Revista la golondrina vol 1
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La Revista Electrónica # 1 en Investigación y algo más Migbelis Castellanos partió a Miami rumbo al Miss Universo Nuestra Hermosa Venezuela!! El Tigre – Edo. Anzoátegui, Venezuela 17287392 - 19939038 Distribución de Probabilidades y la Ingeniería de Mantenimiento Volumen 1: Mención Estadística Aplicada. Enero 2015 La Tapara y Sus Beneficios
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Revista variada y actuaizada. Con un contenido de investigación sobre la Estadística y su aplicabilidad en la Ingeniería de Mantenimiento.
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La Revista Electrónica # 1 en Investigación y algo más
Migbelis Castellanos partió a Miami rumbo al Miss Universo
Nuestra Hermosa Venezuela!!
El Tigre – Edo. Anzoátegui, Venezuela
17287392 - 19939038
Distribución de Probabilidades y la Ingeniería de Mantenimiento
Volumen 1: Mención Estadística Aplicada.
Enero 2015
La Tapara y Sus Beneficios
Contenido
EDITORIAL
Investigación:
Distribución de Probabilidades y la Ingeniería de Mantenimiento.
Variables Aleatorias y Distribución Binomial.
Distribución Hipergeométrica y sus aplicaciones.
Teorema de Chebyshev y sus aplicaciones.
Distribución y proceso de Poisson y sus aplicaciones.
Distribución Geométrica y sus aplicaciones.
Simulación.
Nuestra Hermosa Venezuela:
La gran Sabana.
Explorando con “Dios”:
Los Exploradores y La Manzana.
Parábola del Sembrador.
Entretenimiento:
Pasatiempos.
Farándula.
Pueblo y Medicina:
Tu adicción al chocolate puede ser algo positivo: mejora tu memoria.
La Tapara y sus beneficios.
Reflexiones del Mes:
El Arte de Ser Feliz.
El año nuevo.
El faro de la fe.
“HOY MEJOR QUE AYER, MAÑANA MEJOR QUE HOY”
2
La Estadística y la Ingeniería???
La Probabilidad y la Estadística son dos campos distintos aunquerelacionados entre sí. Utilizando la Probabilidad se obtiene la frecuenciade un suceso determinado mediante la realización de un experimentoaleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajocondiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usaextensamente en áreas tales como: Física, Matemática, Economía,Ingeniería y Filosofía, para obtener conclusiones sobre la probabilidad desucesos potenciales y la mecánica subyacente sistemas complejos. LaEstadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis einterpretación de datos de una muestra representativa, ya sea paraayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares oirregulares de algún fenómeno o estudio aplicado. Sin embargo, laEstadística es más que eso, es decir, es el vehículo que permite llevar acabo el proceso relacionado con la investigación científica. LaProbabilidad y Estadística puede utilizarse para optimizar el uso delmaterial y la fuerza de trabajo. Al investigar el desarrollo de nuevosproductos, éstas permiten comprender los fenómenos sujetos a distintasvariaciones y predecirlos, así como también controlarlos de maneraeficiente.
Lizbell Nieves: Ingeniero de Mantenimiento, (UGMA Venezuela).E-mail: [email protected]
“HOY MEJOR QUE AYER, MAÑANA MEJOR QUE HOY”
Todos somos muy ignorantes. Loque ocurre es que no todosignoramos las mismas cosas.
- Albert Einstein
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La función de la Ingenieríade Mantenimiento, significa unaconstante búsqueda de nuevas ynovedosas formas de incrementarla confiabilidad, disponibilidad yvida útil de plantas, equiposindustriales y todo sistemaproductivo siempre a través de uncontrol efectivo de costes. LaEstadística juega un papeldecisivo en el éxito de lasempresas; Facilitando unaherramientas estructurada quepermite obtener los mejoresresultados de la empresa en untiempo relativamente corto.
Las labores de mantenimiento enuna empresa son laboresgerenciales muy importantes,porque de ellas depende en granparte la productividad paraprocesar un producto quegarantice: la competencia en elmercado, el pago de lostrabajadores, la utilidad a lospropietarios y en general lasupervivencia la empresa. Laingeniería del mantenimiento esla parte de la ingeniería dedicadaal estudio y desarrollo de técnicasque faciliten o mejoren elmantenimiento de una instalación,que puede ser una plantaindustrial, un edificio, unainfraestructura, etc. La gestión delmantenimiento de una instalaciónafecta a los cuatro objetivosbásicos del mantenimiento, queson la disponibilidad, la fiabilidad,la vida útil y el coste deexplotación a lo largo de toda suvida.
“Estadística Aplicada en la Ingeniería de Mantenimiento”
Fermalix Alcalá: Ingeniero en Petróleo, (UNEFA Venezuela).E-mail: [email protected]
“HOY MEJOR QUE AYER, MAÑANA MEJOR QUE HOY”
4
Variable AleatoriaUna distribución de probabilidad
indica toda la gama de valores quepueden representarse como resultadode un experimento si éste se llevase acabo.
Distribución de probabilidad deuna variable aleatoria es una funciónque asigna a cada suceso definidosobre la variable aleatoria, laprobabilidad de que dicho sucesoocurra. La distribución de probabilidadestá definida sobre el conjunto de todoslos sucesos, cada uno de los sucesos esel rango de valores de la variablealeatoria.
La distribución de probabilidad estácompletamente especificada por lafunción de distribución, cuyo valor encada x real es la probabilidad de que lavariable aleatoria sea menor o igual quex.
Es una descripciónnumérica del resultado de unexperimento. Una variable esaleatoria si toma diferentesvalores como resultado de unexperimento aleatorio.
Todas las organizacionesdeben definir objetivos demantenimiento a través de loscuales se consiga lograr elequilibrio entre los recursosinsumidos en elmantenimiento (gastospresupuestarios) yrendimiento obtenido.
