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Problemas de matemática aplicada a la

administración y economía

Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y

Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición

César A. Yépez

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0 REPASO DE

ALGEBRA

1 APLICACIONES Y

MÁS ALGEBRA

2 FUNCIONES

Y GRÁFICAS

3 RECTAS PARÁBOLAS Y

SIST. DE ECUACIONES

INDICE

4 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Y LOGARITMICA

6 ÁLGEBRA

MATRICIAL

7 PROGRAMACIÓN

LINEAL

10 LIMITES Y

CONTINUIDAD

11 DIFERENCIACIÓN

12 TEMAS

ADICIONALES DE

DIFERENCIACIÓN

13 TRAZADO DE

CURVAS

14 INTEGRACIÓN

Problemas de matemática aplicada a la administración y economía Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y

Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición. César Augusto Yépez Gómez 4.0, CC-BY-NC-SA Primera edición digital Número de registro IEPI: 042866 ISBN: 978-9942-28-872-1

Esta obra ha sido creada bajo licencia Creative Commons 4.0, CC, BY, NC, SA: Reconocimiento –No Comercial-Sin derivar; la cual permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines de lucro comerciales y se permiten obras derivadas, siempre que mantenga la misma licencia al ser divulgada. https://creativecommons.org/licenses/by-nc-SA/4.0/deed.es Julio, 2017

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Presentación

El presente trabajo tiene por objeto proporcionar métodos de solución de problemas aplicados a diversas áreas, en especial a la administración y economía. Está dirigido a estudiantes del bachillerato, ya que cubre gran parte de las destrezas y contenidos que propone el Ministerio de Educación, para estudiantes de primeros años de educación superior en las carreras de Administración, Economía, Marketing, etc., y especialmente para estudiantes y docentes de modalidades a distancia. Comprende ejercicios y problemas de algebra, funciones, rectas, parábolas, matrices, funciones logarítmicas y exponenciales, límites, derivadas e integración y, sus aplicaciones correspondientes al texto: Matemática para la Administración y Economía – HAEUSSLER-PAUL-

WOOD. Decimosegunda edición.

César A. Yépez

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Índice de contenidos

CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA 0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales. 0.8 Ecuaciones cuadráticas

7

CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones 1.2 Desigualdades lineales 1.3 Aplicaciones de las desigualdades

12

CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS 2.1 Funciones 2.2 Funciones especiales 2.3 Combinaciones de funciones 2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares

22

CAPITULO 3 RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 3.1 Rectas 3.2 Aplicaciones y funciones lineales 3.3 Funciones cuadráticas 3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

36

CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 4.1 Funciones exponenciales 4.2 Funciones logarítmicas 4.3 Propiedades de los logaritmos 4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

47

CAPÍTULO 6 ÁLGEBRA MATRICIAL 6.1 Matrices 6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar 6.3 Multiplicación de matrices 6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices 6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación)

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Índice de contenidos

CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL 7.1 Desigualdades lineales en dos variables 7.2 Programación lineal

68

CAPÍTULO 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD 10.1 Límites 10.2 Límites (continuación) 10.4 Continuidad aplicada a desigualdades

79

CAPÍTULO 11 DIFERENCIACIÓN 11.1 La derivada 11.2 Reglas para la diferenciación 11.3 La derivada como una razón de cambio 11.4 La regla del producto y la regla del cociente 11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia

88

CAPÍTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE DIFERENCIACIÓN 12.1 Derivada de funciones logarítmicas 12.2 Derivada de funciones exponenciales 12.4 Diferenciación implícita 12.5 Diferenciación logarítmica 12.7 Derivadas de orden superior

102

CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos 13.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado 13.3 Concavidad 13.4 Prueba de la segunda derivada 13.6 Aplicación de Máximos y mínimos

115

CAPÍTULO 14 INTEGRACIÓN 14.1 Diferenciales 14.2 La integral indefinida 14.3 Integración con condiciones iniciales 14.4 Más fórmulas de integración 14.7 Teorema fundamental del cálculo integral 14.9 Área 14.10 Área entre curvas 14.11 Excedente de los consumidores y de los productores

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CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA

0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales.

Problemas 0.7 Páginas: 34 – 35. Ejercicios: 10, 15,25, 78, 89,96

En los problemas 7 a 16 determine qué operaciones se aplican a la primera ecuación para obtener la segunda. Establezca si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones sean equivalentes. No resuelva las ecuaciones

10. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟓𝒙 − 𝟕 ; 𝒙𝟐 + 𝟐 =𝟓

𝟐𝒙 −

𝟕

𝟐

Se divide ambos lados para dos, la equivalencia si se garantiza ya que se divide por un valor constante.

15. 𝟐𝒙(𝟑𝒙+𝟏)

𝟐𝒙−𝟑= 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟒) ; 𝟑𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟒)(𝟐𝒙 − 𝟑)

Se multiplican ambos lado por 2𝑥−3

2𝑥 ; la equivalencia no se garantiza debido a que

no sabemos el valor de 𝑥. Por ejemplo si 𝑥 = 0 el denominador de 2𝑥−3

2𝑥 sería cero

y éste resultado no esta determinado. Resuelva las ecuaciones 17 a 80

25. 𝟕𝒙 + 𝟕 = 𝟐(𝒙 + 𝟏)

Resolvemos el producto del lado derecho, luego resolvemos la ecuación para 𝑥

7𝑥 + 7 = 2𝑥 + 2 ⟹ 7𝑥 − 2𝑥 = 2 − 7 ⟹ 5𝑥 = −5

𝑥 =−5

5 ⟹ 𝑥 = −1

78. √𝒙 − √𝒙 + 𝟏 = 𝟏

Trasladamos las raíces cuadradas convenientemente para eliminarlas

√𝑥 = 1 + √𝑥 + 1

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación

(√𝑥)2= (1 + √𝑥 + 1)

2

𝒙 = 𝟏 + 𝟐√𝑥 + 1 + 𝑥 + 1

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𝒙 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟐√𝑥 + 1

−𝟏 = √𝑥 + 1

√𝑥 + 1 es positiva, no puede ser igual a -1, luego la ecuación planteada no tiene

solución

En los problemas 81 a 92, exprese el símbolo indicado en términos de los símbolos restantes

89. 𝒓 = 𝒅

𝟏−𝒅𝒕; 𝒕

Resolvemos la ecuación para 𝑡

𝑟(1 − 𝑑𝑡) = 𝑑

𝑟 − 𝑟𝑑𝑡 = 𝑑

𝑟 − 𝑑 = 𝑟𝑑𝑡 ⟹ 𝑟−𝑑

𝑟𝑑 = 𝑡 ⟹ 𝑡 =

𝑟−𝑑

𝑟𝑑

96. Ingreso. El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidad de x niños está dado por 𝒓 = 𝟒𝟓𝟎𝒙, y sus costos mensuales totales son 𝒄 = 𝟑𝟖𝟎𝒙 + 𝟑𝟓𝟎𝟎. ¿Cuántos niños necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a los costos?

Extraemos los datos correspondientes

Ingreso: 𝑟 = 450𝑥 Costos: 𝑐 = 380𝑥 + 3500 Equilibrio: 𝑟 = 𝑐

Establecemos la ecuación de equilibrio

𝑟 = 𝑐

450𝑥 = 380𝑥 + 3500

Resolvemos la ecuación

450𝑥 − 380𝑥 = 3500

70𝑥 = 3500

𝑥 =3500

70 ⟹ 𝑥 = 50

Se necesitan 50 niños para alcanzar el punto de equilibrio.

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0.8 Ecuaciones Cuadráticas

Problemas 0.8 Páginas: 42 – 43 Ejercicios: 23, 31, 37, 73, 79, 82

Resuelva por factorización los problemas 1 a 30.

23. 𝒕𝟑 − 𝟒𝟗𝒕 = 𝟎

En primer lugar se observa el factor común t 𝑡(𝑡2 − 49) = 0

Ahora resolvemos la diferencia de cuadrados 𝑡(𝑡 − 7)(𝑡 + 7) = 0

Este producto es cero cuando : 𝑡 = 0 o (𝑡 − 7) = 0 o (𝑡 + 7) = 0 Luego se tiene 𝑡 = 0 𝑡 − 7 = 0 ⟹ 𝑡 = −7 𝑡 + 7 = 0 ⟹ 𝑡 = 7

En los problemas 31 a 44, encuentre todas las raices reales con el uso de la fórmula cuadrática

31. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎

Comparando con la fórmula cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se tiene

𝑎 = 1 𝑏 =2 𝑐 = −24

Aplicamos la fórmula cuadrática

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−2 ± √22 − 4(1)(−24)

2(1)

𝑥 =−2 ± √4 + 96

2=−2 ± 10

2

𝑥 =−2 + 10

2 =

8

2 ⟹ 𝒙 = 𝟒

𝑥 =−2 − 10

2=−12

2⟹ 𝒙 = −𝟔

37. 𝟒 − 𝟐𝒏 + 𝒏𝟐 = 𝟎

Comparamos la ecuación con la fórmula cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Si 𝑛2 − 2𝑛 + 4 = 0 ⟹ 𝑎 = 1 𝑏 = −2 𝑐 = 4

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Aplicamos la fórmula cuadrática resolviendo para n

𝑛 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(4)

2(1)

𝑛 =2 ± √4 − 16

2=2 ± √−12

2= 1 ± √−3

El valor √−3 no es un número real, por lo que la ecuación 4 − 2𝑛 + 𝑛2 = 0 no tiene soluciones reales.

Resuelva por cualquier método los problemas 55 a 76

73. √𝒙 − √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟎

Para resolver ecuaciones que contienen raíces cuadradas, es conveniente trasladar a un lado de la ecuación una cantidad con radical.

√𝑥 − 1 = √2𝑥 + 1

Elevamos al cuadrado a toda la ecuación

(√𝑥 + 1)2 = √2𝑥 + 12

⟹ √𝑥2+ 2√𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1

𝑥 + 2√𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1 Nuevamente ubicamos el radical a un solo lado para elevar al cuadrado

2√𝑥 = 2𝑥 − 𝑥 + 1 − 5

(2√𝑥)2 = (𝑥)2 ⟹ 4𝑥 = 𝑥2 ⟹ 𝑥2 − 4𝑥 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 4𝑥 = 0

𝑥(𝑥 − 4) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 , 𝑥 − 4 = 0 ⟹ 𝑥 = 4 79. Geometría. El área de un dibujo rectangular, que tiene un ancho de 2 pulgadas menor que el

largo, es de 48 pulgadas cuadradas. ¿Cuál son las dimensiones del dibujo? 𝒂 = 𝒙 − 𝟐

𝒍 = 𝒙

Establecemos los datos 𝐴 = 48𝑚2 𝑙 = 𝑥 𝑎 = 𝑥 − 2

Aplicamos la fórmula del área 𝐴 = 𝑙. 𝑎

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48 = 𝑥 (𝑥 − 2) = 𝑥2 − 2𝑥 𝑥2 − 2𝑥 − 48 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática, en este caso por factorización 𝑥2 − 2𝑥 − 48 = 0 (𝑥 − 8)(𝑥 + 6) = 0 ⟺ (𝑥 − 8) = 0 v (𝑥 + 6) = 0 𝑥 = 8 v 𝑥 = −6 Tomamos el valor positivo porque toda distancia es positiva El largo es 𝑙 = 𝑥 = 8 El ancho es 𝑎 = 8 − 2 = 6

82. Dieta para ratas. Un grupo de biólogos estudio lo efectos nutricionales en ratas alimentadas

con una dieta que contenía 10% de proteínas. La proteína estaba compuesta de levadura y de

harina de maíz. Al cambiar el porcentaje P (expresado como un decimal) de levadura en la mezcla

proteínica, el grupo estimó que el promedio de aumento de peso g (en gramos) de una rata,

durante cierto período, estaba dado por

𝒈 = −𝟐𝟎𝟎𝑷𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝑷 + 𝟐𝟎

¿Cuál es el porcentaje de levadura que proporciona un aumento promedio de peso de 60

gramos?

De la función de peso con las condiciones dadas tenemos

𝑔 = −200𝑃2 + 200𝑃 + 20

60 = −200𝑃2 + 200𝑃 + 20

200𝑃2 − 200𝑃 + 40 = 0

5𝑃2 − 5𝑃 + 1 = 0

Calculamos el porcentaje P resolviendo la ecuación cuadrática

Si a=5 b=5 c=1 entonces:

𝑃 =5 ± √25 − 4(5)(1)

2(5)=5 ± √5

10

𝑃 =5 + √5

10≈ 0.72 𝑜 𝑃 =

5 − √5

10≈ 0.28

El porcentaje de levadura que proporciona un aumento promedio de peso de 50

gramos es de 28% y 72%

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CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones

Problemas 1.1 Páginas: 51- 52 – 53 Ejercicios 1, 5, 7, 9, 16, 31, 35, 41

1. Cercado. Se colocará una cerca alrededor de un terreno rectangular de modo que el área

cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de cerca se utilizarán?

Establecemos los datos

Á𝑟𝑒𝑎 = 800 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 𝑎 = 𝑥 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 𝑙 = 2𝑥

Aplicamos la fórmula del área

Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 = 2𝑥(𝑥) = 2𝑥2 2𝑥2 = 800 𝑥2 = 400 ⟹ 𝑥2 − 400 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 400 = 0

(𝑥 + 20)(𝑥 − 20) = 0 𝑥 = 20 ∨ 𝑥 = −20 Luego, las dimensiones son: 𝑎 = 20𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑙 = 40𝑝𝑖𝑒𝑠

Calculamos el perímetro 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝑎 + 2𝑙 = 40 + 80 = 120 𝑝𝑖𝑒𝑠

5. Acabado de muebles. De acuerdo con The Consumer’s Hand book [Paul Fargis, ed. (Nueva York:

Hawthoun, 1974)], un buen aceite para el acabado de muebles de madera contiene dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrás. Si debe prepararse una pinta (16 onzas líquidas) de este producto. ¿Cuántas onzas líquidas de aguarrás se necesita

Establecemos los datos Cantidad de Aguarrás: 𝑥

Cantidad de Linaza: 2𝑥 Contenido de una pinta: 2𝑥 + 𝑥 = 16


3𝑥 = 16 𝑥 =16

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7. Vereda de jardín. Se va usar un terreno rectangular de 4m. por 8m. para plantar un jardín. Se

decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 metros cuadrados del terreno para cultivar flores. ¿Cuál debe ser el ancho del corredor?

Es conveniente realizar un bosquejo de las características del problema

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Relacionamos los datos del gráfico con la fórmula del área

𝐴 = 𝑙. 𝑎 12 = (8 − 2𝑥)(4 − 2𝑥) 12 = 32 − 16𝑥 − 8𝑥 + 4𝑥2 4𝑥2 − 24𝑥 + 32 − 12 = 0 4𝑥2 − 24𝑥 + 20 = 0 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = 1

El ancho del corredor debe ser 𝑥 = 1𝑚 . El valor 𝑥 = 5 se descarta debido a que el ancho del terreno es apenas de 4 metros.

9. Utilidad. Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con

un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120 000 al mes y el alimento se vende a $ 134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000?

Establecemos los datos Costo por tonelada: 𝐶𝑢 = 82

Costos Fijos: 𝐶𝑓 = 120000

Precio de venta: 𝑃𝑣 = 134

Utilidad: 𝑈 = 560000

Número de toneladas: 𝑞 =?

Relacionamos los datos con la fórmula de la utilidad

Costo total: 𝐶𝑇

Costo de venta: 𝐶𝑣 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑞

𝑈 = 𝐼 – 𝐶𝑇

𝑈 = 𝑃𝑣. 𝑞 – (𝐶𝑓 + 𝐶𝑣)

𝑈 = 𝑃𝑣. 𝑞 – (𝐶𝑓 + 𝐶𝑢. 𝑞)

560000 = 134𝑞 – (120000 + 82. 𝑞)


560000 = 134𝑞 – 120000 – 82𝑞

560000 − 120000 = 134𝑞–82𝑞

680000 = 52𝑞

𝑞 = 13076.9

𝑞 = 13077 toneladas

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16. Negocio. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el

ingreso total por las ventas, en dólares, será 100 √𝒒. Si el costo variable por unidad es de $2

y el costo fijo de $1200, encuentre los valores de q para los que : ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo

Establecemos los datos Costo variable: 𝐶𝑣 = 2 Costos fijos: 𝐶𝑓 = 1200

Ingresos: 𝐼 = 100 √𝑞

𝐼 = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓 𝑞 =?

Reemplazamos los datos en la fórmula de ingreso 𝐼 = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓

100 √𝑞 = 2𝑞 + 1200

Resolvemos la ecuación con radicales

(100 √𝑞)2= (2𝑞 + 1200)2

10000𝑞 = 4𝑞2 + 4800𝑞 + 1440000 4𝑞2 + 4800𝑞 − 10000𝑞 + 1440000 = 0 𝑞2 − 1300𝑞 + 360000 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑞2 − 1300𝑞 + 360000 = 0 (𝑞 − 900)(𝑞 − 400) = 0 𝑞1 = 900 𝑞2 = 400

También es posible resolver mediante la fórmula cuadrática

𝑞 =1300 ± √(−1300)2 − 4(1)(360000)

2(1) ⟹ 𝑞 =

1300 ± √1690000 − 1440000

2

𝑞 =1300 ± √250000

2 ⟹ 𝑞 =

1300 ± 500

2

𝑞1 =1300 + 500

2 ⟹ 𝑞1 =

1800

2 ⟹ 𝑞1 = 900

𝑞2 =1300 − 500

2 ⟹ 𝑞2 =

800

2 ⟹ 𝑞2 = 400

31. Ingreso. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R=800p-7p2, donde p es el

precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10000, si el precio debe ser mayor de $50?

Establecemos los datos Ingreso mensual: 𝑅 = 800𝑝 − 7𝑝2 Condición: 𝑅 = 10000

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si 𝑝 > 50 𝑝 =?

Establecemos la ecuación que relaciona el ingreso 𝑅 = 10000 = 800𝑝 − 7𝑝2

7𝑝2 − 800𝑝 + 10000 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática (7𝑝 − 700)(7𝑝 − 100)

7= 0

(𝑝 − 100)(7𝑝 − 100) = 0 𝑝 − 100 = 0 ⟹ 𝑝 = 100

7𝑝 − 100 = 0 ⟹ 𝑝 =100

7≈ 14.3

El ingreso mayor que 50 es 𝑝 = 100 35. Cerca de seguridad. Por razones de seguridad, una compañía cercará un área rectangular de

11200 pies cuadrados en la parte posterior de su planta. Un lado estará delimitado por el edificio y los otros tres lados por la barda (vea la figura 1.4). Si se van a utilizar 300 pies de cerca, ¿cuáles serán las dimensiones del área rectangular?

Extraemos los datos del enunciado del problema 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑎 = 11200

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 300 = 𝑙 + 2𝑎

𝑙 =? 𝑎 =?

Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas

Del área se obtiene:

𝑙 =11200

𝑎

Reemplazando en la fórmula del perímetro tenemos:

300 =11200

𝑎+ 2𝑎 =

11200 + 2𝑎2

𝑎

300𝑎 = 11200 + 2𝑎2

𝑎2 − 150𝑎 + 5600 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática

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𝑎2 − 150𝑎 + 5600 = 0

(𝑎 − 80)(𝑎 − 70) = 0

𝑎 = 80; 𝑎 = 70

Calculamos el valor de 𝑙

Si 𝑎 = 80 𝑙 =11200

80= 140

Si 𝑎 = 70 𝑙 =11200

70= 160

La solución es 𝑎 = 80 y 𝑙 = 140 porque no sobrepasa la longitud del edificio que es de 150.

41. Bienes raíces. Una compañía fraccionadora compra un terreno en $ 7200. Después de vender

todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, recuperó el costo total de la parcela. ¿Cuántos acres se vendieron?

Establecemos los datos Sea 𝑥 el número de acres comprados Sea 𝑝 el precio por acre comprado

Compra de 𝑥 acres al precio 𝑝: 7200 = 𝑥𝑝 ⟹ 𝑝 =7200

𝑥 (1)

Venta de (𝑥 − 20) acres: 7200 = (𝑥 − 20)(𝑝 + 30) (2)

Resolvemos el sistema formado por la ecuaciones (1) y (2)

7200 = (𝑥 − 20) (7200

𝑥+ 30) ⟹ 7200 = 7200 + 30𝑥 −

144000

𝑥− 600

600 =30𝑥2−144000

𝑥 ⟹ 600𝑥 = 30𝑥2 − 144000

30𝑥2 − 600𝑥 − 144000 = 0 ⟹ 𝑥2 − 20 𝑥 − 4800 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 20 𝑥 − 4800 = 0

(𝑥 − 80)(𝑥 + 60) = 0 ⟹ 𝑥 = 80 ∨ 𝑥 = −60

El número de acres debe ser un valor positivo, por lo tato: Número de acres comprados: 𝑥 = 80 acres.

Número de acres vendidos: 𝑥 − 20 = 80 − 20 = 60 acres.

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1.2 Desigualdades lineales

Problemas 1.2 página 58 Ejercicios 7, 19, 21,35, 38

Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y

represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales

7. 𝟓 − 𝟕𝐬 > 3

Aplicando las propiedades se tiene

5 − 7s > 3 ⟹ −7𝑠 > −2

Multiplicando por (-1), cambia el sentido de la desigualdad

7𝑠 < 2 ⟹ 𝑠 <2

7

Expresamos la respuesta en notación de intervalo

𝑠 ∈ (−∞, 2/7)

Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y

represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales:

19. 𝟓

𝟔𝒙 < 40

Aplicando las propiedades se tiene

5

6𝑥 < 40 ⟹ 5𝑥 < 240 ⟹ 𝑥 < 48

Graficamos la solución y expresamos en notación de intervalo

𝑥 ∈ (−∞, 48)

21. 𝟗𝒚+𝟏

𝟒≤ 𝟐𝒚 − 𝟏

Aplicamos las reglas de las desigualdades

9𝑦+1

4≤ 2𝑦 − 1 ⟹ 9𝑦 + 1 ≤ 8𝑦 − 4 ⟹ 𝑦 ≤ −5

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Graficamos la solución y expresamos en la notación de intervalos

𝑦 ∈ (−∞.−5]

35. Ahorros: Cada mes del año pasado, Brittany ahorro más de $50 pero menos de $150. Si S

representa sus ahorros totales del año, describa S con el uso de desigualdades.

12(50) < 𝑠 < 12(150)

600 < 𝑠 < 1800

38. Gasto. Una estudiante tiene $360 para gastar en un sistema estereofónico y algunos discos

compactos. Si compra un estéreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18,95 cada uno,

determine el mayor número de discos que puede comprar.

Extraemos los datos

Dinero disponible: $360

Costo del estereofónico: $219

Costo de cada disco: $18.95

Número de discos: 𝑥

Condición para la compra: 219 + 18,95𝑥 ≤ 360

Resolvemos la desigualdad

18.95𝑥 ≤ 360 − 219 ⟹ 18.95𝑥 ≤ 141 ⟹ 𝑥 ≤141

18,95 ⟹ 𝑥 ≤ 7.44

Luego 𝑥 ≈ 7 discos

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1.3 Aplicaciones de las desigualdades

Problemas 1.3 páginas 60 – 61 Ejercicios 1, 3, 5, 8, 11

1 . La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

Establecemos los datos Número de unidades: 𝑞 =? Ingresos: 𝑟 = 20𝑞 Costo de producción: 𝑐𝑣 = 15𝑞 Costos fijos: 𝑐𝑓 = 600000 Utilidades: 𝑈 > 0

Relacionamos los datos con la fórmula de la utilidad 𝑈 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 > 0 20𝑞 − (15𝑞 + 600000) > 0

Resolvemos la desigualdad 5𝑞 − 600000 > 0

5𝑞 − 600000 > 0 ⟹ 𝑞 > 12000.

Luego, el número de unidades que deben venderse es 12001 o más 3. Arrendamiento versus compra. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un automóvil y el de arrendarlo con opción a compra. Puede rentar un automóvil por $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería $4700, y los otros costos ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuál es el mínimo de millas que tendría que conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra?

Extraemos los datos del enunciado Número de millas recorridas por año: 𝑥

Costo anual por rentar el automóvil: 𝐶𝑎 = 12(420) + 0.06𝑥 = 5040 + 0.06𝑥

Costo anual por comprar el automóvil: 𝐶𝑐 = 4700 + 0.08𝑥

Condición: 𝐶𝑎 ≤ 𝐶𝑐

Reeemplazamos y resolvemos la desigualdad

5040 + 0.06𝑥 ≤ 4700 + 0.08𝑥

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340 ≤ 0.02𝑥

𝑥 ≥ 17000

5. El costo unitario de publicación de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al

distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es 10% de la cantidad recibida

por todas las revistas vendidas por arriba de las 30000. Encuentre el número mínimo de revistas

que pueden publicarse sin pérdida –esto es, tal que la utilidad ≥0 - suponiendo que se venderán

90%de los ejemplares.

Para los ingresos menores de 30000 unidades Utilidad= ingresos –costos ≥0

0.6 (09)𝑞 − 0.55𝑞 ≥ 0 0.54𝑞 − 0.55𝑞 ≥ 0 −0.01𝑞 ≥ 0 𝑞 ≤ 0

Para los ingresos mayores de 30000 Utilidad= ingresos –costos ≥0

0.6 (0.9)𝑞 + 0.1(0.6)(0.9𝑞 − 30,000) − 0.55𝑞 ≥ 0 0.594𝑞 − 1800 − 0.55𝑞 ≥ 0

0.044𝑞 − 1800 ≥ 0

0.044𝑞 ≥ 1800

𝑞 ≥ 40910

Se deben imprimir más de 40910 revistas para no obtener pérdidas.

8. Razón de circulante. La razón de circulante de Precisión Machine Products es 3.8. Si sus

activos circulantes son de $570 000. ¿Cuáles son sus pasivos circulantes? Para elevar sus fondos

de reserva, ¿Cuál es la cantidad máxima que puede pedir prestada a corto plazo si quiere que su

razón de circulante no sea menor que 2.6?


Razón de circulante: R=3.8

Activos circulantes: A= $570000

Pasivo circulante: L=?

Calculamos los pasivos circulantes a partir de la definición de la razón de circulante

𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 =𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑝𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒

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3.8 =570000

𝐿 ⟹ 3.8 𝐿 = 570000 ⟹ 𝐿 = $150000

Calculamos la cantidad de dinero que se puede pedir prestado

Sea x= la cantidad de dinero que puede pedir prestado, donde 𝑥 ≥ 0

Entonces:

570000 + 𝑥

150000 + 𝑥≥ 2.6

570000 + 𝑥 ≥ 390000 + 2.6𝑥

112500 ≥ 𝑥

En conclusión los pasivos corrientes son $150,000 y lo máximo que se puede pedir

prestado es $112500

11. Sueldo por hora. Con frecuencia se paga a los pintores por hora, o bien por trabajo

terminado. El tipo de pago que reciben puede hacer variar la velocidad a la que trabajan. Por

ejemplo, suponga que pueden trabajar por $9 la hora, o bien, por $320 más $3 por cada hora

trabajada por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el

trabajo les toma t horas. Si t≥40, resulta claro que el sueldo por hora es mejor. Si t<40, ¿para

qué valores de t el salario por hora es mejor?

Sea 𝑡 < 40 ⟹ 9𝑡 > 320 + 3 (40 − 𝑡)

9𝑡 > 440 − 3𝑡

12𝑡 > 440 𝑡 > 36.7

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CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS

2.1 Funciones

Problemas 2.1 Páginas 81, 82. Ejercicios: 7, 21, 35, 43, 46, 48

En los problemas 5 a16, obtenga el dominio de cada función.

