Op Econ Mica Parte3

Profesor: Dr. Miguel Arias Albornoz

CAP 1. Introducción

CAP 2. Operación en régimen dinámico

CAP 4. Principios de Supervisión y Control

CURSO: Operación y Control de SEE

Programa del curso

CAP 3. Operación Económica de SEP

Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz

Problema general de despacho económico:

Donde PL: Pérdidas en la transmisión del tipo RI2.

PL = f ( Pgi ; Abs(Vi) ; cos i ; etc. )

Obtención de la Matriz de Pérdidas

maxmin

22

1

··········

:.

min

iii

DLi

i

m

i

iT

PgPgPg

PPPgPgPg

as

PgCC


Casos Particulares Caso A: Corrientes en fase:

Donde:

Luego:

y

Matriz de Pérdidas

22222112

2111

22

222

2

221

2121

221

122

1

21

2

22

22

22121

2122

11

21

21

2

coscoscos2

cos

cos33

coscos36

cos333

PBPPBPBP

PV

RPP

VV

RP

V

RRP

V

PR

VV

PPR

V

PRRP

L

L

L

2

22212212

211

2122

212

211

2212

211

363

233

33

IRIIRIRIRP

IIIIRIRP

IIRIRP

L

L

L

11

11

cos3

V

PI

22

22

cos3

V

PI


Caso B: Corrientes con desfase:

como:

Pérdidas en (p.u.)

Sólo interesa el módulo

y Entonces:

212122

21

2

cos

21212122

222

212

122

1

2

22211

22211

cos2

coscos2coscos

coscos

21

IIIII

sensenIIsenIsenII

senIsenIIII

o

o

02222

21

2

212211

IIIIII

IIRIRP

o

L

111 VVo

222 VVo

111

11

cos

V

PI

222

22

cos

V

PI

221121 IIIIIooo

Matriz de Pérdidas

Casos Particulares


Reemplazando:

Sustituyendo en la expresión de pérdidas:

22222112

2111

22

2222

2

221

222121

212

1122

1

2121

2

coscoscos

cos2

cos

PBPPBPBP

PV

RPP

VV

R

V

PRRP

L

L

22221212

2121

21212222

212

211

cos2

cos2

IRIIRIRR

IIRIRIRIRPL

Matriz de Pérdidas

Casos Particulares


Fórmula de George:

RG: Nº de generadores en el sistema.

Fórmula de Kross:

O bien:

O bien:

G GGR

i

R

i

ii

R

j

jijiL BPBPBPP

1

00

1

0

1

G GR

i

R

j

jijiL PBPP

1 1

GT

GL PBPP

000 BBPPBPP TGG

TGL

Formulas de pérdidas

Matriz de Pérdidas


En un sistema de “r” ramas (corrientes conocidas):

Es necesario expresar estas fórmulas usando las variables de barras:

La caída de tensión en la rama “i” es:

Deducción de la Formula de George

n

I

i

o

i

n

i

o

iLL

o

L IVSjQPS

!

*

1

r

i

iiLL

o

L IVjQPS

1

*

i

o

ii IZV

r

i

i

o

iLL

o

L IZjQPS

1

2

r

i

iiL IXQ

1

2

r

i

iL IRP

1

21

Matriz de Pérdidas


Tomando como referencia la barra 1:

Luego:

1VVR

n

i

inR IIIIII

2

321 ·······

Ri

n

i

i

o

L

n

i

ii

n

i

iR

n

i

ii

o

L

VVIS

IVIV

IVIVS

2

*

2

*

2

*

2

**11

Matriz de Pérdidas



Empleando ZB:

La expresión para SL:

O bien:

(forma lineal)

(forma cuadrática)

nnnnn

n

Rn

R

R

I

I

I

ZZZ

ZZZ

VV

VV

VV

3

2

32

22322

3

2

VIVVIS tR

to

L **

IZIS to

L *

nnnnn

n

n

n

o

L

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

IIIS

3

2

32

33332

22322

**3

*2

Matriz de Pérdidas



Las pérdidas de potencia activa son:

• La expresión depende del punto de operación del sistema (caso base), para

el cual se determinan los coeficientes Bij.

