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MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMASACUATICOS DINAMICOS

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Fernando Llavador Colomer

MODELOS MATEMATICOSDE SISTEMAS ACUATICOS

DINAMICOS

UNWERSD3AD DE ALICANTE

Fernando Llavador Colomer, 2002de la presente edicion

Publicaciones de la Universidad de AlicanteCampus de San Vicente s/n

03690 San Vicente del [email protected]

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INDICE GENERAL

PROLOGO 11

INTRODUCCION 15

1. CONSTRUCCION DE MODELOS DE SISTEMAS VARIA-BLES EN EL TIEMPO 191.1. MODELOS ESTATICOS Y MODELOS DINAMICOS. . 191.2. CONSTRUCCION DE MODELOS DINAMICOS 19

1.2.1. Estructura de un modelo 201.2.1.1. Especificacion de las variables de interes ... 201.2.1.2. Construction de diagramas de control 211.2.1.3. Clasificacion de las variables del modelo .... 211.2.1.4. Especificacion de la forma de las ecuaciones 231.2.1.5. Evaluation previa de parametros 241.2.1.6. Verification 24

1.2.2. Analisis de sensibilidad 251.2.3. Evaluation de parametros y calculo de incertidumbres 31

1.2.3.1. Calibration del modelo 311.2.3.2. Analisis de la incertidumbre 351.2.3.3. Disefio experimental 361.2.3.4. Validation 38

1.2.4. Prediction de la evolution temporal del sistema 38

2. PROCESOS FISICO-QUIMICOS EN SISTEMAS ACUATICOS 452.1. BIODEGRADACION 452.2. EQUILIBRIOS DE IONIZACION 472.3. HIDROLISIS QUIMICA 502.4. OXIDACION QUIMICA 512.5. FOTOTRANSFORMACIONES 512.6. VOLATILIZACION 56

Fernando Llavador Colomer

2.7. ADSORCION 582.8. BIOCONCENTRACION 60

3. MODELOS DE CALIDAD DEL AGUA 633.1. DIMENSIONES ESPACIALES DE LOS MODELOS DE

SISTEMAS ACUATICOS 633.2. MODELOS ADIMENSIONALES. MODELO DE VER-

TIDO EN LAGOS 633.2.1. Modelo de un compartimento 643.2.2. Ciclos de estratificacion de la columna de agua 653.2.3. Modelo de dos compartimentos 673.2.4. Modelo de dos compartimentos con reacciones aco-

pladas 693.3. MODELOS UNIDIMENSIONALES. EVALUACION DEL

IMPACTO DE VERTIDOS EN CURSOS DE AGUA 713.3.1. Vertido en estuarios 733.3.2. Modelo de agotamiento de oxigeno en rios 75

3.3.2.1. Mecanismos de reoxigenacion 753.3.2.2. Mecanismos de consumo de oxigeno 763.3.2.3. Ecuacion de Streeter y Phelps 78

3.4. MODELOS MULTIDIMENSIONALES 81

4. MODELOS DE SISTEMAS EUTROFICOS 854.1. PROCESOS DE EUTROFIZACION 854.2. VARIABLES DE ESTADO EN SISTEMAS EUTROFICOS 854.3. PROCESOS EN LA COLUMNA DE AGUA 87

4.3.1. Ciclo del carbono 874.3.1.1. Bioquimica de los organismos heterotrofos . 914.3.1.2. Procesos de la materia organica 92

4.3.2. Ciclo del oxigeno 934.3.3. Fitoplancton 974.3.4. Ciclo del fosforo 1134.3.5. Ciclo del nitrogeno 117

4.4. PROCESOS EN LA CAPA DE SEDIMENTOS 1244.4.1. Materia organica 1244.4.2. Ciclo del fosforo 1264.4.3. Ciclo del nitrogeno 126

4.5. INTERACCIONES ENTRE LA CAPA DE SEDIMENTOSY LA COLUMNA DE AGUA 1274.5.1. Demanda de oxigeno del sedimento 1274.5.2. Regeneration bentica de nutrientes 128

