Mosaicos formados por una sola tesela y que sea un polígono regular.La clave para formar un mosaico es que la suma de los ángulos de cada vértice sea una circunferencia de 360º.Los divisores de 360º , que forma el círculo son 3, 4, y 6. De esta forma sólo hay tres polígonos regulares que compactan el espacio: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular.

A.   El   cuadrado.

B.   El   triángulo   equilátero.

C.   El   hexágono   regular.

2. Mosaicos formados por dos  tesela y que sean polígonos regulares.Además de las posibilidades anteriores se pueden crear mosaicos formados por más de un polígono regular o también llamados los semirregulares. Hay ocho mosaicos semirregulares:

E.  Triángulo y hexágono.

F. Octógono y cuadrado.

G. Dodecágono y triángulo

H. Hexágono, cuadrado y triángulo.

I. Hexágono, cuadrado y dodecágono

J. Cuadrado y triángulo

K. Hexágono y triángulo

L. Cuadrado y triángulo

3. Polígonos no regulares que rellenan el plano.Los polígonos no regulares que también llenan el espacio plano sería cualquier triángulo con su simétrico que formaría un paralelogramo cubriría el plano. De igual forma ocurre con los rectángulos y los rombos. Los paralelogramos pavimentan el plano por traslación. Es el llamado teselado periódico, cuando es posible encontrar un patrón de repetición a distancias constantes, copiando el paralelogramo, trasladándolo y pegándolo.Existen hexágonos y pentágonos irregulares que si rellenan el espacio, como la conocida teselación del Cairo, con un pentágono muy particular, un pentágono con forma de casa.

4. Mosaicos por deformaciones de los polígonos.Los movimientos a los que están sujetos los mosaicos son: la traslación, el giro y las simetrías.Si partimos de un polígono regular como el cuadrado y eliminamos una parte, añadiéndola en el lado contraria con una traslación, el cuadrado origen sufre una deformación pero sigue formando un mosaico. Las deformaciones pueden ser más complejas pero la propiedad de cubrir el espacio plano se mantiene. Los movimientos a los que puede estar sometido el módulo original pueden ser traslaciones o rotaciones. Los mosaicos nazaríes que se realizaron en la Alhambra de Granada, siguen estos patrones.

La Alhambra de Granada posee mosaicos derivados de la descomposición del cuadrado. El hueso nazarí, es la deformación de un cuadrado base. El avión o pájaro volador es un giro de

90 º del rectángulo original. La pajarita nazarí, es la deformación del triángulo equilátero, y luego sujeto asimetrías y giros.

Alhambra de Granada. Hueso nazarí.

Alhambra de Granada. El avión nazarí

http://3.bp.blogspot.com/-sMc6-5I9u2s/UbxMaNpfElI/AAAAAAAABNY/8KILLbztA4M/s1600/ALHAMBRA+DE+GRANADA+hoja+nazar%C3%AD.jpg

Alhambra de Granada. Mosaicos del avión

Alhambra de Granada. La pajarita nazarita

Mosaico de la punta de flecha. Alambra de Granada

Las aportaciones al mundo de los mosaicos del pintor holandés M. C. Escher son destacables, toma como basé los mosaicos de la Alhambra y deforma la tesela original para transformarla en animales, objetos o personas. Posteriormente les aplica transformaciones como la homotecia, la traslación, el giro y la simetría.En el siglo XX, el matemático Roger Penrose, rellenó el espacio plano con los mosaicos que se expanden de forma no periódica hasta infinito, estos mosaicos llevan su nombre. Los teselados de Penrose se han encontrado en patrones de átomos de los cuasicristales. A estos teselados se les ha llamado aperiódicos porque no permiten encontrar un patrón de repetición a distancias constantes por traslación.

3. ESTRUCTURAS MODULARES ARTIFICIALES. APLICACIONES EN EL ARTE.Ejemplos de estructures modulares artificiales

Los módulos tanto bidimensionales o tridimensionales se han empleado en la arquitectura, el arte, el diseño, la decoración, la tecnología,… con diferentes funciones, pueden tener un propósito constructivo y también un fin decorativo. Algunos ejemplos significativos serían los siguientes.

En el Egipto Antiguo la tumba de Inherka un techo decorado con espirales y el sagrado buey Apis, antecedente de las representaciones micénicas y corintias. El pavimento de mosaicos tiene sus antecedentes en Egipto.

Los órdenes arquitectónicos de Grecia como el dórico, jónico y corintio son buenos ejemplos de módulos.El orden dórico tiene una columna con una altura de 12 a 14 módulos, el módulo era el radio inferior de la columna, y si tomamos el diámetro será la mitad, o de 6 a 7 veces la altura . Un ejemplo que merece citarse es el Partenón. El orden jónico tiene una columna con una altura entre 16 y 17 módulos, de la misma forma el módulo es diámetro de la base. Una obra con este orden es el templo de la Atenea Victoriosa o Atenea Niké, en la Acrópolis de Atenas. El orden corintio tienen una columna más esbelta que los anteriores, el fuste tiene una

proporción de 19 a 20 módulos, un monumento construido con este orden es el templete redondo de Lisicrates en Atenas.El mosaico es una construcción geométrica para recubrir el plano, sin dejar huecos, con una clase de polígonos o de diversas clases. Las manifestaciones de mosaicos más sobresalientes son: el mosaico romano, el bizantino y el musulmán.El mosaico de la época romana, realizado con teselas cúbicas, con pasta de vidrio. El arte musulmán nos dejó en la península ibérica buenos ejemplos de composiciones modulares como los mosaicos nazarítas de la Alhambra de Granada, en concreto la Sala de la Barca, son magníficos ejemplos de mosaicos abstractos con módulos imaginativos, donde se mezcla la geometría, la matemática y la estética. El mundo hispano musulmán utilizó con profusión el mosaico por motivos religiosos como en la mezquita de Córdoba, los Alcázares de Sevilla, o a decoración externa de la Giralda de Sevilla.

