UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRIDDEPARTAMENTO DE MATEMTICASTESIS DOCTORALSOBRE PERTURBACIONES DEPOLINOMIOS ORTOGONALESCLSICOSAUTOR:Herbert Alonso Dueas RuizDIRECTOR:Francisco Marcelln EspaolLegans, Febrero de 2009UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRIDESCUELA POLITCNICA SUPERIORDEPARTAMENTO DE MATEMTICASSOBRE PERTURBACIONES DE POLINOMIOSORTOGONALES CLSICOSAutor: Herbert Alonso Dueas RuizMemoria presentada para optar al grado de doctor por el programa de IngenieraMatemtica. Realizada bajo la direccin de Dr. Francisco Marcelln Espaol.Febrero, 2009.TESIS DOCTORALSobre perturbaciones de polinomios ortogonalesclsicosAutor: Herbert Alonso Dueas RuizDirector: Francisco Marcelln EspaolTribunal CalicadorFirmaPresidente:Vocal:Vocal:Vocal:Secretario:Calicacin:Legans, de de 200NDICE GENERALAgradecimientos 1Introduccin 30.1. Introduccin histrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2. Esquema y aportaciones de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. Preliminares 131.1. Funcionales lineales y funcin de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . 131.2. Polinomios Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. La clase Laguerre-Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.1. Determinacin del orden de la clase . . . . . . . . . . . . 291.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312. Polinomios ortogonales de tipo Laguerre 332.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Frmula de conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Ecuacin diferencial holonmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Anlisis de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5. Modelo electrosttico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6. Representacin Hipergeomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7. Comportamiento Asinttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 NDICE GENERAL3. Polinomios ortogonales de tipo Jacobi 513.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Frmula de conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Ecuacin diferencial holonmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4. Anlisis de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5. Modelo electrosttico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6. Representacin Hipergeomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654. Perturbaciones del funcional de Laguerre-Hahn 674.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Modicacin mediante una derivada de Delta de Dirac. . . . . . . 684.2.1. Determinacin de la clase . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. Algunos resultados sobre perturbaciones de los polinomios asoci-ados de Laguerre de primera especie mediante una derivada Deltade Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785. Polinomios ortogonales tipo Laguerre Sobolev 855.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2. Frmula de conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3. Ecuacin diferencial holonmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4. Comportamiento de los ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5. Modelo Electrosttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.6. Representacin Hipergeomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.7. Comportamiento asinttico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076. Polinomios ortogonales de tipo Laguerre Sobolev. Caso no diagonal 1156.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2. Comportamiento Asinttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3. Frmula de conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4. Frmula de recurrencia a cinco trminos . . . . . . . . . . . . . . 1276.5. Ecuacin diferencial holonmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337. Polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev de orden superior 1377.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2. Frmula de conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.3. Comportamiento de los ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145NDICE GENERAL 7.4. Comportamiento asinttico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Problemas abiertos. 155 NDICE GENERALAgradecimientosEs muy difcil expresar con palabras la inmensa gratitud que le debo al pro-fesor Francisco Marcelln Espaol, ya que durante estos casi cuatro aos de mipermanencia en Espaa, adems de mostrarme el camino de la investigacin enlos polinomios ortogonales y tenerme una paciencia innita, tambin me ayud aresolver inconvenientes personales. El llegar a un feliz trmino en esta meta queme j hace mucho tiempo, es, en un gran porcentaje, gracias a l. Mil graciasProfesor Marcelln.Tambin debo agradecer al departamento de Matemticas de la UniversidadCarlos III de Madrid, su apoyo no slo econmico, mediante la beca de la que hegozado durante los ltimos aos, sino la acogida que me brindaron cada uno delos integrantes de este agradable departamento. Particularmente, quiero resaltarel apoyo que me brind el profesor Guillermo Lpez Lagomasino, quien, comodirector de departamento, colabor para que pudiera realizar muchas de las activi-dades acadmicas a las que tuve la suerte de asistir.AgradezcoalaUniversidadNacional deColombiaporproporcionarmelacomisin de estudios durante estos aos. Al profesor Lorenzo Acosta, quien enlos inicios de este proyecto, me proporcion ayuda y consejo. Tambin quiero ha-cer una mencin muy especial del Profesor Jairo Charris (q.e.p.d), quin, ademsde recomendarme como estudiante con el profesor Marcelln, siempre me apoyy aconsej.De otra parte quiero agradecer a Luis Garza su amistad, su colaboracin, noslo a m sino a mi familia, en particular, el gran cario que les dio a mis hijas.Tambin a mi amiga de toda la vida, Marcelita, por su apoyo desde los inicios de12 AGRADECIMIENTOSeste proyecto y la ayuda que me brind desde Colombia en cada momento.Quiero resaltar el sacricio y dedicacin de mis padres, lo que me ha permitidoser lo que soy. Finalmente, quiero decirles a Cristina, Mara Paula y Mara Camila,que este proyecto no habra sido posible sin su apoyo y compaa, y que este logrotambin es de ustedes.2Introduccin0.1. Introduccin histricaLos polinomios ortogonales son una clase de funciones que forman parte delas llamadas funciones especiales. Dentro de los polinomios ortogonales existenunas familias que merecen una mencin especial por su relevancia en el desarrollohistrico debido a la gran cantidad de aplicaciones que se encuentran en reas co-mo la fsica cuntica, ecuaciones diferenciales, aproximacin racional, entropasde informacin, etc. Se trata de los polinomios ortogonales clsicos (Laguerre,Hermite, Bessel y Jacobi). Es por esto que en la primera parte de esta introduc-cin, se presenta el origen de estos polinomios.Los primeros polinomios ortogonales que fueron denidos formalmente sonlos polinomios de Legendre. Estos polinomios, llamados de esta manera en honordel matemtico francs Adrien-Marie Legendre (1752-1883), fueron denidos en1784 como los polinomios Pnn0 que cumplen la relacin de ortogonalidad(, PnPm) =_11Pn(x)Pm(x)dx = mn,dondem,neselsmbolodeKronecker.Legendreprobvariaspropiedadesdeestos polinomios, entre ellas las ms importantes que caracterizan todos los poli-nomios ortogonales respecto a una medida de probabilidad no trivial soportadaen la recta real, como es el hecho de que los ceros del polinomio Pn son reales,simples y se encuentran en el interior de la envolvente convexa del soporte de lamedida. En el caso de los polinomios de Legendre, en el intervalo (1, 1).34 INTRODUCCINPreviamentehabanaparecidoestospolinomioscuandoen1782el mismoLegendre, estudiando el problema de la atraccin de un cuerpo por una esferaprob un teorema que establece que si se conoce el valor de la fuerza de atraccinde un cuerpo de revolucin en un punto exterior situado en su eje, entonces sepuede determinar en todo punto exterior. De esta manera sera suciente estudiarla componente radial dada porP(r, , 0) =_ _ _(r r) cos (r2 2rr + r2)3/2r2sendddr,donde cos = cos cos + sensen cos . Legendre, al estudiar esta integral,prob que el integrando se puede expresar como una serie de potencias en trmi-nos de r/r,1r2