7. 𝒉(𝒙) = √𝒙 − 𝟑

Para que ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3 exista, se necesita que la cantidad dentro del radical se positiva,

es decir:

𝑥 − 3 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 3

Luego, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = [3,∞)

Determinar los valores de la función para cada una de las funciones de los problemas 17 a 28

21. 𝒚(𝒖) = 𝟐𝒖𝟐 − 𝒖; 𝒚(−𝟐); 𝒚(𝟐𝒖); 𝒚(𝒙 + 𝒂)

Si 𝑦(𝑢) = 2𝑢2 − 𝑢 ⟹ 𝑦(−2) = 2(−2)2 − 2 = 8 + 2 = 10

Si 𝑦(𝑢) = 2𝑢2 − 𝑢 ⟹ 𝑦(2𝑣) = 2(2𝑣)2 − (2𝑣) = 8𝑣2 − 2𝑣

Si 𝑦(𝑢) = 2𝑢2 − 𝑢 ⟹ 𝑦(𝑥 + 𝑎) = 2(𝑥 + 𝑎)2 − (𝑥 + 𝑎)

𝑦(𝑥 + 𝑎) = 2𝑥2 + 4𝑎𝑥 + 2𝑎2 − 𝑥 − 𝑎

En los problemas 29 a36 encuentre (a) 𝒇(𝒙 + 𝒉) y (b) 𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒉)

𝒉; simplifique sus respuestas

35. 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙

a) Si 𝑓(𝑥) =1

𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥 + ℎ) =

1

𝑥+ℎ

b) Si 𝑓(𝑥) =1

𝑥 ⟹

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=

1𝑥 + ℎ

−1𝑥

ℎ=

𝑥 − (𝑥 + ℎ)𝑥(𝑥 + ℎ)

ℎ

=−ℎ

ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)=

−1

𝑥(𝑥 + ℎ)

43. La fórmula para el área de un circulo de radio r es 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 ¿Es el área una función del radio?

Si debido a que para cada valor de r corresponde un único valor 𝑨(𝒓) = 𝝅𝒓𝟐

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46. DEPRECIACION. Si una máquina de $ 30.000 se deprecia 2% de su valor original cada año,

determine una función “f” que exprese el valor “v” de la maquina después que han transcurrido

“t” años.

Determinamos los datos

Valor inicial: 𝑣𝑜 = $30000

Razón de depreciación: 𝑟 = 0.02

Valor al final de t años: 𝑣 = 𝑓(𝑡) =?

Calculamos el valor que se deprecia la máquina luego de t años

𝑑 = (0.02)(30000)𝑡

Calculamos la función del valor de la máquina luego de t años

𝑣 = 𝑓(𝑡) = 30000 − 0,02 × 𝑡 × (30000)

𝑣 = 𝑓(𝑡) = 30000(1 − 0.02 × 𝑡)

48. FUNCION DE DEMANDA. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor

protagonice una película es 𝒑 =𝟏′𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝒒, donde “q” es el número de películas que protagoniza

durante el año. Si el artista actualmente cobra $ 6’000.000 por película ¿Cuántas protagoniza cada

año? Si quiere protagonizar cuatro cintas por año ¿Cuánto cobrará por esto?


Función de demanda por película (precio): 𝑝(𝑞) =1′200 000

𝑞

Precio actual por película: 𝑝 = 6′000000

Número de película por año: 𝑞 =?

Calculamos el número de películas cada año si el precio actual es de $6´000 000

600 000 =1′200 000

𝑞

𝑞 =1′200 000

600 000= 2

Calculamos el precio por protagonizar cuatro películas

𝑝(4) =1′200 000

4= $ 300 000

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2.2 Funciones especiales

Problemas 2.2 Páginas: 85 – 86 Ejercicios: 3,15, 29, 30, 31, 33

En los problemas 1 a 4 determine si la función dada es una función polinomial

3. 𝒈(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏

La función polinomial es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + ∙∙∙ +𝑎1𝑥1 + 𝑎0

Luego la función 𝑔 no es polinomial

Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la función polinomial dada en los problemas

13 a 16

15. 𝒈(𝒙) =𝟏

𝝅− 𝟑𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟔 + 𝒙𝟕

La función 𝑔 es polinomial y es equivalente a 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟕 + 𝟐𝒙𝟔 − 𝟑𝒙𝟓 +𝟏

𝝅

Grado de la función polinomial: 7

Coeficiente: 1

29. Viaje en Tren. Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $ 4.50. Escriba su

costo como función del ingreso del pasajero ¿Qué tipo de función es?

Costo del boleto: $4.50

Ingreso del pasajero: 𝐼

Costo en función del ingreso: 𝑐(𝑖) = 4.50 Esta es una función constante.

30. Geometría. Un prima rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho y

altura; una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como

una función del ancho. ¿Qué clase de función es?

𝑤 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎

𝑤 + 3 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎

2𝑤 − 1 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎

Formula del volumen del prisma rectangular:

𝑣(𝑤) = (𝑤 + 3)(𝑤)(2𝑤 − 1)

𝑣(𝑤) = 2𝑤3 + 5𝑤2 − 3𝑤

Es una función cúbica.

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31. Función de costo. En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial

de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad producida (a)

exprese el costo total c (en dólares) como una función lineal del número q de unidades producidas

(b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $ 1 600?


Costo inicial: 𝑐𝑜 = $850

Costos adicionales por cada unidad: $3

Número de unidades: 𝑞

a) 𝑐(𝑞) =?

b) Si 𝑐(𝑞) = 1600 debemos hallar 𝑞

Establecemos el costo en función del número de unidades

𝑐(𝑞) = 850 + 3𝑞

Determinamos el número de unidades si 𝑐(𝑞) = 1600

1 600 = 850 + 3𝑞

750 = 3𝑞

𝑞 = 250

33. Ventas. Para estimular las ventas A grupos grandes, un teatro cobra dos precios si su grupo

es menor de 12 cada boleto cuesta $ 9,50. Si un grupo es de 120 o más, cada boleto cuesta $ 8,75.

Escriba una función definida para presentar el costo de comprar n boletos.

El costo de la compra de n por entrada es:

𝑐(𝑛) = {9.50𝑛 0 ≤ 𝑛 < 128.75𝑛 12 ≤ 𝑛

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2.3 Combinaciones de funciones

Problemas 2.3 Páginas: 90 -91 Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 18, 19, 20

1. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟑 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟓 encuentre

a) (𝒇 + 𝒈)(𝒙)

Tomando la definición de la suma de funciones (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

Reemplazamos las funciones:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3) + (𝑥 + 5)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 8

b) (𝒇 + 𝒈)(𝟎)

A partir de la definición de suma de funciones

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 8

Calculamos (𝑓 + 𝑔)(0)

(𝑓 + 𝑔)(0) = 2(0) + 8

(𝑓 + 𝑔)(0) = 8

c) (𝒇 − 𝒈)(𝒙)

Mediante la definición de la diferencia de funciones tenemos

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3) − (𝑥 + 5)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = −2

d) (𝒇𝒈)(𝒙)

Mediante la definición de la multiplicación de funciones tenemos

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

(𝑓𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 5)

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15

e) (𝒇𝒈)(−𝟐)

Sabemos que el producto es (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15

Calculamos (𝑓𝑔)(−2)

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(𝑓𝑔)(−2) = (−2)2 + 8(−2) + 15

(𝑓𝑔)(−2) = 3

f) (𝒇

𝒈) (𝒙)

Tomando en cuenta la definición de la división de funciones

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) ≠ 0

Reemplazando se tiene

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥 + 3

𝑥 + 5

g) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)

De la definición de composición de funciones (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) tenemos

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 5)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 5) + 3

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8

h) (𝒇𝒐𝒈)(𝟑)

Sabiendo que (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8

Calculamos (𝑓𝑜𝑔)(3)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8

(𝑓𝑜𝑔)(3) = 3 + 8

(𝑓𝑜𝑔)(3) = 11

i) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)

Aplicamos la definición de composición de funciones

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥 + 3)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑥 + 3) + 5

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8

j) (𝒈𝒐𝒇)(𝟑)

Sabiendo que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8

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Calculamos (𝑔𝑜𝑓)(3)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8

(𝑔𝑜𝑓)(3) = 3 + 8

(𝑔𝑜𝑓)(3) = 11

3. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙, encuentre lo siguiente:

a) (𝒇 + 𝒈)(𝒙)

De la definición de adición de funciones se tiene

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 ) + (𝑥2 − 𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 1

b) (𝒇 − 𝒈)(𝒙)

De la definición de diferencia de funciones se tiene

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 ) − (𝑥2 − 𝑥)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1

c) (𝒇 − 𝒈) (−𝟏

𝟐)

Sabiendo que (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1

Calculamos (𝒇 − 𝒈) (−𝟏

𝟐)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1

(𝑓 − 𝑔)(−1

2) = 𝑥 + 1

(𝑓 − 𝑔)(−1

2) = (−

1

2) + 1

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =1

2

d) (𝒇𝒈)(𝒙)

De la definición del producto de funciones tenemos

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 )(𝑥2 − 𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥

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e) (𝒇

𝒈) (𝒙)

De la definición del cociente de funciones tenemos

(𝒇

𝒈) (𝒙) =

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥2 + 1

𝑥2 − 𝑥

f) (𝒇

𝒈) (−

𝟏

𝟐)

Conociendo que el cociente de funciones es:

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥2 + 1

𝑥2 − 𝑥

Calculamos (𝒇

𝒈) (−

𝟏

𝟐)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

(−12)2

+ 1

(−12)2

− (−12)

(𝑓

𝑔) (𝑥) = (

5

3)

g) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)

De la definición de composición de funciones tenemos

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥2 − 𝑥)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = ((𝑥2 − 𝑥)2 + 1)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 + 1

h) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)


(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥2 + 1)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑥2 + 1)2 − (𝑥2 + 1)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2

30

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i) (𝒈𝒐𝒇)(−𝟑)

Conociendo que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 tenemos

(𝑔𝑜𝑓)(−3) = 𝑥4 + 𝑥2

(𝑔𝑜𝑓)(−3) = (−3)4 + (−3)2

(𝑔𝑜𝑓)(−3) = 90

7. Si: 𝐅(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟕𝒕 + 𝟏 y 𝐆(𝒕) = 𝟐

𝒕−𝟏, encuentre:

(𝐅𝒐𝐆)(𝒕) y (𝐆𝒐𝐅)(𝒕)


(F𝑜G)(𝑡) = F(G(𝑡))

(F𝑜G)(𝑡) = F (2

𝑡 − 1)

(F𝑜G)(𝑡) = (2

𝑡 − 1)2

+ 7(2

𝑡 − 1) + 1

(F𝑜G)(𝑡) = (2

𝑡 − 1)2

+ 7(2

𝑡 − 1) + 1

La composición de funciones (G𝑜F)(𝑡) = G(F(𝑡)), entonces

(G𝑜F)(𝑡) = G(F(𝑡))

(G𝑜F)(𝑡) = G(𝑡2 + 7𝑡 + 1 )

(G𝑜F)(𝑡) = 2

𝑡2 + 7𝑡 + 1 − 1

(G𝑜F)(𝑡) = 2

𝑡2 + 7𝑡

17. Utilidad. Cierto expendio de café vende una libra de café por $ 9.75. Los gastos mensuales

son $ 4 500 más $ 4.25 por cada libra vendida.

a) Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total como una función del número de

libras vendidas.

b) Escriba una función c(x) para los gastos mensuales totales como una función del número

de libras de café vendidas.

c) Escriba una función (r – c)(x) para la utilidad mensual total como una función del número

de libras vendidas.


Precio por cada libra vendida: $9.75

Costos fijos: $4500

Costos variables: $4.25

Número de libras vendidas: 𝑥

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a) Función de ingreso total

𝑟(𝑥) = 9.75𝑥

b) Función de gastos

𝑐(𝑥) = 4500 + 4.25𝑥

c) Función de utilidad

(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥)

(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 9.75𝑥 − (4500 + 4.25𝑥)

(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 5.50𝑥 − 4500

18. Geometría. Suponga que el volumen de un cubo es: 𝒗(𝒙) = (𝟒𝒙 − 𝟐)𝟑, exprese v como

una composición de dos funciones y explique que representa cada función.

La fórmula para calcular el volumen de un cubo de arista 𝑥 es:

𝑓(𝑥) = 𝑥3

Si la arista es: 𝑙(𝑥) = (4𝑥 − 2) entonces:

𝑓(𝑙(𝑥)) = 𝑓(4𝑥 − 2) = (4𝑥 − 2)3

Luego el volumen puede escribirse como la composición de la funciones 𝑓 y 𝑙

𝑣(𝑥) = (𝑓(𝑙(𝑥)) = (𝑓𝑜 𝑙)(𝑥)

Donde

𝑓(𝑥) = (𝑥)3 , y

𝑙(𝑥) = 4𝑥 − 2

Entonces 𝑙(𝑥) representa la longitud de los lados del cubo, mientras que 𝑓(𝑥) es el

volumen de un cubo.

19. Negocio. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día

q, es una función del número de empleados m, donde 𝒒 = 𝒇(𝒎) = 𝟒𝟎𝒎−𝒎𝟐

𝟒. El ingreso total ,

𝒓, que se recibe por la venta de 𝒒 unidades, está dado por la función 𝒈, donde 𝒓 = 𝒈(𝒒) =

𝟒𝟎𝒒. Determine (𝒈𝒐𝒇)(𝒎). ¿Qué es lo que describe esta función compuesta?


𝑞 = 𝑓(𝑚) = 40𝑚 −𝑚2

4

𝑟 = 𝑔(𝑞) = 40𝑞

(𝑔𝑜𝑓)(𝑚) =?

A partir de la definición de composición de funciones (𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑚)) tenemos:

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(𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑚))

= 𝑔 (40𝑚 −𝑚2

4)

= 40 (40𝑚 − 𝑚2

4)

= 10(40𝑚 − 𝑚2)

= 400𝑚 − 10𝑚2

La función (𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑟(𝑚) = 400𝑚 − 10𝑚2 representa los ingresos totales

recibidos por la venta de q unidades producidas por m empleados.

20. Sociología. Se han hecho estudios concernientes a la relación estadística entre

posición social, educación e ingresos. Se denota con 𝑺 al valor numérico de la posición social, con

base en el ingreso anual 𝑰. Para cierto tipo de población suponga

𝑺 = 𝒇(𝑰) = 𝟎, 𝟒𝟓(𝑰 − 𝟏𝟎𝟎𝟎)𝟎,𝟓𝟑

Además suponga que el ingreso de una persona 𝑰 es una función de numero de años de

educación 𝑬 donde

𝑰 = 𝒈(𝑬) = 𝟕𝟐𝟎𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟗𝑬𝟑.𝟔𝟖

Determine (𝒇 ∘ 𝒈)(𝑬). ¿Qué es lo que describe esta función?

A partir de la definición de composición de funciones se tiene

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝐸) = 𝑓(𝑔(𝐸))

= 𝑓(7202 + 0.29𝐸3.68)

= 0,45(7202 + 0.29𝐸3.68 − 1000)0.53

= 0,45(6202 + 0.29𝐸3,68)0.53

Interpretamos el significado de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)

(𝑓 ∘ 𝑔) Representa la posición social en función del número de años de educación.

2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares

33

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Problemas 2.5 Páginas: 101 – 102 Ejercicios: 1, 4, 29, 31

En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es posible,

indique al que pertenece cada punto.

1. (−2, 7), (8,−3), (−1

2, −2), (0, 0)

2. En la Figura 2.27 (b) se muestra la gráfica de y = f(x)

a) Estime f(0) y f(2)

𝑓(0) = 2

𝑓(2) = 0

b) ¿Cuál es el dominio de f?

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 / 𝑥 ≥ 0}

c) ¿Cuál es el rango de f?

𝑅𝑔(𝑓) = {𝑦 / 𝑦 ≤ 2}

d) ¿Cuál es una raíz real de f?

Las raíces reales se presentan cuando 𝑓(𝑥) = 0, así:

𝑓(2) = 0 entonces 𝑥 = 2 es una raíz real.

En los problemas 21 a 34, grafique cada función y determine su dominio y rango. También

determine las intersecciones

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29. Si 𝒇(𝒕) = √𝒕𝟐 − 𝟗

Graficando la función se tiene

Calculamos el dominio

La función existe si 𝑡2 − 9 ≥ 0, entonces:

Si 𝑡2 ≥ 9 ⟹ |𝑡| ≥ 3

|𝑡| ≥ 3 ⟺ 𝑡 ≤ −3 ∨ 𝑡 ≥ 3

Así se tiene:

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞,−3] ∪ [3,+∞)

Calculamos el recorrido

A partir del dominio se tiene:

𝑡 ≤ −3 𝑡2 ≥ 9

𝑡2 − 9 ≥ 0 𝑓(𝑡) ≥ 0

𝑡 ≥ 3 𝑡2 ≥ 9

𝑡2 − 9 ≥ 0 𝑓(𝑡) ≥ 0

En consecuencia el recorrido es:

𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [0. +∞)

Calculamos las intersecciones

Las intersecciones se presentan cuando 𝑦 = 𝑓(𝑡) = 0

0 = √𝑡2 − 9,

0 = 𝑡2 − 9

(𝑡 − 3)(𝑡 + 3) = 0 ⟺ (𝑡 − 3) = 0 v (𝑡 + 3) = 0

⟺ 𝑡 = 3 v 𝑡 = −3

Las intersecciones son los puntos: (-3,0) y (3,0)

31. 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟏|

Graficando la función se tiene:

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Calculamos el dominio:

No existe restricción para los valores que puede tomar 𝑥, es decir, no existe 𝑥 en

un denominador o dentro de un radical de índice par entonces:

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ


Los valores que puede tomar "𝑦" son solo positivos, entonces:

𝑅𝑒𝑐(𝑓) = ℝ+ ∪ {0}


Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓(0) = |2(0) − 1| = 1

Si 𝑓(𝑥) = 0 ⟹ |2𝑥 − 1| = 0 ⟹ 𝑥 =1

2

Los puntos de intersección son: (1

2, 0) y (0,1)

36

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CAPITULO 3 RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1 Rectas

Problemas 3.1 Páginas: 123 -124 Ejercicios: 9, 17, 55, 69, 71

En los problemas 9 a24, encuentre una ecuación lineal general (Ax + By + C = 0) de la recta que tiene las propiedades indicadas, y haga el bosquejo de cada recta. 9. Pasa por (-1,7) y tiene pendiente -5

A partir de la ecuación punto-pendiente tenemos: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑦𝑥1)

𝑦 − 7 = −5(𝑥 − (−1)) 𝑦 − 7 = −5(𝑥 + 1) 𝑦 − 7 = −5𝑥 − 5 5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 17. Tiene pendiente 2 y su intersección y es 4.

A partir de la ecuación pendiente y ordenada al origen (función lineal) se tiene:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 = 2𝑥 + 4

0 = 2𝑥 − 𝑦 + 4 En los problemas 51 a 60 encuentre una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, dé la respuesta en la forma pendiente-intersección. 55. Es perpendicular a y = 3x – 5 y pasa por (3,4).

Determinamos las dos rectas L1 y L2; considerando la condición de perpendicularidad 𝑚1.𝑚2 = −1

L1: 𝑦 = 3𝑥 − 5 𝑚1 = 3

L2: 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2 𝑚2 = −1

𝑚1= −

1

3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 4 = −1

3(𝑥 − 3)

3(𝑦 − 4) = −(𝑥 − 3) ⟹ 3𝑦 − 12 = −𝑥 + 3

3𝑦 = −𝑥 + 3 + 12 ⟹ 3𝑦 = −𝑥 + 15

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3𝑦 = −𝑥 + 3 + 12 ⟹ 3𝑦 = −𝑥 + 15

𝑦 = −𝑥

3+15

3

𝑦 = −𝑥

3+ 5

69. Geometría. Muestre que los puntos A(0,0), B(0,4), C(2,3) y D(2,7) son los vértices de un

paralelogramo (los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos)

Calculamos las pendientes de los lados del paralelogramo mediante la fórmula:

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Lado DC 𝑚 =3−7

2−2 =

−4

0 Indeterminada

Lado BA 𝑚 =0−4

0−0 =

−4

0 Indeterminada

Lado BD 𝑚 =7−4

7−0 =

3

2

Lado AC 𝑚 =3−0

2−0 =

3

2

Comprobamos que los lados opuestos son paralelos 𝑚𝐷𝐶 = 𝑚𝐵𝐴 𝑚𝐵𝐷 = 𝑚𝐴𝐶 71. Ecuación de costo. El costo diario promedio, C, de un cuarto en un hospital de la ciudad se

elevó $59.82 por año, durante la década de 1990 a 2000. Si el costo promedio en 1996 fue $1128.50. ¿cuál es una ecuación que describe el costo promedio durante esta década como una función del número de años, T, desde 1990?


Elevación del costo por año: 𝑚 =$59.82

𝑎ñ𝑜

Intervalo de Tiempo: 𝑡 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 Para 𝑡 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠 el costo es 𝐶 = $1128.50: Punto (6; 1128.50) 𝐶(𝑡) =?

Calculamos mediante la ecuación punto pendiente Si 𝑃(6; 1128.50) y 𝑚 = 59.82

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 1128.50 = 59.82(𝑡 − 6) y-1128.50 = 59.82t-358.92) y = 59.82t-358.92 + 1128.50

𝑦 = 𝐶(𝑡) = 59.82𝑡 + 769.58

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3.2 Aplicaciones y funciones lineales

Problemas 3.2 Páginas: 129-130 Ejercicios: 15, 16, 17, 21, 25, 34

15. Ecuación de demanda Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto

cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuación de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades. Sea (𝑥, 𝑦) = (𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜), entonces se tienen los puntos.

(40; 12.75) (25; 18.75)

Calculamos la pendiente

𝑚 =18.75−12.75

25−40 ⟹ 𝑚 =

6

−15 ⟹ 𝑚 = −

2

5

Utilizamos la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 12.75 = −2

5(𝑥 − 40)

𝑦 = −2

5𝑥 + 28.75 Ecuación de demanda

Calculamos el precio cuando se demandan 37 unidades

𝑦 = −2

5(37) + 28.75

𝑦 = −74

5 + 28.75

𝑦 =−74 +143.75

5=62.75

5 ⟹ 𝑦 = 13.95

16. Ecuación de demanda. La demanda semanal para un CD es de 26000 unidades cuando el

precio es $12 cada una, y de 10000 cuando el precio unitario es de $18. Encuentre una ecuación de demanda para el CD, suponga que es lineal. Se tienen los puntos: (26000, 12) y (10000, 18)

Calculamos la pendiente que une los puntos

𝑚 =18−12

10000−26000 ⟹ 𝑚 =

6

−16000 ⟹ 𝑚 = −

3

8000

Calculamos la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 12 = −3

8000(𝑥 − 26000)

𝑦 − 12 = −3

8000𝑥 + 9.75)

𝑦 = −3

8000𝑥 + 9.75 + 12 ⟹

𝑦 = −3

8000𝑥 + 21.75 Ecuación de demanda

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17. Ecuación de oferta. Un fabricante de refrigeradores producirá 3000 unidades cuando el precio sea de $940 y 2200 unidades cuando el precio sea $740. Suponga que el precio, p, y la cantidad producida, q, están relacionadas de manera lineal Encuentre la ecuación de oferta.

Se tienen los puntos correspondientes (3000; 940) y (2200; 740)

Calculamos la pendiente de la recta que une esos puntos

𝑚 =740 − 940

2200 − 3000

𝑚 =200

800 ⟹ 𝑚 =

1

4

Calculamos la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 940 =1

4(𝑥 − 3000)

𝑦 =1

4𝑥 −

3000

4+ 940

𝑦 =1

4𝑥 + 190

21. Tarifa de electricidad. Una compañía de electricidad cobra 12.5 centavos por kilowatt-hora

más un cargo base mensual a los clientes residenciales. La factura mensual de un cliente es de $51.65 por 380 kilowatt-hora. Encuentre una función lineal que de describa el monto total por concepto de electricidad, si x es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.

Para la función lineal 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) se tiene la pendiente 𝑚 y el punto 𝑃1 𝑚 = 0.125 𝑃1 = (380; 51.62)

Reemplazando tenemos: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 51.65 = 0.125(𝑥 − 380) 𝑦 − 51.65 = 0.125𝑥 − 47.5) 𝑦 = 0.125𝑥 − 47.5 + 51.65 𝑦 = 0.125𝑥 + 4.15

Luego, 𝑦 = 0.125𝑥 + 4.15 es la función de monto por concepto de consumo. 25. Apreciación. Un nuevo edificio de departamentos se vendió por $960000 cinco años después

de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $45000 por año, mientras ellos fueron los propietarios. Encuentre una función que describa la apreciación del inmueble, si x es el número de años desde la compra original.

Para la función lineal 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) se tiene 𝑚 = 45000 y el punto (5,960000)

luego: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

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𝑦 − 96000 = 45000(𝑥 − 5) 𝑦 − 96000 = 45000𝑥 − 225000 𝑦 = 45000𝑥 − 225000 + 96000 ⟹ 𝑦 = 45000𝑥 + 735000 Función de apreciación 34. Dieta para cerdos. Tras las pruebas realizadas con una dieta experimental para cerdos, se

determinó que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo, de acuerdo con las estadísticas, era una función lineal del número de días, d, después de haber iniciado la dieta, donde 0≤d≤100. Si el peso del cerdo al inicio del régimen fue de 21 kg, y a partir de entonces ganó 6.3 kg cada 10 días, determine w como una función de d y calcule el peso de un cerdo 55 días después de que inició la dieta.

Sea el peso (w) y el número de días (d), entonces se tiene la relación (0,21) La pendiente sería:

𝑚 =6.3

10 ⟹ 𝑚 = 0.63

Luego la función lineal será 𝑤 − 𝑤1 = 𝑚(𝑑 − 𝑑1 𝑤 − 21 = 0.63(𝑑 − 0) 𝑤 − 21 = 0.63𝑑 𝑤 = 0.63𝑑 + 21

El peso a los 55 días será:

𝑤 = 𝑓(𝑑) = 0.63𝑑 + 21 𝑤 = 0.63 × 55 + 21

𝑤 = 55.65 𝑘𝑔

3.3 Funciones cuadráticas

41

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Problemas 3.3 Páginas: 136-137. Ejercicios: 13, 17, 29, 33, 37

Grafique cada función de los problemas 13 a 22. Obtenga el vértice y las intersecciones y determine el rango.

13. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 Se tienen los valores 𝑎 = 1 𝑏 = −6 𝑐 = 5

Calculamos el vértice (−𝑏

2𝑎, 𝑓(−

𝑏

2𝑎)) = (3,4)

𝑥 = −𝑏

2𝑎

𝑥 = −−6

2(1)

𝑥 = 3

𝑦 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎)

𝑦 = 𝑓(3) = (3)2 − 6(3) + 5 𝑦 = 9 − 18 + 5 𝑦 = −4

Calculamos la intersecciones

Intersección con el Eje X

Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 ⟹ (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) = 0

𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = 1

𝑃1 = (5,0) 𝑃2 = (1,0)

Intersección con el Eje Y

Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5

𝑦 = 02 − 6(0) + 5 ⟹ 𝑦 = 5 ⟹ 𝑃3(0,5)


A partir del vértice se tiene: 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [−4,+∞)

17. 𝒔 = 𝒉(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 + 𝟗

42

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13 TRAZADO DE

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14 INTEGRACIÓN

Se tienen los valores 𝑎 = 1 𝑏 = 6 𝑐 = 9

Calculamos el vértice (−𝑏

2𝑎, 𝑓(−

𝑏

2𝑎)) = (−3,0)

𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

6

2(1) = −3

𝑦 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎) = 𝑓(−3) = (−3)2 + 6(3) + 9

𝑦 = −9 + 18 + 9 = 0

Calculamos la intersecciones


Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑡2 + 6𝑡 + 9 = 0

(𝑡 + 3)(𝑡 + 3) = 0

𝑃1 = 𝑃2 = (−3,0) Intersección con el Eje Y

Si 𝑡 = 0 ⟹ 𝑠 = ℎ(𝑡) = 𝑡2 + 6𝑡 + 9

𝑠 = ℎ(0) = 02 + 6(0) + 9 = 9

𝑃2 = (0,9)

Calculamos el recorrido A partir del vértice se tiene: 𝑅𝑒𝑐(ℎ) = [0, +∞)

29. Ingreso. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 200-5q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

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Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. El valor máximo o mínimo en una función cuadrática, lo determina el vértice, entonces:

𝑆𝑖 𝑝 = 200 − 5𝑞 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜: 𝑟 = 𝑝. 𝑞 = (200 − 5𝑞). 𝑞

𝑟 = 200𝑞 − 5𝑞2 = −5𝑞2 + 200𝑞

𝑎 = −5 𝑏 = 200 Calculando el vértice se tiene:

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (−𝑏

2𝑎, 𝑓 (−

𝑏

2𝑎)) = (𝑞, 𝑟) ⟹

𝑞 = −𝑏

2𝑎 =

−200

2(−5) ⟹ 𝑞 = 20

𝑟 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎) = 𝑓(20) = −5(20)2 + 200(20) = 2000

⟹ 𝑟 = 200

Así se tiene: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(20, −2000) Lo cual significa que el nivel de producción que maximiza los ingresos es 20 unidades, y el ingreso máximo es 2000.

