Portafolio de Análisis Vectorial.

8/19/2019 Portafolio de Análisis Vectorial.

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Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de Ingeniería

Portafolio de Ejercicios

Alumno: Alejandro David Uc Canul.

Licenciatura: Ingeniería en Energías Renovables.

Asignatura: Análisis vectorial.

Profesor: César Renán Acosta.

Fecha de entrega: 4 de diciembre de 2015.


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Unidad 1: Funciones vectoriales de una variable

i. Operaciones básicas con vectores


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ii. Graficación y derivación de curvas.

1. Dibuje las curvas punto a punto utilizando las ecuaciones paramétricas dadas

abajo.

a) = 1 √ ; = 4 ; 0 ≤ ≤ 5

b) = 2 c o s ; = cos ; 0 ≤ ≤ 2

http://uadyvirtualcloud.uady.mx/pluginfile.php/126937/mod_label/intro/Actividad%20de%20Aprendizaje%202%20AVEC.pdfhttp://uadyvirtualcloud.uady.mx/pluginfile.php/126937/mod_label/intro/Actividad%20de%20Aprendizaje%202%20AVEC.pdf


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c) = 5 s i n ; = ; ≤ ≤

d) = − ; = − ; 2 ≤ ≤ 2

2. Elimine el parámetro para encontrar las ecuaciones cartesianas.a) = s i n ; = c o s ; 0 ≤ ≤

Por: sin c o s = 1 sin cos = 1 = 1 b) = 4 cos ; = 5 sin ; ≤ ≤ 4 = c o s 5 = s in


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10

Por = 1 y sin c o s = 1 4 =cos

5

=sin

16 25 = 1 c) = 4 s i n ; y = 4 c o s ; 0 ≤ θ ≤ 2 π 4 =sin 4 =cos

Por sin c o s = 1 4 4 = 1

4 = 1

= 4

= 4 d) = sec ; y = tan ; ≤ θ ≤ = 1cos = sincos

Elevando al cuadrado: = 1cos cos = 1

= sin cos = 1cos cos Sustituyendo:

= 1 1 1 = 1 1 = 1 = 1

3. Encuentre a) = ; = 2 5 = 2 5

En x:


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11

= 2 5 6 1 2 8125

=252

125 6 1 2 8

125

= 252 6 1 2 8 125 = 6 1 3 4 2125 1 2 5 = 6 1 3 4 2 1 2 5 = 3 12 13 125=′3 12 13 = 1253 12 13 b)

= ; =

l n = l n l n l n = l n l n l n = l n 4. Encuentre la ecuación de la tangente a la curva en el punto correspondiente al valor

dado al parámetro.

a) = 1 ; = ; = 1 = 1 1 = 2 = 1 1 = 2 = √ 1 = √ 1

√ 1

= 1 1 ′ = 34 1 − 14 1− ′ = 34 1 14 1 ′2= 342 1 142 1 ′2= 3

41 1

41

′2=1

Por tanto, la ecuación tangente es: 2 = 1 2 2 = 2 = 4 b) = 2 1 ∶ = ; = 3 = 23 1 = 1 9


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12

= 33 1 = 8 = 12

= 12 3 1 = 16√ 2 1 = 16√ 2 ∗ 32 1 1 = √ 14√ 2

= √ 14√ 2

19= √ 1 9 14√ 2 19= √ 184√ 2 19 = 14 182 19 = 14 √ 9

19 =14 3

19 = 34 Por tanto, la ecuación tangente es: 8 = 34 19 84 = 3 1 9 4 3 2 = 3 5 7 4 = 3 5 7 3 2 = 14 325 c)

= c o s s i n 2 ; = s i n c o s 2 ; = 0

= s in 2 c o s 2 = c o s 2 s in2 = cos2sin2sin2cos2 0= cos02sin0 s in0 2 c o s 0 0 = 12


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= c o s 0 s i n 0 = 1 = s i n 0 c o s 0 = 1 Por tanto, la ecuación tangente a la curva, es: 1 = 1

2 1

= 12 12 1 = 12 12 = 12 1 d) = √ ; = l n ; = 1 = √ = = 1 l n 1 = 1 l n = √ = ln

Sustituyendo:

= ln lnln = ln 4 l n = 2 l n 1 4 1ln 1 = 2ln 4 l n = 2ln 4 l n = 6 Por tanto:

1 = 6

= +15. Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado utilizando dos

métodos: i) sin eliminar el parámetro y ii) primero eliminando el parámetro.

a) = ; = 1;1,1 i. = 0

=

= 2 1 = 2 1 0= 20 1 = 0 = 2 Por tanto:


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1 = 2 1 = 2 2 1 = 2 3 ii.

l n =

= l n 1

= 2l n 1 1 = 2l n 1 1= 2l n 1 1 1 = 2 Por tanto: 1 = 2 1 = 2 3

b)

= t a n ; = s e c ; 1, √ 2

i. 1 = t a n = 4 5 ° = 4 =sec =tancos

= tansecsec

= tan

sec

= 4 = 1√ 2 Por tanto: √ 2 = 1√ 2 1 = 1√ 2 1 √ 2

ii. = sin

cos

= 1cos cos = 1 Sustituyendo:

= 1 11 = 1


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15

= 1 = 12 1−2

= √ 1

1 = 1 /√ 2 Por tanto: √ 2 = 1√ 2 1 = 1√ 2 1 √ 2

6. Encuentre la ecuación de la tangente a la curva en el punto dado, entonces grafique la

curva y la tangente.

a) = 2 s i n 2 ; = 2 s i n ; √ 3, 1 = 6 =4cos2 = 2 c o s = 2cos4cos2

4 =

2cos 64cos 3

4 = 2 √ 32 4 12 4 = √ 32 Por tanto: 1 = √ 32 √ 3

=√ 32 √ 3 1


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b) = s i n ; = s i n s i n ;0,0 = 0 =arcsin =sinarcsinsinarcsin = c o s =cossin1cos =sinsin− = cossin 1 c o s cos 0 = cos0sin0 1cos0 cos0 0 = 2

Por tanto: 0 = 2 0 = 2


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iii. Longitud de arco.

En los siguientes ejercicios, grafica la curva en el espacio y halla su longitud sobre el intervalo

dado.

