Problemes dEAEIA

ELECTRÒNICA ANALÒGICA (EA-EIA) ______________________________

Col·lecció de Problemes de l’Assignatura

“Escucho y olvido; veo y recuerdo; hago y aprendo”. Proverbio chino.

“Si no sabemos adónde vamos, es probable que no lleguemos a ninguna parte”.

______________________________________

Grau: Enginyeria Electrònica Industrial i Automàtica. Quadrimestre: Q6.

Professor: Herminio Martínez.Departament: Enginyeria Electrònica (UPC).

Unitat d’Especialitat: Electrònica Industrial.

______________________________________

Setembre de 2014 Versió 1.2

Electrònica Analògica (EAEIA–820222). Problemes. Pàg. ___________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

1

Amplificador Operacional en Règim No Saturat. 1.- En el muntatge de la figura 1, i considerant l’amplificador operacional completament ideal, determinar:

a) El valor de la tensió vout en funció del corrent d’entrada iin. b) El valor de la tensió vin. c) Les impedàncies d’entrada i sortida del circuit. d) A la vista del resultat, què fa el circuit de la figura?

En el muntatge de la figura 2, i considerant també l’amplificador operacional

completament ideal, determinar: e) El valor de la tensió vout. f) El valor del corrent iin. g) Les impedàncies d’entrada i sortida del circuit. h) A la vista del resultat, què fa el circuit de la figura?

Finalment, en el muntatge de la figura 3, i considerant l’amplificador operacional

completament ideal, determinar ara: i) El valor del corrent de sortida iO en funció de la tensió d’entrada vin. j) A la vista del resultat, què fa el circuit de la figura? Com es diu aquesta

configuració? k) Calcular el corrent iO per la càrrega quan la tensió d’entrada al circuit és vin=5 V,

essent els valors dels resistors R1=R2=1 k, i la càrrega de 100 .

+

- Rvin

voutiin

+

- vin

voutiin R

+

-

vinio

R1

R1 R2

R2

Càrrega (RL)

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3

Solució: a) El circuit de la figura 1 és un amplificador de transresistència. A causa de l’elevada impedància d’entrada de l’amplificador operacional, el corrent d’entrada iin(t) deriva quasi a la seva totalitat pel resistor R. Per tant, podem veure que:


________________________________________________________________________________

2

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

out Rout in

R in

v t R i tv t R i t

i t i t

b) Fixeu-vos-hi que si considerem que existeix curtcircuit virtual, la tensió d’entrada és nul·la. A la pràctica aquesta tensió és de només uns pocs mV. c) Considerant l’amplificador operacional completament ideal, la impedància d’entrada Rin

vindrà donada pel quocient:

( )0

( )in

inin

v tR

i t

I la impedància de sortida vindrà donada per la impedància de sortida del propi AO;

és a dir, pràcticament zero.

d) Com hem dit, el circuit és un amplificador de transresistència que transforma la informació d’entrada en forma de corrent en un senyal de sortida però en forma de tensió.

e) En el circuit de la figura 2, l’amplificador treballa amb realimentació negativa, i la tensió de sortida està curtcircuitat amb el terminal inversor. Per tant, i tenint en compte el curtcircuit virtual a les seves entrades, la tensió de sortida sempre serà 0 V, independentment del valor de la tensió d’entrada. f) Considerant ideal el VFOA, i a causa del curtcircuit virtual, el corrent d’entrada iin(t) vindrà donat per:

( ) 0 ( )

( ) in inin

v t V v ti t

R R

g) Per definició, la impedància d’entrada Rin és igual a:

( )

( )in

inin

v tR

i t

I, tenint en compte l’expressió obtinguda a l’apartat anterior, en aquest cas aquesta impedància d’entrada valdrà:

( )

( )in

inin

v tR R

i t

D’altra banda, la impedància de sortida, igual que en el circuit anterior, vindrà

donada per la impedància de sortida del propi AO; és a dir, pràcticament zero.

h) Fixeu-vos que com la tensió de sortida sempre és 0 V, independentment del valor de la tensió d’entrada, el circuit no fa absolutament res.

i) El circuit de la figura 3 és una font de corrent de Howland (font de corrent controlada per la tensió d’entrada vin(t) o Voltage–Controlled Current Source –VCCS–). El valor del corrent de sortida iO(t) ve donat (considerant l’AO ideal i treballant a la seva zona lineal) per:

+

- R vin

voutiin

iR=iin


________________________________________________________________________________

3

1

( )( ) in

O

v ti t

R

j) El circuit de la figura 3 és una font de corrent de Howland (font de corrent controlada per la tensió d’entrada vin(t)). Transforma el senyal d’entrada en forma de tensió, en un corrent de sortida iO(t) proporcional a aquesta tensió. k) Amb els valors indicats a l’enunciat, el corrent de sortida valdrà:

1

( ) 5( ) 5

1in

O

v t Vi t mA

R k

Que és un valor independent de la càrrega RL connectada a la sortida del circuit.


________________________________________________________________________________

4

2.- Mitjançant un seguidor de tensió format per l’amplificador operacional A1 volem atacar una càrrega RL. Una vegada que es prova el circuit en el laboratori ens adonem que el consum de corrent d’aquesta càrrega RL supera el corrent màxim que pot donar l’amplificador operacional A1, perillant, per tant, la seva integritat. Per poder alimentar aquesta càrrega, sense que l’amplificador A1 pugui passar a millor vida, s’afegeix el circuit emmarcat en línia discontínua, el qual pot donar a la seva sortida un corrent I2. Es demana:

a) Determinar el valor del corrent I2 en funció del corrent de sortida IL. b) A la vista del resultat anterior, què s’aconsegueix quan s’afegeix l’etapa

formada per A2 emmarcada al seguidor de tensió format per A1?

Solució: a) Gràcies al curtcircuit virtual dels dos amplificadors operacionals (A1 i A2):

A1 configurat com a seguidor de tensió ( ) ( )out inv t v t

A2 configurat com a amplificador no inversor , 21

( ) 1 ( )Fout A in

Rv t v t

R

, 2 ( ) 1 ( ) 1,1 ( )10

Fout A in in

F

Rv t v t v t

R

, 22

2

( ) ( ) 1,1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0,1

/ 5 / 5 2out A out in in in in

L L L

v t v t v t v t v t v ti t

R R R R

I com el corrent de sortida del circuit (corrent de càrrega), iL(t), és per definició:

( ) ( )( ) out in

LL L

v t v ti t

R R


________________________________________________________________________________

5

Ens queda finalment:

2

1( ) ( )

2 Li t i t

b) Amb aquest circuit, aconseguim que el corrent consumit per la càrrega, iL(t), no sigui proporcionat únicament per l’amplificador operacional A1, sinó que es reparteixi a part iguals entre aquest i el segon amplificador operacional A2. D’aquesta forma evitem possibles sobrecàrregues de l’amplificador operacional A1, sobretot si la càrrega té un consum de corrent important.


________________________________________________________________________________

6

Condicionament del Senyal d’Entrada Procedent de Sensors en Instrumentació i Control Industrial. 1.- Si en el següent circuit, els amplificadors operacionals es consideren completament ideals, determinar

a) La tensió de sortida vO(t) en funció de les tensions d’entrada v1(t) i v2(t). b) La impedància d’entrada vista entre el terminal superior d’entrada v1(t) i massa. c) La impedància d’entrada vista entre el terminal inferior d’entrada v2(t) i massa. d) La impedància d’entrada vista entre els dos terminals d’entrada v1(t) i v2(t).

R4

vout(t)

+

- OA2

v2(t) R2

+

- OA1

v1(t)

R3

R1

Solució: a) Gràcies al curtcircuit virtual dels dos amplificadors operacionals (OA1 i OA2):

1 , 2 1 , 21 1

1 2 1 2

( )( ) ( ) ( )OA out OA out OAout OA outv v v t vv t v v t v t

R R R R

, 2 2 , 2 22 32, 2 2

3 4 3 4 4

( ) ( )1 ( )out OA OA out OAOA

out OA

v v v v tv Rv tv v t

R R R R R

Substituint l’expressió de la tensió de sortida del segon amplificador operacional, vout,OA2, a la primera equació i simplificant adequadament, ens queda:

31 11 2

2 2 4

( ) 1 ( ) 1 ( )out

RR Rv t v t v t

R R R

Considerant les igualtats R1=R4 i R2=R3, la tensió de sortida, vout(t), en funció de les dues tensions d’entrada, v1(t) i v2(t), queda:

11 2

2

( ) 1 ( ) ( )out

Rv t v t v t

R

que és la d’un amplificador d’instrumentació, amb una guany diferencial donat per l’expressió:


________________________________________________________________________________

7

1

1 2 2

( ) ( )1

( ) ( ) ( )out out

Dd

v t v t RA

v t v t v t R

b) c) i d) Fixeu-vos que les dues tensions d’entrada, v1(t) i v2(t), queden aplicades directament a les entrades no inversores dels dos amplificadors operacionals OA1 i OA2 (considerats completament ideals). Per tant, totes les impedàncies demanades són d’un valor extremadament alt; idealment infinites.


________________________________________________________________________________

8

2.- Hi ha tota una sèrie de sensors que donen uns corrents molt petits davant la magnitud física que ha de mesurar; és a dir, tenen una baixa sensibilitat, per la qual cosa és necessari amplificar aquests corrents si es vol processar de forma adequada la informació que proporcionen. Per amplificar aquests corrents podem utilitzar, entre d’altres, l’amplificador de corrent de la figura.

a) Si considerem ideal l’amplificador operacional, demostrar que el corrent iL(t) és independent de la resistència de càrrega RL del circuit.

b) Calcular el guany de corrent de l’amplificador.

Solució: a) Gràcies al curtcircuit virtual de l’amplificador operacional A1, podem calcular el corrent de càrrega iL(t) de la següent forma:

11

2

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

Ain A in

Ain L

v ti t v t i t R

R

v ti t i t

R

Substituint l’expressió de la tensió vA(t) de la primera equació a la segona expressió, obtenim:

1

2

( ) 1 ( )L in

Ri t i t

R

que és un corrent independent de la càrrega RL, i només depèn de les resistències del circuit, R1 i R2, del corrent d’entrada iL(t). b) El circuit és un amplificador de corrent, amb un valor del seu guany donat per:

1

2

( )1

( )L

iin

i t RA

i t R


________________________________________________________________________________

9

3.- En un sistema industrial d’adquisició de mesures, necessitem convertir una tensió, que prové d’un sensor de pressió, en un corrent proporcional a ella, amb la finalitat de poder atacar un instrument magnetoelèctric. Per fer-ho, s’ha de dissenyar un circuit com el de la figura.

a) Determinar quant val el corrent iO(t) en funció de vin(t). b) Si a l’entrada connectem un sensor que té un marge dinàmic entre 0 V i 5 V,

calcular R per a què el corrent pel mesurador d’agulla variï des de 0 fins a 10 mA.

c) Comentar les limitacions d’aquest circuit. NOTA: Considerar ideals els amplificadors operacionals, i menysprear les caigudes de tensió a les unions base–emissor dels transistors (VBE=0).