• Reduciendo el sistema (ecuación de corrientes) a las barras de generación,

se obtienen los elementos Bij.

• La expresión resultante es válida para el punto de operación.

Pero, para despacho económico:

IZIPt

L *

PBPPt

L

Matriz de Pérdidas



Un procedimiento para obtener los elementos Bij, aplicando formula de

George, es el siguiente: Ecuación del sistema:

Pérdidas:

1º. Eliminación de variables de barras de carga:

Las corrientes de carga se pueden considerar como una fracción constante de

la carga total del sistema, de la forma:

donde

IZIS to

L *

IZEE R

0,1i

654 III

Iii

Matriz de Pérdidas



donde:

Entonces:

2º. Determinación de un nuevo vector E’:

donde:

1 I'CI

L

L

L

I

L

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

6

5

4

3

2

'

3

2

6

5

4

6

5

4

3

2

00

00

00

010

001

ECEt

*

1'

RL

R

R

R

R

R

R

R

EE

EE

EE

EE

EE

EE

EE

EE

E 3

2

6

5

4

3

2

*

6

*

5

*

400

00010

00001

'

RRRRL EEEEEEEE 6

*

65

*

54

*

4

Matriz de Pérdidas



3º. Obtener una nueva matriz Z’ para el sistema reducido:

De esta forma:

*

1

*

1' CZCZt

'''' 3

2

3

2

IZ

I

I

I

Z

EE

EE

EE

E

LRL

R

R

Matriz de Pérdidas



4º. Introducir la barra de referencia y cambiar la referencia de “R” a “L”.

Aumentando la matriz Z’ en una línea:

Entonces:

4

3

2

3

2

'

0

0

0

0000

I

I

I

I

Z

EE

EE

EE

EE R

RL

R

R

RR

''' IZE

Matriz de Pérdidas



5º. Transformación de corriente:

Considerando que:

Usando la matriz de transformación C2, sólo para las barras de generación:

donde:

32

3

1

IIIII R

i

iL

''' 2 ICI

''

3

2

3

2

111

100

010

001

'

I

R

L

R

I

I

I

I

I

I

I

I

Matriz de Pérdidas



6º. También la transformación de tensión:

Así, la matriz Z’’ transformada es:

donde:

y

'''*

2 ECEt

L

L

LR

RL

R

R

RR

EE

EE

EE

EE

EE

EE

EE

E

3

2

3

2

1100

1010

1001

''

21*1

*22

*2 ''' CCZCCCZCZ

ttt

'''''' IZE

3

2

''

33

''

32

''

3

''

23

''

22

''

2

''

3

''

2

''

3

2

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

EE

EE

EE R

R

R

RRRR

L

L

LR

Matriz de Pérdidas



7º. Las transformaciones de tensión y corriente están basadas en la

invariabilidad de la potencia, por lo que las pérdidas de potencia son:

O sea:

donde:

: Matriz no-simétrica.

''''''*

IZIPt

L

''''

3

''2

''1

''3

''2

''1

I

I

I

ZIIIPL

RII 1

''Z

Matriz de Pérdidas



8º. Escribir PL en términos de la potencia en barras de generación,

considerando, en general, el siguiente diagrama fasorial:

Entonces:

donde:

y

Representa al generador “i” en el vector I’’

cos

cos

E

PII

IEEIP

eIIIj

o

cos

E

ePI

jo

i

jt

i

j

LE

ePZ

E

ePP

cos''

cos

i

j

E

eP

cos

Matriz de Pérdidas



Incluyendo todas las variables, excepto P en la matriz de impedancias, resulta:

La matriz B resulta, en general, compleja

Donde:

PBPPt

L

tPPPP 321

Matriz de Pérdidas



Donde: WHHRR kiikikik

11''

lg

gj

jijik RH1

11

lg

gj

jkjki RH1

11

lg

gj

jkjijik RRX1

''2

lg

gi

ik

lg

gk

kiki RW1 1

2211

Los elementos de la matriz B son:

kiki

kiikkiik

ikEE

XRB

coscos

sencos''''

