SILOGISMOAK eta LOGIKA MATEMATIKOA

1, CARRERA

2. SILOGISMOAK LOGIKA OHIZKOAN

3, ENUNTZIATUEN FORMALIZAZIOA

4. SILOGISMOEN FROGAKETA

1. CARRERA

Lan honekin helburu bikoitz bat bete nahi nuke, alde batetik logikan erabiltzen den hiztegia lantzea eta aberastea (proposamen gisa) eta bestetik logika ohizkoaren eta berriaren artean dagoen zubia erakustea, oso ezaguna den gaia azalduz.

Hasiera honetan bertan gero erabiliko dugun terminologia zehaztea iruditzen zait onena.

Proposamendua: zerbait baieztatzen edo ukatzen duen perpausa

izenak: p, q, r, S, ,,,

adibidea: p: "Staljn ez da hizkuntzalari bat izan" q: "lribar zarauztarra da"

Konektakariak: proposamendu molekularrak sortzeko erabiltxen di- ren loturak.

(7) UKAZIOA: p: "gaur astelehena da" 7p: "gaur ez da astelehena"

{Al KONJUNKZIOA:

p: "gaur astelehena da"

,., eta... ~ A q - p e t a q

q: "gaur euria ari du"

"gaur astelehena da eta euria ari dci"

¡VI DISJUNKZIOA:

p: "gaur astelehena da"

.,.@do.,, ~ v q - p e d o q

q: "gaur euria ari du" "gaur astelehena da edo euria ari du"

(-r) BALDINTZA:

p: "Jon etortzen da"

baldin.., p -* q - baldin p orduan q orduan.. .

q: "zinera joango gara"

"Baldin Jon etortzen bada orduan zinera joango gara"

(-1 BALDINTZA BIKOITZA:

p: "Jon etortzen da"

baldin eta soilik baldin ... orduan,.,

p - q - baldin eta soilik baldin p orduan q

q: "zinera joarigo gara"

"Baldin eta soilik baldin Jon etortzen bada orduan zinera joango gara"

Konektakari hauen definizioa eta egi taulak ELHUYAR zenbakian ikus daitezke.

2. SILOGISMBAK LOGIKA OHIZKOAN :

"Socrates gizona da"

"Gizon guztiak hilkorrak dira"

Beraz; "Socrates hilkorra da"

Horra hor oso silogismo famatua, nolabait Socrates-en hilkortasuna frogatzen duena.

Zertaz ohartzen gara silogismo bat ikustean?

a) Arrazonamendu bat dela; zeren eta datu ezagun batzuetatik ezeza- guna den ondorio bat atera nahi bait da.

b) Hiru enuntriatu erabiltzen direla: "Socrates gizona da" "Gizon guztiak hilkorrak dira" "Socrates hilkorra da"

enuntziatua proposamendu bat da, baina bakarrik SUBJEKTU, AOlTZ eta PREDIKU elementuz osatua

Socrates gizona da

SUBJEKTUA PREDIKUA ADITZA

SUBJEKTUARI eta PREDlKUARl enuntziatuaren terminoak esaten zaie.

Lehenengo bi enuntziatuek PREMISA izena hartzen dute, eta hiru- garrenak ONDORIOA.

c) Hiru Termino azaltzen direla: Socrates, gizona eta hilkorra dira azal- tzen diren terminoak

Lehenengo terminoa (A) : Lehenengo premisan eta ondorioan azal- tzen dena

A -= Socrates

Erdiko terminoa (B) : Lehenengo eta bigarren premisan azaltzen da baina ondorioan ez

B = gizona

Bigarren terminoa (C): bigarren premisan eta ondorioan azaltzen dena

C == hilkorra

Erdiko terminoa galdu egiten da silogismoan eta ondorioan lehenengoa eta bigarrena azaltzen dira.

2.1, Silogismoaren egitura

Segun terrninoak nola dauden banatuak, halakoa da silogismoaren egitura.

Guk idatzitako silogisrnoaren egitura zera da:

A - B "Socrates gizona da"

B -- C "Gizon guztiak hilkorrak dira"

A - C Beraz: "Socrates hilkorra da"

Zeintzuk izango lirateke egitura posible guztiak?

Galdera honi erantzuteko. hona hemen eskerna.

LEHENENGO PREMISAREN SUBJEKTUA A

LEHENENGO PREMISAREN PREDIKUA

I B

BIGARREN PREMICAREN / \ SUBJEKTUA B C

BIGARREN PREMISAREN PREDIKUA

I C

I 0

Eskema honek, beraz, lau egitura desberdin eskaintzen ditu

A - B A - B B - A 0 - A 1. 2. 3. 4.