Solució: a) Gràcies al curtcircuit virtual dels dos amplificadors operacionals (A1 i A2):

11 1 1 1 1

inEA A E in C E

vvv v v v i i

R R

2 2 1 1in

A A C CC R CC C CC CC in

vv v v V v V R i V R V v

R

22 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) CC CC inCC A in

O C E

V V v tV v v ti t i t i t

R R R


________________________________________________________________________________

10

( )( ) in

O

v ti t

R

b) A partir de l’expressió anterior:

( ) ( ) 5

( ) 500 499 (serie E-96)( ) 0,01

in inO

O

v t v t Vi t R

R i t A

c) El problema més gran d’aquest circuit està en evitar en tot moment que ni transistors ni amplificadors operacional quedin saturats. Aquest problema és causat per una amplitud de la tensió d’entrada excessivament elevada. La tensió col·lector–emissor de saturació (que val al voltant de 0,2 V) per al transistor Q2 es determina per l’expressió:

2, 2 2 ,maxEC sat E C CC in OV V V V v v

Per tant, la tensió de sortida màxima, vO,max, per evitar la saturació del transistor Q2 és:

,max , 0, 2O CC in CE sat CC inv V v V V v V

Un altre problema afegit podria venir donat en cas de què el corrent de sortida del circuit fos excessivament gran. En aquest cas, podríem tenir el problema d’un corrent de base pels transistors que podria sobrecarregar la sortida dels amplificadors operacionals. Per tant, el corrent de base en cap moment ha de superar el corrent màxim que poden donar els amplificadors operacionals a la seva sortida.


________________________________________________________________________________

11

4.- En un procés industrial d’adquisició de mesures es desitja mesurar la temperatura en el marge de 0 ºC fins els 120 ºC. Disposem d’un sensor de temperatura AD590 (d’Analog Devices) que proporciona un corrent numèricament igual (en A) al valor de la temperatura a què està sotmès en graus Kelvin, comportant-se, per tant, com una font de corrent controlada per temperatura. El marge dinàmic d’entrada del convertidor A/D està comprès entre 0 V i els 10 V.

a) Determinar el guany de l’etapa amplificadora. b) El valor de la resistència R3 i el de la tensió de referència VREF.

Solució: a) i b) Aplicant el teorema de superposició a les dues entrades de l’etapa amplificadora (vt i VREF), ens queda:

3 3

2 2

1 1O t REF t REF

R Rv v V k v kV

R R

Essent k=R3/R2 el guany demanat de l’etapa amplificadora. Com la sensibilitat del sensor és 1 A/K, tenim:

6 4 21 10 10 10 amb en Kelvins i en volts.t sensor tv I R T T T V

i la tensió vO en funció de la temperatura queda com:

21 10 1O t REF REFv k v kV k T kV

Si T=0 ºC=273,16 K:


________________________________________________________________________________

12

2( 273,16 ) 10 2,73tv T K T V

I el valor desitjat ha de ser 0 V:

( 273 ) 0 2,73 1O REFv T K V V k kV

Si T=120 ºC=393,16 K:

2( 393,16 ) 10 3,93tv T K T V

I el valor desitjat ha de ser ara de 10 V:

( 293,16 ) 10 3,93 1O REFv T K V V k kV

Observem que tenim dues equacions amb dues incògnites (k i VREF):

3 20 2,73 1 / 7,33

3,10210 3,93 1

REF

REFREF

V V k kV k R R

V VV V k kV

Com el resistor R2 és d’un valor igual a 1 k, podem agafar com R3 un potenciòmetre (preferiblement multivolta) de 10 k i ajustar-lo a un valor de 7,33 k. Per la seva banda, la tensió de referència pot ser ajustada mitjançant un divisor de tensió format per un potenciòmetre multivolta connectat a la tensió d’alimentació, i un amplificador operacional (de precisió) per evitar efectes indesitjables de càrrega, tal i com mostra la figura següent:

VREF

+

- AO2

VREF

+VCC


________________________________________________________________________________

13

5.- Es desitja mesurar la temperatura d’un procés en un reactor químic compresa entre 0 ºC i 50 ºC, amb una resolució de 0,25 ºC, i amb presentació digital per tal d’introduir-la a un microcontrolador. Com a sensor RT s’utilitza una RTD de Pt, sensor lineal amb la següent equació característica:

( ) 1 1T final O O final inicialR T R T R T T ,

que a 25 ºC té 1 k, i un coeficient de temperatura =0,375 %/K. El sensor es disposa en un divisor de tensió alimentat a 5 V, la sortida del qual es connecta a un amplificador no inversor. El convertidor A/D té un marge d’entrada de 0 a 2 V. Si RP s’agafa de forma que pel sensor no circuli més de 50 A, evitant d’aquesta manera el seu escalfament, dissenyar la resta de components passius del sistema d’adquisició i la tensió de referència VREF.

Solució:

El corrent màxim que circularà pel resistor sensor RT serà de 50 A, evitant així l’autoescalfament del sensor. Per tant:

,max

550RT

P T P T

V VI A

R R R R

El cas més desfavorable serà quan RT tingui el valor mínim en el marge de mesura; és a dir, quan T=0 ºC:

( 0º ) 1 1

1000 1 0,00375 0 25º 906,25

T O O final inicialR T C R T R T T

C

,max

550 99,1

906,25RT PP T P

V VI A R k

R R R


________________________________________________________________________________

14

Podem agafar com a valor normalitzat el de RP=100 k.

Analitzant l’etapa amb l’amplificador operacional AO1, aquesta és una etapa amplificadora–sumadora amb la següent expressió:

2 2

1 1

1O S REF

R RV V V

R R

(1)

Quan tenim 50 ºC, el valor d’RT és:

( 50º ) 1 1

1000 1 0,00375 50º 25º 1093,75

T O O final inicialR T C R T R T T

C C

Per tant, a 0 ºC i 50 ºC, tenim, respectivament, uns valors a VS (tensió en bornes del sensor) donats per:

906,25

(0º ) 906,25 (0º ) 5 44,906100 906,25T SR C V C V mV

k

1093,75

(50º ) 1093,75 (50º ) 5 54,096100 1093,75T SR C V C V mV

k

I, com a conseqüència, substituint valors a l’equació (1) anterior:

2 2

1 1

0º 0 1 44,906 REF

R RT C V mV V

R R

2 2

1 1

50º 2 1 54,096 REF

R RT C V mV V

R R

Si anomenem K a la relació R2/R1, ens queda un sistema de dues equacions amb dues

incògnites:

0 1 44,906

2 1 54,096

REF

REF

V K mV K V

V K mV K V

Determinat les variables a partir d’aquestes dues equacions, ens queda:

2

1

216,63 216,63R

KR

Si R1=100 ; R2=21,66 k. El resistor R2 podria ser un potenciòmetre d’uns 27 k

(preferiblement multivolta per agumentar la precisió de l’ajustament), fixat a aquest valor de 21,66 k. Fixeu-vos que la constant K és justament el guany (en valor absolut) de l’etapa amplificadora. Finalment, el valor de la tensió de referència serà igual a:

45,11REFV mV

que pot ser ajustada mitjançant un divisor de tensió format per un potenciòmetre multivolta connectat a la tensió d’alimentació, i un amplificador operacional (de precisió) per evitar efectes indesitjables de càrrega, tal i com mostra la figura següent:


________________________________________________________________________________

15

VREF

+

- AO2

VREF

+VCC


________________________________________________________________________________

16

6.- El circuit de la figura és una estructura d’amplificador d’instrumentació caracteritzat per gaudir de resistències d’entrada idealment infinites.

a) Considerant ideals tots dos amplificadors operacionals, demostrar que el guany de tensió diferencial de l’amplificador d’instrumentació (AD) ve donat per:

2 2

2 1 1

21O

D

v R RA

v v R R

b) Si tenim R1=R2, demostrar que modificant el resistor R podem ajustar el guany del

circuit. c) En aquestes condicions, si anomenem k=R/R1, representar la corba del guany en

tensió diferencial en funció de k (és a dir: AD=f(k)). d) Si eliminem en el circuit la resistència R, deduir la funció de transferència de la

nova estructura d’amplificador d’instrumentació. Quin desavantatge té aquest nou circuit respecte a l’amplificador d’instrumentació original?

Solució: a) Considerant ideals els dos amplificadors operacionals, i aplicant la primera llei de Kirchhoff al nus del terminal d’entrada inversor de l’amplificador operacional OA1:

1 2R R Ri i i

1 12 1 1

1 2

( ) ( )( ) ( ) ( )Ov t v tv t v t v t

R R R

essent vO1(t) la sortida del primer amplificador operacional. Aplicant també la primera llei de Kirchhoff al nus del terminal d’entrada inversor de l’amplificador operacional OA2:

1 2 2 2 1

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )O Ov t v t v t v t v t v t

R R R


________________________________________________________________________________

17

essent vO(t) la sortida del segon amplificador operacional (i del circuit). Substituint la variable vO1(t) de la segona equació a la primera, operant i aïllant la tensió de sortida vO(t), ens queda finalment:

2 22 1

1

2( ) 1 ( ) ( )O

R Rv t v t v t

R R

Per tant, el guany diferencial de l’amplificador, Ad, és:

2 2

2 1 1

( ) ( ) 21

( ) ( ) ( )O O

dd

v t v t R RA

v t v t v t R R

b) Si es compleix la igualtat R1=R2, el guany diferencial Ad se simplifica a:

2

2 1

( ) ( )2 1

( ) ( ) ( )O O

dd

v t v t RA

v t v t v t R

Per tant, variant el resistor R, podem variar el guany diferencial Ad de l’amplificador d’instrumentació (això sí, de forma no lineal). També podríem variar el guany Ad modificant alhora el dos resistors R1, o els dos R2, però en qualsevol d’aquests dos casos, podríem tenir problemes d’aparellament de components i, per tant, el CMRR podria quedar fortament empitjorat. c) Anomenant k=R/R1, el guany diferencial el podem expressar com:

2 1

( ) ( ) 12 1

( ) ( ) ( )O O

dd

v t v tA

v t v t v t k

Així, en aquesta expressió tenim dues asímptotes:

Si 0 (curt circuit) 0 DR k A

Si (circuit obert) 2DR k A

i la corba del guany en tensió diferencial en funció de k queda com mostra la figura següent:

AD

k=R/R1 1

4

2

d) Si el resistor R s’elimina, tindrem R∞ i, per tant, l’expressió del guany diferencial Ad se simplifica a:


________________________________________________________________________________

18

2

1

1d

RA

R

Observem que el circuit continua funcionant com un amplificador. Ara bé, si volem modificar el guany Ad, hem de fer-lo modificant necessàriament dos resistors alhora; bé els dos resistors R1, o els dos R2.


