Teorema de Green
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Cálculo II EL TEOREMA DE GREEN Prof. Ing. Silvia Seluy TEMA: INTEGRALES DOBLES
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Clculo II
EL TEOREMA DE GREEN Prof. Ing. Silvia Seluy
TEMA: INTEGRALES DOBLES
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EL TEOREMA DE GREEN
Debe su nombre al matemtico ingls George Green (1793-1841).
El Teorema relaciona una integral doble sobre una regin R, simplemente conexa, en el plano, con una integral de lnea sobre la frontera de R.
Regin simplemente conexa: si su frontera
es una curva cerrada simple; cuando dos
puntos en la regin se pueden unir por
un camino poligonal en su interior.
Curva simple: si no se corta a s misma.
Las curvas planas, simples, cerradas son
Curvas de Jordan
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Enunciado del Teorema de Green:
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DEMOSTRACIN La demostracin se da para una regin vertical como horizontalmente simple, segn se observa en las siguientes figuras:
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Ejemplo: Uso del teorema de Green
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APLICACIN El Teorema de Green es usado para evaluar integrales de lnea como integrales dobles.
Este Teorema tambin puede usarse para evaluar integrales dobles como integrales de lnea.
Sucede esto particularmente cuando el integrando en la integral doble es la unidad, resultando la integral doble que da el rea de la regin.
Puede verse en la situacin en que M=-y/2 y N= x/2 10
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CONDICIN SUFICIENTE PARA QUE SEAN CAMPO S CONSERVATIVOS
Se desea demostrar que si M y N tienen primeras derivadas parciales continuas y si las derivadas parciales cruzadas son iguales, entonces el campo vectorial F, es conservativo.
Demo:
Suponiendo que C es una trayectoria cerrada que forma la frontera de una regin conexa contenida en R, entonces por el Teorema de Clairault (igualdad de las derivadas cruzadas), puede aplicarse el Teorema de Green y concluir que la integral de Trabajo sobre una curva cerrada es igual a cero.
Se concluye tambin que F es conservativo. 15
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Dos formas alternativas de Green
El rotacional y la divergencia permiten expresar el Teorema de Green en dos versiones (formas) que sern muy tiles posteriormente.
1 Forma: la integral de lnea de la componente tangencial de F, a lo largo de C es igual a la integral doble de la componente vertical del Rotacional de F sobre la regin R, delimitada por C.
2 Forma: la integral de lnea de la componente normal de F, a lo largo de C es igual a la integral doble de la divergencia de F sobre la regin R delimitada por C
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