4.6. COMBINACION DE PROCESOS 129

8

Modelos matemdticos de sistemas acuaticos dinamicos

5. MODELOS DE SISTEMAS DE FANGOS ACTIVOS 1395.1. PROCESOS DE OXIDACION DE LA MATERIA OR-

GANICA EN AGUAS RESIDUALES 1395.2. VARIABLES DE ESTADO EN SISTEMAS DE FANGOS

ACTIVOS 1405.3. PROCESOS EN EL REACTOR BIOLOGICO 144

5.3.1. Hidrolisis 1445.3.2. Organismos heterotrofos 1465.3.3. Organismos acumuladores de fosfatos 1515.3.4. Organismos autotrofos 1585.3.5. Procesos fisico-quimicos del fosforo 160

5.4. COMBINACION DE PROCESOS Y MATRIZ DE COE-FICIENTES ESTEQUIOMETRICOS 160

6. METODOS MATEMATICOS 1736.1. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES DI-

FERENCIALES. METODO DE RUNGE-KUTTA DECUARTO ORDEN 174

6.2. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ENDERIVADAS PARCIALES. METODO DE DIFEREN-CIAS FINITAS 175

6.3. METODO DEL SIMPLEX SUPERMODIFICADO 1776.4. CALCULO DE VALORES PROPIOS. METODO LR DE

TRIANGULARIZACION 1856.5. INVERSION DE MATRICES. METODO DE JORDAN. 1876.6. MUESTREO ALEATORIO DE PARAMETROS. ME-

TODO DEL HIPERCUBO LATINO 1886.7. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO

LINEALES. METODO DE NEWTON 189

BIBLIOGRAFIA 193

NOTACION 201

INDICE ALFABETICO 217

__9

PROLOGO

Actualmente resulta habitual y en algunos casos casi imprescindible utili-zar la modelizacion para cubrir diversos objetivos en aplicaciones de muydiferente naturaleza tales como prediction meteorologica, analisis y proyec-cion del cambio climatico, analisis de la resistencia de materiales, simulationde mercados bursatiles, etc.

En las ciencias de la naturaleza y concretamente en las relacionadas conla calidad de los recursos hidrologicos, vienen aplicandose desde hace algu-nos anos diferentes modelos matematicos para estudiar sistemas fluviales,lacustres y marines. Se pretende conocer, evaluar y predecir el comporta-miento, tanto de los sistemas naturales como de los disenados por el hombre,relativo a diversos fenomenos como, por ejemplo, la respuesta de un riofrente a una carga contaminante, la capacidad de depuration de un determi-nado proceso, o la dispersion de la salinidad de salmueras en el mediomarine. En esta obra se recogen apuntes sobre los aspectos conceptuales yde aplicacion practica en la construction de dichos modelos para sistemasacuaticos, que permiten plantear y resolver diversas cuestiones que se pue-dan plantear.

El autor, que ya desarrollo su Tesis Doctoral en el conocimiento de losprocesos involucrados en la depuration biologica de las aguas, tiene unaamplia experiencia profesional y docente en el campo de la modelizacion.Desde hace varies anos viene desempenando, a mi entender de forma muyresponsable, importantes funciones de control y gestion en el area de calidadde la Entidad de Saneamiento y Depuration de Aguas Residuales de laComunidad Valenciana. Asimismo, ha participado como ponente en las sieteediciones del Master en Gestion y Tratamiento del Agua que imparte elInstitute Universitario del Agua y de las Ciencias Ambientales de la Universi-dad de Alicante, dentro del modulo de modelizacion de impactos que seproducen sobre el medio acuatico. El entusiasmo en la recopilacion y analisisde la documentation actualmente existente, que proviene de fuentes disper-sas y casi nunca en lengua castellana, ha permitido la consecution del pre-

} 2 Fernando Llavador Colomer

sente texto en el que se plantean de forma metodica y comprensible lasmaterias principales de este complejo campo multidisciplinar.