“Distribución De Probabilidad”
- Fermalix Alcalá
“Un hombre razonable es aquel que seadapta al mundo alrededor de él. Elhombre no razonable espera que elmundo se adapte a él. Por lo tantotodo progreso es hecho por loshombres no razonables”
- George Bernard Shaw
5
“Probabilidad Aleatoria”
- Fermalix Alcalá
“Tipos de Variables Aleatorias”
Una variable aleatoria puedeser discreta o continua,depende del tipo de valoresnuméricos que asuma:Variable aleatoria discreta:Si puede tomar sólo unnúmero limitado de valores,entonces es una variablealeatoria discreta con la cualse cuentan los valores. Esdecir es aquella que sólopuede tomar valores enteros.Variable aleatoria continua:Si puede tomar cualquiervalor dentro de un intervalodado, entonces
se trata de unavariable aleatoriacontinua, por mediode ésta se miden los
valores. Es decir, es aquellaque tomar todos los valoresposibles dentro de un ciertointervalo de la recta real.
“Distribución de Probabilidad de una Variables Aleatorias”
La distribución de
probabilidad de una v. a. X,
también llamada función de
distribución de X es la función
, que asigna a cada evento
definido sobre una
probabilidad dada por la
siguiente expresión:
La distribución de probabilidad de una v. a.
describe teóricamente la forma en que varían los
resultados de un experimento aleatorio.
Intuitivamente se trataría de una lista de los
resultados posibles de un experimento con
las probabilidades que se esperarían ver asociadas
con cada resultado. Al elaborar una función de
probabilidad para una variable aleatoria discreta,
deben satisfacerse las dos condiciones siguientes:“Haz lo necesario para lograr tu más ardiente deseo, y acabarás
lográndolo”
6
Una ventaja importante de
definir una variable aleatoria y
su correspondiente distribución
de probabilidad es que una vez
que se conoce la distribución de
probabilidad, es relativamente
fácil determinar la probabilidad
de diversos eventos que pueden
ser útiles para tomar decisiones.
Valor Esperado
El valor esperado, o media,
de una variable aleatoria es una
medida de la localización central
de la variable aleatoria. Es decir
es un promedio ponderado de
los valores que toma la variable
aleatoria. El cual se emplea para
pronosticar promedio en el
tiempo.
Varianza
La varianza es un promedio
ponderado de los cuadrados de las
desviaciones de una variable aleatoria
de su media. Aunque el valor esperado
proporciona el valor medio de una
variable aleatoria, también suele ser
necesaria una medida de la variabilidad
o dispersión.
Aplicabilidad de la Distribución de Probabilidad de una VariableAleatoria:
Consideremos los mantenimientos preventivos que se le realizan a los automóvilesadscritos a la Compañía El Tigre Siglo XXI, C.A., Estado Anzoátegui, la cual prestaservicios de transporte terrestres; Durante los últimos 300 días de operación, los datosde mantenimiento preventivo muestran que hubo 54 días en los que no se realizóninguno, 117 días en los que se realizó 1 mantenimiento, 72 días en los que serealizaron 2, 42 días en los que se realizó mantenimiento a 3 automóviles, 12 días enlos que se realizó mantenimiento a 4 automóviles y 3 días en los que se realizómantenimiento a 5 automóviles. Suponga que considera el experimento de seleccionarun día de operación en Compañía El Tigre Siglo XXI, C.A., Estado Anzoátegui y sedefine la variable aleatoria de interés como x = número de automóviles que se lerealizó mantenimiento en un día.
- Fermalix Alcalá
7
x f(x) xf(x) x-μ (x-μ)2 (x-μ)2 f(x)
0 0.18 0.00 -1.5 2.25 0.4050
1 0.39 0.39 -0.5 0.25 0.0975
2 0.24 0.48 0.5 0.25 0.0600
3 0.14 0.42 1.5 2.25 0.3150
4 0.04 0.16 2.5 6.25 0.2500
5 0.01 0.05 3.5 12.5 0.1225
1 E(x) = 1.5 σ2= 1.2500
La suma de las entradas en lacolumna xf(x) indica que el valoresperado es 1.50 automóviles pordía. Por tanto, aunque se sabe queen un día los mantenimientospreventivos pueden ser de 0, 1, 2, 3,4 o 5 automóviles, se prevé que a lalarga se ejecutara 1.50 automóvilespor día.
Estas probabilidades, junto conotras que pueden interesar paratomar decisiones, proporcionaninformación que sirve de ayuda alencargado de la toma de decisiones.
De acuerdo con datos del pasado, sesabe que x es una variable aleatoria discretaque puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5.
Una ventaja importante de definir unavariable aleatoria y su correspondientedistribución de probabilidad es que una vezque se conoce la distribución deprobabilidad, es relativamente fácildeterminar la probabilidad de diversoseventos que pueden ser útiles para tomardecisiones. Por ejemplo, se observa que elnúmero de automóviles que es másprobable realizar mantenimiento en un díaes 1, ya que es f(1) = 0.39.
COMENTARIOS:Un modo de determinar si una variable aleatoria esdiscreta o continua es imaginar los valores de lavariable aleatoria como puntos sobre un segmento.Elegir dos puntos que representen valores de lavariable aleatoria. Si todo el segmento de rectaentre esos dos puntos representa también valoresposibles para la variable aleatoria, entonces lavariable aleatoria es continua.
- Fermalix Alcalá
“La continuidad es esencial para un gran impacto en el futuro”
8
“ Distribución Binomial”
- Fermalix Alcalá
La distribución Binomial es un caso
particular de probabilidad de variable
aleatoria discreta, y por sus
aplicaciones, es posiblemente la más
importante.
La distribución de probabilidad
binomial es una distribución de
probabilidad que tiene muchas
aplicaciones. Está relacionada con un
experimento de pasos múltiples al que
se le llama experimento binomial.
Un experimento binomial tiene las
cuatro propiedades siguientes:
1) El experimento está compuesto de n
pruebas iguales, siendo n un número
natural fijo.
2) Cada prueba resulta en un suceso
que cumple las propiedades de la
variable Binómica o de Bernouilli, es
decir, sólo existen dos posibles
resultados, mutuamente excluyentes,
que se denominan generalmente como
éxito y fracaso.
3) La probabilidad del ‚éxito (o del
fracaso) es constante en todas las
pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p
= q
4) Las pruebas son estadísticamente
independientes.
Si se presentan las propiedades 2, 3 y 4,
se dice que los ensayos son generados
por un proceso de Bernoulli. Si, además,
se presenta la propiedad 1, se trata de
un experimento binomial. En un
experimento binomial lo que interesa es
el número de éxitos en n ensayos. Si x
denota el número de éxitos en n
ensayos, es claro que x tomará los
valores 0, 1, 2, 3, ..., n. Dado que el
número de estos valores es finito, x es
una variable aleatoria discreta. A la
distribución de probabilidad
correspondiente a esta variable aleatoria
se le llama distribución de probabilidad
binomial.
