Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)

7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)

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MATEMATICAS FINANCIERAS

Presentado por:

Econ. Erik Nez del Prado Pacheco


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Matemtica Financiera

Renato Eduardo Anicama Salvatierra

Email: [email protected]

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
mailto:[email protected]:[email protected]


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Es la ciencia quenos proporcionalas herramientas

necesarias paratomar decisionesde inversin o de

crdito, a lo largodel tiempo.

Qu es la Matemtica Financiera?


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ValorFuturoValor Presenteo Valor Actual

DISMINUYE CRECE

Desplazamiento de un flujo Financiero


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Inters Simple f (i,t)


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Grfico de Inters Simple

P

S

P

Ii

0 n

Basta que la TASA sea MAYOR a cero 0 paraque el flujo financiero cambie si se desplaza.

Inters = ganancia sobre capital

Inters Simple = f (i,t)

Es una funcin que trabaja con tasa de intersy tiempo.


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NOTACINP = Stock inicial del efectivo.

S = Stock final del efectivo.i = Tasa de inters.I = Ganancia sobre el capital.

n = Horizonte temporal.


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LEYES1.- La tasa de inters Siempre ingresa a las

frmulas expresada en tanto por uno, esdecir, dividida entre 100.

2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasade inters se asume que esta expresada entrminos Anuales.

3.- La tasa de inters (i) y el tiempo (t) Siempre

deben estar expresados en la misma unidad demedida, y se puede transformar a cualquierade ellos o a ambos.


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Resultado Final = Stock Final= Valor Futuro f (i,t)


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Frmulas para clculos a inters simple:

S = P + I S = P + ( P i n )

S = P ( 1 + i n )

*niIP

nPIi* iP

In*

Para hallar el inters:

I = S - P

C S C S


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INTERES COMPUESTO

Proceso por el cual el intersgenerado por un capital en cada

periodo definido de tiempo, secapitaliza.Quien manda?



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Capitalizacin

La Capitalizacin es laaccin deacumular en cada frecuencia fijade

tiempoel inters ganado por un capital.

Antes de resolver cualquier problema de finanzas, debemoshacernos las siguientes preguntas:

Quin manda? La CapitalizacinCmo sabemos cul es la capitalizacin?

Porque dice o po rque la asum imos



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INTERES COMPUESTO

P

STasa Nominal Anual40%Capitalizacin Semestral

El dinero crece a cada frecuencia productode la

0 1 ao

20% 20%

CAPITALIZACION



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LA CAPITALIZACIN

10% x 4 trimestres 40%TASA NOMINAL ANUAL

10%

0 I II III

IV

CRECIO

46.41%TASAEFECTIVA

100

100

10110

11011

121

12112.10

133.10

133.1013.31

146.41

Trimestres

Capitalizacin trimestral



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S = P(1+i)n

Valor futuro (Stock Final)

Donde:i = Tasa de inters del periodo, y

est directamente vinculada ala frecuencia de capitalizacin.



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Ojo: Cuando no se dice nada acerca de lacapitalizacin se asumeautomticamente que es diaria.

Todo tiene que expresarse en launidad de medida de capitalizacin.



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Ejemplo 1:

P = $ 1,000n = 1 ao.i = 40% anual

Capitalizacin Semestral

S = $ 1,440.00S

iPS

i

44.1*000,12.01*000,1

1*

semestral2.02

40.0

2

n,

,



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NORMAS LEYES

1.- La tasa de inters Siempre ingresa a lasfrmulas expresada en tanto por uno, es

decir, dividida entre 100.

2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasa de

inters se asume que esta expresada en trminosAnuales y que la capitalizacin es diaria. (Si la

capitalizacin no est definida se asumeautomticamente como diaria).

3.- La tasa de inters (i) y el tiempo (t) Siempredeben estar expresados en la misma unidad demedida, pero manda y ordena la capitalizacin.



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FRMULAS

Valor Presente

1, nP

Si

n

i

SP,

1

,1log

log

i

PS

n

Tasa delperodo

Tiempo

niPS

,1*



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Las personas y lasempresas,

generalmente realizanms de una

transaccin a lo largodel tiempo (depsitosy/o retiros), sobre unacuenta en su banco.



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Qu entendemos porflujos multiples?

Llamamos flujos mltiples al

conjunto de transacciones deentradas o salidas de dineroque ocurren a lo largo de un

determinado tiempo.



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Al abrir una cuenta de ahorro en el banco, se produce un ingreso dedinero (saldo a favor del que deposita); posteriormente y a lo largo

del tiempo suelen ocurrir un conjunto de transacciones queincrementan o reducen el saldo (depsitos o retiros). Cuando elcliente decide cancelar su cuenta, en una fecha cierta, es fcil

calcular el saldo final de todo lo actuado, considerando la tasa deinters pertinente.

Tambin es posible, conociendo el saldo final de una cuenta y lasfechas y forma de como se manifestaron los flujos a lo largo del

tiempo, determinar el importe con el que se abri la cuenta.

Ejemplo



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MtodosMtodo Acumulacin.

Mtodo de traslado de flujos.

Mtodo de factores dinmicos.

* Ecuacin de valor



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Mtodo IAcumulacin



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Mtodo de

Acumulacin

$ 10,000$ 8,000

$ 12,000

$ 1,000

S

0 120 180 210 270 das

120 das 60 das 30 das 60 das

TNA = 18%



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0005.0360

18.0'i diario

Qu ocurre con mi depsito inicial cuando llegue al da 120?

10,618.2$)0005.01(*000,10 120S

Nuevo Saldo= 10,618.21 + 8,000 = $ 18,618.21

Ahora, llevamos este saldo hasta el momento en quese realiz la siguiente transaccin:

19,185.0$)0005.01(*21.618,18 60SComo en este momento se produce un retiro, entonces:

Nuevo Saldo= 19,185.0812,000= $ 7,185.08



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Ahora, llevamos este nuevo saldo hasta el da 210, momento en quese produce otro retiro:

Nuevo Saldo = 7,293.641,000= $ 6,293.64

7,293.6$)0005.01(*08.185,7 30S

6,485.2$)0005.01(*64.293,6S 60

Finalmente, al momento de la cancelacin de la cuenta habr un saldoequivalente a:



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Ahora para practicar, hagamosde cuenta, que se conoce elmonto que se retir al cancelar

la cuenta y los diversosmovimientos realizados duranteel tiempo de permanencia; pero

se desconoce el importe inicialcon el que se la abri.