1- ⃗ = ̂ ̂ en [0,2]

= 2 ̂ 3 ̂

= | 2̂ 3̂ | Donde:2 ̂3̂ = 2 3 1 = √ 14 Entonces:

= √ 14= √ 14 2

0

= 2√ 14

2. = 〈3,2,2〉 0, 2 La fórmula para calcular la longitud de arco es la siguiente:


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= ´⃗ Hallando del valor de ´⃗

= 3 ̂ 2 c os ̂ 2 s in

´⃗ = 3 ̂ 2 s in ̂ 2 c os ´⃗ = 3 2sin 2cos = 9 4 s i n 4 c o s = 9 4sin c o s

´⃗ = √ 13 Planteando la integral:

= √ 13 = √ 13 2⁄0 = 5 . 6 6

´ = || = = 2 − 2

Usando las funciones de integración de algún programa de graficación aproxime la

longitud de la curvatura en el espacio sobre el intervalo dado.

4- ⃗ = ̂ ̂ en [1,3]


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´ = 2 ̂ ̂ 1 = 2̂ ̂ 1

Donde:

2̂ ̂ = 2 1 1/ = √ ++ Entonces:

= √ 4 1 = 8.3705

5. = 〈 sin ̂ 2cos ̂ 〉 0 ≤ ≤ 2 Hallando el valor de ⃗ ´

´ = cos ̂ sin ̂ 3


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´⃗ = cos sin 3 ´⃗ = cos sin 9 = sin cos 9

´⃗ =

9

Planteando la integral para hallar la longitud de la curva:

= 9 Integrando en el software se obtiene:

=11.154045

6. Considerar la gráfica de la función vectorial = ̂ ̂ ̂ en el intervalo [0.2].b) Aproxime la longitud de curva sumando las longitudes de los segmentos de recta que

unen los extremos de los vectores ⃗ , ⃗ . , ⃗ , ⃗ . ⃗ .Tenemos que:

0 =0̂44̂0 = 0,4,0 0.5 =0.5̂3.75̂0.125 = 0.5,3.75,0.125 1 = 1 ̂ 3 ̂ 1 = 1,3,1 1.5 =1.5̂1.75̂3.375 = 1.5,1.75,3.375 2 = 2 ̂ 0 ̂ 8 = 2,0,8 Ahora:

00.5 = 0.5,.25,.125

0.51 = 0.5,.75,.875 11.5 = 0.5,1.25,2.375 1.52 = 0.5,1.75,4.625 Sus magnitudes son:


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|⃗ 00.5| = |0.5,.25,.125| =0.5728 |⃗ 0.51| = |0.5,.75,.875| =1.2562

|⃗ 11.5| = |0.5,1.25,2.375| =2.7300

|⃗ 1.52| = |0.5,1.75,4.625| =4.9702 Por lo que la longitud de arco sería: =0.57281.25622.73004.9702=9.5292 Comprobando:´ = ̂ 2 ̂ 3

= ̂ 2 ̂ 3

Donde:

̂2̂3 = 9 4 1 Entonces:

= 9 4 1 = 9.5706 c) Describa cómo obtener una estimación más exacta mediante los procesos de los incisos

a) y b).

Para obtener un resultado más exacto del valor de la longitud de arco se debe dividir la

curva en más intervalos, ya que al hacer más pequeños los segmentos, el resultado se

hace más próximo al real.

d) Usar las funciones de integración de una graficadora para aproximar la longitud de la curvatura.

Compare su resultado con las respuestas de los incisos a) y b).

Para obtener la longitud de curva en el software, primero se planteará la integral:

= ´⃗

Hallando el valor de ´⃗ ´ = ̂ 2 ̂ 3 ´⃗ = 1 2 3

´⃗ = 1 4 9


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= 1 4 9 Utilizando un software para hallar la integral se obtiene:

= 1 4 9 =9.57057

En los siguientes ejercicios reparametrice las curvas dadas mediante el parámetro de longitud de

arco.

= 2 3 || = √ 14 √ 1 4 = 2√ 14

iv. Vector Tangente y Curvatura.

= ′|| = 2 5 2 2 2 25


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b) ⃗ = , , para t > 0 = ̂ ̂,cos

´ =2̂{ c o s}̂sen

}

´ =2 ̂ ̂ ´ =2̂̂ = ´|´| = 2̂̂ 2 = ´|´| = 2̂̂ 2

= ´|´| = 2̂̂√ 4

= ´|´| = 2̂̂ 4 = ´|´| = 2̂̂√ 4 1 = ´

|´|= 2̂̂

√ 5

c) = 〈√ 2, , −〉 De acuerdo a la siguiente definición de vector tangente unitario, se hallará dicho vector.

⃗ = ´⃗ ´⃗ Se procede al cálculo de los componentes necesarios:

= 〈√ 2,

, −

〉

= √ 2 ̂ ̂ − ´⃗ = √ 2 ̂ ̂ − ´⃗ = √ 2 −

´⃗ = 2 −


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Sustituyendo en la fórmula:

⃗ = √ 2 ̂ ̂ − √ 2 −

= ′|| = 2 2 1 2 2 1 2. Encuentre la curvatura para el vector de posición mostrado.

a)

⃗ = ̂

´ = 2 ̂ → |´| = 2 1 = 2̂ 2 1 = = 2̂√ 4 1 ´ = 4 12 2 ̂44 1−/4 1

´ = 4

12 2 ̂44

1−

4 1 ´ = 2 2̂44 1 /4 1 ´ = 24 1 2 ̂ 44 1

2̂4

4 1/ → || = 44 1/ 16

4 1/

|| = √ 16 44 1|| = 2√ 4 14 1 = 24 1


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25

= 24 1 4 1/ = 24 1

b) = ̂ ̂ 1 Para hallar la curvatura, se aplica la siguiente fórmula:

= ´⃗ ⃗ ´ Por la fórmula de curvatura, primero se debe calcula el vector posición, para a partir de este,

calcular el vector unitario tangencial y poder aplicar la fórmula:

´ = ̂ ̂ 2

´⃗ = 1 1 2 = 2 4 Sustituyendo dos datos anteriores en la siguiente fórmula:

⃗ = ´⃗ ´⃗ = ̂ ̂ 2 √ 2 4 ⃗ = ̂√ 2 4 ̂√ 2 4 2 √ 2 4

Derivando al vector tangente unitario:

´⃗ = 44 2 ⁄ ̂ 44 2 ⁄ ̂ √ 22 1 ⁄

´⃗ = 44 2 ⁄ 44 2 ⁄

√ 22 1 ⁄

´⃗ = 8

4 2 8

4 2 2

4 2 = 16 2

4 2

Sustituyendo en la fórmula de curvatura:

= ⃗ ´|´| = 16 24 2√ 2 4 = 162 2

1 2⁄42 2√ 42 2√ 2 4


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= 16 2 ⁄4 2√ 4 2√ 2 4 d) ⃗ = , , 1,0,0 = ´|´| = ̂ ̂ ̂ ̂ = ´|´| = ̂ ̂ 1 = ´|´| = ̂ ̂ √ 2 1 v. Cálculos de los vectores Normal y Binormal.