B-C C - B B -- C C - B

Lau egitura hauek hirutan laburtzen dira, 1 eta 4 berdinak bait dira on.- doren frogatuko dugun bezala.

Argi dago premisen ordenak ez duela silogismoa aldatzen: honekin zera esan nahi da:

"Gizon guztiak hilkorrak dira" "Socrates gizona da" "Socrates gizona da" "Gizon guztiak hilkorrak dira"

Beraz: "Socrates hilkorra da" Beraz: "Socrates hilkorra da"

Bi silogismo hauek berdinak dira nahiz eta prernisen ordena ti-ukatcia egon.

Arrazoi hau dela bide. har dezagun 4 egitura eta truka dezagun premi- sen ordena:

B - A A - B A, C- en bihurtzen da, bigarren premisan 4. 1. izanik bigarren terminoan bilakatzen bait

C - B B - C da; gauza bera esan dezakegu C A bi- hurtzeko eman behar den arrazoiaz.

Egiridako eskeman eta geroxeayo emandako arrazoietan finkatuz,hiru egitura desberdin daudela baiezta dezakegu.

1 -1rudia B - A 2-lrudia A - B 3-lrudia B - A

C - B C - B B - C

C - A C - A C - A

Guk emandako silogismoa (Gizon guztiak ... ) 1. IRUDIA-rem adibide bat da.

2.2. ENUNTZIATUEN SAILKETA

Lau enuntziatu-klase bereizten dira:

Baiezkor unibertsala -A- "Gizon guztiak hilkorrak dira" (Afirmo)

Baiezkor partikularra -1- "Gizon batzuk euskaldunak dira"

Ezezkor unibertsala -E- "lnongo gizon ez da aingerua" (nEgO)

Ezezkor partikularra -O- "Gizon batzuk ez dira euskaldunak"

Egitura desberdinak eta enuntziatu-mota desberdinak elkartuz silogismo desberdinak azalduko dira: hona hemen irudi bakoitzeko zenbat silogismo desberdin sor daitezkeen, segun premisetan eta ondorioan dauden enun- tziatuak nolakoak izan.

A L E 0 A I E O A I E O A I E O A l E O A l E O A l E O A l E O A I E O A l E O AlEO AlEO A I E O A l E O AlEO A lEO

1 1 1 1 I l l l l l l l l l l i l l l l l l i l l l l l l l l l l l l l l l l l 1 1 1 1 1 1 1 1 l l l l l l l l llll llll AAAA A A A A AAAA A A A A 11 1 1 1 1 11 I 11 I 11 1 1 EEEE EEEE EEEE EEEE 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A 1 1 1 1 E E E E 0 0 0 0 M A A I I I I E E E E O O O O A A A A 1 1 1 1 E E E E O O O O A A A A I I I I EEEE 0 0 0 0 AIEO A I E O AIEO AIEO AIEOAIEOAIEOAIEO A I E O A IEO AIEOAIEO AIEOAIEO AIEO AIEO

64 silogismo irudi bakoitzeko, baina 3 irudi daude, beraz 64 x 3 = 192.

192 silogismo desberdin guzti hauek arrazoiketa on bat bideratzen al dute? edo batzuk bide segurua diren bitartean beste batzuk bide okerra gertatzen al dira?

Hona hemen 1 IRUDIA-ren AIA

silogismo faltsu bat

A "Errenteriar guztiak gipuzkoarrak dira"

I "Gipuzkoar batzuk euskaldunak dira"

A "Errenteriar guztiak euskaldunak dira"

Denak ez direla seguruak argi dago, baina zeintzuk bai eta zeintzuk ez?

Galdera honen erantzuna ezaguna da oso aintzinatik, eta hor dago de- lako erregela nemotekniko,.t~ori;

1. IRUDIA bArbArA, cEIArEnt, dArll, fErlO. (AAA, EAE, All, EIO)

2. lRUDlA cEsArE, cAmEstrEs, fEstlnO, bArOcO (EAE, AEE, EIO, AOO)

3. l RU DlA dArAptl, fEIAptOn, dlsAmls, dAtlsl, bOcArd0, fErlsOn (AAI, EAO, \Al, Al l , OAO, EIO)

Beraz, eta hemen esaten dena onartzen badugu, 14 dira silogismo onak eta 178 faltsuak, ikus dezagun adibide batzuen bidez puntu hau:

SlLOGlSMO ONAK

bArbArA:

A Jon altuagoa da Andoni baino B - A A Kepa altuagoa da Jon Baino C - B

A Kepa altuagoa da Andoni baino C - A

1. Irudian:

A Jon altuagoa. da Andoni baino B - A

A Kepa aituagoa da Jon baino C - B - SILOGISMO FALTSUA

E Kepa ez da altuagoa Andoni baino C - A

E lnongo katu ez da astronauta B - A A Katu beltz guztiak katuak dira C - B

E lnongo katu beltz ez da astronauta C - A

E lnongo errenteriar ez da ingles A - B I Gizon batzuk inglesak dira C - B O Gizon batzuk ez dira errenteriarrak C - A

2. Irudian:

l Leoi batzuk indartsuak dira A - B I Lepaluze batzuk indartsuak dira C - B - SILOGISMO FALTSUA

I Lepaluze batzuk leoiak dira 6 - A

A Leoi guztiak indartsuak dira A - B O Sagu batzuk ez dira indartsuak C - B O Sagu batzuk ez dira leoiak C - A

3. Irudian:

E lnongo otso ez da ardi I Otso batzuk itsuak dira

I ltsu batzuk ardiak dira

0 - A B - C - SILOGISMO FALTSUA

C - A

I Euskotar batzuek ELHUYAR irakurtzen dute B - A A Euskotar guztiek euskara maite dute B - C I Euskara maite duten batzuek ELHUYAR irakurtzen dute C - A

O lnongo otso ez da ardi B - A A Otso guztiak basatiak dira 0 - C O lnongo abere basati ez da ardi C - A

Izan ere, eta hemen sartuko da logika matematikoaren eginkizuna, nola frogatu zeintzuk diren onak eta zeintzuk faltsuak? Ez bait dirudi emandako adibide horiek nahiko arrazoi pisuzko direnik; beste modu batez.saiatu beharko ginateke gai honetan: halaz ere, eta silogismoaren formalizazioa burutu aurretik enuntziatuena egin beharko denez, hemendik hasiko gara.

Has gaitezen enuntziatu atomikoetatik "terminoen" esanahia ondo defi- nitzen

"Elhuyar kimikari bat zen"

"Elhuyar" termino bat da, pertsona baten izena denez, termino batetik ezin daiteke esan zuzena ala okerra den: izatekotan, norbait edo zerbaiteki- ko okerra dela esan beharko litzateke

"Elhuyar igeltsero ba t zen"

Har dezagun orain

O . . . kimikari bat zen" expresioa; expresio mota hauek "funtzio proposi- zionalak" deitzen dira eta ...... puntu hauen tokian termino bat jartzen denean enuntziatu bat sortzen da.

Enuntziatuak bi zati ditu:

terminoa eta predikua

Elhuyar kimikari bat zen

Predikua letra handi batez adieraziko dugu: "kimikari bat zen" K,termino letra txiki batez: "Elhuyar" e.

Enuntziatua: "Elhuyar kimikari b%t zen" -K e

Funtzio proposizionala: "...... kirnikari ba t ?en" - Kx

3.1. Zenbatzaileak eta enuntziaxu-motak

Lehenago esan genuen bezala lau enuntziatu-mota bereizten dira:

a) baiezkor unibertsalq: "euskaldun guztiak egoskorrak dira"

b ) baiezkor partikularra: "euskaldun batzuk egoskorrak dira"

C ) ezezkor unibertsala: "inongo euskaldun ez da egoskor"

d) ezezkor partikularra: "euskaldun batzuk ez dira egoskorrak"

Dena dela, enuntziatu hauek matemat.ikoki adierazteko "zenbatzaile" edo "kuantifikatzaile" delako ikur matematikoak erabiltzen dira.

"Zenbatzaile edo kuantifikatzaile unibertsala" V izena: "oro'

"Kx"-en bidez " ... komunista da" funtzio proposizionala adierazten ba- dugu

"VxKx"en bidez ':.. guztia komunista da" funtzioa- adieraziko dugu

"zenbatzaile edo kuantifikatzaile existentziala" 3, izena: "existitzen da ... non"

"Hxr'en bidez O.. . humanista da" funtzio proposizionala adierazten ba- dugu

"3xHx"-en bidez "... batzuk humanistak dira" funtzioa adierazten dugu

"VxKx" era formalizatuan irakurtzen badugu zera litzateke: "oro x komu- nista da"

"3xHx" era formalizatuan irakurtzen badugu mera litzateke: "existitzen da x non humanista da"

3.2. Enuntziatuen era formalizatua

Zenbatzaile hauek erabiliz hona hemen enuntziatu desberdinen era formalizatua:

"... katua da" Kx funtzio proposirional~ik

" ... grisa da" Gx

A) baiezkor unibertsala: "katu guztiak grisak dira"

'Jx(Kx - Gx): "oro x, baldin Kx orduan Gx"

1 ) baiezkor partikularra: "katu batzuk, grisak dira"

3x(Kx A Gx): "existitzen da x non, Kx eta Gx"

E) ezezkor unibertsala: "inongo katu ez da gris"

b i era daude:

- 1 3 x ( K x A Gx): "ez da existitzen x non, Kx eta Gx"

-Vx(Kx -+ 1Gx): "ciro x, baldin Kx, orduan ez Gx'

O) ezezkor partikulerra: "katu batzuk ez dira grisak"

bi era daude:

- l V x ( K x -+ Gx): "ez oro x, baldin Kx orduan Gx"

- 3x(Kx A 1Gx): "existitzen da x, non Kx eta ez Gx"

76

4. SILOGISMOEN FROGAKETA

Enuntziatuen formalizazioa aztertu ondoren saia gaitezen silogismoekin.

Silogismoek, arrazoiketak direnez, arrazoiketen egitura dute: hots, pro- posamendu baldintzazkoa.

P R S Arrazoiketaren egitura zera da: (PARAS ... - Z

Silogismoek b i piemisa dute eta ondorio bat: hori dela eta, kasu honetan egitura zera da:

Dena dela, bai P, R edo Z enuntziatu-klase desberdinetakoak izar1 dai- tezke: A, 1, E edo 0.

Ikuc dezagun eskema hau onartuz bArbArA silogismo bati dagokion egitura:

A: B - A b - a A: C - B - c - b (b -+ a) A (c -+ b ) -+ ( C - a) A: C - A c - a

Izan ere, ondorisa baldíntaazko ba ida.

P P arrazoiketak berdinak direla oso propietate R R inportantea da: frogatzeko, bi premisa erabiliz S eta S azaltzen diren formulen egi taulak ikusiko

ditugu

P

z - z -+ U U

P b) R ( P A R A Z ) - U

z - U

P R Z U PAR Z-U m v v v v v v V V V F V F V V F V V V V V F F V V V F V V F V V F V F F F V F F V F V V F F F F V F V V V F V F V V F F F F V F V F V F V F F F V F F V V F V F F V F F F F F F V F V F F F F F V

PARAZ v v F F F F F F F F F F F F F F

Silogismo bat frogatzeko, arrazoiketa arruntetan erabiltzen diren infe- rentzi legeetatik aparte beste berri batzuk erabiltzen dira:

INFERENTZI LEGEAK:

Modus ponens (M P): A -+ B "arrantzalea bada hogei urte baino zaharragoa da"

A "arrantzalea da"

B "hogei urte baino zaharragoa da"

Modus tollens (MT) : A - B "euria ari badu busti egingo gara" 1 B "ez gara busti"

1 A "ez du euria ari"

Ukazio bikoitza ( U B) l ( 7 A ) "ez da egia ez dela etorri" A "etorri egin da" A "oso alaia da"

l ( 1 A ) "ez da egia ez dela alaia"

Konjlankzioa (Konj): A "tontoa da" B "ez da konturatzen"

A A B "tontoa da eta ez da konturatzen"

A tontoa da B ez da konturatzen

B A A "ez da konturatzen eta tontua dan"

Sinplifikazioa (simp): K A B "tontoa da eta altua" A "tontoa da" A A B "tontoa da eta altua"

B "altua da"

Silogismo disjunktiboa (SD): A v B A v B "Jon edo Andoni da" 1 A 1 B - - "ez da Jon"

B A "Andoni da"

Batuketa (Bat) :

Dilema (Di l ) :

A "Aristoteles filosofo bat zen" A v B "Aristoteles filosofo bat zen edo

Napoleon astronauta zen"

A v B "Jon edo Andoni da" A + C "Jon bada altua da" B + D "Andoni bada potoloa da"

C v D "altua edo potoloa da"

Erredukzio absurdsraino (EA): A - (B A 1B) "erditik pasatzen bada sar- tuko da eta ez da sartuko"

A "ez da erditik pasatzen"

Koinplikazioa: A - B R -4 A

A - B A - B - . .

A - B A--. B B - A

"Hiru alde baditu hirukia da" "hirukia bada hiru alde ditu"

"baldin eta soilik baldin hiru alde baditu hi- rukia da"

"lnferentzi lege" hauek onak dira bakoitzari dagokion formularen egi taula tautologia ba? h i t da; iltus dirzagun "Modus tollens" eta "silogismo disjunktiboen" formulak eta taulak adibide gisa.

