Prueba de Hipótesis para la Varianza Poblacional

Es frecuente que se desee comprobar si la variación o dispersión de una variable ha tenido alguna modificación, lo cual se hace con la prueba de hipótesis para la varianza.

Hipótesis

Se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:

- Prueba de hipótesis a dos colas

H0 : = k

H1 : k

- Prueba de hipótesis a una cola superior

H0 : = k ó H0 : k

H1 : > k ó H1 : > k

- Prueba de hipótesis a una cola inferior

H0 : = k ó H1 : k

H1 : < k ó H1 : < k

En este caso se tienen dos situaciones, dependiendo de si se utiliza la varianza muestral sin corregir o corregida.

• Si se utiliza la varianza sin corregir ( ) la estadística de trabajo es la expresión (1.4):

(3.6)

• Si se utiliza la varianza corregida, la estadística de trabajo es la expresión (1.5):

(3.7)

REGLA DE DECISION

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 3.8

Figura 3.8 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas

y pertenecen a una distribución X2 con (n-1) grado de libertad. Si el valor de la estadística de trabajo (T) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si < T < no se rechaza H0.

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, vease figura 3.9

Figura 3.9 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior

Z1- pertenece a una distribución X2 con (n-1) grado de libertad. Si el valor de la estadística de trabajo (T) es menor que no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si T < no se rechaza H0.

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, véase figura 3.10

Figura 3.10 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior

Z pertenece a una distribución X2 con (n-1) grado de libertad. Si el valor de la estadística de trabajo (T) es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si T >Z no se rechaza H0.

EJEMPLO

Se supone que los diámetros de cierta marca de válvulas están distribuídos normalmente con una varianza poblacional de 0,2 pulgadas 2 , pero se cree que últimamente ha aumentado. Se toma una muestra aleatoria de válvulas a las que se les mide su diámetro, obteniéndose los siguientes resultados en pulgadas: 5,5 5,4 5,4 5,6 5,8 5,4 5,5 5,4 5,6 5,7

Con ésta información pruebe si lo que se cree es cierto.

Solución

Se cree que la varianza poblacional ha aumentado, es decir es superior a 0,2; por lo tanto:

H0 : = 0,2

H1 : > 0,2

Para realizar esta prueba de hipótesis se utiliza la expresión 3.6

Asumiendo un nivel de confianza del 95 por ciento, en la tabla de la distribución chi-cuadrado con 9 grados de libertad, se obtiene un valor para Z de 16,919. Como puede observarse en la figura 3.11, el valor de la

estadística de trabajo se ubica en la zona de no rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente con una confiabilidad del 95 por ciento se puede afirmar que la varianza poblacional no ha aumentado.

Figura 3.11 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior

Si de dos poblaciones con distribución normal se seleccionan dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 , se puede comparar la homogeneidad o variabilidad de dichas poblaciones a través de una prueba de hipótesis para el cociente de varianzas.

Cuando se planteen las hipótesis debe quedar en el numerador la población cuya muestra tenga mayor varianza. Es decir que la población 1 será la que tenga mayor varianza muestral.

Hipótesis

Se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:

- Prueba de hipótesis a dos colas

H0 : = ó H0 : / = 1

H1 : ó H1 : / 1

- Prueba de hipótesis a una cola superior

H0 : = ó H0 : / 1

H1 : > ó H1 : / > 1

- Prueba de hipótesis a una cola inferior

H0 : = ó H0 : / 1

H1 : < ó H1 : / < 1

La estadística de trabajo es la expresión (1.15)

(3.8)

REGLA DE DECISION

Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : ó H1 : / 1 se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 3.8

y pertenecen a una distribución F con (n1 -1) grado de libertad en el numerador y (n2-1) grado de libertad en el denominador. Si el valor de la estadística de trabajo (T) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si < T < no se rechaza H0 .

