Sistemas Automaticos de Control Clase 3

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

FACULTAD INGENIERIAS

PROGRAMA DE BIOINGENIERIA

SISTEMAS AUTOMATICOS DE CONTROL

Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1. INTRODUCCIÓN

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que

forma parte de ciertas transformadas integrales como la

transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la

transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están

definidas por medio de una integral impropia y cambian una

función en una variable de entrada en otra función en

otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada

para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones

Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con

coeficientes variables, en general se aplica a problemas con

coeficientes constantes. Un requisito adicional es el

conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su

mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable

independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Pierre Simon Marquéz de Laplace

(1749-1827) matemático y astrónomo

francés tan famoso en su tiempo que se

le conocía como el Newton de Francia.

Sus principales campos de interés fueron

la Mecánica Celeste, o movimiento

planetario, la teoría de probabilidades, y

el progreso personal.






Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada,

se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico.

La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y

posteriormente usar las propiedades de la transformada. El

problema de ahora consiste en encontrar una función en la

variable independiente tenga una cierta expresión como

transformada.

Recuerde que cuando se habla de la transformada de Laplace,

generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe

la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace típicamente existe para todos

los números reales , donde es una constante que

depende del comportamiento de crecimiento de .

2.2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea una función definida para ; entonces la integral

0 0

)(lim)(

b

st

b

st dttfedttfe

Se llama transformada de Laplace, siempre que el límite

exista.






Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta

Sean y las transformadas de Laplace de y

respectivamente. Entonces:

2. Multiplicación por una constante

Sea una constante y la transformada de Laplace de

. Entonces:

3. Diferenciación

Sea la transformada de Laplace de , y es el

límite de cuando tiende a cero. La Transformada de

Laplace de la derivada con respecto al tiempo de es:

)(lim

0tf

t

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

4. Teorema del Valor Inicial

Si la Transformada de Laplace de es , entonces:

)(lim)(lim0

ssFtfst

si el límite existe.






1

2

3

4

5

6

7

8

Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales

Ejercicio Resuelto:

Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio

del uso de tabla:

Aplico Transformada de Laplace:

(1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la

suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se

puede expresar como:

(2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su

correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar

las propiedades:






por lo tanto:

2.3. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Definición:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La

Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s)

se denota:

Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de

Laplace; en este apunte se explicará el Método de las

Fracciones Parciales.

Cualquier función racional de la forma , donde y

son polinomios en los cuales el grado de es menor que

el de , puede escribirse como una suma de fracciones

parciales de la forma , donde es una constante y

Al hallar las antitransformadas de cada fracción

parcial, se halla






Ejercicio resuelto:

Hallar

Como se ve, es de la forma , donde

y ; se puede observar también que el grado

de

El polinomio Q(s) se puede expresar como

Entonces:

13)1)(3(

73

32

732

s

B

s

A

ss

s

ss

S (1)

Multiplicando por se obtiene:

(2)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a

ambos lados de la ecuación resultante (2), hallo los valores de

los coeficientes A y B:

73

3

BA

BA

Calculando, resulta y . Reemplazando en (1):

1

1

3

4

)1)(3(

73

32

732

ssss

s

ss

S






Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la

Tabla de Transformadas de Laplace y se reemplazan los

términos:

1

1

3

4

)1)(3(

73

32

73 111

2

1

sL

sL

ss

sL

ss

SL

2.4. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO.

La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para

resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una

ecuación diferencial de segundo orden:

o sea (1)

donde A y B son constantes sometidas a ciertas condiciones

iniciales o condiciones de frontera donde se tiene que

e (2).

Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y

usando (2), se obtiene una ecuación algebraica para

determinar .

La solución requerida se obtiene al calcular la antitransformada

de Laplace de






Ejercicio resuelto: Resolver , con , .

Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la

ecuación diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas,

se tiene:

Entonces:

Despejando Y(s):

Aplicando Antitransformada a cada término:

Se obtiene de la tabla:






EJERCICIOS

1. Encuentre la trasformada de Laplace:

a. b.

c. d.

d. e.

f. 243)( 23 tttf g. tetf 5)(

h. 732)( 54 tetttf i. )2()( tSentf

j. )4()( tCostf k. )4()()( tCostSentf

l. )4()( 3 tSenetf t m. )(32)( 23 tCosetttf t

2. Encuentre la antitransformada de Laplace

a. s

sF1

)( b. 2

3)(

ssF

c. 2

42)(

sssF d.