33. Utilidad. La utilidad diaria proveniente de la venta de árboles en el departamento de jardinería de una tienda está dada por P(x) = -x2 + 18x + 144, donde x es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones de la función y grafique la función.

A partir de la función de utilidad establecemos los valores de las constantes a, b y c

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑃(𝑥) = −𝑥2 + 18𝑥 + 144 𝑎 = −1 𝑏 = 18 𝑐 = 144

Calculamos el vértice

𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (−𝑏

2𝑎, 𝑓(−

𝑏

2𝑎)) = (9,225)

𝑥 = −𝑏

2𝑎 =

−18

2(−1) 𝑥 = 9

𝑦 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎) = 𝑓(9) = −5(9)2 + 18(9) + 144

𝑦 = −81 + 162 + 177 = 225

Calculamos las intersecciones Intersección con el Eje Y Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = −(0)2 + 18(0) + 144 = 144 ⟹ 𝑃1 = (0,144)

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Si 𝑦 = 0 ⟹ −𝑥2 + 18𝑥 + 144 = 0 ⟹ (𝑥 − 24)(𝑥 + 6) = 0 𝑃2 = (24,0) 𝑃3 = (−6,0)

Con los puntos obtenidos, realizamos la gráfica

37. Tiro con arco. Un muchacho que está parado en una colina, tira una flecha directamente hacia arriba a una velocidad inicial de 85 pies por segundo. La altura, h, de la flecha en pies, t segundos después de que se lanzó, se describe mediante la función h(t) = —16t2+ 85t + 22. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha? ¿Después de cuántos segundos de ser disparada alcanza esta altura?

La gráfica de la función de altura es una parábola que se abre hacia abajo y los valores máximos los determina el vértice, entonces: Si ℎ(𝑡) = −16𝑡2 + 85𝑡 + 22 ⟹ 𝑎 = −16, 𝑏 = 85, 𝑐 = 22

𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (−𝑏

2𝑎, 𝑓(−

𝑏

2𝑎)) = (𝑡𝑚𝑎𝑥, ℎ𝑚𝑎𝑥)

𝑡𝑚𝑎𝑥 = −𝑏

2𝑎=

−85

2(−16) =−85

−32= 2.65 ≈ 2.7

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎) = 𝑓(2.7)

= −16(2.7)2 + 85(2.7) + 22 𝑦𝑚𝑎𝑥 = −116.64 + 229.5 + 22 = 134.86

Así, la altura máxima es 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 134.86 segundos y el tiempo en llegar a esa altura es 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 2.7 pies

3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

45

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Problemas 3.6 Páginas: 156-157 Ejercicios: 15, 16, 18,20, 23

15. Negocios. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son:

𝟑𝒒 − 𝟐𝟎𝟎𝒑 + 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟎 (1) y 𝟑𝒒 + 𝟏𝟎𝟎𝒑 − 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟎 (2)

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.

(a) Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica. (b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un de impuesto de 27 centavos por unidad

al proveedor.

a) El precio de equilibrio se calcula igualando las funciones de oferta y de demanda Oferta = demanda

3𝑞 − 200𝑝 + 1800 = 3𝑞 + 100𝑝 − 1800 3𝑞 − 200𝑝 − 3𝑞 − 100𝑝 = −1800 − 1800 −200𝑝 − 100𝑝 = −3600

−300𝑝 = −3600

𝑝 = −3600

−300= 12

El precio para que se mantenga el equilibrio es de 12. Reemplazando 𝑝 = 12 en la ecuación (1) se tiene:

3𝑞 − 200(12) + 1800 = 0 3𝑞 − 2400 + 1800 = 0

3𝑞 = 600 ⟹ 𝑞 =600

3= 200

b)

Establecemos la función de oferta cuando se carga el impuesto: 3𝑞 − 200𝑝 + 1800 = 0

3𝑞 + 1800 = 200𝑝 ⟹ 3𝑞+1800

200= 𝑝 ⟹

La función de oferta sin impuesto es: 𝑝 =3

200𝑞 + 9

Luego, la función de oferta con impuesto será:

𝑝 =3

200𝑞 + 9 + 0.27 ⟹ 𝒑 =

𝟑

𝟐𝟎𝟎𝒒 + 𝟗. 𝟐𝟕

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Calculamos la función de demanda: 3𝑞 + 100𝑝 − 1800 = 0

𝑝 =−3𝑞 + 1800

100

𝒑 =−𝟑𝒒

𝟏𝟎𝟎+ 𝟏𝟖

Igualamos la oferta y la demanda:

𝟑

𝟐𝟎𝟎𝒒 + 𝟗. 𝟐𝟕 =

−𝟑

𝟏𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟖

𝟑

𝟐𝟎𝟎𝒒 + 𝟗. 𝟐𝟕 =

−𝟑

𝟏𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟖

0.015𝑞 + 0.03𝑞 = 18 − 9.27

0.045𝑞 = 8.73 ⟹ 𝑞 = 8.73

0.045 = 194

Reemplazando se tiene:

𝑝 =3

200(194) + 9.27 => 12.18

𝑝 = 12.18

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CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

4.1 Funciones exponenciales

Problemas 4.1 Páginas: 173 – 174 Ejercicios: 5, 7, 15, 19, 27, 29, 31, 35

En los problemas 1 a 12 grafique la función

5. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐(𝒙−𝟏)𝟐

La función original es: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 la misma que tiene las siguientes características

- 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ

- 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [1, +∞) , ya que el valor

mínimo valor de y es 1, esto es cuando

𝑥 = 0

- Es simétrica respecto al Eje Y, se

comprueba reemplazando x por –x de lo

cual se obtiene la misma función.

Graficando 𝑦 = 2𝑥2 se obtiene la gráfica

que se ubica más a la izquierda, mientras 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2(𝑥−1)2se obtiene desplazando la

gráfica inicial una unidad hacia la derecha.

7. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙+𝟐

A partir de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 se obtiene la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥+2.

La función tiene la forma 𝑓(𝑥 + 𝑐) donde 𝑐 = 2 .

La gráfica

de

𝑓(𝑥) =

3𝑥+2 se

obtiene

desplazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 , 𝑐 = 2 unidades hacia la izquierda.

48

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15. Población La población proyectada de una ciudad está dada por 𝐩 = 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝟏.𝟏𝟏)𝒕 𝟐𝟎⁄

donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población que se pronostica

para el año 2015?

Número de años transcurridos:

𝑡 = 2015 − 1995 = 20 𝑎ñ𝑜𝑠

La población para 𝑡 = 20 es:

𝑃 = 125,000(1.11)20

20 = 125000(1.11)1 = 𝑃 = 138.750

En los problema 19 a 27 encuentre (a) el monto compuesto y (b) el interés compuesto para la

inversión y la tasa anual dadas.

19. $4000 durante 7 años al 6% compuesto anualmente

El monto compuesto S del capital P al final de n años a una tasa de r compuesta anualmente está

dado por:

𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛

a) Si 𝑃 = 4000 𝑛 = 7 𝑟 = 0.06 entonces:

𝑆 = 400(1 + 0.06)7 = 6014.52

b) Interés compuesto:

6014.52 − 4000 = 2014.52

27. $ 8000 durante 3 años a 𝟔𝟏

𝟒 % compuesto diariamente (suponga que hay 365 das en un año).

El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r

está dada por:

𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛

a) Si 𝒓 =𝟔𝟏

𝟒%

𝟑𝟔𝟓=0.0625

365 𝑛 = 3(365) entonces:

𝑆 = 8000 (1 +0.0625

365)

3(365)

≈ $9649.69

b) Interés compuesto 9649.69 − 8000 = $1649.69

29. Inversión: se copra un certificado de depósito por $ 6.500 y se conserva durante seis meses.

Si gana 4% compuesto trimestralmente ¿Cuál es el valor del certificado al cabo de seis meses

años?

El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r

está dada por: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛

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Si n=6años por 4 trimestres =24𝑟 =4%

4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠=0.04

4 𝑃 = 6500

Entonces: S= 6500 (1 +0.04

4)24≈ 8253.28

31. En cierto cultivo crecen bacterias y su número se incrementa a razón de 𝟓% cada hora. Al

inicio existían 400 bacterias. (a) Determine una ecuación que determine el número, N, de

bacterias presentes después de t horas. (b) ¿Cuántas habrá al cabo de 1 hora? (c) ¿Y después de

4 horas? Dé sus respuestas a (b) y (c) al entero más cercano.

(a) Si 𝑁0 = 400 𝑟 = 0.05 entonces 𝑁 = 𝑁0(1 + 𝑟)𝑡, luego:

𝑁 = 400(1,05)𝑡

(b) Si 𝑡 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 entonces:

𝑁(1) = 400(1.05)1 = 420

(c) Si 𝑡 = 4 horas entonces:

𝑁(4) = 400(1.05)4 = 486

Los problemas 35 y 36 involucran una población que declina. Si una población disminuye a una

tasa de r por período, entonces la población P después de t períodos está dada por 𝑷 =

𝑷𝟎(𝟏 − 𝒓)𝒕 donde 𝑷𝟎 es la población inicial (la población cuando t=0).

35. Población. A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye

a razón de 1,5% anual. Al inicio había 350000 habitantes ¿Cuántos habrá después de tres años?

De su respuesta al entero más cerrado.

Si 𝑃0 = 350000 𝑟 = 0.015 𝑡 = 3 entonces:

𝑃 = 𝑃0(1 − 𝑟)𝑡

𝑃 = 350000(1 − 0,015)3

𝑃 = 350000(0.985) 3

𝑃 ≈ 334485

4.2 Funciones logarítmicas

Problemas 4.2 Página 180. Ejercicios: 1, 11, 29, 49, 57, 59

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En los problemas 1 a 8, exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma

exponencial de manera logarítmica.

1. 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

Por definición se tiene: 𝑎𝑥 = 𝑏 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑥

Luego, 104 = 10000 ⟺ 𝑙𝑜𝑔1010000 = 4

En los problemas 9 a 16 grafique las funciones

11. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏/𝟒 𝒙

Transformamos la función a la forma exponencial equivalente

𝑦 = 𝑓(𝑥) = log1/4 𝑥 ⟺ (1

4)𝑦 = 𝑥

Luego, haciendo un cambio de variable se tiene:

𝑦 = (1

4)𝑥

Graficamos la función 𝑦 = (1

4)𝑥

X -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2

Y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625

⇒

Graficamos la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log1/4 𝑥 intercambiando los valores correspondientes

a la función 𝑦 = (1

4)𝑥 , así:

X 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.0625

Y -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 2

Se observa que las dos gráficas se reflejan respecto al la recta y=x

51

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Encuentre x en los problemas 29 a 48

29. 𝒍𝒐𝒈𝟑𝒙 = 𝟒

Aplicando la definición se tiene:

𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 4 ⟺ 34 = 𝑥 entonces 𝑥 = 81

Encuentre x en los problemas 49 a 52 además exprese su respuesta en términos logaritmos de logaritmos naturales.

49. 𝒆𝟑𝒙 = 𝟐 Aplicando la definición se tiene 𝑒3𝑥 = 2 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑒2 = 3𝑥 El logaritmo natural es:

𝑙𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 ⟹ 3𝑥 = 𝑙𝑛 2 ⟹ 𝑥 =𝑙𝑛 2

3

57. Apreciación. Suponga que una antigüedad incrementa su valor en 10% cada año. Haga una gráfica del número de años que cierto propietario la conserva como una función del aumento multiplicativo de su valor original. Marque la gráfica con el nombre de la función.

Sean:

𝑎 = valor inicial de de alguna antigüedad

1+10%=1.1 = Factor de incremento

𝑦 = valor de la antigüedad al final de t años

Calculamos el valor de la antigüedad para 1,2,3,….t años.

Tiempo (años)

Valor

1 𝑦 = 𝑎(1.1)

2 𝑦 = 𝑎(1.1))1.1 = 𝑎(1.1)2

3 𝑦 = 𝑎(1.1)2)1.1 = 𝑎(1.1)3

t 𝑦 = 𝑎(1.1)𝑡

Establecemos la función del valor de la antigüedad en función del número de años: 𝑦 = 𝑎(1.1)𝑡

El valor inicial puede ser cualquier valor, supongamos que vale 1 unidad, entonces la función será:

𝑦 = (1.1)𝑡

Graficamos esta función dando valores a t y se obtiene la gráfica siguiente:

52

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Graficamos la función inversa, intercambiando los valores que están el EjeX por los

valores del EjeY. Se obtiene la gráfica de color rojo siguiente:

59. Ecuación oferta. La ecuación de oferta de un fabricante es 𝒑 = 𝐥𝐨𝐠(𝟏𝟎 +𝒒

𝟐) Donde q es el

número de unidades al precio unitario p. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?

Reemplazamos el valor de q=1980 unidades en la función de oferta:

𝑝 = log (10 +𝑞

2) = log (10 +

1980

2) = log(10 + 990) = log(1000) = 3

53

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4.3 Propiedades de los logaritmos

Problemas 4.3 Páginas 185 – 186. Ejercicios: 5, 20, 31, 32, 42, 45

En los problemas 1 a 10 se establece que 𝒍𝒐𝒈𝟐 = 𝒂, 𝒍𝒐𝒈𝟑 = 𝒃 y 𝒍𝒐𝒈𝟓 = 𝒄. Exprese el logaritmo

indicado en términos de a , b y c.

5. 𝐥𝐨𝐠𝟖

𝟑

A partir de la propiedad 𝑙𝑜𝑔𝐴

𝐵= 𝑙𝑜𝑔 𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵 se tiene:

log8

3= log 8 − log 3

= log 23 − log 3

= 3 log 2 − log 3

= 3𝑎 − 𝑏

En los problemas 1 a 20 exprese el valor de la expresión sin el uso de calculadora

20. 𝒆𝐥𝐧𝝅

Considerando que las función exponencial es la inversa de la función logarítmica entonces

𝑒ln 𝜋 = 𝜋

En los problemas 21 a 32, escriba la expresión en términos del 𝒍𝒏𝒙, 𝐥 𝐧(𝐱 + 𝟏), 𝐥𝐧 (𝒙 + 𝟐).

31. 𝐥𝐧 (𝟏

𝒙+𝟐√ 𝒙𝟐

𝒙+𝟏

𝟓)

Es conveniente transformar los radicales a potencias

ln (1

𝑥 + 2√𝑥2

𝑥 + 1

5

) = ln(1

𝑥 + 2(𝑥2

𝑥 + 1)

15

) = ln𝑥25

(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)15

Ahora aplicamos las propiedades

ln𝑥25

(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)15

= ln 𝑥25 − 𝑙𝑛 [(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)

15]

=1

5ln 𝑥 − ln(𝑥 + 2) −

1

5ln (𝑥 + 1)

54

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32. 𝐥𝐧 √𝒙𝟑(𝒙+𝟐)𝟐

(𝒙+𝟏)𝟑

𝟑

Expresamos el radical en la forma exponencial

ln √𝑥3(𝑥 + 2)2

(𝑥 + 1)3

3

= ln [𝑥3(𝑥 + 2)2

(𝑥 + 1)3]

13

Aplicamos las propiedades

ln [𝑥3(𝑥 + 2)2

(𝑥 + 1)3]

13

=1

3ln𝑥3(𝑥 + 2)2

(𝑥 + 1)3

=1

3{ln[𝑥3(𝑥 + 2)2] − ln(𝑥 + 1)3}

=1

3[ln 𝑥3 + ln(𝑥 + 2)2 − ln(𝑥 + 1)3]

=1

3[3 ln 𝑥 + 2 ln(𝑥 + 2) − 3 ln(𝑥 + 1)]

= ln 𝑥 +2

3ln(𝑥 + 2) − ln(𝑥 + 1)

En los problemas 41 a 44 determine los valores de las expresiones sin utilizar calculadora.

42. 𝒍𝒐𝒈𝟐 [𝐥𝐧(√𝟓+𝒆𝟐 + √𝟓) + 𝐥𝐧(√𝟓+𝒆𝟐 − √𝟓)]

Resolviendo la expresión dentro del corchete se tiene

𝑙𝑜𝑔2 [ln(√5+𝑒2 + √5) + ln(√5+𝑒2 − √5)] = 𝑙𝑜𝑔2 [ln(√5+𝑒

2 + √5)(√5+𝑒2 − √5)]

= 𝑙𝑜𝑔2[ln(5 + 𝑒2 − 5)] = 𝑙𝑜𝑔2[ln 𝑒

2] = 𝑙𝑜𝑔2 (2) = 1

Encuentre x en los problemas 45 a 48.

45. 𝒆𝐥𝐧(𝟐𝒙) = 𝟓

Se eliminan la función exponencial con la función logarítmica debido a que son funciones

inversas

𝑒ln(2𝑥) = 5

⟹2𝑥 = 5

⟹ 𝑥 =5

2

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4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Problemas 4.4 Páginas 190 – 191 Ejercicios: 1, 7, 32, 33, 35, 45

Encuentre x en los problemas 1 a 36. Redondee sus respuestas a tres decimales

1. 𝐥𝐨𝐠(𝟑𝒙 + 𝟐) = 𝐥𝐨𝐠 (𝟐𝒙 + 𝟓)

log(3𝑥 + 2) = log (2𝑥 + 5) ⟺ 3𝑥 + 2 = 2𝑥 + 5 ⟹ 𝑥 = 3

7. 𝒆𝟐𝒙 ∙ 𝒆𝟓𝒙 = 𝒆𝟏𝟒

𝑒2𝑥 ∙ 𝑒5𝑥 = 𝑒14

⟺ 𝑒7𝑥 = 𝑒14

⟺ 7𝑥 = 14

⟹ 𝑥 = 2

32. 𝐥𝐨𝐠(𝒙 − 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠(𝒙 − 𝟓) = 𝟏

Por la definición de logaritmos se tiene:

log [(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)] = 1⟺ 101 = [(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)]

𝑥𝟐 − 8x + 15 = 10 ⟹ 𝑥𝟐 − 8x + 5 = 0

Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se tiene

𝑥 =8±√(−8)2−4(1)(5)

2(1) ⟹ 𝑥 = 4 ± √11 ⟹≈ 𝑥 = 7.317

𝑥 = 7.317 es el único valor que satisface la ecuación log(𝑥 − 3) + log(𝑥 − 5) = 1

33. 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟒 − 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟑𝒙 − 𝟐)

Agrupamos los logarítmos para aplicar las propiedades

𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 2) = 4

𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 4

𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 4 ⟺ 24 = (5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 15𝑥2 − 7𝑥 − 2

⟹ 15𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0

Resolvemos aplicando la fórmula cuadrática

𝑥 =7 − √1129

30≈ −0.887 𝑥 =

√1129 + 7

30≈ 1.353

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Luego, 𝑥 =√1129+7

30≈ 1.353 es la solución ya que safisface la ecuación.

35. 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟐

𝒙) = 𝟑 + 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

Agrupamos los logaritmos para luego aplicar las propiedades

𝑙𝑜𝑔2 (2

𝑥) = 3 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥

𝑙𝑜𝑔2 (2

𝑥) − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 3

𝑙𝑜𝑔22

𝑥2= 3

De la definición de logaritmos 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁 = 𝑥 ⟺ 𝑎𝑥 = 𝑁 tenemos:

𝑙𝑜𝑔22

𝑥2= 3 ⟺ 23 =

2

𝑥2 ⟹ 𝑥2 =

2

8=1

4

𝑥2 −1

4= 0

Resolviendo la ecuación cuadrática por factorización se tiene

𝑥2 −1

4= (𝑥 −

1

2) (𝑥 +

1

2) = 0

Entonces 𝑥 = −1

2 v 𝑥 =

1

2

La solución es el valor positivo 𝑥 =1

2

45. Ventas. Después de t años el número de unidades de un producto vendidas en un año está

dada por 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟏

𝟐)𝟎.𝟖

𝒕. Tal ecuación se llama ecuación de Gompertz, y describe el

crecimiento natural en muchas áreas de estudio. Resuelva esta ecuación para t de la misma

manera que en el ejemplo 4 y muestre que

𝒕 =𝐥𝐨𝐠(

𝟑 − 𝒍𝒐𝒈𝒒𝒍𝒐𝒈𝟐

)

𝐥𝐨𝐠𝟎. 𝟖

También para cualquier A y para las b y a apropiadas, resuelva 𝒚 = 𝑨𝒃𝒂𝒙 para x y explique

porque la solucion previa es un caso especial.

Para despejar 𝑡 lo hacemos aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas y

exponenciales, tenemos:

q = 1000 (1

2)0.8t

⟹ log (q) = log (1000) + log (1

2)0.8t

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⟹ log (q) = 3 + 0.8t log1

2

⟹ log (q) = 3 + 0.8t(−log (2))

⟹ log (q) − 3 = 0.8t(− log(2))

0.8t =log(q) − 3

−log (2) =

3 − log (q)

log (2)

tlog(0.8) = log 3 − log (q)

log (2)

t =

log(3 − logq)log2

log(0.8)

Si y = Abax

⟹ logy = logA + logbax ⟹ logy = logA + axlogb

⟹ logy − logA = axlogb ⟹ ax =logy−logA

logb ⟹ logax = log

logy−logA

logb

⟹ xloga = loglogy−logA

logb

𝐱 = (𝐥𝐨𝐠(

(𝐥𝐨𝐠𝐲 − 𝐥𝐨𝐠𝐀)𝐥𝐨𝐠𝐛

)

𝐥𝐨𝐠𝐚

La solución previa es un caso especial en el que 𝑦 = 𝑞, 𝐴 = 1000, 𝑏 =1

2, 𝑎 = 0.8, 𝑥 = 𝑡

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CAPÍTULO 6 ÁLGEBRA MATRICIAL

6.1 Matrices

Problemas 6.1 Páginas 231-232. Ejercicios: 14, 19, 25

14. Lista la diagonal principal de

(a) [

𝟏𝟕 −𝟔𝟐

𝟒𝟎𝟔𝟏

−𝟐𝟒−𝟓𝟕

𝟎−𝟏𝟏𝟐

] (b) [

𝐱 𝟏 𝐲𝟗 𝐲 𝟕𝐲 𝟎 𝐳

]

La diagonal principal es la diagonal que se extiende desde la esquina superior izquierda a la

esquina inferior derecha.

a. 1,0, −5,2 b. x, y, z

En los problemas 17 a 20 encuentre 𝐀𝐓

19. A= [𝟏 𝟑 𝟕𝟑 𝟐 −𝟐 −𝟒 𝟓 𝟎

𝟑𝟎𝟏]

AT = [1 3 73 2 −2 −4 5 0

301]

T

= [

1 3 −43 2 57 −2 03 0 1

]

En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial

25. [𝟔 𝟐𝐱 𝟕𝟑𝐲 𝟐𝐳

] = [𝟔 𝟐𝟔 𝟕𝟐 𝟕

]

6=6 2=2 x = 6 7= 7 3y = 2 → y =2

3 2z = 7 → z =

7

2

28. Inventario. Una tienda de abarrotes vendió 𝟏𝟐𝟓 latas de sopa de tomate, 𝟐𝟕𝟓 de frijoles

y 𝟒𝟎𝟎 de atún. Escriba un vector reglón que proporcione el número de artículos vendidos de

cada tipo. Si cada uno de ellos se vende a $𝟎. 𝟗𝟓, $𝟏. 𝟎𝟑 𝐲 $𝟏. 𝟐𝟓, respectivamente, escriba esta

información como un vector columna.

Artículo = [125 275 400]

Precio = [0.951.031.25

]

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6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar

Problemas 6.2 Páginas 237-238. Ejercicios: 9, 21, 22, 37, 39, 42

En los problemas 1 a 12, realice las operaciones indicadas.

9. −𝟔 [𝟐 −𝟔 𝟕 𝟏𝟕 𝟏 𝟔 −𝟐

]

−6 [2 −67 1

7 16 −2

] = [−6 . 2 −6(−6) −6 . 7−6 . 7 −6 . 1 −6 . 6

−6 . 1−6(−2)

]

= [−12 36 −42−42 −6 −36

−612]

En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si:

𝑨 = [𝟐 𝟏𝟑 −𝟑

] 𝑩 = [−𝟔 −𝟓𝟐 −𝟑

] 𝑪 = [−𝟐 −𝟏−𝟑 𝟑

] 𝟎 = [𝟎 𝟎𝟎 𝟎

]

21. 2B - 3A + 2C

2B − 3A + 2C = 2 [−6 −52 −3

] − 3 [2 13 −3

] + 2 [−2 −1−3 3

]

= [−12 −104 −6

] − [6 39 −9

] + [−4 −2−6 6

] = [−12 −104 −6

] + [−6 −3−9 9

] + [−4 −2−6 6

]

= [−12 + (−6) + (−4) −10 + (−3) + (−2)

4 + (−9) + (−6) −6 + 9 + 6] = [

−22 −15−11 9

]

22. 𝟑𝐂 − 𝟐𝐁

3C − 2B = 3 [ −2 −1−3 3

] − 2 [−6 −52 −3

]

3C − 2B = [−6 −3−9 9

] − [ −12 −104 −6

]

3C − 2B = [6 7−13 15

]

En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales

37. 𝟑 [𝒙𝒚] − 𝟑 [

−𝟐𝟒] = 𝟒 [

𝟔−𝟐]

[3𝑥3𝑦] + [

6−12

] = [24−8] ⇒ [

3𝑥 + 63𝑦 − 12

] = [24−8] ⇒

3𝑥 + 6 = 243𝑦 − 12 = −18

⇒ 𝑥 = 6𝑦 = −2

39. [246] + 2 [

𝑥𝑦4𝑧] − [

−10−24 14

]

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[246] + 2 [

𝑥𝑦4𝑧] − [

−10−24 14

] = [2 +4 +6 +

2𝑥2𝑦8𝑧 ] = [

−10−24 14

]

2 + 2x = −10 ⟹ 2x = −12 ⟹ x = 6

4 + 2y = −24 ⟹ 2y = −28 ⟹ y = −14

6 + 8z = 14 ⟹ 8z = 8 ⟹ z = 1

42. Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de

juguetes para tres ciudades en 2003 y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas

ciudades en el 2005, donde A y B están dadas por:

𝐀 =𝐀𝐜𝐜𝐢ó𝐧𝐄𝐝𝐮𝐜𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨

[𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟒𝟓𝟎 𝟐𝟖𝟎 𝟖𝟓𝟎

]

𝐁 =𝐀𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐄𝐝𝐮𝐜𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨

[𝟑𝟖𝟎 𝟑𝟑𝟎 𝟐𝟐𝟎 𝟒𝟔𝟎 𝟑𝟐𝟎 𝟕𝟓𝟎

]

Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas conseguidas en el año 2005,

Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006?

