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CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Objetivos de la Clase:

Calcular perímetros de circunferencias.Calcular el radio de una circunferencia.Calcular el diámetro de una circunferencia.

20 de agosto 2014

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CIRCUNFERENCIA• CIRCUNFERENCIA

• La longitud de una circunferencia es la medida de su entorno y es igual a 2 por π y multiplicado por el radio.

• L = 2 ● π ● R• Siendo π = 3,14 o 3,1416.

• Ejemplo 1• Hallar la longitud de una circunferencia de 5 cm de

radio.• L = 2 ● π● R• L = 2 ● 3,14 ● 5 = 31,40 cm

• Ejemplo 2• Hallar el radio de una circunferencia cuya longitud mide

74.• L = 2 ● π ● R L / 2 ● π = R• R = 74 / 2 ● 3,14 = 74 / 6,28 = 11,78 cm

R

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1. Calcula el perímetro de una circunferencia de radio:

a)5 cm

b) 8 cm

c) 10 cm

d) 13 cm

e) 1,2 cm

f) 2,4 cm

g) 3,5 cm

h) 7,8 cm

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2. Calcula el perímetro de una circunferencia de diámetro:

a)2 cm

b) 7 cm

c) 9 cm

d) 12 cm

e) 1 cm

f) 4,2 cm

g) 6,4 cm

h) 12,6 cm

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ARCO DE CIRCUNFERENCIA

r

nº

• ARCO DE CIRCUNFERENCIA• La longitud de un arco se obtiene dividiendo la longitud

de una circunferencia entre 360º y multiplicando por el número de grados del arco, nº

• 2 ● π ● r ● n°• LArco = 360º

• Ejemplo 1• Hallar la longitud de un arco de circunferencia de 7 dm

de radio y 30º de amplitud.• LArco = 2 ● 3,14 ● 7 ● 30º / 360º = 3,66 dm

• Ejemplo 2• Hallar el radio de una circunferencia tal que un ángulo

de 45º de amplitud tenga un arco de 4 m de longitud.• LArco = 2 ● π ● r ● nº/360º• 4 = 2 ● 3,14 ● r ● 45º / 360º r = 4 ● 360º / 2 ● 3,14.45º = 5,10 dm

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CÍRCULO• CÍRCULO

• El perímetro de un círculo es la longitud de la circunferencia correspondiente.

• P = 2 ● π ● R

• El área del círculo es la medida de la superficie que hay dentro de la circunferencia y es igual a π multiplicado por el radio al cuadrado

• A = π ● r2

• Ejemplo_1

• Hallar el área de un círculo de 8 cm de radio.• A = π ● r2

• A = 3,14 ● 82

• A = 3,14 ● 64 • A = 201,06 cm2

r

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• Ejemplo_2 Hallar el área de un círculo de 40 cm de diámetro.

• A = π ● r2

• El diámetro es el doble del radio, luego:• r = d/2 = 40 / 2 = 20 cm.• A= 3,14 ● 202 = 3,14 ● 400 = 1256 cm2

• Ejemplo_3 Hallar el radio de un círculo de 314 cm2 de área.

• A = π ● r2

• 314 = 3,14 ● r2 314 / 3,14 = r2 r2 = 100 r = √100 = 10 cm

• Ejemplo_4 Hallar el diámetro de un círculo de 1256 m2 de área.

• A = π ● r2

• 1256 = 3,14 ● r2 1256 / 3,14 = r2 r2 = 400 r = √400 = 20 cm

• diámetro: d = 2 ● r = 2 ● 20 = 40 m

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r

R

P = 2 ● π ● (R + r)A = π ● ( R2 - r2 )

CORONA CIRCULAR• CORONA CIRCULAR• Sea R el radio del círculo mayor.• Sea r el radio del círculo menor.

• PERÍMETRO: • Es la suma del perímetro exterior y el

perímetro interior.• P = 2 ● π ● R + 2 ● π ● r• P = 2 ● π ● (R + r)

• ÁREA:• El área, como se aprecia en el dibujo,

será la diferencia de las áreas entre el círculo mayor y el menor.