________________________________________________________________________________

19

7.- El circuit de la següent figura representa un sistema bàsic d’adquisició de dades procedent d’una galga extensomètrica amb RO=510 , i K=2. El bloc A.I. té un guany diferencial donat per l’equació:

31

2

21O

Dd G

V RRA

V R R

Es demana:

a) Tensió màxima Va a la qual podem alimentar el pont, si volem que el corrent màxim que circula per la galga sigui de 30 mA.

b) Per a aquesta tensió Va, determinar l’expressió i el valor de la sensibilitat tant del sensor (és a dir, dRS/d) com la del pont de Wheatstone (dVd/d).

c) Determinar l’expressió de la tensió de sortida en funció de la deformació VO(x). d) Si agafem una tensió Va=10 V, i la galga se situa sobre una biga metàl·lica (E=150

GPa), determinar el valor de RG de l’etapa amplificadora per obtenir una tensió de sortida VO=1 V quan la tensió mecànica a què està sotmesa la biga és de 1000 kg/cm2.

NOTA: Una galga extensomètrica, és un element sensor que, fonamentat a l’anomenat efecte piezorresistiu, s’utilitza per a la mesura de forces, esforços i presions mecànics. Les equacions que modelitzen el comportament d’aquest sensor són:

1S OR R x

on:

x K i: /F A P

E E

essent:

RS : Resistència de la galga extensomètrica (en ). K : Factor de galga (adimensional). És un valor al voltant de 2. RO : Resistència en repòs (sense tenir tensió mecànica aplicada al sensor) (en ).

: Deformació de la galga (i per tant de l’objecte on està fixada) (adimensional). F : Força mecànica a la que està sotmesa la galga (en N). P : Pressió o tensió mecànica (en N/m2=Pa). E : Mòdul de Young de l’objecte on està fixada la galga (en N/m2=Pa).


________________________________________________________________________________

20


________________________________________________________________________________

21

8.- El CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire), situat prop de la frontera franco-suïssa, al costat de Ginebra, és un centre internacional, d’àmbit europeu, per a la investigació i l’estudi de l’energia nuclear i partícules físiques, on hi ha un gran accelerador de partícules atòmiques. Imaginem que, en el complex sistema d’adquisició de dades que té, s’està estudiant la possibilitat d’incorporar un nou tipus de sensor magneto-resistiu per a la mesura dels camps magnètics generats a l’accelerador. El sensor té un comportament modelat per l’expressió:

BRR B 1

on R és la resistència del sensor, mesurada en , B és el camp magnètic mesurat en Teslas (T), RB és la resistència que presenta el sensor a camp magnètic nul de valor RB=500 , i és una constant de proporcionalitat, el valor de la qual és =0,7 %/T. Aquest tipus de sensor s’incorpora en un circuit com el de la figura, on els amplificadors operacionals es consideren completament ideals.

Suposem inicialment que el camp magnètic B=0 i que la tensió d’alimentació VCC=12 V. El transistor Q1 presenta una VBE=0,7 V i un guany de corrent =250; el díode zèner DZ necessita un corrent mínim per funcionar adequadament de 10 mA, i el corrent de referència del convertidor A/D és IREF=2 mA.

a) Per aconseguir una tensió VA=4,4 V, determinar la tensió zèner del díode DZ, el corrent de base del transistor Q1 així com el valor del resistor RZ.

b) Determinar les expressions matemàtiques de la tensió a la sortida del pseudopont i de la tensió VO d’entrada al convertidor A/D.


________________________________________________________________________________

22

c) Si el camp magnètic aplicat al sensor és nul (B=0), quan val la sortida del pseudopont? (agafar VA=4,4 V).

Per a un marge de mesura del camp magnètic entre 0 T i 2 T, volem que els

valors límits de la tensió d’entrada del convertidor A/D (vO) siguin –5 V i +5 V, respectivament.

d) Tenint en compte les especificacions anteriors, calcular el guany de l’etapa amplificadora, els valors adequats dels resistors R1 y R2 i de la tensió de referència VREF.


________________________________________________________________________________

23

9.- La figura representa l’esquema de blocs d’un convertidor D/A de resistors ponderats de 8 bits. L’amplificador operacional de la sortida treballa com a sumador inversor.

a) Explicar, de manera qualitativa, com funciona el DAC de resistors ponderats. b) Determinar l’expressió de la tensió de sortida VO en funció dels bits d’entrada Si al

convertidor (amb i 0 1 2 7, , ,..., ). Teniu en compte que aquests bits poden agafar només els valors ‘1’ ó ‘0’ lògics, de forma que si el bit Si d’entrada està a ‘1’ lògic connectarà en ON l’interruptor electrònic SWi corresponent. Per contra, si el bit Si està a ‘0’ lògic posarà en OFF l’interruptor SWi.

c) Comentar algun inconvenient d’aquest tipus de convertidor A/D.


________________________________________________________________________________

24

Amplificador Operacional en Règim Saturat.

1.- El circuito que se muestra en la figura siguiente corresponde a un oscilador de relajación, basado en la carga y descarga de un condensador, y realizado con un comparador con histéresis.

A efectos de su análisis podemos considerar ideales el amplificador operacional (con alimentación simétrica VCC) y los dos diodos (tensión umbral V=0).

a) Determinar para que valores umbrales de tensión en el condensador C cambia el estado de la salida del comparador con histéresis.

b) Determinar analíticamente el ciclo de trabajo D (duty cycle) de la señal de salida del oscilador.

c) Deducir una expresión para la frecuencia de oscilación fO. NOTA: La tensión en un condensador C que se carga a través de una resistencia R a partir de un generador de tensión constante es:

1 2( )t

R CCv t K K e

o también:

3 4( ) 1t

R CCv t K K e

Solución: a) El comparador con histéresis utilizado corresponde a la versión inversora, mostrada en la figura siguiente. La tensión de conmutación de circuito VCOMP viene dada por el divisor de tensión formado por las resistencias R y 2R:

2 2

2 3COMP COMP CC CC

RV V V V V

R R

b) La carga y descarga del condensador se realizará a través de las resistencias de valor R y 2R respectivamente, tal y como se muestra en la figura siguiente:


________________________________________________________________________________

25

Proceso de carga del condensador:

CRt

c eKKtv

21)(

CC

CC

CCCCc

CCCCc

VK

VK

VKVv

VKKVv

3

5)(

3

2

3

2)0(

2

1

1

21

CR

t

CCc eVtv3

51)(

El tiempo que permanece a +VCC la salida del comparador (TH) será el transcurrido

hasta que la tensión en el condensador alcance el valor de 2/3 de la tensión de alimentación:

)5ln(3

51

3

2

RCTeVV HCR

T

CCCC

H

Proceso de descarga del condensador:

RCt

c eKKtv 221)(

CC

CC

CCCCc

CCCCc

VK

VK

VKVv

VKKVv

3

5)(

3

2

3

2)0(

2

1

1

21

RC

t

CCc eVtv 2

3

51)(

El tiempo que permanece a –VCC la salida del comparador (TL) será el transcurrido

hasta que la tensión en el condensador alcance el valor de –2/3 de la tensión de alimentación:

)5ln(23

51

3

2 2

RCTeVV LRC

T

CCCC

L

Con lo cual tenemos un ciclo de trabajo D (o duty cycle) de valor:


________________________________________________________________________________

26

3

1

)5ln(2)5ln(

)5ln(

RCRC

RC

TT

TD

LH

H

c) La frecuencia de oscilación fO puede deducirse a partir del periodo de la forma de onda generada por el circuito:

1 1 1 1

ln(5) 2 ln(5) 3 ln(5)OH L

fT T T RC RC RC


________________________________________________________________________________

27

2.- La figura 1 representa l’esquema de blocs d’un convertidor A/D que treballa amb el principi de simple rampa. La font de corrent constant, de valor Io, carrega el condensador C amb un corrent constant durant el temps que triga la conversió.

a) Si suposem que la tensió d’entrada vin(t) és constant (Vin) durant l’interval de temps que triga la conversió, dibuixar els senyals que tenim a V1, V2 i V3.

b) A la vista de les gràfiques anteriors, explicar, de manera qualitativa, com funciona el convertidor A/D de simple rampa.

c) Determinar el valor binari n al que arriba el comptador binari, en funció de les tensió d’entrada Vin i del valor dels components del circuit.

d) Comentar algun inconvenient d’aquest tipus de convertidor A/D.

-

+ CMP1

C

vin(t)

v2(t)

VCC

Io=cte

v1(t)

Clock

T

AND v3(t)

n bits

n bits

Señal de puesta a cero de las

condiciones iniciales

Registro

Contador

Circuito de

Control

Salida Digital

Fig. 1. NOTA: Considerar que sempre es compleix:

in

o

VT C

I

essent T el període del clock del sistema. Solución: a) Si suposem que la tensió d’entrada vin(t) és constant (Vin) durant l’interval de temps que triga la conversió, dibuixar els senyals que tenim a V1, V2 i V3.

Al tener la fuente de corriente Io un valor constante, el condensador se cargará con una tensión lineal (es decir, una rampa de pendiente constante), siguiendo la ley:


________________________________________________________________________________

28

1 10

1( ) ( 0)

to

o

Iv t I dt t V t

C C , (S1-1)

donde la tensión V1(t=0) son las condiciones iniciales del condensador en el instante de carga, t=0 s). Por otro lado, el comparador analógico (que consideraremos ideal) compara esta tensión v1(t) en bornes del condensador con la tensión de entrada vin(t). Como consecuencia, las señales de interés son las mostradas a continuación en la figura S-1.

TON1

clock

t

VCC

0 V

v1(t)

t

vin(t)

0 V

v3(t)

t 0 V

t 0 V

TON2

v2(t)

Inicio de

conteo

Inicio de

conteo

Fin de conteo

Fin de conteo

Reset de C y actualización de la lectura en el registro y

display

TON1 TON2

Fig. S-1.- Señales de interés en el convertidor A/D de la figura 1.

b) A la vista de les gràfiques anteriors, explicar, de manera qualitativa, com funciona el convertidor A/D de simple rampa.


________________________________________________________________________________

29

La salida del comparador analógico pasa de nivel alto a nivel bajo cuando el nivel de la rampa (tensión en bornes del condensador C) sobrepasa ligeramente el valor de la tensión vin(t). De hecho, el tiempo que la rampa tarda en alcanzar a la tensión vin(t) es directamente proporcional al valor de dicha vin(t).

La puerta AND actúa entonces como puerta “de paso” de los pulsos

provenientes del clock que pasan a la entrada de conteo del contador. Esta puerta AND es controlada por el comparador analógico que está abierta durante un intervalo de tiempo T (tiempo de conversión), tiempo que depende en todo momento de la tensión de entrada vin(t) a convertir.

Obsérvese que el número de pulsos, n, que pasan al contador binario y, por

tanto, el valor de dicho contador, es directamente proporcional al valor de la tensión de entrada al circuito: cuanto mayor sea vin(t), más tiempo está abierta la puerta AND, y mayor número de pulsos, n, cuenta dicho contador. Y viceversa, cuanto menor sea vin(t), menos tiempo está abierta la puerta AND, y menor será el número de pulsos contabilizado por el contador.


El número de pulsos, n, contabilizado por el contador binario vendrá dado por la

siguiente expresión:

ONCLK ON

Tn f T

T , (S1-2)

donde fCLK (=1/T) es la frecuencia del clock del convertidor, y TON es un período de conversión.

