Método de los Momentos

Método de los Momentos

Prof. A. Zozaya, Dr.

1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)Departmento de Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Carabobo

Valencia, dic/2009

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 1 / 11

Contenido

Introducción

Operadores integrales

Función de Green

Ecuaciones integrales

Método de los Momentos –MoM–


Introducción

Introducción

2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espaciosvectoriales de funciones, se define L : U ! V, talque:

Lu = v

donde u se desconoce y v es conocida.

2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:»

rˆ |!—

`(|!" + ff) rˆ

–| {z }

L

„EH

«| {z }

u

=

„`M i

J i«

| {z }v


Introducción

Introducción


Lu = v

donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.

2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:»

rˆ |!—

`(|!" + ff) rˆ

–| {z }

L

„EH

«| {z }

u

=

„`M i

J i«

| {z }v


Introducción

Introducción


Lu = v

donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.

2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:»

rˆ |!—

`(|!" + ff) rˆ

–| {z }

L

„EH

«| {z }

u

=

„`M i

J i«

| {z }v


Introducción

Introducción


Lu = v

donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .

2Otros ejemplos:»rˆ |!—

`(|!" + ff) rˆ

–| {z }

L

„EH

«| {z }

u

=

„`M i

J i«

| {z }v


Introducción

Introducción


Lu = v

donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:»

rˆ |!—

`(|!" + ff) rˆ

–| {z }

L

„EH

«| {z }

u

=

„`M i

J i«

| {z }v



Operadores integrales2 Para nosotros especial atención merecen los op-eradores integrales.

2 Un operador integral tiene en general la formasiguiente:

v (r ) = L [u(r 0)] =

ZV 0K(r ; r 0)| {z }Kernel

u(r 0) d� 0

2 Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r ; r 0) = K(r` r 0), entoncesel operador L se convierte en una integral de convolución:

Lu = K ˜ u

2 En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:

K(r ; r 0) = G(r ; r 0)



Operadores integrales2 Para nosotros especial atención merecen los op-eradores integrales.2 Un operador integral tiene en general la formasiguiente:

v (r ) = L [u(r 0)] =

ZV 0K(r ; r 0)| {z }Kernel

u(r 0) d� 0

2 Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r ; r 0) = K(r` r 0), entoncesel operador L se convierte en una integral de convolución:

Lu = K ˜ u

2 En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:

K(r ; r 0) = G(r ; r 0)


Función de Green

Función de Green

2 La función de Green se puede in-terpretar como la respuesta impulsivadel sistema descrito por el operadorinverso de L.

2 En electromagnetismo tal sistemaconsiste en el medio en el que semanifiestan los efectos (los campos)de las fuentes, generalmente desig-nadas por u(r 0).

2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).2 La apariencia matemática de la función de Green depende en general,de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r 0) y loscampos v (r ), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes comode los medios que participan y de la constitución de éstos.


Función de Green

Función de Green

2 La función de Green se puede in-terpretar como la respuesta impulsivadel sistema descrito por el operadorinverso de L.2 En electromagnetismo tal sistemaconsiste en el medio en el que semanifiestan los efectos (los campos)de las fuentes, generalmente desig-nadas por u(r 0).



Función de Green

Función de Green


2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).

2 La apariencia matemática de la función de Green depende en general,de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r 0) y loscampos v (r ), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes comode los medios que participan y de la constitución de éstos.


Función de Green

Función de Green






2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera[Tri57]:

Fredholm del primer tipo:

Lu = v (1)

Fredholm del segundo tipo:

Lu + u = v

2 En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuaciónintegral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, yla ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es delsegundo tipo.



Método de los Momentos –MoM–La solución numérica de la Ecuación (1) –quesignifica calcular o estimar la función u– sepuede obtener [Har68]:

2 Dada una base vectorial de funciones com-pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamosla función u sobre dicha base vectorial de fun-ciones:

u =Pn ¸nfn

donde los coeficientes f¸ng son, precisamente,las coordenadas de u respecto de ffng.

2 Como el conjunto ffng contiene, en general, infinitos elementos, aprox-imamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementosde ffng –primera aproximación–:

u =PNn=1 ¸nfn



Método de los Momentos –MoM–La solución numérica de la Ecuación (1) –quesignifica calcular o estimar la función u– sepuede obtener [Har68]:2 Dada una base vectorial de funciones com-pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamosla función u sobre dicha base vectorial de fun-ciones:

u =Pn ¸nfn

donde los coeficientes f¸ng son, precisamente,las coordenadas de u respecto de ffng.

2 Como el conjunto ffng contiene, en general, infinitos elementos, aprox-imamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementosde ffng –primera aproximación–:

u =PNn=1 ¸nfn



Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.

2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-spacio V.2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab

˜dt (segunda aproximación):

hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N

2 Intercambiamos los operadores L $P:

hwm;LPNn=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N

hwm;PNn=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N



Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.

2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-spacio V.2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab


hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N






Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-spacio V.

2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab


hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N






Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-spacio V.2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab


hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N







2 Intercambiamos los operadores h i $P:

NXn=1

¸nhwm;Lfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N (2)

2 Expandimos la Ecuación (2) en la forma:

¸1 hw1;Lf1i + ¸2 hw1;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw1;LfNi = hw1; vi¸1 hw2;Lf1i + ¸2 hw2;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw2;LfNi = hw2; vi

... =...

¸1 hwN;Lf1i + ¸2 hwN;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hwN;LfNi = hwN; vi

(3)



Método de los Momentos –MoM–2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:

0BBB@hw1;Lf1i hw1;Lf2i ´ ´ ´ hw1;LfNihw2;Lf1i hw2;Lf2i ´ ´ ´ hw2;LfNi

......

......

hwN;Lf1i hwN;Lf2i ´ ´ ´ hwN;LfNi

1CCCA0BBB@¸1

¸2...¸N

1CCCA =

0BBB@hw1; vihw2; vi

...hwN; vi

1CCCA (4)

En forma compacta:

[Z ][¸] = [V ]

donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:

[¸] = [Z ]`1[V ]





......

......


1CCCA0BBB@¸1

¸2...¸N

1CCCA =

0BBB@hw1; vihw2; vi

...hwN; vi

1CCCA (4)

En forma compacta:

[Z ][¸] = [V ]

donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,

2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:

[¸] = [Z ]`1[V ]





......

......


1CCCA0BBB@¸1

¸2...¸N

1CCCA =

0BBB@hw1; vihw2; vi

...hwN; vi

1CCCA (4)

En forma compacta:

[Z ][¸] = [V ]

donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y

2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:

[¸] = [Z ]`1[V ]





......

......


1CCCA0BBB@¸1

¸2...¸N

1CCCA =

0BBB@hw1; vihw2; vi

...hwN; vi

1CCCA (4)

En forma compacta:

[Z ][¸] = [V ]

donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.

2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:

[¸] = [Z ]`1[V ]





......

......


1CCCA0BBB@¸1

¸2...¸N

1CCCA =

0BBB@hw1; vihw2; vi

...hwN; vi

1CCCA (4)

En forma compacta:

[Z ][¸] = [V ]

donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:

[¸] = [Z ]`1[V ]



Referencias I

R. F. Harrington.Field Computation by Moment Methods.MacMillan, U.S.A., New York, 1968.

T. K. Sarkar.A note on the choice weighting functions in the method of moments.Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 33(4):436–441,April 1985.

F. G. Tricomi.Integral Equations.Interscience Publishers, Inc., 1957.


Método de los Momentos

Engineering

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