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C S C S

Mtodo de

AcumulacinP $ 8,000 $ 12,000

$ 1,000

$ 6,485.26

0 120 180 210 270 das


TNA = 18%

de reversa MATEMATICAS FINANCIERAS


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Como estamos regresando, para hallar el nuevo saldo, el flujo sealadocomo retiro debemos devolverlo al saldo, en consecuencia, lo sumaremos,

a saber:

6,293.64$)0005.01(

26.485,660210

P

Nuevo Saldo = 6,293.64 + 1,000= $7,293.64

7,185.0$)0005.01(

64.293,730180

P

Nuevo Saldo = 7,185.08 + 12,000= $19,185.08



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18,618.2$)0005.01(

08.185,1960120

P

Recordemos que estamos regresando, entonces ahora, para hallar elnuevo saldo, el flujo sealado como depsito debemos de quitrselo a

este saldo. Enconsecuencia, lo restaremos, a saber:

Nuevo Saldo = 18,618.228,000= $10,618.22

10,000.0$

)0005.01(

22.618,101200

P

Depsito inicial $ 10,000.00



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$ 10,000 $ 8,000 X$ 1,000

$ 6,485.26

0 120 180 210 270 das


TNA = 18%

Aprendiendo a formar ecuaciones devalor



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10,618.2$)0005.01(*000,10 120120S

Nuevo Saldo = 10,618.21 + 8,000.00 = $ 18,618.21

19,185.0$)0005.01(*21.618,18 60180S

OJO: en este momento voy a incluir la variable o ingnita

Nuevo Saldo = 19,185.08X ... ( expresin I )

Ahora, traemos todos los otros flujos al da 180para igualar y formar la ecuacin .



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6,293.64$)0005.01(

26.485,660210

P

Nuevo Saldo = 6,293.64 + 1,000.00 = $ 7,293.64

7,185.0$)0005.01(

64.293,730180

P

Saldo al da 180, al regresar flujos sin considerar lavariable = $ 7,185.08 ... ( expresin II )



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Ecuacin de valor

19,185.08X = 7,185.08X = $ 12,000.00

Ahora, igualamos la expresin I, con laexpresin II.

Por qu?, porque el saldo acumuladode los flujos considerados en cada

expresin, estn en la misma unidad

de tiempo.



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Mtodo IITraslado de Flujos



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El mtodo de Traslado de Flujos

contempla lo siguiente:Cada flujo se traslada de manera individual auna posicin previamente determinada.

Una vez que todos los flujos se encuentren en la posicin convenida, sesuman. Tener en cuenta que los flujos de ingreso de dinero

generan valores positivos y los flujos deegreso de dinero generan valores negativos.



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Cuando se traslada un flujo a lo

largo del tiempo y este esafectado por uno o ms cambiosde tasa de inters, el flujo,deber ser trasladado hasta

cada lnea de frontera(lnea decambio de tasa de inters),tantas veces como sea

necesario, hasta lograr la

posicin convenida.


Mt d d T l d d Fl j


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0 120 180 240 360das

$40,000

$42,000

$10,000

S$

10,000

TNM = 6%TNA = 18%

TNA = 36%

Mtodo de Traslado de Flujos



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Anlisis de cada una de las tasas de intersque actan durante el tiempo de la operacin

TNM = 6%

TNA = 18%

TNA = 36%

002.030

06.0'i

0005.0360

18.0'i

001.0360

36.0'i



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S180= 40,000 (1+0.002)180= $ 57,312.57

S240 = 57,312.57 (1+0.0005)60= $ 59,057.55

S360= 59,057.54 (1+0.001)120=$ 66,583.21

Flujo N 1 de $ 40,000(depsito)



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Flujo N 2 de $ 42,000(retiro)

S180= 42,000 (1+0.002)60

= $ 47,349.19S240 = 47,349.19 (1+0.0005)60= $ 48,790.83

S360

= 48,790.83 (1+0.001)120=$ 55,008.20

Flujo N 3 de $ 10,000(depsito)

S240= 10,000 (1+0.0005)60= $ 10,304.47S360= 10,304.47 (1+0.001)120= $ 11,617.56



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Flujo N 4 de $ 10,000(retiro)

S360 = 10,000 (1+0.001)120=$ 11,274.29

SFinal= S1+ S2+ S3 + S4

Saldo Final

SFinal

= 66,583.21 - 55,008.20+ 11,617.56 - 11,274.29

SFinal = $ 11,918.28



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De Reversa

Hacer el ejercicio de reversaimplica tomar cada flujo y llevarlo asu momento cero (valor presente),

teniendo en cuenta losprocedimientos del mtodo de

traslado de flujos. Esto implica, queahora, los retiros se suman y los

ingresos se restan.


l d d Fl j d R


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0 120 180 240 360das

X $42,000$

10,000

$11,918.28

$10,000

TNM = 6%TNA = 18%

TNA = 36%

raslado de Flujos de Revers



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Anlisis de cada una de las tasas de inters queactan durante el tiempo de la operacin

TNM = 6%

TNA = 18%

TNA = 36%

002.030

06.0'i

0005.0360

18.0'i

001.0360

36.0'i



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Flujo N 1 de $ 11,918.28 (retiro)

$ 7,159.93

10,571.20$)001.01(

28.918,11120240P

10,258.85$

)0005.01(

20.571,1060180

P

)002.01(

85.258,101800

P



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$ 6,773.05

9,704.53$)0005.01(

000,1060180P

)002.01(

53.704,91800

P

Flujo N 3 de $ 10,000.00(depsito)

)002.01(000,10

1800P $ 6,979.27



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)002.01(

000,421200

P $ 33,046.29

Valor Presente:P = P1+ P2+ P3+ P4

P = 7,159.93 + 6,773.05 - 6,979.27 + 33,046.29P = $ 40,000


E i d V l


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0 120 180 240 360das

$40,000

$42,000

$10,000

$11,918.28

X

TNM = 6%TNA = 18%

TNA = 36%

Ecuacin de Valor (Traslado de Flujos)



