔(𝑥) para cualquier 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥].

2) Si 𝑔(𝑥) = 0 y 𝑔(𝑥)|𝑔(𝑥), entonces 𝑓(𝑥) = 0.

3) Si 𝑔(𝑥) = 𝑐 con 𝑐 ∈ 𝐾, 𝑐 ≠ 0, entonces 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥) para cualquier 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥].

4) Si 𝑓(𝑥) = 0, entonces 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥), para todo 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥].

5) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑐, con 𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 𝑐 ≠ 0. Si 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥), entonces 𝑔(𝑥) = 𝑎 con 𝑎 ∈ 𝐾 𝑦 𝑎 ≠ 0.

6) Si 𝑔|𝑓 y 𝑓|ℎ, entonces 𝑔|ℎ.

7) Si 𝑔|𝑓 y 𝑔|ℎ, entonces 𝑔|𝑓 + ℎ y 𝑔|𝑓 − ℎ.

8) Si 𝑔|𝑓, entonces 𝑔|𝑓ℎ para cualquierℎ ∈ 𝐾[𝑥].

9) Sean 𝑓 ≠ 0 𝑦 𝑔 ≠ 0. Si 𝑔|𝑓 y 𝑓|𝑔, entonces 𝑓 = 𝑐𝑔 para alguna 𝑐 ∈ 𝐾, 𝑐 ≠ 0.

10) 𝑔|𝑓 ⟺ 𝑐𝑔|𝑓, con 𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 𝑐 ≠ 0.

De la definición de divisibilidad se obtiene la siguiente proposición:

Proposición. Sean 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥], con 𝑔 ≠ 0. Si 𝑔|𝑓, entonces 𝑓 = 0 o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔) ≤ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓).

Demostración. Si 𝑔|𝑓, implica que existe 𝑞 ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑓 = 𝑞𝑔, si 𝑓 ≠ 0, entonces 𝑞 ≠ 0, lo

que implica que 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑞) + 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), por tanto 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔) ≤ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓).

Si le pedimos a 𝐾 que sea campo, es decir que para cada elemento distinto de cero tenga

inverso como los números racionales, reales o complejos, entonces se tiene un algoritmo de la

división análogo al de los enteros.

En 𝐾[𝑥] tenemos algoritmo de la división.

Proposición. Si 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] y 𝑔(𝑥) ≠ 0, entonces existe un único 𝑞(𝑥) y un único 𝑟(𝑥) ∈

𝐾[𝑥] tales que 0 = 𝑟(𝑥)𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟(𝑥)) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔(𝑥)),y 𝑓 = 𝑞𝑔 + 𝑟.

Demostración.

Si 𝑓 = 0̂ entonces 𝑞 = 𝑟 = 0̂.

Demostraremos por inducción sobre 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓)

Base. Supongase que 𝑓 ≠ 0̂. Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) = 0 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), entonces 𝑓 = 𝑔 ∗ (𝑓

𝑔) 𝑦 𝑟 = 0̂.



Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), entonces 𝑓 = 𝑟, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔).

Paso inductivo:

Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), entonces 𝑓 = 𝑟, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔).

Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), escribamos 𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛, 𝑔 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 +⋯+ 𝑏𝑚𝑥

𝑚

𝑛 ≥ 𝑚. Multipliquemos 𝑔 por 𝑥𝑛−𝑚. Entonces 𝑓 − 𝑥𝑛−𝑚𝑔 = 0̂ o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓 − 𝑥𝑛−𝑚𝑔) <

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓). En el primer caso se tiene 𝑓 = 𝑥𝑛−𝑚𝑔 + 0̂ es decir 𝑟 = 0̂, en el segundo caso

tenemos que por hipótesis de inducción 𝑓 − 𝑥𝑛−𝑚𝑔 = 𝑞𝑔 + 𝑟, con 0̂ = 𝑟 o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟) <

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), lo que implica que 𝑓 = (𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞)𝑔 + 𝑟 y �̂� = 0 𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔).

Definición. Sea 𝑎 ∈ ℝ, dado 𝑓(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] existe una única función llamada la evaluación de f en

a denotada por:

1. 𝐸𝑣𝑎(�̂�) = 𝑟, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑟 𝑒𝑛 ℝ.

2. 𝐸𝑣𝑎(𝑥) = 𝑎.

3. 𝐸𝑣𝑎 respeta la suma, el producto y el uno.

Ejemplo: 𝐸𝑣𝑎(1 + 4𝑥3 + 7𝑥5) = 𝐸𝑣𝑎(1) + 𝐸𝑣𝑎(4𝑥

3) + 𝐸𝑣𝑎(7𝑥5) = 1 + 𝐸𝑣𝑎(4)𝐸𝑣𝑎(𝑥

3) +

𝐸𝑣𝑎(7)𝐸𝑣𝑎(𝑥5)=1 + 4𝑎3 + 7𝑎5.

Notación: Escribiremos 𝑓(𝑎) en lugar de 𝐸𝑣𝑎(𝑓(𝑥)).