k=0(2k + 1)P2k(cos )_rr_2k,donde P2k son los polinomios de Legendre de grado par.Los siguientes polinomios ortogonales, que aparecen hacia 1864, son los poli-nomios de Hermite Hnn0, llamados as en honor del matemtico francs CharlesHermite (1822-1901) quien los deni de manera formal, aunque, previamente, en1810 Laplace los haba usado en problemas de teora de probabilidades.En 1879, el matemtico francs Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886), estu-diando el desarrollo en fracciones continuas de la integral_xett1dt,dene un caso particular de los polinomios de Laguerre _Ln_n0 correspondiente a= 0. En este trabajo, Laguerre prob, al igual que Legendre con los polinomiosortogonales de Legendre, que los ceros deL0nson reales, simples y estn en elintervalo (0, ), es decir en el interior de la envoltura convexa del soporte de lamedida. Ms adelante, en 1880, Nikolai Yakovlevich Sonin (1849-1915) extendiel trabajo de Laguerre deniendo los polinomios generales de Laguerre _Ln_n0con > 1.Los polinomios ortogonales de Jacobi_P,n_n0, al contrario de los anteriores,no surgen como una herramienta necesaria para resolver algn problema de apli-cacin especco. En 1859, se publica un artculo pstumo del matemtico alemnKarl Jacobi (1804-1851) en el que se introduce esta familia de polinomios or-togonales, que constituye una generalizacin de los polinomios de Legendre. La40.1. INTRODUCCIN HISTRICA 5forma como deni Jacobi esta familia de polinomios fue usando funciones hiper-geomtricas. De hecho,P,n(x) =(n + + 1)( + 1)n!2F1_n, n + + + 1; + 1, 1 x2_,con > 1, > 1.Ahora bien, por qu llamamos polinomios ortogonales clsicos a los poli-nomios que hemos denido hasta ahora? Ello es debido a que estos polinomiosson los nicos que satisfacen ciertas propiedades que los hacen sobresalir de losdems.La primera propiedad que presentamos es la obtenida por S. Bochner en 1929[27]. Bochner prob que los nicos polinomios ortogonales que satisfacen unaecuacin diferencial lineal de segundo orden(x)Pn(x) + (x)Pn(x) + nPn(x) = 0, (1)donde el grado dePnes n, n =0, 1, 2 . . ., (x) es un polinomio de grado a losumo 2, (x) un polinomio de grado exactamente 1 y n un nmero real, son lospolinomios clsicos.Otra caracterizacin de los polinomios ortogonales clsicos es la que presentF. Tricomi en 1955 [96], que fu probada de manera rigurosa en 1969 por Cryer[33]. Esta dice que slo los polinomios ortogonales clsicos se pueden expresarmediante una frmula de Rodrigues, es decirPn(x) =Bn(x)dn((x)n(x))dxncon(x)unafuncinnonegativaenalgnintevalodelarectarealy(x)unpolinomio independiente de n, de grado a lo ms 2.Pero hay ms, en 1931 E. H. Hildebrant [53] prob que los nicos polinomiosortogonales respecto a una funcin peso solucin de la ecuacin diferencial dePearson junto con ciertas condiciones de frontera((x)(x))= (x)(x),donde el grado de (x) es menor o igual a 2 y el grado de (x) es exactamente 1,son los polinomios ortogonales clsicos.En cuanto a las aplicaciones de los polinomios ortogonales, podemos men-cionar que son usados en reas como la mecnica cuntica, estadstica y teora dela aproximacin entre otras. Particularmente, quiero resaltar el uso que tienen en56 INTRODUCCINla teora clsica del potencial electrosttico, encargada de estudiar los fenmenoselectrostticos asociados a las cargas en reposo. La razn para hacer un especialnfasis en esta teora, radica en que a lo largo de esta memoria, presentaremosdiferentes tipos de polinomios ortogonales para los que logramos presentar unainterpretacin electrosttica de la localizacin de sus ceros.El primero en descubrir la relacin entre los polinomios ortogonales clsicosy la teora de potencial electrosttico fue Tomas Jan Stieltjes [94], quien a nalesdel siglo XIX encontr una interpretacin de los ceros de los polinomios ortogo-nales clsicos en trminos de un modelo electrosttico. Un desarrollo histrico delproblema aparece reejado en [97] y [100].Esta interpretacin consiste en lo siguiente. Sean x10, esto es, M>1Kn(a,a)para todo n 0. En otras palabras,basta queMsea una cota superior de_1Kn(a,a)_n0ya que Kn(a, a)n0esmontona no decreciente.4. Para cada n N,_, P2n_ =_, PnPn_ =_, P2n_1 + MKn(a, a)1 + MKn1(a, a). (1.15)Siconsideramosahoralaperturbacin =+M(x a), elcriterioderegularidad para se presenta en el siguiente teorema.Teorema 10([24]) Sea Pnn0 la sucesin de polinomios ortogonales mnicoscorrespondientesalfuncionaldemomentos. Elfuncionaldemomentos = + M(x a), es cuasi-denido si y solo si para cada n N1 MK(0,1)n1 (a, a) MKn1(a, a)MK(1,1)n1 (a, a) 1 MK(0,1)n1 (a, a)0.Adems, si_Pn_eslasucesindepolinomiosortogonalescorrespondientesalfuncional de momentos , entoncesPn(x) = Pn(x) MPn(a)1 + MK(0,1)n1 (a, a)K(0,1)n1 (x, a).Dado un funcional cuasi-denido , diremos que una sucesin de polinomiosortogonalesPnn0 es clsica, si existen polinomios y con deg 2, deg =1, tales que satisface la ecuacin distribucional diferencial de Pearson:D() = .221.2. POLINOMIOS ORTOGONALES 23Los polinomios ortogonales clsicos (Hermite, Laguerre, Jacobi y Bessel) sonusados ampliamente en la literatura debido a sus numerosas aplicaciones en fsicamatemtica. Por ejemplo en el estudio de problemas que involucran ecuacionesdiferenciales hipergeomtricas (ver [70],[91] y [95])Elsiguienteteoremaresumealgunasdelaspropiedadesdelospolinomiosortogonales clsicos. La demostracin se puede encontrar en [72].Teorema 11Sea un funcional de momentos cuasi-denido y Pnn0 la corre-spondiente sucesin de polinomios ortogonales mnicos.1. Pnn0 es clsica si y slo si existen sucesiones an, bn, cn, con cn 0 paracada n N, tal que:(x)Pn(x) = anPn+1(x) + bnPn(x) + cnPn1(x) (1.16)con deg 2.2. Pnn0 es clsica si y slo si para cada n N, Pn es una autofuncin deloperador diferencial[ = D2+ D (1.17)donde deg 2, deg = 1, y D denota el operador derivada estndar.3. Pnn0 es clsica si y slo si existen sucesiones rn y sn tales que:Pn(x) = Qn(x) + rnQn1(x) + snQn2(x), n 2, (1.18)con Qk(x) =(Pk+1(x))k + 1, k 0.A continuacin, pasamos a describir las familias de polinomios clsicos quesirven de soporte para la memoria. Ntese que centramos nuestra atencin en elcaso denido positivo.Los polinomios ortogonales de Laguerre, _Ln(x)_n0, son aquellos que son or-togonales respecto al funcional lineal(, P(x))=_0P(x)xexdx, > 1, P P.Adems, el funcional satisface la ecuacin diferencial de Pearson con (x)= xy (x) = x + + 1, > 1.La siguiente proposicin resume algunas de sus propiedades. Los detalles delas demostraciones pueden encontrarse en [19], [32], [56], [69] y [95].2324 CAPTULO 1. PRELIMINARESProposicin 1Sea _Ln_n0 la sucesin de polinomios ortogonales mnicos de La-guerre. Entonces,1. Para cada n N,xLn(x) = Ln+1(x) + (2n + 1 + ) Ln(x) + n (n + ) Ln1(x), (1.19)con L0(x) = 1, L1(x) = x ( + 1).2. Para cada n N,x_Ln(x)_= nLn(x) + n (n + ) Ln1(x). (1.20)3. Para cada n N, Ln(x) satisface la ecuacin diferencialxy + ( + 1 x) y= ny, (1.21)con n= n.4. Para cada n N,Ln(x) =(1)n(n + + 1)( + 1)1F1 (n, + 1, x) , (1.22)donde1F1 (n, + 1, x) =

k=0(n)k( + 1)kxkk!,denota una funcin hipergeomtrica y()k= ( + 1) ... ( + k 1) , k 1, ()0= 1.5. Para cada n N,___Ln___2= n!(n + + 1). (1.23)6. Para cada n N,Ln(x) = L+1n(x) + nL+1n1 (x) . (1.24)7. Para cada n NLn(0) = (1)n(n + + 1)( + 1). (1.25)241.2. POLINOMIOS ORTOGONALES 258. Para cada n N_Ln_ (x) = nL+1n1(x). (1.26)9. Para cada n NKn(x, 0) = CnL+1n(x), Cn=Ln(0)(, 1) 12 n. (1.27)10. Si J es la funcin de BesselJ(x) =

j=0(1)j(x/2)2j+j!( j + + 1),entonces, si denotamos Ln(x) = (1)n/n!Ln(x), se tienea) Frmula asinttica de tipo Hilb: Asinttica fuerte interior. Para cadan Nex/2x/2Ln(x) =(n + + 1)n!_n + + 12_/2J__2__n + + 12_ x__+ O(n/23/4),(1.28)uniformemente sobre subconjuntos compactos de (0, ).b) Frmula asinttica de Perron: Asinttica fuerte exterior. Para cadan N y x C\[0, )2ex/2(x)/2+1/4Ln(x) =n/21/4exp_2(nx)1/2___p1

j=0Cj(x)nj/2+ O(np/2)__, (1.29)donde Cj(x) es independiente de n y regular en C\[0, ).c) Frmula de tipo Mehler-Heine. Si jamos j tal quej N 0, en-tonceslmnLn(x/(n + j))n= x/2J(2x), (1.30)uniformemente sobre subconjuntos compactos de C.2526 CAPTULO 1. PRELIMINARES11. Asinttica del cociente. Si j, l R y h, k Z, entonceslmnn(lj)/2L+jn+k(x)L+ln+h(x)= (x)(lj)/2(1.31)uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ).Los polinomios ortogonales de Jacobi,_P,n_n0, son ortogonales respecto alfuncional lineal(, P(x)) =_11P(x)(1 x)(1 + x)dx, , > 1, P P.Por otra parte, el funcional satisface la ecuacin de Pearson con (x) = 1x2y ,(x) = ( + + 2) x + ( ).El siguiente teorema resume algunas de la propiedades de los polinomios deJacobi.(Los detalles de las demostraciones se pueden ver en [32],[70], [91] y [95]).Proposicin 2Sea_P,n_n0la sucesin de polinomios ortogonales mnicos deJacobi.1. Para cada n NxP,n(x) = P,n+1(x) + ,nP,n(x) + ,nP,n1(x), (1.32)con,n=2 2(2n + + ) (2n + 2 + + ),,n=4n (n + ) (n + ) (n + + )(2n + + 1) (2n + + )2(2n + + + 1),P,0(x) = 1 y P,1(x) = x + + + 2.2. Para cada n N_1 x2_ _P,n(x)_= a,nP,n+1(x) + b,nP,n(x) + c,nP,n1(x), (1.33)261.2. POLINOMIOS ORTOGONALES 27dondea,n= n,b,n=2 ( ) n (n + + + 1)(2n + + ) (2n + 2 + + ),c,n=4n (n + ) (n + ) (n + + ) (n + + + 1)(2n + + 1) (2n + + )2(2n + + + 1).3. Para cada n N, existe una sucesin nn0 de nmeros reales no nulos talque P,n(x) satisface la ecuacin diferencial:(x)y + ,(x)y= ,ny, (1.34)con ,n= n (n + 1 + + ) .4. Para cada n N_P,n(x)_= nP+1,+1n1(x). (1.35)5. Para cada n N existe una constante An tal que:Kn(x, 1) = AnP+1,n(x), An=P,n(1)(, 1) 12 n. (1.36)6. Para cada n NP,n(1) = 2n(n + + 1)(n + + + 1)( + 1)(2n + + + 1),P,n(1) = (2)n(n + + 1)(n + + + 1)( + 1)(2n + + + 1). (1.37)7. Para cada n N___P,n(x)___2,=22n+++1 (n + + 1) (n + + 1) (n + + + 1) n!(2n + + + 1) ((2n + + + 1))2.(1.38)2728 CAPTULO 1. PRELIMINARES8. Para cada n N,P,n(x) =2n( + 1)n(n + + + 1)n2F1_n, n + + + 1; + 1; 1 x2_, (1.39)donde2F1_n, n + + + 1; + 1; 1 x2_=

k=0(n)k (n + + + 1)k( + 1)k(1 x)k2kk!,es una funcin hipergeomtrica.1.3. La clase Laguerre-HahnDenicin 2([1], [71], [84].) Un funcional lineal cuasi-denido en el espa-cio vectorial P se dice que pertenece a la clase Laguerre-Hahn si su funcin deStieltjes satisface una ecuacin diferencial de Riccati(z)S()(z) = B(z)S2()(x) + C(z)S ()(z) + D(z), (1.40)donde (z), B(z), C(z) y D(z) son polinomios con coecientes complejos tales que(z)0, B(z)0 y D(z) =_(D)0_(z) + (0C)(z) _20B_(z).Observacin 12Si B(z)= 0, la funcin de Stieltjes satisface una ecuacin difer-encial lineal de primer orden (z)S()(z)= C(z)S ()(z) + D(z) y los correspon-dientes polinomios se denominan polinomios anes de Laguerre-Hahn . Ms pre-cisamente, son los bien conocidos polinomios ortogonales semiclsicos (ver [23],[52] y [84]).Denicin 3Sea Pnn0 la sucesin de polinomios ortogonales mnicos respectoa un funcional lineal cuasi-denido . Pnn0 pertenece a la clase Laguerre-Hahnsi es un funcional lineal Laguerre-Hahn.La demostracin del siguiente teorema puede consultarse en [77].281.3. LA CLASE LAGUERRE-HAHN 29Teorema 13Sea un funcional cuasi-denido tal que 0= 1 y Pnn0 la corre-spondiente sucesin de polinomios ortogonales mnicos. Las siguientes arma-ciones son equivalentes1. es un funcional de Laguerre-Hahn.2. satisfacelaecuacinfuncional D__++ B_x12_=0, donde(x), B(x) y C(x) son los polinomios denidos en (1.40), y(x) = _(x) + C(x)_. (1.41)3. satisface la ecuacin funcionalD_x_+ (x ) + B2= 0, (1.42)con la condicin adicional (, ) +_2, 0B_= 0 donde (x), (x) y B(x)son los mismos polinomios de (1.40).4. Cada polinomio Pn(x), n 0, satisface una relacin de estructura(x)Pn+1(x) B(x)P(1)n(x) =n+d