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TNM = 6%

TNA = 18%

TNA = 36%

002.030

06.0'i

0005.0360

18.0'i

001.0360

36.0'i



54/193

20.571,10$001.01

28.918,11P

120

'

1

85.258,10$001.01

20.571,10P

60

''

1

S1 = 40,000 ( 1+0.002 )180 = $ 57,312.57 (Depsito)

S2 = 42,000 ( 1+0.002 )60 = $ 47,349.19 (Retiro)

(Retiro)

53.704,9$005.01

000,10P 602 (Retiro)



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X= $ 10,000

S1 + S2 + X = P1 + P2

57,312.5747,349.19 + X = 10,258.85 + 9,704.53



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Mtodo IIIFactores dinmicos


Factores Dinmicos


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S

TNA = 18%TNM = 3% TNT =10.8%

$ 50,000

$10,000

$ 20,000$ 10,000

Factores Dinmicos

0 100 150 200 360 da



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TNM = 3%

TNA = 18%

TNT = 10.8%

001.030

03.0'i

0005.0360

18.0'i

0012.090

108.0'i



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Para el flujo de $ 50,000 Depsito

160100100 0012.10005.1001.1000,50S

S = $ 70,375.52

Para el flujo de $ 10,000 Depsito

1601000012.10005.1000,10S

S = $ 12,736.32



60/193

PARA FLUJO $ 20,000 (Retiro)

S3= 20000 (1 + 0.0005)50

(1 + 0.0012)160

= $ 24843.87


S4= 10000 (1 + 0.0012)160= $ 12115.31

STOTAL= S1 + S2 - S3 - S4

El valor de S es $ 46,152.66


Factores Dinmicos de Reversa


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S = 46152.66

360100 150 2000 dias

TNA = 18%

360

18.0

TNM = 3% TNT = 10.8%

P = ?10000 20000

10000

TNM= = 0.001

TNA = = 0.0005

30

03.0

TNT = = 0.001290

108.0

Factores Dinmicos de Reversa



62/193

HALLANDO EL VALOR DE P

PARA FLUJO $ 46,152.66 (Retiro)

P1= 46152.66 (1 + 0.0012)-160 (1 + 0.0005)-100 (1 + 0.001)-100

= $ 32,790.28


P2= 10000 ( 1 + 0.0005 )-100 ( 1 + 0.001 )-100

= $ 8,607.62



63/193

PARA FLUJO $ 20000 (Retiro)

P3= 20000 ( 1 + 0.0005 )-50

( 1 + 0.001 )-

100

= $ 17,650.93PARA FLUJO $ 10000 (Depsito)P4= 10000 ( 1 + 0.001 )-100

= $ 9,048.83

PTOTAL= P1 + P2 + P3 - P4

EL VALOR DE PES $ 50,000



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S = 46152.66

360100 150 2000 dias

TNA = 18%

360

18.0

TNM = 3% TNT = 10.8%

5000010000 X

10000

TNM= = 0.001

TNA = = 0.0005

30

03.0

TNT = = 0.001290

108.0

FACTORES DINMICOS



65/193

HALLANDO EL VALOR DE X PARA FLUJO $ 46152.66

P1

= 46152.66 ( 1 + 0.0012 )-160 ( 1 + 0.0005 )-50

= $ 37154.17

PARA FLUJO $ 10000

P2= 10000( 1 + 0.0005 )-50= $ 9753.16

FACTORES DINMICOS



66/193

PARA FLUJO $ 50000

S1= 50000 ( 1 + 0.001 )100 ( 1 + 0.0005 )50

= $ 56654.24

PARA FLUJO $ 10000

S2= 10000 ( 1 + 0.0005 )50= $ 10253.09

FACTORES DINMICOS



67/193

HALLANDO X

X = S1+ S2P1P2

X =$ 56654.24 + $ 10253.09$ 37154.17 $9753.16

X = $ 20,000

FACTORES DINMICOS



68/193



69/193

Mercado de

Tasas de Inters

Tamex

Tipmex

Tamn

Libor

Prime Rate

TIR

Moratoria

CompensatoriaLegal

Activa

Pasiva

Tipmn

Descuento


Grfica de la variacin de la tasa de inters


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V i i d l TAMEX


71/193

Variacin de la TAMEX



72/193

Antes de resolver problemas de inters compuestodebemos hacernos las siguientes preguntas:

Quin manda?

La CapitalizacinCmo sabemos cul es la capitalizacin?

Porque la dan.

Si no la dan, la asumimos diaria.

Siempre existe un problema dentro de otroproblema: el problema de la tasa y

el problema de la operacin

Recordemos


LIBOR


73/193

LIBORLondon Interbank Offered Rate

Tasa a la cual los bancos se prestan entreellos con vencimientos especficos dentro

del mercado londinense.

Prime RateTasa Preferencial

Tasa de prstamo que cargan los bancosa sus mejores clientes.



74/193

TASAS DE INTERES

1. NOMINAL

2. EFECTIVA

3. REAL



75/193



76/193

TASA NOMINAL

TN

Se trata tan solo de un anuncio, de unanominacin; no recoge en su contenido el

producto de las capitalizaciones oacumulaciones de ganancias.

Con esta tasa SLOse permiten dos operaciones:

ATASA NOMINAL ANUAL

MULTIPLICACIN Y DIVISIN

Unidad de tiempo



77/193

TASA NOMINAL

TNA% ANUAL

40601236

12g

CAPITALIZACIN

TrimestralMensualMensualDiaria

Anual

i

1051

0.1

12DIVIDIR

MULTIPLICAR


R d


78/193

Cuando vamos de la TasaNominal a la Tasa del Perodo

se divideCuando vamos de la Tasa del

Perodo a la Tasa Nominal

se multiplica

Recordar



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TASA EFECTIVA


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TASA EFECTIVA

T E A

Es lo efectivamente cobrado o pagado.

recoge en su contenido el producto delas capitalizaciones o acumulaciones

de ganancias.