Simbólicamente, expresamos los
valores de la forma siguiente:
• p = probabilidad característica o
probabilidad de tener éxito
• q = 1 – p probabilidad de fracaso • r =
número de éxitos deseados • n =
número de intentos hechos
9
“Función de Probabilidad Binomial”
La función de probabilidad binomial es
aplicable a cualquier experimento
binomial.
Como la ecuación del número de
resultados de un experimento binomial
en el que hay x éxitos, y la ecuación
que da la probabilidad de cada serie en
la que hay x éxitos, las combinamos
obteniendo la función de probabilidad
binomial siguiente:
“La Nuestra recompensa se encuentra en el esfuerzo y no en el resultado. Un esfuerzo total es una victoria
completa”
- Fermalix Alcalá
10
Aplicabilidad de la Distribución Binomial:
- Fermalix Alcalá
En un taller de servicio de Mantenimiento
Preventivos a los automóviles Compañía El Tigre
Siglo XXI, C.A. Consideremos las decisiones de
los próximos tres clientes que lleguen solicitando
realizar servicio de mantenimiento a sus
vehículos. De acuerdo con la experiencia, el
gerente estima que la probabilidad de que un
cliente realice una solicitud es 0.30.
¿Cuál es la probabilidad de que dos de los
próximos tres clientes realicen una solicitud de
Servicio?
S denota éxito (SI) y F fracaso (NO) A
continuación verifique que el experimento de las
tres decisiones es un experimento binomial. Al
verificar los cuatro requerimientos de un
experimento binomial, se observa que: · Es
posible describir el experimento como una serie
de tres ensayos idénticos, un ensayo por cada
uno de los tres clientes que llegan al taller. · Cada
ensayo tiene dos posibles resultados: el cliente
hace una solicitud (éxito) o el cliente no hace
ninguna solicitud (fracaso). · La probabilidad de
que el cliente haga una solicitud (0.30) o de que
no haga una solicitud (0.70) se supone que es la
misma para todos los clientes. · La decisión de
solicitud de cada cliente es independiente de la
decisión de los otros clientes.
En consecuencia, se satisfacen las
propiedades de un experimento binomial.
“El ignorante afirma, el sabio duda y reflexiona. ”
- Aristóteles
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Con la fórmula siguiente se calcula el
número de resultados experimentales en
los que hay exactamente x éxitos en n
ensayos.
Función de probabilidad binomial: Se
calculará ahora la probabilidad de que
ningún cliente realice una solicitud, de
que exactamente un cliente realice una
solicitud, de que exactamente dos
clientes realicen una solicitud y de que
los tres clientes realicen una solicitud.
x f(x)
0 0.343
1 0.441
2 0.189
3 0.027
1
Valor esperado en la distribuciónbinomial:
Varianza en la distribuciónbinomial:En el caso de los tres clientes, lavarianza y la desviación estándar delnúmero de clientes que harán unasolicitud son:
- Fermalix Alcalá
12
“Distribución Hipergeométrica”
- Fermalix Alcalá
La distribución de probabilidad
hipergeométrica está estrechamente
relacionada con la distribución binomial.
Pero difieren en dos puntos: en la
distribución hipergeométrica los ensayos
no son independientes y la probabilidad
de éxito varía de ensayo a ensayo.
Los experimentos que tienen este tipo de
distribución tienen las siguientes
características:
a) Al realizar un experimento con este tipo
de distribución, se esperan dos tipos de
resultados.
b) Las probabilidades asociadas a
cada uno de los resultados no son
constantes.
c) Cada ensayo o repetición del
experimento no es independiente
de los demás.
d) El número de repeticiones del
experimento (n) es constante.
En la notación usual en la
distribución hipergeométrica, r
denota el número de elementos
considerados como éxitos que hay
en una población de tamaño N, y N
- r denota.
“Quien no lo ha dado todo no ha dado nada”
13
Observe que:
Representa el número de maneras en
que es posible tomar una muestra de
tamaño n de una población de tamaño
N;
Representa el número de formas en
que se toman x éxitos de un total de r
éxitos que hay en la población, y
Representa el número de maneras en
que se puede tomar n - x fracasos de
un total de N- r que hay en la
población. La media y la varianza de
una distribución hipergeométrica son
las siguientes.
- Fermalix Alcalá
Aplicabilidad de la Distribución Hipergeométrica:
Considere la siguiente aplicaciónal control de calidad. Unaempresa fabricante de motores acombustible transporta 12unidades en un vehículo de cargapesada. Asuma que un inspectorselecciona al azar tres de los 12motores para inspeccionarlos. Siel vehículo transportista contieneexactamente cinco motoresdefectuosos.
· ¿Cuál es la probabilidad de que elinspector encuentre que uno de los tresmotores está defectuoso?
En esta aplicación n = 3 y N = 12. Si r= 5 motores defectuosos en el vehículode carga pesada, la probabilidad dehallar x = 1 defectuoso es:
14
Ahora suponga que desea conocer laprobabilidad de hallar por lo menosun motor defectuoso. La manera mássencilla de contestar es calcularprimero la probabilidad de que elinspector no encuentre ningúnmotor defectuoso. La probabilidadde x = 0 es
Si la probabilidad de cero motoresdefectuosos es f(0) = 0.1591, seconcluye que la probabilidad dehallar por lo menos un motordefectuoso debe ser 1 - 0.1591 =0.8409. Así, existe una probabilidadrazonablemente alta de que elinspector encuentre por lo menos unmotor defectuoso.La media y la varianza de unadistribución Hipergeométrica son lassiguientes.
- Fermalix Alcalá
En el ejemplo anterior n = 3, r = 5 yN = 12. Por tanto, la media y lavarianza del número de motoresdefectuosos es:
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“Pafnuti Chebyshev”
“Teorema de Chebyshev”
- Fermalix Alcalá
Fue un matemático ruso. Su principal contribución al
conocimiento humano es la desigualdad que lleva su nombre.
Es conocido por su trabajo en el área de
la probabilidad y estadística. La desigualdad de Chebyshev dice
que la probabilidad de que una variable aleatoria esté
distanciada de su media en más de a veces la desviación
típica es menor o igual que 1/a2.