Para facilitar su estudio, en toda la obra se ha intentado mantener unacierta independencia de cada capitulo respecto a los demas, lo que no afectaa la continuidad del desarrollo que mantiene un caracter progresivo.

El primer capitulo realiza una introduction al tema de la construction demodelos, tratando tanto de los elementos formales que constituyen un modelocomo de las diferentes etapas que se deben considerar en su desarrollo.Algunos aspectos como el calculo de las incertidumbres, analisis de la sensi-bilidad de los parametros o sistemas con comportamiento caotico, unicamentehan sido apuntados de forma muy breve.

En el segundo capitulo se muestran algunas de las formulaciones mate-maticas dadas a los diferentes procesos fisico-quimicos y biologicos quepueden afectar a componentes quimicos en el medio acuatico. La descripcionque se hace de los procesos es semejante a la incorporada por modelosuniversalmente empleados como el TOXI5, de la U.S. EnvironmentalProtection Agency, USEPA, para la simulation del comportamiento de toxi-cos en el medio acuatico.

En el tercer capitulo se van presentando aplicaciones de modelos acasos sencillos de sistemas acuaticos, aumentandose progresivamente a lolargo del mismo las dimensiones espaciales del modelo y la complejidad delos procesos involucrados. En este apartado se describe, como uno de losejemplos tipo, el modelo de agotamiento de oxigeno en rios debido a Streetery Phelps, modelo que puede considerarse historico y de referencia en multi-ples aplicaciones.

Los dos capitulos siguientes estudian algunas de las formulaciones mate-maticas incorporadas en modelos matematicos de especial relevancia. En elcuarto capitulo se recoge la formulacion dada por el modelo EUTRO5, dela USEPA, para sistemas acuaticos sometidos a procesos de eutrofizacion,dandose al mismo una presentation matricial similar a la empleada en laactualidad para la descripcion de otros sistemas dinamicos similares. Esrelevante la descripcion que se hace en este capitulo de las relaciones entrelos factores ambientales y algunos de los procesos descritos. En el quintocapitulo se presenta la formulacion utilizada por el modelo ASM N°2d, de laInternational Water Association, para sistemas de fangos activados con elimi-nation biologica de nitrogeno y fosforo, que es un proceso ampliamenteutilizado para la depuration biologica de las aguas residuales.

Para cada sistema analizado en estos capitulos se muestra unicamenteaquel modelo que mejor puede servir como ejemplo o que, por su uso genera-lizado, se ha convertido en modelo de referencia. Esto simplifica y facilita lalectura y comprension. Complementariamente, para todos los sistemas anali-zados a lo largo de la obra, se dan referencias bibliograficas donde se pueden

Modelos matematicos de sistemas acuaticos dinamicos 13

encontrar otras formulaciones alternativas. For otra parte se incluyen tam-bien en estos capitulos breves anotaciones sobre los fundamentos de losmecanismos fisico-quimicos y biologicos responsables de los principales pro-cesos que incorporan los modelos descritos, lo que permite dar una perspec-tiva global y de comportamiento real que no se encuentra en otras obrassobre la materia.

Finalmente, en el capitulo sexto se describen de forma simplificada algu-nos metodos matematicos que pueden ser de utilidad en diferentes fases dela construccion y operation con modelos matematicos de simulation. Cual-quiera de estas operaciones matematicas podria resolverse mediante meto-dos distintos a los descritos o incluso abordarse bajo planteamientos diferen-tes. En cualquier caso, el exponer un ejemplo de cada uno de ellos evita queel lector quede ignorante sobre como se llevan a la practica las operacionesdescritas en el capitulo primero, defecto del que suelen adolecer otras obrassobre esta materia.

For ultimo, la extensa bibliografia recopilada recoge lecturas que permi-ten documentarse al lector interesado sobre diversos temas como formulacionesalternativas a las descritas en esta obra o sobre los aspectos basicos de losprocesos contenidos en los modelos expuestos.