UNIDADDE

TIEMPO

RECORDAR:A = ANUAL

S = SEMESTRALT = TRIMESTRALB = BIMESTRALM = MENSUAL

D = DIARIA


TASA EFECTIVA


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TASA EFECTIVA

Siempre que dentro de una unidad de tiempo

(por ejemplo: un ao), exista ms de unafrecuencia de capitalizacin; entonces, latasa efectiva ser mayor en nmeroque la

tasa nominal

Con esta tasa slo se permiten dos operaciones:

POTENCIACION

RADICACION

n

n


TASA EFECTIVA


82/193

TASA EFECTIVA

TEA= (1+i)n - 1Frmula:

Tasa de periodo:

11, n TEi

Unidad detiempo


Tener presente que:


83/193

Tener presente que:

En el periodo y slo en l,la tasa nominal y la tasa efectiva,

son iguales.in = ie = i

No se puede trabajar nada en finanzassi no hallo y defino la tasa del periodo (i).



84/193

1 + TE = ( 1+ i ) nDonde:

i= Tasa del periodon = # de capitalizaciones comprendidas en la

unidad de tiempo de la tasa efectiva anunciada.

Es la que PERMITE hacer comparableuna tasa nominal con una tasa efectiva.

RELACION DE EQUIVALENCIA


RECORDAR


85/193

a)Dada una tasa nominal, siempre tendrsu equivalente efectiva.

b)Dada una tasa efectiva, siempre tendrsu equivalente nominal.

c) Manda siempre la capitalizacin, y hayque tener cuidado con el uso y aplicacin

del tiempo.


Relacin de Equivalencia


86/193

Ejemplo 1:

TNA = 40%, capitalizacin trimestral.Hallar la tasa efectiva anual?

Todo debe estar expresado en trimestres

i n

4

Por equivalencia:

= i n= 4

TEA = 1.4641 - 1TEA = 0.4641

i = ? 10.04

40.0 ,, i

n

TNAi

46.41%




87/193

Ejemplo 2:TNA = 60%, capitalizacin mensual

Hallar TEA?.

TEA = (1 + i)n- 1TEA = (1 + 0.05)12 - 1

TEA = 0.79585633 TEA = 79.585633%.

Todo debe estar expresado en meses

i = ? 05.012

60.0 ,, i

n

TNAi

Caso I: Hallar tasa equivalente partiendo

de la tasa nominal




88/193

Ejemplo 3:

TEA = 46.41%, capitalizacin trimestralHallar TNA?

i TEA' 1 1n

i' .0 4641 1 14i= 0.1

TNA = i (n) (100)

TNA = 0.1 (4) (100)TNA = 0.4

TNA = 40%

Caso II: Hallar tasa equivalente partiendo

de una tasa efectiva

Todo debe estar expresado en trimestres


Cuadro Mgico(para convertir tasas)


89/193

i

TN* n

/ n

TE

(1 + i)n -1

11n TE

Creado por: Carlos Door Cabezas


CASO 1 D t i l t f ti


90/193

CASO 1: De tasa nominal a tasa efectiva

TNA = 28.5%, capitalizacin diariaHallar TEA?

TEA = (1 + i)n - 1TEA = (1 + 0.00079166667) 360- 1

TEA = 0.329612

...000791666.0360

285.0

,,

in

TNA

i

TEA = 32.961207%.


CASO 2: De tasa efectiva a tasa nominal


91/193

TE trimestral = 12%, capitalizacin diaria.Hallar TN semestral?

i TET ' 1 1

n

i' .1 012 190

i = 0.001260001....TNS = i (n)

TNS = 0.00126... (180)

CASO 2: De tasa efectiva a tasa nominal

TNS = 22.68001...%



92/193

CASO 3: De tasa nominal a tasa nominal

TNA = 28.5%, capitalizacin diaria Hallar TNT?.

07125.04285.0TNT,

nTNAi

TNT = 7.125%.


CASO 4 D t f ti t f ti


93/193

TE trimestral = 12%, capitalizacin diaria.Hallar TE semestral?.

CASO 4: De tasa efectiva a tasa efectiva

TES = 25.44%

2544.0112.01

112

2

TES

TETTES


Problema de conversin de tasas


94/193

Ejercicio 2:

TET = 8%, capitalizacin mensual.Hallar TNS?

i TET ' 1 1n

i' .1 0 08 13

i = 0.0259855 TNS = i (n)TNS = 0.0259855 (6)

TNS = 15.591341%


Problemas de inters compuesto


95/193

Ejercicio1:

i' .1 0 30 1360

i = 0.0007290552

P = $ 10,000TEA = 30%

n = 90 das

S = ?

S = P (1 + i)n

S = 10,000 (1 + 0.0007290552)90

S = $ 10,677.90


Tasa de descuento


96/193

Tasa de descuento

*

*

* TE1

TEd

Donde:d = Tasa de descuento

TE*= Tasa Efectiva del perodo descontado


Tasa equivalente en funcin


97/193

qa la tasa de descuento

*

*

* d1

d

TEDonde:

TE = Tasa Efectiva del perodod = Tasa de descuento


Ejemplo # 1: De tasa efectiva a tasa de descuento


98/193

Si TEA = 72%, Hallar la tasa de descuento anual?

...%86045.41

...41860451.00.721

0.72d

:anualefectivadescuentodeTasa

d


Ejemplo # 2: De tasa nominal a tasa de descuento


99/193

Si TNT = 18%, Hallar la tasa de descuento anual?

...%2897.51d

...512897.0...0529.11

1.0529...d

:anualefectivadescuentodeTasa

...05295651.11)002.01(TEA

002.090

18.0'i

360


Ejemplo # 3: De tasa de descuento a la tasa efectiva


100/193

Si d = 30%, Hallar la tasa efectiva mensual?

...%016904.3TEM

...03016904.0TEM1-..0.4285714.1TEM

...4285714.030.01

30.0TEA

d1

dTEA

12


LETRA


101/193

LETRA

Valor Nominal: US$ 18,670.00 (S)

Vencimiento: 26 das (n)TEA: 20%

Cul es el valor neto del documento?



102/193

Tasa Efectiva para 26 dasTE26= (1 + 0.000506577047)

26- 1

TE26= 0.01325474362

Tasa de Descuento para 26 das

470005065770.0120.01360,i

20132547436.01

20132547436.026d

d26= 0.0130813536



103/193

Descuento = 18,670 x 0.0130813536

Descuento = US$ 244.23

Valor Neto

18,670 - 244.23

Valor Neto = US$ 18,425.77


Venta al crdito = US$ 10,000 n = 90 das


104/193

$ ,

TEA = 30% S = ?

i = n (1 + ie) - 1

i = 360 1 + 0.3 - 1

i = 0.000729055

S = P(1 + i)n

S = 10,000(1 + 0.000729055)90

S = US$ 10,677.90Cuando se quiera hallar i

el valor n ser el queindique la unidad de tiempo

de la Tasa.