k=nsn,kPk(x), n s + 1donde(x) y B(x) son los mismos polinomios usados en (1.40) y_P(1)n_n0es la sucesin de polinomios asociados de primer orden relativa a Pnn0 ,donde t =deg , P=deg 1, r =deg B, s =m axp 1, d 2 yd= m axt, r.1.3.1. Determinacin del orden de la claseEn la caracterizacin (1.42) de los funcionales de Laguerre Hahn, debemoshacernotarquenohayunicidadenlarepresentacin. Dehecho, essucientemultiplicar por cualquier polinomio en ambos miembros de la ecuacin. Por otraparte, la unicidad se obtiene imponiendo una condicin de minimizacin en losgrados de los polinomios.Si satisface la ecuacin D__+ + B_x12_= 0, multiplicando por unpolinomio q(x), tambin satisfaceD__+ + B _x12_ = 0, (1.43)2930 CAPTULO 1. PRELIMINARESdonde=q, =q q y B=qB. Por tanto, vamos a asociar a elconjunto de los enteros no negativosH() =_m axp 1, d 2, donde d= m axt, r, t= deg , p = deg y r= deg B, para cualquier eleccin de nmeros positivos de, y B tal que se verica (1.43)_.Denicin 4La clase del funcional de Laguerre-Hahn es el mnimo de H().Teorema 14Sea el funcional lineal cuasi-denido que vericaD__+ + B_x12_ = 0 (1.44)donde (x), (x) y B(x) son los polinomios introducidos en el Teorema 13. Deni-mos d= m axt, r y s = m axp1, d2. Entonces, el funcional de Laguerre-Hahn es de clase s si y slo si_aZ_(, a) +_2, 0Ba_+ ra + sa_0.donde Z denota el conjunto de los ceros de (x). Los polinomios a, a y Ba ascomo las constantes ra y sa son(x) = (x a)a(x),(x) + a(x) = (x a)a(x) + ra,B(x) = (x a)Ba(x) + sa.Estableceremos un resultado equivalente al Teorema 14, donde las condicionesacerca de la clase se dan en trminos de los polinomios B(x), C(x) y D(x) denidosen (1.40) a travs de la ecuacin de Riccati que satisface la funcin de Stieltjes.Corolario 1Sea un funcional lineal cuasi-denido de Laguerre-Hahn que sa-tisface (1.40). s es la clase de si y slo si_aZ(C(a) + B(a) + D(a))0,i.e., , B, C y D son polinomios coprimos.301.3. LA CLASE LAGUERRE-HAHN 311.3.2. EjemplosConsidrese un funcional lineal clsico (Hermite, Laguerre, Jacobi, Bessel).Debido a que(1)es un funcional de Laguerre-Hahn de clases =0 (ver [25]y[26]), satisfaceunaecuacindiferencial distribucional ysucorrespondientefuncinStieltjessatisfaceunaecuacindiferencialdeRiccati. Lospolinomios, , B, C y D se presentan en la Tabla 1.1.H(1)nL,(1)nP,,(1)nB,(1)n(z) 1 z z2 1 z2(z) 2z z 3 ( + + 4)z 2 2 + + 22_( + 1) z + 1_B(z) 1 14( + 1)( + 1)( + + 1)( + + 3)( + + 2)2(2 1)2(2 + 1)1C(z) 2z z + + 2 ( + + 2)z 2 2 + + 22_z + 1 1_D(z) 2 1 + + 3 2 + 1Tabla 1.1: Asociados de polinomios clsicosOtrosejemplosdefuncionalesdeLaguerre-Hahnquehansidotratadosenlaliteraturaestnrelacionadoscondiversosmodelosdeperturbacionesenlosparmetros de la relacin de recurrencia. Entre ellos cabe destacar los denomina-dos polinomios co-recursivos ([31], [64], [65], [79]). Otros modelos de perturba-ciones han sido estudiados en [1], [2], [3] y [78].3132 CAPTULO 1. PRELIMINARES32CAPTULO 2Polinomios ortogonales de tipoLaguerre2.1. IntroduccinConsideremos los polinomios de tipo Laguerre_Ln_n0 ortogonales respecto alfuncional lineal(, p) =_+0p(x)xexdx + Mp(0),donde > 1, M R+ , y p es un polinomio con coecientes reales. En este cap-tulo hallamos una frmula de conexin entre estos polinomios y los polinomiosde Laguerre_L+1n_n0. Usando esta frmula de conexin, estudiamos la ecuacindiferencial lineal de segundo orden con coecientes polinmicos dependientes delgrado del polinomio que satisface la sucesin_Ln_n0. Es importante hacer notarque una demostracin alternativa acerca de esta ecuacin diferencial aparece en[57], basada en una frmula de conexin entre el polinomioLn(x) y los polinomiosLn(x) y xL+1n1(x).Adems, se realiza un anlisis del comportamiento de los ceros de_Ln_n0 y,usando la ecuacin diferencial que satisfacen estos polinomios, presentamos unainterpretacin electrosttica de los ceros en trminos de un potencial logartmico.Adicionalmente, encontramos una expresin de estos polinomios en trminos deuna funcin hipergeomtrica y concluimos con un anlisis del comportamiento3334 CAPTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERREasinttico de dichos polinomios.2.2. Frmula de conexinNuestro objetivo es determinar la ecuacin diferencial lineal de segundo ordenque satisfacen los polinomios Ln(x), asociados con el funcional = + M(x).Utilizando los apartados 6 y 8 de la Proposicin 1 y el Teorema 9 se sigue queLn(x) = L+1n(x) + nL+1n1(x) MLn(0)1 + MKn1(0, 0)Ln1(0)(, 1) 12...n1L+1n1(x)= L+1n(x) +_n MLn(0)1 + MKn1(0, 0)Ln1(0)(, 1) 12...n1_L+1n1(x), n = 1, 2 Realizando algunas operaciones elementales se tiene:MLn(0)1 + MKn1(0, 0)Ln1(0)(, 1) 12 n1=MLn(0)Ln1(0)(, 1) 12 n1 + MLn1(0)L+1n1(0)De (1.25)Ln(0) = (1)n( + 1)n.Por otra parte, de (1.19)12 n= n! ( + 1)n , n 1.As pues,MLn(0)Ln1(0)(, 1) 12...n1 + MLn1(0)L+1n1(0)==M (1)n( + 1)n (1)n1( + 1)n1(, 1) (n 1)! ( + 1)n1 + M (1)n1( + 1)n1 (1)n1( + 2)n1==M ( + 1)n(, 1) (n 1)! + M ( + 2)n1342.3. ECUACIN DIFERENCIAL HOLONMICA 35y, en consecuencia,n +M ( + 1)n(, 1) (n 1)! + M ( + 2)n1=( + 1) n! + nM ( + 2)n1 + M ( + 1)n( + 1) (n 1)! + M ( + 2)n1=( + 1) n! + M ( + 2)n( + 1) (n 1)! + M ( + 2)n1=nn1,donde n= ( + 1) n! + M ( + 2)n.Como conclusin,Ln(x) = L+1n(x) + dnL+1n1(x), (2.1)dondedn=nn1,de manera que se tiene la siguiente proposicinProposicin 3Si _Ln_n0 son los polinomios ortogonales mnicos de Laguerre y_Lan_n0 la sucesin de polinomios ortogonales mnicos asociados con el funcionalde momentos = + M(x), M R+, entonces:Ln(x) = L+1n(x) + dnL+1n1(x), n 0. (2.2)2.3. Ecuacin diferencial holonmicaVamos a usar la Proposicin 3 para obtener la ecuacin diferencial lineal desegundo orden que satisface Ln(x). De (1.21) tenemos:_L+1n1(x)_+ _L+1n1(x)_ n1L+1n1(x) = 0y_L+1n(x)_+ _L+1n(x)_ nL+1n(x) = 0con (x) =x y(x) = + 2 x. Sumando la ltima igualdad a la precedentemultiplicada por dn se obtiene:__L+1n(x)_+ dn_L+1n1(x)__+ __L+1n(x)_+ dn_L+1n1(x)__ nL+1n(x) n1dnL+1n1(x) = 0,3536 CAPTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERREesto es,_Ln(x)_+ _Ln(x)_ nL+1n(x) n1dnL+1n1(x) = 0,o, equivalentemente,_Ln(x)_+ _Ln(x)_ nLn(x) = dnL+1n1(x) (n1 n) .Dado que n1 n= (n 1) + n = 1, se deduce:_Ln(x)_+ _Ln(x)_ nLn(x) = dnL+1n1(x). (2.3)Si derivamos en cada miembro de (2.2) y multiplicamos por x se tiene:x_Ln(x)_= x_L+1n(x)_+ dnx_L+1n1(x)_.Usando (1.20) enL+1n(x) yL+1n1(x), respectivamente, y reemplazando en laltima expresin:x_Ln(x)_=_nL+1n(x) + n (n + + 1) L+1n1(x)_+dn_(n 1) L+1n1(x) + (n 1) (n + ) L+1n2(x)_.Entonces:x_Ln(x)_= nL+1n(x)+(n (n + + 1) + dn (n 1)) L+1n1(x) + dn (n 1) (n + ) L+1n2(x). (2.4)De (1.19)xL+1n1(x) = L+1n(x) + (2n + ) L+1n1(x) + (n 1) (n + ) L+1n2(x).Despejando L+1n2(x) y reemplazando en (2.4),x_Ln(x)_= nL+1n(x) + (n (n + + 1) + dn (n 1)) L+1n1(x)+dn_(x (2n + )) L+1n1(x) L+1n(x)_= (n dn) L+1n(x)+(n (n + + 1) + dn (n 1) + dn (x (2n + ))) L+1n1(x).362.3. ECUACIN DIFERENCIAL HOLONMICA 37Dado que:n dn= n ( + 1) n! + M ( + 2)n ( + 1) (n 1)! + M ( + 2)n1=M (n ( + 2)n1 ( + 2)n)n1=M ( + 2)n1 ( + 1)n1= M ( + 1)nn1yn (n + + 1) + dn (n 1) + dn (x (2n + )) = dnx + (n + + 1) (n dn)= dn_x M ( + 1)n+1n_entonces:x_Ln(x)_= M ( + 1)nn1L+1n(x) + dn_x M ( + 1)n+1n_L+1n1(x).Si denotamos mn= M ( + 1)nn1yf (x; n) =dn_x M ( + 1)n+1n_, deduci-mos:x_Ln(x)_= mnL+1n(x) + f (x; n)L+1n1(x). (2.5)A continuacin, de (2.2) y (2.5) se sigue la expresin de L+1n1(x) en trminosde Ln(x) y_Ln(x)_,L+1n1(x) =mnLn(x) x_Ln(x)_mndn f (x; n). (2.6)Reemplazando este resultado en (2.3):_Ln(x)_+ _Ln(x)_ nLn(x) = dn__mnLn(x) x_Ln(x)_mndn f (x; n)__y, en consecuencia,_Ln(x)_+_ +dnxmndn f (x; n)_ _Ln(x)__dnmnmndn f (x; n) n_Ln(x) = 0.(2.7)3738 CAPTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERREPero,mndn f (x; n) = dn_M ( + 1)nn1 x +M ( + 1)n+1n_ == dn_x +M ( + 1)nn(( + n + 1) dn)_= dn_x +M ( + 1)nn_( + n + 1) ( + 1) n! + M ( + 2)n ( + 1) (n 1)! + M ( + 2)n1__= dn_x +M ( + 1)nn ( + 2) (n 1)!n1_ = dn (x + sn) .donde sn=M ( + 1)nn( + 2) (n 1)!n1. Entonces (2.7) se puede escribir como:x_Ln(x)_+_ + 2 x +xsn x_ _Ln(x)__mnsn x n_Ln(x) = 0y, nalmente,x (sn x)_Ln(x)_+_x2 ( + 1 + sn) x + ( + 2) sn_ _Ln(x)__nx M ( + 1)nn1 M ( + 1)n ( + 2) n!nn1_Ln(x) = 0donden= n! ( + 1) + M ( + 2)ndn=nn1mn= M ( + 1)nn1f (x; n) = dn_x M ( + 1)n+1n_sn=M(n 1)!( + 2) ( + 1)nnn1.Por tanto, se ha probado:382.4. ANLISIS DE LOS CEROS 39Teorema 15Si _Ln_n0son los polinomios ortogonales de Laguerre mnicos y_Lan_n0los polinomios ortogonales mnicos asociados con el funcional de mo-mentos = + M(x), entonces:A(x; n)_Ln(x)_+ B(x; n)_Ln(x)_ C(x; n)Ln(x) = 0, (2.8)conA(x; n) =x (sn x) , B(x; n) =x2 ( + 1 + sn) x+ ( + 2) sny C(x; n) =nx M ( + 1)nn1 M ( + 1)n( + 2) n!nn1.Una demostracin alternativa aparece en [57], basada en una frmula de co-nexin entre el polinomio Ln(x) y los polinomios Ln(x) y xL+1n1(x).2.4. Anlisis de los cerosConsideremoslasucesindepolinomiosortogonalesmnicosdeLaguerre_Ln_n0ynel correspondiente momento de orden n. Dado que Ln(x) se puedeexpresar como:Ln(x) =1n1 ()0 + M 1. . . n1. . ........ . ....n1n. . . 2n11 x . . . xnconn1 () =0 + M 1. . . n11. . . n....... . ....n2n1. . . 2n3n1n. . . 2n2,tenemos:Ln(x) =1n1 ()_n1 () Ln(x) + Mxn2_x2_Rn1(x)_,3940 CAPTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERREdonde Rnn0 es la sucesin de polinomios ortogonales mnicos respecto al fun-cional de momentos x2. Entonces:Ln(x) =n1 () Ln(x) + Mxn2_x2_Rn1(x)n1 () + Mn2_x2_ , (2.9)y, como consecuencia:lmMLn(x) = xRn1(x) = xL+2n1(x).Sean_x(M)n,k_nk=1 los ceros del polinomio Ln(x) ordenados en sentido creciente,i.ex(M)n,1 0, se tiene:5960 CAPTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO JACOBI1. Loscerosde P,n(x)sonreales, simplesyseencuentranenelintervalo(1, 1).2. Dado que rn< 0, se tienex+1,n,n< x(M)n,n ,x+1,n, j< x(M)n, j< x+1,n1, j, j = 1, , n 1,donde_x+1,n, j_nj=1 son los ceros del polinomio P+1,n(x) y_x(M)n, j_nj=1 los cerosde P,n(x).Como consecuencia, de (3.10) deducimos quelmMx(M)n,n= 1, lmMx(M)n,k= x+2,n1,k, k= 1, 2, , n 1.Usando (3.9), concluimosP,n(1) =n1 () P,n(1)n1 () + Mn2_(1 x)2_.De esta expresin se tiene:_1 x(M)n,1_ _1 x(M)n,2_

