Pruebas de Acceso a las de Castilla y León Nº páginas 2 · CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE...

Pruebas de Acceso a las Universidades

de Castilla y León

MATEMÁTICAS II

Nuevo currículo

Texto para los Alumnos

Nº páginas 2

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- a) Discútase el sistema , en función del valor de a. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−++=++

=−+

1)1(302

2

azyaxazyxzayx

(2,25 puntos) b) Para el valor , hállese, si procede, la solución del sistema. (0,75 puntos) 1=a PR-2.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

, sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. (2 puntos) 21)( xexf −=

b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese . (1 punto) ∫3

1 )( dxxxf

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz de columnas y determinante 4. Sea B otra matriz

de determinante 2. Si C es la matriz de columnas 22× 21 ,CC

22× 21 CC + y , calcúlese el determinante de la matriz . (1 punto)

23C1−C⋅B

C-2.- Calcúlese la distancia del origen al plano π que pasa por y contiene a la recta

)0,2,1(Azyxr =−=+≡ 3/)1(2/)2( . (1 punto)

C-3.- Calcúlese xx exx )ln(lim

+∞→. (1 punto)

C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que

para se verifica: 0>x 21)(arctg)2(arctg

xxxx+

<− . (1 punto)

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2005. Pág. 1 de 2

PRUEBA B

PROBLEMAS PR-1.- a) Determínese el punto simétrico de )7,1,3( −−A respecto de la recta

21

231 +=

−=+≡

zyxr .

(2 puntos) b) Hállese la distancia entre A y r. (1 punto) PR-2.- Sea , )ln()( xexf x += ),0( ∞∈x . a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.

(1,5 puntos)

b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 1 ,21 y esbócese la gráfica

de f. (1,5 puntos)

CUESTIONES

C-1.- Dadas las matrices , , hállense las matrices X que

satisfacen . (1 punto)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001001001

A

2A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

223012001

C

CAXC +=+

C-2.- Dados el punto y la recta )1,5,3( −A4

122

1 +=+=

−≡

zyxr , hállese el punto B

perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano π de ecuación . (1 punto) 0523 =++− zyx

C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β , la continuidad de la función f definida por

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠++

=0 si

0 si 1)( /1

x

xe

xxf x

β

α. (1 punto)

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones

2xy = , 2

2xy = , xy 2= . (1 punto)


IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:

. ⎩⎨⎧

=+=+

≡⎩⎨⎧

=+=−

≡32

2,

322

zxyx

syz

myxr

a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. (1,5 puntos) b) Para , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. (1,5 puntos) 1=m PR-2.- Considérense las funciones . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (3 puntos)

xx exgexf −−== )( ,)(

CUESTIONES C-1.- Hállense las matrices cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A

. (1 punto) AA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101

1101

C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta . (1 punto) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+−=≡

λ

λ

zyx

r 022

C-3.- Calcúlese el valor de 20

))2ln(cos(limx

xx→

. (1 punto)

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta . (1 punto)

2xy −= 32 −= xy

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 1 de 2

IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 2 de 2

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

424)1(

32

azyxzyazyx

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. (2 puntos) b) Resuélvase el sistema para a=2. (1 punto)

PR-2.- Dada la función 11)(

+−

=xxxf , se pide:

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (2 puntos) b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas . 0,0 == yx

(1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Dadas las matrices y , hállese

razonadamente la matriz B sabiendo que

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

111101011

P⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

200010001

A

ABP = . (1 punto) C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . (1 punto) C-3.- Sea . Determínense a, b, c y d para que la recta

sea tangente a la gráfica de f en el punto dcxbxaxxf +++= 23)(

01 =+y )1,0( − , y la recta sea tangente a la gráfica de f en el punto

02 =−− yx)1,1( − . (1 punto)

C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen

)cos(1lim 2

2

0=

−++→ x

xbxaxx

.

(1 punto)

IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea el plano 052 =−−+≡ zyxπ y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano.(1 punto) b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π (1 punto) c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π (1 punto)

PR-2.- Sea f la función dada por 1

)( 2 −=

xxxf .

