Revista Determinante Jacobiana

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Guatemala, septiembre de 2012.

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ÍNDICE:

Pág.

Tipos de Matrices………………… 2

Operaciones de Matrices………… 4

Combinación Lineal de Matrices.. 7

Espacio Generado y Conjunto

Generador………………………... 8

Determinantes……………………. 9

o Método de las Diagonales.......... 9

o Expansión de Laplace………… 10

o Por medio de las Operaciones

de Renglón y el Teorema de

una Matriz Triangular………... 11

Ley de Cramer…………………… 12

Matriz Adjunta…………………... 13

Capsula de Entretenimiento…….. 14

SUMARIO

En la primera sección del contenido se abarcan los diferentes tipos de matrices, colocando un ejemplo de cada uno para una fácil comprensión. Además se aprenderá a realizar los diferentes cálculos con matrices, desde sumas hasta la multiplicación. Realizar combinaciones lineales y generar espacios. Siguiendo con el contenido de matrices, se hará énfasis al cálculo de sus determinantes y los diferentes métodos para hacerlo. Se explicará el método de las diagonales y también por cofactores. Finalmente se desarrollará la regla de Cramer, para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La cual se apoya a su vez en las determinantes. Finalmente se hará un breve desarrollo de la matriz adjunta. Entre otras partes que contiene la revista, se busca facilitar el aprendizaje utilizando juegos o incluso bromas. Que también ayuden a tener un marco completo del tema de matrices.

Universidad del Valle Algebra Lineal Sección 10 -Editor: Roberto Camposeco -Coordinador de Redacción: José Castillo -Redacción: Alejandro Gracias, Andrés Morales, José Castillo, Roberto Camposeco.

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TIPOS DE MATRICES

Donde: i = Renglón, j = Columna

- Matriz Cuadrada: i = j

Ejemplo:

- Matriz Diagonal: no son todas cero pero si son cero. (Únicamente para

matrices cuadradas)

Ejemplo:

- Matriz Escalar: son iguales y las demás entradas son cero. (Únicamente para

matrices cuadradas)

Ejemplo:

- Matriz Identidad: en donde son iguales a 1 y las demás entradas son cero.

(Únicamente para matrices cuadradas)

Ejemplo:

- Matriz Cero: Todas las entradas son cero. (No es únicamente para matrices

cuadradas)

Ejemplo:

- Matriz Transpuesta: Se cambian los renglones por las columnas. .

Ejemplo: Si

entonces,

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HISTORIA

El primero en utilizar el término de matriz fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en 1850. Sin

embargo, viene siendo aplicada desde tiempos de la

antigua civilización china para resolver ecuaciones lineales. Puesto que se cree que las matrices se

conocían gracias a su aplicación por la cultura árabe,

que a su vez las habrían obtenido de los matemáticos y astrónomos indios. Estos últimos habrían tomado la

idea de los “cuadrados mágicos” de la cultura china.

- Matriz Simétrica: Es simétrica cuando o .

Ejemplo: Si

entonces,

por lo tanto A es simétrica.

- Matriz Anti simétrica: Es anti simétrica cuando o .

Ejemplo: Si

entonces,

por lo tanto A es

anti simétrica.

- Matriz Triangular Superior: Todas las entradas donde i > j son cero. En la

diagonal pueden darse números o cero. (Únicamente para matrices cuadradas)

Ejemplo:

- Matriz Triangular Inferior: Todas las entradas donde i < j son cero. En la

diagonal pueden darse números o cero. (Únicamente para matrices cuadradas)

Ejemplo:

James J. Sylvester

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OPERACIONES DE MATRICES

1. Suma y Resta

Para toda matriz A y B que sean de igual tamaño

A ± B = [ aij ± bij]

Ejemplo:

Si

y

2. Multiplicación por un Escalar

Está definida por c A = [c aij]

Ejemplo:

Si

3. Multiplicación de Matrices

IMPORTANTE. Para poder multiplicar dos matrices deben cumplir con que:

Son iguales

Recuerda que… Todas las operaciones de matrices se operan entre la misma componente, por ejemplo: a21 con b21.

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¿Cómo multiplicar?

Cada cij es igual al resultado del producto escalar del renglón “i” de la matriz A con la

columna “j” de B.

Ejemplo:

Si

y

Análisis: … Es posible realizar la multiplicación.

Recuerda que… La multiplicación entre matrices no es conmutativa. A x B ≠ B x A

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Ejemplo:

Si

y

Análisis: … No es posible realizar la multiplicación.