Modus tollens (MT)

P + q 1 4

formula: (p -t q) A l q - l p

p q l p 7q p " q (p+q)A7q ( p - q ) A l q - + %

V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F v F F V V V V V

Silogismo disjunktiboa (SD)

P V 9 7 P

formula: (p v q) A l p -+ q

V F F V F F V V V V F F V F F

Metodo honen bidez froga daitezke "inferentzi lege" guztiak: eta azke- nean lege hauen benetazko oinarria da.

Enuntziatuen kasuan ondorengo beste lege hauek gehitii behar zaizkie aurrekoei:

1 . Zenbatzaile unibertsala ezabatzeko legea (ZU)

Dominio baten elementu guztientzako egia denak, dominio horren ele- mentu batentzako ere izan beharko du.

"Azpeitia familiaren senide guztiak errenteriarrak dira"

"Julen Azpeitia errenteriarra da"

2. Generalizazio itnibertsalaren legea (GU)

a, dominioaren elementu edozein bat bada; hots, bereziki aukeraturik ez dagoena.

3. Generalizazio existentzialaren legea (GE)

a, dominioaren elementu konkretu bat izan daiteke; halaz ere, batentzat betetzen bada .egia da norbait dagoela funtzioa betetzen duena.

4. Espezifikazio existentziala (EE)

Halaz ere, a-k ezin du izan dominioaren baiio edozein bat; izatekotan funtzioa betetzen duen balioetariko bat izan beharko du.

Saia gaitezen oraín, ezagutzen ditugun inferentzi lege guzti hauekin, silogismoak frogatzen.

bArArA silogismoa:

A Vx (Cx -+ Bx) Vx (Cx 3 Bx)

A Vx (Gx -t Ax) Vx Gx

t/x ( 8 x 3 Ax) Vx (Gx -* Bx) vx Cx

ZU-(1) B a - + A a ZU-(2) Ga + Ba ZU-(3) Ga MP(5,6) Ba MP(7,4) Aa GU(8) Vx Ax

dArll silogismoa

A Vx (Bx-. Ax) I 3x (Cx A Bx)

I Eix (Gx A Ax)

CAmEstrEs silogismoa

Vx(Bx -. Ax) (1 ) 3x(Cx A Bx) (2 )

ZU(1) Ba - Aa (3 ) EE(2) Ca A Ba (4 ) Sirnp(4) Ca (5 ) Sirnp(4) Ba (6 ) MP(6,3) Aa (7) Bat(5,7) Ca A Aa (8 ) GE(8) i x (Cx A Ax)

Vx (Ax - Bx) Vx (Cx 1Bx) v x Cx

ZU(1) Aa -. Ba Z U ( 2 ) Ca+ 1Ba ZU(3) Ca

MP(6,5) 1Ba MT(7.4) 7Aa GU(8) Vx -* 7Ax

dAtlsl silogismoa

A Vx íBx -Ax ) I 3x (Bx A Gx)

I 3x (Cx A Ax)

Vx (Bx+Ax ) ( 1 ) 3x (Bx A Cx) (2)

ZU(1) Ba - Aa (3) EE(2) Ba A Ca (4) Sirnp(4) Ba ( 5 ) Sirnp(5) Ca (6) MP(3,5) Aa ( 7 Bat(6.7) Ca A Aa (8 ) G E ( 8 ) Sx(Cx A Ax)

bOcArdO silogismoa

O 3x (Bx A 1Ax) A Vx (Bx -+ Cx) O 3x (Gx A 7Ax)

3 x ( B x A l A x ) ( 1 ) Vx (Bx -. Cx) (2)

EE(1) Ba A 1Aa (3) ZU(2) Ba -+ Ca (4) Simp(4) Ba (5) Simp(4) 1Aa (6) MP(4,5) Ca (7) Bat(6,7) Ca A 1Aa (8) GE(8) 3x (Cx A 1Ax)

Era honetan jarraituz silogismo guztiak froga daitezke, teorian behintzat. Ni ez naiz oso trebea gai honetan eta batez ere gai hauek euskaraz jartzen saiatu naiz. Hori dela eta fElAptOn silogismoa frogatu ezinean aurkitu naiz; norbaitek egingo balu, eskertuko nioke egin duen frogaketa bidaltzea.

lnformazio gehiago nahi duenak jo beza:

a) Lógica, lingüística y matemáticas. Editorial Anagrama. Sebastián Serrano.

b) Lógica de proposiciones. Alianza Editorial, AU64. Alfredo Deaño.

c) Lógica de predicados. Alianza Editorial, AU 142. Alfredo Deaño.