1. Encuentre al vector Tangente Normal unitario en el punto dado.

A. = 〈, , 〉 1, , 1 De acuerdo a la siguiente definición de vector tangente Normal, es posible calcularlo:

⃗ = ´⃗ ´⃗ Sim embargo, primero se debe calcular el vector tangente unitario a partir del vector posición:

= ̂ 23 ̂ ´ = 2 ̂ 2 ̂ ´⃗ = 2 2 1 = 4 4 1

A partir de lo anterior se halla al Vector tangente:

⃗ = ´⃗

´⃗

= 2 ̂ 2 ̂ √ 4 4 1

Derivando al vector tangente y hallando la magnitud de dicha derivada:

⃗ = 2√ 4 4 1 ̂ 2√ 4 4 1 ̂ 1√ 4 4 1


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27

´⃗ = 2√ 4 4 1 16 84 4 1 ⁄ 4√ 4 4 1 16 84 4 1 ⁄ 16 824

4

1 ⁄

´⃗ = ++− +++ ⁄ ++− +++ ⁄ +++ ⁄ ´⃗ = 244 42 1 163 844 42 13 2⁄

444 42 1 2163 844 42 13 2⁄ 16 824 4 1 ⁄

´⃗ = 244 42 1 163 8244 42 13 444 42 1 2163 82

44 42 13 16 8^24 44 42 13 Por lo que el vector normal es:⃗

= 24

4

1 16

84 4 1 ⁄ 44

4

1

16

84 4 1 ⁄ 16

824 4 1 24 4 1 16 84 4 1 44 4 1 16 84 4 1 163 8^24 4 4 1

= || = c o s √ 3

= cos √ 3 = 1√ 3 = ′|| = √ 2


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= = 1√ 6 4 2. Las siguientes expresiones se conocen como las fórmulas de Frenet- Serret. Utilice el hecho

de que

⃗ = ⃗ × ⃗ para deducir la formula b) a partir de a) y c).

a) ⃗ = ⃗ b)

⃗ =⃗ ⃗ c)

⃗ =⃗ Se procede a la demostración tomando en cuenta que:

= ⃗ ⃗ = ⃗⃗ ⃗ = ⃗

∙ ⃗

⃗

⃗ = ⃗ Demostrar que

⃗ es perpendicular a ⃗ Si se deriva la Binormal con respecto a la longitud de arco S se obtiene:⃗ ⃗ Tiene una longitud de arco constante por lo tanto: ⃗ = 0


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Puesto que la normal de ⃗ es constante ⃗ es perpendicular a ⃗ ⃗ ⊥ ⃗

Demostrando que⃗ ⊥ ⃗

Se sabe que⃗ = ⃗×⃗ = ⃗ ×⃗

Donde: = ´ ⃗ = ⃗⃗ Multiplicando se obtiene:

=⃗

∙ ⃗ = ⃗ ´ × ⃗ ⃗ × ⃗´´ = ⃗ × ⃗´´

⃗ = ⃗ × ⃗´´ ⃗ ⊥ ⃗ Se deduce de los incisos anteriores que

⃗ =⃗ para ciertos números se denominantorsión de la curva, con la torsión se puede medir el grado en que gira una curva.

En los incisos anteriores se afirma que:

⃗ ⊥ ⃗ ⃗ ⊥ ⃗ Pero también se sabe que ⃗ ⊥ ⃗ Y que


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⃗ ⊥ ⃗ Por lo tanto: ⃗ ⊥ ⃗ Dado lo anterior se puede decir que: ⃗ =⃗ Ya que si

⃗ ⊥ ⃗ ⃗ entonces ⃗ es paralelo a ⃗ y también porque es un escalarRegresando al objetivo del problema se realiza lo siguiente:

Primero se expresa la derivada ⃗´ de ⃗ en términos de los vectores ortonormales ⃗, ⃗ y ⃗

⃗´ = ⃗´⃗ ⃗ ⃗´⃗⃗ ⃗´⃗ ⃗

Como ⃗´ = 1 se deduce que (⃗´⃗ = 0 y que los vectores ⃗y ⃗ son ortogonales.Derivando se obtiene: ⃗´⃗ ⃗⃗ ´ = 0 Con lo anterior y utilizando la primera fórmula de Frenett Serret se obtiene:⃗´⃗ = ⃗⃗ ´ ⃗´⃗ = ⃗⃗

⃗´⃗ = ⃗ ⃗´⃗ = Del mismo modo se tiene que: ⃗´⃗ ⃗⃗´ = 0 Utilizando la tercera fórmula de Frenet-Serret

⃗´⃗ = ⃗⃗´

⃗´⃗ = ⃗⃗ ⃗ ⃗´⃗ = ⃗ ‖‖⃗ ⃗´⃗ = ⃗

Con lo anterior se tiene:


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31

⃗´ = ⃗´⃗ ⃗ ⃗´⃗⃗

⃗´⃗ =

⃗´⃗ = ⃗ Por lo tanto ⃗´ = ⃗ ⃗ ⃗ Quedando demostrado que: ⃗ =⃗ ⃗

vi. Velocidad y aceleración angular.

1-En los ejercicios el vector de posición → describe la trayectoria de un objeto que se mueve enel plano xy. Dibujar una gráfica de la trayectoria y dibuja los vectores de velocidad y aceleración

en el punto dado.