Otra ciudad fundamental en arte del mosaico es Ravenna, capital del Imperio Romano de Occidente. De su pasado conserva mosaicos como los del Mausoleo de Galla Placidia, la basílica de San Apolinar en Classe y San Apolinar Nova. Los mosaicos bizantinos se extendieron a Venecia como el pavimento de la Basílica de San Marcos.El arte mudéjar nos dejó creativas decoraciones en las fachadas donde el módulo era el ladrillo visto. Estas ideas estéticas de la decoración mudéjar fueron recogidas por arquitectos como Antoni Gaudí. En la finca Güell de Barcelona, Gaudí utiliza motivos modulares en la decoración

superficial, así como en la casa Batlló en las escamas del dragón de la cobertura y el “trencadís” en el Parc Güell.

El mosaico se trasladó a las vidrieras románicas, góticas o del modernismo utilizando el módulo con en el vidrio de color.

Las pinturas sobre cerámicas, pueden aplicar un motivo geométrico modular que se utiliza como patrón para decorar los recipientes, como la cerámica hispánica de Talavera, Manises,…

Otros arquitectos que han seguido la línea de un módulo como base en las obras son: Rafael Moneo en el museo de arte de Mérida y Santiago Calatrava, en la Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia. En arquitectura el módulos sirve como estructura y decoración del edificio, por ejemplo rascacielos como: el Southeast Financial Center de Miami, Florida. 1983. Rascacielos, en Korea como el World Trade Center de Seúl, 1988.El Banco de China en Hong Kong, 1989. En Barcelona el módulo se aplicó en urbanismo como L’ Eixample, o el Ensanche de la ciudad proyectado por del arquitecto Ildefons Cerdà, consta de manzanas en retícula.

Entre la arquitectura y la ingeniería son conocidas las modulaciones de: la cubierta del British Museum en Londres. El cristal ha sido para muchos rascacielos un módulo externo visible. La placa rectangular del cristal se ha utilizado en la escuela de Chicago. Las cúpulas geodésicas de Richard Bukminster Fuller, arquitecto norteamericano célebre por su cúpula de Montreal 1967.

En el hogar cotidiano los módulos están presentes en: las esponjas para limpiar en las cocinas, las placas solares, para extraer energía, el juego del Lego, el tablero de ajedrez y damas, los cristales de invernaderos, las persianas, las rejas y los cerramientos exteriores. La industria textil, aplica el rapport a las alfombras que son como vidrieras en tela. Rapoort es una palabra del inglés, que se refiere a un paralelogramo fundamental del diseño de la industria textil, como el diseño de moda, telas, visillos y alfombras. El rapport es un dibujo que repetido encaja con otros dentro de un paralelogramo.

La era digital también nos ha dejado un mosaico el píxel. Mosaico de píxeles en la fotografía digital.La tecnología también aplica el módulo en la mejora óptima de la óptica como en las facetas de un telescopio o un horno solar con diferentes espejos.

El diseño gráfico, es otra de las artes visuales que utiliza como la decoración en papelería y los papeles pintados, de módulos. Dentro de las artesanías como la del mimbre, el punto, el bordado, las alfombras,… se han dado abundantes y excepcionales composiciones realizadas con módulos.

La decoración es otro campo de estudio como las rejillas para realizar módulos en mobiliarios; y decoraciones de ventanas, balcones, cenefas,…

El mobiliario es una variante de la artesanía que con los muebles modulares, se relaciona directamente con el módulo. El tatami es un sistema modular del Japón, basado en las dimensiones humanas: 90 X 180 cm..

Módulo de un doble cuadrado, que se utilitza en el habitat. Las esteras de tatami, determinan el módulo para determinar las proporciones y el espacio funcional de les habitaciones de la casa japonesa.

RESUMENMódulos y redes.Relación entre la estructura y la proporciónen la creación de formas bidimensionales y tridimensionales.

.1. MÓDULOS Y REDES. CONCEPTO.En artes visuales, se entiende que es una dimensión que se toma como unidad de medida, norma, modelo o patrón La acepción más conocida es como parte de un todo que se utiliza como unidad en una construcción, para establecer las dimensiones y proporciones de un conjunto. Otra acepción en artes visuales es que el módulo es la forma elemental que se repite múltiples veces y llega a llenar el espacio bidimensional o tridimensional.

1.2. CONCEPTO DE ESTRUCTURA.Un módulo es la unidad más pequeña que organiza una estructura. El módulo es el elemento que estructura la forma.