2

1)(

ssF

d. 5

3)(

ssF e.

3

42)(

2

sssF

f. 4

)(2

s

ssF g.

9

5)(

2

ssF

h. 5

3

5

231)(

24

sssssF i.

1

4)(

2

ssF

j. 65

3)(

2

sssF k.

ssssF

187

5)(

23

3. Resolver mediante Laplace las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

a) 3)t(x;0)0(x;0)t(x6)t(xdt

d3)t(x

dt

d2

2

b) b)t(x;a)0(x;0)t(x2)t(xdt

d3)t(x

dt

d2

2






3. MODELOS MATEMÁTICOS

3.1 INTRODUCCION

Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas.

Dependiendo del sistema del que se trate y las circunstancias

específicas, un modelo matemático puede ser más conveniente que

otro. Por ejemplo, en problemas de control óptimo, es provechoso

usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los

análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de

sistemas lineales con una entrada y una salida invariante en el

tiempo, la representación mediante la función de transferencia puede

ser más conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un modelo

matemático de un sistema, se usan diversos recursos analíticos, así

como computadoras.

3.2. FUNCION DE TRANSFERENCIA

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un

cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de

entrada o excitación (también modelada).

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al






Para el ejemplo consideremos el sistema mecánico que aparece en la

figura. Se supone que el sistema es lineal. La fuerza externa F es la

entrada del sistema y el desplazamiento x de la masa es la salida.

Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida. Trataremos de

encontrar las ecuaciones en el espacio de estados y construiremos

su diagrama de bloques.

Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

F m a .

F F F m ak b .

F kx bv m a . F m a kx bv .

Pero sabemos que ad x

dt

2

2 y v

dx

dt por lo tanto:

F md x

dtb

dx

dtkx

2

2

Otra forma de escribir la expresión es F mx bx kx

El sistema es de segundo orden, lo cual significa que tiene dos

integradores.

Con este modelo es que podemos hacer control.

F

x

m

k

b

k Eelemento elastico

b elemento discipativo






También podemos encontrar su función de transferencia en el

dominio de la frecuencia así:

F s ms x s bsx s kx s( ) ( ) ( ) ( ) 2

F s ms bs k x s( ) ( ) ( ) 2

kbsmssF

sx

2

1

)(

)(

3.3 SISTEMAS MECÁNICOS

Los sistemas mecánicos son una parte fundamental de la vida

común, ya que cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En

general los sistemas mecánicos son gobernados por la segunda

ley de Newton, la cual establece para sistemas mecánicos

de traslación que "la suma de fuerzas en un sistema, sean

estas aplicadas o reactivas, igualan a la masa por la aceleración

a que esta sometida dicha masa".






Cuando se trata de sistemas mecánicos de rotación la segunda

ley de Newton declara que "la suma de torques es igual al

momento de inercia multiplicado por la aceleración angular".

En cualquiera de los casos anteriores se tiene diferentes

elementos cuyo acoplamiento conforma al sistema mecánico

completo, pudiendo además interactuar entre cada caso. A

continuación se describen las generalidades de ambos tipos de

sistemas mecánicos.

3.3.1. SISTEMAS MECANICOS DE TRASLACION

Los sistemas mecánicos de traslación están integrados por el

conjunto de elementos básicos resumidos en la siguiente tabla:






En este caso las variables involucradas son desplazamientos,

velocidades, aceleraciones y fuerzas. La disposición que

guardan estos elementos entre sí da lugar a dos

configuraciones denominadas arreglos mecánicos en serie y

arreglos mecánicos en paralelo.

Elementos mecánicos en serie:

En un elemento mecánico en serie, la fuerza aplicada f(t) es

igual a la suma de las fuerzas actuantes en cada elemento y

todos los elementos tienen el mismo desplazamiento






La ecuación de equilibrio para el arreglo de la figura es:

Y su transformada de Laplace considerando condiciones

iniciales iguales a cero es:

donde la impedancia mecánica es:

Elementos mecánicos en paralelo.

En este tipo de arreglo la fuerza aplicada se transmite a

través de todos los elementos. Además, la deformación o

corrimiento total es la suma de los desplazamientos de cada

elemento.