Función de posición punto

1-

→ = (3,0)

Su trayectoria es lineal ascendente

Usando x como paramétrico = 3 = = 3 Vector posición en el punto:

→ t = 3 t i 1 = 9 2

= 3 → ´ = 3 = 1 → ´ = 1 Vector velocidad:

→ t = 3 i j

Grafica del vector trayectoria

Grafica del vector velocidad


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Vector posición en el punto

→ t = 3 i j = 3 → ´ = 0 = 1 → ´ =0No hay grafica del vector aceleración

2.

)=

2

+

Punto 3,3)

3) () = 2 cos +2 sin


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(√2, √2)

Ecuación de posición evaluada en el punto

(

) = 2

̂+.05

̂

=2

=2 = 2 = 2 Velocidad

= 2 ̂ 2 ̂ = .05̂ 2 ̂

=2

=2

=2 = 2 Aceleración

= 2 ̂ 2 ̂

= 2̂ .5 ̂

2 4- - → = , , Se observa una trayectoria senoidal de un solo lado

Usando x como paramétrico: = = = Grafica del vector trayectoria


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Vector posición en el punto:

→ t = s i n 1 cos = → t = 2 = s i n → ´ = 1 c o s = 1 c o s → ´ = s i n

Vector velocidad:

→ t = 1 c o s sin Vector velocidad en el punto:

→ t = 2 = 1 c o s → ´ = s i n = s i n → ´ = c o s Vector aceleración:

→ t =sin cos

Vector aceleración en el punto

→ t =

En los ejercicios el vector de posición → describe la trayectoria de un objeto que se mueve en elespacio. Hallar la velocidad, rapidez y aceleración del objeto.

5.

)=

+ 2

−

5)

+3

v⃗ = = ̂ 2 ̂ 3 k a⃗ = = 0 ̂ 0 ̂ 0 k = ̂ ̂ k

= =̂2 ̂

Grafica del vector velocidad

Grafica del vector aceleración


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= =2̂ Rapidez

|| = 5 1

7- → = √ Vector de posición:

→ = 9 = → ´ = 1

= → ´ = 1 = 9 → ´ = 9√ 9 Vector velocidad:

→ = 9√ 9 = 1 → ´ = 0 = 1 → ´ = 0

= 9√ 9 → ´ = 99 / Vector aceleración:

→ = 0 0 99 8.

)=

〈4

,3 cos

,3 sin

〉

v⃗ =

=4̂3sent̂3costk

a⃗ = =0̂3cost̂3sentk = ̂ ̂ = ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ 0 = 0


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= ̂ ̂ = 0 = ̂ ̂

= ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ 0 = 0 = ̂ ̂ = 0 = 2 ̂ 2 ̂ 2 En los ejercicios usar la función aceleración dada para determinar los vectores velocidad y

posición. Después hallar la posición en el instante t=2

10- → = → 1 =5, → 1 = → = = 2 2 1 = 5 → 5 = 12 12

92 12 = = 2 2 92 12 = 12 92 12 12 = 12 92 12 12 = 16 92 16 12 1 = 0 → 0 = 1

6 9

2 1

6 1

2 = 14

3 2

3

→ = 16 92 143 16 12 23 11. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lanzado desde una altura de 3

metros sobre el suelo con una velocidad inicial de 27 m/s y con un ángulo de 30° sobre la

horizontal. Usar una graficadora para representar la trayectoria del proyectil.a⃗ = =9.8 ̂


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37

v⃗ = =27cos30̂ 27sen309.8 ̂r =27tcos30̂327tsen30 9.82 ̂

12. Una pelota de béisbol es golpeada 90 cm sobre el nivel del suelo, se aleja del bate con un

ángulo de 45o y es cachada por un jardinero a 90 cm sobre el nivel del suelo y a 90 m del plato de

lanzamiento. ¿Cuál es la rapidez inicial de la pelota y que altura alcanzará?

= 90 = 459.81 = 909.81. 5 = = 42 / = 2 = 424529.81 =45 13. Considere una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio b

descrita por: )= cos+ sin

Donde =

es la velocidad angular constante.

a) Hallar el vector velocidad y mostrar que es ortogonal a ).

= = bωsenωt̂bωcosωt̂ Si son perpendiculares, su producto punto es igual a cero ∙ =bcosωt̂bsenωt̂ ∙bωsenωt̂bωcosωt̂ ∙ =2ω senωt consωt 2ω senωt consωt = 0 Por lo tanto, sí son perpendiculares


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b) Mostrar que la rapidez de la partícula es . = |⃗ | = ωsenω ωcosω = ωsenω cosω = ω 1 = ω

c) Usar una graficadora en modo paramétrico para representar el círculo para =6. Probar

distintos valores de ω. ¿Dibuja la graficadora más rápido los círculos para los valores mayores de

ω?

Sí, ya que para mayores valores de ω, se recorre mayores proporciones de la circunferencia en

un menor tiempo.

d) Hallar el vector aceleración y mostrar que su dirección es siempre hacia el centro del círculo.

⃗ = ⃗ = ̂ ̂ Notamos que ⃗ y ⃗ tienen signo opuesto, por lo tanto ⃗ apunta hacia el centro e) Mostrar que la magnitud del vector aceleración es 2. = || = b2ω4cos2ω b2ω4sen2ω = b2ω4cos2ω sen2ω

= ω2

1 = ω2

14) Demostrar que si un objeto se mueve con rapidez constante, sus vectores velocidad

y aceleración son ortogonales.

Vectores y =̂ ̂

=

̂

̂

∙ = 2 ∙ = 2 ∙ = 23 23


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39

∙=0∴ Viii. Componentes tangencial y normal de la aceleración.

En los siguientes ejercicios hallar el vector unitario tangente a la curva en el valor

especificado del parámetro.

1. () = 2 + 2, = 1

Tenemos que:

´ = 2 2 |´| = 4 4

El componente tangencial está dado por:

= ´|´| = 22√ 4 4

Y probando en t=1

= 2√ 8 ̂ 2√ 8 ̂

2. () = 4 cos + 4 sin , = 4

= || = 4sen̂4coŝ 16sen c o s = 4sen̂4coŝ4 1 =sen̂̂ π4 = ̂

3. () = ln + 2, =

= ̂2̂ > || = 2 = 4 = 4 ≈ √ 4.135335 ≈2.03355


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40

= || = +̂ ̂ + = +̂ ̂. = +̂ ̂. =0.1809̂0.9835 ̂

̂ ̂ En los siguientes ejercicios hallar el vector unitario tangente () y hallar un conjunto de

ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el punto P.

