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↘Derivadas↘ Técnicas de derivación en

funciones comunes en las ciencias de la salud.

Profesor: Víctor Manuel Reyes F.Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)

Primer Semestre 2012

Aprendizajes esperados:~Aplica técnicas de derivación para funciones

comunes~Aplica regla de la cadena para funciones

compuestas.~Determina derivadas de orden superior.

Derivada de la función compuesta. ¿Cómo se puede derivar la siguiente función?

23 )3( xy

Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del binomio y derivar la función resultante

96 36 xxy

Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar y = (x3 + 3)20 ??????

Derivada de la función compuesta. Con el fin de hallar una regla para estos casos, analicemos:

96 36 xxy

'y 'y

96 36 xxy

23 )3( xy

23 )3( x

Se observa, que derivar con la regla de potencias no es suficiente cuando se tiene la potencia de una función, faltó el factor que es justamente la derivada de dicha función.

Derivada de la función compuesta.

203 )3( xy

Regla generalizada de la potenciaSuponga que g(x) es una función de x. Luego:

)('))(('))( xgxgfxgf

h(x) = (4x6 − 1)8

Derivada de la función compuesta.

1. Se bloquea la función (4x6 − 1)

2. Se deriva la función externa (u)8

3. Se multiplica por la derivada de la función interna u.

(u)8

8(u)7

=8(4x6 − 1)7 24x5

=192x5 (4x6 − 1)7

Derivada de la función compuesta. g(t) = ln(t2 − 2t + 5)

Sabemos que dada un función x(t), podemos obtener su derivada x‘(t). Esta derivada también es una función, por lo tanto podemos derivar x ‘(t), obteniendo la segunda derivada de x(t)

Así como la primera derivada representa la tasas cambio instantáneas de la función x(t), la segunda derivada también representará las tasas de cambios de estas tasas.

Derivadas de orden superior.

f(x) = 5x - x3 + 3x4

Por ejemplo, si x(t) es el camino recorrido por un móvil, sabemos que x‘(t) representa la velocidad de ese móvil.

Por lo tanto, x“(t) representará la aceleración de ese móvil.

El número de bacterias f(t), presentes en un cultivo en t minutos se puede modelar mediante la función

f(t) = 1500e0,04t

Derivada de la función compuesta.

Análisis de la Derivadaf(x)=16x – 4x2

f ’(x)=16 – 8x

x

y

¿Qué sucede con la sustancia a una hora de iniciado el experimento?

x

yy = 16x-4x^2

y = 8x+4

f(x)=16x - 4x2

f’(x)=4 + 8x

Análisis de la Derivada¿Qué sucede con la sustancia a una

hora de iniciado el experimento?

En 1 hora hay 12 gramos

En una hora la tasa de cambio es de 8 grs/lt

(1,12)

m = 8