Ahora tenemos todos los elementos para enunciar:

Teorema. Teorema del residuo. Sea 𝑓(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] y 𝑐 ∈ ℝ, el residuo de dividir 𝑓(𝑥) entre (𝑥 −

𝑐) ∈ ℝ[𝑥] es 𝑓(𝑐). Es decir 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐).

Demostración:

Por el algoritmo de la división existen 𝑞(𝑥) 𝑦 𝑟(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑟(𝑥), donde

𝑟(𝑥) = 0 o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟(𝑥)) = 0 < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑥 − 𝑐). Por tanto 𝑟(𝑥) = 𝑟 constante. Por lo tanto



𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑟, si evaluamos en c se obtiene 𝑓(𝑐) = 𝑞(𝑐)(𝑐 − 𝑐) + 𝑟 de donde se

obtiene 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐).

3.2.5. Teorema de la raíz y del factor

Un interesante corolario del Teorema del residuo es el siguiente:

Corolario (Teorema de la raíz y el factor). 𝑓(𝑐) = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 − 𝑐|𝑓(𝑥). Este corolario nos

será muy útil para factorizar polinomios.

Definición.

• Se dice que 𝑎 es una raíz de multiplicidad 𝑚 (𝑚 ∈ ℕ) del polinomio 𝑓(𝑥) si

(𝑥 − 𝑎)𝑚|𝑓(𝑥) pero (𝑥 − 𝑎)𝑚 ∤ 𝑓(𝑥).

• Se dice que a es una raíz múltiple de 𝑓 si la multiplicidad de 𝑎 es > 1.

• Se dice que una raíz es simple si su multiplicidad es 1.

Ejemplos:

1. 1 es raíz del polinomio 𝑥4 − 1, su multiplicidad es 2 ya que 𝑥4 − 1 = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 1)2 es

decir (𝑥 − 1)2|𝑥4 − 1 pero (𝑥 − 1)3 ∤ 𝑥4 − 1, la multiplicidad de -1 también es dos.

2. -3 es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3 , pues 𝑓(−3) = 0, su multiplicidad es uno.

Un teorema muy útil para determinar la multiplicidad de una raíz requiere definir su derivada

formal.

Definición. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 polinomio en ℝ[𝑥], su derivada es 𝑓´(𝑥) = 𝑎1 +

2𝑎2𝑥 +⋯+ 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1.

Otra definición muy útil que se generaliza de la propiedad del producto de los enteros es la

siguiente:



Definición. Sean 𝑓 𝑦 𝑔 ∈ ℝ[𝑥] 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝜑(𝑥) se llama divisor común de 𝑓 𝑦 𝑔, si es divisor

de cada uno de estos polinomios, todos los polinomios tienen a las constantes como divisores

comunes, si dos polinomios solo tienen a las constantes decimos que son primos entre sí.

Para definir el análogo de máximo común divisor se necesita adaptar la definición al caso de

polinomios, como se verá en la siguiente:

Definición. Se llama máximo común divisor de los polinomios 𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥) diferentes de cero al

polinomio 𝑑(𝑥) que es común divisor y que a la vez es divisible por cualquier otro divisor común

de estos polinomios. El máximo común divisor de los polinomios 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) se denota por

(𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)).

Ejemplo: El máximo común divisor de 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 − 3 y 𝑔(𝑥) =

3𝑥3 + 10𝑥2 + 2𝑥 − 3, es el polinomio 𝑑(𝑥) = 𝑥 + 3.

Aunque se puede ahondar en algoritmos para hallar el máximo común divisor de dos

polinomios, nuestro interés es el siguiente teorema:

Teorema. Si el número 𝑐 es una raíz de multiplicidad 𝑚 del polinomio 𝑓(𝑥), entonces para 𝑚 >

1, éste será una raíz de multiplicidad 𝑚 − 1 de la primera derivada del polinomio; si 𝑚 = 1, el

número 𝑐 no será raíz de 𝑓´(𝑥).

Demostración. Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑚𝜑(𝑥), 𝑘 ≥ 1, donde 𝜑(𝑥) ya no es divisible por (𝑥 − 𝑐),

derivando 𝑓(𝑥) se obtiene 𝑓´(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑚𝜑´(𝑥) + 𝑚(𝑥 − 𝑐)𝑚−1𝜑(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑚−1[(𝑥 −

𝑐)𝜑´(𝑥) + 𝑚𝜑(𝑥)]. Se observa que el primer término de la suma entre corchetes es divisible

por (𝑥 − 𝑐) mientras que el segundo no, así la suma no puede ser divisible por (𝑥 − 𝑐). Por lo

tanto aplicando el teorema de la raíz y el residuo (𝑥 − 𝑐)𝑚−1 es la máxima potencia de (𝑥 − 𝑐)

que divide a 𝑓´(𝑥).