1.3. EL CANON.El “canon” es regla, medida y modelo es equiparable al módulo en arquitectura, y regula todas las partes de la obra. El canon de los antiguos egipcios, el módulo era tomado de la anchura de la mano, el brazo, el puño cerrado, y el codo. El cuerpo humano se representaba con un módulo de 18 a 21 puños dependiendo de la época. El canon de los escultores griegos del siglo V a. C., fue el influyente canon de Policleto que se tomaba la cabeza humana y estaba contenida unas siete veces y media dentro del cuerpo. Posteriormente este módulo se amplio a ocho cabezas con Lisipo en la estatua Apoxiomeno; y ocho y media con el artista Leócares en su obra el Apolo del Belvedere.

1. Canon de perfil de los antiguos egipcios.2. El canon de los escultores griegos del siglo V a. C.

1.4. CONCEPTO DE RED.La red es un conjunto estructurado de módulos y conectados entre sí, con un patrón característico.La red permite superponer, organizar, circular, o componer elementos o formas. Es la manera más sencilla de dividir el espacio con una regularidad, por ejemplo con estructuras de polígonos, como un papel milimetrado o isométrico.

1. Redes planas.Dentro del campo del dibujo es un buen ejemplo de red, el papel milimetrado y el papel isométrico que proporcionan una base gráfica para componer dibujos.

2. Redes espaciales.

La proyección tridimensional de las redes planas se transforman en redes tridimensionales.1.5. LA MALLA.En una tipología en malla cada nodo tiene una conexión con todos los nodos de la red, además la malla es una red que no deja espacios huecos en su estructura.

1. Redes y mallas.Las redes y mallas pueden ser simples, cuando su estructura consta de un solo polígono y compuestas, cuando están formadas por dos o más polígonos

1.6. MÓDULOS, MOSAICOS Y REDES EN LA NATURALEZA.En la naturaleza podemos encontrar estructuras modulares naturales Hay múltiples ejemplos en el mundo orgánico e inorgánico. La naturaleza que es la mejor constructora utiliza con frecuencia módulos y estructuras modulares. El ejemplo más paradigmático son las celdas hexagonales de los panales de las abejas. Existen módulos en el mundo orgánico como los granos de maíz en la mazorca de maíz; y módulos inorgánicos como las redes de los minerales.

Estructuras modulares naturalesMundo orgánico e inorgánico1. Módulos en el mundo orgánico2. Módulos en el mundo inorgánico.

1.7. ESTRATEGIAS DE COMPOSICIÓN MODULAR.Cuando se realiza una composición modular es posible crear mayor interés visual con algunas estrategias como:

1. La tensión.La tensión se puede agudizar si el módulo es irregular o curvado.

2. Los submódulos y súper módulos.La combinación de diversos módulos básicos o submódulos forman una figura más compleja llamada súper módulo.

3. Diferente forma, color, textura.El color, forma y texturas diversa pueden dar un interés visual a la composición.

4. Combinaciones.Los módulos se pueden combinar para añadir interés y crear ritmo en la composición.

5. Distorsiones.El módulo se puede distorsionar mediante las transformaciones geométricas.

6. Ambigüedad figura – fondo.Trabajar la ambigüedad de la figura y fondo da resultados interesantes para jugar con la percepción.

7. Mezcla de redes.La combinación de redes de diferentes tipos proporcionan resultados poco comunes que atraen la atención al espectador.

1.8. APLICACIONES DE LA TEORÍA MODULAR EN LAS ARTES VISUALES.

Los movimiento artístico como el Op Art, utiliza submódulos para dar impresión de tridimensionalidad sobre la superficie plana. Otros artistas que utilizan módulos son: Víctor Vasarely, Maurits Cornelis Escher y Piet Mondrian

2. RELACIONES ENTRE LA ESTRUCTURA Y LA PROPORCIÓN EN LA CREACIÓN DE FORMAS BIDIMENSIONALES Y TRIDIMENSIONALES.La proporción es la relación que hay entre las parte y el todo. Al establecer correspondencias y comparaciones con los módulos la percepción casi de forma intuitiva nos informa de su armonía..

2.1. La razón.La razón es la comparación de dos cantidades.La razón entre dos segmentos es el vínculo que existe entre ellos, como se relacionan por ejemplo 2/1 = 2.

2.2. La proporción.La proporción es una relación entre razones, es una combinación o correlación entre dos o más razones, por ejemplo expresado de modo matemático:2/1 = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 . Dicho de otro modo es una conservación de la razón.

A. La igualdad.B. Semejanza, homotecia y escala.C. La proporción áurea.

Número áureo, o número de oro, es la razón de proporción Ф = 0,618,… ∞ El número de oro que se ha utilizado en las composiciones de las obras artísticas.El rectángulo áureo y el número de oro Φ . Una de las formas más utilizadas para encontrar la proporción áurea y el número de oro es construirla a partir del rectángulo áureo.

2.3. Rectángulos irracionales.El módulo elemental es el cuadrado donde la razón entre sus lados es 1/1 = 1.La diagonal del cuadrado vale √ 2, si abatimos la diagonal sobre la base del cuadrado y lo ampliamos se obtiene un rectángulo denominado √ 2 = 1,4142135,... ∞, a partir de este se obtienen una serie de rectángulos irracionales como √ 3, √ 4. √ 5,… Un rectángulo irracional es aquel que tiene como razón un número irracional.