_1 x(M)n,n_ =n1 () P,n(1)n1 () + Mn2_(1 x)2_y, como consecuencia,lmMM_1 x(M)n,n_=n1 () P,n(1)P+2,n1(1)n2_(1 x)2_=n1 ()n2_(1 x)2_2 ( + 1) ( + 2)(n + + 1) (n + + + 1),esto es,x(M)n,n= 1 O_ 1M_.Por otra parte, de (3.8),603.4. ANLISIS DE LOS CEROS 61_P,n(x), (1 x)n_ = (1)nn ()n1 (),es decir,___P,n(x)___2,=n ()n1 (),o, lo que es lo mismo,n () =___P,n(x)___2,n1 () .Usando el anterior resultado, se tienen1 ()n2_(1 x)2_=___P,n1(x)___2,___P,n2(x)___2,

___P,1(x)___2,___P,0(x)___2,___P+2,n2(x)___2+2,___P+2,n3(x)___2+2,

___P+2,0(x)___2+2,,pero, usando (1.38)___P,n1(x)___2,___P+2,n2(x)___2+2,=22n++1 (n + ) (n + ) (n + + ) (n 1)!(2n + + 1) ( (2n + + 1))222n++1(n + + 1) (n + 1) (n + + + 1) (n 2)!(2n + + 1) ( (2n + + 1))2=(n + 1) (n 1)(n + ) (n + + ).Por lo tanto,n1 ()n2_(1 x)2_ =(n + 1) (n 1) (n + 2) (n 2)(1 + )___P,0(x)___2(n + ) (n + + ) (n + 1) (n + + 1)( + 2) ( + + 2)= (n + ) (n 1)! ( + 1)(n + + 1) (n + + + 1)( + 2) ( + + 2)2++1 ( + 1) ( + 1) ( + + 1)( + + 1) ( ( + + 1))2=2++1(n 1)! (n + ) ( + 1) ( + 2)(n + + 1) (n + + + 1).6162 CAPTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO JACOBIDe donde se sigue que:lmMM_1 x(M)n,n_ =n1 ()n2_(1 x)2_2 ( + 1) ( + 2)(n + + 1) (n + + + 1)=2++1(n 1)!(n + ) ( + 1) ( + 2) (n + + 1) (n + + + 1)2 ( + 1) ( + 2)(n + + 1) (n + + + 1)=2++2(n 1)!(n + ) ( + 1) ( + 3) (n + + 2) (n + + + 2).En resumen, hemos obtenido el siguiente resultado acerca de los ceros de P,n.Teorema 20Para n 1, se tiene1.lmMM_1 x(M)n,n_ =2++2(n 1)! (n + ) ( + 1) ( + 3) (n + + 2) (n + + + 2). (3.11)2.lmMx(M)n,k= x+2,,n1,kk= 1, , n 1.3.5. Modelo electrostticoSupongamos que_x(M)n,k_k1son los ceros de P,n(x) ordenados de forma cre-ciente. Si evaluamos (3.7) en cada uno de estos ceros se tiene:A(x(M)n,k ; n; )_P,n(x(M)n,k )_+ B(x(M)n,k ; n ; )_P,n(x(M)n,k )_= 0,y_P,n(x(M)n,k )__P,n(x(M)n,k )_= B(x(M)n,k ; n ; )A(x(M)n,k ; n; ).PeroB(x(M)n,k ; n ; )A(x(M)n,k ; n; )623.5. MODELO ELECTROSTTICO 63= +1,_x(M)n,k_ _q+1,_x(M)n,k ; n_ r+1,nv(x(M)n,k ; n)_+ rn_1 _x(M)n,k_2_ _+1,n +1,n1__q+1,_x(M)n,k ; n_ rnv+1,_x(M)n,k ; n___x(M)n,k_= +1,_x(M)n,k__x(M)n,k_ +rn_+1,n1 +1,n_q+1,_x(M)n,k ; n_ rnv+1,_x(M)n,k ; n_.Realizando algunos clculos tediosos, tenemos:+1,_x(M)n,k__x(M)n,k_ =( + + 3) x(M)n,k+ ( + 1)1 _x(M)n,k_2= + 21 x(M)n,k + 11 + x(M)n,k.De_P,n(x(M)n,k )__P,n(x(M)n,k )_= 2n

j=1jk1x(M)n, j x(M)n,kse sigue que2n

j=1jk1x(M)n, j x(M)n,k= + 21 x(M)n,k + 11 + x(M)n,k++rn_+1n1 +1n_q+1,_x(M)n,k ; n_ rnv+1,_x(M)n,k ; n_.Dado que +1n= n (n + + + 1),+1,n1 +1,n= 2n + + + 1.Por tanto:n

j=1jk1x(M)n, j x(M)n,k+ + 22_1 x(M)n,k_ + 12_1 + x(M)n,k_+6364 CAPTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO JACOBI+rn (2n + + + 1)q+1,_x(M)n,k ; n_ rnv+1,_x(M)n,k ; n_= 0. (3.12)Usando el hecho queq+1,_x(M)n,k ; n_ rnv+1,_x(M)n,k ; n_= x(M)n,k(nrn ntn n 1) ++ntn + b+1,n1+ (n + + + 1) +1,n1_a+1,n1dn + n + + + 1_rn,si se denen ln y sn de la siguiente manera:ln=rn (2n + + + 1)(nrn ntn n 1),sn= ntn + b+1,n1+ (n + + + 1) +1,n1+_a+1,n1dn + n + + + 1_rn(nrn ntn n 1),entoncesrn (2n + + + 1)q+1,_x(M)n,k ; n_ rnv+1,_x(M)n,k ; n_=lnx(M)n,k sn.En otras palabras, (3.12) se puede expresar comon

j=1jk1x(M)n, j x(M)n,k+ + 22_1 x(M)n,k_ + 12_1 + x(M)n,k_+lnx(M)n,k sn= 0. (3.13)Como consecuencia, se puede dar la siguiente interpretacin electrosttica dela distribucin de los ceros de P,n. Si consideramos n cargas localizadas en larecta real bajo una interaccin logartmica y con el campo extreno(x) = ( + 2)2ln x 1 + 12ln x + 1 + ln ln x sn ,esta ecuacin nos dice que el gradiente de la energa totalE(X) =