Para hallar S el valor nser el que rige la operacin.


105/193


FACTORES SIMPLES


106/193

FSC = Capitalizacin= Busca futuros = (1 + i)n

FSA = Actualizacin = Busca actuales = (1+ i)-n

Los factores solo son nmeros.

Sern de utilidad para buscar valores futuros opresentes, segn sea el caso, para unadeterminada tasa de inters.

Ejemplo:TEA = 60%

i

i

' .

' .

1 0 60 1

0 0013064182

360

FACTORES SIMPLES


FACTORES SIMPLES


107/193

n

1

30

60

90

360

FSC

1.0013064

1.0399435

1.0814826

1.1246808

1.60

FSA

0.9986953

0.9615906

0.9246566

0.8891411

0.625

Pivot

(1 + i)n

(1 + i)-n



108/193

Tasa Real

TR

= inflacin


Tasa de inters real o libre de inflacin


109/193

Tasa de inters real o libre de inflacin

Simbologa: TR

irFrmula:

1TEiTR r

Esta tasa muestra el efecto neto de los cambios en

el valor del dinero. Representa la ganancia real enel poder de compra.


Valor presente: considerando la inflacin


110/193

a o p ese e co s de a do a ac

Valor constante$ 100,000.00

DolaresFuturos

ValorCorriente

TEA = 20%

1 Ao

Prdidaen ValorPresente

al = 5 %

$ 120,000.00

$ 95,238.10



111/193

Nuevo poder de compra

VPVPNPC

aounenms5%105,000$NPC

100000

5000100000NPC


Tasa Real


112/193

Tasa Real

...%23809.15TR...1523809.0TR

05.0105.020.0TR

1TEATR

A

A

A

A


Valor presente: considerando la inflacin


113/193

p

Valor constante$ 10,000.00

DolaresFuturos

ValorCorriente

TEA = 10%

Tiempo, aos1 2 3

Prdidaen ValorPresente

al = 5 %

$ 13,310.00

$ 8,638.40


LA INFLACIN


114/193

Tasa Efectiva Anual = 10%

Tasa de Inflacin Anual = 5%

5%0 I II III Ao

Nuevopoder decompra

15.763%en tres aos

10,000

10000500

10,500

10500

525.0011,025.00

11025.00551.30

11,576.30

La inflacin crece cadavez que la capitalizo y

me anuncia el nuevo

poder de compra

TASAREAL4.7619...%

TASAINFLADA

15.5%


Tasa de inters inflada


115/193

Tasa de inters inflada

Simbologa: if

Frmulas:

111

))((

TEi

TETEi

f

f

Esta tasa es una combinacin de la tasa de inters

real (ir) y la tasa de inflacin ()


Tasa real y tasa inflada


116/193

Depsito = US$ 10,000.00

Inflacin = 10% aoTEA = 10%

Cul es la tasa real y la tasa inflada equivalentede esta operacin?

01.01

1.01.0

1

r

r

i

TEi

21.0

)1.0(*)1.0(1.01.0

f

f

f

i

i

TETEi

ir = 0 % if = 21 %


Valor Futuro


117/193

00.000,111.01*000,10S

i1PS

1

n,

Valor neto,considerandoCosto de

Oportunidad(TE e Inflacin)

91.090,921.1

000,11V

21.01

000,11V

i1

SV

n

n

f

n

S = $ 11,000.00

Vn= $ 9,090.91


PODER DE COMPRA


118/193

TEA = 10 %

= 10 %

$ 1,000.00

1 ao

$ 1,100.00

Precio delbien X al inicio = $ 10.00

Si Bx= $ 10Qx= 100 unidades Si Bx= $ 11

Qx= 100 unidades

Dinero depositado en banco

Dinero bajo el arbolito

Precio delbien X al final = $ 11.00


Qu hubiera pasado si la inflacin


119/193

phubiera sido 12% y qu si hubiera

sido 8%?

%20.23

...%78571.1

12.1

02.0

12.01

12.010.0

f

r

r

i

i

i

%80.18

...%85185.1

08.1

02.0

08.01

08.010.0

f

r

r

i

i

i

Si = 12 %, entonces: Si = 8 %, entonces:


RECORDAR


120/193

RECORDAR

a) Dada una inflacin, siempreexistir una tasa real.

b) Dada una tasa efectiva y una tasareal, siempre podr calcularse lainflacin del periodo.

c) Manda siempre la capitalizacin,y hay que tener cuidado con el usoy aplicacin del tiempo.


Ejercicio


121/193

Un ex alumno universitario, desea efectuar una donacin al Fondo

Estudiantil de su Alma Mter y ofrece cualquiera de los siguientesplanes:Plan A: $ 42,000.00 ahora.

Plan B: $ 15,000.00 anuales durante 4 aos,empezando dentro de 1 ao.

Plan C: $ 25,000.00 dentro de 3 aos yotros $ 40,000.00 dentro de 5 aos.

La nica condicin es que el dinero sea utilizado paraInvestigacin en temas financieros. La universidad deseaseleccionar el plan que permita maximizar el poder de compra de los

dlares por recibir, de manera que le pide a usted evale los planesconsiderando el impacto de la inflacin.La Universidad considera una tasa efectiva del 10% anual y estima quela tasa de inflacin promedio sea del 3% anual. Qu plan debemosaceptar?


if= 0.10 + 0.03 + (0.10) * (0.03) = 0.133....(13.3%)


122/193

f ( ) ( ) ( %)

Valores Presentes:

VPA= US$ 42,000.00

VPB= US$ 44,340.38

VPC= US$ 38,613.47

15, 15, 15, 15,

25,

40,

MATEMATICAS FINANCIERASCuadro de inflacin proyectada


123/193

mes (%) proy ao acum ac py ao

Enero 2 26.8 2 26.8Febrero 4 60.1 6.1 42.5

Marzo 1 12.7 7.2 31.8

Abril 0.8 10.0 8 26

Mayo 0.6 7.4 8.6

Junio 0.4 4.9 9.1 19

Julio 0.3 3.7 9.4

Agosto 0.2 2.4 9.6Setiemb 0.2 2.4 9.8

Octubre 0.3 3.7 10.1

Noviemb 0.5 6.2 10.7



124/193

Planes de pagos


Qu es el inters al rebatir?