2.4. Proporción cordobesa, el rectángulo 4/3.La proporción cordobesa es propia de un rectángulo donde la razón de sus lados es 1,3. Rectángulo 4/3, relación entre el radio y lado de un octágono.

2.5. Le Modulor de Le Corbusier.Le Corbusier creó Le Modular, de 1949, fue creado para ser un sistema de medidas, para la normalización e industrialización. Se construyócon base a la medida humana, tomando como base la progresión de Fibonacci y de la sección áurea. Se parte de un ser humano-modulo de 1,83 metros (6 pies) donde esta presente la sección áurea 1,83 = 0,70 + 1,13, de donde se deducen otras proporciones

2.6. LAS SIMETRÍAS.La simetría suele tener dos acepciones, una es la de proporción y equilibrio; otra la relación entre las parte que integran un todo. Una módulo contenido en un plano puede cambiar de

posición por diferentes movimientos, dando lugar a simetrías que serían las siguientes: traslación, reflexión, giro, desplazamiento e identidad.

1. Traslación.2. Reflexión.3. Giro.4. Desplazamiento.5. Identidad.

2.7. INTERACCIONES FORMALES.Los módulos al estar unidos tienen una influencia recíproca. Estas interacciones pueden ser:

1. Distanciamiento.2. Toque. Contacto.3. Superposición.4. Penetración.5. Unión.6. Sustracción.7. Intersección.8. Coincidencia.

2.8. ESTRUCTURAS MODULARES BIDIMENSIONALES.1. Coordinación modular bidimensional.

Ejemplos de Estructures modulares artificialesLos módulos tanto bidimensionales o tridimensionales se han empleado en la tecnología con diferentes funciones, pueden tener un propósito constructivo y también un fin decorativo. Algunos ejemplos significativos serían los siguientes, el Partenón, los mosaicos romanos, el mosaico bizantino, la Alhambra de Granada, el arte mudéjar, y la arquitectura modernista de Antonio Gaudí.

Módulos simples planos.El modulo plano es la figura elemental geométrica y orgánica que se repite y da una forma compuesta más grande. Los únicos polígonos regulares que son divisores de 360º, son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono, todos ellos pavimentan el plano.

A. El cuadrado: B. El triángulo equilátero:C. El hexágono:D. El rombo:

E. La circunferencia:F. El supermódulo.

La combinación de diversos módulos básicos forma una figura compleja llamada súper módulo.

2. Coordinación modular bidimensionalMódulos compuestos planos.

Además de los módulos poligonales de una sola especie, es posible la combinación de módulos de dos o más polígonos para crear una estructura, como los mosaicos semirregulares.

2.9. ESTRUCTURAS MODULARES TRIDIMENSIONALES.Coordinación modular tridimensional

A. La forma.B. La imagen.C. La figura.D. Estructuras.1. Módulos simples tridimensionales.

La propiedad de rellenar el espacio plano es más sencilla, en cambio es más difícil para hacer lo mismo con el espacio tridimensional; sólo el cubo, es el poliedro de caras iguales que cumple con tal propiedad.

A. El cuboLa versión tridimensional del cuadrado es el cubo, o hexaedro. Rellena el espacio sin dejar huecos.

B. El prisma.El rectángulo produce prismas paralelepípedos, que al formar ángulos de 90º que también pavimentan el espacio.

C. Cuboctaedro.D. Octaedro truncado, tetracaidecaedro, o poliedro de Lord Kelvin.E. Rombododecaedro, o dodecaedro rómbico.

2. Módulos compuestos tridimensionales.Otros módulos tridimensionales que compactan el espacio pero combinados de dos en dos son:El cuboctaedro más el octaedro, su superposición llena el espacio, es la superposición del cubo truncado más el octaedro

A. Cuboctaedro y octaedroB. Cubo truncado u octaedro.

2.10. EL MOSAICO.El mosaico es el recubrimiento compacto del plano mediante piezas llamadas teselas o baldosas. La composición puede expandirse hasta el infinito.

1. Mosaicos formados por una sola tesela y que sea un polígono regular.La clave para formar un mosaico es que la suma de los ángulos de cada vértice sea una circunferencia de 360º.Los divisores de 360º , que forma el círculo son 3, 4, y 6. De esta forma sólo hay tres polígonos regulares que compactan el espacio plano: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono.

A. El cuadrado. B. El triángulo equilátero.C. El hexágono regular.

2. Mosaicos formados por dos teselas y que sean polígonos regulares.Son mosaicos formados por más de un polígono regular o semirregulares.Hay ocho mosaicos semirregulares: 1.- Triángulo y hexágono. 2.- Octógono y cuadrado. 3.- Dodecágono y triángulo. 4.- Hexágono, cuadrado y triángulo. 5.- Hexágono, cuadrado y dodecágono. 6.- Cuadrado y triángulo 7.- Hexágono y triángulo. 8.- Cuadrado y triángulo.Se pueden formar mosaicos con polígonos no regulares que rellenan el plano; y mosaicos deformando polígonos.

E. Triángulo y hexágono.F. Octógono y cuadrado.G. Dodecágono y triánguloH. Hexágono, cuadrado y triángulo.I. Hexágono, cuadrado y dodecágonoJ. Cuadrado y triánguloK. Hexágono y triánguloL. Cuadrado y triángulo

3. Polígonos no regulares que rellenan el plano.4. Mosaicos por deformaciones de los polígonos.

3. ESTRUCTURAS MODULARES ARTIFICIALES. APLICACIONES EN EL ARTE.Ejemplos de estructures modulares artificiales

BIBLIOGRAFÍA.