La figura muestra un ejemplo de este tipo de arreglo en el que

considerando las ecuaciones ya transformadas el

desplazamiento total está dado por:

la relación fuerza a desplazamiento queda como:

donde la impedancia mecánica es:

Un comentario importante respecto al comportamiento de una

masa es que esta no puede estar en paralelo con otros

elementos a menos que sea el último de los elementos.






Para ilustrar lo anterior veamos que en la figura (a), la masa,

al ser el último elemento, participa como si estuviera en

paralelo dando la ecuación que relaciona la fuerza con el

desplazamiento de la forma:

Mientras que en la figura (b) al estar la masa colocada como

un elemento intermedio, y tener el mismo desplazamiento

en la parte superior e inferior, la sitúa en serie tanto con

como con y respecto al desplazamiento mientras que

no tiene nada que ver con los desplazamientos y que

afectan al comportamiento de los elementos y

respectivamente.

Para el caso de la figura (b) las ecuaciones de equilibrio en

cada desplazamiento son:

En

En

En






3.3.2. SISTEMAS MECANICOS DE ROTACION

Los sistemas mecánicos de rotación son quizá el tipo de

sistemas que con mayor frecuencia se encuentran en

aplicaciones cotidianas. Estos abarcan cualquier sistema cuyo

elemento motriz es un motor o una máquina rotatoria. Al igual

en que los sistemas mecánicos de traslación se tienen un

conjunto de elementos básicos los cuales se encuentran

resumidos en la tabla siguiente.






Dentro de las aplicaciones de este tipo de sistemas podemos

citar tornos, cajas de transmisión, sistemas de poleas,

turbinas, etc.

Las variables involucradas en los sistemas mecánicos de

rotación son el par o torque, el desplazamiento angular,

velocidad angular y la aceleración angular.

Estas variables están relacionadas con las de los sistemas

mecánicos de traslación por el radio de los elementos, así, el

par en función de la fuerza esta dado por:

Mientras que el desplazamiento angular se puede obtener a

partir del desplazamiento lineal por medio de:

rtxt /)()(

Por ejemplo para el sistema mostrado en la siguiente figura la

ley de Newton establece que:

SISTEMA MECANICO DE ROTACION

la condición de equilibrio queda descrita por:






donde,

y

Aplicando la transformada de Laplace:

Relacionando la variable de salida velocidad angular con la

variable de entrada par aplicado tenemos:

sfJssT

s

.

1

)(

)(2

3.4 SISTEMAS ELECTRICOS






Otro de los sistemas que con frecuencia aparecen en los lazos

de control son los que involucran variables eléctricas. Aunque el

número de componentes eléctricos es inmenso, por lo general

se puede considerar un conjunto básico compuesto por los

elementos que aparecen en la tabla en donde también se

incluye las expresiones que relacionan las variables de voltaje y

corriente en los dispositivos.

Las ecuaciones de equilibrio que gobiernan el comportamiento

de los sistemas eléctricos son conocidas como las leyes de

Kirchhoff de voltaje y corriente ( y ) las cuales

establecen lo siguiente:

Ley de Voltaje de Kirchhoff ( ):

"La suma algebraica de las caidas de tensión a lo largo de un

trayectoria cerrada es cero".

Ley de corrientes de Kirchhoff ( ):

"La suma algebraica de las corrientes en un nodo es igual a

cero".






Ambas leyes pueden ser usadas de manera combinada para

determinar el conjunto de ecuaciones integro-diferenciales

necesarias para predecir el comportamiento de un sistema

eléctrico. Normalmente cuando se analiza un circuito eléctrico

en serie se usa la LVK mientras cuando se trata de un circuito

eléctrico en paralelo se emplea la LCK. En cualquier texto de

análisis de circuitos se pueden encontrar las particularidades de

cada uno de los circuitos mencionados. Aquí únicamente

mencionaremos que en un circuito eléctrico en serie circula la

misma corriente por todos los elementos del arreglo mientras

que el voltaje se encuentra repartido entre los elementos

(figura (a)).






Por otro lado, en un circuito eléctrico en paralelo todos los

elementos tiene el mismo voltaje en sus terminales mientras

que la corriente se distribuye entre todos los elementos (figura

(b)).

(A) CIRCUITO ELECTRICO SERIE

(B) CIRCUITO LECETRICO PARALELO

3.5 SISTEMA DE NIVEL DE LIQUIDOS

Para iniciar el estudio de los sistemas de nivel de líquidos es

necesario definir los conceptos de resistencia el flujo y

capacitancia en un tanque que almacena un fluido.