1k 0sn1 ( + 1)( + 2)( + 1)( + 2) + 3= ( + 1)( + 2) 1( + 1)( + 2) + 3.Notemos que ln y sn no dependen de M cuando n .3.6. Representacin HipergeomtricaConsideremos la frmula (1.39) que expresa los polinomios de Jacobi en tr-minos de funciones hipergeomtricas as como la frmula de conexin (3.3). En-toncesP,n(x) =2n( + 2)n(n + + + 2)n

k=0(n)k(n + + + 2)k( + 2)k(1 x)k2kk!+rn2n1( + 2)n1(n + + + 1)n1

k=0(n + 1)k(n + + + 2)k( + 2)k(1 x)k2kk!=2n( + 2)n(n + + + 2)n

k=0(n)k(n + + + 2)k( + 2)k(1 x)k2kk!_1 +rn(2n + + )(2n + + + 1)(n + k)2(n + + 1)(n + + + 1)(n)_=2n( + 2)nrn(2n + + )(2n + + + 1)(n + + + 2)n2(n + + 1)(n + + + 1)(n)

k=0(n)k(n + + + 2)k( + 2)k(1 x)k2kk!_2(n + + 1)(n + + + 1)(n)rn(2n + + )(2n + + + 1)+ k n_.Escogiendoan=2(n + + 1)(n + + + 1)(n)rn(2n + + )(2n + + + 1) n6566 CAPTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO JACOBIse tieneP,n(x) =2n1( + 2)nrn(2n + + )(2n + + + 1)(n + + + 2)n(n + + 1)(n + + + 1)(n)

k=0(n)k(n + + + 2)k(an + k)( + 2)k(1 x)k2kk!=2n1( + 2)nrn(2n + + )(2n + + + 1)an(n + + + 2)n(n + + 1)(n + + + 1)(n)

k=0(n)k(n + + + 2)k(an + k)k(an)k( + 2)k(1 x)k2kk!=2n1( + 2)nrn(2n + + )(2n + + + 1)an(n + + + 2)n(n + + 1)(n + + + 1)(n) 3F2_n, n + + + 2, an + k; an, + 2; 1 x2_,es decirProposicin 10Para cada n NP,n(x) =2n1( + 2)nrn(2n + + )(2n + + + 1)an(n + + + 2)n(n + + 1)(n + + + 1)(n) 3F2_n, n + + + 2, an + k; an, + 2; 1 x2_,donde3F2_n, n + + + 2, an + k; an, + 2; 1 x2_=