Si es la media (o la esperanzamatemática) y σ es la desviación típica,entonces podemos redefinir la relación como:
para todo número real positivo a. Ladesigualdad de Chebyshov se emplea parademostrar que la ley débil de los númerosgrandes y el teorema de Bertrand-Chebyshov(1845 - 1850) que establece que la cantidadde números primos menores que n
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber”
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Una de las ventajas del teorema de
Chebyshev es que se aplica a
cualquier conjunto de datos, sin
importar la forma de la distribución
de los datos.
De acuerdo con este teorema para z
=2, 3 y 4 desviaciones estándar se
tiene:
• Por lo menos 0.75, o 75%, de los
valores de los datos deben estar
dentro de z= 2 desviaciones estándar
de la media.
• Al menos 0.89, o 89%, de los valores
deben estar dentro de z = 3
desviaciones estándar de la media.
• Por lo menos 0.94, o 94%, de los
valores deben estar dentro de z = 4
desviaciones estándar de la media.
La desigualdad de Chebyshev es un
resultado estadístico que ofrece una
cota inferior a la probabilidad de que el
valor de una variable aleatoria con
varianza finita esté a una cierta
distancia de su esperanza matemática
o de su media; equivalentemente, el
teorema proporciona una cota superior
a la probabilidad de que los valores
caigan fuera de esa distancia respecto
de la media.
El teorema de Chebyshev permite decir
qué proporción de los valores que se
tienen en los datos debe estar dentro
de un determinado número de
desviaciones estándar de la media.
Por lo menos (1-1/z2) de los valores
que se tienen en los datos deben
encontrarse dentro de z desviaciones
estandar de la media, donde z es
cualquier valor mayor a 1.
Teorema
“¡Estudia! No para saber una cosa más,
sino para saberla mejor”
- Fermalix Alcalá
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En una encuesta nacional se encontró que las empresas compresoras de gasubicadas El Tigre, Edo Anzoátegui, realizan mantenimiento, verificación y revisióna los equipos en promedio 6.9 horas por días. Supongamos que la desviaciónestándar es 1.2 horas.1.- Emplee el teorema de Chebyshev para hallar el porcentaje de empresascompresoras de gas que realizan mantenimiento, verificación y revisión a losequipos entre 4.5 y 9.3 horas.2.-. Mediante el teorema de Chebyshev encuentre el porcentaje de las empresascompresoras de gas que realizan mantenimiento, verificación y revisión a losequipos entre 3.9 y 9.9 horas.La media = 6.9 horas.La desviación estándar = 1.2 horas.Caso #1: Entre 4.5 y 9.3 horas.4.5 está dos desviaciones estándar debajo de la media y que 9.3 está dosdesviaciones estándar sobre la media. Mediante el teorema de Chebyshevencuentre que por lo menos 0.75, o por lo menos 75%, de las observacionesdeben tener valores dentro de dos desviaciones estándar de la media. Así quepor lo menos 75% de las empresas compresoras de gas que realizanmantenimiento, verificación y revisión a los equipos entre 4.5 y 9.3 horas.Caso #2: 3.9 y 9.9 horas.
Calculamos el punto z:
Se encuentra que (3.9 - 6.9)/1.2 = -2.5, y que (9.9 – 6.9)/1.2 = 2.5, Al aplicar elteorema de Chebyshev con z = 2.5, se tiene:
(1-1/z2)= (1-1/(2.5)2)= 0.84
Por lo menos 84% de las empresas compresoras de gas que realizanmantenimiento, verificación y revisión a los equipos entre 3.9 y 9.9 horas.
Aplicabilidad del Teorema Chevyshev
- Fermalix Alcal
18
“Aplicable en la Ingeniería de
Mantenimiento”
Análisis de mantenimiento centrado en la confiabilidad .
Inventario.
Control de Calidad.
Análisis de criticidad.
Mantenibilidad.
Disponibilidad e indisponibilidad.
Logísticas de materiales.
Gestión de Análisis Estratégico.
Sistemas de Soporte para la Toma de Decisiones .
Área de seguridad, entre otros.
Todas las organizaciones debendefinir objetivos de mantenimientoa través de los cuales se consigalograr el equilibrio entre losrecursos insumidos en elmantenimiento (gastospresupuestarios) y rendimientoobtenido.Cuando hablamos de rendimientonos referimos básicamente al logrode nuestro cometido, que activocumpla su función.
- Fermalix Alcalá
19
Distribución de Poisson
Es una distribución deprobabilidad discreta que expresa, apartir de una frecuencia de ocurrenciamedia, la probabilidad de que ocurraun determinado número de eventosdurante cierto período de tiempo.Concretamente, se especializa en laprobabilidad de ocurrencia desucesos con probabilidades muypequeñas, o sucesos "raros".
También podemos definirlacomo una variable aleatoria discretaque se suele usar para estimar elnúmero de veces que sucede unhecho determinado (ocurrencias) enun intervalo de tiempo o de espacio.
Se utiliza como modelo paradescribir distribuciones de sucesos,tales como: la llegada de vehículos auna estación de servicio, llamadastelefónicas, errores de imprenta porpáginas, etc…
Características de laDistribución de Poisson:
• En los sucesos podemos definir lavariable aleatoria “X” como elnúmero de veces que ocurre elsuceso durante un intervalo detiempo dado en una regióndeterminada.
• La región determinada puede ser:unidad de longitud, de área o devolumen.
• El intervalo de tiempo puede ser decualquier magnitud: 1 segundo, 1minuto, 1 día, 1 mes, etc.
• La probabilidad de un único éxitoen una subregión es independientedel número de éxitos fuera de lasubregión.
• La probabilidad de 2 o más éxitosen una subregión es prácticamentecero.
Lizbell Nieves: Ingeniero de Mantenimiento, (UGMA Venezuela).E-mail: [email protected]
p (x) = 𝝁𝑿 𝒆−𝝁
x!
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso
mundo del saber”.
- Albert Enstein
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Suponga que estamos investigando la seguridad de una operaciónrutinaria en una planta de producción. Los registros del personal deseguridad indican una media de cinco accidentes mensuales en estaplanta. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con unadistribución de Poisson, y el Departamento de Seguridad de la Gerenciade Mantenimiento desea que calculemos la probabilidad de que encualquier mes ocurran exactamente 0, 1, 2, 3 o 4 accidentes. Aplicando lafórmula.