Un resultado muy útil para determinar la multiplicidad de una raíz es el siguiente:

Corolario. 𝑐 es una raíz múltiple de 𝑓(𝑥) ⇔ (𝑥 − 𝑐)|(𝑓, 𝑓´).



Ejemplo: 3 es raíz del polinomio de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3, 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 pero

𝑓´(3) ≠ 0. Así la multiplicidad de 3 es uno.

3.2.6. Teorema Fundamental del Álgebra

Hay polinomios que no tienen raíces reales como 𝑥2 + 1, pero tienen como raíz al número

complejo 𝑖, de hecho esta es una forma de ampliar el sistema de los números reales, la

introducción de este conjunto garantiza que cualquier polinomio tenga raíces aunque no sean

números reales.

El siguiente es un teorema de existencia, no es constructivo:

Teorema Fundamental del Álgebra de los números complejos. Todo polinomio con coeficientes

reales, cuyo grado no sea menor que la unidad, tiene por lo menos una raíz, generalmente

compleja.

La prueba de este teorema se estudia en los cursos de Variable compleja.

3.2.7. Factorización de un polinomio

En el subtema 3.2.5. Teorema de la raíz y del factor, se dio la definición de cuando dos

polinomios son primos relativos. Ahora se dará una definición de primos como en los enteros.

Definición. Sea 𝜋(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥](𝑐𝑜𝑛 𝐾 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜) decimos que 𝜋(𝑥) es primo o irreducible en

𝐾[𝑥] si siempre que se tenga 𝜋(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) en 𝐾[𝑥], entonces 𝑓 𝑜 𝑔 son polinomios



constantes. Se dice que 𝜋(𝑥) es reducible si se puede factorizar como producto de dos

polinomios no constantes.

Ejemplo: Todos los polinomios de primer grado en cualquier campo son irreducibles.

Cierre de la unidad

En esta unidad has conocido las definiciones formales de los números naturales y los números

enteros, la formalidad es importante porque da certeza en la existencia de estos objetos

matemáticos como producto de la mente humana en relación con el conocimiento intuitivo que

de ellos se tiene. Los números naturales son la base de los sistemas numéricos, porque a partir

de ellos se van construyendo todos los demás sistemas numéricos, y de vital importancia para el

programador de computadoras. Las propiedades de los números enteros conocidas desde los

antiguos griegos, adquieren importancia en nuestro tiempo para los sistemas de seguridad de

datos en la Criptografía. La combinatoria hará uso de las propiedades operativas de estos

sistemas numéricos para resolver problemas de conteo. Es importante conocer la estructura de

los enteros, pues se hallará una similitud de la estructura de los polinomios con sus dos

operaciones de suma y producto, se encontrarán generalizaciones del teorema fundamental de

la aritmética y el algoritmo de la división.

En esta unidad se abordaron los conceptos básicos para los polinomios y se presentó el teorema

del residuo para la identificación de las raíces en los polinomios. Asimismo, se revisaron

cuestiones generales sobre la teoría de la combinatoria para tratar los conceptos de



ordenaciones, permutaciones y combinaciones, los cuales son útiles en la probabilidad, la

estadística y el muestreo. Además, se presentó el teorema del binomio de Newton, que muestra

que todo binomio puede ser elevado a cualquier potencia natural. Con ello, estás listo(a) para

continuar con la siguiente unidad, en donde estudiarás el plano cartesiano desde un punto de

vista algebraico. Este plano cartesiano será retomado en Geometría analítica I y II, mediante

vectores expresados como parejas ordenadas de números reales.

Para saber más

Para fortalecer y complementar los conocimientos adquiridos en esta unidad, se te sugiere la

lectura y revisión de los siguientes materiales:

• Interesante página sobre la aplicación de la aritmética en la Criptografía:

http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/clock.html

• Historia de las matemáticas del siglo XVII a los comienzos del siglo XX, incluye unas

secciones dedicadas a los trabajos de Peano sobre los números naturales:

Collete, Jean Paul (2007). Historia de las Matemáticas II. México: Siglo XXI.

• Una historia completa sobre aritmética desde sus orígenes hasta la primera mitad del

siglo XX: Ore, Oystein (1976). Number Theory and its History. USA: Dover Publications

Inc.

• Interesante libro que incluye reflexiones sobre la idea de número en los pitagóricos:

Livio, Mario (2009). ¿Es Dios un matemático? España: Ariel.

Fuentes de consulta

Básica:

• Bravo Mójica, A., Rincón Mejía, H., Rincón Orta, C. (2011). Álgebra superior. México: Las

Prensas de Ciencias.

http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/clock.html



• Cárdenas Trigos, Humberto, Lluis, Emilio, Raggi, Francisco, (1973). Algebra Superior.

México: Trillas.

• Fregoso, Arturo (1980). Los elementos del lenguaje de la matemática 3. México: Trillas.

Complementaria:

• Gentile, Enzo R. (1985). Aritmética elemental. USA: OEA.

• Pérez Seguí, María Luisa. (2004). Combinatoria. México: UNAM.

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