125/193

Cuota = Amortizacin + Inters

Nota: LaAmortizacin, es lo nico que rebaja elprincipal de una deuda.

C = A + I

Es el inters que se cobra sobrelos saldos deudores durante

perodos de frecuencia de tiempoexactos.


Estructura de la cuota


126/193

Cuota = amortizacin + inters

I : Es el inters cobrado sobre el saldo deudor.

A : es la amortizacin y es lo nico que rebaja el

principal de una deuda.

C = A + I


INTERES AL REBATIR


127/193

Puede la amortizacin ser igual acero?

S, pero no rebaja la deuda, slo sepagan intereses.

Puede ser el inters en algnperiodo igual a cero?

S. Si el inters es igual a cero, esque se ha otorgado un plazo degracia total.


Modalidades de pago de deuda


128/193

Modalidades de pago de deuda

MTODO ALEMNMTODO AMERICANO

MTODO FRANCES

CUOTAS CRECIENTES

Aritmticamente

GeomtricamenteSUMA DE NMEROS DGITOS


Los 3 principales mtodos de pago con


129/193

1. ALEMAN = amortizacin fija

2.AMERICANO = pago al final

del plazo.

3.FRANCES = cuota fija

Los 3 principales mtodos de pago coninters al rebatir son los siguientes:


METODO DE P GO


130/193

METODOS DE PAGO

1.- Mtodo Alemn: amortizacin fija,riguroso en su aplicacin.

2.- Mtodo Americano: Slo se pagaintereses y el pago del principal sehace al final del plazo.

3.- Mtodo Francs: Mtodo sofisticado,es el ms usado actualmente; tiene lacuota fija.


Mtodo Alemn


131/193

Mtodo AlemnConocido tambin como

el mtodo de:

Amortizacin Fija

oCuotas Decrecientes


Inters al Rebatir: Mtodo Alemn


132/193

Inters al Rebatir: Mtodo Alemn

Datos:

P = USD$ 100,000

n= 4 cuotas trimestralesTET = 10% trimestral

La amortizacin es fija.

Cunto ser la amortizacin?

A = P/n A = 25,000


Mtodo Alemn


133/193

III TrimestreI = Pin

I = 50, 000 * 0.1 *1I = $ 5,000

Clculo de intereses:I Trimestre

I = Pin

I = 100,000 * 0.1 * 1I = $ 10,000

II Trimestre

I = PinI = 75,000 * 0.1 * 1

I = $ 7,500

IV Trimestre

I = PinI = 25,000 * 0.1 * 1

I = $ 2,500


Cuadro de pagos: Mtodo


134/193

Cuadro de pagos: Mtodo

alemnn saldo amortizacin inters cuota

1 100.000 25.000 10.000 35.000

2 75.000 25.000 7.500 32.500

3 50.000 25.000 5.000 30.000

4 25.000 25.000 2.500 27.500

100.000 25.000 125.000Total


METODO ALEMANcuota decreciente vencida


135/193

cuota decreciente vencida

n SALDO AMORTIZACION INTERES CUOTA

1 100.00 25.00 10.00 35.00

2 75.00 25.00 7.50 32.50

3 50.00 25.00 5.00 30.004 25.00 25.00 2.50 27.50

VERIFICACION:

432 )1.01(

50.27

)1.01(

30

)1.01(

50.32

)1.01(

35

P

P = 31.8+26.9+22.5+18.8 = $100


METODO ALEMANcuota decreciente adelantada


136/193

cuota decreciente adelantada


0 100 25.00 0 25.00

1 75 25.00 7.50 32.50

2 50 25.00 5.00 30.003 25 25.00 2.50 27.50

4 0

VERIFICACION:

32 )1.01(50.27

)1.01(30

)1.01(5.3225P

P = 25+29.5+24.8+20.7 = $ 100


Mtodo Americano


137/193

M m r nConocido tambin como

el mtodo de:

Pago de Intereses y el pagodel principal al final del plazo.

oPeriodo de Gracia


Mt d A i


138/193

Mtodo Americano

Datos:

P = USD$ 100,000Plazo de la operacin: 1 aoForma de pago: 4 cuotas trimestrales

Tasa Efectiva Trimestral = 10%


Cuadro de pagos: Mtodo Americano


139/193

n Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100.000 0 10.000 10.000

2 100.000 0 10.000 10.000

3 100.000 0 10.000 10.000

4 100.000 100.000 10.000 110.000

100.000 40.000 140.000Total


METODO AMERICANOinters constante - pago al final


140/193


1 100.00 0 10.00 10.00

2 100.00 0 10.00 10.00

3 100.00 0 10.00 10.00

4 100.00 100.00 10.00 110.00

VERIFICACION:

432 )1.01(

110

)1.01(

10

)1.01(

10

)1.01(

10

P

P = 9.1 + 8.3 + 7.5 + 75.1 = $ 100


METODO


141/193

COMPARACION

METODO

ALEMAN

METODOAMERICANO


n saldo amortizacin inters cuota1 100.000 25.000 10.000 35.000

2 75 000 25 000 7 500 32 500 METODO


142/193

COMPARACION

2 75.000 25.000 7.500 32.500

3 50.000 25.000 5.000 30.000

4 25.000 25.000 2.500 27.500

100.000 25.000 125.000Total

n saldo amortizacin inters cuota

1 100.000 0 10.000 10.000

2 100.000 0 10.000 10.000

3 100.000 0 10.000 10.000

4 100.000 100.000 10.000 110.000

100 000 40 000 140 000Total

METODOALEMAN

METODOAMERICANO

Cul es el ms barato?


143/193



144/193

Quin sea el ACREEDOR yquin el DEUDOR


Conclusiones


145/193

Los mtodos son IGUALES

El precio solo lo define la TASA DEINTERES

Los montos sumados no sirven paracomparar

La conveniencia de cada sistema

la define el acreedor y/o el deudor.