En consecuencia, este libro puede constituir un material de ayuda impor-tante para aquellos estudiantes, licenciados o ingenieros que precisen tenerun primer acercamiento a la teoria y practica de la construccion de mode-los aplicados a sistemas acuaticos dinamicos, asi como constituir un mate-rial de consulta adecuado para aquellos cursos de especializacion sobreesta materia.

Alicante, marzo de 2001

Daniel Prats RicoCatedrdtico de Ingenieria Quimica

Director del Institute Universitario del Aguay de las Ciencias Ambientales de la Universidad de Alicante

INTRODUCTION

jEppur si muove!

Galileo Galilei

El mundo real es extrano y complejo. Mientras que unas veces la natura-leza se nos presenta como ordenada y predecible, otras aparece como capri-chosa e impredecible.

Esta complejidad obliga a que, en el estudio de procesos naturales, debanlimitarse las fuentes de variation que les afectan: es el universe del tubo deensayo; Asi, cuando limitamos las libertades de la portion de naturalezaestudiada, podemos conocer experimentalmente, aspectos parciales del fun-cionamiento con cierto nivel de detalle.

El problema se origina cuando se ha de interpretar la naturaleza en suconjunto con pocas o ninguna restriction en las fuentes de variacion de susprocesos e incluso con interacciones entre ellos. La complejidad del proble-ma, entonces, nos impide muchas veces dar una interpretation adecuada alcomportamiento natural, a pesar de que podamos conocer bastante exacta-mente muchas parcelas individuates de ese mundo.

Es en ese momento cuando surge el artificio del modelo matematico delsistema natural. El modelo se constituye en un instrumento que permite,enlazando los elementos de conocimiento disponibles, una aproximacion alproblema de interpretation del sistema.

Mientras que en el mundo del arte (y de la logica matematica), el modeloes la realidad que el artista intenta representar los mas fielmente posible, enlas ciencias de la naturaleza el modelo es, por el contrario, una representa-tion de la realidad natural.

En la historia de la civilization, pocas cosas han habido tan permanentescomo el uso de tecnicas matematicas para describir los conocimientos cienti-ficos; asi, si en el siglo XVI Galileo afirmaba que «el universe estd escrito

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en lenguaje matemdtico», cuatro siglos mas tarde, sostiene Dirac1 que todaverdadera ley fisica se ha de poder expresar en terminos matematicos bellos(«Dios es un matemdtico de altisimo nivel, que utilizo matemdticas suma-mente avanzadas en la construction del universo»}.

Cuando los materiales con los que se construye un modelo de un sistemanatural (elementos de conocimiento) se describan mediante un formulismomatematico, el modelo proporcionara, en consecuencia, una representacionmatematica de la naturaleza.

Y como esencia de esa realidad natural que intentamos representar: eltiempo: Es la dimension temporal la que proporciona la caracteristica demovimiento del sistema, entendiendose este movimiento como cambio en eltiempo de cualquiera de las propiedades de nuestro sistema natural. Asi,representaremos nuestro mundo como un sistema cambiante en el tiempo(dinamico), convencidos de que los fenomenos mas inmutables no son masque ilusiones bajo los que subyace la inexorable transformacion, la evolucion,el movimiento obstinado, el «eppur si muove» (sin embargo se mueve) quela tradition dice que pronuncio entre dientes Galileo cuando tuvo que retrac-tarse de su afirmacion del movimiento terrestre.