En un período de conversión, TON, la tensión en el condensador C vale, de acuerdo con la expresión (S1-1):

1 0

1( )

ONTo

ON o ON

Iv t T I dt T

C C , (S1-3)

donde las condiciones iniciales del condensador, para cada período de conversión, son siempre nulas (debido al reset ocasionado por el circuito de control del convertidor A/D).

En ese instante t=TON, la tensión del condensador v1(t=TON) se iguala con el valor de vin(t); es decir:

1( ) oON ON in

Iv t T T V

C , (S1-4)

que lleva a un período de conversión:


________________________________________________________________________________

30

inON

o

CVT

I (S1-5)

Obsérvese que, como el enunciado especificaba que debía cumplirse:

in

o

VT C

I , (S1-7)

Esto lleva a que, en un intervalo de tiempo de conversión TON, contaremos n períodos T provenientes del clock del sistema. Por tanto, sustituyendo TON de la expresión (S1-5) en la ecuación (S1-2), nos queda, finalmente:

CLKin

o

f Cn V

I (S1-6)

d) Comentar algun inconvenient d’aquest tipus de convertidor A/D. Este tipo de convertidor adolece de diferentes inconvenientes o problemas, que conviene destacar:

Por un lado, observando la expresión (S1-6), se desprende que la precisión de la conversión depende de numerosos factores, como son: la estabilidad de la frecuencia de clock fCLK, la estabilidad de la corriente de referencia Io (que debe, a su vez generarse mediante circuitería que tendrá ciertos errores y tolerancias), y la estabilidad del valor del condensador C, que debiera de ser de precisión (es decir, de baja tolerancia).

Además, es evidente que si la señal de entrada a convertir vin(t) tiene incorporado una cierta cantidad de ripple (rizado), este circuito no es capaz de rechazarlo, ya que la medición depende en todo momento del punto en que la rampa corta a la tensión Vin.

Finalmente, si la señal de entrada a convertir vin(t) es de variación relativamente rápida, este circuito es incapaz de procurar lecturas de conversión reales y precisas.

Por tanto, podemos decir que este tipo de convertidor sólo es adecuado en

aplicaciones de poca precisión y donde la tensión de entrada sea, en esencia, de DC. Debido a estas serias limitaciones, en la práctica, hoy en día, este tipo de convertidor no se utiliza.


________________________________________________________________________________

31

3.- La figura 1 representa l’esquema de blocs d’un convertidor A/D que treballa amb el principi de conversió tensió-freqüència. L’etapa d’entrada és un integrador inversor basat en un amplificador operacional.

a) Si suposem que la tensió d’entrada vin(t) és constant (Vin) durant l’interval de temps que triga la conversió, dibuixar els senyals que tenim a V1, V2 i V3.

b) A la vista de les gràfiques anteriors, explicar, de manera qualitativa, com funciona el convertidor A/D de conversió tensió-freqüència.


d) Comentar algun inconvenient d’aquest tipus de convertidor A/D.

Fig. 1. NOTA: Considerar que sempre es compleix:

REF

in

VT RC

V

essent T el període del clock del sistema. Solución: a) Si suposem que la tensió d’entrada vin(t) és constant (Vin) durant l’interval de temps que triga la conversió, dibuixar els senyals que tenim a V1, V2 i V3.


________________________________________________________________________________

32

En este caso, integramos la tensión de entrada vin(t) según la ley:

1 0

1( ) ( )

t

inv t v t dtRC

(S1-1)

Si suponemos que dicha tensión permanece constante durante el tiempo que dura la conversión, tenemos que se cumple:

1 10

1( ) ( ) ( 0)

tin

in

Vv t v t dt t V t

RC RC (S1-2)

donde la tensión V1(t=0) son las condiciones iniciales del integrador en el instante de carga, t=0 s). Es decir, aparece en la salida del integrador una rampa de pendiente constante. Obsérvese que el tiempo que dura dicha rampa es inversamente proporcional al valor absoluto de la tensión de entrada: mayor tensión de entrada, más rápida es la rampa de subida, y viceversa, menor tensión de entrada, más lenta es dicha rampa.

Por otro lado, el comparador analógico (que consideraremos ideal) compara esta tensión v1(t) en la salida del comparador con la tensión de referencia –VREF. Como consecuencia, las señales de interés son las mostradas a continuación en la figura S-1.


________________________________________________________________________________

33

T

t

VCC

0 V

v1(t)

t

VREF

0 V

v3(t)

t 0 V

T

v2(t)

t 0 V

vin(t)

T T

Inicio de

conteo

Inicio de

conteo

Fin de conteo

Fin de conteo

Actualización de la lectura en el

registro y display

VCC

Fig. S-1.- Señales de interés en el convertidor A/D de la figura 1.

b) A la vista de les gràfiques anteriors, explicar, de manera qualitativa, com funciona el convertidor A/D de conversió tensió-freqüència.


________________________________________________________________________________

34

La salida del comparador analógico pasa de nivel alto a nivel bajo cuando el nivel de la rampa (tensión en bornes del condensador C) sobrepasa ligeramente el valor de la tensión vin(t). De hecho, el tiempo que la rampa tarda en alcanzar a la tensión vin(t) es directamente proporcional al valor de dicha vin(t).

La puerta AND actúa también (al igual que en el problema anterior) como puerta

“de paso” de los pulsos provenientes del comparador que pasan a la entrada de conteo del contador. Sin embargo, a diferencia del problema precedente, esta puerta AND es controlada por el periodo de clock. Dicha puerta está abierta durante un intervalo de tiempo T (tiempo de conversión), tiempo que, en este caso es constante e independiente de la tensión de entrada vin(t) (a diferencia del problema anterior, que dependía en todo momento de la tensión vin(t) a convertir).

No obstante, conseguimos algo similar al problema precedente; en efecto,

obsérvese que el número de pulsos n que pasan al contador binario y, por tanto, el valor de dicho contador, es directamente proporcional al valor de la tensión de entrada al circuito: En un intervalo constante de conversión, T, cuanto mayor sea vin(t), mayor número de pulsos, n, cuenta dicho contador; y viceversa, cuanto menor sea vin(t), menor será el número de pulsos contabilizado por el contador. En por ello, que este convertidor A/D recibe el nombre de ‘convertidor tensión-frecuencia’ (V-F).


El número de pulsos, n, contabilizado por el contador binario vendrá dado por la

siguiente expresión:

inin

CLK

fn f T

f , (S1-3)

donde fin (=1/Tin) es la frecuencia de la señal de rampa generada en el integrador y, por tanto, de la frecuencia de la señal rectangular de salida del comparador analógico del convertidor, y T (=1/fCLK) es el período de conversión, considerado constante en todo momento.

En un ciclo del integrador, que llamaremos Tin, la tensión de salida del integrador vale, de acuerdo con la expresión (S1-2):

1 0

1( ) ( )

inTin

in in in

Vv t T v t dt T

RC RC , (S1-4)

donde las condiciones iniciales del integrador, para cada ciclo de integración, son siempre nulas (debido al reset ocasionado por el circuito de control del convertidor A/D).

En ese instante t=TON, la tensión del integrador v1(t=TON) se iguala con el valor de la tensión de referencia –VREF (que es constante); es decir:


________________________________________________________________________________

35

1( ) inin in REF

Vv t T T V

RC , (S1-5)

que lleva a un período de integración:

REFin

in

VT RC

V (S1-6)

o, equivalentemente, a una frecuencia en la rampa de salida del integrador (o, equivalentemente, de la señal rectangular en la salida del comparador analógico), fin, determinada por la ecuación siguiente:

1 1 in

inin REF

Vf

T RC V (S1-7)

Es decir, el valor de dicha frecuencia es directamente proporcional al valor de la tensión de entrada al circuito; de ahí el término ‘convertidor tensión-frecuencia’ (V-F). Obsérvese que, como el enunciado especificaba que debía cumplirse:

REF

in

VT RC

V , (S1-8)

Esto lleva a que, en un intervalo de tiempo de conversión T, que es constante, contaremos n períodos Tin provenientes del comparador analógico del sistema.

Finalmente, sustituyendo fin de la expresión (S1-7) en la ecuación (S1-3), nos queda, finalmente:

1 in

CLK REF

Vn

RCf V (S1-9)

d) Comentar algun inconvenient d’aquest tipus de convertidor A/D. Al igual que el convertidor A/D del problema anterior, este tipo de convertidor adolece de los mismos inconvenientes o problemas que ya hemos relacionado anteriormente, y que conviene destacar nuevamente:

Por un lado, observando la expresión (S1-8), se desprende que la precisión de la conversión depende de numerosos factores, como son: la estabilidad de la frecuencia de clock fCLK, la estabilidad en los componentes del integrador que debieran de ser de precisión (es decir, de baja tolerancia) y, además, de la tensión de referencia VREF que debiera de ser también de alta precisión.

Además, es evidente que si la señal de entrada a convertir vin(t) tiene incorporado una cierta cantidad de ripple (rizado), este circuito tampoco es capaz de rechazarlo, ya que la medición depende en todo momento de la


________________________________________________________________________________

36

pendiente de la rampa generada en el integrador y, por tanto, del valor absoluto de la tensión de entrada vin(t).

Finalmente, si la señal de entrada a convertir vin(t) es de variación relativamente rápida, este circuito es incapaz de procurar lecturas de conversión reales y precisas.

Por tanto, podemos decir que este tipo de convertidor A/D, al igual que el del

problema precedente, sólo es adecuado en aplicaciones de poca precisión y donde la tensión de entrada sea, en esencia, de DC. Debido a estas serias limitaciones, en la práctica, hoy en día, estos dos tipos de convertidores no se utilizan.


________________________________________________________________________________

37

4.- Per al control de un sistema de calefacció en una sala de conferències s’opta per l’opció de l’esquema representat a la figura 2, on el sistema a implementar és un senzill control de temperatura de dues posicions (o control ‘tot o res’), amb un cicle d’histèresi com el representat a la figura 1.

22 ºC19 ºC 25 ºC

Tensió al Calefactor (VRC)

0 VRMS

230 VRMS

Temperatura del Recinte

Fig. 1.- Cicle d’histèresi del control de temperatura.

El relè electromagnètic que activa la càrrega té una resistència paràsita RL = 53 i una tensió de commutació d’uns 12 V. El díode LED, quan està encès, consumeix un corrent de 10 mA i presenta una tensió d’1,2 V, aproximadament. Per la seva banda, la tensió col·lector–emissor en saturació del transistor Q1 és VCE,sat. = 0,2 V, i volem que el seu corrent de base IB no passi d’1 mA. L’amplificador operacional OA2 té una tensió de saturació 1 V per sota del valor de la seva tensió d’alimentació. Disposem també d’un sensor de temperatura del model AD590 (d’Analog Devices) que proporciona un corrent numèricament igual (en A) al valor de la temperatura a què està sotmès en graus Kelvin. Es demana:

a) Comenteu el funcionament del circuit. Representeu els senyals als punts V1, V2, V3, V4, VREF i VRC.

b) Especifiqueu tots els valors i components de l’esquema. c) Representeu el diagrama de blocs del sistema de control de temperatura. d) Quins problemes pot tenir aquest tipus de control?