4. Potencia de Matrices

En esta operación se debe cumplir con que sean matrices de tipo cuadradas. Donde An = A

x A x A … An

Se define que:

A0 = Matriz Identidad (In)

A1 = A

Ejemplo:

si

entonces,

Ejemplo:

si

entonces

IMPORTANTE. En cuanto a matrices se refiere, no implica que:

5. Traza de una Matriz

Se define como , donde A es una matriz cuadrada.

Ejemplo: si

entonces

Recuerda que… La traza dará siempre como resultado un escalar.

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COMBINACIÓN LINEAL DE MATRICES

Se define como la asignación de un escalar para cada matriz: c1A1 + c2A2 + … + ckAk

1. Independencia Lineal:

Se dice que el conjunto {A1, A2, .. Ak} es linealmente independiente si existen escalares c1,

c2, .. ck tales que c1A1 + c2A2 + … + ckAk = 0. Es decir, se tiene que todos los escalares son

cero (ci = 0). Basta con un escalar ci ≠ 0 para que no sea l.i.

2. Dependencia Lineal:

Se dice del conjunto {A1, A2, .. Ak} que no es linealmente independiente. Es decir, existe

un escalar ci ≠ 0.

Ejemplo:

Si

c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 0

R2-2R1

R3-2R1

R4+R1

R4+3R2

1/10R3

R4-23R3

-5/2 c4 = 0 c3 -1/2 c4 = 0 -c2 + 8 c3 - 8 c4 = 0 c1 + 2 c2 – 4 c3 +5 c4 = 0

c4 = 0 c3 = 0 c2 = 0 c1 = 0

R// el conjunto {A1, A2, A3, A4} es linealmente independiente.

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ESPACIO GENERADO Y CONJUNTO GENERADOR

Sea A un espacio vectorial y {A1, A2,… Ak} vectores de V. El conjunto que es formado

por todas las posibles combinaciones lineales de los vectores {A1, A2,… Ak} es llamado

“espacio generado” por A o Gen {A1, A2,… Ak}.

Si A= Gen {A1, A2,… Ak}, se dice que {A1, A2,… Ak} genera a A, dicho de otra forma, es

el conjunto generador de A.

Ejemplo:

Determine si el conjunto {A1, A2,.. Ak} genera el espacio M22.

Si

c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = M22

+

+

+

=

De donde se obtienen cuatro ecuaciones para escribir la matriz aumentada a continuación:

C1 + 2c2 - 4c3 + 5c4 = a

2C1 + 4c2 + 0c3 + 2c4 = b

2C1 + 3c2 + 2c3 + 5c4 = c

-C1 + c2 + 3c3 + 5c4 = d

R2-2R1

R3-2R1

R4+R1

R4+3R2

1/10R3

R4-23R3

R// Se puede observar que aparecen todas constantes “a,b,c,d” para las posibles

combinaciones lineales del conjunto {A1, A2,.. Ak}, por lo que sí genera el espacio M22.

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Para una matriz cuadrada A[n,n], el determinante de A, abreviado det(A), es un escalar

definido como la suma de n! términos involucrando el producto de n elementos de la

matriz, cada uno proveniente exactamente de una fila y columna diferente. Además, cada

término de la suma está multiplicado por -1 ó +1 dependiendo del número de

permutaciones del orden de las columnas que contenga. (Miller, 2008) El determinante de

una matriz 2 × 2, como el área del paralelogramo definido por sus vectores fila. El

determinante de una matriz 3 × 3 es el volumen del paralelepípedo determinado por sus

vectores filas.

1. Método de diagonales (Regla de Sarrus)

El escalar puede obtenerse mediante la suma de los productos de los elementos de la

diagonal principal y sus dos paralelas menos la suma de los productos de los elementos de

la diagonal secundaria y sus dos paralelas. De la siguiente manera:

Diagonal principal (signo positivo) Diagonal secundaria (signo negativo)

Det (A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12 EJEMPLO:

Resuelva la siguiente ecuación

(2*x*0)+ (0*2*4) + (1*1*x)

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(2*x*0)+ (0*2*4) + (1*1*x) – (1*x*4) – (2*2*x) – (0*1*0)

det A = (2*x*0)+ (0*2*4) + (1*1*x) – (1*x*4) – (2*2*x) – (0*1*0 ) = 1

x =

2. Teorema de expansión de Laplace

Sea una matriz A nxn , donde n 2, llamaremos MENOR COMPLEMENTARIO A(i,j) al

determinante de la matriz de tamaño (n - 1) x (n - 1) que resulta de suprimir la fila i y la

columna j, denotado como Mij (A). De esta forma se define COFACTOR (i,j) de una

matriz A nxn como el menor correspondiente afectado de signo, es decir:

Expansión por cofactores a lo largo del i-ésimo renglón

Expansión por cofactores a lo largo de la j-ésima columna

EJEMPLO:

Calcule: , de la matriz:

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3. Por medio de las Operaciones de Renglón y el Teorema de la Determinante de

una Matriz Triangular

Teorema: “El determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas sobre su

diagonal principal”

Para esto es necesario llevar la matriz a la forma escalonada reducida, posteriormente se

deben seguir ciertas propiedades con los resultados obtenidos. Las propiedades son las

siguientes:

Sea A una matriz cuadrada:

a. Si A tiene un renglón (o columna) cero, entonces det A = 0.

b. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (o columnas) de A, entonces

det B = – det A.

c. Si A tiene dos renglones (o columnas) idénticos,entonces det A = 0.

d. Si B se obtiene al multiplicar un renglón (o columna) de A por un escalar k, entonces

det B = k det A.

e. Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (columna) de C sea la suma

de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces det C = det A + det B.

f. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro renglón

(columna), entonces det B = det A.

Donde A es la matriz original y B la matriz escalonada reducida.

Ejemplo:

Sea la matriz

se debe llevar a la forma escalonada reducida.

Ahora es necesario aplicar las propiedades según las operaciones de renglón

realizadas.

La primera operación elaborada no modifica la determinante a encontrar según las

operaciones planteadas. Por otro lado, la segunda operación de renglón indica que

se debe multiplicar la determinante de A por 5 y por 9. Por último, la tercera

operación no modifica la determinante.

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Por lo tanto:

La determinante de B es la multiplicación de las entradas sobre la diagonal

principal de la matriz triangular superior obtenida.

La determinante de A es:

R// La determinante de la matriz A es 33.

LEY DE CRAMER

La regla de cramer es muy útil en distintas aplicaciones, una de las aplicaciones que tiene

es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de n variables, en términos de

determinantes. Aunque presenta gran aplicación para la solución de sistemas de

ecuaciones, se limita a ofrecer un resultado optimo para matrices de 2x2 y 3x3, más allá de

estas matrices el cálculo mediante este método resulta costoso e ineficiente.

Notación:

Si se tiene una matriz de nxn y un vector b que exista en Rn, sea Ai(b) que denota la matriz

obtenida al sustituir la i-esima columna de a por b

Si A es una matiz de nxn invertible y sea b un vector en Rn. Entonces la solución para x en

el sistema Ax = b se define como:

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MATRIZ ADJUNTA

Una matriz adjunta es aplicable solo matrices cuadradas, se define como la matriz

transpuesta de la matriz de cofactores.

Notación:

La matriz adjunta se denota de la siguiente manera:

Uno de los principales intereses que se tienen en la matriz adjunta es la capacidad de poder

calcular la matriz inversa con pasos simples, utilizando el método de las determinantes.

Esto en base a la siguiente expresión:

El cálculo de la matriz adjunta se realiza con facilidad cuando la matriz es de 2x2. Se

calculan los cofactores:

Para las de 3x3 se realiza el mismo cálculo de los cofactores primero.

Algunas propiedades de esta matriz son:

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HISTORIA

Arthur Cayley, matemático inglés quien aportó en

gran medida acerca de la teoría de matrices. En 1858 publica su teoría, donde explica su definición

de matriz y demuestra algunas operaciones tales

como: la suma de matrices, el producto por un número real, producto entre matrices y la inversa

de una matriz.

CAPSULA DE ENTRETENIMIENTO

SOPA DE LETRAS

Encuentre los diferentes tipos de matrices. (Para las triangulares encuentre “superior” e

“inferior”)

s c e c j j a u y a r b a g

u e e o i b r o i r e p u s

p r c d y u o n n i u d a g

0 p r i m n b p f i c a c a

r u b a r c x v e p u i o c

i r n g a t b v r r a p z i

r f a o b c a p i m d o p r

o g a n b e i m o a r g w t

r a r a a d o r d l a c s e

o h q l u z n i b r d c q m

i b s i m e t r i c a c x i

r n o o i n p a k r t g m s

e m t p e n d l i t n e d i

f q y d i a g a n o l y b t

n s i q o k j c i m c c a n

i t a t r a n s p u e s t a

a i u u h a o e e c a f a t

Arthur Cayley

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CRUCIGRAMA

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