2B − A = 2 [380 330 220 460 320 750

] − [400 350 150 450 280 850

] = [2 380 2 330 2 220 2 460 2 320 2 750

] − [400 350 150 450 280 850

]

= [760 660 440 920 640 1500

] − [400 350 150 450 280 850

] = [360 310 290470 360 650

]

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6.3 Multiplicación de matrices

Problemas 6.3 Páginas 248-249. Ejercicios: 20, 22, 24, 28, 39, 63, 64

Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36

20. [−𝟏 𝟏𝟎 𝟒𝟐 𝟏

] [𝟏 −𝟐𝟑 𝟒

]

Por la regla de multiplicación de matrices: [𝐴]3×2 × [𝐵]2×2 = [𝐶]3×2. Obtenemos

[−1 10 42 1

] [1 −23 4

] = [

−1(1) + 1(3) −1(−2) + 1(4)

0(1) + 4(3) 0(−2) + 4(4)

2(1) + 1(3) 2(−2) + 1(4)

] = [2 612 165 0

]

22. [ 𝟏 𝟎 𝟔 𝟐 ] [

𝟎𝟏𝟐𝟑

]

Se observa que es posible la multiplicación: [𝐴]1×4 × [𝐵]4×1 = [𝐶]1×1. Según la regla de la

multiplicación se tiene:

[ 1 0 6 2 ] [

0123

] = [1(0) + 0(1) + 6(2) + 2(3)] = [18]

24. [𝟒 𝟐 − 𝟐𝟑 𝟏𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟐

] [𝟑 𝟏 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏

]

Se tienen dos matrices cuadradas de orden 3: [𝐴]3×3 × [𝐵]3×3 = [𝐶]3×3. Entonces

[4 2 − 23 10 01 0 2

] [3 1 1 00 0 0 00 1 0 1

] = [12 2 4 − 29 3 3 03 3 1 2

]

28. [𝟎 𝟏𝟐 𝟑

] ([𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎

] + [𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

])

Aplicando las propiedades de matrices 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 se tiene:

[0 12 3

] ([1 0 11 1 0

] + [0 1 00 0 1

]) = [0 12 3

] [1 1 11 1 1

]

=[0(1) + 1(1) 0(1) + 1(1) 0(1) + 1(1)

2(1) + 3(1) 2(1) + 3(1) 2(1) + 3(1)] = [

1 1 15 5 5

]

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En los problemas 37 a 44 encuentre las matrices indicadas si:

𝐴 = [1 −20 3

] 𝐵 = [−2 3 01 −4 1

] 𝐶 = [−1 10 32 4

]

39. 3A - 2BC

Resolviendo las operaciones combinadas se tiene

3𝐴 − 2𝐵𝐶 = 3 [1 −20 3

] − 2 [−2 3 01 −4 1

] [−1 10 32 4

]

= [3 −60 9

] − 2 [2 + 0 + 0 −2 + 9 + 0−1 + 0 + 2 1 − 12 + 4

] = [3 −60 9

] − [4 142 −14

]

= [−1 −20−2 23

]

63. Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de

un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150 y el de cada loro es de $35, por medio de la

multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de mascotas.

Sean el vector fila M del número de mascotas y el vector columna C de los precios

tenemos

𝑀 = [6 10 7] 𝐶 = [5515035] ⇒

𝑀 × 𝐶 = [6 10 7] [5515035] = 6(55) + 10(150) + 7(35) = $2075

64. Acciones. Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C

y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente.

Escriba un vector reglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba

un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. Con el uso de la multiplicación

de matrices, encuentre el costo total de las acciones.

Sean P el número de acciones (vector fila), Q el precio de cada tipo (vector columna),

entonces:

𝑃 × 𝑄 = [200 300 500 250] ; [

100150200300

] = [240.000]

El costo total de las acciones es $240.000

63

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6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices


Reduzca la matriz dada en los prolblemas 7 a 12.

10. [

2 31 − 64 81 7

]

Realizando operaciones entre las filas se tiene:

[

2 31 − 64 81 7

] F1↔F2→ [

1 − 62 34 81 7

]

−2F1+F2−4F1+F3→ R1 + R4

[

1 − 60 150 320 13

]

1

15𝐹2

→ [

1 − 60 10 320 13

]

6𝐹2+𝐹1−32𝐹2+𝐹3→

−13𝐹2 + 𝐹4

[

1 00 10 00 0

]

Resuelva los sistemas de los problemas 13 al 26 mediante el método de reducción

13. {𝟐𝒙 − 𝟕𝒚 = 𝟓𝟎𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎

Construimos la matriz aumentada y procedemos a reducir la matriz

[21

−73|5010]

𝐹1 ↔ 𝐹2⟶

[12

3−7|1050]

⟶−2𝐹1 + 𝐹2

[10

3−13

|1030]

⟶

−1

13𝐹2 [

1031|

10−30 13⁄

] −3𝐹2 + 𝐹1

⟶ [10

01|220 13⁄

−30 13⁄]

De la matriz reducida se obtiene como solución

𝑥 =220

13 𝑦 𝑦 =

−30

13

14. {𝐱 − 𝟑𝐲 = −𝟏𝟏𝟒𝐱 + 𝟑𝐲 = 𝟗

Obtenemos la matriz aumentada y procedemos a reducirla

= [1 −3 −114 3 9

] −4F1 + F2 →

[1 −3 −110 15 53

] →

64

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F2/15 →[1 −3 −11

0 153

15

] 3F2 + F3 →[

1 0 −2

5

0 153

15

]

De la matriz reducida se obtiene:

x = −2

5 y =

53

15

22. {

𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟕𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟐𝟑

A partir del sistema de ecuaciones construimos la matriz aumentada

[1 1 − 12 − 3 − 21 − 1 − 5

|7423]

Luego reduciendo la matriz se obtiene

→ [ 1 1 − 10 − 5 00 − 2 − 4

|7−1016] ⟶ [

1 1 − 10 1 00 − 2 − 4

|7216] ⟶ [

1 0 − 10 1 00 0 − 4

|5220]

[1 0 − 10 1 00 0 1

|52−5] ⟶ [

1 0 00 1 00 0 1

|02−5]

Las soluciones son

x = 0, y = 2 z = −5

Resuelva los problemas 27 al 33 con el uso de reducción de matrices

27. IMPUESTOS. Una compañía tiene ingresos gravables por $3120000. El impuesto federal es

25% de la parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es 10% de

la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto el impuesto

federal y estatal.

Sea x el impuesto federal, y el impuesto estatal, luego:

Impuesto federal x = 0.25(312000 − y)

Impuesto estatal y = 0.10(312000 − x) ⟹ {𝑥 + 0.25𝑦 = 780000.10𝑥 − 𝑦 = 31200

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Resolviendo el sistema se obtiene

[1 0.250.10 1

|7800031200

] ⇒ [1 0.250 0.975

|7800023400

] ⇒ [1 0.250 1

|7800024000

] ⇒ [1 00 1

|720002.000

]

La solución es: 𝑥 = 72000𝑦 = 24000

28. Toma de Decisiones: Un fabricante elabora dos productos, A y B. Por cada unidad que

vende de A la ganancia es de $8, y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. La

experiencia le indica que puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el

fabricante desea una ganancia total de $42 000. ¿Cuántas unidades de cada uno debe vender?

Extraemos y relacionamos los datos

x= Número de las unidades de A

y = Número de unidades de B

Entonces: x = 1.25y , 8x + 11y = 42.000

El sistema de ecuaciones equivalente es:

{x − 1.25y = 0

8x + 11y = 42 000

Resolviendo mediante matrices se tiene:

[1 −1.258 11

|0

42000] → [

1 −1.250 21

|0

42000] → [

1 −1.250 1

|0

2000] → [

1 00 1

|25002000

]

Por lo tanto, se deben vender x = 2500 unidades del producto A y del producto B y =

2000 unidades.

31. VITAMINAS. Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10 unidades

de vitamina A, y 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre tres marcas

de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de

vitamina E, la Y tiene 1,3y4 unidades respectivamente; y la marca Z tiene 1 unidad de vitamina

A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E.

(a) Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que proporcionen de manera exacta

las cantidades requeridas.

(b) Si cada píldora de la marca X cuesta 1 centavo, de la marca Y, 6 centavos y de la marca Z 3

centavos ¿existe alguna combinación del inciso (a) que cueste exactamente 15 centavos por día?

(c) ¿Cuál es la combinación menos cara del inciso (a)? ¿Y la más cara?

66

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11 DIFERENCIACIÓN

12 TEMAS

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DIFERENCIACIÓN

13 TRAZADO DE

CURVAS

14 INTEGRACIÓN

La cantidad de unidades de vitaminas A, D y E se representa en el sistema de ecuaciones

siguiente:

{

2𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧 = 103𝑥 + 3𝑦 + 0𝑧 = 95𝑥 + 4𝑦 + 1𝑧 = 19

𝑉𝐼𝑇𝐴𝑀𝐼𝑁𝐴 𝐴𝑉𝐼𝑇𝐴𝑀𝐼𝑁𝐴 𝐵𝑉𝐼𝑇𝐴𝑀𝐼𝑁𝐴 𝐶

Resolviendo el sistema de ecuaciones mediante el método de reducción de matrices se

tiene:

[235

134

101|10919] ⇒

1

2𝐹1 →

[135

1 2⁄34

1 2⁄01

|5919] ⇒ −3𝐹1 + 𝐹2 →

−5𝐹1 + 𝐹3 →

[100

1 2⁄

3 2⁄

3 2⁄

1 2⁄

−3 2⁄

−3 2⁄|5−6−6]

⇒ 2

3𝐹2 →[

100

1 2⁄13/2

1 2⁄−1−3/2

|5−4−6] ⇒ −

1

2𝐹2 + 𝐹1 →

−3

2𝐹2 + 𝐹3 →

[100

010

1−10|7−40]

𝑥 + 𝑧 = 7𝑦 − 𝑧 = −4𝑧 = 𝑟

⇒ 𝑥 = 7 − 𝑟𝑦 = 𝑟 − 4𝑧 = 𝑟

a) La solución es posible únicamente para los valores de 𝑟 = 4,5,6,7.

Reemplazando en la solución tenemos:

Si 𝑟 = 4 ⇒ 𝑥 = 3, 𝑦 = 0, 𝑧 = 4 Si 𝑟 = 5 ⇒ 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 5

Si 𝑟 = 6 ⇒ 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 6 Si 𝑟 = 7 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑦 = 3, 𝑧 = 7

b) 3 unidades de la marca x más 4 unidades de la marca z cuestan 15 centavos

c) La combinación más barata es 3 unidades de X y 4 unidades de Z (15 centavos), mientras la

más cara es 3 unidades de Y y 7 unidades de z (39 centavos).

67

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6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación)

Problemas 6.5 Páginas 231-232. Ejercicio 21, 22

Resuelva cada uno de los siguientes sistemas

21. {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎 −𝟕𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 = 𝟎 −𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟎 −𝟓𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟎

Obtenemos la matriz aumentada

[

100

1−7−2

1−14−4

0 −5 −10

|

0000

]

Mediante operaciones entre filas buscamos la matriz reducida

[

100

1−7−2

1−14−4

0 −5 −10

|

0000

] ⇒ −1

7𝐹2⟶

[

100

11−2

12−4

0 −5 −10

|

0000

] ⇒

−𝐹2 + 𝐹1⟶

2𝐹2 + 𝐹3 ⟶5𝐹2 + 𝐹4 ⟶

[

100

010

−120

0 0 0

|

0000

] ⇒

De las filas 3 y 4 se obtiene 0𝑍 = 0; esta ecuación se cumple cuando 𝑧 toma cualquier

valor, entonces le asignamos un parámetro 𝑟.

La solución es: 𝑧 = 𝑟, 𝑦 = −2𝑟, 𝑥 = 𝑟

22. {

𝒙 + 𝒚 +𝒙 − 𝒚 −

𝟕𝒛 = 𝟎𝒛 = 𝟎

𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 −𝟑𝒙 + 𝒚 +

𝟔𝒛 = 𝟎 𝟏𝟑𝒛 = 𝟎

A partir de la matriz aumentada se tiene:

[

1 1 71 −1 −123 −3 −6 1 13

|

0000

] → [

1 1 70 −2 −80 0 −5 −20 −2 −8

|

0000

] → [ 1 1 70 1 4 0 0 −5 −20−2 −8

|

0000

] → [

1 0 30 1 400 0 0 0 0

|

0000

]

De la ecuación 3 se tiene 0𝑍 = 0, de donde 𝑧 = 𝑟, luego

𝑥 = −3𝑟, 𝑦 = −4𝑟, 𝑧 = 𝑟

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CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL

7.1 Desigualdades lineales en dos variables


Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 24.

8. 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 < −𝟔

Graficando la región se tiene:

19. {𝐲 < 2𝐱 + 𝟒𝐱 ≥ −𝟐𝐲 < 1

Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las

rectas

1)

2)3){𝑦 = 2𝑥 + 4𝑥 = −2𝑦 = 1

𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad. Por ejemplo para la desigualdad 1) y < 2x + 4 ⇒ 0 < 2(0)+4 0 < 4 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜) por lo tanto el lado derecho de la recta 𝑦 = 2𝑥 + 4 es la solución de la desigualdad.

La solución de la desigualdad 2) x ≥ −2 es el lado derecho de la recta 𝑥 = −2

La solución de la desigualdad 3) y < 1 es hacia abajo de la recta 𝑦 = 1

Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades.

En este caso la solución es la parte marcada de color.

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20. {

2x + y ≥ 6x ≤ y

y ≤ 5x + 2

Graficando las regiones e intersecando las soluciones se tiene la región sombreada:

23 .{𝟑𝐱 + 𝐲 > −𝟔𝐱 − 𝐲 > −𝟓𝐱 ≥ 𝟎

Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las

rectas:

1)

2)3){3𝑥 + 𝑦 = −6𝑥 − 𝑦 = −5𝑥 = 0

𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑌)

Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad.

Por ejemplo para la desigualdad 1) 3𝑥 + 𝑦 >−6 ⇒ 3(0) + 0 > −5 0 >−5 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜) por lo tanto el lado derecho de la recta 3𝑥 + 𝑦 = −6 es la solución de la desigualdad.

La solución de la desigualdad 2) x − y > −5 es el lado derecho de la recta 𝑥 − 𝑦 = −5

La solución de la desigualdad 3) x ≥ 0 es la región hacia la derecha de la recta 𝑥 = 0

Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades. En este caso la solución es la parte marcada con color

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27. Si un fabricante desea comprar un total de no más de 100 libras de producto Z de los proveedores A y B, establezca un sistema de desigualdades que describa las combinaciones posibles de las cantidades que pueden comprarse a cada proveedor. Haga el bosquejo de la solución en el plano.

Sea "x" la cantidad comprada a un proveedor A, y "y" la cantidad comprada a B. El sistema

de desigualdades es:

1)

2)3){x + y ≤ 100x ≥ 0y ≥ 0

Luego resolviendo el sistema de desigualdades se tiene la siguiente gráfica.

La región que representa todas las combinaciones posibles se encuentra entre los ejes y la recta inclinada y que tiene como vértices a los puntos (0,100), (0,0), (100, 0).

28. Manufactura una compañía XYZ produce dos modelos de computadoras caseras: el Alfa y el

Beta. Sea x el número de modelos de Alfa y 𝐲 el número de Beta producidos a la semana en la

fábrica de San Diego. Si esta planta puede producir semanalmente a lo sumo 650 modelos Alfa y

Beta en forma combinada, escriba las desigualdades que describen esta situación.

Suma de modelos producidos: x + y ≤ 650

Siempre se producen un número positivo de modelos, entonces: x ≥ 0 y ≥

0

Luego, el sistema correspondiente es:

{x + y ≤ 650x ≥ 0y ≥ 0

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7.2 Programación lineal


2. Maximizar 𝑷 = 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 sujeta a:

Resolviendo el sistema de

desigualdades se tiene la región que se

indica en la figura.

Esta región está limitada por los dos

ejes y la recta 4𝑥 + 3𝑦 = 250.

Los vértices de esta región son los

puntos :

(0,0) (0,831

3) (62

1

2, 0)

Luego analizamos el valor que toma la función objetivo 𝑃 = 2𝑥 + 5𝑦 en cada uno de los

puntos:

Punto Función objetivo 𝑃 = 2𝑥 + 5𝑦

(0,0) 𝑃 = 2(0) + 5(0) = 0

(0,831

3) 𝑃 = 2(0) + 5 (83

1

3) = 416

2

3

Valor Máximo

(621

2, 0) 𝑃 = 2(62

1

2) + 5(0) = 125

Se observa que 𝑃 = 2𝑥 + 5𝑦 alcanza un máximo valor 𝑃 = 4162

3 cuando 𝑥 = 0 y 𝑦 =

831

3.

{

𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟗𝟎𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟐𝟐𝟓𝒙, 𝒚 ≥ 𝟎

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4. Minimizar: 𝐙 = 𝐱 + 𝐲 Sujeta a:

Se resuelve como el ejercicio anterior. Graficando la región factible se obtiene la figura

adjunta

Los puntos de intersección que se obtienen en la región factible son:

A (12

7,12

7) , 𝐵 (

99

20,99

20) , 𝐶 (8,

49

20) , 𝐷(8,0), E (3,0)

Evaluando cada punto en Z se obtiene un valor mínimo cuando x = 3 y y = 0

Punto Función objetivo 𝑍 = 𝑥 + 𝑦

A (12

7,12

7) 𝑍 =

12

7+12

7=24

7

𝐵 (99

20,99

20) 𝑍 =

99

20+99

20=99

10

𝐶 (8,49

20) 𝑍 = 8 +

49

20=209

20

𝐷(8,0) 𝑍 = 8 + 0 = 8

E (3,0) 𝑍 = 3 + 0 = 3 Valor mínimo

{

𝐱 − 𝐲 ≥ 𝟎𝟒𝐱 + 𝟑𝐲 ≥ 𝟏𝟐𝟗𝐱 + 𝟏𝟏𝐲 ≤ 𝟗𝟗

𝐱 ≤ 𝟖𝐱, 𝐲 ≥ 𝟎

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7. Maximizar: 𝐙 = 𝟕𝐱 + 𝟑𝐲 Sujeta a:

Al resolver gráficamente el sistema de se tienen algunas consideraciones:

Las desigualdades x, y ≥ 0 ( 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ) indican que la región que cumple estas

condiciones es el primer cuadrante.

La solución de las desigualdades 3x − y ≥ −2 , x + y ≤ 9 junto con la recta x − y = −1 se

indica en las siguientes figuras:

3x − y ≥ −2 x + y ≤ 9 x − y = −1

La intersección de las cuatro desigualdades y la recta es el segmento de recta que une los

puntos (0,1) y (4,5), los cuales se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones:

{x − y = −1𝑥 = 0

⇒(0,1) {x + y = 9x − y = −1

⇒(4,5)

Luego analizamos el valor que toma la función objetivo Z = 7x + 3y en cada uno de los

puntos:

Punto Función objetivo Z = 7x + 3y

(0,1) 𝑍 = 7(0) + 3(1) = 3 Valor mínimo (4,5) 𝑃 = 7(4) + 3(5) = 43

Se observa que Z= 7𝑥 + 3𝑦 alcanza un mínimo valor Z=3 cuando 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1.

{

3x − y ≥ −2x + y ≤ 9x − y = −1x, y ≥ 0

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13. Producción para utilidad máxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa de

producción para dos nuevo artículos, camiones y perinolas, con base en la información

concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue:

Maquina A Maquina B Acabado

Camión 2h 3h 5h

Perinola 1h 1h 1h

Por ejemplo, cada camión requiere de 2 horas en la maquina A. Las horas que los empleados

tienen disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas; para la B,

50horas; para acabado, 70 horas. Si las utilidades en cada camión y cada perinola son de $7 y $2,

respectivamente, ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de

maximizar la unidad?¿ Cuál es la utilidad máxima?

Sean x el número de camiones, y sea “y” el número de perinolas. Entonces la utilidad que se

obtiene por la venta de estos juguetes es: 𝑃 = 7𝑥 + 2𝑦. Se requiere:

Maximizar 𝑃 = 7𝑥 + 2𝑦 sujeta a:

{

𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

2𝑥 + 𝑦 ≤ 803𝑥 + 𝑦 ≤ 505𝑥 + 𝑦 ≤ 70

𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐴𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐵𝐴𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜

Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.

Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:

{

𝑥 = 0𝑦 = 0

2𝑥 + 𝑦 = 803𝑥 + 𝑦 = 505𝑥 + 𝑦 = 70

𝐸𝑗𝑒 𝑌𝐸𝑗𝑒𝑋

2𝑥 + 𝑦 = 80 3𝑥 + 𝑦 = 50 5𝑥 + 𝑦 = 70

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Las regiones que cumplen con las desigualdades son:

2𝑥 + 𝑦 ≤ 80 3𝑥 + 𝑦 ≤ 50 5𝑥 + 𝑦 ≤ 70



La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos:

(0.0), (0,50), (10,20) y (14,0)

Luego analizamos el valor que toma la función objetivo P = 7x + 2y en cada uno de los

puntos:

Punto Función objetivo P = 7x + 2y

(0,50) 𝑃 = 7(0) + 2(50) = 100 (10,20) 𝑃 = 7(10) + 2(20) = 110 Valor máximo (14,0) 𝑃 = 7(14) + 2(0) = 98

Se observa que 10 camiones y 20 trompos generan la utilidad máxima de $110

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14. Producción para utilidad máxima. Un fabricante produce dos tipos de reproductores

de DVD: Vista y Extreme. Para su producción requieren del uso de dos máquinas, A y B. El número

de horas necesarias para ambas está indicado en la tabla siguiente:

Máquina A Máquina B

Vista 1h 2h

Extreme 3h 2h

Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos Vista y Extreme

son de $50 y $80, respectivamente, ¿cuantos reproductores de cada tipo deben producirse por

día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Se resuelve en forma similar al ejercicio anterior.

Sean x y y sean los números de modelos Vista y Xtreme que hacen cada día. Entonces

vamos a maximizar

P = 50x + 80y, sujeta a:

{

x ≥ 0y ≥ 0

x + 3y ≤ 24 (máquina de A)2x + 2y ≤ 24( máquina B)

En la gráfica se observa la región factible y los puntos de intersección correspondientes a

los vértices de ésta región: A(0, 8), B(6, 6), C(12, 0) y D(0,0)

Evaluando P = 50x + 80y en cada punto se observa que el valor máximo ocurre cuando

𝑥 = 6 𝑦 = 6 .

La utilidad máxima entonces es 780 dólares

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17. Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla

siguiente se indica el número de libras de los minerales Ay B que pueden obtenerse de cada

tonelada de la mina I y II, junto por los costos por tonelada:

Mina I Mina II

Mineral A 100lb 200lb

Mineral B 200lb 50lb

Costo por tonelada $50 $60

Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿Cuántas toneladas de cada

mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

Sean 𝑥 el número de toneladas de la mina I y sea "𝑦" el número de toneladas de la mina II.

La función de costo es 𝐶 = 50𝑥 + 60𝑦. Luego se tiene el siguiente problema:

Minimizar: 𝐶 = 50𝑥 + 60𝑦

Sujeta a las condiciones:

{

𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

100𝑥 + 200𝑦 ≥ 3000 (𝐴)200𝑥 + 50𝑦 ≥ 2500 (𝐵)

Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.

Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:

{

𝑥 = 0𝑦 = 0

100𝑥 + 200𝑦 = 3000200𝑥 + 50𝑦 = 2500

𝐸𝑗𝑒 𝑌𝐸𝑗𝑒𝑋

100𝑥 + 200𝑦 = 3000 200𝑥 + 50𝑦 = 2500

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Las regiones que cumplen con las desigualdades son:

100𝑥 + 200𝑦 ≥ 3000 200𝑥 + 50𝑦 ≥ 2500



La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.50), (10,10),

(30,0).

Luego analizamos el valor que toma la función objetivo P = 7x + 2y en cada uno de los

puntos:

Punto Función objetivo 𝐶 = 50𝑥 + 60𝑦

(0,50) 𝐶 = 50(0) + 60(50) = 3000 (10,10) 𝐶 = 50(10) + 60(10) = 1100 Valor mínimo (30,0) 𝐶 = 50(30) + 60(0) = 1500

Se observa que 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II minimiza el costo, el

cual alcanza $1100.

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CAPÍTULO 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD 10.1 Límites

Problemas 10.1 Página 457-458. Ejercicios: 6, 17, 21, 24, 29, 34, 38

En los problemas 5 a 8 utilice su calculadora para completar la tabla, y use los resultados para

estimar el límite dado.

6. 𝐥𝐢𝐦𝐱→−𝟑

𝐱𝟐−𝟗

𝐱+𝟑

𝐱 -3.1 -3.01 -3.001 -2.999 -2.99 -2.9

𝐟(𝐱) -6.1 -6.01 -6.001 -5.9 -5.99 -5.999

Observamos los valores cuando x tiende a -3 por la derecha

f(−3.1) = −6.1

f(−3.01) = −6.01

f(−3.001) = −6.001

Observamos los valores cuando x tiende a -3 por la izquierda

f(−2.9) = −5.9

f(−2.99) = −5.99

f(−2.999) = −5.999

El límite estimado tanto por la derecha como por la izquierda es −6

Encuentre los límites en los problemas 9 a 34.

17. limℎ→0

ℎ

ℎ2 −7ℎ+1

Aplicamos el límite al numerador y al denominador (propirdadses

limh→0

h

h2 − 7h + 1=

limh→0

h

limh→0(h2 − 7h + 1)

Calculando éstos límites se tiene:

80

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14 INTEGRACIÓN

limh→0

h

limh→0(h2 − 7h + 1)

=0

02 − 7 (0) + 1 = 0

21. 𝐥𝐢𝐦𝐱→−𝟐

𝐱𝟐+𝟐𝐱

𝐱+𝟐

Si reemplazamos -2 en la función, se obtiene una forma indeterminada

limx→−2

x2 + 2x

x + 2=0

0

Factoramos el numerador para simplificar y eliminar la indeterminación, así:

limx→−2

x2 + 2x

x + 2= lim

x→−2

x(x + 2)

x + 2= limx→−2

x = −2

𝟐𝟒. lim x → 0

t3 + 3t2

t3 − 4t2

Aplicando las propiedades de los límites se obtiene

limx → 0

t3 + 3t2

t3 − 4t2 =

lim x → 0

(t3 + 3t2)

limx → 0

(t3 − 4t2)= (0)3 + 3(0)2

(0)3 − 4(0)2=0

0

Se obtuvo una forma indeterminada, entonces factoramos, así:

limx → 0

t3 + 3t2

t3 − 4t2= lim

x → 0

t2(t + 3)

t2(t − 4) = lim

x → 0

t + 3

t − 4

= lim x → 0

(t + 3)

limx → 0

(t − 4)=0 + 3

0 − 4= −

3

4

29. lim𝑥+4

𝑥2 −9𝑥+20

𝑥2 −3𝑥−4

Si aplicamos directamente el límite se obtiene una forma indeterminada

lim𝑥+4

𝑥2 − 9𝑥 + 20

𝑥2 − 3𝑥 − 4=0

0

Entonces factoramos tanto el numerador como el denominador, luego simplificando se

tiene

lim𝑥+4

𝑥2 −9𝑥+20

𝑥2 −3𝑥−4= lim𝑥+4

(𝑥−4)(𝑥−5)

(𝑥−4)(𝑥+1)

= lim𝑥+4

(𝑥−5)

(𝑥+1)= −

1

5

81

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CURVAS

14 INTEGRACIÓN

34. limx→0

((x+2)2−4

x)

Si aplicamos directamente el límite se obtiene una forma indeterminada

limx→0

((x + 2)2 − 4

x) =

0

0

Factoramos tanto el numerador como el denominador, luego simplificando se tiene

limx→0

((x + 2)2 − 4

x) = lim

x→0((x2 + 4x + 4) − 4

x)

= limx→0

(x2 + 4x)

xlimx→0

(x(x + 4)

x) limx→0 x + 4 = 0 + 4

En los problemas 37 a 42, encuentre:

𝐥𝐢𝐦𝐡→𝟎

𝐟(𝐱 + 𝐡) − 𝐟(𝐱)

𝐡

38. 𝐟(𝐱) = 𝟕 − 𝟑𝐱

Es conveniente establecer 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥 + ℎ)

f(x) = 7 − 3x

f(x) = 7 − 3(x + h)

Reemplazamos en la formula requerida

limh→0

f(x + h) − f(x)

h= limh→0

[7 − 3(x + h)] − (7 − 3x)

h

= limh→0

−3h

h= limh→0

− 3 = −3

82

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10.2 Límites (continuación)


En los problemas 3 a 54 encuentre el límite. Si no existe, especifique, o utilice el símbolo ∞ 0

-∞ donde sea apropiado

𝟐𝟎. limx→∞

− 6

5x √𝑥3

Es conveniente expresar en forma exponencial y simplificar la expresión

limx→∞

− 6

5x √𝑥3 = lim

x→∞

− 6

5xx13

= limx→∞

− 6

5x43

=−6

5 limx→∞

1

x43

Ahora se analiza el valor de la función cuando x toma un valor muy grande (∞), además

utilizando el límite limx→∞

1

𝑥= 0 se tiene:

−6

5 limx→∞

1

x43

=−6

5 limx→∞

1

x43

= 0

25. 𝐥𝐢𝐦𝐭→∞

𝟑𝐭𝟑+𝟐𝐭𝟐+𝟗𝐭−𝟏

𝟓𝐭𝟐−𝟓-

Como se observa la expresión es el cociente de dos polinomios, entonces se utiliza el

teorema que toma las mayores potencias :

Si f(x) es una función racional y anxn y bmx

m son los términos en el numerador y

denominador, respectivamente, con las mayores potencias de x, entonces:

limx→∞

f(x) = limx→∞

anxn

bmxm y lim

x→−∞f(x) = lim

x→−∞

anxn

bmxm

limt→∞

3t3 + 2t2 + 9t − 1

5t2 − 5= limt→∞

3t3

5t2

Ahora aplicamos las reglas de los límites y resulta:

limt→∞

3t

5=3

5 limt→∞

𝑡 = ∞

29. 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟑−𝟒𝒙−𝟐𝒙𝟑

𝟓𝒙𝟑−𝟖𝒙+𝟏

Aplicamos el teorema que toma las mayores potencias:

Si f(x) es una función racional y anxn y bmx

m son los términos en el numerador y

denominador, respectivamente, con las mayores potencias de x, entonces:

limx→∞

f(x) = limx→∞

anxn

bmxm y lim

x→−∞f(x) = lim

x→−∞

anxn

bmxm

83

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lim𝑥→∞

3−4𝑥−2𝑥3

5𝑥3−8𝑥+1= lim𝑥→∞

−2𝑥3

5𝑥3= lim𝑥→∞

−2

5= − 2

5

37. 𝐥𝐢𝐦𝐱→−𝟑−

𝟓𝐱𝟐+𝟏𝟒𝐱−𝟑

𝐱𝟐+𝟑𝐱

Factoramos el numerador y denominador para simplificar la expresión

limx→−3−

5x2 + 14x − 3

x2 + 3x= limx→−3−

(5x − 1). (x + 3)

x(x + 3)= limx→−3−

(5x − 1)

x; x ≠ 0

Aplicamos el límite cuando x tiende a -3 por la izquierda

limx→−3−

(5x − 1)

x=(5(−3) − 1)

−3=16

3

𝟒𝟒. limx→−2+

x

√16 − x4

Analizamos el comportamiento de la función:

Si x se acerca a -2 por la derecha ( x → −2+), entonces el numerador x se acerca a -2 (x →

−2); mientras que el denominador se hace cada vez más pequeño (√16 − x4 → 0).