Donde:
µ = 5
X = (0,1,2,3,4)
Ejemplo de la Distribución de Poisson.
- Lizbell Nieves
P (0) = 𝟓𝟎 𝒆−𝟓 P (0) = 0,00674
0!
P (1) = 𝟓𝟏 𝒆−𝟓 P (1) = 0,03370
1!
P (2) = 𝟓𝟐 𝒆−𝟓 P (2) = 0,08422
2!
P (3) = 𝟓𝟑 𝒆−𝟓 P (3) = 0,14037
3!
P (4) = 𝟓𝟒 𝒆−𝟓 P (4) = 0,17547
4!
Suponga que queremos conocerla probabilidad de tener 0, 1 o 2accidentes mensuales en la plantade producción, para ello:
P (0) = 0,00674
P (1) = 0,03370
P (2) = 0,08422
P(0 o 1 o 2) = 0,26503
21
Afortunadamente, realizar a mano los cálculos de lasprobabilidades de Poisson no es necesario. El empleo de tablaspermite obtener los mismos resultados que si hiciéramos loscálculos, pero ahorrándonos el trabajo tedioso, debido a que seencuentran tabulados los datos.
Ejemplo de la Distribución de Poisson.
- Lizbell Nieves
22
En algunas ocasiones, sideseamos ahorrarnos la tarea decalcular distribuciones binomialesde probabilidad, podemos utilizarla distribución de Poisson. Ladistribución de Poisson puede seruna razonable aproximación de labinomial, pero sólo bajo ciertascondiciones. Dichas condicionesse presentan cuando en unexperimento binomial n es grandey p es pequeña, esto es, cuando elnúmero de ensayos es grande y laprobabilidad binomial de teneréxito es pequeña. La regla queutilizan con más frecuencia losestadísticos es que la distribuciónde Poisson es una buenaaproximación de la distribuciónbinomial cuando n es igual omayor que 20 y p es igual omenor a 0.05. En los casos en quese cumplen estas condiciones,podemos sustituir la media de ladistribución binomial (np) enlugar de la media de ladistribución de Poisson (µ), demodo que:
Utilicemos la fórmula para laprobabilidad binomial, y la fórmulade la aproximación de Poisson, en elmismo problema para determinar elgrado en el que la distribución dePoisson es una buena aproximaciónde la binomial. Digamos que En untaller de servicio de MantenimientoPreventivos a los automóvilesCompañía El Tigre Siglo XXI, C.A.Consideremos las decisiones de lospróximos tres clientes que lleguensolicitando realizar servicio demantenimiento a sus vehículos. Deacuerdo con la experiencia, elgerente estima que la probabilidadde que un cliente realice unasolicitud es 0.30. ¿Cuál es laprobabilidad de que dos de lospróximos tres clientes realicen unasolicitud de Servicio? “la diferenciaentre las dos distribuciones deprobabilidad es pequeña (de sólo20% de error, aproximadamente,en este ejemplo)”.
La Distribución de Poisson a la Distribución Binomial
- Lizbell Nieves
p (x) = (𝒏𝒑)𝑿 𝒆−𝒏𝒑
x!
p (1) = (3x 0,03)1 e−3 x 0,03
1!
p (1) = 0,0823
p (2) = (3𝑥 0,03)2 𝑒−3 𝑥 0,03
2!
p (1) = 0,063
23
Distribución de Poisson y la Ingeniería de Mantenimiento
Es aplicable en la Gestión deInventarios, ya que permiteestimar los materialesrequeridos en los almacenes,de manera que se optimice eltiempo y costo al momento dereemplazar los repuestos delos equipos y/o maquinarias.
En la confiabilidad, ya quepermite proyectar situacionesen el momento de tomardecisiones.
En el área de seguridad, comose pudo observaren el ejemploanterior, permite estudiar laprobabilidad de ocurrencias deaccidentes durante laoperación de los equipos, loque anticipa al personal tomarmedidas de seguridad.
En la ingeniería de materialeses conocida la distribución dePoisson como la fórmula deLaplace para el diseño depiezas, según el material autilizar.
Es un modelo adecuado paraaquellos procesos en los que serepiten pruebas hasta laconsecución del “éxito” oresultado deseado.
Donde:
X = Número de experimentoshasta q aparece el primer éxito.
P = Probabilidad de éxito.
q = Probabilidad de fracaso
(1 - q)
Distribución Geométrica y sus Apicaciones en la Ingeniería de
Mantenimiento- Lizbell Nieves
Distribución Geomética y la Ingeniería de Mantenimiento
p (x) = 𝒑𝒒𝒙 −𝟏
24
Características de la Distribución
Geométrica
- Lizbell Nieves
El proceso consta de unnúmero no definido depruebas o experimentosseparados o separables. Elproceso concluirá cuando seobtenga por primera vez elresultado deseado “éxito”.
Cada prueba puede dar dosresultados mutuamenteexcluyentes: A y no A.
La probabilidad de obtenerun resultado A en cadaprueba es p y la de obtenerno A es q siendo (p + q = 1).
Las probabilidad p y q, sonconstantes, por tanto, laspruebas, son independientes(si se trata de unaextracción, éste se llevará a,cabo con la devolución delindividuo extraído.
La probabilidad de 2 o máséxitos en una subregión esprácticamente cero.
SÍ la probabilidad de que un equipode detección de medición de H2S,muestre una desviación excesiva de0.05, ¿cuál es la probabilidad de qué;a) el quinto de estos equipossometidos a pruebas sea el primero enmostrar una desviación excesiva? b) elsexto de estos equipos sometidos apruebas sea el primero que nomuestre una desviación excesiva.
Ejemplo de la Distribución Geométrica
p (x) = 𝒑𝒒𝒙 −𝟏
P = 𝟎. 𝟎𝟓
p (x = 5) = (𝟎. 𝟎𝟓)(𝟎. 𝟗𝟓)𝟓 −𝟏
q = 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟓
p (x = 6) = (𝟎. 𝟎𝟓)(𝟎. 𝟗𝟓)𝟔 −𝟏
p (5) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟎7
p (6) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟖𝟕
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Distribución Multinomial
- Lizbell Nieves
Es similar a la distribuciónbinomial, con la diferencia de queen lugar de dos posiblesresultados en cada ensayo, puedehaber múltiples resultados.