4. () = ̂+ 2 + , (0,0,0) ‘ = ̂ 2 ̂ |´| = 2 4

⃗ = ̂ 2 ̂

√ 2 4 Ecuaciones Paramétricas, regidas por ⃗ 0 ⃗ 0 = 1√ 2 ̂ 1√ 2

5. () = 2 cos + 2 sin + , (2,0,0)

=

|| = 2sen̂2coŝ 4sen c o s = 2sen̂2coŝ2 1 ==sen̂̂

Para (2,0,0), debe ser igual a .Entonces π2 = ̂Entonces, la recta paramétrica que pasa por este punto y es tangente a la función es: = 2̂ ̂ 6. () = 〈 2 cos , 2 sin , 4〉 , (√2, √2, 4)

=2 ̂2 ̂ > || = 2 2 = √ 4sin 4 c o s = 4sin c o s = 41 = √ 4 = 2 = || = − +̂ ̂−+ = − +̂ ̂ + = − +̂ ̂ = ̂ ̂


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41

=√ 2̂cos√ 2 ̂ = |||| = − −̂ ̂√ + = ⌈− , − ⌉ En los siguientes ejercicios encuentre el vector unitario normal principal a la curva en el valorespecificado del parámetro.

7. () = + 1 2 2 , = 2

Primero hallamos T:

⃗ = ´

|´|=

√ 1

⃗ ´= √ 1 ̂ 1√ 1 1 / ̂ Y ahora procedemos a hallar el valor de ⃗

⃗ = √ 1 ̂ 1√ 1 1 / ̂ √ 1

1√ 1

1

/

Y en = 2 ⃗2 = 2√ 5 ̂ 1√ 5 4√ 125 ̂ 45 1√ 5 4√ 125

8. () = ln + ( + 1), = 2

= || = 1 ̂ ̂ 1 1t


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42

= ⃗ |⃗ | =

1t 1 1t ̂ 1t (2t2 1 1t)

̂

1 1t|⃗ |

=

[1t 1 1t (

11 1t)]

̂

[(

1

t

1 1t)

(

1

1 1t

)]

=

[1t 1 1t (

11 1t)]

̂

(

1

t

1 1t

)

1

1 1t

=̂

En todo momento = i ̂ sin importar el parámetro que se tome. 9. () = + ^2 + ln , = 1

= ̂ 2 ̂ > || = 1 2 = 1 4 = 5 = 5 =√ 5 1 = √ 6

=

|| =

+̂ ̂+

√ >

= ̂−

√ = ̂−

√ > |

| =

√

√

= = + = = || =

√ √ √ = √ − √ √ = √

10. () = 6 cos + 6 sin + , = 3 4

´

=6 ̂6 ̂

|´| = √ 3 6 = 6 ⃗ =6 ̂6 ̂ ⃗ ‘ = √ 1 = 1

⃗ = ̂ ̂


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43

⃗ 34 = ̂ En los ejercicios hallar (), (), y para la curva plana t en el instante ().

11. () = + 1 , = 1

= || = ̂ 1t ̂ 1 1t

1 = ̂ ̂√ 2

= ⃗ |⃗ | = 2t 1 1t ̂ 1t 3t

2 1 1t ̂1 1t|⃗ |

=[(

2t 1 1t) 3t

2 1 1t ]̂

[ 2t 1 1t ( 3t2 1 1t)] =

[(2t 1 1t)

3t2 1 1t ]

̂

( 2t 1 1t) ( 3t2 1 1t) = ̂

En todo punto, = ,̂ por lo tanto 1 = ̂Para hallar las aceleraciones normal y tangencial, necesitamos conocer el vector tangente

y la segunda derivada del vector de posición: = 2t3 ̂1 = 2̂

El vector de aceleración normal está dado por: = |′ x ′′||′| = x ′′ 1 = i ̂ j ̂√ 2 x 2j ̂ =

i ̂ j ̂ k1√ 2 1√ 2 00 2 0 = 2√ 2 k = 2√ 2


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44

La aceleración tangencial es:

= ′ ∙ ′′|′| = ∙ ′′

1 = i ̂ j ̂√ 2 ∙ 2j ̂ = 2√ 2

12. () = ( − 3 )̂+ 2 2 , ̂ = 1 = 1 – 3̂ 4t ̂→ || = 1 3 4 = 1 6 9 1 6 =√ 1 1 0 9 = 110191= √ 20 = || = – +̂ ̂√ > = − ̂√ ̂√ > || = −√ √ =

=

= √ 2.6

= || = – +̂ ̂√ ÷ √ 2.6= – +̂ ̂√ .√ = – +̂ ̂√ = = – +̂ ̂√ 6̂4̂ = −+ +̂ ̂√ = −+ +̂ ̂√ = +̂ ̂√ = | × ′′||| = 1 3 40 6 ÷ √ 20=3 ̂24 6√ 20

13. () = + −2 , ̂ = 0

´ = ̂ 2 − ̂ |´| = 4− ⃗ = ̂ 2 − ̂√ 4− ⃗ 0 = 1√ 5 ̂ 2√ 5 ̂

⃗ ‘ = √ 4− 12 4− / ̂ 2 8− 4−√ 4− −4− / ̂2 8− ⃗ ‘2 = 1√ 5 3√ 125 ̂ 4√ 5 3√ 125 ̂


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45

Ahora procedemos a hallar = •⃗⃗

= || Primero tenemos que hallar el vector aceleración y de velocidad, simplemente derivando el vector

de posición

⃗ = ̂ 2 − ̂ = ̂ 4 − ̂

Aplicando la fórmulas anteriores para hallar

hacemos que:

= ̂8 √ 4− = 7√ 5

= ||

= 16−

8−

√ 4−

Ahora para el puto (0,0,0)

