Tema:

Teoría de la

Parábola

¿Qué es una parábola?

Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que se mueve de tal manera que siempre equidistan de un punto fijo y una recta fija, a los cuales se les llama foco y directriz.

Elementos de una parábola

Nos ayudará a formar correctamente la parábola dentro de un plano cartesiano, si alguno de estos elementos no coinciden como deben de ser, entonces nos daremos cuenta de que hicimos algo incorrecto.

Para realizar una parábola necesitamos de

8 elementos

Los cuales son:

a:

Nos indica el eje de la parábola o eje focal.

l:

Directriz.

F:

Nos muestra el foco de la parábola.

v

El vértice o punto en el que se unirá la parábola con el eje focal.

BB

Cuerda(une dos puntos de la parábola).

DD

Cuerda focal(pasa por el foco)

LL

Lado recto (cuerda focal perpendicular al eje focal)

FP

Radio Vector

Ecuaciones de la parábola

Una parábola puede estar con el vértice en el punto de origen o fuera de él.

En cada una existen ecuaciones diferentes.

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen

Una parábola con vértice en el origen se puede encontrar en eje “x” o en eje “y”.

Esto depende del valor del foco, si el foco nos da valor en la coordenada `x´ la parábola queda de forma horizontal y eso nos dice que la ecuación a seguir será eje “x”, de lo contrario, si nos da un valor en eje `y´ la parábola quedarà verticalmente y la ecuación que se utilizarà será la del eje “y”.

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen y eje focal en eje “x”

v (0,0) F (P,0) para obtener valor de P LR= 4P nos indica el tamaño de la directriz x= -P coordenada de la directriz y2=4Px ecuación para obtener las coordenadas de la gràfica

P>0 : abre a la derecha P<0 : abre a la izquierda

Ejemplo

V(0,0)

F(-3,0)

F(P,0)

LR= 4P

X=-P

y2=4Px

F(P,0)P=-3

LR= 4PLR= 4(-3)LR= 12

X=-PX= -(-3)X= 3

y2=4Pxy2=4(-3)xy2= -12xy=+- -12x

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen y eje focal en eje “y”

v (0,0) F (0,P) para obtener valor de P LR= 4P nos indica el tamaño de la directriz y= -P coordenada de la directriz x2=4Py ecuación para obtener las coordenadas de la grafica

P>0 : abre hacia arriba P<0 : abre hacia abajo

Ejemplo v (0,0) F (0,2)

F (0,P) LR= 4P y= -P x2=4Py

F (0,P)P=2

LR= 4PLR= 4(2)LR=8

y= -Py= -(2)y= -2

x2=4Pyx2=4(2)yx2=8yx2=+- 8y

Con el vértice en el punto de origen y teniendo el valor del foco se puede encontrar la parábola

Pero también se pueden tener otros valores en lugar de el foco, en estos casos se utilizan las mismas ecuaciones pero despejando los valores que te dè el problema.

Parábola con vértice fuera del punto del origen

Las ecuaciones de una parábola con vértice fuera del punto de origen se dividen en eje “x” y eje “y” al igual que la parábola con vértice en el origen, solo que las ecuaciones de cada una de estas son diferentes.

Ahora nos daremos cuenta de cuando es eje “x” o “y” según la posición en la que quede la línea que une al foco con el vértice (eje de la parábola).

Ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo al eje “x”

V(h,k) valor del vértice F(h+P,k) para obtener valor de P LR= 4P tamaño de directriz x=h-P coordenada de la directriz (y-k)2=4P(x-h) ecuación para obtener las coordenadas de la gràfica.

Ejemplo V(-5,2) F(-2,2)

Eje “x” V(h,k) F(h+P,k) LR= 4P x=h-P (y-k)2=4P(x-h)

V(-5,2)V(h,k)h=-5k=2

F(-2,2)F(h+P,k)F((h+P=-2),2))-5+P=-2P=-2+5P=3

LR= 4PLR= 4(3)LR=12

x=h-py=-5-3y=-8

(y-k)2=4P(x-h)(x-2)2= 4(3)(y-(-5))(X-5)2=-12(y+5)(X-2)=+- 12(y+5)

X=+2 +- 12(y+5)

Ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo al eje “y”

V(h,k) valor del vértice F(h,P+k) para obtener valor de P LR= 4P tamaño de directriz y=k-P coordenada de la directriz (x-k)2=4P(y-h) ecuación para obtener las

coordenadas de la gráfica

Ejemplo V(4,8) F(4,2)

Eje “y” V(h,k) F(h,P+k) LR= 4P y=k-P (x-k)2=4P(y-h)

V(4,8)V(h,k)h=4k=8

F(4,2)F(h,P+k)F(4,(P+k=2))P+8=2P=2-8P=-6

LR= 4PLR= 4(-6)LR=24

y=k-py=8-(-6)y=14

(x-k)2=4P(y-h)(x-8)2= 4(-6)(y-4)(X-8)2=-24(y-4)(X-8)=+- -24(y-4)

X=+8 +- -24(y-4)

Nuevamente se pueden dar valores diferentes en lugar de utilizar el foco o el vértice y de igual manera se tendrán que manejar correctamente solo las ecuaciones que te dan, para poder llegar a cada valor necesario.