• A = π ● R2 – π ● r2 • A = π ● ( R2 - r2 )

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• Ejemplo_1 Hallar el perímetro y el área de una corona circular cuyos radios miden 3 y 7 cm.

• Perímetro: P = 2 ● π ● (R + r) • P = 2 ● 3,14 ● (3+7) • P = 62,80 cm • Área: A = π ● R2 – π ● r2 • A = π ● ( R2 – r2 ) • A = 3,14 ● (49 – 9) • A = 125’60 cm2

• Ejemplo 2 Hallar el radio mayor y el área de una corona circular que tiene un perímetro de 628 cm y un radio menor de 4 cm.

• Perímetro: P= 2 ● π ● (R + r) • 628 = 2 ● 3,14 ● (R + 4) 628 / 2 ● 3,14 = R + 4• 628 / 6,28 = R + 4 100 = R + 4 R = 100 – 4 = 96 cm

• Área: A = π ● R2 – π ● r2 = π ● ( R2 – r2 ); A = 3,14 ● (9216 – 16);• A = 3,14 ● 9200 = 28 888 cm2

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• Ejemplo_3

• Hallar el perímetro y el radio mayor de una corona circular cuyo área vale 1256 cm2 y su radio menor mide 10 cm.

• Perímetro: P= 2 ● π ● (R + r) = 2 ● 3,14 ● (R + 10)• Necesitamos saber el radio mayor. • Área: A = π ● R2 - π ● r2 = π ● ( R2 – r2 )• 1256 = 3,14 ● (R2 – 100) 1256 / 3,14 = R2 – 100 400 = R2 – 100 400 + 100 = R2 R = √500 = 10 ● √5 cm

• Ejemplo_4

• Hallar el perímetro y el área de una corona circular cuyo radio mayor es doble que el radio menor.

• Perímetro: P= 2 ● π ● (R + r) • P = 2 ● 3,14 ● (2 ● r + r) P = 2 ● 3,14 ● 3 ● r = 18,84.r u

(unidades)

• Área: A = π ● R2 - π ● r2 = π ● (2r)2 - π ● r2 = π ● 4 ● r2 - π ● r2 = ● π ● r2 u2

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r

r

r

n

l

A

B

SECTOR CIRCULAR• SECTOR CIRCULAR• Es la figura plana generada por la rotación del

radio de un círculo.• Siendo nº el número de grados o amplitud.

• LONGITUD DEL ARCO:• l = 2.π.r.nº / 360º • Si el giro es de 360º, la longitud del arco es la

longitud de la circunferencia.• • PERÍMETRO: • P = l+2.r = (2.π.r.nº / 360º ) + 2.r

• ÁREA: • El área de un sector circular es la superficie

existente entre el arco y los dos radios. • A = π.r2 .nº / 360º

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• Ejercicio_1• El radio de un círculo de 4 cm de longitud gira 90º. Hallar el

perímetro y el área del sector circular que produce.

• Perímetro: P = l + 2.R = (2.π.R.nº / 360º) + 2.R• P = (2.π.4.90º / 360º) + 2.4 P = 2.π + 8 cm

• ÁREA: • A = π.r2 .nº / 360º = π.42 .90º / 360º = 4.π cm2

• Ejercicio_2• El radio de un círculo de 6 cm de longitud gira 60º. Hallar el

perímetro y el área del sector circular que produce.

• Perímetro: P = l + 2.R = (2.π.R.nº / 360º) + 2.R• P = (2.π.6.60º / 360º) + 2.6 P = 2.π + 8 cm

• ÁREA: • A = π.r2 .nº / 360º = π.62 .60º / 360º = 6.π cm2

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FIGURAS CIRCULARES• CIRCUNFERENCIA• L = 2.π.R• ARCO DE CIRCUNFERENCIA• 2.π.R• LArco = --------- . nº• 360º• CÍRCULO• P = 2.π.R• A = π.R2

• SECTOR CIRCULAR• P = l + 2.R• A = π.R2 .nº / 360º• CORONA CIRCULAR• P = 2.π.(R+r)• A = π.( R2 - r2 )

n

R

R

r

R