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : > ó H1 : / > 1 , se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.9

Z 1- a pertenece a una distribución F con (n 1 -1) grado de libertad en el numerador y (n 2 -1) grado de libertad en el denominador. Si el valor de la estadística de trabajo (T) es menor que Z 1- a no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H o lo cual implica aceptar H 1 . Es decir, si T < Z 1- a no se rechaza H o.

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : < ó H1 : / < 1 , se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.10

Z a pertenece a una distribución F con (n1 -1) grado de libertad en el numerador y (n2 -1) grado de libertad en el denominador. Si el valor de la estadística de trabajo (T) es mayor que Z a no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H o lo cual implica aceptar H 1 . Es decir, si T > Z a no se rechaza H0.

EJEMPLO

Dos fuentes de materias primas están siendo consideradas. Ambas fuentes parecen tener características similares, pero no se está seguro de su homogeneidad. Una muestra de 10 grupos de la fuente A produce una varianza de 250 y una muestra de 11 grupos de la fuente B produce una varianza de 195. Con base en ésta información se puede concluir que la varianza de la fuente A es significativamente mayor que la de la fuente B?. Asuma un nivel de confianza del 99 por ciento.

Solución

H 0 : A = B

H1 : A > B

Con un nivel de confianza del 99 por ciento, en la tabla de la distribución F con 9 grados de libertad en el numerador y 10 grados de libertad en el denominador, se obtiene un valor para Z de 4,94. Como puede observarse en la figura 3.12, el valor de la estadística de trabajo está en la zona de no rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto, con una confiabilidad del 99 por ciento, no se puede rechazar que la variabilidad de las dos fuentes de materia prima es igual.

Figura 3.12 Regla de decisión para una prueba de Hipótesis a una cola superior

Prueba de Hipótesis Para una Proporción Poblacional

Frecuentemente se desea estimar la proporción de elementos que tienen una característica determinada, en tal caso, las observaciones son de naturaleza cualitativa. Cuando se analiza información cualitativa y se está

interesado en verificar un supuesto acerca de la proporción poblacional de elementos que tienen determinada característica, es útil trabajar con la prueba de hipótesis para la proporción.

HIPÓTESIS

Como en el caso de la media, se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:

- Prueba de hipótesis a dos colas

H0 : = k

H1 : k

- Prueba de hipótesis a una cola superior

H0 : = k ó H0 : k

H1 : > k ó H1 : > k

- Prueba de hipótesis a una cola inferior

H0 : = k ó H0 : k

H1: < k ó H1 : < k

Cuando se va a estimar una proporción el tamaño de la muestra (n) siempre debe ser mayor a 30, por lo tanto se tiene un solo caso.

La estadística de trabajo a utilizar es la expresión (1.13):

(3.5)

REGLA DE DECISION

Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1: k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en

los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 3.1

Figura 3.1 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas.

y pertenecen a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zp) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si

< Zp < no se rechaza H0 .

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, véase figura

3.2

Figura 3.2 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior.

pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zp ) es menor que no se rechaza la hipótesis nula, en caso

contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si Zp < no se rechaza H0 .

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, véase figura

3.3

Figura 3.3 Regla de decisión para una

prueba de hipótesis a una cola inferior.

Z pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zp) es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si Zp > Z no se rechaza H0 .

EJEMPLO

Un fabricante afirma que por lo menos el 90 por ciento de las piezas de una maquinaria que suministra a una fábrica guardan las formas especificadas. Un exámen de 200 de esas piezas reveló que 160 de ellas no eran defectuosas. Pruebe si lo que afirma el fabricante es cierto.

Solución

H0 : 0,9

H1 : < 0,9

Para realizar una prueba de hipótesis para la proporción se utiliza la expresión 3.5

Asumiendo una confiabilidad del 95 por ciento, el valor correspondiente a Z en la distribución normal es -1,64

Como puede observarse en la figura 3.7, el valor de la estadística de trabajo se encuentra en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente, con una confiabilidad del 95 por ciento se concluye que la afirmación del fabricante no es cierta.

3.7