Módulo N°2

Razones, proporciones y porcentajes

Plan de Nivelación

Mediante el Plan de nivelación se busca proporcionar a nuestros estudiantes una instancia que les permita, en parte, restituir aquellos contenidos básicos y medios que por diversos motivos desconocen o no dominan.

Al mismo tiempo se pretende proveerlos de la ejercitación necesaria para los contenidos de niveles superiores o de mayor grado de dificultad.

Introducción

Razones, Proporciones y Porcentajes

1. Razones y proporciones

• Razón

2. Porcentajes

• Orden en una razón

• Proporción

• Cálculo de Porcentajes

Contenidos

• Serie de razones

Aprendizajes esperados

• Reconocer que la razón es un elemento que permite comparar dos cantidades.

• Encontrar el valor numérico de una razón dada.

• Reconocer una proporción como una igualdad entre razones.

• Resolver problemas que involucren una proporción.

• Resolver problemas que involucren serie de razones.

1. Razones y Proporciones

Una razón es una comparación entre dos cantidades que se expresa mediante un cuociente, es decir, se puede escribir:

y se lee: “ a es a b”

ó biena:b ab

Ejemplo:Si Juan y Lulú tienen 8 y 24 años respectivamente, entonces la razón entre sus edades se puede expresar como:

8:24 ó bien8 24

• Razón

Módulo N°2, página 2

• Orden en una razón

En una razón, al anotar las cantidades, se debe mantener el orden en que se nombran los elementos que están comparando.

Módulo N°2, página 2

Resulta conveniente expresar la razón en la forma más simple posible.

Ejemplo:

En el ejemplo anterior, las edades de Juan y Lulú están en la razón:

8:24 ó bien ó8 24

1 3

Se puede decir que las edades de Juan y Lulú están en razón 1 es a 3.

Módulo N°2, página 2

• ProporciónUna proporción es una igualdad de dos razones:

Se lee: “a es a b como c es a d”

=a b

c d

ó bien a:b =c:d

De acuerdo al ejemplo inicial, las edades de Juan y Lulú “están en razón”:

8 24

= 1 3

Esto significa que 8 es a 24 como 1 es a 3.

y se cumple que a∙d = b∙c (Propiedad fundamental).

Módulo N°2, página 3

Es la igualdad de 2 o más razones.

b

a = c

d fe

= = … = k

Ejemplo:

Si a y b están en razón 2:5 entonces, se puede decir que:

= 4 10

6 15

= = … = 0,4

8 20

=2 5

a b

= = k

• Serie de razones

Si a:b = 2:5, entonces 2 5

a b

= = k

5∙a=2∙b = k

a=2k y b=5k

b 5

a 2

= = k

a y b podrían ser 2 y 5, 4 y 10 ó 6 y 15. Pero existen infinitas razones proporcionales a 2:5. Luego, lo único que se podría decir es que a es múltiplo de 2 y b, múltiplo de 5.

Ejemplos de aplicación:

1) Si el ancho y el largo de un rectángulo están en razón 6:7 y su perímetro es 52 cm, ¿cuál es el largo y ancho del rectángulo?

x

y

Como el perímetro es igual a 52 cm, entonces:

2(x + y)= 52

2(6k + 7k)= 52

2(13k)= 52

26k= 52k= 2

Si el ancho y el largo del rectángulo están en la razón 6:7, entonces x : y = 6 : 7 x = 6k e y = 7k.

Si k=2, entonces x = 12 e y = 14.

12

14

14

12

El largo y ancho del rectángulo miden 14 y 12 centímetros respectivamente.

2) ¿Cuál es el valor de x en la proporción ? 20

x–3 2 15

=

Si 20

x–3 2 15

= 2 ∙ 20 = 15(x – 3)

40 = 15x – 45

40 + 45 = 15x

85 = 15x

85 = x15

17 = x 3

3) El motor de una máquina motobomba para extraer agua, funciona con una mezcla de aceite y bencina. En esta mezcla, por cada 2 litros de aceite, hay 15 litros de bencina. Si en un estanque hay 68 litros de mezcla, ¿cuántos litros de bencina hay?

La razón entre los litros de aceite y bencina es 2:15.

2k + 15k = 68

17k = 68

17k = 68

k = 4

Solución:

Por lo tanto, hay 60 litros de bencina en el estanque.

Luego, podemos expresar los litros de aceite como 2k y los litros de bencina como 15k.

Como en el estanque hay 68 litros de mezcla, entonces:

4) En valor absoluto, la diferencia entre dos números naturales es 135. Si éstos están en la razón 8:3, ¿cuál es el número mayor?

Si los números están en la razón 8:3, entonces podemos expresarlos como: 8k y 3k.

Además, si su diferencia es 135, entonces:

8k – 3k = 135

5k = 135 k = 27

Luego, el número mayor es 216.

Si k = 27, los números son 8∙27= 216 y 3∙27=81.

Solución:

Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos desde la página 4 y las actividades de la página 9.(Solucionario en página 11)

2. Porcentajes

Módulo N°2, página 5

Se puede pensar en porcentajes como una razón que se compara con 100.

El símbolo % representa por ciento o por cada 100.

Porcentaje%

Razón Fracción Decimal

10% 10100

110

0,1

20% 20100

15

0,2

25% 25100

14

0,25

75% 75100

34

0,75

La expresión:

“ El 20% de 260 es 52”

se puede escribir como:

y así podemos comprobar su veracidad.

52 = 52

10020 ∙ 260= 52

de es

1 ∙ 260 =525

Por ejemplo:

a ó

100

100 100 ab

Conclusión: Si a% se puede escribir como a ,

entonces a% de b se puede expresar como:

Por ejemplo:

¿Cuál es el 20% de 2.500?

∙b

2.500100 20

∙ =5 1 2.500∙ = 500

• Cálculo de porcentajes

Ejemplo:

a) ¿Cuál es el 25% de 480?

El 25% de 480 es 120.

25 ∙ 480= x100

de es

1 ∙ 480 =x 4

120 = x

25 ∙ x100

= 120

b) ¿De qué número, 120 es el 25%?

de es

= 1201 ∙ x 4

x = 4 ∙ 120x = 480

480, es el número cuyo 25% es 120.

x ∙ 480100

= 120

c) ¿Qué porcentaje de 480 es 120?

de es

x ∙ 480 = 120∙100

x ∙ 480 = 12.000

x = 12.000 480

x = 1.20048

x = 1004

x = 25

El porcentaje es 25.

∙ x = 3 100 5

d) ¿Cuál es el 10%, del 25%, del 75%, del 20% de 16.000?

100 20

25

x = 10 100 100

∙ 75 100

∙ ∙ ∙ 16.000

x = 16.0001

10∙

1

4∙

3

4∙

1

5∙

x =3

∙ 16.000160∙5

∙

x = 3 ∙20

x = 60

Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos desde la página 8 y las actividades de la página 9.(Solucionario en página 11)