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2 (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de

A para a = 0 (1 punto)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

aaa

A1

34

C-2.- Calcular ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+→ xxx

11ln1lim

0. (1 punto)

C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : , y (1 punto)

)0,1,1(A )0,1,2( −B)0,4,2(C

C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x

xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del

intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25,2 ππ (1 punto)

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2007.

IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti


PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sean las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

352

220

,100010000

,227

,321

EyDCBA

a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? (1 punto) b) Hallar el rango de la matriz AT D(0’5 puntos)

c) Calcular que verifique la ecuación (ABT + C)M = E(1’5 puntos) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

M

PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas (2 puntos) b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4 (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Hallar a y b para que la función ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=>+

=

0

00ln

)(

xsix

xsenxsib

xsixxaxf

π, sea continua en

toda (1 punto) ℜ

C-2.- Dadas las rectas , hallar un punto de cada una de

ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas (1 punto) ⎩⎨⎧

==

≡⎩⎨⎧

=+=−+

≡52

720

yx

syyxzyx

r

C-3.- Discutir en función de a el sistema (1 punto) ⎩⎨⎧

=−=+

1ayxaayax

C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones

(1 punto) 63,42 −=−= xyxy

IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II

Nuevo currículo


Nº páginas 2


PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧

=−+=++

≡3222

zyxzyx

r

a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos (1 punto) b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. (2 puntos)

PR-2.- Sea 2

ln)(x

xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular .(1 punto) ∫ dxxf )(

CUESTIONES

C-1.- Calcular 23

2

0

)2(limxxxsen

x ++→ (1 punto)

C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3 (1 punto)

axxxf += 3)( e

C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que

A2 = B y A3 = C (1 punto)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

58813

2335

CyB

C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo(1 punto)




PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+

−=+−

222

1

azxazy

zyx

a) Discutir el sistema en función del valor de a (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 0 (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto)

PR-2.- Dada( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>=02

0)(2

2

xsixx

xsix

xsenxf ,se pide:.

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) (2 puntos)

b) Calcular ( )∫π

π

22 dxxfx (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14

12)( 2

2

+−

=xxxf (1 punto)

C-2.- Calcular el rango de la matriz . (1 punto)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

1423604233115131

C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2) (1 punto)

053 =−+ xx

C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1).(1 punto)

22 =+≡ yxr



de Castilla y León

MATEMÁTICAS II

Nuevo currículo


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PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de

ecuaciones . Se pide: ⎩⎨⎧

=−=−

≡02y1z2x

s

a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= . a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto)

C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde ,

siendo Bt la matriz traspuesta de B. (1 punto)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=213010

By23

12A

C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta (1 punto) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ−=λ+−=λ+=

≡21z

1y32x

s

C-4.- Calcular ∫ −dx

x11

2 (1 punto)




PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−λ=+λ

=−

3z2xzy

5yx

a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)

CUESTIONES

C-1.- Calcular la distancia entre las rectas 4

3z3

2y2xsy4zx71yx3

r −=

−=−≡

⎩⎨⎧

−=−−=−

≡

(1 punto)

C-2.- Resolver la ecuación 01xxx

x1xxxx1x

=+

++

. (1 punto)

C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )xxlnxf = en su

dominio de definición (1 punto) C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la

función y el eje OX es de 42 axy +−=3

256unidades de superficie (1 punto)

IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.

OPCIÓN A

E1.- Dadas la parábola 2x31y = , y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del

rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola (2’5 puntos)

E2.- Dada la función 1x1x)x(f

−+

= , se pide

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)

b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y

las rectas x = 2 , x = 4 (1 punto)

E3.- Dadas las matrices : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

010321

Dy642

531C,

m10010001

B

a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:

az

21y

32xs,

2zyx21zyx

r =+

=−

≡⎩⎨⎧

=−+=+−

≡ con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .

a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto)


IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti


OPCIÓN B

E1.- Calcular b y c sabiendo que la función ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤++=

0xsix

1xln0xsicbxx

xf2

es derivable en

el punto x = 0 (2’5 puntos)

E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2

1

2∫−

+− (2’5 puntos)

E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible:

(2’5 puntos) ( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=+−+=−+

=+

aazy1ax0z1ay

1zx

E4.- Dadas la rectas ⎩⎨⎧

=−=−

≡−

==−

≡4zy20yx2

ty2

1zy3

1xs , se pide halla la

perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos)

IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.