Luego:

limx→−2+

x

√16 − x4= −2

0= −∞

46. limx→∞

(x +1

x)

Distribuimos el límite ya que se tiene la suma de la funciones: (x +1

x)

limx→∞

(x) + limx→∞

(1

x)

Analizamos el comportamiento de cada función cuando x tiende al infinito ∞.

limx→∞

(x) = ∞

limx→∞

(1

x) = 0

limx→∞

(x +1

x) = ∞+ 0 = ∞

84

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10.4 Continuidad aplicada a desigualdades

Problemas 10.4 Páginas 475. Ejercicios: 2, 11, 19, 22, 26, 27

En los problemas 1 al 26 resuelva las desigualdades por medio de la técnica estudiada en esta

sección.

𝟐. x2 − 8x + 15 > 0

Calculamos los ceros de la función

f(x) = x2 − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5) = 0

⟹ x = 3, x = 5

Establecemos los intervalos correspondientes

(−∞, 3) (3,5) (5,∞)

Comprobamos el signo de f en cada intervalo, así:

Intervalo Un valor del intervalo

Signo de 𝐟(𝐱) = x2 − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5)

(−∞, 3) 0 f(0) = 15 > 0 (3,5) 4 f(4) = −1 < 0

(5, ∞) 6 f(6) = 3 > 0

La desigualdad se cumple cuando es positiva x2 − 8x + 15 > 0, esto es en:

(−∞, 3), (5,∞).

11. −𝒙(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟒) > 𝟎

Establecemos f(x) = −x(x − 5)(x + 4)

Graficando la función se observa

claramente los intervalos donde la

función es positiva o negativa. Así 𝑓 es

positiva en (−∞,−4) y (0,5); esto se

debe comprobar en forma

matemática.

Encontramos las raíces de f , las cuales son los extremos de cada intervalo haciendo f(x) =

0, asi:

−x(x − 5)(x + 4) = 0 ⇒ −x = 0 x − 5 = 0 x + 4 = 0

⟹ x = 0 x = 5 x = −4

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Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos

correspondientes

Comprobamos el signo de f en cada intervalo. La solución son los intervalos donde f(x) >

0, así:


Signo de 𝐟(𝐱) = −𝐱(𝐱 − 𝟓)(𝐱 + 𝟒)

(−∞,−4) -5 f(−5) = −(−5)(−5 − 5)(−5 + 4) = +(-)(-) > 0 (−4,0) -1 f(−1) = −(−1)(−1 − 5)(−1 + 4) = +(-)(+) < 0

(0,5) 1 f(1) = −1(1 − 5)(1 + 4) = -(-)(+) >0

(5,0) 6 f(6) = −6(6 − 5)(6 + 4) = -(+)(+) <0

Los intervalos que cumplen con f(x) > 0 son (−∞,−4) ∪ (0,5).

19. 𝟒𝒙−𝟏 ≥ 𝟎

Establecemos la función 𝑓(𝑥) = 4

𝑥−1. Su gráfica se observa en la figura

Existe una discontinuidad cuando el denominador 𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1

Determinamos los intervalos para los cuales 𝑓(𝑥) ≥ 0.

En la gráfica se observa que 𝑓(𝑥) ≥ 0 cuando 𝑥 ∈ (1,∞)

También se comprueba dando valores a x en el intervalo (1,∞)

(-∞,-4) (-4,0) (0,5) (5,+∞)

-4 0 5

86

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𝟐𝟐. x2 + 4x − 5

x2 + 3x + 2≤ 0

f(x) =x2 + 4x − 5

x2 + 3x + 2=(x + 5)(x − 1)

(x + 2)(x + 1)

Establecemos 𝑓(𝑥) =x2+4x−5

x2+3x+2=(x+5)(x−1)

(x+2)(x+1)

Encontramos los extremos de cada intervalo haciendo 𝑓(𝑥) = 0, asi:

(x+5)(x−1)

(x+2)(x+1)= 0 ⇒ 𝑥 = −5 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = −2 , 𝑥 = −1

Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos

correspondientes

Comprobamos el signo de 𝑓 en cada intervalo. La solución son los intervalos donde

𝑓(𝑥) < 0, así:


Signo de 𝒇(𝒙) =(x+5)(x−1)

(x+2)(x+1)

(−∞,−5] -6 𝑓(−6) =(−6+5)(−6−1)

(−6+2)(−6+1)=(−)(−)

(−)(−) > 0

[−5,−2) -3 𝑓(−3) =(−3+5)(−3−1)

(−3+2)(−3+1)=(+)(−)

(−)(−) < 0

(−2,−1) -1.5 𝑓(−6) =(−1.5+5)(−1.5−1)

(−1.5+2)(−1.5+1)=(+)(−)

(+)(−) >0

(−1, 1] 0 𝑓(−6) =(0+5)(0−1)

(0+2)(0+1)=(+)(−)

(+)(+) < 0

[1, +∞) 2 𝑓(−6) =(2+5)(2−1)

(2+2)(2+1)=(+)(+)

(+)(+) > 0

Solución [−5,−2) ∪ (−1,1]

𝟐𝟔. x4 − 16 ≥ 0

Calculamos los ceros de la función

f(x) = x4 − 16 = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2) = 0

⟹ x = −2, x = 2

Establecemos los intervalos correspondientes

(−∞,−2) (−2,2) (2,∞)

Comprobamos el signo de f en cada intervalo, así:

(-∞,-5) (-5,-2) (--2,-1) (-1,1)

-5 -2 -1

(1,+∞)

1

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Signo de 𝐟(𝐱) = x4 − 16 = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2)

(−∞,−2] -3 f(−3) > 0 [−2,2] 0 f(0) < 0

[2,∞) 3 f(3) > 0

La desigualdad se cumple cuando es positiva o cuando es cero x4 − 16 ≥ 0, esto es en:

(−∞,−2], [2, ∞)

27. Ingresos: Suponga que los consumidores compran q unidades de un producto cuando el

precio de cada uno es de 𝟐𝟖 − 𝟎. 𝟐𝐪 dólares ¿Cuántas unidades deben venderse para que el

ingreso sea al menos de $750?

Datos:

Número de unidades: q

Precio unitario: 28 − 0.2q

Ingreso: R = q(28-0.2q)

R ≥ 750

q(28 − 0.2q) ≥ 750

28q − 0.2q2 − 750 ≥ 0

0.2q2 − 28q + 750 ≤ 0

q2 − 140q + 3750 ≤ 0

f(𝑞) = q2 − 140q + 3750 = 0

Se tiene una ecuación cuadrática respecto q, luego:

q = −b ± √b2−4ac

2a si a = 1 ; b = −140; c = 3750 ⇒ q =

140±√(−140)2−4(1)(3750)

2(1)

⟹ q2 − 140q + 3750 ≤ 0 cuando 36.09 ≤ q ≤ 103.4

Deben venderse entre 37 y 104 unidades para tener un ingreso de al menos $750

𝑞2 = 140 − √19600 − 15000

2

q2 = 140 − 67,82

2

𝑞2 = 36.09

q1 = 140 + √19600 − 15000

2

q1 = 140 + 67,82

2

q1 = 103.4

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CAPÍTULO 11 DIFERENCIACIÓN

11.1 La derivada


En los problemas 3 a 18 emplee la definición de la derivada para encontrarla en cada caso.

10. f´(x) si f(x) = 7.01

Es conveniente establecer 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥 + ℎ)

f(x) = 7.01

f(x) = 7.01

Reemplazamos en la fórmula de definición de la derivada

f´(x) = limh→0

(f + h) − f(x)

h

= limh→0

7.01 − 7.01

h

= limh→0

0

h

= limh→0

0

= 0

12. 𝑦′ 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1

Se tiene 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥 + ℎ)

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 1

𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 + 5(𝑥 + ℎ) + 1

Luego, aplicando la definición de derivada:

y´ = f ´(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h= limh→0

[(x + h)2 + 5(x + h) + 1] − [x2 + 5x + 1]

h

= limh→0

x2 + 2xh + h2 + 5x + 5h + 1 − x2 − 5x − 1

h= limh→0

2xh + h2 + 5h

h

= limh→0(2x + h + 5) = 2x + 0 + 5 = 2x + 5

Entonces la derivada de 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1 es 𝒚´ = 𝟐𝒙 + 𝟓

89

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13. dpdq si p = 3q2 + 2q + 1

Es conveniente establecer f(q) y f(q + h)

f(q) = 3q2 + 2q + 1

f(q + h) = 3(q + h)2 + 2(q + h) + 1

Reemplazamos en la definición de la derivada

dp

dq= limh→0

f(q+h)−f(q)

h

= limh→0

[3(q+h)2 +2(q+h)+1]− [3q2 +2q+1]

h

= limh→0

6qh+3h2 +2h

h

= limh→0(6q + 3h + 2) = 6q + 0 + 2 = 6q + 2

18. H´(x) si H(x) = 3

x−2

Establecemos 𝐻(𝑥) y 𝐻(𝑥 + ℎ)

H(x) = 3

x−2

H(x + h) = 3

x+h−2

Reemplazamos en la definición de derivada

H´(x) = limh→0

H(x + h) − H(x)

h

H´(x) = limh→0

3x + h − 2

−3

x − 2h

Resolvemos las fracciones

H´(x) = limh→0

3(x − 2) − 3(x + h − 2)

h(x + h − 2)(x − 2)

H´(x) = limh→0

−3h

h(x + h − 2)(x − 2)

H´(x) = limh→0

−3

(x + h − 2)(x − 2)

H´(x) =3

(x − 2)2

20. Encuentre la pendiente de la curva 𝐲 = 𝟏 − 𝐱𝟐 en el punto (1,0)

90

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14 INTEGRACIÓN

La pendiente de una curva en un punto dado es la derivada de la función, entonces

calculamos la derivada.

y = f(x) = 1 − x2

f(x + h) = 1 − (x + h)2

Reemplazamos en la definición de la derivada

y′ = limh→0

f(x + h) − f(x)

h

= limh→0

[1 − (x + h)2] − [1 − x2]

h

= limh→0

−2xh − h2

h

= limh→0(−2x − h) = −2x

La pendiente m = y′ = −2x

Calculamos la pendiente en el punto (1,0)

Si x = 1 ⇒ m = −2(1) = −2

La pendiente en (1,0) es y′(1) = −2(1) = −2

21. Encuentre la pendiente de la curva 𝐲 = 𝟒𝐱𝟐 − 𝟓 𝐜𝐮𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐱 = 𝟎.

Si y = f(x) = 4x2 − 5 entonces la pendiente m es 𝑚 = 𝑦′ = 𝑓′(𝑥)

Utilizando la definición de derivada tenemos

y´ = limh→0

f(x+h)−f(x)

h

= limh→0

[4(x+h)2−5]−[4x2−5]

h

= limh→0

4(x2+2xh+h2)−4x2+0

h

= limh→0

8xh+4h2

h

= limh→0

h(8x+4h)

h= lim

h→0(8x + 4h) = 8x

Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑚 = 𝑦′(0) = 8(0) = 0

En los problemas del 23 al 28 encuentre la ecuación de a recta tangente a la curva del punto

dado

28. y =5

1−3x ; (2, −1)

91

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14 INTEGRACIÓN

Calculamos la pendiente utilizando al definición de derivada

Se tiene:

f(x) =5

1 − 3x

𝑓(𝑥 + ℎ) =5

1 − 3(𝑥 + ℎ)

Luego reemplazando en la definición:

𝒇´(𝒙) = limh→0

f(x+h)−f(x)

h= limh→0

51−3 (x+h)

−5

1−3x

h

= limh→0

5(1−3x)−5[1−3(x+h)]

h[1−3(x+h)](1−3x) = lim

h→0

15h

h[1−3(x+h)](1−3x)

= limh→0

15

[1−3(x+h)](1−3x)=

15

[1−3(x+0)](1−3x)

=15

[1−3(x)](1−3x)=

15

(1−3x)(1−3x)=

15

(1−3x)2

Entonces la pendiente a la curva tiene como función: 𝑚 =15

(1−3x)2

Calculamos el valor específico de la pendiente en el punto (2, −1), así:

Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑚 =15

(1−3(2))2=15

25=3

5

Por último calculamos la ecuación de la recta tangente:

La ecuación de la recta tangente es:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ⟹

𝑦 + 1 =3

5(𝑥 − 2)

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11.2 Reglas para la diferenciación

Problemas 11.2 Páginas 496-497. Ejercicios: 22, 27, 65, 82

En los problemas del 1 al 74, diferencie las funciones

22. 𝒚 = −𝟖𝐱𝟒 + 𝐥𝐧𝟐

𝑦´ = −8(4x4−1) + 0 = −32x3

𝟐𝟕. 𝒈(𝒙) =𝟏𝟑 − 𝒙𝟒

𝟑

𝑔(𝑥) =13 − 𝑥4

3=13

3−𝑥4

3

𝑔´(𝑥) = −4 𝑥3

3

𝟔𝟓. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑(𝟑𝒙)𝟐

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑(𝟑𝒙)𝟐 = 𝟗 𝒙𝟓

𝑓´(𝑥) = 45 𝑥4

En los problemas 79 a 82, encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

indicado.

82. 𝒚 = −√𝐱𝟑; (𝟖,−𝟐)

Expresando la función en la forma exponencial se tiene:

𝑦 = −√x3= −x

13

Calculamos la derivada, la cual representa la pendiente

y’ = −1

3x−23 = −

1

3x23

Calculamos la pendiente en el punto (8,−2) esto es cuando 𝑥 = 8

y’ = m = −1

3(823 )

= −1

3 ∗ 4= −

1

12

Aplicamos la ecuación punto – pendiente

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 + 2 = −1

12(x − 8)

𝑦 = −1

12x −

4

3

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11.3 La derivada como una razón de cambio


En los problemas 13 a 18 se dan funciones de costo, donde c es el costo de producir q unidades

de un producto. Para cada caso encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo

marginal para el valor o valores dados de q?

16. c = 0.1q2 + 3q + 2 ; q = 3

La derivada de la función de costo, representa la función de costo marginal

Si c(q) = 0.1q2 + 3q + 2 ⟹ el costo marginal es 𝑐′(𝑞) =𝑑𝑐

𝑑𝑞

c′(q) = d

dq (0.1q2 + 3q + 2) = (2)0.1 q + 3 + 0 = 0.2q + 3

Si 𝑞 = 3 ⟹ c′(q) = 0.2(3) + 3 = 3.6

18. 𝐜 = 𝟎. 𝟎𝟒𝐪𝟑 − 𝟎. 𝟓𝐪𝟐 + 𝟒. 𝟒𝐪 + 𝟕𝟓𝟎𝟎 ; 𝐪 = 𝟓, 𝐪 = 𝟐𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟎𝟎𝟎.

Calculamos la derivada de la función de costo, ésta es el costo marginal

dc

dq= 0.12q2 − q + 4.4

Calculamos el costo marginal para los valores de q requeridos.

Si 𝑞 = 5 entonces dc

dq(5) = 2.4


dq(25) = 54.4


dq(1000) = 119004.4

En los problemas 19 a 22, �̅� representa el costo promedio por unidad, que es una función del

número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal

para los valores indicados de q.

21. �̅� = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝐪𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝐪 + 𝟔 +𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

𝐪 𝐪 = 𝟏𝟎𝟎 ; 𝐪 = 𝟓𝟎𝟎

Calculamos la función de costo 𝑐(𝑞)

Si 𝑐̅ es el costo promedio entonces el costo 𝑐 es: 𝑐(𝑞) = 𝑐̅𝑞

c(q) = c̅q = 0.00002q3 − 0.01q2 + 6q + 20000

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Establecemos la función de costo marginal

d

dq(𝑐(𝑞)) = 0.00006q2 − 0.02q + 6

Calculamos el costo marginal para los valores de 𝑞.

Si q = 100 ⇒dc

dq= 4.6

Si q = 500 ⟹dc

dq= 11

En los problemas 23 a 26, r representa el ingreso total y es una función del número q de

unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal para los valores indicados de q.

24. 𝐫 = 𝐪 (𝟏𝟓 −𝟏

𝟑𝟎𝐪) ; 𝐪 = 𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟓𝟎

Expresamos convenientemente la función de ingreso

r = q (15 −1

30q) = 15q −

1

30q2

Calculamos la función de ingreso marginal, ésta es: r´(q) =dr

dq

r´(q) = 15 −1

15q

Calculamos el valor del ingreso marginal para el número de unidades requerido

Si q = 5 ⇒ r′(5) = 15 −1

15(5) =

44

3

Si q = 15 ⇒ r′(15) = 15 −1

15(15) = 14

Si q = 150 ⇒ r′(150) = 15 −1

15(150) = 5

26. 𝐫 = 𝟐𝐪(𝟑𝟎 − 𝟎. 𝟏𝐪); 𝐪 = 𝟏𝟎, 𝐪 = 𝟐𝟎

Si 𝑟(𝑞) es la función de ingreso, entonces el ingreso marginal es: 𝑟′(𝑞) =𝑑𝑟

𝑑𝑞

r = 2q(30 − 0.1q) ⟹ 𝑑𝑟

𝑑𝑞=

d

dq(2q(30 − 0.1)) =

d

dq(60q − 0.2q2) = 60 − 0.4q

Si q=10; r′ = 60 − 0.4q = 60 − 0.4(10) = 56

Si q=20; r′ = 60 − 0.4q = 60 − 0.4(20) = 52

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39. Función de costo Para la función de costo 𝐜 = 𝟎. 𝟑𝐪𝟐 + 𝟑. 𝟓𝐪 + 𝟗 ¿Qué tan rápido cambia c

con respecto a q cuando q=10? Determine la razón de cambio porcentual de c con respecto a q

cuando q=10.

Si c = 0.3q2 + 3.5q + 9 es la función de costo, entonces la derivada 𝑐′ =𝑑𝑐

𝑑𝑞 indica qué

tan rápido cambia c con respecto a q.

dc

dq= 0.6q + 3.5 si q = 10, entonces

dc

dq= 0.6(10) + 3.5 = 9.5

si q = 10, entonces c = 74

La razón de cambio porcentual es: dcdq

c

(100) =9.5

74(100) = 12.8%.

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11.4 La regla del producto y la regla del cociente

Problemas 11.4 Páginas 513-515. Ejercicios: 8, 13, 27, 30, 51, 53, 60, 71

Diferencie las funciones de los problemas 1 a 48

8. 𝐟(𝐱) = 𝟑𝐱𝟐(𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟐)

Planteamos la regla de la derivada del producto

f´(x) = 3x2(x2 − 2x + 2)´ + (3x2)´(x2 − 2x + 2)

Calcualmos las derivadas simples

f´(x) = 3x2(2x + 2) + 6x(x2 − 2x + 2)

Simplificando se ontiene

f ′(x) = 15x4 − 24x3 + 18x2

13. 𝐲 = (𝐱𝟐 − 𝟏)(𝟑𝐱𝟑 − 𝟔𝐱 + 𝟓) − 𝟒(𝟒𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏)

Realizamos la operación −4(4x2 + 2x + 1) y resulta

y = (x2 − 1)(3x3 − 6x + 5) − 16x2 − 8x − 4

Observamos que existe el producto (x2 − 1)(3x3 − 6x + 5), entonces aplicamos la

fórmula de la derivada del producto solo a ésta expresión

y′ = [(x2 − 1)′(3x3 − 6x + 5) + (3x3 − 6x + 5)′(x2 − 1)] − 32x − 8 y′ = [2x(3x3 − 6x + 5) + (9x2 − 6)(x2 − 1)] − 32x − 8

Simplificando se obtiene

y′ = 6x4 − 12x2 + 10x + 9x4 − 9x2 − 6x2 + 6 − 32x − 8

y′ = 15x4 − 27x2 − 22x − 2

𝟐𝟕. 𝐡(𝐳) =𝟔 − 𝟐𝐳

𝐳𝟐 − 𝟒

Aplicando la fórmula del cociente se tiene:

ℎ´(𝑧) =(𝑧2 − 4)(−2) − (6 − 2𝑧)(2𝑧)

(𝑧2 − 4)2

Ahora simplificamos

=2(𝑧2 − 6𝑧 + 4)

(𝑧2 − 4)2

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30. 𝐟(𝐱) =𝐱𝟑−𝐱𝟐+𝟏

𝐱𝟐+𝟏

Aplicando la fórmula del cociente se tiene

f ′(x) =(x2 + 1)(x3 − x2 + 1)´ − (x3 − x2 + 1)(x2 + 1)´

(x2 + 1)2

=(x2 + 1)(3x2 − 2x) − (x3 − x2 + 1)(2x)

(x2 + 1)2

Simplificando se obtiene:

f´(x) =3x4 − 2x3 + 3x2 − 2x − 2x4 + 2x3 − 2x

(x2 + 1)2

=x4 + 3 x2 − 4 x

(x2 + 1)2

=x(x3 + 3x − 4)

(x2 + 1)2

En los problemas 51 a 54, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

dado.

51. 𝐲 =𝟔

𝐱−𝟏; (𝟑, 𝟑)

La pendiente de la recta es

y′ =(x − 1)(0) − 6(1)

(x − 1)2= −

6

(x − 1)2

si x=3 ⟹y′(3) = −6

22= −

3

2

La recta tangene es y − 3 = −3

2(x − 3), o y = −

3

2x +

15

2

53. 𝒚 = (𝟐𝒙 + 𝟑)[𝟐(𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒)]; (𝟎, 𝟐𝟒)

Calculamos la derivada de y

𝑦´ = 20 𝑥4 + 24 𝑥3 − 60 𝑥2 − 60 𝑥 + 16

Hallamos la pendiente en el punto esto es (0,24) donde 𝑥 = 0

𝑦´ = 𝑚 = 16

Calculamos la ecuación de la recta mediante la ecuación punto – pendiente

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𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 24 = 16(𝑥 − 0)

𝑦 = 16 𝑥 + 24

En los problemas 59 a 62, cada enunciado representa una función de demanda para cierto

producto, donde p denota el precio por unidad para q unidades. En cada caso, encuentre la

función de ingreso marginal. Recuerde ingreso = p.q

60. 𝐩 =𝟓𝟎𝟎

𝐪

p =500

q

p. q = 500 = r

Si 𝑟 = 500 entonces la derivada (ingreso marginal)

𝑟´ = 0

71. Costo marginal. Si la función de costo total de un fabricante está dada por

c =6q2

q+2+ 6000

Encuentre la función de costo marginal.

El costo marginal es la derivada 𝑐′ =𝑑𝑐

𝑑𝑞

𝑐′ =(𝑞 + 2)12𝑞 − 6𝑞2(1)

(𝑞 + 2)2=12𝑞2 + 24𝑞 − 6𝑞2

(𝑞 + 2)2=6𝑞2 + 24𝑞

(𝑞 + 2)2=6𝑞(𝑞 + 4)

(𝑞 + 2)2

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11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia

Problemas 11.5 Páginas 521-522. Ejercicios: 10, 12, 24, 29, 35, 56, 61, 71

En los problemas 9 a 52, encuentre y’.

10. 𝐲 = (𝐱𝟐 − 𝟒)𝟒

y′ = 4(x2 − 4)3 ∙d

dx(x2 − 4) = 4(x2 − 4)3(2x) = 8x(x2 − 4)3

12. y = (x2 + x)4

y´ = 4(x2 + x)3d

dx (x2 + x)

y´ = 4(x2 + x)3(2x + 1)

y´ = 4(2x + 1)(x2 + x)3

24. y = 7 √(x5 − 3)53

y = 7 √(x5 − 3)53

= 7(x5 − 3)53

y´ = 7 ∗5

3(x5 − 3)

5

3−1 d

dx(x5 − 3)

y´ =35

3(x5 − 3)

23(5x4)

𝑦´ =175𝑥4

3√(x5 − 3)23

29. 𝐲 =𝟒

√𝟗𝐱𝟐+𝟏

y =4

√9x2+1= 4(9x2 + 1)−1/2 ⟹ y′ = 4 (−

1

2) (9x2 + 1)−

3

2(18x)

⟹ y’ = −36x(9x2 + 1)−3/2

𝟑𝟓. 𝑦 = 4𝑥2√5𝑥 + 1

𝑦 = 4𝑥2√5𝑥 + 1 = 4𝑥2(5𝑥 + 1)1/2

Mediante la fórmula del producto se tiene:

𝑦´ = 4𝑥2 [1

2(5𝑥 + 1)−

12(5)] + 8𝑥(5𝑥 + 1)1/2

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𝑦´ = 8 √5 𝑥 + 1 𝑥 +10 𝑥2

√5 𝑥 + 1

56. Si 𝐳 = 𝟐𝐲𝟐 − 𝟒𝐲 + 𝟓, 𝐲 = 𝟔𝐱 − 𝟓 y 𝒙 = 𝟐𝒕, encuentre 𝒅𝒛/𝒅𝒕 cuando 𝒕 = 𝟏

Acoplamos la regla de la cadena a las tres funciones, así:

dz

dt=dz

dy.dy

dx.dx

dt

=d

dy(2y2 − 4y + 5).

d

dx(6x − 5).

d

dt(2t)

= (4y − 4). (6). (2) dz

dt= 48(y − 1)

Evaluamos dz/dt cuando t = 1

Si t = 1 ⟹ x = 2(1) = 2 ⟹ y = 6(2) − 5 = 7

Entonces resulta:

dz

dt|t = 1

= 48(7 − 1) = 288

En los problemas 59 a 62, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado

61) 𝐲 = √𝟕𝐱+𝟐

𝐱+𝟏 ; (𝟏,

𝟑

𝟐)

Calculamos la pendiente que es la derivada de la función

y = (7x + 2)

12

x + 1 ⟹ y′ =

(x + 1) (12) (7x + 2)−

12(7) − √7x + 2 (1)

(x + 1)2

=

(x + 1)72

1

√7x + 2− √7x + 2

(x + 1)2

En el punto (𝟏,𝟑

𝟐) se tiene:

Si x = 1 → m = y′2 (72) (13) − 3

4= −

1

6

Calculamos la ecuación de la recta tangente mediante la forma punto - pendiente

y − y1 = m (y − y1) ⟹ y − 3

2 = −

1

6(y − 1)

y −3

2 = −

1

6x +

1

6

1

6x + y −

5

3 = 0

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71.- Función de costo. El costo de producir q unidades de un producto está dado por

𝐜 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝐪 + 𝟎. 𝟐𝐪𝟐

Si el precio de p unidades está dado por la ecuación

𝐪 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟏. 𝟓𝐩

Utilice la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del costo con respecto al precio

unitario cuando 𝐩 = 𝟖𝟓

Regla de la cadena: dy

dx=dy

du∙du

dx ⟹

dc

dp=dc

dq∙dq

dp

Si c = 5500 + 12q + 0.2q2 ⟹ dc

dq= 0 + 12 + 2(0.2q2−1) = 12 + 0.4q

Si q = 900 − 1.5p ⟹ dq

dp= 0 − 1.5 = −1.5

dc

dp=dc

dq∙dq

dp= (12 + 0.4q)(−1.5)

Luego cuando 𝑝 = 85 ⟹ 𝑞 = 900 − 1.5(85) = 772.5

Así: 𝑑𝑐

𝑑𝑝|𝑝 = 85

= (12 + 0.4(85))(−1.5) = −481.5

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CAPÍTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE DERIVACIÓN 12.1 Derivada de funciones logarítmicas

Problemas 12.1 Páginas 533-534. Ejercicios: 12,13, 17,20, 28,30, 49,50

Diferencie las funciones en los problemas 1 a 44. Si considera adecuado, utilice primero las

propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación dada.