________________________________________________________________________________

38

iS(T)

+

-

+

-

VCC = +12 V

Relè Electromagnètic

D1

Q1 RB

R1

RECINTE

R3

R2

Consigna

PC

VCC

VCC

+VCC

230 VAC N F

V1

V3

OA1

OA2

Resistència Calefactora (RC)

(3,3 kW)

AD590

VREF

V2

V4

VRC

R4

D2

IB

L

RL

-VEE

10 k D3

Fig. 2.- Sistema de control de temperatura a dissenyar.

Solució: a) El circuit és un controlador tot–res que regula la temperatura del recinte (la planta) mostrat a la figura 2. Està format per un sensor de temperatura, l’AD590 d’Analog Devices, gràcies al qual tenim una tensió V1 proporcionada la temperatura mesurada al recinte. Per a les tres temperatures crítiques considerades a la figura 1 (19 ºC, 22 ºC i 25 ºC), aquesta tensió pren els següents valors:

1 1( ) SV T R i T

1 1( 19º ) 19º 10 (273 19) 2,92SV T C R i T C k A V

1 1( 22º ) 22º 10 (273 22) 2,95SV T C R i T C k A V

1 1( 25º ) 25º 10 (273 25) 2,98SV T C R i T C k A V b) La bàscula d’Schmitt inversora al voltant de l’amplificador operacional OA2 té un cicle d’histèresi com el mostrat a la figura 3, on els nivells VL, VM, VH són, respectivament, els corresponents a unes temperatures equivalent de 19 ºC, 22 ºC i 25 ºC. Aquests tres valors estan donats per:


________________________________________________________________________________

39

3 3 2,

2 3 2 3 2 3

; M REF L H M REF SAT

R R RV V V V V V V

R R R R R R

VL

V3

+VSAT

V1 VM VH

-VSAT

V V

Fig. 3.- Cicle d’histèresi de la bàscula d’Schmitt del control de temperatura de la figura 2.

Suposant que la tensió de saturació dels amplificadors operacionals VSAT és aproximadament 11 V (1 V per sota de VCC), les equacions anteriors passen a ser:

322 3

2 3

3

2 3

11 0,03 2,73 10

=2,95 2,96REF REF

RV V V R R

R R

RV V V V

R R

Per tant, si agafem R3=1 M, tenim R2=2,73 k. Per a aquest darrer resistor, podem posar un potenciòmetre de 4,7 k (valor estàndard de la sèrie E–12) i ajustar-lo posteriorment a aquest valor de 2,73 k.

Per conèixer el guany de corrent del transistor Q1, hem de saber el seu corrent de col·lector total, donat per la suma del corrent per la bobina del relè i del díode LED D2. El primer val:

, 12 0,2222,6

53CC CE sat

releL

V V V VI mA

R

I, per tant, el guany de corrent mínim del transistor min valdrà:

min,max ,max

222,6 10232,6

1C rele LED

B B

I I I mA mA

I I mA

El transistor Q1 hauria de tenir per tant un guany mínim de 233, aproximadament, i suportar un corrent de col·lector de, com a mínim, uns 233 mA. Per altra banda, el resistor de base RB haurà de tenir un valor donat per la tensió màxima de saturació de l’amplificador operacional OA2 (11 V en aquest cas) i per les caigudes de tensió en el díode D3 i la unió base–emissor del transistor Q1:

3,min

,max

11 0,7 0,79,6

1SAT D BE

BB

V V V V V VR k

I mA

Podríem agafar com a valor estàndard un de 10 k. Finalment, el valor del resistor R4 pot ser determinat tenint en compte el corrent pel díode LED D2 i la caiguda de tensió en el mateix:


________________________________________________________________________________

40

,4

12 1,2 0,21,06

10CC LED CE sat

LED

V V V V V VR k

I mA

En aquest cas, un valor estàndard d’1 k seria adequat per a aquest resistor R4. d) Aquest tipus de control presenta un problema important, i és l’ocasionat per les commutacions que, si són de freqüència relativament elevada, poden acabar deteriorant els contactes del relè electromagnètic. Per baixar aquesta freqüència de commutació podem augmentar la histèresi del circuit. No obstant, fent això, pot aparèixer un problema de precisió. Efectivament, quant major és la histèresi, menor és la precisió obtinguda en el controlador. Per a això, a vegades, s’opta per un controlador continu del tipus PD (proporcional–derivatiu), PI (proporcional–integral) o PID (proporcional–integral–derivatiu) en el llaç de control, després d’obtenir el senyal d’error del sistema (o sigui, la diferència entre el senyal de consigna i el senyal mesurat a la planta).


________________________________________________________________________________

41

Operadors No-Lineals. 1.- Una de les majors aplicacions actuals del sistemes electrònics d’adquisició de mesures està al voltant del cultius agrícoles. En efecte, en funció d’aquestes mesures el sistema de control associat a l’adquisició (que no es considerarà en aquest problema) regula diferents variables de sortida com el temps de rec de les plantes, quantitat d’adob necessari, etc. Anem a estudiar part d’un sistema d’adquisició de mesures de variables en un hivernacle. Suposem que treballeu a l’empresa Mesura S.A., dedicada a la implantació de sistemes de mesura en sistemes agrícoles, com a enginyers/res de control. Una cooperativa agrícola us encarrega un equip electrònic per a la mesura de la humitat del terreny on tenen plantats hortalisses. Després de l’etapa de disseny, el sistema electrònic dissenyat es mostra a la figura següent, on s’utilitza un sensor d’humitat RS que té un comportament modelat per l’expressió:

HRaRR OS 1

on RS és la resistència del sensor, HR és la humitat relativa expresada en %, RO es la resistència per a una humitat nul·la (0%) i a és una constant de fabricació. D’aquest model de sensor se sap que a=0,008 i que per a una humitat relativa del 50%, la seva resistència és de 1500 . Per la seva part, el multiplicador analògic és el model comercial AD534 d’Analog Devices, que té una funció donada per:

212121 yyxxzz vvvvkvv

on k, la constant multiplicativa del dispositiu, és igual a 1/10. A partir d’aquestes dades, determinar:

RO

RS vout(t)

-

+ OA1

vx1 vx2 vy1

vy2

VCC 10 V

V2

vz1

vz2

+ -

R1

v3(t)

V1

R1

AD534

a) Expressió de la tensió v3 en funció de la humitat relativa HR. b) Expressió de la tensió vout en funció de la humitat relativa HR. c) Quina és la sensibilitat de la tensió v3. És lineal aquesta tensió en funció de la

humitat relativa HR? d) Dibuixa la característica vout en funció de la humitat relativa HR: vout = f(HR).


________________________________________________________________________________

42

e) A la vista del resultat, quina funció creus que realitza el multiplicador analògic dintre del circuit?

f) Especifica uns possibles valors per als resistors R1 i RO.


________________________________________________________________________________

43

2.- Com sabeu, avui dia el transport marítim de mercaderies representa un important volum de negoci. Suposem que treballeu com a enginyers/res per a l’empresa Gas Guay S.A., dedicada al transport i distribució de gasos industrials en països de l’àrea Mediterrània. Per a controlar l’omplert dels tancs en els seus vaixells de càrrega, es mesura la temperatura (T) interna del dipòsit i la seva pressió (P). Conegut el volum del dipòsit (V), ens permetrà conèixer la quantitat de gas que hi ha a cada dipòsit del vaixell a partir de la llei dels gasos ideals:

P Vn

R T

on n és el nombre de mols de gas i R la contant del gasos perfectes (R=0,08206 (atm·l)/(K·mol)).

Els dipòsits han de ser omplerts de clor (que té un pes molecular gram de 70,93 g/mol), i són cilindres horitzontals de 15 m de diàmetre i 20 m de longitud. Es pretén omplir-los amb una pressió màxima de 300 atm, i una temperatura controlada en tot moment de forma que mai superi els 333 K (uns 60 ºC, aproximadament). Per realitzar i monitoritzar la mesura de la quantitat de gas emmagatzemada en un dipòsit, s’utilitza un sistema d’adquisició de dades com el mostrat a l’esquema següent, de forma que a l’element magnetoelèctric de la sortida s’indiqui la quantitat de gas (en tones) emmagatzemada en cada dipòsit.

Per mesurar la temperatura disposem d’un sensor AD590 (d’Analog Devices), el

qual es comporta com una font de corrent, que proporciona un corrent numèricament igual (mesurat en A) al valor de la temperatura a què està sotmès en graus Kelvin (SAD590=1 A/K).

Per mesurar la pressió interior a cada tanc s’utilitza una cèl·lula de càrrega

formada per quatre galgues extensomètriques muntades en un pont de Wheatstone. Les galgues presenten unes resistències en funció de la pressió interna en el dipòsit de gas (P) modelades per les expressions:

1S OR R K P ' 1S OR R K P

on RO=350 , i K és el factor de sensibilitat de la galgues (K=4·10-5 atm–1). Per la seva banda, el guany diferencial de l’amplificador d’instrumentació i la tensió de sortida del multiplicador analògic tenen unes expressions donades, respectivament, per:

2010 1D

G

kA

R

1

10OM X Yv v v

A partir de les dades donades, i sabent que tot el sistema s’alimenta amb una tensió simètrica VCC=+12 V i VEE=–12 V, determineu:

a) Expressió de la tensió de sortida vO1 en funció de la temperatura T mesurada dintre del tanc.


________________________________________________________________________________

44

b) Valor del resistor R3, si volem un marge en la tensió de sortida vO1 de 0 V a 10 V, per a un marge de temperatura entre 0 i 333 K, essent R1=1 k i R2=10 k.

c) Expressió de la tensió de sortida vd en funció de la pressió P mesurada dintre del tanc.

d) Expressió de la tensió de sortida vO2 en funció de la pressió P mesurada dintre del tanc.

e) Valor del resistor RG, si volem un marge en la tensió de sortida vO2 de 0 V a –10 V, per a un marge de pressions entre 0 i 300 atm.

f) Expressió de la tensió de sortida vO3 en funció de la pressió P i temperatura T mesurades dintre del tanc.

g) Relació que ha d’existir entre els valors dels resistors R4 i R5, si volem un marge en la tensió de sortida vO4 de 0 V a 10 V, amb les condicions màximes de pressió i temperatura (el filtre low-pass presenta guany unitat a les freqüències d’interès del senyal).

h) Quantes tones de clor hi ha emmagatzemades en un tanc quan s’assoleixen les condicions màximes de pressió i temperatura?