= 2 1 6 495 = 189,8

= 8,2

14. () = cos + sin , =

= || = cost̂ cost̂ cost cost


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46

= cost̂ cost̂√ 2t2t 2t t 2t t = cost̂ cost̂ 2t t = cost̂ cost̂

√ 2

2 = ̂̂√ 2 = ⃗ |⃗ | =

cost̂ cost̂√ 2 12 cost cost= cost̂ cost̂√ 2√ t tttt

= cost̂ cost̂√ 2√ 1 = cost̂ cost̂√ 2 2 = ̂̂√ 2 Hallaremos la segunda derivada del vector de posición, por ser un elemento clave para calcular las

aceleraciones normal y tangencial: = cost̂ cost̂ sent̂ sencost̂

=

2sen̂2coŝ

2 = 2 ̂ La aceleración normal es entonces:

= |′ x ′′||′| = x ′′

2 = i ̂ j ̂

√ 2x2 i ̂ =

i ̂ j ̂ k1

√ 21

√ 20

2 2 0 = 2

√ 2k = √ 2

La aceleración tangencial es:

= ′ ∙ ′′|′| = ∙ ′′ 2 = i ̂ j ̂√ 2 ∙ 2 i ̂ = √ 2


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47

Unidad 2: Funciones vectoriales de varias variables.

i. Derivadas direccionales y gradientes

3.70- Sea

= ̂ ̂ y

= ̂ ̂ en t = 1:

a) Calcula A` (t)

` = ̂ 2 ̂ 3 En t = 1 = 1,2,3 b) ∙ ∙ = 2 ̂3 ∙ ̂ ̂ 1 ∙ = ∙ = 1 3 3 4 En t = 1 = 3

c) = ̂ ̂ 1 1

= ̂ ̂ 0

En t = 1 = (1, 1,0)

3.74- Si =̂ ̂ y = ̂̂ . Calcular:a)

⃗ =


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48

b) ⃗ ⃗

=6

=6̂2 ⃗ = ̂ ̂ 0 0 66 0 2 =36̂

3.76. Instrucciones: Hallar la longitud de curva de los siguientes incisos:

a) = cos ̂ sin ̂ sin La longitud de Arco se define de la siguiente manera:

= ´⃗

= cos ̂ sin ̂ sin

Derivando: ´ = sin ̂ cos ̂ cos Hallando la magnitud:

´⃗ = sin cos cos ´⃗ = sin

´⃗ = 1 Planteando la integral:

= 1 = √ 2


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49

b) ⃗ = ̂ ̂ La longitud de Arco se define de la siguiente manera:

= ´⃗

= ̂ sin 2 ̂ cos 2 Derivando: ´ = ̂ cos ̂ 2 sin 2π Hallando la magnitud

´⃗ = 1 cos sin2 ´⃗ = 1 2 Planteando la integral: = 1 2

= 2√ 2 c) ⃗ = ̂ ̂

La longitud de Arco se define de la siguiente manera:

= ´⃗ =cos3̂sin3 ̂ Derivando: ´ =cos ̂sin ̂ Hallando la magnitud

´⃗ = cos sin ´⃗ = ´⃗ = 1 Planteando la integral:


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50

= = ii. Los operadores diferenciales.

3.79- Hallar un vector normal en (1, 1, 1) a la superficie representada por =0 ∇ = 2 2 2 Sustituyendo el punto (1, 1, 1):

∇ = 2 2 2

Entonces la normal es:

= 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 √ 12 3.80. Instrucciones: Hallar un vector unitario normal a la superficie S representado por las

ecuaciones paramétricas. = = =3.83- Hallar la divergencia y el rotacional de = y = ∇ ∙ = 1 1 1 = 3 ∇ ∙ = 2 2 2 = 2 ∇ =

=

∇ = = 0

3.84. Instrucciones: Si = y ⃗ = hallar en (1,-1,1)


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51

a) Se sabe que la definición un gradiente de una función ,, está definida de la siguientemanera:

∇ = ̂ ̂

Por lo que el gradiente queda planteado de la siguiente forma:

∇ = 3 ̂ 3 ̂ 3 Realizando las derivadas parciales, se obtiene:∇ = 6 ̂ ̂ Sustituyendo en las condiciones iniciales:

∇ = 6 ̂ ̂ 1

b) ∙ ⃗ Se sabe que el operador Nabla está definido de la siguiente forma:

∇= ̂ ̂ También se sabe, que el dicho operador solo funciona con elemento que se encuentren delante de

él, por lo tanto es posible llevar a cabo el producto punto:

∇ ∙ ⃗ = ̂ ̂ ∙ ̂ ̂ Expresando en función de la función dada al inicio de ejercicio:∇ ∙ ⃗ = ̂ ̂ ∙ 3 ̂ 2 ̂ ̂

Efectuando el producto Punto:


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53

b) ⃗ ∙ En el inciso A) resuelto con anterioridad se obtuvo el valor de por lo que, simplemente seprocede a realizar el producto punto:

Recordando que:

= ̂ ̂ y

⃗ =

∙ ∇=32 ̂ 23 ̂ 2 ̂ ∙ 6 ̂ ̂ ̂ Realizando el producto punto: ∙ ∇ = 326 23 2

∙ ∇ = 18 22 23 22 Sustituyendo en el punto (1, -1, 1)

∙ ∇ = 1 8 2 1 ∙ ∇=19

c) ∙ ⃗ Para realizar esta operación es importante recordar que es una función escalar, por lo que sumultiplicación con la función F proceda de manera similar a que si estuviera multiplicando por unaconstantes, es decir, se multiplicará por cada uno de los componentes de función F, como semuestra a continuación:

Se sabe que = y ⃗ = ⃗ = 3 32̂2 ̂

⃗ = 932 323̂ 6 2 ̂ 3 Aplicándole el operador Nabla en producto punto:

∇ ∙ ⃗ = ̂ ̂ ∙ 932 323̂ 6 2 ̂ 3 Expresándolo en un solo término:

∇ ∙ ⃗ = 932 323 6 2 3 Realizando las debidas operaciones:


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54

∇ ∙ ⃗ =27 3 18 8 3 2 Sustituyendo los valores en el punto solicitado: (1, -1, 1)∇ ∙ ⃗ = 2 7 3 1 8 8 3 2

∇ ∙ ⃗ = 1 d) × ⃗ El valor de la multiplicación de la función escalar por la vectorial ya se obtuvo en el inciso anterior

y fue:

⃗ = 932 323̂ 6 2 ̂ 3 Por lo que ahora sólo se aplicará el producto punto:

∇ × = ̂ 932 323 6 2 3

∇ × = ̂ 3 6 2 ̂ 3 932 323

6

2

93

2

32

3

Realizando las derivadas parciales:∇ × = ̂3 2 2 ̂122 183922 18 2 932 63 Sustituyendo = 1 ; = 1 ; = 1 ∇ × = ̂ 3 2 2 ̂1 2 2 1 8 9 1 8 2 9 6

∇ × = ̂ 5 2 ̂1 4 2 7 2015 ∇ × = 3 ̂ 31 ̂ 35 e) De acuerdo al teorema del “Laplaciano de una función escalar” se sabe: ∇ ∙ ∇φ = ∇


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55

Por lo que se procede a desarrollar el lado izquierdo, es decir, el producto punto, ya que ya se

conocía el valor de ∇φ ∇ =

̂

̂

∙ 6 ̂ ̂

Efectuando las operaciones: ∇ = 6 ∇ = 6 Debido a que la ecuación de Laplace fue igual a una constante, se dice que es una funciónarmónica.

3.91. Instrucciones: Resolver el siguiente ejercicio.

Si × ⃗ = donde ⃗ = mostrar que = o que = .Desarrollando la multiplicación: = ̂ ̂ = + ̂ ̂ Efectuando el producto punto:

∇ × ⃗ = ̂

+ +

∇ × ⃗ = ̂ + + ̂ + +

∇ × ⃗ = ̂− + +− ̂−+ 1 −+ 1 Recordando que

∇ × ⃗ = 0 0 0


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56

Igualando componentes:− + +− =0 1 −+ 1 =0 2 −+ 1 =0 3

Si se factoriza m en la ecuación 1− + +− = 0 Luego entonces: = 0

Unidad : Integración vectorial

i. Integrales de Línea.

Resolver:

1.- Evalúe la integral de línea donde C es la curva cerrada.

Donde C es la mitad del círculo = 16 Resolución.

Se parametriza y sustituye: = 4 c o s ; = 4 ; = √ 16sin 1 6 c o s = 4 Límites de integración: ≤ ≤

4sen4 4−

= 2 5 6 4 sen 4

−


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57

= 4096 sen

−

=4096 cos − =4096 cos 25 cos 25 =409605 = 0

s e n Donde C es el arco de la curva = de (1, -1) a (1, 1).Resolución.

Se parametriza y sustituye: = ; = ; = 4 sen 4− = s e n 4− = c o s |− = cos1 cos1 = 0


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58

Donde C está formada por los segmentos de recta que van de (0,0,0) a (0,1,1), de (0,1,1) a (1,2,3) y

de (1,2,3) a (1,2,4).

Primer segmento:

= 0 ; 01 0 = 01 0

= = ; = ; = 0 0 = 0 Segundo segmento: 01 0 = 12 1 = 13 1 = 1 = 12 = 1 = 12 = 1 ; = 2 1 = Por lo que:

= 1; = 2 1; = 2 Sustituir: 121 2 =2 7 9 5 2

=22 7 9 5

= 227 76 95 54 3

= 2 227 726 925 524 23 217 716 915 514 13


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59

= 2 7635 1420

= 911210 ~ 4.3380

Tercer segmento:

(1,2,3) a (1,2,4). 11 1 = 22 2 = 34 3

= 0 ; = 0

= 0 911210 0 = 4.3380 Por tanto:

∫ = 0+2.- Evalúe la integral de línea de

∙ Donde C está dada por la función vectorial

,, = ̂ cos ̂

a) = ̂ ̂ ; 0 ≤ t ≤ 1 Sustituyendo:,, = ̂ ̂ = ̂ ̂ =3 ̂2̂


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60

∙ = ̂ ̂ ∙ 3 ̂ 2̂

= 3 2

= 3 2

=cos| sin | 5

= cos1 cos0 sen1 sen0 1

5 0

5

=cos11sen1 15 = c o s1 sen1 65

,, = ̂ cos ̂ b)

= ̂ c o s ̂ ; 0 ≤ ≤

Sustituyendo:,, = ̂ cos cos ̂ = ̂coscos ̂ =3 ̂ sen ̂ 2

∙ = ̂ cos cos ̂ ∙ 3 ̂ sen ̂ 2

= 3 coscos sen 2

= 3 coscos sen 2


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61

=cos| sencos| 27

= cos2

cos0 sencos 2 sencos0 2 2

7 20

7

=cos2 1 s i n 1 647 = = cos 2 1 s i n 1 448 ~ 7.64263

Evalúe la integral de superficie

∬ Si S es la parte del plano

= 1que se encuentra en el primer octante.

Con = 0 se tiene que los límites de integración son 0 ≤ ≤ 1 ; 0 ≤ ≤ 1.Además: = 1 Y

= 1 = 11 1 = √ 3 Sustituyendo:

∬ = ∬ 1 √ 3 = √ 3 −

= √ 3

2 2 3 −

= √ 3 1 2 1 2 3

= √ 3 12 2 1 12 2 = √ 3 12 12 12 12 13 13


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62

= √ 3 16 12 2 16

= √ 3 16

∗ 14 12

∗ 13

2 ∗ 12 16

= √ 3 24 6 4 6 = √ 3 124 = = √ 324 ii. Integrales de Superficie.

Evalúe la integral de superficie

∬ Si S es la parte del paraboloide = 4 que se encuentra frente al plano = 0

∬ Con = 0 se tiene que los límites de integración son 0 ≤ ≤ 1 ; 0 ≤ ≤ 1.Además: = 1 Y

= 1 = 11 1 = √ 3 Teorema de Gauss

Considere Fx,y,z= Sea S la esfera unitaria definida por =1.Evaluar ∯ ∙ Teorema de la divergencia de Gauss:


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63

∙ = ∭∇ ∙

= 2 ̂

̂

∇ ∙ = 2 2 2 ∭∇ ∙ = ∭2 2 2 Por coordenadas esféricas = sen cos ; = sen sen ; = cos ; 0 ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ 2; 0 ≤ ≤ 1

∭2 2 s e n s e n 2 c o s sen

= ∭ 2 sen ∭ 2 sen sen ∭ 2 sen cos = ∭ 2 sen ∭ 2 sen sen ∭ 2 sen cos =

2

cos|

|

2

∫ sen

cos|

2

= 2 ∗ ∗ 2 ∗ 2 0 0 =

Unidad 4: Operadores integrales

i. Teorema de Stokes.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar

∬∇ × Donde ,, = S es la parte del paraboloide = 9 que se encuentraarriba del plano z=5, orientado hacia arriba.