Pero, ^por que es necesario acudir a un modelo cuando se tiene hoy mascapacidad que nunca de medir las propiedades que nos interesan? Bien,podemos anticipar tres razones que avalen el recurso a esta tecnica derepresentacion:

a) En primer lugar puede ser necesaria una prediction anticipada en eltiempo: hay que saber lo que va a ocurrir antes de que ocurra, y por lotanto antes de que tengamos oportunidad de medir. Un ejemplo de estolo tenemos en las predicciones realizadas con modelos matematicosdel calentamiento global de la Tierra; a fin de poder tomar medidascorrectoras a tiempo, necesitamos tener una evaluation lo mas fiableposible de este efecto, antes de que se produzca.

b) En otras ocasiones el planificar un experimento real puede conllevarunos riesgos totalmente inaceptables o unos costes prohibitivos (costeseconomicos, sociales, ambientales o de cualquier tipo); por ejemplo, noseria admisible el realizar una experiencia real de liberation masiva deun compuesto quimico presumiblemente toxico para estudiar su com-portamiento en el ambiente.

c) El disponer de una hipotesis previa sobre el funcionamiento global deun sistema puede ser clave a la hora de disenar un experimento.

1 Dirac, P.A.M. (1902-1984). Profesor de fisica matematica en Cambridge, desarrollo lamecanica cuantica relativista del electron. Premio Nobel de fisica en 1933.

Modelos matemdticos de sistemas acudticos dinamicos \J

Aunque el modelo matematico pueda incorporar en su desarrollo altosgrades de integration y complejidad, debe quedar suficientemente claro queeste no es la naturaleza sino una representation de ella, y por lo tanto nisustituye ni puede evitar la observation de esta. Las previsiones avanzadaspor los modelos matematicos deberan ir siendo contrastadas por las medicio-nes reales, las cuales permitiran ir modificando el modelo y constituyendo unciclo de diseno-prediccion-medicion.

En sistemas naturales, considerando el estado del sistema como la calidadmedioambiental del mismo y su capacidad de satisfacer las expectativas enrelation con el suscitadas (por ejemplo, de soportar vida humana o no huma-na), los modelos matematicos pueden constituir una herramienta util paraevaluar los impactos que diversas acciones puedan provocar en el medio; asi,en su aplicacion a la evaluation de impactos medioambientales, los modelosmatematicos pueden permitir (Peirce, 1998):

Examinar las caracteristicas medioambientales actuates (linea base) deun area en estudio.Identificar los procesos naturales y artificiales que pueden producircambios en las caracteristicas del area en estudio.Considerar anticipadamente las posibles interacciones entre las presio-nes ambientales (como la explotacion de recursos naturales o la emi-sion de contamination) tanto en las condiciones actuales como futuras.Predecir los posibles efectos tanto beneficiosos como adversos de laspresiones sobre el ambiente (salud humana, biodiversidad, valor econo-mico, etc.)Introducir medidas en orden a evitar, minimizar o mitigar los efectosadversos o aumentar los efectos beneficiosos.

Por ultimo, debe resaltarse que la construction de un modelo puede con-vertirse en una tecnica muy adecuada para combinar toda la informationparcial de que se dispone y que se sabe afecta a un determinado sistema.Completado el proceso de construction del modelo, obtendriamos un esque-ma de la composition interna del sistema y su funcionamiento; las relacionesinternas entre sus componentes y las relaciones de estos con el exterior. Laconstruction del modelo, al tratarse en definitiva de un proceso de sintesis deinformation parcial, nos proporcionara una vision global, dificil de alcanzarmediante otros procedimientos.

1. CONSTRUCCION DE MODELOS DE SISTEMASVARIABLES EN EL TIEMPO

1.1. MODELOS ESTATICOS Y MODELOS DINAMICOS

Si consideramos un sistema como una porcion de la naturaleza constituidapor diversos componentes interrelacionados entre ellos, cualquier representa-cion de este sistema constituye un modelo del mismo.

Tal como esquematiza la figura 1.1, el modelo es una representation abs-tracta de un sistema real, construido en base a los conocimientos previos deque se dispone sobre este. El efecto del modelo es predecir el comportamientodel sistema cuando sobre el operan determinadas condiciones observadas.

Si el modelo proporciona la situation del sistema cuando este se encuen-tra en equilibrio tanto interne como con el entorno, hablamos de modelos deestado estacionario o modelos estaticos; por el contrario cuando el modeloproporciona la evolution del sistema con el tiempo cuando no se ban alcanza-do las condiciones de equilibrio, hablamos de modelos de estado no estacio-nario o dinamicos.