Finalment, volem dissenyar el filtre low–pass de l’esquema amb les següents

especificacions en el seu gàlib: Funció d’aproximació de Tchebyscheff. Freqüència màxima de la banda de pas: 1 kHz. Freqüència mínima de la banda atenuada: 3,6 kHz. Atenuació màxima a la banda passant: 1 dB. Atenuació mínima a la banda atenuada: 60 dB.

i) Dibuixar el gàlib i determinar l’ordre n del filtre a dissenyar. j) Dibuixeu l’esquema complet, amb valors de tots els seus components, del filtre

dissenyat. Utilitzeu com a valor estàndard de tots els resistors del filtre el de 10 k.

vd(t) -

+

VCC=12 V

RS

RS

R’S

R’S

VCC

VEE

OA2

-

+ +

-

RG R4

R5

-

+

VEE

OA1 R2

R3

VCC

VCC

VCC

R1

-

+

VEE

OA3

VCC

v1(t) v2(t)

v3(t)

v4(t) v5(t)

VEE

IA1

VCC

VEE

vOM(t) vX

vY

Cèl·lula de càrrega (pont de galgues extensomètriques)

Element de visualització

magnetoelèctric

Sensor de temperatura

AD590

Low-Pass Filter


________________________________________________________________________________

45

Limitacions Pràctiques dels VFOA. 1.- En este ejercicio se valorarán los efectos de la tensión de offset de entrada (Voff), de las corrientes de polarización de entrada (IB) y de la corriente de offset de entrada (Ioff) de un amplificador operacional en un montaje de amplificador inversor, tal y como muestra la figura siguiente.

Suponiendo que la tensión de entrada VI=0 V, determinar la tensión máxima de salida del circuito mostrado en la figura sabiendo que la corriente de polarización máxima es IB=100 nA, el valor máximo de la corriente de offset es Ioff=40 nA, el valor máximo de la tensión de offset es Voff=2 mV y los valores de las resistencias utilizadas son R1=10 k y R2=100 k. NOTA: Es aconsejable el uso del principio de superposición.

Solución: Tensión de Offset de Entrada:

mVmVVVR

RV OoffO 222111

1

2


________________________________________________________________________________

46

Corrientes de Polarización (Bias):

BRR III 21

22

1

22

11

0

0

0

R

VI

I

VV

R

VVI

R

VI

OR

R

OR

R

BRR III 21

22

1

22

11

0

0

0

R

VI

I

VV

R

VVI

R

VI

OR

R

OR

R

mVIRVR

VII BO

ORB 101010010100 93

22

2

Corriente de Offset de Entrada:

221off

RR

III

22

1

22

11

0

0

0

R

VI

I

VV

R

VVI

R

VI

OR

R

OR

R

mVI

RVR

VI

I offO

OR

off 210201010022

932

22


________________________________________________________________________________

47

Y aplicando el principio de superposición tenemos que:

mVmVmVmVVOmáx 3421022


________________________________________________________________________________

48

2.- En una determinada aplicació d’instrumentació biomèdica, es necessita utilitzar una etapa amplificadora inversora com la mostrada a la figura 1, basada en un amplificador operacional LM324. Anem a estudiar l’efecte de la tensió d’offset i de bias (polarització) de l’amplificador operacional. A partir de la figura, i considerant la resta de característiques de l’amplificador operacional ideals, es demana:

a) Dibuixar l’esquema del model equivalent del amplificador operacional amb aquestes no idealitats.

b) Estudiar analíticament l’efecte de la tensió d’offset VOS sobre el senyal de sortida.

c) Estudiar analíticament l’efecte dels dos corrents de bias (polarització) IB1 i IB2 de l’OA sobre el senyal de sortida.

d) Determinar l’expressió analítica completa de la tensió de sortida en funció del senyal d’entrada d’interès i dels errors VOS , IB1 i IB2 dels dos apartats anteriors.

e) Si R1=100 k i R2=1 M, i a partir dels valors donats pel fabricant de l’amplificador operacional a la taula corresponent (figura 2), determinar els valors màxims de cada terme de la tensió de sortida causats pels errors de l’apartat d).

Si s’afegeix un tercer resistor (R3) entre el terminal no inversor i massa, es demana

ara:

f) Estudiar analíticament l’efecte de la tensió d’offset VOS sobre el senyal de sortida.

g) Estudiar analíticament l’efecte dels dos corrents de bias (polarització) IB1 i IB2 de l’amplificador operacional sobre el senyal de sortida.

h) Determinar l’expressió analítica de la tensió de sortida en funció del senyal d’entrada d’interès i dels errors VOS , IB1 i IB2 dels dos apartats anteriors.

i) Determinar el valor idoni de R3 per minimitzar els errors sobre la sortida. Quin dels efectes es minimitza per la inserció d’aquest resistor en el circuit?

j) Si R1=100 k i R2=1 M, i a partir del valor d’R3 idoni calculat a l’apartat anterior i dels valors donats pel fabricant de l’amplificador operacional a la taula corresponent (figura 2), determinar els valors màxims de la tensió de sortida causats pels errors dels apartats f) i g).

-

+OA1

LM324

R1

R2

vin(t)vout(t)

+VCC=+5V

-VEE=-5V

Fig. 1.- Amplificador inversor de tensió.


________________________________________________________________________________

49

Fig. 2.- Taula parcial de característiques del datasheet del fabricant de l’amplificador LM324.


________________________________________________________________________________

50

3.- A partir de l’amplificador inversor de la figura següent, i considerant els següents paràmetres no ideals de l’amplificador operacional: Resistència diferencial (Ri) entre les dues entrades. Resistència (RO) de sortida. Guany diferencial (AD).

a) Dibuixar el circuit equivalent amb l’adequada modelització de l’amplificador operacional.

b) Deduir la relació del guany de tensió vout/vin. c) Determinar el valor d’aquesta relació al cas particular en què R1=1 k, R2=10

k, RL=10 k i on l’amplificador operacional té els següents paràmetres: Resistència diferencial (Ri) entre les dues entrades d’1 M. Resistència (RO) de sortida de 50 . Guany diferencial (AD) de 104 V/V.

d) Determinar l’error que es comet al calcular el guany de tensió quan es considera l’amplificador operacional completament ideal.

vout(t)

R1

+

- OA1

v1(t)

R2

RL


________________________________________________________________________________

51

Readmissió del Senyal i Oscil·ladors Sinusoïdals. 1.- En una aplicació per al laboratori SONAGÜAY S.A. on es fan mesures i proves sobre amplificadors d’àudio professionals, es necessita el disseny i realització d’un oscil·lador sinusoïdal per a la banda d’àudio. Suposem que finalment escollim el circuit de la figura 1, que mostra una estructura oscil·ladora RC. A partir de l’esquema elèctric donat, i considerant que l’amplificador operacional és completament ideal, es demana:

a) Determinar analíticament la freqüència (fO) del senyal generat a la sortida vout(t) en funció dels components del circuit.

b) Determinar analíticament el guany (AV) de l’etapa amplificadora del circuit per aconseguir tenir oscil·lacions mantingudes.

c) Especificar els valors de tots els components passius del circuit (amb valors comercials estàndards de la sèrie E-12) per obtenir oscil·lacions mantingudes a una freqüència d’uns 10 kHz.

d) Dibuixar les formes d’ona temporals (en un mateix eix de temps) als punts del circuit vout(t), v1(t), v2(t), i v3(t). Indicar el desfasament entre els diferents senyals.

e) A l’oscil·lador de la figura 1, a quin punt s’obté el millor senyal sinusoïdal de sortida (a vout(t), v1(t), v2(t) o v3(t))? Per què?

f) El circuit és lineal? Quins problemes penses que té l’esquema? g) Modificar el circuit per obtenir minimitzar la distorsió al senyal de sortida

vout(t). El nou circuit és lineal? h) Si el circuit tingués només dos cèl·lules RC en lloc de tres, podria oscil·lar el

circuit? I si tingués quatre cèl·lules? Per què?

vout(t)

-

+ OA1

v3(t)

R C

R R

R1

C C

v1(t) v2(t)

Fig. 1.- Oscil·lador RC de desplaçament de fase.


________________________________________________________________________________

52

2.- En el circuito oscilador de la figura, el amplificador de transresistencia utilizado (VO=RM·II, donde RM es el valor de la transresistencia del amplificador) puede considerarse completamente ideal.

a) Determinar el factor de realimentación añadido por la red RC utilizada (=II/VO).

b) Aplicar el criterio de Barkhausen para determinar la frecuencia de oscilación del sistema y la ganancia de transresistencia mínima RM necesaria para que se produzca (suponer que el valor de RM es real).

Solución: a) Si el amplificador de transresistencia puede considerarse ideal, la impedancia de entrada al mismo es nula y, por tanto, el circuito equivalente a analizar será el siguiente:

R

CjCjR

RCj

VV OX

||2

11

||2

1

CCRjR

RV

RCj

RRCRj

RV

RCjR

CjR

RCj

R

VV OOOX

1

241

2212

112

22

CCRjR

V

I

CCRjR

VR

VI

O

IO

XI

1

24

11

24

1

22

b) El criterio de Barkhausen dice que para que se produzca oscilaciones mantenidas en un sistema realimentado la ganancia total de lazo debe ser unitaria; es decir:


________________________________________________________________________________

53

01

2411

241)( 2

2

C

CRjRR

CCRjR

RR M

MM

Por tanto, igualando la parte real como la imaginaria de la anterior ecuación a cero, tenemos finalmente:

2

1

4

01

2

04

2

RC

RR

CCR

RR MM


________________________________________________________________________________

54

3.- El circuito la figura 1 corresponde a un oscilador sinusoidal basado en un circuito de Sallen-Key, y utiliza dos resistencias iguales, dos condensadores de distinto valor y un amplificador de tensión de amplificación k.

Fig. 1.- Oscilador sinusoidal basado en la estructura de 2º orden de Sallen-Key.

a) Determinar el valor de amplificación ‘k’ necesario para que el circuito oscile. b) Determinar la expresión que indica la frecuencia de oscilación del circuito. c) Diseñar un circuito basado en el anterior que genere en su salida una sinusoidal

de 5 kHz (elegir los valores C1, C2, R, el amplificador adecuado y dibujar el esquema del circuito propuesto).

Solución: a) y b) Analizando el circuito de la figura 1 dado en el problema, podemos determinar el circuito equivalente de Thévenin en los terminales de C1, obteniendo:

11

1

)(1

11

1

)(1

1

1

1

1

1

sRC

R

RsC

RsC

sZVsRC

VR

sC

sCsV eqOOeq

El cálculo de la tensión en los terminales de C2 se reduce ahora a la resolución de un

simple divisor de tensión, obteniéndose:

1)1(

)1(

1

111

1

2

11

12

1

sRCsRC

sRCV

sRCR

sCR

R

sRCVV OOI

1)2(1)1( 122

212

2

2112

2

sCCRsCCR

sRC

sRCsRCsRCsRC

sRCVV OI

)2(1)(

122122

2

CCRjCCR

RCj

V

Vj

O

I

Aplicando el criterio de oscilación de Barkhausen, obtenemos:

)2(

011)(

122

2122

CCRjkRCj

CCRjk

oo

o

Con lo cual, finalmente llegamos a las siguientes dos expresiones que nos dan, por un lado, la frecuencia de oscilación y, por otro, la ganancia mínima del amplificador para garantizar oscilaciones mantenidas:


________________________________________________________________________________

55

2

1

21

21

C

Ck

CCRo

c) Si elegimos de forma arbitraria como valor estándar para los condensadores: C1=C2=10 nF, obtendremos, para una frecuencia de oscilación de 5 kHz:

9

12 5000 3 3 2 1 3

10 10Hz R k k

F R

Lo que implica utilizar como etapa amplificadora una estructura no inversora de amplificación igual a 3.