Al llevar a cabo unexperimento con estadistribución se esperan más dedos tipos de resultados.
Las probabilidades asociadas acada uno de los resultados sonconstantes.
Cada uno de los ensayos orepeticiones del experimentoson independientes.
El número de repeticiones delexperimento, n es constante.
Características de la Distribución Multinomial
Distribución Geométrica y la Ingeniería de Mantenimiento
Es aplicable en la confiabilidad.
En la mantenibilidad.
En el área de seguridad.
Distribución Multinomial
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En un taller de servicio de Mantenimiento Preventivos a losautomóviles Compañía El Tigre Siglo XXI, C.A. Consideremos lasdecisiones de los próximos cuatro clientes que lleguen solicitandorealizar servicio de mantenimiento a sus vehículos. De acuerdo con laexperiencia, el gerente estima que la probabilidad de que un clienterealice una solicitud es 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de lospróximos cuatro clientes realicen dos solicitudes de Servicio. Al verificarlos cuatro requerimientos de un experimento multinomial, se observaque: Es posible describir el experimento como una serie de cuatroensayos idénticos, un ensayo por cada uno de los cuatro clientes quellegan al taller. Cada ensayo tiene tres posibles resultados: el cliente hacedos solicitudes (éxito) o el cliente no hace ninguna solicitud (fracaso) o elcliente hace una solicitud (fracaso). La decisión de solicitud de cadacliente es independiente de la decisión de los otros clientes.
Ejemplo de la Distribución de Poisson.
- Lizbell Nieves
P = 0,0384 =
3,84%
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Distribuciones de Probabilidad Discreta con
EXCEL
Para dar soporte informático alestudio de la Probabilidad, se hacenecesario el manejo de algún softwaretanto Matemático como Estadístico, quepermitan realizar los cálculos y elaborarrepresentaciones gráficas adecuadas,entre ellos MINITAB y Excel.
La función de Excel para calcularprobabilidades binomiales esDISTR.BINOM. Esta función tienecuatro argumentos:
x (el número de éxitos),
n (el número de ensayos),
p (la probabilidad de éxito) yacumulado.
Se usa FALSO como cuartoargumento (acumulado) si se quiere laprobabilidad de x éxitos y VERDADEROse usa como cuarto argumento si sedesea la probabilidad acumulada de x omenos éxitos.
- Lizbell Nieves
28
La función de Excel paracalcular probabilidadesbinomiales es POISSON.DIST.Esta función tiene tresargumentos:
x (el número de éxitos),
µ (la media).
Se usa FALSO como tercerargumento (acumulado) si sequiere la probabilidad de x éxitosy VERDADERO se usa comotercer argumento si se desea laprobabilidad acumulada de x omenos éxitos.
- Lizbell Nieves
29
Intenta no volverte un hombre deéxito, sino volverte un hombre devalor.
- Albert Einstein
Las Distribuciones de Probabilidadesanteriormente descritas son demucha utilidad para la toma dedecisiones en las empresas, lascuales involucran a todo el trengerencial.
Permiten estimar las reparaciones uhoras de mantenimiento de unequipo o máquina establecidas en elplan o programación de paradas,desde el inicio de las operaciones.
- Lizbell Nieves
Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams, (2.008).ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA Décima Edición.Cengage Learning.
Berenson, M.L., Levine D.M., (1.989). ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN YECONOMÍA. Conceptos y Aplicaciones. Nueva Editorial Interamericana.México, D.F.
Levin, Richard I. Y Rubin David S. (2.010). ESTADÍSTICA PARAADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA. Séptima edición revisada. PEARSONEDUCACIÓN, México.
López Casuso, Rafael. (1.984). INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DEPROBABILIDADES E INFERENCIA ESTADÍSTICA. Segunda Edición. Instituto deInvesigaciones Económicas. Caracas – Venezuela.
Visitas en Internet: http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/geometrica.htm
. Consulta realizada el 11-12-2014.
Referencias Bibliográficas
“Si buscas resultados distintos, nohagas siempre lo mismo”.
- Albert Einstein
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La Gran Sabana es una región localizada al sureste
de Venezuela, en el macizo de las Guayanas,
también al Sur-este del Estado Bolívar, y que se
extiende hasta la frontera con Brasil y Guyana. La
Gran Sabana cuenta con 10.820 km² de extensión, y
forma parte de uno de los Parques Nacionales más
extensos de Venezuela, el Parque Nacional
Canaima. La temperatura promedio se halla
alrededor de los 20 ºC, pero de noche puede
descender hasta los 13 °C, y en algunos de los sitios
más elevados, dependiendo del clima, puede
descender un poco más. El lugar ofrece paisajes
únicos en todo el mundo, cuenta con ríos, cascadas
y quebradas, valles profundos y extensos, selvas
impenetrables, y sabanas que alojan una gran
cantidad y variedad de especies vegetales, una
fauna diversa, y las mesetas mejor conocidas
como tepuyes.
“Nuestra Hermosa Venezuela”
31
Cierto día, tres hombres salieron a explorar en una montaña
y no encontraban el camino de regreso. Casi desfallecían de
hambre, y solamente había una manzana para alimentarlos
a los tres. Entonces, se les apareció Dios y les dijo que
probaría su sabiduría, y dependiendo de sus respuestas les
salvaría la vida. Pregunto entonces Dios: ¿Cómo puedo
solucionar su problema, sin que ninguno de ustedes muera
de hambre?, el primero dijo: “ pues aparece mas comida”.
Dios contesto que era una respuesta sin sabiduría, pues no
se debe pedir a Dios que aparezca mágicamente la solución
al problema, sino trabajar con lo que se tiene. Dijo el
segundo entonces: “haz que la fruta crezca para que sea
suficiente”. A lo que le contesto Dios que no, pues la
solución no es pedir siempre multiplicación de lio que se
tiene para arreglar el problema, pues el ser humano nuca
queda satisfecho y por ende nunca seria suficiente. El tercero
dijo entonces: “mi buen Dios, aunque tenemos hambre y
somos orgullosos, haznos muy pequeños, así la manzana
será muy grande y alcanzara para los tres”, Dios dijo: “has
contestado bien, pues cuando el hombre se hace humilde y
se empequeñece delante de mis ojos, vera la prosperidad”.