Matriz de Pérdidas



P

iE

i

ik

ik

ii 2;1

ikR

ikX

: Vector columna de las potencias generadas

: magnitud de tensión en barras

: ángulo de fase entre tensión y corriente en barra

: diferencia angular entre corrientes de barra i-k

kiikkkiikiik

: ángulo de tensión entre barras i-k

: Componentes reales e imaginaria de carga, con respecto a la

corriente total de la carga

L

ii

I

I

: componente resistivo de la impedancia mutua entre barra i-k

de la matriz Z

: componente reactivo

Matriz de Pérdidas



Deducción de la Formula de Kross

La carga total es:

siendo: y

Cumpliendose:

Tomando barra “n” como referencia:

(primera fila)

Reemplazando los valores de I3 e I4, tenemos que ID es:

Donde In0 es la corriente inyectada en la barra “n” con V1n constante:

DIII 43

DIdI 33 DIdI 44

143 dd

4143132121111 IZIZIZIZV n

0

144133

112

144133

121

144133

11nD I

ZdZd

ZI

ZdZd

ZI

ZdZd

ZI

11

10

Z

VI n

n

Matriz de Pérdidas


Escribiendo:

y

La corriente total de la carga queda:

Los valores de I3 e I4 serán:

144133

111

ZdZd

Zt

144133

122

ZdZd

Zt

0

12211 nD ItItItI

0

142241144

0

132231133

n

n

ItdItdItdI

ItdItdItdI


Matriz de Pérdidas


Definiendo la matriz C como la transformación a las nuevas

corrientes I1, I2, In0, se tiene:

La expresión para la potencia activa perdida en la red queda:

0

2

1

0

2

1

141414

132313

4

3

2

1

010

001

nn I

I

I

C

I

I

I

tdtdtd

tdtdtd

I

I

I

I

*

0

2

1

0

21

n

B

T

nL

I

I

I

CRCIIIP


Matriz de Pérdidas


Definiendo la matriz C como la transformación a las corrientes nuevas I1, I2, In0,

se tiene:

La expresión para la potencia activa perdida en la red queda:

Donde RB es la parte real simétrica de ZB. Como la naturaleza de la

potencia es invariante a la transformación C, la expresión anterior

representa la perdida de potencia total en términos de las corrientes

generadas y de la corriente de neutro.

0

2

1

0

2

1

141414

132313

4

3

2

1

010

001

nn I

I

I

C

I

I

I

tdtdtd

tdtdtd

I

I

I

I

*

0

2

1

0

21

n

B

T

nL

I

I

I

CRCIIIP


Matriz de Pérdidas


Asumiendo factor de potencia constante del generador en el período de interés:

Donde: y

Las corrientes entregadas por los generadores son:

son reales

Las corrientes pueden escribirse como:

gigg PjsjQP 111 1 2222 1 ggg PjsjQP

111 gg PQs 222 gg PQs

111*

1

11

1gg PP

V

jsI

222*

2

22

1gg PP

V

jsI

100

00

00

2

1

0

2

1

0

2

1

g

g

nn

P

P

II

I

I


Matriz de Pérdidas


Se obtiene:

Y se observa:

Lo que resulta en:

*

2

1

*

0

2

1

*

0

2

1

2

1

100

00

00

00

00

00

1

g

g

T

n

B

T

n

T

g

g

L P

P

I

CRC

I

P

P

P

2

22

2

2*

002010

202221

101211 TT

BBB

BBB

BBB

122

2

2

1 2

1

002010

202221

101211

21 g

g

ggL P

P

BBB

BBB

BBB

PPP


Matriz de Pérdidas


B12 es igual a B21 y multiplicando filas con columnas se tiene:

Una forma equivalente:

Otra forma más general (vectorial-matricial):

00

2

1

0

2

1

2

1

21

00220110

2

2222112

2

111 2

BPBPBP

BPBPBPBPPBPBP

i

gii

i j

gijg

ggggggL

00

20

10

21

2

1

2221

1211

21 BB

BPP

P

P

BB

BBPPP gg

g

g

ggL

000 BBPPBPPT

GG

T

GL


Matriz de Pérdidas


Cuando un sistema tiene “K” generadores, se obtiene:

00

1

0

1 1

BPBPBPPK

i

gii

K

i

K

j

gjijgiL


Matriz de Pérdidas


Ejemplo (Ejemplo 13.3 del Grainger - Stevenson)

Para el sistema siguiente, calcular los coeficientes de la matriz B y

calcular las pérdidas en la transmisión.