k=0(n)k(n + + + 2)k(an + k)k(an)k( + 2)k(1 x)k2kk!.66CAPTULO 4Perturbaciones del funcional deLaguerre-Hahn4.1. IntroduccinEl objetivo principal de este captulo es analizar cmo las propiedades carac-tersticas de los funcionales de Laguerre-Hahn se conservan al perturbar un fun-cional lineal de dicha familia mediante la derivada de una Delta de Dirac as comodeterminar la clase del funcional perturbado. En un trabajo previo (ver [1] ) se pre-sentan algunos ejemplos de perturbaciones de funcionales lineales de Laguerre-Hahn. En ese mismo trabajo tambin se ha analizado la clase de los funcionaleslineales perturbados.En este apartado de la Memoria estudiamos la clase de un funcional linealde Laguerre-Hahn modicado mediante la adicin de la primera derivada de unaDelta de Dirac. Esta perturbacin se analizar en el caso de los funcionales asocia-dos de primera especie correspondientes a los funcionales clsicos, determinandolas ecuaciones distribucionales que este nuevo funcional lineal satisface, as co-mo la ecuacin diferencial de Riccati que satisface la correspondiente funcin deStieltjes. Finalmente, obtenemos la expresin explcita de los polinomios ortog-onales respecto a esta perturbacin cuando se considera el funcional asociado deprimera especie de Laguerre.6768 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHN4.2. Modicacin mediante una derivada de Deltade Dirac.Proposicin 11Sea un funcional lineal de Laguerre-Hahn y seanMy c dosnmeros reales arbitrarios. Entonces = + Mces un funcional lineal de Laguerre-Hahn, donde c= D(x c).Demostracin. Sea S =S ()(z) la funcin de Stieltjes correspondiente al fun-cional tal que(z)S= B(z)S2+ C(z)S+ D(z) (4.1)y sea S= S ()(z) la funcin de Stieltjes asociada a . Entonces(, xn) = n Mncn1, n 0.Por tantoS (z) = S (z) M(z c)2y sustituyendo la anterior expresin en (4.1), tenemos(z c)4(z)S= (z c)4B(z)S2+_(z c)4C(z) 2M(z c)2B(z)_ S (4.2)+_M2B(z) 2M(z c)(z) M(z c)2C(z) + (z c)4D(z)_.Comoconsecuencia, esunfuncional deLaguerre-Hahnquesatisfacelaecuacin diferencialD_(x c)4_+_(x c)4 + 2(x c)2B 4(x c)3_+(xc)4B_x12_ = 0.Esto signica que la familia de funcionales lineales de Laguerre-Hahn permaneceinvariante para este tipo de perturbacin.4.2.1. Determinacin de la claseEn adelante, asumiremos que es un funcional lineal de Laguerre-Hahn declase s.684.2. MODIFICACIN MEDIANTE UNA DERIVADA DE DELTA DE DIRAC. 69Proposicin 12Sea un funcional lineal de Laguerre-Hahn de clases y = + Mc. Entonces es un funcional lineal de Laguerre-Hahn de clase s tal ques 4 s s + 4.Demostracin. Sean , y B como en el Teorema 13. SiD__+ + B _x12_ = 0, (4.3)es la ecuacin distribucional que satisface , donde(x) = (x c)4(x), (x) = (x c)2 _(x c)2(x) 4(x c)(x) + 2B(x)_,(4.4)B(x) = (x c)4B(x), (4.5)entoncesdeg = t s + 6,deg = p s + 5,deg B= r s + 6.Por tanto, d= m axt, r s + 6 y s = m axp 1, d 2 s + 4.Por otra parte, dado que = Mc entonces s s + 4.Proposicin 13Sea unfuncional lineal deLaguerre-Hahnquesatisfacelaecuacin (4.3). Entonces para cada cero de (x) distinto de c, la ecuacin (4.3)es irreducible.Demostracin. Dado que S ()(z) satisface (1.40), donde los polinomios , B, C,y D son coprimos, sean y B como en la Proposicin 12 yC(z) = (z c)4C(z) 2M(z c)2B(z)D(z) = M2B(z) 2M(z c)(z) M(z c)2C(z) + (z c)4D(z).Supongamos que a es un cero de distinto de c. Esto nos lleva a tres difer-entes situaciones1. Si B(a)0, entonces B(a)0.2. Si B(a) = 0 y C(a)0, entonces tenemos C(a)0.6970 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHN3. Si B(a) = C(a) = 0 entonces, dado que D(a)0, tenemos D(a)0, y, portanto,B(a) + C(a) + D(a)0.En conclusin, la ecuacin (1.40) es irreducible.Para analizar la clase de estudiaremos el comportamiento de los polinomiosB, C y D en z = c.Proposicin 14Sean, B, C y D los polinomios denidos en (1.40). Para = + Mc, sean s y s las clases de y , respectivamente. Entonces tenemos1. s = s + 4 si B(c)0.2. s = s + 3 siB(c) = 0, (4.6)y MB(c) 2(c)0.3. s = s + 2 si se satisface la condicin (4.6) junto conMB(c) 2(c) = 0, (4.7)y12MB(c) 2(c) C(c)0.4. s = s + 1 si ocurre alguno de los siguientes casos4.1. (4.6), (4.7),12MB(c) 2(c) C(c) = 0, (4.8)y B(c)0.4.2. (4.6), (4.7), (4.8),B(c) = 0, (4.9)yM3!B(c) (c) C(c)0.5. s = s si ocurre alguno de los siguientes casos5.1. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9),M3!B(c) (c) C(c) = 0, (4.10)y (c)0.704.2. MODIFICACIN MEDIANTE UNA DERIVADA DE DELTA DE DIRAC. 715.2. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10),(c) = 0, (4.11)y C(c) MB(c)0.5.3. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11),C(c) MB(c) = 0, (4.12)yM24! B(4)(c) 2M3!(c) M2 C(c) + D(c)0.6. s = s 1 si ocurre alguno de los siguientes casos6.1. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12),M24! B(4)(c) 2M3!(c) M2 C(c) + D(c) = 0, (4.13)y (c)0.6.2. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13),(c) = 0, (4.14)y C(c) 2M3! B(c)0.6.3. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14),C(c) 2M3!B(c) = 0 (4.15)yM25! B(5)(c) 2M4!(4)(c) M3!C(c) + D(c)0.7. s = s 2 si ocurre alguno de los siguientes casos7.1. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),M25! B(5)(c) 2M4!(4)(c) M3!C(c) + D(c) = 0, (4.16)y (c)0.7172 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHN7.2. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),(4.16),M25! B(5)(c) 2M4!(4)(c) M3!C(c) + D(c) = 0, (c) = 0, (4.17)y B(c)0.7.3. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),(4.16), (4.17),B(c) = 0, (4.18)y12C(c) 2M4! B(4)(c)0.7.4. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),(4.16), (4.17), (4.18),12C(c) 2M4!B(4)(c) = 0, (4.19)yM26! B(6)(c) 2M5!(5)(c) M4!C(4)(c) +12D(c)0.8. s = s 3 si ocurre alguno de los siguientes casos8.1. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),(4.16), (4.17), (4.18), (4.19),M26! B(6)(c) 2M5!(5)(c) M4!C(4)(c) +12D(c) = 0 (4.20)y (c)0.8.2. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),(4.16), (4.17), (4.18), (4.19), (4.20),(c) = 0, (4.21)y B(c)0.8.3. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),(4.16), (4.17), (4.18), (4.19), (4.20), (4.21),B(c) = 0, (4.22)y13!C(c) 2M5! B(5)(c)0.724.2. MODIFICACIN MEDIANTE UNA DERIVADA DE DELTA DE DIRAC. 738.4. (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15),(4.16), (4.17), (4.18), (4.19), (4.20), (4.21), (4.22),13!C(c) 2M5!B(5)(c) = 0, (4.23)yM27! B(7)(c) 2M6!(6)(c) M5!C(5)(c) +13!D(c)0.9. s =s 3 si (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14),(4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19), (4.20), (4.21), (4.22), (4.23), yM27! B(7)(c) 2M6!(6)(c) M5!C(5)(c) +13!D(c)0. (4.24)10. s =s 4 si (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14),(4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19), (4.20), (4.21), (4.22), (4.23), yM27! B(7)(c) 2M6!(6)(c) M5!C(5)(c) +13!D(c) = 0. (4.25)Demostracin. En general, S (z)= S ()(z) satisface la ecuacin (4.2), donde s s + 4. Obsrvese que si B(c)0 entonces s = s + 4.En adelante usaremos la siguiente notacin. Si Tk(z) es un polinomio de gradok, c un nmero real y k un nmero entero no negativo, entonces Tc,k(z) ser elpolinomio tal queTc,k(z) = (z c)Tc,k+1(z) + t(k)c,con la condicin inicial Tc,0(z) = T(z).Si B(c) = 0, en (4.2) podemos dividir por z c y(z c)3S= (z c)3BS2+_(z c)3C 2M(z c)B_ S+_M2Bc,1 2M M(z c)C + (z c)3D_,de modo que s s + 3. En particular, si MBc,1(c) 2(c)0, s = s + 3.Si MBc,1(c) 2(c) = 0, entonces MB(c) 2(c) = 0. Dividiendo por (z c)en la anterior expresin, obtenemos(z c)2S= (z c)2BS2+_(z c)2C 2MB_ S+_M2Bc,2 2Mc,1 MC + (z c)2D_, (4.26)7374 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHNy, por tanto s s + 2. En particular si MBc,2(c) 2c,1(c) C(c)0 entoncess = s + 2.Si MBc,2(c) 2c,1(c) C(c) =0, entonces12MB(c) 2(c) C(c) =0.Dividiendo por (z c) en (4.26),(z c)S= (z c)BS2+_(z c)C 2MBc,1_ S+_M2Bc,3 2Mc,2 MCc,1 + (z c)D_, (4.27)entonces s s + 1. En particular si B(c) = 0 entonces s = s + 1.SiBc,1(c) =0 yMBc,3(c) 2c,2(c) Cc,1(c) 0, entonces s =s+ 1. SiB(c) = 0 yM3!B(c) (c) C(c) = 0, nuevamente, podemos dividir por (z c),en (4.27),S= BS2+_C 2MBc,2_ S+_M2Bc,4 2Mc,3 MCc,2 + D_,por tanto s s. Supongamos(c)0. Entonces la anterior expresin no puedesersimplicada.Si (c) =0yB(c) 0,osi (c) =0, B(c) =0y C(c) 2MBc,2(c)0, o si(c) =B(c) =0= C(c) 2MBc,2(c) =0 pero M2Bc,4(c) 2Mc,3(c) MCc,2(c) + D0 no podemos simplicarAhora, si se satisfacen las siguientes cuatro condiciones1. (c) = 0,2. B(c) = 0,3. C(c) 2MBc,2(c) = 0, o, lo que es lo mismo, C(c) MB(c) = 0,4. M2Bc,4(c)2Mc,3(c)MCc,2(c)+D(c) = 0, o lo que es lo mismo,M24! B(4)(c)2M3!(c) M2 C(c) + D(c) = 0,por tantoc,1S= Bc,1S2+_Cc,1 2MBc,3_ S+_M2Bc,5 2Mc,4 MCc,3 + Dc,1_.Esto signica que s s 1. Por tanto, si alguna de las anteriores condicionesno se satisface y (c) = 0, no podremos simplicar la ecuacin y s = s.De nuevo, si se satisfacen las siguientes cuatro condiciones1. c,1(c) = 0, i.e. (c) = 0,744.2. MODIFICACIN MEDIANTE UNA DERIVADA DE DELTA DE DIRAC. 752. Bc,1(c) = 0, i.e. B(c) = 0,3. Cc,1(c) 2MBc,3(c) = 0, i.e. C(c) 2M3! B(c) = 0,4. M2Bc,5(c) 2Mc,4(c) MCc,3(c) + Dc,1(c) = 0, i.e.M25! B(5)(c) 2M4!(4)(c) M3!C(c) + D(c) = 0,entoncesc,2S= Bc,2S2+_Cc,2 2MBc,4_ S+_M2Bc,6 2Mc,5 MCc,4 + Dc,2_,lo que es lo mismo que s s 2. En particular, si alguna de las anteriores condi-ciones no se satisface entonces la clase es s 1.Si se satisfacen las siguientes condiciones1. c,2(c) = 0, i.e. (c) = 0.2. Bc,2(c) = 0, i.e. B(c) = 0,3. Cc,2(c) 2MBc,4(c) = 0 i.e.12C(c) 2M4! B(4)(c) = 0,4. M2Bc,6(c) 2Mc,5(c) MCc,4(c) + Dc,2(c) = 0 i.e.M26! B(6)(c) 2M5!(5)(c) M4!C(4)(c) +12D(c) = 0,entoncesc,3S= Bc,3S2+_Cc,3 2MBc,5_ S+_M2Bc,7 2Mc,6 MCc,5 + Dc,3_,lo que signica que s s3. En particular, si alguna de las siguientes condicionesno se satisface, entonces la clase es s 2.Finalmente, si se satisfacen las siguientes cuatro condiciones1. c,3(c) = 0 i.e. (c) = 02. Bc,3(c) = 0 i.e. B(c) = 0,3. Cc,3(c) 2MBc,5(c) = 0 i.e.13!C(c) 2M5! B(5)(c) = 0,4. M2Bc,7(c) 2Mc,6(c) MCc,5(c)+ Dc,3(c)i.e.M27! B(7)(c) 2M6!(6)(c) M5!C(5)(c) +13!D(c) = 0,entoncesc,4S= Bc,4S2+_Cc,4 2MBc,6_ S+_M2Bc,8 2Mc,7 MCc,6 + Dc,4_,Lo que signica que s =s 4. Si alguna de las anteriores no se satisfaces = s 3.7576 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHN4.2.2. EjemplosEn los siguientes ejemplos, presentamos la ecuacin distribucional que sat-isface =(1) Nc siendo(1)el funcional asociado de primera especie paralos polinomios ortogonales clsicos. Tambin encontramos la ecuacin de Riccaticuya solucin es la correspondiente funcin de Stieltjes S (z) = S ()(z).De acuerdo con la denicin 2,Polinomios asociados de primera especie de HermiteEn este caso B(c) = 10 y satisface la ecuacinD_(x c)4_+ 2(x c)2 _(x c)2x N 2(x c)_ (x c)4 _x12_ = 0.La clase s del funcional lineal es s= 4. Adems, S (z) satisface la ecuacinde Riccati(z c)4S= (z c)4S2+ 2(z c)2 _z(z c)2+ N_ S+_N2 2N(z c)2+ 2z(z c)2 2(z c)4_.Polinomios asociados de primera especie de LaguerreB(c) = 10 y satisface la ecuacinD_x(x c)4_+ (x c)2 _(x 3)(x c)2 2N(a + 1) 4x(x c)_ ( + 1)(x c)4 _x12_ = 0.La clase del funcional lineal es s= 4. Adems S (z) satisface la ecuacin deRiccatiz(z c)4S= ( + 1)(z c)4S2(4.28)+(z c)2 _2N( + 1) + (z + + 2)(z c)2_ S+_N2( + 1) 2Nz(z c) N(z + + 2)(z c)2 (z c)4_.764.2. MODIFICACIN MEDIANTE UNA DERIVADA DE DELTA DE DIRAC. 77Polinomios asociados de primera especie de JacobiB(c)0, ya que si + + 1= 0 obtenemos un caso semiclsico. Por tanto,s = 4. Por otra parte, Ssatisface,(z c)4(z2 1)S=(z c)44( + 1)( + 1)( + + 1)( + + 3)( + + 2)2S2+ (z c)2_2N4( + 1)( + 1)( + + 1)( + + 3)( + + 2)2++(z c)2_( + + 2)z 2 2 + + 2__ S++_2N(z2 1)(z c) + N24( + 1)( + 1)( + + 1)( + + 3)( + + 2)2N(z c)2_( + + 2)z 2 2 + + 2_+ (z c)4( + + 3)_,y satisface la ecuacin distribucionalD_(x c)4(x2 1)_+ (x c)2__( + + 4)x +2 2 + + 2_(x c)2+ 2N( + 1)( + 1)( + + 1)( + + 3)( + + 2)2 4(x c)(x2 1)_ +4(x c)4( + 1)( + 1)( + + 1)( + + 3)( + + 2)2_x12_ = 0.Polinomios asociados de primera especie de BesselDado que B(c)0, ya que = 1/2 pertenece a un caso semiclsico, entoncess = 4. Ssatisfacez2(z c)4S=(z c)4(2 1)2(2 + 1)S2+ (z c)2_2N(2 1)2(2 + 1)+ (z c)22_z + 1 1__ S+_2Nz2(z c) N2(2 1)2(2 + 1) N(z c)22_z + 1 1_+ (z c)4(2 + 1)_,7778 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHNy para tenemosD_x2(x c)4_+(x c)2_2(x c)2 _( + 1)x + 1 1_ 2N(2 1)2(2 + 1) 4x2(x c)_(x c)4(2 1)2(2 + 1)_x12_ = 0.4.3. Algunos resultados sobre perturbaciones de lospolinomios asociados de Laguerre de primeraespecie mediante una derivada Delta de Dirac.En esta seccin trabajamos con los polinomios asociados de primera especie_Ln_(1)(x) de los polinomios de Laguerre que denotaremos mediante Ln(, 1, x).Estos polinomios satisfacen la siguiente ecuacin diferencial de cuarto orden (ver[35]).x2L(iv)n+1(, 1, x) + 5xLn+1(, 1, x) +_x2+ 2(n + + 3)x 2+ 4_Ln+1(, 1, x)(4.29)+3(x + + n + 3)Ln+1(, 1, x) + (n + 3)(n + 1)Ln+1(, 1, x) = 0, n 0.Adems, son ortogonales respecto al funcional lineal , (ver [22]), tal que(, p(x)) =_0p(x)xexdx(, 1 , xei)2, > 2, (4.30)donde(a, b, x) = 1 +