Seremos felices el día que aprendamos que la forma de
pedir a Dios es reconocernos débiles, y ser humildes
dejando de lado nuestro orgullos. Y veremos que al
empequeñecernos y ser mansos de corazón, veremos la
prosperidad de Dios y la forma como El si escucha.
Colosenses 3:12. Vestíos, pues, como escogidos de Dios,
santos y amados, de entrañable misericordia, de benignidad,
de humildad, de mansedumbre, de paciencia.
Proverbios 29:23. La soberbia del hombre le abate; Pero al
humilde de espíritu sustenta la honra.
(Mr. 4.1-9; Lc. 8.4-8) : Aquel día salió Jesús de la casa y se
sentó junto al mar. Y se le juntó mucha gente; y entrando él
en la barca, se sentó, y toda la gente estaba en la playa. Y
les habló muchas cosas por parábolas, diciendo: He aquí, el
sembrador salió a sembrar. Y mientras sembraba, parte de la
semilla cayó junto al camino; y vinieron las aves y la
comieron. Parte cayó en pedregales, donde no había mucha
tierra; y brotó pronto, porque no tenía profundidad de
tierra; pero salido el sol, se quemó; y porque no tenía raíz,
se secó. Y parte cayó entre espinos; y los espinos crecieron,
y la ahogaron. Pero parte cayó en buena tierra, y dio fruto,
cuál a ciento, cuál a sesenta, y cuál a treinta por uno. El que
tiene oídos para oír, oiga.
Jesús explica la parábola del sembrador (Mr. 4.13-20; Lc.
8.11-15).
Oíd, pues, vosotros la parábola del sembrador: Cuando
alguno oye la palabra del reino y no la entiende, viene el
malo, y arrebata lo que fue sembrado en su corazón. Este es
el que fue sembrado junto al camino. Y el que fue sembrado
en pedregales, éste es el que oye la palabra, y al momento
la recibe con gozo; pero no tiene raíz en sí, sino que es de
corta duración, pues al venir la aflicción o la persecución
por causa de la palabra, luego tropieza. El que fue
sembrado entre espinos, éste es el que oye la palabra, pero
el afán de este siglo y el engaño de las riquezas ahogan la
palabra, y se hace infructuosa. Mas el que fue sembrado en
buena tierra, éste es el que oye y entiende la palabra, y da
fruto; y produce a ciento, a sesenta, y a treinta por uno.
“Explorando con Dios”
Los Exploradores y La Manzana Parábola del Sembrador
32
“Sopas de Letra”Distribución de Probabilidad
“Crucigramas”X E D A D I L I B A B O R P W
Z E H R M E D I A V B H J N E
K S S W T Z X U I C N G K O T
L T K T Y Ñ X Y O X M F L I Y
M R E W A L C T P Z Q D Ñ C U
N A E E U D E C I S I O N U I
T T T Q I K I R A Ñ W S Z B O
U E H X O J V S S L E A X I P
O G J Z P H B E T K R P C R A
O I L D A G N W D I T O V T S
V A R I A N Z A F J C I B S D
P G Y S S E L B A I R A V I F
N T A S D F M Q G H Y U N D G
Ñ H I P E R B O L I C A M E H
I L L A I M O N I T L U M Q J
“ENTRETENIMIENTO”
Estadística Decisión
HiperbólicaVariable
Distribución
Media Estrategias
MuntinomialVarianza
Probabilidad
HorizontalValor
Esperado Oportunidad
SerieChebyshev
RaízNatural
VerticalContinua
MediaDiscretaProcesoVarianza
DadoEnsayo
PASANTIEMPOS
33
Migbelis Lynette Castellanos Romero nació el 7 de junio de 1995
en Cabimas, estado Zulia. Su signo zodiacal es géminis. La
venezolana Migbelis Castellanos partió a Miami para incorporarse
a la edición número 63 del concurso que busca a la mujer más
bella del Universo, cuya final se realizará el próximo 25 de enero,
en la Arena de la Universidad Internacional de Florida, en la
ciudad de Miami, Estados Unidos y que será transmitido por
Venevisión.
Castellanos de 19 años, ha destacado desde su participación en el
Miss Venezuela, por su facilidad de expresión y elocuencia al
hablar. La vimos animar con mucho aplomo los diferentes
castings regionales rumbo al Miss Venezuela en los estados:
Aragua, Bolívar, Carabobo y Lara. Además de ser la animadora
invitada de programas de Venevisión como: “Portada’s”, en el
segmento “Estrenos y Estrellas” del Noticiero Venevisión, y como
ancla femenina del programa “Más allá de la Belleza” de
Venevisión Plus.
Migbelis dice sentirse muy tranquila y confía que el plan de Dios
es perfecto, y lo que tenga destinado para ella, se cumplirá, así lo
afirmó al salir de la Quinta Miss Venezuela, rumbo a la conquista
de la octava corona universal para nuestro país.
Castellanos, tuvo la oportunidad de prepararse por más de un
año en diferentes áreas con profesionales como: Julio César
Arraiz y Aníbal Escalona en maquillaje, estilismo con Jesús
Morales, pasarela con Gisselle Reyes y oratoria con José Rafael
Briceño. El entrenamiento físico lo finalizó con Fernando
Rodríguez y la esteticista Mayela González. NOTICIAS 24
(Caracas, Nota de prensa).- Oscar D’ León actuará elpróximo 15 de enero en el Miss Universo 2015 con suBig Band. La gala se realizará en el Trump NationalDoral de Miami y tendrá sello venezolano.
El “Sonero del Mundo”, por primera vez junto a sus36 músicos, interpretará los temas de su nuevo discoen inglés “Clásicos de Big Band”.
Esta será una noche llena de lujo, donde asistirán:Donald Trump, figuras políticas, sociales, económicasy la prensa mundial, junto a las 95 candidatas delconcurso Miss Universo.
Oscar D’ León tendrá una participación especial, seráinvitado de altura que por primera vezinterpretará lostemas de su nueva súper producción “Oscar D’ León,Clásicos en Big Band”, netamente grabada enNasville, Tennessee, con músicos americanos dirigidaal mercado inglés y al español, bajo la producciónejecutiva de Jaime Araque y la dirección musical deChris McDonald y Rodolfo Castillo, con la anuenciade su manager Oswaldo Ponte.