Modificacin del plan de pagopor modificacin en la conducta


146/193

A.- Pago de una cuota mayor

por modificacin en la conducta

del DEUDOR.

B.- Pago de una cuota menor

C.- Cuando el cliente no puedePagar la cuota.


A.- PAGO DE UNA CUOTA MAYOR


147/193

n Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100,000 25,000 10,000 35,000

2 75,000 25,000 7,500 32,500

3 50,000 35,000 5,000 40,000

4 15,000 15,000 1,500 16,500

100,000 24,000 124,000


B.- PAGO DE UNA CUOTA MENOR


148/193

N Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100,000 25,000 10,000 35,000

2 75,000 25,000 7,500 32,500

3 50,000 15,000 5,000 20,000

4 35,000 35,000 3,500 38,500

100,000 26,000 126,000


C. CUANDO EL CLIENTE NO PUEDE PAGAR NADA


149/193

n Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100,000 25,000 10,000 35,0002 75,000 25,000 7,500 32,500

3 50,000 25,000 5,000 0

4 50,000 50,000 10,500 60,500100,000 28,000 128,000


Mtodo Frances


150/193

Conocido tambin comoel mtodo de:

Cuota Fijao

Cuota Constante

Mtodo Frances


Mtodo FrancesCuota fija o Cuota Constante - Vencida


151/193


1 100.00 21.50 10.00 31.50

2 78.50 23.60 7.90 31.50

3 54.90 26.00 5.50 31.504 28.90 28.90 2.90 31.50

VERIFICANDO:

P = 28.6 + 26.0 + 23.7 + 21.5 = $ 100

j


Mtodo FrancesCuota fija o Cuota Constante - Adelantada


152/193


0 100.00 28.70 0.00 28.70

1 71.30 21.60 7.10 28.70

2 49.70 23.70 5.00 28.70

3 26.00 26.00 2.60 28.70

4 0

VERIFICANDO:

32 )1.01(70.28

)1.01(70.28

)1.01(70.2870.28P

P = 28.70 + 26.10 + 23.70 + 21.60 = $ 100

j


CUOTA CRECIENTEaritmticamente


153/193

ar tmt camente

0 1 2 3 4

R+0

R+10R+20

R+30


13

GRADIENTE ARITMETICA


154/193

...........

0 1 2 3 4 .............. n

100110

12

0

0

...............

0 1 2

G2G

3G

(n-1)G

3 4 ............. n


Gradiente Aritmtica


155/193

ni

Gn

i

G

i

GP

)1(

)1(

....)1(

2

)1( 32

))1(

)1(....

)1(

2

)1(

1(

32 ni

n

iiGP

))1(

)1(....

)1(

2

)1(

1()1(

1ni

n

iiGiP

))1(

1

)1(

)2()1(....

)1(

23

)1(

12

)1(

1()1(

132 nni

n

i

nn

iiiGPiP

... I

... II

... III

...IV

Factor comn G:

Multiplicamos ambos miembros por (1+i)

Restando II de III:

ojo


Resolviendo:

nGiP

1111* V


156/193

nnn iiiiiGiP

)1()1()1(...

)1()1(*

12 ... V

Nota: el corchete es una Progresin Geomtrica cuyarazn es:

ir

1

1 Y su primer trmino es:i1

1

Recordemos que la suma de trminos de una Progresin

Geomtrica esta dada por la siguiente frmula:

1

1

r

raSuma

n

Entonces

11

1

11

1

*1

1

i

i

i

n

Resolviendo:n

n

ii

i

)1(*

1)1(


Reemplazando en ...Vnn

n

i

n

ii

iGiP

)1()1(*

1)1(*


157/193

)()(

Ordenando, obtenemos:

Valor Presente de la Anualidad de los Gradientes

nn

n

i

n

ii

i

i

GP

)1()1(*

1)1(


Frmula


158/193

ACTUALIZACION DE GRADIENTES:

44

4

)1.01(

4

)1.01(1.0

1)1.01(

1.0

10

P = 43.78

nn

n

'i1

n

'i1'i

1'i1

TE

GP


CALCULO DE LA CUOTA DE PARTIDA:


159/193

P DE ORIGEN = 100

BASE DE CALCULO 100 - 43.78 =56 22

R = P * FRC R = 17.74

n Saldo Amortizacin Inters

Cuota

1 100.00 7.74 10.00 17.74

2 92.26 18.51 9.23 27.74

3 73.75 30.36 7.38 37.74

4 43.39 43.40 4.34 47.74

Verificacin:432 )1.01(

74.47

)1.01(

74.37

)1.01(

74.27

)1.01(

74.17P

P = 100


800

)1(nRg


160/193

..............

100200

400

800

FORMA GENERAL...................

RRg

2Rg

3Rg)1(nRg


nRRRR *** 12

Gradiente Geomtrica


161/193

n

n

i

gR

i

gR

i

gR

i

RP

)1(

*...

)1(

*

)1(

*

1

1

3

2

2

Factorizando R

n

n

i

g

i

g

i

g

iRP

)1(...

)1()1(1

1*

1

3

2

2

NOTA: el corchete es una progresin geomtrica cuya razn esg / (1+i) y su primer trmino1 / (1+i)

La suma de trminos estar dada por:

1)1(

11

1

1

i

g

ig

i

n


Resolviendo:

)1( ig nn


162/193

)1()1( igi

n

Reemplazando y ordenando:

)1(

)1(

)1( ig

ig

i

R

P

nn

n


CUOTA CRECIENTEgeomtricamente


163/193

geomtricamente

)1(

)1(

)1( ig

ig

i

RP

nn

n

)1.01(5.1

)1.01()5.1(

)1.01(*10044

4

R

Gradiente = 1.5

R = 16.28 n Saldo Amortizacin Inters Cuota

1 100.00 6.28 10.00 16.28

2 93.72 15.04 9.37 24.41

3 78.68 28.75 7.87 36.62

4 49.93 49.93 4.99 54.93

Verificacin:432 )1.1(

93.54

)1.1(

62.36

)1.1(

41.24

)1.1(

28.16P = 100


Suma de Nmeros Dgitos


164/193

n Proporcin Saldo Amortizacin Inters Cuota

1 1/10 100 10 10 20

2 2/10 90 20 9 29

3 3/10 70 30 7 37

4 4/10 40 40 4 44

10 10 / 10


Verificando:


165/193

Verificando:

432 )1.1(

44

)1.1(

37

)1.1(

29

)1.1(

20P

P = 18.18 + 23.97 + 27.80 + 30.05 = $ 100


Matemtica


166/193

m

FinancieraSeries uniformes,Anualidades

o Rentas


Tipos de Rentas:


167/193

TEMPORALES

PERPETUAS


168/193


Rentas


169/193

TEMPORAL

PERPETUA

INMEDIATA

ADELANTADA


Grficos de rentas


170/193

1.- Temporales

2.- Perpetuas

1.1.- Inmediata1.1.1 adelantada

1.1.2 vencida1.2.- Diferida

1.2.1 adelantada

1.2.2 vencida

2.1.- Inmediata2.1.1 adelantada

2.1.2 vencida2.2.- Diferida

2.2.1 adelantada2.2.2 vencida


Renta


171/193

Tiene 2 caractersticas:

1. UNIFORMEcantidad definida

2. FRECUENCIA EXACTAresponde a una frecuencia fija de

tiempo (mes, trimestre, semestre,ao)


Diagrama de Rentas


172/193

0 1 2 3 n-1 n

R R R . R R

FAS

FRC

Me da P =>

Me da R =>Me da S =>

Me da R =>

FCSFDFA


173/193


174/193


Factores


175/193

FCS Factor de la Capitalizacin de la Serie

FDFAFactor de Depsito al Fondo de

Amortizacin

FAS Factor de la Actualizacin de laSerie

FRC Factor de Recuperacin deCapital (mtodo francs)


Para saber qu factor utilizar

es necesario saber lo siguiente:


176/193

es necesario saber lo siguiente:

Ubicar la capitalizacin

Es fundamentalidentificar lafrecuencia fija en que se manifiesta la

anualidad o la rentaPara cualquier clculo tendr queusar la tasa efectiva correspondiente

a la frecuencia

Ubicar datos

Definir qu factor usar


Circu i to Financ iero


177/193

Factor de Capitalizacin de

la Serie

(1 + i)n- 1

iFCS =

S = R * FCS

Factor de Depsito al Fondo de

Amortizacin

i

(1 + i)n- 1FDFA =

R = S * FDFAFactor de Actualizacin

de la Serie

(1 + i)n- 1

i (1 + i)nFAS =

P = R * FAS

Factor de Recuperacinde Capital

i(1 + i)n

(1 + i)n - 1FRC =

(Cuota Fija) R = P *FRC


Pasos a seguir


178/193

1. Ubicar la capitalizacin2. Es fundamental identificar la frecuencia

fija en que se manifiesta la renta

3. Para cualquier clculo tendr que usar latasa efectiva correspondiente a la

frecuencia. Nunca se puede trabajar con latasa nominal.

4. Ubicar los datos.

5. Definir qu factor usar.


Circuito financiero: CASO I


179/193

S= R* FCS

Factor de Capitalizacin dela Serie

TEf

TEfFCSn 11


Ejemp lo: Caso IFacto r de Cap ital izacin de la serie


180/193

Facto r de Cap ital izacin de la serie

Hoch piensa ahorrar $ 100

cada mes durante los prximos5 aos a una tasa efectiva de0.8% mensual.

Cunto tendr al final?


Datos:TEM= 0.8% R = $ 100.00


181/193

n = 5 aos = 60 mesesS= ?

62386684.76008.0

1008.01 60

FCS

FCS

S= 100 * 76.62386684S= US$ 7,662.39


Circuito financiero: Caso II


182/193

R = S * FDFA

Factor de Depsito al Fondode Amortizacin

11 ,

,

ni

iFDFA


Ejemp lo : Caso IIFacto r de Depsito al Fondo

d A i i


183/193

de Amor t izacin

Dentro de 5 aos Barriguitatiene que ir al colegio y la cuota

de ingreso cuesta $ 7,662.39.Cunto tendr que ahorrar la

familia mes a mes para

completar la cuota de ingresosi le pagan una TEM del 0.8%?


Datos: TEM= 0.8%n = 5 aos = 60 meses


184/193

S = $ 7,662.39R = ?

01305076.0612990935.0

008.0

1008.01

008.0

60

FDFA

FDFA

R = 7,662.39 * 0.013050764 R = $ 100.00


Circuito financiero: Caso III


185/193

P = R * FAS

Factor de Actualizacin dela Serie

n

n

TEfTEfTEfFAS1

11


Ejemp lo: Caso IIIFacto r de Actualizac in de la Serie


186/193

La Compaa Colesi tiene encartera 6 letras de valor nom inal

US$ 12,000.00 cada una y convencim ientos escalonados cada60 das, las qu iere descon tar en

el banco que cobra una TNA del24%. Cul sera el abono neto?


OJO: Primero tienes quetransformar la TNA a TEB


187/193

transformar la TNA a TEB

Capitalizacin diariaFrecuencia bimestral

...80407969031.0TEB1...0006666.01TEB

...000666.0360

24.0i

60

,


Datos: TEB = 4.079690318%n = 6 Bimestres


188/193

R = $ 12,000.00P = ?

228564478.50518558879.0

271147497.0FAS

80407969031.0180407969031.0

180407969031.01

FAS 6

6

P = 12,000 * 5.228564... P = US$ 62,742.77


Circuito financiero: Caso IV


189/193

R = P * FRC

Factor de Recuperacin deCapital

111

,

,,

n

n

i

iiFRC


Ejemplo : Caso IVFacto r de Recuperacin de Capital


190/193

Un banco f inanc ia el viaje de un equ ipo deejecutivos de la empresa Cuernfono

SAA a una feria, y otorga un crdito por $100,000.00 a un ao, que ser

reembo lsado mediante el pago de cuotas

tr im estrales a una TET del 10%.Cul ser la cuota f i ja tr imes tral que

deber pagar el c lien te?


Datos: TET = 10%n = 4 TrimestresP $ 100 000 00


191/193

P = $ 100,000.00R = ? (Cuota Fija)

31547080.04641.0

14641.0110.01

10.0110.04

4

FRC

FRC

R = 100,000 * 0.315470804 R = $ 31,547.08


192/193



193/193

Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)

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