n=1(a)n(b)nxn,(a)n= a(a + 1)(a + n 1), (a)0= 1.La relacin de ortogonalidad de los polinomios mnicos est dada por_0Ln(, 1, x)Lm(, 1, x)xexdx(, 1 , xei)2= ( + n + 2)(n + 1)!mn. (4.31)784.3. ALGUNOS RESULTADOS SOBRE PERTURBACIONES DE LOS POLINOMIOS ASOCIADOS DELAGUERRE DE PRIMERA ESPECIE MEDIANTE UNA DERIVADA DELTA DE DIRAC. 79Adems, se tiene la siguiente relacin de estructuraxLn(, 1, x) = (n + 2)Ln(, 1, x) Ln+1(, 1, x) + Ln+1(, 0, x) (4.32)donde Ln(, 0, x)n0 denota la sucesin de los polinomios clsicos de Laguerre.Los polinomios asociados de primera especie de los polinomios de Laguerrepueden representarse medianteLn(, 1, x) = (1)n(n+1)!(+2)nn

k=0(n)kxk(2)k( + 2)k3F2 (k n, 1, + 1; + k + 2, k + 2; 1) ,(ver [21] y [22]).Los polinomios Ln(, 1, x)n0 satisfacen la frmula de Christoel-Darboux,n1

m=0Lm(, 1, x)Lm(, 1, y)(m + 1)!( + m + 2)=1x yLn(, 1, x)Ln1(, 1, y) Ln1(, 1, x)Ln(, 1, y)n!( + n + 1).Ahora , consideremos = + Mc. Entonces(, p(x)) = (, p(x)) Mp(c). (4.33)Denotemos mediante Ln(, 1, M, x)n0 la sucesin de polinomios ortogonalesmnicos, ortogonales respecto a . TenemosProposicin 15Para cada n N,Ln(, 1, M, x) = R(x; , n, M, c)Ln(, 1, x) S (x; , n, M, c)Ln1(, 1, x) (4.34)dondeR(x, , n, M, c) =1 MB(, n, M, c)Ln1(, 1, c)D(, n, M, c) (x c) ( + n + 1)n! MA(, n, M, c)Ln1(, 1, c)D(, n, M, c)(x c)2( + n + 1)n!MA(, n, M, c)Ln1(, 1, c)D(, n, M, c)(x c)( + n + 1)n!,S (x, , n, M, c) =7980 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHNMB(, n, M, c)Ln(, 1, c)D(, n, M, c) (x c) ( + n + 1)n!+MA(, n, M, c)Ln(, 1, c)D(, n, M, c)(x c)2( + n + 1)n!+MA(, n, M, c)Ln(, 1, c)D(, n, M, c)(x c)( + n + 1)n!,A(, n, M, c) = Ln(, 1, c)_1 MLn(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln1(, 1, c)2( + n + 1)n!_+MLn(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)( + n + 1)n!Ln(, 1, c),B(, n, M, c) =_1 MLn(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln1(, 1, c)2( + n + 1)n!_Ln(, 1, c)+M6( + n + 1)n!_Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)+ 3_Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)__Ln(, 1, c),D(, n, M, c) =_1 MLn(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln1(, 1, c)2( + n + 1)n!_2Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)( + n + 1)n!M26( + n + 1)n!_Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)+ 3_Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)__Ln(, 1, c).Demostracin. Consideremos el desarrollo de FourierLn(, 1, M, x) = Ln(, 1, x) +n1

k=0an,kLk(, 1, x),dondean,k=(, Ln(, 1, M, x)Lk(, 1, x))jLk(, 1, x)j2.Para obtener los coecientes an,k, podemos usar la ortogonalidad de los poli-nomios Ln(, 1, M, x) con respecto a , esto es,(, Ln(, 1, M, x)Lk(, 1, x)) = 0, 0 k n 1.De (4.33)804.3. ALGUNOS RESULTADOS SOBRE PERTURBACIONES DE LOS POLINOMIOS ASOCIADOS DELAGUERRE DE PRIMERA ESPECIE MEDIANTE UNA DERIVADA DELTA DE DIRAC. 81(, Ln(, 1, M, x)Lk(, 1, x)) = (, Ln(, 1, M, x)Lk(, 1, x))MLn(, 1, M, c)Lk(, 1, c) MLn(, 1, M, c)Lk(, 1, c)y, por tanto,an,k=MLn(, 1, M, c)Lk(, 1, c) + MLn(, 1, M, c)Lk(, 1, c)jLk(, 1, x)j2.EntoncesLn(, 1, M, x) = Ln(, 1, x) + MLn(, 1, M, c)n1

k=0Lk(, 1, c)Lk(, 1, x)( + k + 2)(k + 1)!+MLn(, 1, M, c)n1

k=0Lk(, 1, c)Lk(, 1, x)( + k + 2)(k + 1)!.Por tantoLn(, 1, M, x) = Ln(, 1, x)+MLn(, 1, M, c)Kn1(x, c)+MLn(, 1, M, c)K(0,1)n1 (x, c),obtenindose el siguiente sistema de ecuaciones lineales____1 MK(1,0)n1 (c, c)_Ln(, 1, M, c) MKn1(c, c)Ln(, 1, M, c) = Ln(, 1, c),MK(1,1)n1 (c, c)Ln(, 1, M, c) +_1 MK(1,0)n1 (c, c)_Ln(, 1, M, c) = Ln(, 1, c).(4.35)Para obtener Ln(, 1, M, c) y Ln(, 1, M, c) necesitamos los valores de, Kn(c, c),K(0,1)n1 (c, c) y K(1,1)n1 (c, c). Usando la frmula de Christoel-Darboux, (1.9) y (1.10)tenemosKn1(c, c) =Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)( + n + 1)n!,K(0,1)n1 (c, c) = K(1,0)n1 (c, c)=Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln1(, 1, c)2( + n + 1)n!,8182 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHNyK(1,1)n1 (c, c) =16( + n + 1)n!_Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)+ 3_Ln(, 1, c)Ln1(, 1, c) Ln1(, 1, c)Ln(, 1, c)__.De (4.35) se tieneLn(, 1, M, c) =A(, n, M, c)D(, n, M, c),Ln(, 1, M, c) =B(, n, M, c)D(, n, M, c).EntoncesLn(, 1, M, x) = R(x; , n, M, c)Ln(, 1, x) S (x; , n, M, c)Ln1(, 1, x),A continuacin mostraremos algunos ejemplos de casos particulares de (4.34)teniendo en cuenta que los coecientes que aparecen en (4.34) vienen dados en tr-minos de L(k)n(, 1, c). En el caso en el que c = 0, tenemos que calcular, Ln(, 1, 0),Ln(, 1, 0), Ln(, 1, 0) y Ln(, 1, 0). Usando la relacin de estructura (4.32) eval-uada en c = 0, en los casos de n = 0 y n = 1, obtenemosL2(, 1, 0) = a2 3a1 + 2,donde a1= L1(, 1, 0), a2= L2(, 1, 0). Demostraremos por induccin, queLn(, 1, 0) =n

k=0(1)k(n + 1)!ank(n + 1 k)!, (4.36)donde an= Ln(, 1, 0), n N. En efecto, de (4.32), se tiene(n + 2)Ln(, 1, 0) + Ln+1(, 1, 0) = an+1,824.3. ALGUNOS RESULTADOS SOBRE PERTURBACIONES DE LOS POLINOMIOS ASOCIADOS DELAGUERRE DE PRIMERA ESPECIE MEDIANTE UNA DERIVADA DELTA DE DIRAC. 83por tanto, de (4.36) obtenemosLn+1(, 1, 0) = an+1 (n + 2)n

k=0(1)k(n + 1)!ank(n + 1 k)!= an+1 n

k=0(1)k(n + 2)!ank(n + 1 k)!= an+1 n

k=1(1)k1(n + 2)!an+1k(n + 2 k)!=n+1

k=1(1)k(n + 2)!an+1k(n + 2 k)!.Si derivamos tres veces (4.34), evaluamos cada una de estas derivadas en c=0, obtenemos las siguientes expresiones(n + 3)Ln(, 1, 0) + Ln+1(, 1, 0) = Ln+1(, 1, 0),(n + 4)Ln(, 1, 0) + Ln+1(, 1, 0) = Ln+1(, 1, 0),(n + 5)Ln(, 1, 0) + Ln+1(, 1, 0) = Ln+1(, 1, 0).Aplicando el mismo mtodo que usamos para probar (4.36) en cada una de lasanteriores expresiones se tieneProposicin 16Para cada n N,Ln(, 1, 0) =n

k=0(1)n(n + 1)!(n + + 1 k)(n + 1 k)!( + 1), (4.37)Ln(, 1, 0) =n1

k=0(1)n1(n + 2)!(n k)(n + + 1 k)(n + 2 k)!( + 2), (4.38)Ln(, 1, 0) =n2

k=0(1)n(n + 3)!(n k 1)2(n + + 1 k)(n + 3 k)!( + 3), (4.39)Ln(, 1, 0) =n3

k=0(1)n1(n + 4)!(n k 2)3(n + + 1 k)(n + 4 k)!( + 4). (4.40)8384 CAPTULO 4. PERTURBACIONES DEL FUNCIONAL DE LAGUERRE-HAHN84CAPTULO 5Polinomios ortogonales tipo LaguerreSobolev5.1. IntroduccinLos polinomios con los que trabajamos en este captulo corresponden a unmodelo de polinomios de tipo Laguerre-Sobolev_Ln_n0 que son ortogonales re-specto al producto escalar(p, q)S=_0p(x)q(x)xexdx + Np(0)q(0), N R+, p, q P. (5.1)Nuestro objetivo es encontrar una ecuacin diferencial lineal de segundo or-den que satisfagan los polinomios Lnpara cada n N, usando una frmula deconexin entre estos polinomios y los polinomios mnicos de Laguerre L+2n, L+2n1y L+2n2. Una vez encontrada esta ecuacin diferencial, la usaremos para dar unainterpretacin electrosttica de los ceros de Ln. Por otra parte, hallamos una ex-presin hipergeomtrica de estos polinomios y realizamos un estudio numricodel comportamiento de los ceros de Ln. Finalmente, analizamos el comportamien-to asinttico de los polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev.8586 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEV5.2. Frmula de conexinUsando la misma notacin de los captulos precedentes para los polinomiosortogonales mnicos de Laguerre Ln(x), denimos el siguiente producto escalarde tipo Sobolev(p, q)S=_0pqxexdx + Np(0)q(0), N R+. (5.2)con p, q P, > 1.Sea_Ln_n0 la sucesin de polinomios ortogonales mnicos correspondientesal producto escalar (5.2), que se denominarn de tipo Laguerre-Sobolev. Para en-contrar la ecuacin diferencial de segundo orden que satisfacen dichos polinomiosortogonales, los escribiremos como una combinacin lineal de polinomios ortogo-nales mnicos de Laguerre. En efecto, teniendo en cuenta el desarrollo de Fourier:Ln(x) = Ln(x) +n1