OPCIÓN A

E1.-a) Dadas las funciones ( ) ( ) x1xgyxlnxf −== , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x =2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) E2a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)

b) Calcular dxxsen1

xcos2∫ +

(1 punto)

E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (1 punto) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛200100

X2010

E4.- Se considera la recta con ⎩⎨⎧

=−=+−

≡4zay

0azyxr ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .

a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos)


IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti


OPCIÓN B

E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos)

E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim

1x2ax2lim 2

32

0x

5x

x

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

→

+

+∞→

E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−+=+−

az3yx1zayx

a1azyx2

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)

E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4

6yxr −=+

=≡ y el plano

, se pide: 012z6x6 =−+≡πa) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)

b) Hallar los puntos Q de r que distan 2

1unidades de longitud de π (1 punto)

IES Mediterráneo de Málaga Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti



de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A

E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x3 – x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en x = 1 (2’5 puntos) E2.- a) Estudiar si la función [ ] ℜ→2,0:f dada por

( )

≤<−+−

≤≤=

2x1si1x27x

23

1x0sixxf 2 ,verifica la hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar

dicho teorema (1’5 puntos)

b) Calcular ( )

( )xsenxxex2coslim

x

0x ⋅−−

→(1 punto)

E3.- a) Calcular el rango de la matriz

=

16151413121110987654321

A (1’5 puntos)

b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2 (1 punto)

E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta

=−=−

≡0x2z1xy

r y el plano 0yx =−≡π .

(1’5 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r (1 punto)



OPCIÓN B

E1.- Sea ( )1x

3x3xxf2

−+−

=

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos) E2.- a) Hallar los parámetros reales a y b para los que la función

( )( )

≤+

>−

=0xsibx

0xsix

axxsenxf

2

2 es continúa en ℜ (1’5 puntos)

b) Calcular ( ) dx

xxln

2∫ (1 punto)

E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores

del parámetro m:

+=++=−−=++

1mzmyx30zyx1zyx

(2’5 puntos)

E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida en el plano

0yx =+≡π y corta a la recta zyxs ==≡ (1’5 puntos) b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s (1 punto)




de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2’5 puntos Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A

E1.- .- Sea ( ) te11tf+

=

a) Calcular ( )∫ dttf (1’5 puntos)

b) Sea ( ) ( ) dttfxgx

0∫= . Calcular

( )xxglim

0x→ (1 punto)

E2.- Dada la función ( )x1

aexfx2

+= , se pide

a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0, valga 2 (0’5 puntos) b) Para a = 1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos (1 punto) c) Para a = 1, hallar sus asíntotas (1 punto)

E3.- Se considera el sistema de ecuaciones

( )( )( ) ( )( ) ( )

+−=+++−=+++−=++

2a1aazyx2a1azayx2a1azyax

3

2

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a (1’5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto) c) Resolver el sistema para a = -2 (1 punto)

E4.- Se consideran las rectas 11z

1y

32xs;

23z

21y

1xr

−+

==−

≡−

=−−

=≡ .

a) Justificar, razonadamente, que ambas rectas se cruzan (1 punto) b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas (1’5 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r (1 punto)



OPCIÓN B

E1.-

a) Calcular dx3x2x

12∫ ++

(1’5 puntos)

b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax3 + 2x2 +3 en los puntos de abcisa x = 1 y x = -1 sean perpendiculares (1 punto) E2.- Se considera la función f(x) = ex + ln x, ( )∞∈ ,0x donde ln denota logaritmo neperiano a) Estudia la monotonía y las asíntotas de f(x) (1 punto) b) Demostrar que la ecuación x2ex – 1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0 , 1] (0’75 puntos) c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f (0’75 puntos) E3.- Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 – 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M -1 en términos de M e I (1’25 puntos)

b) Hallar las matrices M de la forma

abba

que cumplen la ecuación M2 – 2M = 3I

(1’25 puntos) E4.- Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2 , 1 , 3) y Q(1 , 3 , 1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(- 4 , 7 , - 6) a) Calcular la ecuación de la recta r (0’5 puntos) b) Calcular la ecuación que contiene al cuadrado (1 punto) c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices (1 punto)




de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2’5 puntos Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A