Se tiene que = 5, por lo que:


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64

5 = 9 = 4 Parametrizando:

= c o s ; = s e n ; = ; 0 ≤ ≤ 2

= 2 c o s ; = 2 s e n = 2 c o s ̂ 2 s e n ̂ 5 = 2 sen ̂ 2 cos ̂ Evaluando : = 25 sen̂, 52coŝ ,2cos 2 sen

=10sen̂10coŝ4cos sen

∙ = 10 sen ̂ 10cos ̂ 4cos sen ∙ 2 sen ̂ 2 cos ̂ ∙=20sen 2 0 c o s ∬∇ × ∙ =20sen 2 0 c o s

=20cos s e n

=20cos 1cos =20cos 1 c o s =202cos 1

= 4 0 c o s 2 0

= 4 0 12 cos 2 12 2 0


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65

= 4 0 12 cos 2 40 12

2 0

= 402 cos 2

402

2 0

Por separado:

Primero.

402 cos 2

202 cos

donde = 2; = 2 = 10sen| = 0 Segundo:

402

= 202 0 =40 Tercero:

2 0 =2020

40

Sumando:

40 12 cos 2 40 12

2 0

= 0 4 0 4 0 = 0


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66


∙

Donde ,, = 〈 , , 〉 la curva C es el triángulo con vértices 1,0,0, 0,1,0 y0,0,1.

∇ × = ̂ ̂

= ̂ ̂ ∇ × =2̂2̂2 Se utiliza el plano para representar = 1 a C. = 1

∙ = ∬ ∇ × ∙

=∬2̂2̂2 ∙ Gradiente de la superficie: ,, = 1 ∇ = ̂ ̂ Proyectando en el plano xy.

0 = 1 = 1 Representando una región en dicho plano con los siguientes límites:0 ≤ ≤ 1 ; 0 ≤ ≤ 1 Por tanto:


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67

∙ = ∬2̂2̂2 ∙ ̂ ̂

= ∬21 2 2

= ∬ 2 2 2 2 2 = ∬ 2 =

Integrando:

∙ = 2 −

= 2 −

=2y|−

=21 =22

=2

= 1 ii. Teorema de Green.

1.- Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de lacurva dada:

a)


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68

donde la curva C es el círculo

= 4

Por el teorema de Green:

= Derivación parcial:

= 3 =3 Se realiza la integración:

=∬3 3 Pasando a coordenadas polares:

= ∬3 cos 3 sen

= 3 cos s e n = 3

= 3 4

= 3 4 = 34 | =24 b)


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69

∮ donde la curva C está formada por la fronterade la región entre los círculos = 1 y = 9

Por el teorema de Green

= ∬ =3 = 3 = ∬ 3 3 Transformando a coordenadas polares

=∬3 cos 3 sin

= 3

cos

s i n

= 3 = 3 4 = 3 20

=320 =60| = 602 =120 c)


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70

∮ ⋅ donde ,, = 〈, 〉 y C es la elipse 4 = 1 Por el teorema de Green:

= ∬ Aplicando = ̂ ̂ , se tiene: ⋅ = ∬ ∇ × ∙ Describiendo la región en con a) = 0; = 0

a)

= →

=. Por lo que:

0 ≤ ≤

b) = √ 1 4 ; = 1. Por lo que: 1 ≤ ≤ √ 1 4

∇ × = ̂ ̂ 6 5 0 = ̂

0

5 ̂

0

6

5

6

∇ × = 6 ∇ × =5

⋅ = ∬ 5 ∙

∬5 ⋅ = 5 √ −

/

= 5 6 √ −


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71

= 56 1 4 1

= 56 1 4 1

= 56 1 1 1 2 48 64

= 56 12 48 64

= 56 123 485 647 = 56 4 485 647

= 56 412 48

125 64 127

= 56 12 310 114 = 1984 = 56 1970 = 1984 iii. Teorema de Gauss

Considere

Fx,y,z= Sea S la esfera unitaria definida por

=1.Evaluar ∯ ∙ Teorema de la divergencia de Gauss: ∙ = ∭∇ ∙ = 2 ̂ ̂


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72

∇ ∙ = 2 2 2 ∭∇ ∙ = ∭2 2 2 Por coordenadas esféricas = sen cos ; = sen sen ; = cos ; 0 ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ 2; 0 ≤ ≤ 1 ∭2 2 s e n s e n 2 c o s sen = ∭ 2 sen

∭ 2 sen sen

∭ 2 sen cos

= ∭ 2 sen ∭ 2 sen sen ∭ 2 sen cos =2 cos| | 2 ∫ sen cos| 2 = 2 ∗ ∗ 2 ∗ 2 0 0 =

Teorema de Stokes


∬∇ × Donde ,, = S es la parte del paraboloide = 9 que se encuentraarriba del plano z=5, orientado hacia arriba.

Se tiene que

= 5, por lo que:

5 = 9 = 4 Parametrizando: = c o s ; = s e n ; = ; 0 ≤ ≤ 2 = 2 c o s ; = 2 s e n


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73

= 2 c o s ̂ 2 s e n ̂ 5 = 2 sen ̂ 2 cos ̂ Evaluando :

= 25 sen̂, 52coŝ ,2cos 2 sen =10sen̂10coŝ4cos sen ∙ = 10 sen ̂ 10cos ̂ 4cos sen ∙ 2 sen ̂ 2 cos ̂ ∙=20sen 2 0 c o s ∬∇ × ∙ =20sen 2 0 c o s

=20cos s e n =20cos 1cos

=20cos 1 c o s

=202cos 1

= 4 0 c o s 2 0

= 4 0 12 cos 2 12 2 0

= 4 0 12 cos 2

40 12

2 0

= 402 cos 2 402 2 0

Por separado:

Primero.


74/74

402 cos 2

202 cos

donde = 2; = 2 = 10sen| = 0 Segundo:

402

= 202 0 =40 Tercero:

2 0 =2020 40

Sumando:

40 12 cos 2 40 12

2 0

= 0 4 0 4 0 = 0

Portafolio de Análisis Vectorial.

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