ARNHEIM, RUDOLF. 1984. Arte y percepción visual. Alianza Editorial. Colección Alianza Forma. Madrid.

DONDIS. D.A. La sintaxis de la imagen. Editorial Gustavo Gili.

FUNDACIÓN CAIXA DE PENSIÓNS.1988. Fascinat Simetría. Museo de la Ciència de Barcelona.. Fundació Caixa de Pensions.

LE CORBUSIER. 1979. El modulor. Editorial Poseidón. Barcelona.

MUNARI, BRUNO. 1980. El arte como oficio. Nueva Colección Labor. Barcelona.

MUNARI, BRUNO. 1973. Diseño y comunicación visual, contribución a una metodología didáctica. Editorial Gustavo Gili.

SCOTT, ROBERT GILLAM. 1974. Fundamentos del diseño. Editorial Víctor Lerú.

WOLF, K.L. 1977. Forma y simetría. Eudeba.

WONG, WUCIUS. 1979. Fundamentos del diseño bi y tridimensional. Editorial Gustavo Gili.

BIBLIOGRAFÍA COMENTADA.

ARNHEIM, RUDOLF. 1984. Arte y percepción visual. Alianza Editorial. Colección Alianza Forma. Madrid.Un manual clásico sobre percepción muy recomendable.

DONDIS. D.A. La sintaxis de la imagen. Editorial Gustavo Gili.Libro clásico sobre sintaxis de la imagen que explica todos los principios de la organización y composición en artes visuales.

WONG, WUCIUS. 1979. Fundamentos del diseño bi y tridimensional. Editorial Gustavo Gili.Buen manual que trata de los principio del diseño con formas planas y abstractas, incorporando el vocabulario propio de la materia.

Trabajando con MosaicosBy Inmaculada Ordóñez Ríos, diciembre 22nd, 2013

Uno de los bloques temáticos más bonitos y apasionantes que tienen las Matemáticas es la Geometría. Y existen muchas actividades preciosas con las cuales abordarla sin cargar a los alumnos con tediosos contenidos teóricos y problemas típicos. Al final los alumnos acaban aprendiendo, casi sin darse cuenta, y además se divierten, trabajan en equipo de forma colaborativa y autónoma, investigan, utilizan el método de ensayo-error, en síntesis, aprenden a aprender.

Siguiendo con el tema de recubrimientos en el plano, gran tema del que se pueden sacar infinidad de maravillosas y motivadoras actividades para trabajar con los alumnos en las clases, en el IES Cristóbal de Monroy hemos trabajado durante este trimestre con los mosaicos uniformes y no uniformes.

A través de esta actividad, completamente manipulativa, los alumnos trabajan el concepto de polígono, tipos de ángulos…, pero lo más interesante es la libertad que se les da para realizar sus propias creaciones y lo más increíble de todo es el resultado obtenido. Si alguien se quiere sorprender con las creaciones de los alumnos sólo tiene que darle unas mínimas nociones, el material y dejar rienda suelta a su imaginación.

Es alucinante comprobar cómo después de una breve exposición del trabajo que tienen que realizar se ponen manos a la obra y cómo, poco a poco, van construyendo, entre

todos, los ocho tipos de mosaicos uniformes y no uniformes sin necesidad de explicarles nada más.

La actividad se plantea de la siguiente manera:

1. Haciendo que ellos calculen el ángulo interno de cualquier polígono regular por el método de triangulación (sólo necesitan saber que los tres ángulos de un triángulo suman 180º).

Por ejemplo, el cuadrado puede dividirse en dos triángulos tranzando una diagonal (dos triángulos menos que el número de lados  que, en este caso, son cuatro). Si sumamos los ángulos de los dos triángulos, sería 2 . 180º = 360º. Como el cuadrado tiene 4 ángulos iguales, 360º/4 = 90º, es decir, cada ángulo de un cuadrado mide 90º. Esto se puede continuar triangulando otros polígonos (pentágono, hexágono), realizando previamente la triangulación, trazando diagonales siempre desde un mismo vértice:

Al final llegan a obtener la fórmula general para calcular el ángulo interior de cualquier polígono: (n – 2) . 180/n, siendo n el número de lados del polígono. Por ejemplo, si queremos hallar el ángulo interior del dodecaedro (12 lados):

(12 – 2) . 180º/12= 150º

2. Una vez hallados, se recuerdan los tipos de ángulos (agudo, recto, obtuso, llano y completo) y se les explica que, para poder construir un mosaico, los polígonos deben recubrir el plano, es decir, que la suma de los ángulos de polígonos que concurren en un mismo vértice debe ser el ángulo completo (360º).3. Se define mosaico regular como aquellos en los que en todos los vértices concurren polígonos regulares (no teniendo que ser el mismo) y en el mismo orden.4. Previamente los alumnos han traído, impresas en cartulinas, las plantillas de los polígonos con los que se pueden construir mosaicos.Se les indica que sólo hay 8 tipos de mosaicos uniformes y… ¡a investigar!