E1.- Sea las matrices

=

−=

=

121

41

3,1

2CyB

aA

a) Calcular, cuando sea posible, C . Bt , Bt . C y B . C (0’75 puntos) b) Hallar a para que el sistema CByAx ⋅=⋅+⋅ 4 de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y sea compatible determinado, y resolverlo para ese valor de a (1’75 puntos) E2.- Sean los puntos A(1 , 2 , -1) , P(0 , 0 , 5) , Q(1 , 0 , 4) y R(0 , 1 , 6) a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector es doble que la segunda (1’75 puntos) b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R (0’75 puntos)

E3.- Sea la función ( )

<≤≤+

=xsixcxsibxxaxf

1ln10

. Hallar a, b y c sabiendo que f(x) es

continua en ( )∞,0 , la recta tangente a f(x) en el punto de abcisa 161

=x es paralela a la recta

y = -4x + 3, y se cumple ( ) 21

=∫ dxxfe

(2’5 puntos)

E4.- a) Estudiar el crecimiento de la función ( ) 33 23 −+= xxxf (1 punto)

b) Probar que la ecuación 033 23 =−+ xx tiene exactamente tres raíces reales (1’5 puntos)



OPCIÓN B

E1.- Sea la matriz

−−

=a

aA

1002002

a) ¿Para qué valores de a la matriz es inversible? (0’5 puntos) b) Estudiar el rango según los valores de a (0’5 puntos)

c) Hallar a para que cumpla AA ⋅=−

411 (1’5 puntos)

E2.- Sean los puntos P(1 , 4 , -1) , Q(0 , 3 , -2) y la recta

=−=

≡4

1zy

xr

a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y R (1’5 puntos) b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano 03 =−−≡ yxπ (1 punto)

E3.- Sea la función ( )22

+−

=xxxf

a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento (1 punto) b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la gráfica de la función f(x), el eje OY y la recta x = 2; calcular el área de dicho recinto (1’5 puntos) E4.- Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima (2’5 puntos)

MATEMÁTICAS II-Propuesta 5/2014. Página 1 de 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo

desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee.

2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para

texto ni representaciones gráficas).

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos.

Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y

propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se

aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y

en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la

argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A

E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los

valores del parámetro m :

122

1

mymx

mmyx

ymx

(2,5 puntos)

E2.- Sea el plano que pasa por los puntos (1, 1,1)A , (2,3,2)B , (3,1,0)C y r la recta dada

por 7 6 3

2 1 2

x y zr

.

a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano . (1 punto)

b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano . (1,5 puntos)

E3.- Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto

)0,1(P , que tiene por tangente en el punto de abscisa 0x la recta de ecuación 12 xy , y

que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)

E4.- Sea la función 2

)( xexf . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento,

extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

Pruebas de acceso a enseñanzas

universitarias oficiales de grado

Castilla y León

MATEMÁTICAS II

EJERCICIO

Nº Páginas: 2


OPCIÓN B

E1.- Sea la matriz

65

43

21

aaa

aaa

aaa

A .

a) Discutir su rango en función de los valores de a . (1,5 puntos)

b) Para 1a , resolver la ecuación matricial

0

0

0

tA X

, siendo tA la matriz traspuesta de A.

(1 punto)

E2.- Calcular la recta contenida en el plano 31 zyx , paralela al plano 02 x , y

que pasa por el punto simétrico de )1,1,1(B respecto de 2 . (2,5 puntos)

E3.- Sea la función ( ) 2f x x .

a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos)

b) Calcular el punto de la gráfica de ( )f x más cercano al punto )0,4( . (2 puntos)

E4.- Sea la función 2

( )(1 )

x

x

ef x

e

.

a) Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje

OX . Escribe la ecuación de la recta tangente. (1 punto)

b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas 0x y

5lnx . (1,5 puntos)

MATEMÁTICAS II‐Propuesta 6/2015. Página 1 de 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A

E1. Dada la matriz

101

113

002

m

m

m

A , se pide:

a) Hallar los valores de m para que la matriz 10A tenga inversa. (1,25 puntos)

b) Para 0m , calcular, si es posible, la matriz inversa de A. (1,25 puntos) E2.- a) Calcular la recta que corta perpendicularmente al eje OZ y que pasa por el punto