La resistencia el flujo debida a una restricción es lineal cuando

el flujo es laminar y se comporta como un sistema no lineal

cuando el flujo es turbulento. En ambos casos se define como






el cociente de la diferencia de niveles en el recipiente entre el

cambio en el gasto.

para flujo laminar el gasto es proporcional a la columna

hidrostática, es decir:

mientras que para flujo turbulento es proporcional a la raiz

cuadrada de la columna hidrostática:

donde:

Q = gasto en [ ].

Kl = coeficiente de proporcionalidad para flujo laminar [m2/seg].

Kt = coeficiente de proporcionalidad para flujo turbulento[m2.5/seg].

H = columna hidrostática [m].

de la definición de resistencia, para un sistema con flujo

laminar tenemos:

de igual forma para un flujo turbulento la resistencia al flujo

debida a una restricción está dada por:






donde la diferencial del gasto es:

con lo cual la expresión para la resistencia al flujo turbulento

queda como:

Siendo

Entonces tenemos que

Esta aproximación es válida solo en el caso en que las

variaciones en el gasto y en la columna hidrostática sean

pequeñas alrededor del punto de operación.

Por otro lado, la capacitancia de un tanque se define como el

cociente de la variación del líquido acumulado entre el cambio

en la columna hidrostática.






lo cual resulta en unidades de área por lo que la capacitancia

de un tanque se puede considerar como la sección transversal

del tanque bajo estudio.

En los sistemas de nivel de líquido la condición de equilibrio

viene declarada como:

"La diferencia del gasto de entrada y el gasto de salida en una

unidad pequeña de tiempo es igual a la cantidad de líquido

acumulado"; es decir:

en la ecuación anterior el término de la izquierda es la cantidad

de líquido almacenado. La cantidad de gasto a la salida del

tanque está definido en función de la resistencia al

flujo de la restricción como:

Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior tenemos:






Transformando esta expresión considerando condiciones

iniciales cero tenemos:

Relacionando la variable de salida (nivel) con la de entrada

(flujo de entrada) llegamos a la función de transferencia:

3.6 SISTEMAS TERMICOS

En general, el número de sistemas térmicos que pueden ser

descritos por ecuaciones diferenciales lineales es limitado La

condición básica para garantizar linealidad es que la

temperatura del cuerpo bajo estudio sea uniforme, lo que en la






mayoría de los casos prácticos no se cumple, sin embargo, esta

aproximación es válida cuando se desea representar el

comportamiento de cuerpos pequeños, aire o líquidos, siempre

que exista una mezcla perfecta de fluido en el medio.

Las variables involucradas en sistemas térmicos son la razón

del flujo calorífico q(t) y la temperatura T(t). La tabla siguiente

hace un resumen de las variables, elementos, y cantidades

físicas involucradas en el estudio de esta clase de sistemas.

La condición de equilibrio para sistemas térmicos establece:

que "el calor administrado a un sistema es igual al calor

almacenado más el calor liberado”






Esta condición expresada en términos de la razón del flujo

calorífico y la temperatura queda como:

la cual indica que la razón de transferencia de calor en un

cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura a través

del cuerpo donde T2 es la temperatura del medio circundante y

T1 es la temperatura del cuerpo.

Por otro lado, la velocidad del cambio en la temperatura se

relaciona con la razón de transferencia calorífica dentro del

cuerpo por medio de la ecuación:

EJERCICIOS

1. Hallar la respuesta de la posición del carro en función del

tiempo, x(t), al aplicarle una entrada impulsional (t),

partiendo inicialmente del reposo.

2. Determine la función de transferencia del sistema anterior

suponiendo que la masa es de , la constante del resorte es

de y existe un coeficiente de viscosidad de






3. Obtener la función de transferencia que relacione el

movimiento de la masa del acelerómetro con el

movimiento del vehículo donde se encuentra adherido .

Extraer también la función de transferencia , al

aplicar una fuerza .

4. Calcular la función de transferencia salida/entrada del filtro

electrónico pasa-bajo siguiente.

5. Hallar la respuesta de la posición del segundo carro en función

del tiempo , al aplicarle una fuerza al primero,

partiendo inicialmente del reposo.

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