12. 𝐲 = 𝐱𝟐 𝐥𝐧 𝐱

Aplicamos la regla de la derivada del producto y la derivada de la función logarítmica:

Si 𝑦 = ln𝑥⟹ 𝑦´ =1

𝑥

Si y = x2 ln x entonces:

dy

dx= x2 (

1

x) + (ln x)(2x) = x + 2x ln x = x(1 + 2 ln x)

13. 𝒚 = 𝒙𝟑𝐥𝐧 (𝟐𝒙 + 𝟓)

Aplicamos la regla de la derivada del producto y la derivada de la función logarítmica:

Si 𝑦 = ln 𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ =1

𝑢𝑢´

Si 𝑦 = 𝑥3ln (2𝑥 + 5) entonces:

𝑦´ = 3𝑥2[ln(2𝑥 + 5)] + 𝑥3 [1

2𝑥 + 5(2)]

𝑦´ = 3𝑥2[ln(2𝑥 + 5)] +2𝑥3

2𝑥 + 5

17.- 𝐲 = 𝐱𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝐱𝟐 + 𝟒)

Expresando el logaritmo en base 2 en logaritmos naturales se tiene:

y = x2 +ln (x2 + 4)

ln2

Calculamos la derivada

dy

dx= 2x +

1

ln2[

1

(x2 + 4)(2x)]

= 2x [1 +1

(ln2)(x2 + 4)]

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20. 𝒚 =𝒙𝟐

𝒍𝒏𝒙

Aplicamos la regla del cociente de funciones y la derivada de funciones

logarítmicas

Si 𝑦 =𝑥2

𝑙𝑛𝑥 entonces:

𝑦´ =[ln(𝑥)](2𝑥) − 𝑥2 (

1𝑥)

(ln (𝑥))2

𝑦´ =2𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥

[ln (𝑥)]2

28 . 𝐲 = 𝐥𝐧 (𝟐𝐱+𝟑

𝟑𝐱−𝟒)

Aplicamos las propiedades de los logaritmos

y = ln(2x + 3) − ln(3x − 4)


Si y = ln(2x + 3) − ln(3x − 4) entonces:

dy

dx=

2

2x + 3−

3

3x − 4

=2(3x − 4) − 3(2x + 3)

(2x + 3)(3x − 4)

= −17

(2x − 3)(3x − 4)

30. 𝒚 = 𝐥𝐧 √𝒙𝟑−𝟏

𝒙𝟑+𝟏

𝟑

Expresamos en la forma exponencial y aplicamos las propiedades de los logarítmos

𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙𝟑 − 𝟏

𝒙𝟑 + 𝟏)

𝟏𝟑

=1

3[ln(𝑥3 − 1) − ln(𝑥3 + 1)]


𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

3[

1

(𝑥3 − 1)

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥2) −

1

(𝑥3 + 1)

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥2)]

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

3[3𝑥2

𝑥3 − 1−3𝑥2

𝑥3 + 1]

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𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

3[3𝑥2(𝑥3 + 1) − 3𝑥2(𝑥3 − 1)

(𝑥3 − 1)(𝑥3 + 1)]

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥2

𝑥6 − 1

49. Costo marginal. La función de costo total está dada por 𝐜 = 𝟐𝟓 𝐥𝐧(𝐪 + 𝟏) + 𝟏𝟐. Encuentre

el costo marginal cuando q=6.

dc

dq=

25

q + 1

Si q = 6 ⟹dc

dq=25

7

50. Costo marginal. La función en dólares del costo promedio de un fabricante, está dado

por �̅� =𝟓𝟎𝟎

𝐥𝐧 (𝒒+𝟐𝟎). Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales) cuando 𝒒 = 𝟓𝟎.

Calculamos el costo total

𝐶 = 𝑐̅𝑞 =500𝑞

𝐼𝑛(𝑞 + 20)= 500

𝑞

𝐼𝑛(𝑞 + 20)

Calculamos la función de costo marginal

𝑑𝐶

𝑑𝑞= 500 ∙

[𝐼𝑛(𝑞 + 20)](1) − 𝑞(1

𝑞 + 20)

[𝐼𝑛(𝑞 + 20)]2

Calculamos el costo marginal cuando q=50

𝑑𝑐

𝑑𝑞|𝑞 = 50

= 500 ∙[𝐼𝑛(70)] − (

5070)

[𝐼𝑛(70)]2≈ $ 97.90

105

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12.2 Derivada de funciones exponenciales

Problemas 12.2 Páginas 537-538. Ejercicios: 14,23, 24, 32, 35, 36

Diferencie las funciones en los problemas 1 a 28

14. 𝒚 =𝒆𝒙−𝒆−𝒙

𝒆𝒙+𝒆−𝒙

Aplicamos la regla de la derivada de la división de funciones y la derivada de la función

exponencial: Si 𝑦 = 𝑒𝑢𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ = 𝑒𝑢𝑢´

Si 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥 entonces:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)[𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥(−1)] − (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)[𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥(−1)]

(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2

=(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2 − (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)2

(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2

Simplificando tenemos

=𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥𝑒−𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−2𝑥

(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2

=4

(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2

23. 𝐲 =𝐞𝐱−𝟏

𝐞𝐱+𝟏

Aplicamos la regla de la derivada de la división de funciones y la derivada de la función

exponencial: Si 𝑦 = 𝑒𝑢𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ = 𝑒𝑢𝑢´

Si y =ex−1

ex+1 entonces

dy

dx= (ex + 1)[ex] − (ex − 1)[ex]

(ex + 1)2

Simplificando tenemos

dy

dx=

2ex

(ex + 1)2

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24. 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙(𝒙 + 𝟔)

Aplicamos la regla del producto de funciones y la derivada de la función exponencial: Si

𝑦 = 𝑒𝑢𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ = 𝑒𝑢𝑢´

Si 𝑦 = 𝑒2𝑥(𝑥 + 6) entonces

𝑦′ = 𝑒2𝑥[1] + (𝑥 + 6)[𝑒2𝑥(2)]

𝑦´ = 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥 + 12𝑒2𝑥

𝑦´ = 2𝑥𝑒2𝑥 + 13𝑒2𝑥

𝑦′ = 𝑒2𝑥(2𝑥 + 13)

32. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝐲 = 𝒆𝒙 en el punto (𝟏, 𝐞)

Iniciamos calculando la derivada de la función, la cual es la pendiente de la recta tangente

Si y = 𝑒𝑥 entonces y´ = ex

Cuando x = 1, 𝑚 = y´ = e.

Aplicando la ecuación punto pendiente se tiene:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 𝑒 = 𝑒(𝑥 − 1)

𝑦 = 𝑒𝑥

Luego, 𝑦 = 𝑒𝑥 es la ecuación de la recta tangente.

En los problemas 35 y 36, �̅� es el costo promedio de producir q unidades de un producto.

Encuentre la función de costo marginal para los valores dados de q. Interprete su respuesta.

35. �̅� =𝟕𝟎𝟎𝟎𝐞𝐪/𝟕𝟎𝟎

𝐪; 𝐪 = 𝟑𝟓𝟎, 𝐪 = 𝟕𝟎𝟎

El costo total es: c = c̅q = 7000eq/700

La función de costo marginal es: dc

dq= 7000e

q

700 (1

700) = 10e

q

700

El costo de producir q=350 unidades es: dc

dq|q=350

= 10e350

700 = 10e0.5

El costo de producir q=700 unidades es: dc

dq|q=700

= 10e700

700 = 10e

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En los problemas 35 y 36, �̅� es el costo promedio de producir q unidades de un producto.

Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de q.

interprete su respuesta.

36. �̅� =𝟖𝟓𝟎

𝒒+ 𝟒𝟎𝟎𝟎

𝒆𝟐𝒒+𝟔𝟖𝟎𝟎

𝒒; 𝒒 = 𝟗𝟕. 𝒒 = 𝟏𝟗𝟕

Calculamos la función de costo:

𝐶 = 𝑐̅. 𝑞 = 850 + 4000𝑒2𝑞+6800 = 850 + 4000𝑒

𝑞+3400

Calculamos la función de costo marginal

𝑑𝑐

𝑑𝑞=𝑑

𝑑𝑞(850 + 4000𝑒

𝑞+3400)

𝑑𝑐

𝑑𝑞= 10𝑒

𝑞+3400

Calculamos el costo marginal para los valores de q=97 y q=197

𝑆𝑖 𝑞 = 97 → 𝑑𝑐

𝑑𝑞= 10𝑒

𝑞+3400 = 10𝑒

97+3400 = 10𝑒0.25

𝑆𝑖 𝑞 = 197 → 𝑑𝑐

𝑑𝑞= 10𝑒

𝑞+3400 = 10𝑒

197+3400 = 10𝑒0.5

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12.4 Diferenciación implícita


En los problemas 1 a 24 , encuentre dy/dx mediante diferenciación implícita.

12. 𝐱𝟑 − 𝐲𝟑 = 𝟑𝐱𝟐𝐲 − 𝟑𝐱𝐲𝟐

Calculamos la derivada de los dos lados de la ecuación, se trata a "𝑦" como función

de 𝑥.

d

dx(x3) −

d

dx(y3) =

d

dx(3x2y) −

d

dx(3xy2)

3𝑥2 − 3𝑦2y´ = (3𝑥2𝑦′ + 6𝑥𝑦) − (3𝑥(2𝑦𝑦´) + 3𝑦2)

3𝑥2 − 3𝑦2y´ = 3𝑥2𝑦′ + 6𝑥𝑦 − 6𝑥𝑦𝑦´ − 3𝑦2

Agrupamos los términos que contienen 𝑦´ y despejamos

−3𝑦2y´ − 3𝑥2𝑦′ + 6𝑥𝑦𝑦´ = 6𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 3𝑥2

y′(6𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 3𝑥2) = 6𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 3𝑥2

𝑦′ = 1

𝟏𝟕. 𝟓𝒙𝟑𝒚𝟒 − 𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓

Calculamos la derivada de los dos lados de la ecuación, se trata a "𝑦" como función

de 𝑥.

𝑑

𝑑𝑥(5𝑥3𝑦4 − 𝑥 + 𝑦2) =

𝑑

𝑑𝑥(25)

5𝑥3(4𝑦3𝑦′) + 15𝑥2𝑦4 − 1 + 2𝑦𝑦′ = 0

Agrupamos los términos que contienen 𝑦´ y despejamos

𝑦′( 20𝑥3𝑦3 + 2𝑦) = 1 − 15𝑥2𝑦4

𝑦′ = 1 − 15𝑥2𝑦4

20𝑥3𝑦3 + 2𝑦

28. Encuentre la pendiente de la curva (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐= 𝟒𝒚𝟐 en el punto (0,2)

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La pendiente de una curva en un punto dado es la derivada de la ecuación de la curva, así

la derivada de la función implícita (𝑥2 + 𝑦2)2 = 4𝑦2 es:

2(𝑥2 + 𝑦2)(2𝑥 + 2𝑦𝑦′) = 8𝑦𝑦′

(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥 + 𝑦𝑦′) = 2𝑦𝑦′

𝑥3 + 𝑥2𝑦𝑦′ + 𝑥𝑦2 + 𝑦3𝑦′ = 2𝑦𝑦′

(𝑥2𝑦 + 𝑦3 − 2𝑦)𝑦′ = −𝑥3 − 𝑥𝑦2

𝑦′ =−𝑥(𝑥2 + 𝑦2)

𝑦(𝑥2 + 𝑦2 − 2)= 𝑚 = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Luego, en el punto (0,2) la pendiente es: 𝑦′−0(02+22)

2(02+22−2)= 0

29. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝒙𝟑 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = −𝟏, en el punto (-1,1)

Calculamos la derivada, la cual es la pendiente de la tangente en el punto considerado.

𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = −1

3𝑥2 + 𝑥𝑦′ + 𝑦 + 2𝑦′ = 0

𝑦′ = −3𝑥2 + 𝑦

𝑥 + 2𝑦= 𝑚

Calculamos el valor de la pendiente, reemplazando el punto (-1,1)

𝑚 = −3(−1)2 + 1

−1 + 2(1)=4

1= −4

Calculamos la ecuación de la recta mediante la ecuación Punto-pendiente.

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 1 = −4[𝑥 − (−1)]

𝑦 = −4𝑥 − 3

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12.5 Diferenciación logarítmica


En los problemas 1 a 12, encuentre y´ por medio de la diferenciación logarítmica.

11. 𝒚 = √(𝒙+𝟑)(𝒙−𝟐)

𝟐𝒙−𝟏

Expresamos en la forma exponencial

𝑦 = √(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

2𝑥 − 1= ((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

2𝑥 − 1)

1/2

Aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación

ln 𝑦 = ln ((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

2𝑥 − 1)

1/2

Aplicamos las propiedades de los logaritmos

ln 𝑦 =1

2ln(𝑥 + 3) +

1

2ln(𝑥 − 2) −

1

2ln(2𝑥 − 1)

Calculamos la derivada. Al lado izquierdo es la derivada de la función implícita.

𝑦´

𝑦=1

2∙1

𝑥 + 3+1

2∙1

𝑥 − 2−1

2∙

1

2𝑥 − 1

Despejamos 𝑦´ y reemplazamos el valor de 𝑦

𝑦´ =𝑦

2∙ [

1

𝑥 + 3+

1

𝑥 − 2−

1

2𝑥 − 1]

=1

2√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

2𝑥 − 1[1

𝑥 + 3+

1

𝑥 − 2−

1

2𝑥 − 1]

12. 𝒚 = √𝟔(𝒙𝟑+𝟏)

𝟐

𝒙𝟔𝒆−𝟒𝒙

𝟑


𝑦 = √6(𝑥3 + 1)2

𝑥6𝑒−4𝑥

3

= (6(𝑥3 + 1)2

𝑥6𝑒−4𝑥)

1/3

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Aplicamos el logaritmo natural a los dos lados

𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 (6(𝑥3+ 1)

2

𝑥6𝑒−4𝑥)

1/3

Aplicamos las propiedades de los logarítmos

𝐼𝑛 𝑦 =1

3𝑙𝑛 [6(𝑥3 + 1)2

𝑥6𝑒−4𝑥] =

1

3{𝑙𝑛[6(𝑥3 + 1)2] − 𝑙𝑛[𝑥6𝑒−4𝑥]}

𝐼𝑛 𝑦 =1

3[𝑙𝑛 6 + 2 𝑙𝑛(𝑥3 + 1) − 6 𝑙𝑛(𝑥) − (−4𝑥) 𝑙𝑛 𝑒]

𝐼𝑛 𝑦 =1

3[𝑙𝑛 6 + 2 𝑙𝑛(𝑥3 + 1) − 6 𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥(1)]

Calculamos la derivada. En el lados izquierdo es la derivada de la función implícita

𝑦′

𝑦=1

3[0 + 2

3𝑥2

𝑥3 + 1−6

𝑥+ 4]


𝑦′ =𝑦

3[6𝑥2

𝑥3 + 1−6

𝑥+ 4] ⟹ 𝑦′ =

1

3√6(𝑥3 + 1)2

𝑥6𝑒−4𝑥

3

[6𝑥2

𝑥3 + 1−6

𝑥+ 4]

En los problemas del 13 a 20, determine y’.

18. 𝒚 = (𝒙𝟐 + 𝟏)𝒙+𝟏

Aplicamos el logaritmo natural a los dos lados

𝑙𝑛𝑦 = ln(𝑥2 + 1)𝑥+1

Aplicamos las propiedades de los logarítmos

ln 𝑦 = (𝑥 + 1) ln(𝑥2 + 1)

Calculamos la derivada. En el lado izquierdo es la derivada de la función implícita

𝑦′

𝑦= (𝑥 + 1)

2𝑥

𝑥2 + 1+ ln(𝑥2 + 1) (1)


𝑦′ = 𝑦 [2𝑥(𝑥 + 1)

𝑥2 + 1+ ln(𝑥2 + 1)]

𝑦′ = (𝑥2 + 1)𝑥+1 [2𝑥(𝑥+1)

𝑥2+1+ ln (𝑥2 + 1)]

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19. 𝒚 = 𝟒𝒆𝒙 𝒙𝟑𝒙

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, se tiene:

ln 𝑦 = ln4 + ln(𝑒𝑥 𝑥3𝑥 ) = ln 4 + ln 𝑒𝑥 + ln 𝑥3𝑥

𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 4 + 𝑥 + 3𝑥 𝑙𝑛 𝑥.


1

𝑦𝑦´ = 0 + 1 + 3 [𝑥 (

1

𝑥) + (𝑙𝑛 𝑥)(1)]

Despejamos 𝑦´

𝑦′ = 𝑦(4 + 3 𝐼𝑛 𝑥 )

Reemplazamos el valor de 𝑦

𝑦′ = 4𝑒𝑥 𝑥3𝑥 (4 + 3 𝑙𝑛 𝑥)

23. Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝒚 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)𝟐 (𝒙 + 𝟑)𝟐 en el punto

donde x=0.

Aplicando las propiedades de los logaritmos a la función 𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)2 (𝑥 + 3)2 se

tiene:

𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥 + 1) + 2 𝑙𝑛(𝑥 + 2) + 2 𝑙𝑛 (𝑥 + 3).

Calculando la derivada de las funciones logarítmicas tenemos:

𝑦´

𝑦=

1

𝑥+1+

2

𝑥+2+

2

𝑥+3 ⟹ 𝑦′ = 𝑦 [

1

𝑥+1 +

2

𝑥+2+

2

𝑥+3] = 𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Calculamos el punto por donde pasa la recta:

Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = (0 + 1)(0 + 2)2(0 + 3)2 = 36 ⟹ 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) = (0,36)

Calculamos la pendiente m:

Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦′ = 36 [1

0+1 +

2

0+2+

2

0+3] = 96 = 𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Por último aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 36 = 96(𝑥 − 0) ⟹ 𝑦 = 96𝑥 + 36.

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24. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝒚 = 𝒙𝒙. En el punto en donde

𝒙 = 𝟏


𝑦 = 𝑥𝑥

ln 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥

𝑦′

𝑦= 𝑥.

1

𝑥+ (ln𝑥)(1) = 1 + ln𝑥

𝑦′ = 𝑦(1 + ln 𝑥) = 𝑥𝑥(1 + ln 𝑥)

Calculamos la pendiente

𝑚 = 𝑦′

Si 𝑥 = 1 y 𝑦 = 1 ⇒ 𝑚 = 11(1 + ln 1)

𝑚 = 1(1 + 0) = 1

Calculamos la ecuación de la recta mediante la forma Punto- pendiente

Ecuación punto-pendiente

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 1 = 1(𝑥 − 1)

𝑦 − 1 = 𝑥 − 1

𝑦 = 𝑥

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12.7 Derivadas de orden superior

Problemas 12.7 Página 560. Ejercicios:7, 14

En los problemas de 1 a 20, encuentre las derivadas indicadas.

7. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝒙 , 𝒇 ´ ´(𝒙)

Calculamos la primera derivada utilizando la regla del producto

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓´(x) = 𝑥2 (1

𝑥) + (𝑙𝑛 𝑥)(2𝑥)

𝑓´ = 𝑥(1 + 2 𝑙𝑛 𝑥 )

Calculamos la segunda derivada mediante la regla del producto

Si 𝑓´ = 𝑥(1 + 2 𝑙𝑛 𝑥 ) ⟹ 𝑓´´(𝑥) = 𝑥 (2

𝑥) + (1 + 2 𝑙𝑛 𝑥 )(1)

𝑓´´(𝑥) = 3 + 2 𝑙𝑛 𝑥

14. 𝒚 = (𝟑𝒙 + 𝟕)𝟓, 𝒚 ´´

Calculamos la primera derivada. Utilizamos la regla de la potencia

Si 𝑦 = (3𝑥 + 7)5 entonces:

𝑦′ = 5 (3𝑥 + 7)4(3) = 15(3𝑥 + 7)4

Calculamos la segunda derivada, nuevamente usamos la regla de la potencia

Si 𝑦′ = 15(3𝑥 + 7)4 entonces.

𝑦´´ = 15(4)(3𝑥 + 7)3(3) = 180(3𝑥 + 7)3

115

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CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos

Problemas 13.1 Páginas 576-578. Ejercicios: 15, 38, 68

En los problemas 9 a 52, determine cuando la función es creciente o decreciente, y determine la

posición de los máximos y mínimos relativos. No trace la gráfica.

15. 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐


𝑦´ = 𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 – 4𝑥 = 4𝑥 (𝑥2 – 1) = 4𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

Calculamos los valores extremos de los intervalos con 𝑓´(𝑥) = 0.

𝑓´(𝑥) = 4𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1

Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos

Establecemos los signos de la función para cada intervalo.

-1 0 1

4𝑥 - - + +

(𝑥 + 1) - + + + (𝑥 − 1) - - - + 𝑓′(𝑥) - + - +

𝑓(𝑥)

Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores:

- 𝑓 es decreciente en (−∞,−1) y (0,1)

- 𝑓 es creciente en (−1,0) y (1,∞).

- 𝑓 tiene máximo relativo en 𝑥 = 0 y mínimo relativo en 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1.

38. 𝒚 =𝟐𝒙𝟐

𝟒𝒙𝟐−𝟐𝟓


𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =(4𝑥2 − 25)(4𝑥) − (2𝑥2)(8𝑥)

(4𝑥2 − 25)2=

−100𝑥

(4𝑥2 − 25)2=

−100𝑥

(2𝑥 − 5)2(2𝑥 + 5)2


(-∞,-

)

(-1,0) (0,1) (1,+∞)

0 1

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𝑓´(𝑥) =−100𝑥

(2𝑥−5)2(2𝑥+5)2= 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = −

5

2, 𝑥 =

5

2



−5

2 0

5

2

−100𝑥 + + - -

(2𝑥 − 5)2 + + + + (2𝑥 + 5)2 + + + + 𝑓′(𝑥) + + - -

𝑓(𝑥)


- 𝑓 es decreciente en (0,5

2) y (

5

2, ∞)

- 𝑓 es creciente en (-∞,−5

2) y (−

5

2, 0)

- 𝑓 tiene máximo relativo en 𝑥 = 0

68. Costo marginal. Si 𝒄 = 𝟑𝒒 − 𝟑𝒒𝟐 + 𝒒𝟑 es una función de costo. ¿Cuándo es creciente el

costo marginal?

Calculamos la función de costo marginal: 𝑑𝑐

𝑑𝑞= 3 − 6𝑞 + 3𝑞2

Calculamos la derivada de la función de costo marginal: 𝑑(𝑑𝑐

𝑑𝑞)

𝑑𝑞= −6 + 6𝑞

El costo marginal es creciente si : 𝑑(𝑑𝑐

𝑑𝑞)

𝑑𝑞> 0 esto es cuando −6 + 6𝑞 > 0 ⟹𝑞 > 1.

Así, el costo marginal es creciente cuando 𝑞 > 1

(-∞,−5

2) (−

5

2, 0) (0,

5

2) (

5

2,∞)

- 5

2 0 5

2

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13.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Problemas 13.2 Páginas 580. Ejercicios: 1, 12

1. Encuentre los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado

𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 [𝟎, 𝟑].

Calculamos los valores críticos a partir de la derivada

𝑓´(𝑥) = −4𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 =1

2

Evaluamos 𝑓 en los extremos del intervalo y en los valores críticos

𝑓(0) = −2(0)2 − 2(0) + 3 = 3

𝑓(3) = −2(3)2 − 2(3) + 3 = −21

𝑓 (1

2) = −2(

1

2)2

− 2 (1

2) + 3 =

3

2

El valor máximo es 3 y el punto máximo es (0,3),

el valor mínimo es -21 y el punto mínimo es

(3,21). Esto se observa en la gráfica.

Los valores absolutos de la función de la función 𝑓 en el intervalo indicado se

muestran en la gráfica.

12. Encuentre los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado

𝒇(𝒙) =𝒙

𝒙𝟐+𝟏 [−𝟒, 𝟒]

Los valores extremos absolutos se presentan cuando 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1

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13.3 Concavidad

Problemas 13.3 Páginas 586-587. Ejercicios: 17, 25, 28, 55, 56

En los problemas 7 a 34, determine la concavidad de f y los valores de x en los que se presentan

puntos de inflexión. No trace la gráfica.

17. 𝒚 =𝒙𝟒

𝟐+𝟏𝟗𝒙𝟑

𝟔−𝟕𝒙𝟐

𝟐+ 𝒙 + 𝟓

Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada

𝑦 =𝑥4

2+19𝑥3

6−7𝑥2

2+ 𝑥 + 5

𝑦´ = 2 𝑥3 +19 𝑥2

2− 7 𝑥

+ 1 𝑦´´ = 6 𝑥2 + 19 𝑥 − 7

Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando 𝑓´´(𝑥) = 0

6 𝑥2 + 19 𝑥 − 7 = 0

(3 𝑥 − 1) (2 𝑥 + 7) = 0

𝑥 = −7

2 𝑜 𝑥 =

1

3

Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes

- ∞ −7

2

1

3 ∞

(3 𝑥 − 1) - - + (2 𝑥 + 7) - + + 𝑓´´(𝑥) + - + 𝑓(𝑥) ∪ ∩ ∪

𝑓´´(𝑥) > 0 ⟹ La función es Cóncava hacia arriba en [−∞,−7

2] y [

1

3, ∞]

𝑓´´(𝑥) < 0 ⟹ La función es Cóncava hacia abajo en [−7

2,1

3]

𝑓 cambia de concavidad en 𝑥 = −7

2 𝑦 𝑥 =

1

3 entonces existe punto de inflexión cuando

x toma estos valores.

25. 𝒚 =𝒙𝟐

𝒙𝟐+𝟏

Calculamos la segunda derivada : 𝒚´ =(𝒙𝟐 +𝟏)(𝟐𝒙)−𝒙𝟐 (𝟐𝒙)

(𝒙𝟐 +𝟏)𝟐 =

𝟐𝒙

(𝒙𝟐 +𝟏 )𝟐

𝒚´´ =(𝒙𝟐 +𝟏)𝟐 (𝟐)−𝟐𝒙 (𝟐) (𝒙𝟐 +𝟏)(𝟐𝒙)

(𝒙𝟐 +𝟏)𝟒 =

(𝒙𝟐 +𝟏) (𝟐)−𝟖𝒙𝟐

(𝒙𝟐 +𝟏)𝟑 =

𝟐(𝟏−𝟑𝒙𝟐 )

(𝒙𝟐 +𝟏)𝟑 =

𝟐(𝟏+ √𝟑𝒙) (𝟏−√𝟑𝒙)

(𝒙𝟐 +𝟏)𝟑

Establecemos los posibles puntos de inflexión, sus intervalos y la concavidad : 𝑥 = − 1

√3,

𝑥 = + 1

√3

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− 1

√3

1

√3

(𝟏 + √𝟑𝒙) - + +

(𝟏 − √𝟑𝒙) + + - (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 + + + 𝑓′′(𝑥) - + -

𝑓(𝑥) ⋂ ⋃ ⋂ Observando los resultados de la tabla anterior se concluye:

f es cóncava hacia abajo en los intervalos (−∞,− 1

√3 ) y (

1

√3 , ∞)

f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( − 1

√3 ,1

√3 ).

Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando 𝑥 = ±1

√3

28. 𝒚 = 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟐)𝟐

Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada

𝑦 = 3(𝑥2 − 2)2 𝑦´ = 12𝑥(𝑥2 − 2) 𝑦´ = 12(𝑥3 − 2𝑥) 𝑦´´ = 12(3𝑥2 − 2)

𝑦´´ = 36 (𝑥2 −2

3)

𝑦´´ = 36(𝑥 −√6

3) (𝑥 +

√6

3)

Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando 𝑓´´(𝑥) = 0

36 (𝑥 −√6

3) (𝑥 +

√6

3) = 0

𝑥 = −√6

3 𝑜 𝑥 =

√6

3

Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes

- ∞ −√6

3

√6

3 ∞

(𝑥 −√6

3)

- - +

(𝑥 +√6

3)

- + +

𝑓´´(𝑥) + - + 𝑓(𝑥) ∪ ∩ ∪

𝑓´´(𝑥) > 0 ⟹ La función es Cóncava hacia arriba en [−∞, −√6

3] y [

√6

3, ∞]

𝑓´´(𝑥) < 0 ⟹ La función es Cóncava hacia abajo en [−√6

3,√6

3]

𝑓 cambia de concavidad en 𝑥 = −√6

3 𝑦 𝑥 =

√6

3 entonces existe punto de inflexión

cuando x toma estos valores.

La gráfica de la función se observa a continuación

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En los problemas 35 a 62 determine los intervalos en los que la función crece, decrece, es

cóncava hacia arriba, es cóncava hacia abajo; máximos y mínimos relativos; puntos de inflexión;

simetría y aquellas intersecciones que puedan obtenerse de manera conveniente. Después

bosqueje la gráfica.

55. 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟒

Calculamos la primera y segunda derivada

𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = 𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 = 𝟒𝒙 (𝟐 − 𝒙𝟐 ) = 𝟒𝒙(√𝟐 − 𝒙)(√𝟐 + 𝒙)

𝑦´´ = 8 − 12𝑥2 = 12 [2

3− 𝑥2] = 12 (√

2

3 – 𝑥) (√

2

3 + 𝑥)


𝑓´(𝑥) = 𝟒𝒙(√𝟐 − 𝒙)(√𝟐 + 𝒙) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = −√2, 𝑥 = √2



−√2 0 √2

4𝑥 - - + +

(√𝟐 − 𝒙) + + + -

(√𝟐 + 𝒙) - + + +

𝑓′(𝑥) + - + - 𝑓(𝑥)


- 𝑓 es creciente en (−∞,−√2) y (0, √2)

(5

2, ∞ )

(-

∞,

(-

∞,

(−√2, 0)

−√2 0

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- 𝑓 es decreciente en (−√2, 0) y (√2,∞)

- 𝑓 tiene máximo relativo en 𝑥 = −√2 y 𝑥 = √2

- f tiene mínimo relativo en 𝑥 = 0

Calculamos los posibles puntos de inflexión, intervalos y concavidad con 𝑓′′(𝑥) = 0

𝑓′′ = 12 (√2

3 – 𝑥) (√

2

3 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = −√

2

3 , 𝑥 = √

2

3

− √

2

3 √

2

3

(√2

3 – 𝑥) + + -

(√2

3 + 𝑥)

- + +

𝑓′′(𝑥) - + - 𝑓(𝑥) ⋂ ⋃ ⋂

Observando los resultados de la tabla anterior se concluye:

f es cóncava hacia abajo en los intervalos (−∞,−√2

3 ) y ( √

2

3 , ∞)

f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( −√2

3 , √

2

3 ).

Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando 𝑥 = ±√2

3

Calculamos los puntos de intersección:

Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 4(0)2 − (0)4 = 0 ⟹ 𝑃1(0,0)

Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 4𝑥2 − 𝑥4 = 0 ⟹ 𝑥2(4 − 𝑥2) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = −2

⟹ 𝑃2(0,0) 𝑃1(−2,0) 𝑃3(2,0)

Comprobamos la simetría:

𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥4

𝑓(−𝑥) = 4(−𝑥)2 − (−𝑥)4 = 4𝑥2 − 𝑥4 ; como 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) ⟹ f es función par,

por lo tanto es simétrica respecto al eje Y.

Construimos la gráfica

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56. 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐

Puntos de intersección

Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥4 − 𝑥2 = 0 𝑥4 − 𝑥2

(𝑥 − 1) (𝑥 + 1) 𝑥2 = 0 𝑥 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1

Si 𝑥 = 0⟹ 𝑦 = 0

𝑃2=(−1,0) 𝑃3 = (1,0) 𝑃1 = (0,0)

Valores y Puntos críticos

𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2 𝑦´ = 4𝑥3 − 2𝑥 = 2𝑥(2𝑥2 − 1)

𝑦´ = 2𝑥(√2𝑥 + 1)(√2𝑥 − 1)

Los valores críticos se calculan con 𝑓´(𝑥) = 0

2𝑥(√2𝑥 + 1)(√2𝑥 − 1) = 0

⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = −1

√2 𝑥 =

1

√2

Intervalos donde la función es creciente o decreciente

- ∞ −1

√2 0

1

√2 ∞

2𝑥 - - + +

(√2𝑥 + 1) - + + +

(√2𝑥 − 1) - - - +

𝑓´(𝑥) - + - +

𝑓(𝑥)

La función es decreciente en [−∞,−1

√2] y [0,

1

√2]

La función es creciente en [−1

√2, 0] y [

1

√2, ∞]

Valores máximos y mínimos

Existe valores mínimos relativos en 𝑥 = −1

√2 𝑥 =

1

√2

Existe un valor máximo relativo en 𝑥 = 0

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Concavidad y puntos de inflexión

𝑦´ = 4𝑥3 − 2𝑥 𝑦´´ = 12𝑥2 − 2 = 2(6𝑥2 − 1)

𝑦´´ = 2(√6𝑥 − 1)(√6𝑥 − 1)

Se encuentra la concavidad y un posible punto de inflexión cuando 𝑓´´(𝑥) = 0

2(√6𝑥 − 1)(√6𝑥 + 1) = 0

𝑥 = −1

√6 𝑥 =

1

√6

- ∞ −1

√6

1

√6 ∞

(√6𝑥 − 1) - - + (√6𝑥 + 1) - + + 𝑓´´(𝑥) + - + 𝑓(𝑥) ∪ ∩ ∪

𝑓´´(𝑥) > 0 ⟹ La función es Cóncava hacia arriba en [−∞,−1

√6] y [

1

√6,∞]

𝑓´´(𝑥) < 0 ⟹ La función es Cóncava hacia abajo en [−1

√6,1

√6]

𝑓 cambia de concavidad en 𝑥 = −1

√6 𝑦 𝑥 =

1

√6 entonces existe punto de inflexión

cuando x toma estos valores.

Puntos de inflexión

Si 𝑥 = −1

√6 𝑓 (−

1

√6) = (−

1

√6)4 − (−

1

√6)2= −

5

36 ⟹ (−

1

√6, −

5

36)

Si 𝑥 =1

√6 𝑓 (

1

√6) = (

1

√6)4 − (

1

√6)2= −

5

36 ⟹ (

1

√6, −

5

36)

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13.4 Prueba de la segunda derivada

Problemas 13.4 Página 589. Ejercicios: 12, 14

Realice la prueba para máximos y mínimos en los problemas 1 a 14. En caso de ser posible, use

la prueba de la segunda derivada. En los problemas 1 a 4, establezca si los extremos relativos

son también extremos absolutos

12. 𝒚 =𝟓𝟓

𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 − 𝟑

Calculamos la primera derivada

𝑦´ = 55𝑥2 − 2𝑥 − 21 = (5𝑥 + 3)(11𝑥 − 7)

Calculamos los valores extremos mediante 𝑓´(𝑥) = 0

(5𝑥 + 3)(11𝑥 − 7) = 0 ⟹ 𝑥 = −3

5 𝑥 =

7

11

Calculamos la segunda derivada

𝑦´´ = 110𝑥 − 2

Comprobamos el signo de 𝑓´´ en los valores extremos.

𝑦´´ (−3

5) = 110 (−

3

5)2 = −68 < 0 ⟹ Existe un máximo relativo cuando x = −

3

5

𝑦´´ (7

11) = 110 (

7

11) − 2 = 68 > 0 ⟹ Existe un mínimo relativo cuando x = −

3

5

14. 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥 − 2

Calculamos la primera derivada: 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥 − 2

⟹ y´ = f´(x) = −3𝑥2 + 6𝑥 + 9 = −3(𝑥2 − 2𝑥 − 3)𝑦´ = −3(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

Hallamos valores extremos: 𝑓´(𝑥) = 0 = −3(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) ⟹ 𝑥 = 3, 𝑥 = −1

Calculamos la segunda derivada: 𝑦´ = −3𝑥2 + 6𝑥 + 9 ⟹ y´ = −6𝑥 + 6

Aplicamos el criterio de la segunda derivada: 𝑦´´(−1) = 12 > 0 ⟹ Mínimo relativo cuando

𝑥 = −1

𝑦´´(3) = −12 < 0 ⟹ Máximo relativo cuando 𝑥 = 3

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13.6 Aplicación de Máximos y mínimos


En esta serie de problemas, a menos que se especifique otra cosa, p es el precio por unidad y q

la producción por unidad de tiempo. Los costos fijos se refieren a costos que permanecen

constantes bajo todo nivel de producción en un período dado (un ejemplo es la renta)

5. Costo promedio. Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artículo está

dado por la función de costo 𝑪 = 𝟎. 𝟎𝟓𝒒𝟐 + 𝟓𝒒 + 𝟓𝟎𝟎. ¿Para qué nivel de producción será

mínimo el costo promedio por unidad?

Determinamos el costo promedio por unidad: 𝑐̅ =𝐶

𝑞 = 0.05𝑞 + 5 +

500

𝑞

Calculamos la derivada del costo por unidad para determinar valores extremos:

𝑐̅´ = 0.05 − 500

𝑞2 ⟹ 𝑐̅´ = 0 = 0.05 −

500

𝑞2 ⟹ 𝑞 = −100, 𝑞 = 100

El único valor será 𝑞 = 100 ya que el número de unidades producidas no puede ser

negativo.

Calculamos la segunda derivada para determinar valores máximos o mínimos.

𝑐̅´ = 0.05 − 500

𝑞2 ⟹ 𝑐̅´´ =

1000

𝑞3

Si 𝑞 = 100 ⟹ 𝑐̅´´(𝑞) = 1000

𝑞3 > 0 ⟹ 𝑐̅ es mínimo cuando se producen 100 unidades.

13. Utilidad. Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es 𝒑 = 𝟒𝟐 − 𝟒𝒒 y la

función de costo promedio es �̅� = 𝟐 + 𝟖𝟎

𝒒. Encuentre el precio que maximiza la utilidad.

Calculamos el costo total: 𝐶 = 𝑐̅(𝑞) = (2 +80

𝑞) 𝑞 = 2𝑞 + 80

Calculamos la función de utilidad:

Utilidad = ingreso total- costo total ⟹

𝑈 = 𝑝𝑞 − 𝐶 = (42 − 𝑞)𝑞 − (2𝑞 + 80) = −(4𝑞2 – 40𝑞 + 80)

Calculamos la derivada de la utilidad: 𝑈´ = −(8𝑞 − 40)

Los valores extremos se presentan cuando 𝑈´(𝑞) = 0 ⟹ −(8𝑞 − 40) = 0 ⟹ 𝑞 = 5

Mediante la segunda derivada establecemos si se trata de valor máximo o mínimo.

𝑈´ = −(8𝑞 − 40) ⟹ 𝑈´´ = −8 < 0 ⟹ 𝑞 = 5 es un valor máximo.

Calculamos el precio que maximiza la utilidad: 𝑝 = 42 − 4(𝑞) = 42 − 4(5) = $22

16. Costo: Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en

dólares por unidad) está dado por �̅� = 𝟐𝒒𝟐 − 𝟒𝟐𝒒 + 𝟐𝟐𝟖 + 𝟐𝟏𝟎

𝒒. Donde 𝟑 ≤ 𝒒 ≤ 𝟏𝟐.

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(a) ¿A que nivel dentro del intervalo [𝟑, 𝟏𝟐] debe fijarse la producción para minimizar el costo

total? ¿Cuál es el costo total mínimo?

Calculamos el costo total y su derivada para encontrar valores extremos:

𝐶 = (𝑐̅)𝑞 = (2𝑞2 − 42𝑞 + 228 + 210

𝑞) 𝑞 = 2𝑞3 − 42𝑞2 + 228𝑞 + 210

𝐶´ = 6𝑞2 − 84𝑞 + 228 = 6(𝑞2 − 14𝑞 + 38) = 0 luego, aplicando la fórmula cuadrática:

𝑞 = 7 − √11 ≈ 3, 68 o tambien 𝑞 = 7 + √11𝑞 ≈ 10, 32

Evaluamos 𝐶(𝑞) para los valores calculados de 𝑞, dentro del intervalo [3, 12]

𝐶(3 ) = 2(3)3 − 42(3 )2 + 228(3 ) + 210 = 570

𝐶(10 ) = 2(10)3 − 42(10 )2 + 228(10 ) + 210 = 290

𝐶(11 ) = 2(11)3 − 42(11 )2 + 228(11 ) + 210 = 570

𝐶(12 ) = 2(12)3 − 42(12 )2 + 228(12 ) + 210 = 354

Se observa que el costo mínimo ocurre cuando 𝑞 = 7 + √11 ≈ 10 unidades

(b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [𝟕, 𝟏𝟐], ¿Qué valor de 𝒒

minimizara el costo total?

Comprobamos para los valores dentro del intervalo [7, 12], por ejemplo:

𝐶(7 ) = 2(7)3 − 42(7)2 + 228(7 ) + 210 = 434

La producción sigue siendo mínima cuando la producción es de 10 unidades.

20. Utilidad. Un fabricante de un producto encuentra que para las primeras 600 unidades que

produce y vende, la utilidad es de $40 por unidad. La utilidad por cada unidad producida más

allá de 600 disminuye en $0.05 por cada unidad adicional producida. Por ejemplo, la utilidad

total cuando produce y vende 602 unidades es 600(40)+2(39.90).¿qué nivel de producción

maximizara la utilidad?

Establecemos la utilidad(U) como función del número de unidades producidas(q):

Utilidad por los 600 unidades: 600(40)=24000

Utilidad adicional: (40-0.5q)q

⟹ 𝑈(𝑞) = 600(40) + (40 − 0.5𝑞)𝑞 = 2400 + 40𝑞 − 0.5𝑞2

Calculamos la primera derivada para calcular valores extremos:

𝑈′(𝑞) = 40 − 0.1𝑞 = 0 ⟹ 𝑞 = 400

Utilizamos el criterio de la segunda derivada para verificar si el valor obtenido es máximo o

mínimo:

𝑈′(𝑞) = 40 − 0.1𝑞 ⟹ 𝑈′′(𝑞) = −0.1 < 0 ⟹ se tiene una utilidad máxima cuando 𝑞 =

400

Por último, el número total de unidades será 600+400=1000

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CAPÍTULO 14 INTEGRACIÓN 14.1 Diferenciales


En los problemas 1 a 10, encuentre la diferencial de la función en términos de x y dx.

4. 𝒇(𝒙) = (𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙+ 𝟐)𝟑

Según la fórmula de la diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 debemos calcular 𝑓´(𝑥)

𝑓´(𝑥) = 3(4 𝑥2 − 5 𝑥 + 2)2(8𝑥 − 5) = (24 𝑥 − 15) (4 𝑥2 − 5 𝑥 + 2)2

Reeemplazamos en la fórmula

𝑑𝑦 = (24 𝑥 − 15) (4 𝑥2 − 5 𝑥 + 2)2𝑑𝑥

10. 𝒚 = 𝒍𝒏√𝒙𝟐 + 𝟏𝟐

Expresamos la función en forma más conveniente: 𝑦 =1

2𝑙𝑛(𝑥2 + 12)

Calculamos la derivada: 𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

2

1

(𝑥2+12)(2𝑥) =

𝑥

𝑥2+12

Reemplazamos en la fórmula de la diferencial de y: 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑦 =𝑥

𝑥2+12𝑑𝑥

37. Utilidad Suponga que la utilidad (en dólares) al producir 𝒒 unidades de un producto es 𝑷 =

𝟑𝟗𝟕𝒒 − 𝟐. 𝟑𝒒𝟐 − 𝟒𝟎𝟎. Por medio de diferenciales, encuentre el cambio aproximado en la

utilidad, si el nivel de producción cambia de 𝒒 = 𝟗𝟎 a 𝒒 = 𝟗𝟏. Encuentre el cambio verdadero.

Calculamos el cambio aproximado si 𝑃 = 397𝑞 − 2.3𝑞2 − 400, 𝑞 = 90, 𝑑𝑞 = 1

Por definición se tiene: ∆𝑃 ≈ 𝑑𝑃 = 𝑃′𝑑𝑞 = (397 − 4.6 𝑞 )𝑑𝑞

Luego, para 𝑞 = 90, 𝑑𝑞 = 1 ⟹ 𝑑𝑝 = (397 − 4.6(90))(1) = −17

Calculamos el cambio verdadero

∆𝑃 = 𝑃(91) − 𝑃(90) = 16680.7 − 16700.0 = −19.3

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38. Ingreso. Dada la función de ingreso 𝒓 = 𝟐𝟓𝟎𝒒 + 𝟒𝟓𝒒𝟐 − 𝒒𝟑. Use diferenciales para

encontrar el cambio aproximado en el ingreso, si el número de unidades se incrementa de q=40

a q=41. Encuentre el cambio verdadero.

Cambio aproximado

Si 𝑟 = 250𝑞 + 45𝑞2 − 𝑞3 𝑟´ = 250 − 90𝑞 + 3𝑞2

𝑑𝑟 = 𝑟´(𝑞). 𝑑𝑞

𝑑𝑟 = (250 + 90𝑞 − 3𝑞2)𝑑𝑞

∆𝑞 = 41 − 40 = 1 ≈ 𝑑𝑞

Cuando 𝑞 = 40 , 𝑑𝑞 = 1

𝑑𝑟 = (250 + 90(40) − 3(40)2)(1) = −950

Cambio verdadero

𝑟(41) = 250(41) + 45(41)2 − (41)3 = 16974

𝑟(40) = 250(40) + 45(40)2 − (40)3 = 18000

𝑟(41) − 𝑟(40) = 16974 − 18000 = −1026

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14.2 La integral indefinida

Problemas 14.2 Páginas 628-629. Ejercicios: 9, 15, 22, 33, 37, 39, 41, 49.

En los problemas 1 a 52, encuentre las integrales indefinidas.

9. ∫𝟏

𝐭𝟕/𝟒𝒅𝒕

Está claro que debemos utilizar la fórmula ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶. Así se tiene:

∫1

t7/4𝑑𝑡 = ∫ 𝑡−

74 𝑑𝑡 =

𝑡−34

−34

+ 𝑐 = −4

3𝑡34

+ 𝑐

15. ∫(𝟑𝒕𝟐 − 𝟒𝒕 + 𝟓)𝒅𝒕

Iniciamos aplicando las fórmulas (5) y (6) de las reglas básicas

∫(3𝑡2 − 4𝑡 + 5)𝑑𝑡 = 3∫𝑡2𝑑𝑡 − 4∫𝑡𝑑𝑡 + 5∫𝑑𝑡

Ahora resolvemos las integrales individuales

= 3.𝑡3

3− 4

𝑡2

2+ 5𝑡 + 𝑐 = 𝑡3 − 2𝑡2 + 5𝑡 + 𝑐

22. ∫ (𝑒𝑥

3+ 2𝑥) 𝑑𝑥

Iniciamos distribuyendo la integral

∫ (𝑒𝑥

3+ 2𝑥) 𝑑𝑥 =

1

3 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥

Calculando las integrales individuales se tiene:

1

3 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =

1

3 𝑒𝑥 + 2 .

𝑥2

2 + 𝐶 =

𝑒𝑥

3 + 𝑥2 + 𝐶

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33. ∫𝟑𝒖−𝟒

𝟓𝒅𝒖

Sacamos la constante 1/5 y distribuimos la integral

∫3𝑢−4

5 𝑑𝑢 =

1

5∫3𝑢𝑑𝑢 −

1

5∫4𝑑𝑢

Ahora calculamos las integrales individuales

1

5∫3𝑢𝑑𝑢 −

1

5∫4𝑑𝑢 =

1

5(3𝑢2

2) −

1

5(4u) + 𝐶

=3

10𝑢2 −

4

5𝑢 + 𝐶

37. ∫(𝟐√𝒙 − 𝟑√𝒙𝟒)𝒅𝒙

Es conveniente expresar en la forma exponencial

∫(2√𝑥 − 3√𝑥4)𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥

12 − 3𝑥

14) 𝑑𝑥

Distribuimos la integral

∫ (2𝑥12 − 3𝑥

14) 𝑑𝑥 = 2∫𝑥

12 𝑑𝑥 − 3∫𝑥

14 𝑑𝑥

Resolviendo las integrales individuales se tiene:

2∫𝑥12 𝑑𝑥 − 3∫𝑥

14 𝑑𝑥 = 2.

𝑥32

32

− 3.𝑥54

54

+ 𝐶

=4𝑥

32

3−12𝑥

54

5+ 𝐶

39. ∫ (−√𝒙𝟐𝟑

𝟓−

𝟕

𝟐√𝒙+ 𝟔𝒙)𝒅𝒙

Para éste problema es conveniente expresar los radicales en la forma exponencial y luego

aplicar las fórmulas básicas de integración

∫(−√𝑥23

5−

7

2√𝑥+ 6𝑥)𝑑𝑥 = ∫(−

𝑥23

5−7𝑥−

12

2+ 6𝑥) 𝑑𝑥

Distribuimos la integral y sacamos las constantes

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∫(−𝑥23

5−7𝑥−

12

2+ 6𝑥)𝑑𝑥 = −

1

5∫𝑥

23𝑑𝑥 −

7

2∫𝑥−

12𝑑𝑥 + 6∫𝑥 𝑑𝑥

Resolvemos las integrales individuales

−1

5∫𝑥

23𝑑𝑥 −

7

2∫𝑥−

12𝑑𝑥 + 6∫𝑥 𝑑𝑥 = −

1

5.𝑥53

53

−7

2.𝑥12

12

+ 6.𝑥2

2+ 𝐶

= −3𝑥

53

25− 7𝑥

12 + 3𝑥2 + 𝐶

41. ∫(𝒙𝟐 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙

No existe una fórmula para la integración de un producto, por lo tanto multiplicamos los

binomios

∫(𝑥2 + 5)(𝑥 − 3)𝑑𝑥= ∫ (𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 15)𝑑𝑥

Ahora distribuimos la integral

∫(𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 15)𝑑𝑥 = ∫𝑥3 𝑑𝑥 + 5∫𝑥 𝑑𝑥 − 15∫𝑑𝑥

Calculamos las integrales individuales

∫𝑥3 𝑑𝑥 − 3∫𝑥2 + 5∫𝑥 𝑑𝑥 − 15∫𝑑𝑥 =𝑥4

4− 3 ∙

𝑥3

3+ 5 ∙

𝑥2

2− 15𝑥 + 𝐶

=𝑥4

4− 𝑥3 +

5𝑥2

2− 15𝑥 + 𝐶

49. ∫𝒛𝟒+𝟏𝟎𝒛𝟑

𝟐𝒛𝟐𝒅𝒛

Distribuimos el denominador para obtener integrales sencillas

∫𝑧4 + 10𝑧3

2𝑧2𝑑𝑧 =

1

2∫(𝑧4

𝑧2+10𝑧3

𝑧2)𝑑𝑧

=1

2∫(𝑧2 + 10𝑧) 𝑑𝑧

=1

2(𝑧3

3+ 10.

𝑧2

2) + 𝐶

=𝑧3

6+5𝑧2

2+ 𝐶

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14.3 Integración con condiciones iniciales


En los problemas 5 a 8, encuentre y sujeta a las condiciones dadas

5. 𝒚′′ = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 𝒚′(𝟏) = 𝟐 𝒚(𝟏) = 𝟑

Calculamos la primera derivada integrando la función y′′ = −3𝑥2 + 4𝑥, así:

∫𝑦′′ = 𝑦′ ⟹ 𝑦′ = ∫(−3𝑥2 + 4𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥3 + 2𝑥2 + 𝐶1

Calculamos el valor de la constante 𝐶1:

Si 𝑦′(1) = 2 ⟹ 2 = −1 + 2 + 𝐶1 ⟹ 𝐶1 = 1

Luego, 𝑦′ = −𝑥3 + 2𝑥2 + 1

Calculamos la función 𝑦 integrando la función 𝑦′ = −𝑥3 + 2𝑥2 + 1:

∫𝑦′ = 𝑦 ⟹ 𝑦 = ∫(−𝑥3 + 2𝑥2 + 1) 𝑑𝑥) = −𝑥4

4+2𝑥3

3+ 𝑥 + 𝐶2

Calculamos el valor de la constante 𝐶2:

Si 𝑦(1) = 3 ⟹ 3 = −1

4+2

3+ 1 + 𝐶2 ⟹ 𝐶2 =

19

12

Luego, 𝑦 = −𝑥4

4+2𝑥3

3+ 𝑥 +

19

12

7. 𝒚´´´ = 𝟐𝒙, 𝒚´´(−𝟏) = 𝟑, 𝒚´(𝟑) = 𝟏𝟎, 𝒚(𝟎) = 𝟏𝟑

Calculamos la segunda derivada integrando la función 𝒚´´´ = 𝟐𝒙

∫𝑦´´´ = 𝑦´´ ⟹ 𝑦´´ = ∫2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑐1

Como 𝑦´´(−1) = 3 ⟹ 3 = (−1)2 + 𝑐1 ⟹ 𝑐1 = 2

Luego se tiene: 𝑦´´ = 𝑥2 + 2

Calculamos la primera derivada integrando la función 𝑦´´ = 𝑥2 + 2

∫𝑦´´ = 𝑦´ ⟹ 𝑦´ = ∫(𝑥2 + 2)𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 2 𝑥 + 𝑐2

Como 𝑦´(3) = 10 ⟹ 10 =33

3+ 2(3) + 𝑐2 ⟹ 𝑐2 = −5

Luego se tiene: 𝑦´ =𝑥3

3+ 2 𝑥 − 5

Calculamos 𝑦 integrando la función 𝑦´ =𝑥3

3+ 2 𝑥 − 5

∫𝑦´ = 𝑦 ⟹ 𝑦 = ∫(𝑥3

3+ 2 𝑥 − 5)𝑑𝑥 =

𝑥4

12+ 𝑥2 − 5 𝑥 + 𝑐3

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Como 𝑦(0) = 13 ⟹ 13 =04

12+ 02 − 5 (0) + 𝑐3 ⟹ 𝑐3 = 13

Así resulta

𝑦 =𝑥4

12+ 𝑥2 − 5 𝑥 + 13

En los problemas 9 a 12 , dr/dq es una función de ingreso marginal, encuentre la función de

demanda.

10. 𝒅𝒓

𝒅𝒒= 𝟏𝟎 −

𝟏

𝟏𝟔𝒒

La función de ingreso se obtiene calculando la integral de la función de ingreso marginal,

así:

𝑟 = ∫𝑑𝑟

𝑑𝑞= ∫(10 −

1

16𝑞)𝑑𝑞 = 10𝑞 −

1

32𝑞2 + 𝐶

Si 𝑞 = 0 ⟹ 𝐶 = 0 luego, la función de ingreso es:

𝑟 = 10𝑞 −1

32𝑞2

Función de demanda

Si 𝑟 = 𝑝𝑞 ⟹ 𝑝 =𝑟

𝑞=10𝑞−

1

32𝑞2

𝑞= 10 −

1

32𝑞

12. 𝑑𝑟

𝑑𝑞= 5000 − 3(2𝑞 + 2𝑞3)

Calculamos la función de ingreso a partir del ingreso marginal 𝑑𝑟

𝑑𝑞= 5000 − 3(2𝑞 + 2𝑞3)

∫ 𝑑𝑟

𝑑𝑞= 𝑟 ⟹ 𝑟 = ∫(5000 − 6𝑞 − 6𝑞3)𝑑𝑞 ⟹ 𝑟 = 5000𝑞 − 3𝑞2 −

3𝑞4

2+ 𝐶

Calculamos el valor de la constante 𝐶, asignando la condición inicial 𝑟(0) = 0, es decir el

ingreso de 𝑞 = 0 unidades es 𝑟 = 0.