(1, 2,3)P . (1,25 puntos)

b) Estudiar, en función del parámetro a, la posición relativa de la recta

0

0

y

xr y el plano

1 azyx . (1,25 puntos)

E3.- Determinar los vértices del rectángulo de área máxima que tiene lados paralelos a los ejes de coordenadas y vértices en el borde del recinto delimitado por las gráficas de las

funciones 2)( xxf y 22)( xxg . (2,5 puntos)

E4.- a) Sea )(xg una función continua y derivable en toda la recta real tal que 0)0( g y

2)2( g . Probar que existe algún punto c del intervalo )2,0( tal que 1)(' cg . (1 punto)

b) Hallar la función )(xf que cumple )1ln()(' 2 xxxf y 1)0( f . (1,5 puntos)

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Castilla y León MATEMÁTICAS II

EJERCICIO

Nº Páginas: 2

MATEMÁTICAS II‐Propuesta 6/2015. Página 2 de 2

OPCIÓN B

E1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

myxm

myx

)21(

1, se pide:

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m. (1,25 puntos)

b) Resolver el sistema en los casos en que la solución no sea única. (0,75 puntos)

c) Calcular los valores de m para que 2,3 yx sea solución. (0,5 puntos)

E2.- a) ¿Puede haber dos vectores u

y v

de 3 tales que 3vu

, 1u

y 2v

?

(1 punto) b) Hallar el valor de a para que exista una recta que pase por el punto (1 ,1 , )P a a a ,

corte a la recta

1

2

z

yxr y sea paralela a la recta

0

0

y

zxs . (1,5 puntos)

E3.- Dada la función ( )ln

xf x

x , determinar su dominio, asíntotas, intervalos de

crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

E4.- a) Calcular 0

1 1

ln(1 )lim x x x

. (1 punto)

b) Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones x

xf1

)( ,

2

1)(

xxg y la recta ex . (1,5 puntos)


INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

OPCIÓN A

E1.- a) Discutir, en función del valor de m , el sistema de ecuaciones lineales0

2mx y zmy mz+ + =

+ =

y resolverlo para 1m = − . (1,5 puntos)

b) Para 1m = añadir una ecuación al sistema del apartado a) para obtener: en un caso un sistema compatible determinado y en otro caso un sistema incompatible. (1 punto)

E2.- a) Determinar la posición relativa de la recta 2 1

2 2x y z

rx y z− + =

≡ − + = y el plano

5 2 4≡ − + =x y zπ . (1 punto)

b) Dadas las rectas 11

2 1 5x y zr −

≡ = =−

y 2

2 32 3 1

x y zr

x y z− + − =

≡ − + =, calcular el plano que

contiene a 1r y es paralelo a 2r . (1,5 puntos) E3.- Dada la función 2( ) 2 xf x e−= , estudiar: derivabilidad, crecimiento y decrecimiento,

extremos relativos y asíntotas. (2,5 puntos) E4.- a) Calcular 1/

0 lim ( 1)x

xx e

+→− . (1 punto)

b) Consideremos la función 3 2( ) 1f x x mx= + + con 0m ≥ . Calcular el valor de m para que el área del recinto limitado por la gráfica de la función ( )f x , el eje OX y las rectas 0x = y 2x = sea 10 . (1,5 puntos)

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Castilla y León MATEMÁTICAS II

EJERCICIO

Nº Páginas: 2


OPCIÓN B

E1.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y tal que 2A = . ¿Tiene inversa la matriz 4A ?

Calcular 15A− y 1(5 )A − . (1,5 puntos)

b) ¿Para qué valores del parámetro a el rango de la matriz 1 6

2a

a+

es 1? (1 punto)

E2.- a) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano 2 2 4 5 0x y zπ ≡ − + − = y que

contiene a los puntos ( 2,0,0)− y (0,1,0) . (1,25 puntos)

b) Dos caras de un cubo están contenidas en los planos 1 2 2 1 0x y zπ ≡ − + − = y

2 2 2 5 0x y zπ ≡ − + + = . Calcular el volumen de dicho cubo. (1,25 puntos)

E3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante. (2,5 puntos)

E4.- Se considera la parábola 2 2y x x= − + .

a) Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje OX . (0,75 puntos)

b) Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a). (1,75 puntos)

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