1.2. CONSTRUCCION DE MODELOS DINAMICOS

En el proceso de elaboration de un modelo matematico, se pueden esta-blecer las siguientes fases (Carstensen et al. 1997; J0rgensen, 1994; Kowal,1971):

1. Adquisicion de information y conocimientos previos sobre el sistema;2. Especificacion del objeto del modelo. Formulation del problema e iden-

tification de las variables internas que definen el estado del sistema arepresentar;

3. Identification de las variables externas que afectan al sistema (p. ej.condiciones ambientales) y delimitation del intervalo de valores deestas dentro del cual puede operar el modelo;

20 Fernando Llavador Colomer

Figura 1.1. El modelo como representation abstracta de la naturaleza.

4. Establecimiento de relaciones entre las diferentes variables del modelo;tanto entre las variables internas entre si como entre estas y las varia-bles externas;

5. Seleccion de la estructura matematica del modelo y estimacion deparametros;

6. Verificacion del modelo y ajuste a las mediciones preliminares de quese dispone;

7. Validacion del modelo a partir de nuevas observaciones del sistema yestimacion de la incertidumbre de las predicciones.

1.2.1. Estructura de un modelo

1.2.1.1. Especificacion de las variables de interes

Se deberan especificar tanto las variables que caracterizan el estado deun sistema como aquellas otras que tienen influencia sobre los valores de lasprimeras. En el caso de modelos dinamicos de calidad del agua, entre lasvariables de interes podran estar los factores meteorologicos, las concentra-ciones en el agua de nutrientes y componentes contaminantes, etc.

Modelos matematicos de sistemas acuaticos dindmicos 21

1.2.1.2. Construction de diagramas de control

Se trata de establecer relaciones causa-efecto o interacciones entre losdistintos componentes o variables del sistema. El diagrama de control repre-senta un disefio de la hipotesis de funcionamiento del sistema y por lo tantouna idealization de la naturaleza compleja del mismo. Esta etapa constituyela conceptualization del modelo.

Las interacciones, tanto internas como externas, entre los componentesde un sistema constituyen, en esencia, flujos de information, de manera queun componente es afectado por todos aquellos de los que recibe informacion,mientras que afecta a todos aquellos a los que transfiere informacion.

1.2.1.3. Clasificacion de las variables del modelo

Esta clasificacion atendera a la definition operacional de las variables; esdecir, a la forma en que estas actuan sobre el sistema tal como se establecioen la construction del diagrama de control.

Tipicamente las variables se pueden clasificar como: Variables de estado (internas). Estan constituidas por los componen-

tes del modelo y determinan el estado o situacion del sistema en untiempo determinado. Si se consideran «v» variables de estado, cadasituacion del sistema (estado) en un tiempo determinado vendra repre-sentada por un punto en el espacio de dimensiones vxv denominadoespacio de fases.

Variables externas. Son variables que influyen en las variables deestado, no siendo afectadas por la evolution de estas. Las variablesexternas constituyen las causas primeras del comportamiento del siste-ma.

Para una determinada variable de estado, sobre el diagrama de control, sepodran distinguir interacciones internas y externas dependiendo del tipo devariable que afecta a aquella.

Las interacciones internas pueden establecer relaciones unidireccionales(A —> B), bidireccionales (A <-» B), e incluso ciclicas entre las diferentesvariables de estado (A —> B —> C —> A), mientras que las interaccionesexternas deben ser necesariamente unidireccionales ya que una variable deestado puede ser afectada por una variable externa, pero no al reves, dadoprecisamente la condition de externa de la segunda.

No obstante lo anterior, una variable externa puede adquirir caracteristi-cas de variable interna cuando en la ubicacion espacial del sistema, esta esafectada por el valor de otras variables de estado. Llamaremos variablesauxiliares a esta categoria de variables de transito entre las variables exter-nas y las internas (figura 1.2).