5. También, sin querer,  acaban construyendo mosaicos no uniformes, en los que en todos los vértices no concurren la misma secuencia de polígonos. Una vez construidos se les explica por qué esos mosaicos no son uniformes y la diferencia que hay entre un mosaico uniforme y otro que no lo es.

Lo que no se les ocurre a unos se les ocurre a otros pero no dejan nada atrás. Es un trabajo que haciéndolo una sola persona emplearía mucho más tiempo y energía que si se trabaja en grupo, donde todos y cada uno de los alumnos que componen ese grupo acaba asimilando la totalidad de los objetivos marcados al plantear dicha actividad.

Sin querer, van obteniendo también variantes de los mosaicos uniformes (con la secuencia cambiada) y no uniformes (con distinta secuencia en vértices contiguos)

También juegan con los colores para obtener preciosas composiciones.

Finalmente se les invitó a que siguieran construyendo mosaicos no regulares, haciendo buen uso de su creatividad.

Esta entrada participa en la Edición 4.12b3105625 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES

By Inmaculada Ordóñez Ríos, diciembre 22nd, 2013 | Tags: Competencias Básicas, Matemáticas Manipulativas | Category: La I de... | 4 comments

Logos y mosaicos con polígonos regularesBy Sonia Ramos Casado, octubre 27th, 2013

En nuestro alrededor podemos fácilmente descubrir figuras planas como triángulos, cuadrados, pentágonos,.. aunque en ocasiones no seamos conscientes de su presencia, y eso que pisamos suelos formados, generalmente, por losetas cuadradas o rectangulares.

Suelos cuadrados que forman mosaicos (regulares) y es que rellenan el suelo completamente utilizando únicamente losetas cuadradas y por eso se llaman mosaicos regulares.

Para motivar-justificar esta propuesta, les enseñamos logotipos publicitarios basados en el recubrimiento del plano mediante triángulos equiláteros (rombos), cuadrados y en un suelo del Paseo marítimo de la Playa del Arenal en Jávea formado por hexágonos.

 

La propuesta con nuestros alumnos y alumnas de la optativa Matemáticas Manipulativas de 2º ESO era por una parte que comprobaran que el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono eran los únicos que pueden formar mosaicos uniformes.

Y por otra parte que crearan logotipos y mosaicos utilizando tres tipos de losetas: rombos (formados por dos triángulos equiláteros), cuadrados y hexágonos. Con rombos prepararon estos tres tipos de losetas:

con cuadrados:

de la misma forma con los hexágonos. Ahora que la creatividad tome su espacio para crear logos tan chulos como éstos:

y mosaicos tan atractivos como:

 

Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.

By Sonia Ramos Casado, octubre 27th, 2013 | Tags: Competencias Básicas, Matemáticas Manipulativas | Category: La I de... |3 comments

Números en nuestro entornoBy María José Fernández Alonso, octubre 27th, 2013

Para iniciar este curso nuestra optativa de Matemáticas Manipulativas nada mejor que empezar por un tema muy cercano al alumno y fácil de trabajar como son los números.

A esta edad, tal vez todavía no ha surgido el pánico masivo a los números, pero trabajar las matemáticas y, en este caso los números, desde otro ámbito puede ser una alternativa muy práctica para evitarlo. Además, puede hacer que nos salgamos de la rutina de utilizar los números naturales simplemente para operar. y sobretodo ayudar a estimular su interés y a que tomen conciencia de la importancia de los números en nuestra vida diaria.

Tras un pequeño debate sobre sus utilidades más inmediatas se les planteó una actividad que se presta al humor. Se les pidió a los alumnos que imaginasen cómo serían sus vidas sin números, planteando situaciones cotidianas.

• ¿Cuántos años tienes?. • ¿Qué hora es?. • ¿Cuándo es tu cumpleaños?. • ¿En qué piso vives?. • ¿Cuánto te ha costado ese juego?. 

• Eres muy alto, ¿Cuánto mides?. • ¿Por qué un equipo pierde, empata o gana un partido?.

Se les pidió responder a preguntas de este tipo sin usar números. Es sorprendente la imaginación de algunos alumnos.

Para preparar la segunda clase tenían que traer:

1) Una hoja donde habían apuntado todos los números que habían visto a lo largo de un día, dónde y con qué utilidad.2) Fotos de números que se encontrasen por la calle (de cosas diferentes) para realizar un trabajo digital con las fotos, o bien sacarlas por la impresora y en clase hacer una composición sobre una cartulina, indicando la utilidad de esos números. Para aquellos sin cámara podía valer el que recortasen números de periódicos, revistas, o imágenes bajadas de internet. y en clase hacer una composición sobre una cartulina. He aquí algunos de los trabajos:

En las siguientes sesiones se trabajaron algunas curiosidades numéricas, muchas de ellas tomadas de http://www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/capitulo05.html  Pulsar en el siguiente enlace para acceder a  los materiales trabajados por los alumnos.

Se les hizo juegos de magia con números, explicándoles a los alumnos de tercero de la ESO algunos de los trucos más sencillos.

Construyeron pirámides numéricas, en algunos casos se les hizo reflexionar sobre las propiedades numérica que se ocultaban tras ellas. Pulsar en el siguiente enlace.