Datos de Línea Datos de Barra

Z Serie Y Shunt Generación Carga Barra a barra

R X B Barra P V º P Q

Línea 1-4 0.00744 0.0372 0.0775 1 - 1.0 0º - -

Línea 1-3 0.01008 0.0504 0.1025 2 3.18 1.0 - -

Línea 2-3 0.00744 0.0372 0.0775 3 - - 2.20 1.3634

Línea 2-4 0.01272 0.0636 0.1275 4 - - 2.80 1.7352

Matriz de Pérdidas


El flujo de potencia para el caso base es:

Caso Base

Generación Voltaje Barra

P Q Magnitud

(por unidad) Angulo (grados)

1 1.913152 1.872240 1.0 0.0

2 3.18 1.325439 1.0 2.43995

3 - - 0.96051 -1.07932

4 - - 0.94304 -2.62658

total 5.093152 3.197679

Matriz de Pérdidas

Ejemplo:


Las Matrices resistencia y reactancia de barras:

582784.2606321.2603899.2597783.2

606321.2582884.2597783.2601379.2

603899.2597783.2582784.2606321.2

597783.2601379.2606321.2582884.2

10

932995.2786620.1300878.1072159.0

786620.1911963.2072159.0795044.0

300878.1072159.0932995.2786620.1

072159.0795044.0786620.1911963.2

3

B

B

X

R

Matriz de Pérdidas

Ejemplo:


Con el resultado del flujo de potencia se calculan las corrientes de carga:

Y se puede encontrar que:

Se calculan t1 y t2

º5863.145493043.3

º1331.147694641.2

*

4

444

*

3

333

V

jQPI

V

jQPI

006637.0564527.0

006637.0435473.0

43

44

43

33

jII

Id

jII

Id

000547.0002681.1

001259.0993664.0

144133

122

144133

111

jZdZd

Zt

jZdZd

Zt

Matriz de Pérdidas

Ejemplo:


La matriz C es:

además:

005884.0560958.0006964.0566037.0005884.0560958.0

007143.0432705.0006416.0436644.0007143.0432705.0

010

001

jjj

jjjC

3*10

0601225.0006039.0387642.1005255.00985724.0

0060039.0`36764.10080886.5010638.0030982.0

005255.0985724.0010638.0030982.00282185.4

jjj

jjj

jjj

CRC BT

Matriz de Pérdidas

Ejemplo:


La corriente de neutro se calcula:

Utilizando el flujo de potencia del caso base, se calculan:

387164.0000436.0582884.2002912.0

0.00.1

11

10j

j

j

Z

VIn

373855.0016838.1º439950.20.1

180000.3

325439.11

1

978615.00.1º00.1

913152.1

872240.11

1

*

2

22

*

1

11

j

j

V

js

j

j

V

js

Matriz de Pérdidas

Ejemplo:


La matriz hermitiana es:

La matriz B es:

*

0

2

1

*

0

2

1

00

00

00

00

00

00

n

B

T

n I

CRC

I

T

310

0.0090121.0539511.0`19497.0380069.03750082.0

539511.0`19497.00.0963568.5004538.0049448.0

380069.03750082.0004538.0049448.00.0383183.8

jjj

jjj

jjj

T

3

002010

202221

101211

10

090121.0194971.0375082.0

194971.0963568.5049448.0

375082.0049448.0383183.8

22

2

2

BBB

BBB

BBB

Matriz de Pérdidas

Ejemplo:


La pérdidas son:

..093153.0

1

18.3

913152.1

22

2

2

118.3913152.1

002010

202221

101211

up

BBB

BBB

BBB

PL

Matriz de Pérdidas

Ejemplo:

Op Econ Mica Parte3

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