________________________________________________________________________________

56

Filtres Actius de Temps Continu. 1.- Suposem que a la part de transmissió d’un sistema d’adquisició de dades industrial tenim un filtre LC com el de la figura, on els components es consideren totalment ideals, i on la seva sortida es connecta a una càrrega RL de valor finit. Amb aquest filtre es vol realitzar una funció amb una aproximació de Butterworth donada per l’expressió:

2

3 3

1( )

11

10 10 0,707 10 10

H ss s

a) Quin tipus de filtre és aquest (passa–baixos, passa–alts, etc.)? Dibuixar sobre paper quadriculat les corbes de Bode aproximades.

b) Simular el circuit amb un programa per comparar els resultats obtinguts amb l’apartat a). Aquestes simulacions poden ser fetes amb qualsevol programa específic de disseny i/o simulació, encara que s'aconsella el conegut PSPICE® de Microsim.

c) Si el valor de la inductància és d’1 mH, determinar el valor del condensador. d) Quin serà el valor de la resistència de càrrega? e) Suposem ara que, amb el mateix filtre LC anterior, es desconnecta la càrrega RL

a la seva sortida. Quina serà l’amplitud de la tensió de sortida del circuit quan a la seva entrada es presenti una tensió amb freqüència nul·la?

f) Si a l’entrada del circuit es presenta un to de freqüència 1/ 2Of LC ,

quina serà ara l’amplitud del senyal de sortida. g) Quin tipus de filtre tenim ara amb aquestes condicions?


________________________________________________________________________________

57

2.- En este problema se propone analizar un filtro pasa-banda de 2º orden basado en la estructura de Rauch, y que se muestra en la figura siguiente:

a) Determinar los valores de o, Q y k para el filtro anterior (en función de los componentes R1, R2, y C) sabiendo que la función de transferencia normalizada para un filtro pasa-banda de 2º orden viene dada por:

11

)( 2

oo

oBP

sQ

s

s

ksH

b) Demostrar que en un filtro pasa-banda de 2º orden se verifica que: ( )

oBPH j k Q

c) Basándonos en la estructura analizada anteriormente deseamos diseñar un filtro pasa-banda de 2º orden con una frecuencia central de 1 kHz y una aproximación de Butterworth. Dibujar el esquema final del circuito, sabiendo que el polinomio del denominador (para =1 rad/s) de la función de transferencia normalizada para dicha aproximación es:

112,0)( 2 sssDBP

d) Modificar de la forma que se considere oportuna el filtro diseñado en el apartado anterior para que, además, también presente una ganancia de 20 dB a la frecuencia central.

Solución: a) Si el amplificador operacional puede considerarse ideal, tenemos:

)2(0)1( 321 BBA IIIIII

1 1

De (1) I X XO X X

V V VV V s C V s C

R R


________________________________________________________________________________

58

Cs

RVCsV

R

VXO

I

11

12

2 2

De (2) 0O OX X

V VV s C V

R s R C

112121

112

12

R

VCs

RCRsCsVCs

RCRs

VCsV

R

V IO

OO

I

2212

1)(

12

212

2

12

11

CRsCRRs

CRs

CsRCRs

RCRs

V

VsH

I

O

111

2

22

)( 2

12212

21

1

2

oo

o

sQ

s

s

kCRsC

RRs

CRR

s

R

RsH

Con lo cual:

1

2

1

2

21 22

21

R

Rk

R

RQ

RRCO

b) Partiendo de la función normalizada de un filtro pasa-banda de 2º orden:

oo

o

oo

oBP

oo

oBP

Qj

j

kj

Qj

j

kjHs

Qs

s

ksH

111

1)(

11

)(

2

222

QkjHQk

Qj

jkjH

ooBPBP

)(

1)(

c) Comparando el polinomio del denominador de la función de transferencia normalizada a =1 rad/s con el correspondiente a la aproximación de Butterworth, obtendremos el factor de calidad Q:

737,412,0

11

1112,0)( 22

Qs

QssssDBP

88,44737,42 1

2

1

2 R

R

R

RQ

2121

2

18,6283

110002

21

RRC

RRCo


________________________________________________________________________________

59

Dando un valor arbitrario, por ejemplo de 1 k a R1, obtenemos:

nFCkRkR 6,3388,441 21

d) Para los valores de R1 y R2 determinados en el apartado anterior, el filtro diseñado presenta una amplificación a la frecuencia central de:

44,222

)(1

2 R

RQkjH

oBP

Según las especificaciones dadas de que se desea una ganancia de 20 dB a esta

frecuencia:

10'20)'(log20)( 10

QkdBQkjHo

BP

Lo que implica que para mantener el factor de calidad pedido en el apartado 3.3.

(que solo depende de R1 y R2) es necesario modificar con un circuito auxiliar el factor k del sistema diseñado, pues k también depende solamente de R1 y R2.

kkQk

Qk

4456,0'10

44,22

'

La solución pasa por añadir a la salida del filtro diseñado un atenuador de tensión de

valor 0,4456, que se puede realizar con un amplificador inversor basado en un AO (el cambio de signo que añadirá sólo influirá en el desfase añadido por el filtro diseñado en un valor de 180º), o bien mediante un divisor de tensión resistivo seguido de un seguidor de tensión basado en un AO (con el fin de evitar el posible efecto de carga introducido por la red conectada a la salida del filtro.


________________________________________________________________________________

60

3.- En un determinado equipo de un estudio de grabación, las diferentes señales de audio procedentes de los micrófonos, y convenientemente procesadas y mezcladas en la mesa de mezclas, quedan finalmente grabadas en el compact disc. Un paso importante en la grabación de dichos CDs es la conversión analógico-digital gracias a un convertidor A/D que codifica la información de audio en un formato digital estándar. Para evitar problemas de aliasing, una de las etapas previas al convertidor A/D es la de un subsistema de filtrado pasa–bajos (denominado filtro anti–aliasing), que elimine componentes indeseadas de alta frecuencia. Supongamos que trabajando como ingenieros en la empresa SONAGÜAY S.A., dedicada al diseño y fabricación de equipos de audio, se desea realizar, para un determinado modelo de mesa de mezclas, el diseño de un filtro anti–aliasing con las siguientes características:

Filtro LPF de 4º orden con aproximación de Chebyshev. Atenuación máxima en la banda de paso: 1 dB. Frecuencia máxima de la banda de paso: 20 KHz.

A partir de los datos dados suministrados, de la tabla 1 y de la célula circuital de la

figura 1, se pide: a) Función de transferencia normalizada del filtro LPF a diseñar. b) Dibujar a sentimiento las curvas de módulo y desfase de la función de

transferencia normalizada del filtro a diseñar, junto con las respectivas asíntotas (añadir el valor de la pendiente de las mismas).

c) Función de transferencia desnormalizada del filtro a diseñar. d) Dibujar a sentimiento las curvas de módulo y desfase de la función de

transferencia desnormalizada del filtro a diseñar junto con las respectivas asíntotas (añadir el valor de la pendiente de las mismas).

e) Frecuencia natural y factor de calidad de cada una de las células que forman el filtro.

f) Esquematizar el filtro final diseñado con valores estándares (utilizar la serie E–12), si se desea que la impedancia de entrada mínima ha de tener un valor mínimo de 10 k.

g) Simular en OrCAD-PSpice el comportamiento frecuencial del filtro final diseñado con valores exactos y con valores estándares, corroborando que la curva cumple con las especificaciones de diseño iniciales que determinan el gálibo del filtro.

TABLA. 1.- POLINOMIOS DE CHEBYSHEV NORMALIZADOS PARA LOS ÓRDENES COMPRENDIDOS ENTRE 1 Y 5,

Y UNA ONDULACIÓN EN LA BANDA PASANTE DE 1 DB.

Orden n Polinomios de Chebyshev normalizados para una ondulación en la banda pasante de 1 dB

n=1 1,9652s

n=2 2 1,0977 1,1025s s

n=3 20, 4942 0,4942 0,9942s s s

n=4 2 20,2791 0,9865 0,6737 0,2794s s s s

n=5 2 20, 2895 0,1789 0,9883 0,4684 0,4293s s s s s


________________________________________________________________________________

61

Estructura pasa–bajos con topología de Rauch.

C1

-

+ vout(t) vin(t)

R

R C2 R

1 2

1O

R C C 1

2

1

3

CQ

C

Fig. 1.- Célula LPF con topología de Rauch.


________________________________________________________________________________

62

4.- Los llamados ‘convertidores de impedancias generalizados’ (GIC: Generalized Impedance Converters) son circuitos activos, generalmente basados en elementos RC, realizados para la obtención de células con un determinado comportamiento dependiente de la frecuencia. Aunque existen diferentes configuraciones de células GIC, todas ellas basadas en elementos activos como el amplificador operacional, quizá, el más conocido, es el denominado ‘circuito de A. Antoniou’ (publicado en 1969). La célula consta de dos amplificadores operacionales y unos pocos componentes pasivos. El esquema de la figura 1 muestra la estructura general de dicho circuito.

-+

OA2

A Z1(s)

vin(t)

- +

Z2(s) Z3(s) Z4(s) Z5(s)

OA1

iin(t)

VA

VO1

VO2

B C D E

Fig. 1.- Estructura general del circuito de A. Antoniou que implementa ‘GIC’ convertidores de impedancias generalizados.

a) Suponiendo los dos amplificadores operacionales completamente ideales y

trabajando en su zona lineal, y que los componentes pasivos Z1(s), Z2(s),..., Z5(s) son impedancias genéricas, determinar la expresión de la impedancia de entrada “vista” entre el terminal A y masa (zin=vin/iin) en función de dichas impedancias.

b) En caso de que las impedancias impares sean resistencias puras de valor R y las pares de valor R/2, determinar la impedancia de entrada “vista” entre el terminal A y masa en función de dichas resistencias.

c) El circuito de la figura 1 se particulariza ahora sustituyendo las impedancias Z1(s), Z2(s),..., Z5(s) por componentes físicos, tal y como muestra la figura 2. Determinar la impedancia de entrada “vista” entre el terminal A y masa en función de dichos componentes. ¿Cómo se comporta el circuito? Describe alguna aplicación del mismo.

-+

OA2

A R1

vin(t)

- +

C2 R3 R4 R5

OA1

iin(t)

Fig. 2.- Circuito de A. Antoniou que se comporta como una impedancia compleja, cuyo valor depende de los componentes pasivos del circuito.