Si 𝑟(0) = 0 ⟹ 0 = 5000(0) − 3(0)2 −3(0)4

2 ⟹ 𝐶 = 0

Calculamos la función de demanda a partir de la función de ingreso, así:

𝑟 = 𝑝𝑞 ⟹ 𝑝 =𝑟

𝑞= 5000 − 3𝑞2 −

3𝑞3

2

En los problemas 13 a 16, 𝒅𝒄

𝒅𝒒 es una función de costo marginal y los costos fijos están indicados

entre llaves. Para los problemas 13 y 14, encuentre la función de costo total. En los problemas

15 y 16 encuentre el costo total para el valor indicado de q.

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14. 𝒅𝒄

𝒅𝒒= 𝟐𝒒 + 𝟕𝟓; {𝟐𝟎𝟎𝟎}

A partir de la función de Función de Costo marginal

𝑑𝑐

𝑑𝑞= 2𝑞 + 75

Calculamos la función de costo total

𝑐 = ∫𝑑𝑐

𝑑𝑞

𝑐 = ∫(2𝑞 + 75)𝑑𝑞 = 𝑞2 + 75𝑞 + 𝐶

Si 𝑞 = 0 entonces 𝐶 = 2000, luego la función de costo total es:

𝑐 = 𝑞2 + 75𝑞 + 2000.

15. 𝒅𝒄

𝒅𝒒= 𝟎. 𝟎𝟖𝒒𝟐 − 𝟏, 𝟔𝒒 + 𝟔, 𝟓; [𝟖𝟎𝟎𝟎]; 𝒒 = 𝟐𝟓

Calculamos la función de costo a partir del costo marginal : 𝑑𝑐

𝑑𝑞= 0.08𝑞2 − 1,6𝑞 + 6,5

∫𝑑𝑐

𝑑𝑞= 𝑐 ⟹ 𝑐 = ∫(0.08𝑞2 − 1,6𝑞 + 6,5)𝑑𝑞 ⟹ 𝑐 =

0,08

3𝑞3 − 0,8𝑞2 + 6,5𝑞 + 𝐶1

Calculamos el valor de la constante C1 con la condición inicial 𝑐(0) = 8000 (costo fijo)

𝑐(0) =0,08

3(0)3 − 0,8(0)2 + 6,5(0) + 𝐶1 = 8000 ⟹ 𝐶1 = 8000

Luego, 𝑐 =0,08

3𝑞3 − 0,8𝑞2 + 6,5𝑞 + 8000

Calculamos el costo total si 𝑞 = 25

𝑐(25) =0,08

3(25)3 − 0,8(25)2 + 6,5(25) + 8000

𝑐(25) = 80791

6 ≈ $8079,17

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14.4 Más fórmulas de integración

Problemas 14.4 Páginas 639-640. Ejercicios: 14, 26, 34, 44, 49, 52, 57 68

En los problemas 1 a 80, encuentre las integrales indefinidas

14. ∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥

Transformando a una potencia se tiene:

∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥 = 9∫(1 + 2𝑥2)12 [𝑥𝑑𝑥]

Se nota que debemos resolver mediante la fórmula de la integral de una potencia:

∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶, ya que es posible determinar la función 𝑢 y su diferencial 𝑑𝑢 de la

siguiente forma: 𝑢 = 1 + 2𝑥2 𝑑𝑢 = 4𝑥𝑑𝑥

Realizando operaciones se tiene:

∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥 =9

4∫(1 + 2𝑥2)

12 [4𝑥𝑑𝑥]

=9

4∫𝑢

12 𝑑𝑢 =

9

4.𝑢32

32

+ 𝐶

Reeemplazamos el valor de 𝑢

∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥 =9

4.𝑢32

32

+ 𝐶

=9

4.(1 + 2𝑥2)

12

32

+ 𝐶 =3(1 + 2𝑥2)

32

2+ 𝐶

26. ∫𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟐

𝒙+𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑𝒅𝒙

La fórmula a aplicar es ∫1

𝑢𝑑𝑢 = ln(𝑢) + 𝐶, para lo cual se establece

𝑢 = 𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3 𝑑𝑢 = (1 + 2𝑥 + 6𝑥2)𝑑𝑥

Realizamos las operaciones convenientes

∫12𝑥2 + 4𝑥 + 2

𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3𝑑𝑥 = ∫

2

𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3[(1 + 2𝑥 + 6𝑥2)𝑑𝑥] = 2∫

1

𝑢[𝑑𝑢]

= 2 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 2 𝑙𝑛|𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3| + 𝐶 = 𝑙𝑛[(𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3)2] + 𝐶

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34. ∫𝟐𝒙𝟐

𝟑−𝟒𝒙𝟑 𝒅𝒙

La derivada del denominador puede obtenerse multiplicando el numerador por -6, luego:

∫2𝑥2

3 − 4𝑥3 𝑑𝑥 = (−

1

6)∫

(−6)2𝑥2

3 − 4𝑥3 𝑑𝑥 = (−

1

6) ∫

1

3 − 4𝑥3 [−12𝑥2 𝑑𝑥]

Resolvemos la integral mediante la fórmula ∫1

𝑢𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝑐

= −1

6ln|3 − 4𝑥3| + 𝐶

44. ∫𝒙𝟐

√𝟐𝒙𝟑+𝟗𝟑 𝒅𝒙

Escribiendo en forma de potencia tenemos:

∫𝑥2

√2𝑥3 + 93 𝑑𝑥 = ∫(2𝑥3 + 9)−

13(𝑥2𝑑𝑥)

Asignando a 𝑢 y el diferencial 𝑑𝑢 se tiene respectivamente:

𝑢 = 2𝑥3 + 9 𝑑𝑢 = 6𝑥2𝑑𝑥

Acoplando la integral para aplicar la fórmula ∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 se tiene:

∫(2𝑥3 + 9)−13(𝑥2𝑑𝑥) =

1

6∫(2𝑥3 + 9)−

13(6𝑥2𝑑𝑥)

=1

6∫𝑢−

13(𝑑𝑢) =

1

6∗(𝑢)

23

23

+ 𝐶 =𝑢23

4+ С

Reemplazando se tiene

∫𝑥2

√2𝑥3 + 93 𝑑𝑥 =

(2 𝑥3 + 9)23

4+ С

49. ∫𝒙𝟐+𝟐

𝒙𝟑+𝟔𝒙𝒅𝒙

Observamos que el numerador sería la derivada del denominador si lo multiplicamos por

3:

𝑢 = 𝑥3 + 6𝑥 𝑑𝑢 = 3𝑥2 + 6

∫𝑥2 + 2

𝑥3 + 6𝑥𝑑𝑥 =

1

3 ∫

1

𝑥3 + 6𝑥[(3𝑥2 + 6)𝑑𝑥] =

1

3∫1

𝑢𝑑𝑢 =

1

3ln|𝑢| + 𝐶

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=1

3𝑙𝑛|𝑥3 + 6𝑥| + 𝐶

52. ∫(𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝒕)(𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟏)𝟔 𝒅𝒕

Se observa que es posible aplicar la fórmula de la potencia ∫𝑢𝑢𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶

Si 𝑢 = 𝑡3 + 𝑡2 + 1 entonces 𝑑𝑢 = (3𝑡2 + 2𝑡)𝑑𝑡

∫(6𝑡2 + 4𝑡)(𝑡3 + 𝑡2 + 1)6 𝑑𝑡 = 2∫(𝑡3 + 𝑡2 + 1)6[(3𝑡2 + 2𝑡)𝑑𝑡] =

= 2∫(u)6[𝑑𝑢] = 2(u)7

7+ C =

2

7(𝑡3 + 𝑡2 + 1)7 + 𝐶

57. ∫(𝟐𝒙𝟑 + 𝒙)(𝒙𝟒 + 𝒙𝟐)𝒅𝒙

Utilizaremos la fórmula ∫𝑢 𝑑𝑢 =𝑢2

2+ 𝐶

Sea 𝑢 = 𝑥4 + 𝑥2 ⟹ 𝑑𝑢 = (4𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑥

∫(2𝑥3 + 𝑥)(𝑥4 + 𝑥2)𝑑𝑥 = ∫(𝑥4 + 𝑥2)[(2𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥]

Multiplicamos por dos al segundo factor para obtener 𝑑𝑢

1

2∫(𝑥4 + 𝑥2)1[(4𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑥] =

1

2.(𝑥4 + 𝑥2)2

2+ 𝐶 =

1

4(𝑥4 + 𝑥2)2 + 𝐶

68 ∫[𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏𝟔)𝟐−

𝟏

𝟐𝒙+𝟓] 𝒅𝒙

Distribuimos la integral y resolvemos las dos integrales simples

∫[𝑥(𝑥2 − 16)2 −1

2𝑥 + 5] 𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 16)2(𝑥𝑑𝑥) + ∫

1

2𝑥 + 5𝑑𝑥

=1

2∫(𝑥2 − 16)2(2𝑥𝑑𝑥) − ∫

1

2𝑥 + 5𝑑𝑥

=1

2

(𝑥2 − 16)3

3−1

2𝑙𝑛|2𝑥 + 5| + 𝐶

=1

6(𝑥2 − 16)3 −

1

2𝑙𝑛|2𝑥 + 5| + 𝐶

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14.7 Teorema fundamental del cálculo integral


En los problemas 1 a 43, evalúe la integral definida.

13. ∫ √𝒙𝟒 𝒅𝒙𝟑𝟖

−𝟖


∫ √𝑥4 𝑑𝑥3

8

−8

= ∫ 𝑥43 𝑑𝑥

8

−8

Calculamos la integral utilizando las fórmulas de la integral definida, pero ahora se

considera el intervalo en el cual se define la integral [−8,8]

∫ 𝑥43 𝑑𝑥

8

−8

=𝑥73

73

|8

−8=3𝑥

73

7|8

−8

Aplicamos el teorema fundamental del cálculo

∫ 𝑥43 𝑑𝑥

8

−8

=3𝑥

73

7|8

−8= [3(8)

73

7−3(−8)

73

7]

=3(128)

7 – 3 (−128)

7=768

7

15. ∫ (𝟏

𝒙𝟐)

𝟑

𝟏 𝟐⁄𝒅𝒙

Calculamos la integral

∫1

𝑥2

3

1 2⁄𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥

3

1 2⁄=𝑥−1

−1|3

1/2= −

1

𝑥|3

1/2

Evaluamos la integral en el intervalo [1

2, 3]

−1

𝑥|31/2

= −1

3—

1

1/2=5

3

20. ∫ (𝒙 + 𝟐)𝟑 𝒅𝒙𝟑

𝟐

Mediante la fórmula de la integral de una potencia se tiene:

139

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13 TRAZADO DE

CURVAS

14 INTEGRACIÓN

∫ (𝑥 + 2)3 𝑑𝑥3

2

=(𝑥 + 2)4

4|2

3

Aplicando el teorema fundamental del cálculo se tenemos:

∫ (𝑥 + 2)3 𝑑𝑥3

2

=(𝑥 + 2)4

4|2

3

= [(3 + 2)4

4−(2 + 2)4

4]

=625

4− 64 =

369

4

25. ∫ 5𝑥2𝑒𝑥31

0𝑑𝑥

Utilizaremos la fórmula de la integral indefinida ∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶

Sea 𝑢 = 𝑥3 ⟹ 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥

∫ 5𝑥2𝑒𝑥3

1

0

𝑑𝑥 = 5∫ 𝑒𝑥3

1

0

[𝑥2𝑑𝑥] =5

3∫ 𝑒𝑥

31

0

[3𝑥2𝑑𝑥]

Ahora aplicamos la fórmula

5

3∫ 𝑒𝑥

31

0

[3𝑥2𝑑𝑥] =5

3[𝑒𝑥

3]10

Evaluamos la integral en los valores indicados

5

3[𝑒𝑥

3]10=5

3[𝑒1

3− 𝑒0

3] =

5

3[𝑒 − 1]

𝟑𝟏. ∫ 𝐱𝟐√𝟕𝐱𝟑 + 𝟏𝒅𝒙𝟏

𝟎

Expresando en forma exponencial:

∫ 𝑥2√7𝑥3 + 13

𝑑𝑥1

0

= ∫ (7𝑥3 + 1)13(𝑥2𝑑𝑥)

1

0

Aplicamos la integral a la fórmula ∫𝑢𝑛 =𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶

Sea 𝑢 = 7𝑥3 + 1 ⟹ 𝑑𝑢 = (21𝑥2)𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑥 =𝑑𝑢

21𝑥2

∫ (7𝑥3 + 1)13(𝑥2𝑑𝑥)

1

0

= ∫ (𝑢)13 (𝑥2

𝑑𝑢

21𝑥2)

1

0

=1

21∫ (𝑢)

13𝑑𝑢

1

0

Calculamos la integral definida

140

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14 INTEGRACIÓN

1

21∫ (𝑢)

13𝑑𝑢

1

0

=1

21[𝑢13+1

13 + 1

]1

0=1

21[𝑢43

43

]

1

0=1

28[𝑢43]

1

0

Reemplazando 𝑢 = 7𝑥3 + 1 se tiene

1

28[(7𝑥3 + 1)

43]

1

0=1

28[(7(1)3 + 1)4/3 − (7(0)3 + 1)4/3] =

15

28

37. ∫ 𝟑(𝒙−𝟐 + 𝒙−𝟑 − 𝒙−𝟒)𝒅𝒙𝒆

𝝅

Calculando las integrales simples se tiene

∫ 3(𝑥−2 + 𝑥−3 − 𝑥−4)𝑑𝑥𝑒

𝜋

= 3(𝑥−1

−1+𝑥−2

−2−𝑥−3

−3) |𝑒

𝜋

Evaluando la integral resulta

= 3(−1

𝑒+1

2𝑒2−𝑥1−3

3𝑒3) − 3 (−

1

𝜋+1

2𝜋2−1

3𝜋3)

=1

𝑒3+3

𝑒−3

2𝑒2+3

𝜋+3

2𝜋2−1

𝜋3

141

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14.9 Área


En los problemas 1 a 34, use una integral definida para encontrar el área de la región limitada

por la curva, el eje x y las líneas dadas. En cada caso, primero haga el bosquejo de la región.

Tenga cuidado con las áreas de las regiones que están debajo del eje x.

𝟕. 𝒚 = 𝒙𝟐, 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟑

La gráfica está formada por una parábola y dos rectas verticales

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑥23

2

𝑑𝑥 =𝑥3

3|3

2= 9 −

8

3 =19

7

10. 𝒚 = 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑, 𝒙 = 𝟏

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3)1

0

𝑑𝑥 = (𝑥2

2+𝑥3

3+𝑥4

4)|0

1

= 13

12− 0 =

13

12

142

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12. 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙, 𝒙 = −𝟐, 𝒙 = −𝟏

𝐴 = ∫ (3𝑥2 − 4𝑥)𝑑𝑥−1

−2

= [𝑥3 − 2 𝑥2]−1

−2

= [((−1)3 − 2 (−1)2) − ((−2)3 − 2 (−2)2)]

= [(−1 − 2) − (−8 − 8)] = [−3 + 16] = 13

18.𝑦 =1

(𝑥−1)2 , 𝑥 = 2 , 𝑥 = 3

Á𝑟𝑒𝑎 = ∫1

(𝑥−1)23

2𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 1)−2

3

2 𝑑𝑥

=(𝑥 − 1)−1

−1|3

2= (−

1

𝑥 − 1) |3

2

= −1

2—1 =

1

2

24. 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 , 𝒙 = −𝟐, 𝒙 = 𝟐

Graficando se tiene

El área de la región mencionada se calcula mediante la integral definida:

Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ (𝑥3 + 3𝑥2)𝑑𝑥2

−2

Luego aplicando el teorema fundamental del cálculo obtenemos el área

∫ (𝑥3 + 3𝑥2)𝑑𝑥2

−2

= (𝑥4

4+ 𝑥3)|

−2

2

= [(24

4+ 23) − (

(−2)4

4+ (−2)3)]

= 12 + 4 = 16

143

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26. 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 , 𝒙 = −𝟓 , 𝒙 = 𝟏

Al graficar la función se observa que la región se encuentra hacia abajo del eje X, en éste

caso el área resultará negativa

La integral para calcular el área es:

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (𝑥2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥1

−5

Resolviendo la integral se obtiene:

∫ (𝑥2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥1

−5

= (𝑥3

3+ 2𝑥2 − 5𝑥)|

−5

1

= (−8

3−100

3) = −36

La integral definida es -36 pero, el área es 36

144

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14.10 Área entre curvas


En los problemas 9 a 32, encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las

ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Considere si el

uso de franjas horizontales hace más sencilla la integral que el uso de franjas verticales

9. 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙


𝑥2 = 2𝑥 ⟹ 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0, 𝑥 = 2

Realizamos un bosquejo de la gráfica y calculamos el área

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (2𝑥 − 𝑥2 )2

0

𝑑𝑥 = (x2 − x3

3)|0

2

= (4 −8

3 ) – 0 =

4

3

10. 𝒚 = 𝒙, 𝒚 = −𝒙 + 𝟑, 𝒚 = 𝟎

Graficamos las ecuaciones:

Calculamos la intersección de las dos rectas

𝑥 = −𝑥 + 3,

2𝑥 = 3 ⟹ 𝑥 =3

2

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Calculamos el área mediante franjas verticales:

Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑥

32

0

𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥 + 3)3

32

𝑑𝑥

= 𝑥2

2|3/2

0

+ (−𝑥2

2+ 3𝑥) |

3

3/2

= [9

8− 0] + [(−

9

2+ 9)—

9

8+9

2) =

9

4

13. 𝒚 = 𝟏𝟎 − 𝒙𝟐, 𝒚 = 𝟒

Calculamos las intersecciones:

10 − 𝑥2 = 4 ⟹ 𝑥2 = 6 ⟹ 𝑥 = ±√6

Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área:

Área = ∫√6

−√6[(10 − 𝑥2) − 4]𝑑𝑥 = ∫

√6

−√6(6 − 𝑥2)𝑑𝑥

= (6𝑥 −𝑥³

3) | √6

−√6= (6√6 −

6√6

3) − (−6√6 +

6√6

3) = 8√6

14. 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝟏, 𝒙 = 𝟏

Graficamos las ecuaciones

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Si 𝑦2 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 1 entonces 𝑦2 = 2

Luego: 𝑦 = −√2 𝑦 = √2

Calculamos el área

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [1 − (𝑦2 − 1)]√2

−√2

𝑑𝑦 = (2𝑦 −𝑦3

3)|−√2

√2

= (2√2 −2√2

3) − (−2√2 −

2√2

3) =

8√2

3

21. 𝟐𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐, 𝟐𝒚 = 𝒙 − 𝟒

Calculamos las intersecciones:

𝑥 − 4 = 4𝑥 − 𝑥2 ⟹ 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0

⟹ (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0 ⟺ 𝑥 = −1 , 𝑥 = 4

Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área

Area = ∫ [(4𝑥 − 𝑥2

2) − (

𝑥 − 4

2)] 𝑑𝑥

4

−1

= ∫ (3

2𝑥 −

𝑥2

2+ 2)𝑑𝑥

4

−1

= (3𝑥2

4−𝑥3

6+ 2𝑥) |

4−1

= (3𝑥2

4−𝑥3

6+ 2𝑥) |

4−1

= (12 −64

6+ 8) − (

3

4−1

6+ 2)

=125

12

𝑦 =4𝑥−𝑥2

2 Parábola

𝑦 =𝑥−4

2 Recta

147

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24. 𝒚 = 𝟐 − 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒙

Graficamos las funciones 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥

Calculamos las intersecciones igualando las dos funciones, así:

𝑦 = 2 − 𝑥2 𝑦 = 𝑥 𝑥 = 2 − 𝑥2 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 1

Calculamos el Área mediante la fórmula: 𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

Área ∫ [(2 − 𝑥2) − 𝑥]1

−2𝑑𝑥 = ∫ [(2 − 𝑥2) − 𝑥]

1

−2𝑑𝑥 = (2𝑥 −

𝑥3

3−𝑥2

2) |1

2

= (2 −1

3−1

2)—4+

8

3− 2 =

9

2

29. 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟏, 𝒚 = 𝒙 − 𝟏


𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 ⟹ 𝑥3 − 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥(𝑥2 − 1) = 0

⟺ 𝑥 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1

Realizamos un bosquejo de las gráficas y

planteamos la integral definida que permite

calcular el área:

Se observan dos regiones en las cuales se

intercambian posiciones de superior a

inferior y viceversa.

148

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Así, si:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟏

𝒚 = 𝐠(𝐱) = 𝒙 − 𝟏

Entonces el área total se calcularía mediante la fórmula.

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [f(x) − g(x)]𝑑𝑥 + ∫ [g(x) − f(x))]𝑑𝑥 c

b

b

a

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [𝑥3 − 1 − (𝑥 − 1)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 − 1 − (𝑥3 − 1)]𝑑𝑥 1

0

0

−1

Calculamos las integrales planteadas

Área = ∫ [(𝑥3 − 𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 − 𝑥3]𝑑𝑥 1

0

0

−1

= (𝑥4

4−𝑥2

2)|−1

0

+ (𝑥2

2−𝑥4

4)|0

1

= [0 − (1

4−1

2)] + [(

1

2−1

4) − 0] =

1

2

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14.11 Excedente de los consumidores y de los productores

Problemas 14.11 Páginas 677- 678. Ejercicios: 4, 5, 8, 10

En los problemas 1 a 6, la primera ecuación es una ecuación de demanda y la segunda es una

ecuación de oferta de un producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y

de los productores, bajo equilibrio del mercado.

4. 𝒑 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝒒𝟐

𝒑 = 𝟐𝟎𝒒 + 𝟏𝟎𝟎

Ecuación de demanda: 𝑝 = 𝑓(𝑞) = 400 − 𝑞2

Ecuación de oferta: 𝑝 = 𝑔(𝑞) = 20𝑞 + 100

Calculamos el punto de equilibrio (𝑞0, 𝑝0):

20𝑞 + 100 = 400 − 𝑞2

𝑞2 + 20𝑞 − 300 = 0 ⟹ (𝑞 + 30)(𝑞 − 10) = 0 ⟺ 𝑞 = 10 ya que el número de

unidades debe ser positivo.

Luego, si 𝑞 = 10 ⟹ 𝑝 = 20(10) + 100 = 300

Así tenemos (𝑞0, 𝑝0) = (10,300)

Calculamos el excedente de consumidores, es conveniente graficar las funciones

𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0]𝑑𝑞𝑞0

0

= ∫ [(400 − 𝑞2) − 300]𝑑𝑞10

0

= (100𝑞 −𝑞3

3) |100

= (1000 −1000

3) − 0

=2000

3

150

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Calculamos el excedente de productores

5. 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟎 − 𝟐𝒑)

𝒒 = 𝟓𝟎(𝟐𝒑 − 𝟏)

Establecemos la funciones de demanda y de oferta respectivamente como:

𝑞 = 𝑓(𝑝) = 100(10 − 2𝑝)

𝑞 = 𝑔(𝑝) = 50(2𝑝 − 1)

Graficamos las funciones

Calculamos el punto de equilibrio

Función de demanda = Función de oferta

100(10 − 2𝑝) = 50(2𝑝 − 1) ⟹ 𝑝 =7

2

Luego:

𝑞 = 100 (10 − 2(7

2)) = 300 ⟹ (𝑝0, 𝑞𝑜) = (3.5,300 )

Calculamos el excedente de productores con la fórmula alterna

𝐸𝑃 = ∫ [𝑝0 − 𝑔(𝑞)]𝑑𝑞𝑞0

0

= ∫ [300 − (20q + 100)]dq10

0

= (200q − 10q2) |100

= (2000 − 1000) − 0

= 1000

151

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𝐸𝑃 = ∫ [𝑔(𝑝)]𝑑𝑝𝑝0

𝑝1

= ∫3.50.5[50(2𝑝 − 1)]𝑑𝑝 = 50(𝑝2 − 𝑝) |

3.50.5

= 50[(12.25 − 3.5) − (0.25 − 0.5)] = 450

Calculamos el excedente de consumidores con la fórmula alterna

𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑝)]𝑑𝑝𝑝2

𝑝0

= ∫53.5100(10 − 2𝑝)𝑑𝑝 = 100(10𝑝 − 𝑝2) |

53.5

= 100[(50 − 25) − (35 − 12.25)] = 225

8. La ecuación de demanda de un producto es 𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝒑𝟐. Y la ecuación de oferta es 𝒑 =𝒒

𝟔𝟎+

𝟓. Encuentre el excedente de los productores y de los consumidores bajo equilibrio del mercado.

Función de demanda: 𝑞 = 400 − 𝑝2 ⟹ 𝑝 = 𝑓(𝑞) = √400 − 𝑞

Función de oferta: 𝑝 = 𝑔(𝑞) =𝑞

60+ 5 ⟹ 𝑞 = 60𝑝 − 300

Calculamos el punto de equilibrio

𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 = 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎

60𝑝 − 300 = 400 − 𝑝2

𝑝2 + 60𝑝 − 700 = 0

(𝑝 + 70)(𝑝 − 10) = 0

⟺ 𝑝 = −70 𝑜 𝑝 = 10

El precio por artículo es siempre positivo entonces: 𝑝 = 10

El valor de 𝑞 es:

𝑞 = 400 − 102 = 300

Así es punto de equilibrio es: 𝑞0, 𝑝0 = (300,10)

Calculamos el excedente de consumidores

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Calculamos el excedente de los productores

10. La ecuación de demanda para un producto es (𝐩 + 𝟏𝟎)(𝐪 + 𝟐𝟎) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 Y la ecuación de

oferta es 𝐪 − 𝟒𝐩 + 𝟏𝟎 = 𝟎

a) Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando 𝐩 = 𝟏𝟎 y 𝐪 = 𝟑𝟎.

Reemplazamos los valores de p = 10 y q = 30 en la ecuación de demanda y la ecuación de

oferta, así:

(p + 10)(q + 20) = 1000

(10 + 10)(30 + 20) = 1000

(20)(50) = 1000

1000 = 1000

q − 4p + 10 = 0

𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0)]𝑑𝑞𝑞0

0

= ∫ [√400 − 𝑞 − 10)]𝑑𝑞300

0

= ∫ (400 − 𝑞)12𝑑𝑞 −

300

0

∫ 10𝑑𝑞300

0

= −2

3[(400 − 𝑞)3/2]

300

0− [10𝑞]

300

0

= −2

3[1003/2 − 4003/2] − [3000]

= −2

3[−7000] − [3000] = 1666,67

𝐸𝑃 = ∫ [𝑝0 − 𝑔(𝑞)]𝑑𝑞𝑞0

0

= ∫ [10 − (𝑞

60+ 5)]

300

0

𝑑𝑞

= ∫ [5 −𝑞

60]

300

0

𝑑𝑞

= [5𝑞 −𝑞2

120]300

0

= (1500 − 750) − 0 = 750

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30 − 4(10) + 10 = 0

30 − 40 + 10 = 0

0 = 0

b) Determine el excedente de los consumidores bajo equilibrio del mercado.

Despejamos P de la ecuación de demanda:

(p + 10)(q + 20) = 1000

p = f(q) =1000

q + 20− 10

Calculamos el excedente de consumidores:

𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0]𝑑𝑞𝑞0

0

= ∫ [(1000

q + 20− 10) − 10] dq

30

0

= [1000ln(q + 20) − 20q]|030

= 1000ln(50) − 600 − [1000 ln(20)]

= 1000ln (50

20) − 600

= 1000ln (5

2) − 600

154

0 REPASO DE

ALGEBRA

1 APLICACIONES Y

MÁS ALGEBRA

2 FUNCIONES

Y GRÁFICAS


SIST. DE ECUACIONES

INDICE


Y LOGARITMICA

6 ÁLGEBRA

MATRICIAL

7 PROGRAMACIÓN

LINEAL

10 LIMITES Y

CONTINUIDAD

11 DIFERENCIACIÓN

12 TEMAS

ADICIONALES DE

DIFERENCIACIÓN

13 TRAZADO DE

CURVAS

14 INTEGRACIÓN

Problemas de matemática aplicada a la administración y ... de matemática aplicad… · Problemas...

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