En la última sesión se les propuso un paseo por la historia. Primero se les planteó cuál fue el sistema de numeración más antiguo para contar. Este fue dibujar palitos, un hecho tan sencillo y común hoy en día al cual podríamos denominar el sistema más simple que se ha conocido. Se les enseñó otros sistemas de numeración como: jeroglíficos egipcio, griego, chino, babilónico, maya, romano, y por último el sistema binario, Y se les pidió escribir su edad y su año de nacimiento en algunos de ellos. El que tuvo más éxito y con diferencia fue el chino. Pulsa en el siguiente enlace.

Se les hizo ver cómo estos símbolos han ido evolucionando hasta los actuales que se han generalizado de tal forma que los entendemos en cualquier idioma.

Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.

By María José Fernández Alonso, octubre 27th, 2013 | Tags: Competencias Básicas, Matemáticas Manipulativas | Category: La I de... | 3 comments

Resumen de la Edición 4.1231 #CarnaMatMayoBy Joaquín García Mollá, mayo 27th, 2013

Ha sido un lujo llevar esta edición del Carnaval y he seguido aprendido de todxs vosotrxs.

A continuación el resumen definitivo del Carnaval de Matemáticas Edición 4.123. Si no aparece en el resumen alguna entrada, os ruego que me mandéis un correo jgarciamolla@gmail.com o me dejéis un comentario en esta entrada.

Ahora toca votar las 3 entradas que mas os hayan gustado asignándoles 4 puntos, 2 puntos y 1 punto. Tenemos hasta el 8 de Junio para votar. Los autores de los tres primeros premios se llevarán el fantástico libro de Clara Grima “Hasta el infinito, y más allá“, con dedicatoria incluida.

Nos vemos en la próxima edición del Carnaval cuyo anfitrión será el blog Geometría Dinámica. ¡¡¡Muchísimas gracias por la participación!!!

Lunes 20 de Mayo de 2013:

Películas de Jabón y Superficies mínimas, Autor: Juan Bragado en su página web.

 

Fútbol, Voronoi y un poco de Geogebra.  Primera aportación de Francisco Manuel Alexánder Bueno Pérez(@Phoenix_Alx) en su blog TurboPatateroReactorConectado.

Primera aportación de ZTFNews: Dos más dos son cinco. Autora: Marta Macho Stadler (@MartaMacho) en el blog  :: ZTFNews.org

Bienvenido al caos. Autor @Cuent_Cuanticos en su blog  Cuentos cuánticos

Olimpiadas matemáticas para todos los públicos. Autora: Inmaculada Ordóñez Ríos en su blog Matemáticas interactivas y manipulativas.

Retículos en el conjunto de divisores (1) Primera aportación de Números y hoja de cálculo. Autor: Antonio Roldán (@Connumero)..

Brevemáticas V: 1089 , autor: José Antonio Prado-Bassas (@eliatron) en su blog Tito Eliatron Dixit.

Tessellations of surfaces with 3D Polyfelt, autor: José Luis Rodríguez Blancas (@magomoebius) en su blog  Polifieltros 3D.

Hasta el infinito y más allá, los Naturales. Primera aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://fotomat.es/

Los Naturales. Segunda aportación de @notemates autor de Yair.es en su web: http://esquemat.es/

 

Martes 21 de Mayo de 2013

Segunda aportación de ZTFNews: Dos (tumbado) más dos (tumbado) son cinco, autora Marta Macho Stadler (@MartaMachoS) en su blog :: ZTFNews.org.

¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra? Primera aportación de Gaussianos. Autor: Miguel Ángel Morales Medina (@gaussianos)

El artículo matemático más corto de la historia. Primera aportación en Francis (th)E mule Science’s News. de Francis Villatoro (@emulenews)

La constante e en el triángulo de Pascal, autor: Claudio Meller en su blog Números y algo más …0542986731.

Para jugar a los Lego en nanomateriales, autor @Ununcuadio en su blog Pero esa es otra historia y debe ser contada en otra ocasión.

Superficies de Scherk (2ª parte) autor: José Luis Rodríguez Blancas (@magomoebius) en su blog Juegos topológicos.

Cartas (mate)mágicas, autor: David Usero Mainer en su blog MTH TICS Un blog más de mates y TICs.

Turtle Art, autor: Daniel Mocencahua (@dmocenca) en su blog Pi-Bichos.

Números Enteros, tercera aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://esquemat.es/

 Principio de inducción, cuarta aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://www.fotomat.es/

 

Morley trigonométrico . Primera aportación de @fede en su blog Guirnalda matemática.

Curvas de Bézier, autor Ever Salazar (@eversalazar) en su blog Un punto circular.

Miércoles 22 de Mayo de 2013

Tercera aportación de ZTFNews: Cine de Möbius  Autora: Marta Macho Stadler (@MartaMacho) en el blog  :: ZTFNews.org.

 

Cuarta aportación de ZTFNews: En una clase de “mates”, un día cualquiera…  Autora: Marta Macho Stadler (@MartaMacho) en el blog  :: ZTFNews.org.

¿Cuántas sucesiones CuCu existen? Segunda aportación de Gaussianos. Autor: Miguel Ángel Morales Medina (@gaussianos)

Dots, flow, tetris y todas esas mates. Primera aportación Tocamates. Autor: José Angel Murcia (@tocamates)

El congreso de 1900 en París, autor: @pimediosEs en su blog Pi Medios. La aventura de las matemáticas.