“ENTRETENIMIENTO”
FARÁNDULA
MigbelisCastellanos partió a Miami rumbo al
Miss Universo
34
“Tu adicción al chocolate puede ser algo positivo:
mejora tu memoria”
Están los que comen chocolate de vez en
cuando y los que son adictos que no pueden
parar de consumirlo. Si bien el segundo grupo
puede tener un problema de kilos de
más, podrían tener una memoria mucho mejor
que los primeros, ya que ahora un estudio
confirmó que consumir chocolate la mejora.
Los científicos de la Universidad de Columbia, en
Estados Unidos, observaron imágenes realizadas
con resonancia magnética y notaron que un
sector muy específico del cerebro, que está
asociado al declive de la memoria en relación al
avance de la edad, tenía una mayor
vascularización. Esto significa que tenía mayor
irrigación sanguínea y, por ende, más nutrientes
que generaban una mayor actividad metabólica.
Todo este proceso que parece muy complicado
se resume en que las personas que consumen
más chocolate tienen una mayor predisposición
al proceso de memorización.
La Tapara y sus beneficios.
Perteneciente a la familia de las Bignoniáceas, recibe el
nombre del latín Crescere que significa crecer. Es originario
de la Amazonía. En un principio, los frutos de esta planta
sirvieron a las diferentes culturas americanas como fuente de
recipientes, adornos, alimento, para la cacería, para cubrirse
y protegerse partes del cuerpo y como medicina
(expectorante y laxante). Del Tapara, se utilizaba sobre todo
la pulpa de los frutos; la decocción de esta se empleaba en
medicina popular contra las enfermedades del aparato
respiratorio. Según las palabras del Dr. Leo Manfred
“mezclado con azúcar es muy indicado para curar la
bronquitis crónica. En la tos compulsiva y asma da
excelentes resultados”.
Este jarabe de la pulpa del Tapara se usa por vía oral para
tratar afecciones respiratorias, tales como asma, bronquitis,
catarro, pulmonía, resfriados y tos. A las hojas y el fruto se
les atribuye propiedades analgésicas, antisépticas, aperitivas,
calmantes, desinflamantes, emenagogas, eméticas,
expectorantes, pectorales, purgantes, reconstituyentes,
sudoríficas, vermífugas y vulnerarias. La pulpa del fruto es
muy rica en ácidos crecéntico, tartárico, cítrico, tánico y
cianhídrico.También se han detectado en el fruto, alcaloides
cuaternarios y polifenoles. Además de lapachona, ácido
gestísico, 1,4 naftoquinona, 2-(1-hidroxietil)-hidroxifurano.
Las semillas contienen azúcares, proteínas y un aceite fijo
parecido al aceite de oliva, que consiste en ácidos oleico,
linoléico y saturados.
“PLUEBLO Y MEDICINA”
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“HOY MEJOR QUE AYER, MAÑANA MEJOR QUE HOY”
El arte de ser felizAutor:Despierta todas las mañanas con unasonrisa.Ésta es más, una oportunidad que Tútienes para ser feliz.Sé tu propio motor de ignición.El día de hoy jamás volverá.No lo desperdicies, porque tu nacistepara ser feliz.Enumera las buenas cosas que tú tienesen la vida.Al tomar conciencia de su valor,tú serás capaz de ir al frente con muchafuerza, coraje y confianza.Traza objetivos para cada día. Túconquistarás tu arco iris, cada día.Sé paciente.No te quejes de tu trabajo, del tedio, dela rutina, pues es tu trabajo el que temantiene en alerta, y en constantedesenvolvimiento personal yprofesional, además de eso, te ayuda amantener la dignidad.
Cree, pues tu valor está en ti mismo.No te dejes vencer, no seas igual, sédiferente.Si nos dejamos vencer, no habrásorpresas, ni alegrías...La mudanza es vida.No seas resistente a ella, pues somosseres en constante mudanza pornaturaleza.Mudar es animar el espíritu, curar,estimular, sorprender, abrir nuevaspuertas, fortalecer nuevas experiencias ycrear excitación en nuestras vidas.Conciénciate de que la verdaderafelicidad, está donde ti.Lo importante de ti es tener una actitudpositiva frente a la vida, tener el deseode mostrar todo lo bueno que tienes,porque esto produce maravillososefectos colaterales.No sólo crea un espacio feliz para losque están a tu alrededor, comotambién da coraje a otras personas serpositivas.
EL TIEMPO PARA SER FELIZ ES AHORA.
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El año nuevoAutor:
"Se acercó a mi mesa con los labiostemblorosos. La lección habíaterminado."¿Tiene una hoja nueva para mí,maestro?Esta la he estropeado".Tomé su hoja sucia y con borrones, Yle di otra nueva, inmaculada. Luego,sonriendo, le hablé al corazón, así:"Ahora, hijo mío, hazlo mejor".Me acerqué al Trono Con corazóntembloroso.El año había terminado."¿Tienes un año nuevo para mí,Maestro querido?Pues éste lo he estropeado".Tomó mi año sucio y con borrones, Yme dio uno nuevo, inmaculado.Luego, sonriendo, habló a micorazón, así: "Ahora, hijo mío, hazlomejor".
El faro de la feAutor:
Cuidar nuestra fe es cuidarnos anosotros mismos, ya que es gracias ala fe que llenamos la vida desentido.Sin el faro de la fe todo se oscureceporque perdemos la confianza enDios, en la humanidad y en nosotrosmismos. Sin fe somos un árbol sinraíces y vagamos como ave sin nido.Cuidemos, pues, nuestra fe con unaoración amorosa, buenas acciones,lecturas espirituales y buenasamistades. No permitamos que nadani nadie debilite nuestras creencias.Sería terrible que una gran pena nosapartara de Dios, ya que es cuandomás lo necesitamos y nunca El es elresponsable de nuestros infortunios.Valoremos la fe como éstospensadores:- La fe no es sólo una virtud: Es la
puerta sagrada por donde pasantodas las virtudes. Lacordaire.
- La fe es garantía de lo que seespera. San Pablo.
- La fe es creer lo que no vimos ycrear lo que no vemos. Unamuno.- El hombre sólo vive de dosmaneras: O de fe, o de ilusiones.
“La fe hace que todo sea posible… el amor hace todas las cosasfáciles.”
- DL Moody
37
La Revista Electrónica # 1 en Investigación y algo más
17287392 - 19939038
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