Veamos esto con un ejemplo:Sea un modelo de un lago eutrofico en el que se identifica como variable

de estado la concentration de fitoplancton en suspension en la columna deagua.

Esta concentration viene afectada por la intensidad de la radiation lumi-nosa media en toda la columna de agua.

La intensidad de la radiation luminosa que incide sobre la superficie dellago es una variable que depende principalmente de factores geograficos,como la latitud del emplazamiento, temporales, como el dia y la hora ymeteorologicos, como la cobertura nubosa en ese instante; pero en ninguncaso, la mayor o menor abundancia de fitoplancton presente en el lago, puedeafectar de manera significativa a la intensidad de radiation incidente en lasuperficie del mismo, por lo que esta intensidad de radiation es por tanto unavariable externa: afecta al sistema pero no es afectada por el sistema.

Por otro lado cuanto mayor sea la intensidad luminica incidente, mayorsera la intensidad luminica en el interior de la masa de agua; y cuanto mayorsea esta, mayor sera el crecimiento de fitoplancton; y cuanto mayor sea laconcentration de fitoplancton, mayor sera la turbidez del medio, menor lapenetration de luz y menor la intensidad luminosa en la columna de agua.

Figura 1.2. Diagrama de control. Interacciones entre variables internas, externasy auxiliares.

Modelos matemdticos de sistemas acudticos dindmicos 23

For tanto vemos que mientras que la intensidad luminosa en la superficiedel lago es una variable externa, esta misma intensidad en el interior espacialdel sistema, es afectada por las variables de estado, pierde su condicion deexternalidad y se convierte, por tanto en una variable auxiliar de transitoentre aquella y la concentration de fitoplancton.

1.2.1.4. Especificacion de la forma de las ecuaciones

Consiste en la determination de la forma concreta de las ecuacionesmatematicas que describen cada proceso fisico, quimico o biologico relacio-nado en el diagrama de control. Generalmente la variacion temporal (y) decada variable de estado vendra expresada como:

y = aZo e-Zo.±ZOj -f(yi,y2,y3,..,yn) (i.i)donde:

EOe = Suma de los flujos de entrada del componente «y» en el sistema,EOs = Suma de los flujos de salida del componente «y» en el sistemayZO. = Suma de los flujos internes de production (fuentes) y elimination

(sumideros) del componente «y».

Los diferentes coeficientes que afectan a las variables de estado en larepresentation matematica de los procesos que intervienen en el modeloreciben el nombre generico de «parametros del modelo».

Es importante advertir que el diseno de un modelo sin considerar mascriterios que el conseguir un buen ajuste entre las predicciones y las observa-ciones experimentales de las propiedades del sistema, puede llevar a unasobreparametrizacion del modelo. Esta sobreparametrizacion se traduciria enun aumento de la incertidumbre de los parametros estimados, invalidando elmodelo como herramienta de prediccion.

La extension de la ecuacion (1.1) a todas las variables de estado tomara,la forma de un sistema de ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales,cuya resolution proporcionara una prediccion de los valores de las variablesde estado a lo largo del tiempo.

En modelos estaticos, para cada variable de estado tendremos una fun-cion implicita de las variables de estado; en modelos dinamicos, para cadavariable de estado tendremos una ecuacion diferencial.

La forma de las ecuaciones matematicas que describen los procesos,determinara dos grandes categorias de modelos: por un lado aquellos en quelas velocidades de variacion de las variables de estado son combination linealde estas y de los parametros (modelos lineales) y por otro aquellos en queno se da esta relacion de linealidad (modelos no lineales).


Si el modelo formado permite conocer exactamente la evolution futuradel sistema, conocido el estado initial del mismo, diremos que se trata de unmodelo determinista; por el contrario, si el modelo incorpora componentesaleatorios, de manera que su evolution futura solo puede ser conocida conuna cierta probabilidad, estaremos ante un modelo estocdstico.