________________________________________________________________________________

63

Solución:

a) Analizando el circuito de la figura 1, y teniendo en cuenta que tenemos cortocircuito virtual entre las dos entradas de ambos amplificadores operacionales, las ecuaciones de la malla central son:

2 44 5 2

4 5 5

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( )O in in

Z Z O in

V s V s V s Z sI s I s V s V s

Z s Z s Z s

(1)

1 2 2 22 3 1 2

2 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )O in in O

Z Z O in O

V s V s V s V s Z s Z sI s I s V s V s V s

Z s Z s Z s Z s

(2) La corriente de entrada al circuito vale:

1

1

( ) ( )( )

( )in O

in

V s V sI s

Z s

(3) Sustituyendo VO2(s) de la expresión (2) con la ecuación (1), se elimina esta variable de dicha ecuación (2), obteniendo:

3 5 2 41

3 5

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )O in

Z s Z s Z s Z sV s V s

Z s Z s

(4) Y, finalmente, sustituyendo la ecuación (4) en (3), se elimina la tensión VO1(s), siendo la corriente de entrada a la red igual a:

2 4

1 3 5

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )in in

Z s Z sI s V s

Z s Z s Z s

Teniendo en cuenta que la impedancia de entrada Zin(s) del circuito se define como:

( )

( )( )

inin

in

V sZ s

I s

ésta vale:

1 3 5

2 4

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )in

inin

v s Z s Z s Z sZ s

i s Z s Z s

b) En caso de que las impedancias impares sean resistores puros de valor R y las pares de valor R/2, la impedancia de entrada de la red queda como una resistencia pura de valor:

31 3 5

22 4

( ) ( ) ( ) ( )( ) 4

( ) ( ) ( ) / 4in

inin

v s Z s Z s Z s RZ s R

i s Z s Z s R

c) En caso de que las impedancias sean ahora los componentes mostrados en la figura 2, la impedancia de la red pasa ahora a valer:

1 3 5 1 3 5 1 3 52

2 4 44

2

( ) ( ) ( ) ( )( )

1( ) ( ) ( )in

inin

v s Z s Z s Z s R R R R R RZ s C s

i s Z s Z s RRC s


________________________________________________________________________________

64

con lo que el circuito, desde el punto de vista de la impedancia de entrada se comporta como una inductancia, Leq (es decir, tiene naturaleza inductiva), cuyo valor viene dado por la expresión:

1 3 5 1 3 52 2

4 4

( )( )

( )in

eq in eqin

R R R v s R R RL C Z s C s L s

R i s R

Por lo tanto, este circuito puede ser utilizado en aquellas aplicaciones en que,

necesitando una o varias inductancias, se desea prescindir de las mismas debido a sus problemas de peso, espacio ocupado (volumen), precio, o debido a que son componentes poco precisos. En este caso pueden sustituirse, siempre y cuando la potencia que deban soportar sea razonable para los amplificadores operacionales, por células de Antoniou.


________________________________________________________________________________

65

5.- En una determinada aplicación de adquisición de medidas, desea suprimirse el ruido de muy baja frecuencia. Para ello se emplean células como la presentada en la figura 3. No obstante, y con objeto de lograr evitar el uso de inductancias (que son caras, pesadas, voluminosas y poco precisas), se desea utilizar el circuito de la figura 2 (ver el problema anterior).

vout(t)

C1

vin(t) R1L1

-

+ OA1

Fig. 3.- Célula de filtrado RLC pasiva con seguidor de tensión en su salida.

a) Determinar las expresiones de la frecuencia natural y factor de calidad del circuito de la figura 3. Representar a sentimiento sus curvas de Bode.

b) Dibujar el circuito equivalente al de la figura 3 que evita el uso de inductancias gracias a la incorporación de la célula de Antoniou de la figura 2. Determinar las expresiones de la frecuencia natural y factor de calidad del circuito obtenido.

c) Mediante la utilización de las células descritas anteriormente se desea realizar un filtro de 6º orden con aproximación de Chebyshev y rizado en la banda de paso de 1 dB, de forma que la frecuencia inferior de la banda de paso sea de 200 Hz. Obtener la función de transferencia desnormalizada del filtro a implementar. Dibujar el circuito final propuesto, utilizando componentes pasivos de la serie E–12.

Nota: El polinomio normalizado de 6º orden para una aproximación de Chebyshev, con rizado en la banda de paso de 1 dB de un filtro pasa–altos, está dado por la expresión:

2 2 20,1247 0,4641 1 0,9908 0,1243 1 0,5577 0,3398 1s s s s s s

Solución:

a) Analizando el circuito de la figura 3 (fijémonos que es un simple divisor de tensión formado por impedancias complejas), la función de transferencia del mismo vale:

2

1 1

2 11 1

1

( )( )

( ) 1

out

in

V s L C sH s

LV s L C s sR

que corresponde con una función de transferencia de un filtro pasa–altos de 2º orden de la forma:


________________________________________________________________________________

66

2

2

( )( )

( ) 1 11

Oout

in

O O

s

V sH s

V s ss

Q

con lo que la frecuencia natural de la célula, O, es igual a:

1 1

1O

L C

y el factor de calidad, Q, de la misma:

11

1

CQ R

L

Las curvas de Bode de una célula de estas características es, evidentemente, la de un filtro pasa–altos de 2º orden, cuya frecuencia natural y factor de calidad pueden ser ajustados mediante los tres componentes pasivos de la red (R1, L1 y C1). En la figura siguiente se muestra las curvas de Bode para una célula con frecuencia natural O de unos 568 Hz y un factor de calidad Q de, aproximadamente, 0,76. Obsérvese que el desfase ocasionado por el filtro barre desde +180º para frecuencias muy bajas, hasta 0º para frecuencias elevadas.

Frequency

100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHzVP(V1)

0d

90d

180d

(568.275,90.000)

dB(V(V1)/V(VIN))-40

-20

0

SEL>>

b) El circuito equivalente al de la figura 3, pero que evita el uso de inductancias reales, es el mostrado a continuación, donde la bobina L1 se ha sustituido por el circuito de Antoniou.


________________________________________________________________________________

67

vout(t)

C1

vin(t)R1

L1=Leq

-

+ OA1

-+

OA2

A R11

- +

C22 R33 R44 R55

OA3

Puesto que la inductancia del filtro L1 es igual a la inductancia equivalente Leq implementada por la célula de Antoniou (cuyo valor se ha determinado en el problema anterior), tenemos:

11 33 551 22

44eq

R R RL L C

R

con lo que la frecuencia natural de la célula, O, es igual a:

44

11 33 55 22 11 1 11 33 5522 1

44

1 1O

R

R R R C CL C R R RC C

R

y el factor de calidad, Q, de la misma:

1 1 44 11 1 1

11 33 551 11 33 55 2222

44

C C R CQ R R R

R R RL R R R CCR

c) El filtro final propuesto de 6º orden, y con aproximación de Chebyshev, está formado por 3 células como la mostrada en el apartado 2.2 anterior. La función de transferencia del filtro pasa–altos normalizada HN(s) puede obtenerse a partir del polinomio de Chebyshev de 6º orden:

2 2 2

2 2 2

0,1247 0,9908 0,5577( )

0,1247 0,4641 1 0,9908 0,1243 1 0,5577 0,3398 1N

s s sH s

s s s s s s

Realizando la transformación siguiente:


________________________________________________________________________________

68

2 200 / 400 /O

s s ss

rad s rad s

en la función de transferencia normalizada HN(s), obtenemos la función de transferencia desnormalizada HD(s):

2 2 2

2 2 2

0,1247 0,9908 0,5577400 400 400

( )

0,1247 0,4641 1 0,9908 0,1243 1 0,5577 0,3398 1400 400 400 400 400 400

D

s s s

H ss s s s s s

2 2 2

2 2 2

1132,73 401,85 535,62( )

1 1 11132,73 861,88 401,85 3218,02 535,62 1177,16

D

s s s

H ss s s s s s

A partir de esta función pueden obtenerse las frecuencias naturales, Oi, y los

factores de calidad, Qi, de cada una de las tres células de segundo orden que integrarán el filtro global de 6º orden. Dichos parámetros serán:

31 2

31 2

535,62 /1132,73 / 401,85 /celula 1 ; celula 2 ; celula 3

2,1980,761 8,008OO O rad srad s rad s

QQ Q

A partir de estos valores pueden determinarse los valores de los

componentes de cada una de las tres células que formarán el filtro de 6º orden. En efecto, cogiendo todos los resistores del circuito de Antoniou iguales (R11=R33=R44=R55=R), así como también iguales los condensadores C1 y C22 (C1=C22=C), tenemos:

Para la primera célula:

441

11 33 55 22 1

11132,73 /O

Rrad s

R R R C C R C

11 0,761

RQ

R

Si, por ejemplo, cogemos los condensadores de valor C=10 nF, R=28,101 k (valor estándar de la serie E–96 de 28,0 k), y R1=21,385 k (valor estándar de la serie E–96 de 21,5 k).

Para la segunda célula:

442

11 33 55 22 1

1401,85 /O

Rrad s

R R R C C R C

12 8,008

RQ

R

Si, por ejemplo, cogemos los condensadores también de valor C=10 nF, R=79,211 k (valor estándar de la serie E–96 de 78,7 k), y R1=633,689 k (valor estándar de la serie E–96 de 634 k).


________________________________________________________________________________

69

Para la tercera célula:

443

11 33 55 22 1

1535,62 /O

Rrad s

R R R C C R C

13 2,198

RQ

R

Fijando los condensadores de valor C=10 nF, R=59,428 k (valor estándar de la

serie E–96 de 59,0 k), y R1=130,623 k (valor estándar de la serie E–96 de 130 k). La figura siguiente muestra el esquema íntegro en PSpice del filtro pasa–altos de 6º orden, con aproximación de Chebyshev diseñado. En el mismo, se han utilizado los valores estándares determinados previamente para los componentes pasivos de cada una de las tres células que componen el diseño final.

V1Vo

0

Vin

VCC

VCC

VEE

R14

28k

R2634k

VCC

R13

28k

VCC

U2ATL082

32

84

1

+-

V+V-

OU

T

V1+12V

VCC0

R121.5k

R21

78.7k

U3BTL082

5 6

8 4

7

+ -

V+ V-

OU

T

00

R35

59k

U4ATL082

32

84

1

+-

V+V-

OU

T

V2-12V

0

V3

1V

VEEVEE

VEE

0

VEE

C3

10nF

U6ATL082

32

84

1

+-

V+V-

OU

T

U1ATL082

3

2

84

1

+

-

V+

V-

OUT

VEE

0

R31

59k

R15

28k

VEE

U5ATL082

3

2

84

1

+

-

V+

V-

OUT

C32

10nF

U1BTL082

5 6

8 4

7

+ -

V+ V-

OU

T

R34

59k

R23

78.7k

R33

59k

VEE

C22

10nF

VCC

VDB

VCC

U3ATL082

3

2

84

1

+

-

V+

V-

OUT

C2

10nF

R11

28k

VEE

VEE

0

VCC

R3130k

U5BTL082

5 6

8 4

7

+ -

V+ V-

OU

T

C1

10nF

Vin

0

R24

78.7k

R25

78.7k

VCC

C12

10nF

VCC

Las curvas de Bode de módulo y argumento del filtro quedan tal y como muestra la figura siguiente.

Frequency

100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHzVP(VO)

-200d

0d

180ddB(V(VO)/V(VIN))

-25

-0

-60SEL>>

(285.102,1.1012)

(200.375,-207.748m)


________________________________________________________________________________

70

Problemes dEAEIA

Documents

Transcript of Problemes dEAEIA