 

Experiencias con Polifieltros 3D, autor David Crespo en su blog Blog sobre Matemáticas y otros intereses.

 

1/2 = 0’5 decimales y fraccionales,  quinta aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://www.fotomat.es/

Póster Q,  Sexta aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://esquemat.es/

Semper Amicis Hora: didáctico reloj de sol en Hita, autor @SacitAmetam en su blog Revista Digital de Matemáticas. Sacit Ámetam.

Pi invade el cole, autora: Noemí de la Fuente del C.E.I. P. San José de Calasanz de La Bañeza en el blog deMatemáticas interactivas y manipulativas.

Jueves 23 de Mayo de 2013

Quinta aportación de ZTFNews: Los pájaros nunca beberán alcohol,  Autora: Marta Macho Stadler (@MartaMacho) en el blog  :: ZTFNews.org.

 

 

Una figura geométrica que nunca te enseñaron: El pseudo-triángulo, autor David Orden (@ordend) en Cifras y Teclas (@cifrasyteclas).

Números Reales,  Séptima aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://esquemat.es/

Velocidad,  Octava aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://www.fotomat.es

 Cartas módulo 9, autora Mira García (@miraalcel) en Las MATES nos han rodeado !

 

Los días de la semana, aportación de Fernando Blasco (@fblascoc) en su blog Grado 361.

 

 

Viernes 24 de Mayo de 2013

 Sexta aportación de ZTFNews: La gente de ciencias, vista por la gente de ciencias Autora: Marta Macho Stadler (@MartaMacho) en el blog  :: ZTFNews.org.

Picos y patas. Segunda aportación Tocamates. Autor: José Angel Murcia (@tocamates)

 Números Complejos,  Novena aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://esquemat.es/

 

 Dodecaedro de polen,  Décima aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://www.fotomat.es/

 Otra demostración incorrecta de la hipótesis de Riemann. Segunda aportación en Francis (th)E mule Science’s News de Francis Villatoro (@emulenews)

Hiperboloides de refrigeración, autor: Antonio Díaz Pérez en el blog de Matemáticas interactivas y manipulativas.

 Una final con Matemagia y genialidad, autor: Juan Martínez-Tébar Giménez (@juanmtg1) en su blog Los Matemáticos no son gente seria.

 

Sábado 25 de Mayo de 2013

Como hallar la cantidad de divisores de un número sin hacer el arcoiris de factores, autor: Javier Omar en su blog La covacha matemática.

 

Hablemos de matemáticas, autora: Clara Jiménez Gestal (@cjgestal) en su blog Celebrando que es gerundio.

 

Respuestas de alumnos ‘matemáticos’, autor: Rafael Martínez González (@Rafalillo86) en su blog El mundo de Rafalillo.

 

Entrevista a Christiane Rousseau, presidenta del MPE2013. Autor: πkasle es una revista digital de matemáticas creada por un grupo de estudiantes de la UPV/EHU.

Séptima aportación de ZTFNews: ¿En qué año falleció Franz Schubert? (no vale mirarlo). Autora: Marta Macho Stadler (@MartaMacho) en el blog  :: ZTFNews.org.

Retículos en el conjunto de divisores (2) Segunda aportación de Números y hoja de cálculo. Autor: Antonio Roldán (@Connumero).

 Euclides III.35 . Segunda aportación de @fede en su blog Guirnalda matemática.

 

TALLER: LA CUARTA DIMENSIÓN, autores Asociación para el Desarrollo de las Altas Capacidades y el Talento en su blog HIGH ABILITY DIMENSION.

 Los increíbles, una de las pruebas finalistas, primera participación de Carlos Angosto (@carlosangosto) en su blog Zurditorium.

 

Haciendo teselaciones, undécima aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://www.fotomat.es/

Patrones para teselaciones, Duodécima aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://esquemat.es/

 

 

Domingo 26 de Mayo de 2013

¿Conoces a éste matemático?, autora Araceli Giménez en su blog El mundo de las Ideas.

 ¡¡Quiero estudiar matemáticas!!, autores: Miriam Gandul y Carlos Díaz en el blog de Matemáticas interactivas y manipulativas.

Algoritmo radial II  Segunda aportación de Francisco Manuel Alexánder Bueno Pérez (@Phoenix_Alx) en su blog TurboPatateroReactorConectado.

 Octava aportación de ZTFNews: Formas minimalistas (y muy geométricas) de cine. Autora: Marta Macho Stadler (@MartaMacho) en el blog  :: ZTFNews.org.

Francis en ¡Eureka!: Demostrada la conjetura débil de Goldbach. Tercera aportación en Francis (th)E mule Science’s News de Francis Villatoro (@emulenews).

¿Cómo calcular qué día de la semana era tal fecha?, segunda participación de Carlos Angosto (@carlosangosto) en su blog Zurditorium.

Tipometría, Decimotercera aportación de @notemates autor deYair.es en su web http://www.fotomat.es/

Laberinto de triángulos, Decimocuarta aportación de @notemates autor de Yair.es en su web http://esquemat.es/

 

Construyendo poliedros en 2º ESO. Autora: María José Fernández Alonso en Matemáticas interactivas y manipulativas.

Referencia

http://i-matematicas.com/blog/