La resolution de la ecuacion de movimiento del sistema (1.1) proporcio-nara la evolution de este en el tiempo; esta evolution vendra representada,en el espacio de fases, por una curva llamada orbita o trayectoria deevolution.

1.2.1.5. Evaluation previa de pardmetros

A partir de la experiencia previa acumulada sobre el comportamiento delsistema, deberan asignarse valores numericos concretos a los diferentesparametros del modelo.

Estos valores constituyen una aproximacion inicial que posteriormentepodra ser optimizada para hacer que la prediction del modelo se ajuste lomejor posible a las observations realizadas del sistema. A este respecto, esimportante delimitar los intervalos de variation de los diferentes parametrosdel modelo, los cuales pueden estar determinados por el conjunto de valoresdentro de los cuales estos conservan sentido fisico o por el intervalo devalores deducido de la experiencia de que se dispone sobre el sistema.

1.2.1.6. Verification

Consiste en comprobar la consistencia de la «16gica interna» del modelomediante la comprobacion de que su formulation matematica no vulnera lasleyes de conservation de la masa, energia, cantidad de movimiento, etc.

En el caso de modelos aleatorios, debera cumplirse que la suma de lasprobabilidades de evolution desde un estado inicial a todos los otros estadosposibles no supere el valor unidad (certeza absoluta).

Una vez conocida la forma de las ecuaciones y los rangos de variation delos parametros del modelo, se puede estudiar las condiciones de estabilidaddel sistema cuando evoluciona a partir de un estado inicial.

En las proximidades del estado inicial, la estabilidad del sistema vienedeterminada, en aplicacion del criterio de Routh-Hurwitz, por los valorespropios de la matriz jacobiana formado a partir de las ecuaciones de movi-miento de cada variable de estado en el punto inicial:

(1.2)

Modelos matematicos de sistemas acudticos dindmicos 25

Figura 1.3. Trayectoria de evolution de las concentraciones de especiesintermedias en un sistema quimico oscilante (Brusselator)

Dependiendo de los valores propios correspondientes a cada sistema po-demos encontrar sistemas estables que evolucionan hacia un estado finalestacionario cuando el tiempo tiende a infinite o sistemas inestables (Steffenset al, 1997). En el espacio de fases, la evolucion de sistemas estables vendriadada por trayectorias que partiendo de estados distintos convergen a un unicoestado final, mientras que en los sistemas inestables estas lineas divergerian.Dependiendo del sistema, son tambien posibles evoluciones oscilatorias (figura1.3), dadas por trayectorias en forma de orbitas cerradas, asi como sistemasen los que las trayectorias presenten forma de silla de montar.

1.2.2. Analisis de sensibilidad

a) Sensibilidad a pardmetros. La sensibilidad del sistema a pequenoscambios en los valores de los parametros es usualmente expresadacomo la derivada parcial de las variables de estado respecto a losparametros (Beherens et al., 1975).Se puede definir un coeficiente absolute de sensibilidad Y.. de la varia-ble de estado y. con respecto al parametro 0. como (Swartzman yKaluzny, 1987):


Analogamente, se puede definir un coeficiente relative de sensibilidad Sy

de la variable de estado y. con respecto al parametro 0. como:

Los coeficientes de sensibilidad dependeran de los valores concretes delos parametros con que se ha calculado, pudiendo corresponder sensibilidadesdiferentes a diferentes configuraciones del vector de parametros.

En sistemas dinamicos, como y. puede variar a lo largo del tiempo, loscoeficientes de sensibilidad, seran tambien funcion del tiempo, por lo que, enel intervalo semicerrado de tiempo ]t0, t], se puede considerar como estima-dor de sensibilidad, el valor maximo (en valor absolute), el valor acumulado, oel valor medio del coeficiente de sensibilidad en dicho intervalo:

Efecto maximo:

Absolute:

Relative:

Efecto medio:

Absolute:

maxY^t))

max|Sitj(t)|

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Relative: (1.8)

(1.3)

(1.4)

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