j=0an, jLj(x)dondean, j=_Ln(x), Lj(x)_____Lj____2, j = 1, , n 1,=_Ln(x), Lj(x)_S N_Ln_(0)_Lj_(0)____Lj____2=N_Ln_(0)_Lj_(0)____Lj____2.EntoncesLn(x) = Ln(x) N_Ln_(0)n1

j=0_Lj_(0)Lj(x)____Lj____2.Asi pues,Ln(x) = Ln(x) N_Ln_(0)K(0,1)n1 (x, 0). (5.3)865.2. FRMULA DE CONEXIN 87Dado que Kn1(x, 0) es un mltiplo del polinomio de Laguerre L+1n1, podemosencontrarunaexpresinsimilarparaK(0,1)n1 (x, 0)entrminosdepolinomiosdeLaguerre. En efecto, si denotamos mediante (p, q)+2 el producto escalar asociadocon el peso Laguerre x+2exdx y dado que,___Ln1___2_Ln1_(0)K(0,1)n1 (x, 0) = L+2n1(x) +n2

j=0bn1, jL+2j(x)dondebn1, j=_ jLn1j2(Ln1)(0)K(0,1)n1 (x, 0), L+2j(x)_+2____L+2j____2+2=___Ln1___2_Ln1_(0)____L+2j____2+2_K(0,1)n1 (x, 0), L+2j(x)_+2 .Usando el hecho que para 0 j n 3 se tiene:_K(0,1)n1 (x, 0), L+2j(x)_+2=_0K(0,1)n1 (x, 0)L+2j(x)x+2exdx=_0K(0,1)n1 (x, 0)x2L+2j(x)xexdx= 0,y deducimos que___Ln1___2_Ln1_(0)K(0,1)n1 (x, 0) = L+2n1(x) + bn1,n2L+2n2(x),o, equivalentemente,___Ln1___2_Ln1_(0)K(0,1)n1 (x, 0) = L+2n1(x)+___Ln1___2_Ln1_(0)___L+2n2___2+2_K(0,1)n1 (x, 0), L+2n2(x)_+2 L+2n2(x)es decir,K(0,1)n1 (x, 0) =_Ln1_(0)___Ln1___2L+2n1(x) +_K(0,1)n1 (x, 0), L+2n2(x)_+2___L+2n2___2+2L+2n2(x).8788 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEVPor otra parte,_K(0,1)n1 (x, 0), L+2n2(x)_+2=_K(0,1)n(x, 0) Ln(x)_Ln_ (0)___Ln___2, L+2n2(x)_+2=_K(0,1)n(x, 0), L+2n2(x)_+2 _Ln(x)_Ln_ (0)___Ln___2, L+2n2(x)_+2=_K(0,1)n(x, 0), x2L+2n2(x)__Ln_ (0)___Ln___2_Ln(x), x2L+2n2(x)_= _Ln_ (0)con lo que se ha probadoProposicin 17Para cada n N,K(0,1)n1 (x, 0) = an1L+2n1(x) + bn1L+2n2(x) (5.4)dondean1=_Ln1_(0)___Ln1___2=(1)n(n 2)!( + 2)ybn1= _Ln_ (0)___L+2n2___2+2=(1)nn(n 2)!( + 2)= nan1.Ahora, usando (1.24) y (5.4)Ln(x) = Ln(x) N_Ln_(0)_an1L+2n1(x) + bn1L+2n2(x)_= L+1n(x) + nL+1n1(x) N_Ln_(0)_an1L+2n1(x) + bn1L+2n2(x)_= L+2n(x) + nL+2n1(x) + n_L+2n1(x) + (n 1)L+2n2(x)_N_Ln_(0)_an1L+2n1(x) + bn1L+2n2(x)_= L+2n(x) +_2n N_Ln_(0)an1_L+2n1(x)+_n(n 1) N_Ln_(0)bn1_L+2n2(x).Queremos encontrar una expresin explcita de_Ln_(0). Para ello, derivamosen (5.3) y evaluamos en cero la correspondiente expresin885.2. FRMULA DE CONEXIN 89_Ln_(0) = nL+1n1(0) N_Ln_(0)K(1,1)n1 (0, 0).Asi pues, centraremos nuestra atencin en el clculo de K(1,1)n1 (0, 0). De (5.4)deducimos queK(1,1)n1 (x, 0) = (n 1)an1L+3n2(x) + (n 2)bn1L+3n3(x),Por otra parte, de (1.23) y (1.25)K(1,1)n1 (0, 0) = (n 1)an1L+3n2(0) + (n 2)bn1L+3n3(0)=(1)n2(n 1)(n 2)!( + 2)(1)n2(n + + 2)( + 4)+(1)nn(n 2)(n 2)!( + 2)(1)n3(n + + 1)( + 4)=(n 1)(n + + 2)(n 2)!( + 2)( + 4) n(n + + 1)(n 3)!( + 2)( + 4)=(n + + 1)(n 3)!( + 2)( + 4)_(n 1)(n + + 1)(n 2) n_=(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))(n 2)!( + 2)( + 4),es decir,K(1,1)n1 (0, 0) =(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))(n 2)!( + 2)( + 4). (5.5)Por tanto,_Ln_(0) =nL+1n1(0)1 + NK(1,1)n1 (0, 0)=n(1)n1(n++1)(+2)1 + N(n++1)(n(+2)(+1))(n2)!(+2)(+4)=n(1)n1( + 4)(n + + 1)(n 2)!(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1)), n 2.Entonces2n N_Ln_(0)an18990 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEV= 2n N(1)n(n 2)!( + 2) n(1)n1( + 4)(n + + 1)(n 2)!(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))=2n(n 2)!( + 2)( + 4)(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))+N(n + + 1) [2n (n( + 2) ( + 1)) + n( + 3)( + 2)](n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))=2n(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1)_2n2 + 4n2+ n2+ 4n + 3n_(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))yn(n 1) N_Ln_(0)bn1= n(n 1) N(1)nn(n 2)!( + 2) n(1)n1( + 4)(n + + 1)(n 2)!(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))=n!( + 2)( + 4)(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))+nN(n + + 1) [(n 1) (n( + 2) ( + 1)) + n( + 3)( + 2)](n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))=n!( + 2)( + 4) + nN(n + + 1)_n2 + 2n2+ n2+ 3n + 3n + + 1_(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1)).Por tanto, hemos probado el siguiente teoremaTeorema 21Sean Ln(x) los polinomios ortogonales mnicos de Laguerre yLn(x)los polinomios ortogonales mnicos de tipo Laguerre-Sobolev. EntoncesLn(x) = L+2n(x) + AnL+2n1(x) + BnL+2n2(x) (5.6)dondeAn=2n(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1)_2n2 + 4n2+ n2+ 4n + 3n_(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1)),Bn=n!( + 2)( + 4) + nN(n + + 1)_n2 + 2n2+ n2+ 3n + 3n + + 1_(n 2)!( + 2)( + 4) + N(n + + 1) (n( + 2) ( + 1)).905.3. ECUACIN DIFERENCIAL HOLONMICA 915.3. Ecuacin diferencial holonmicaPara encontrar la ecuacin diferencial lineal de segundo orden que satisfacenlos polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev, usaremos la ecuacin (1.21).Por tanto,x_L+2n(x)_+ ( + 3 x)_L+2n(x)_= nL+2n(x)x_L+2n1(x)_+ ( + 3 x)_L+2n1(x)_= (n 1)L+2n1(x)x_L+2n2(x)_+ ( + 3 x)_L+2n2(x)_= (n 2)L+2n2(x)y, en consecuencia,x_Ln(x)_+(+3x)_Ln(x)_= nL+2n(x) An(n1)L+2n1(x) Bn(n2)L+2n2(x).(5.7)Nuestro objetivo es expresar L+2n(x), L+2n1(x) y L+2n2(x) como combinacin deLn(x) y_Ln_(x) con funciones racionales como coecientes. Por tanto, derivandoen (5.6)ymultiplicandoporxambos miembrosdelaexpresin resultante, de(1.20) se siguex_Ln(x)_= nL+2n(x) + n(n + + 2)L+2n1(x) ++An_(n 1)L+2n1(x) + (n 1)(n + + 1)L+2n2(x)_+Bn_(n 2)L+2n2(x) + (n 2)(n + )L+2n3(x)_= nL+2n(x) + (n(n + + 2) + An(n 1) Bn) L+2n1(x) ++(An(n 1)(n + + 1) + Bn(n 2) + Bnx (2n + 1)Bn) L+2n2(x).Si denotamosHn= n(n + + 2) + An(n 1) BnC1(x; n) = Bnx + (n + + 1) (An(n 1) Bn)entoncesx_Ln(x)_= nL+2n(x) + HnL+2n1(x) + C1(x; n)L+2n2(x).Dado que de (1.19)9192 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEVL+2n2(x) =(x (2n + + 1))L+2n1(x) L+2n(x)(n 1)(n + + 1), (5.8)podemos escribirx_Ln(x)_=_n C1(x; n)(n 1)(n + + 1)_L+2n(x) +_Hn +C1(x; n)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_L+2n1(x).Si denimosKn= 1 Bn(n 1)(n + + 1),g1(x; n) = An +(x (2n + + 1))Bn(n 1)(n + + 1),f1(x; n) = n C1(x; n)(n 1)(n + + 1),f2(x; n) = Hn +C1(x; n)(x (2n + + 1))(n 1)(n + , +1),obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales___Ln(x) = KnL+2n(x) + g1(x; n)L+2n1(x)x_Ln(x)_=f1(x; n)L+2n(x) + f2(x; n)L+2n1(x).Por tanto,L+2n(x) =f2(x; n)Ln(x) xg1(x; n)_Ln(x)_Knf2(x; n) f1(x; n)g1(x; n), (5.9)L+2n1(x) =Knx_Ln(x)_ f1(x; n)Ln(x)Knf2(x; n) f1(x; n)g1(x; n). (5.10)925.3. ECUACIN DIFERENCIAL HOLONMICA 93De (5.7) y usando (5.8) tenemosx_Ln(x)_+ ( + 3 x)_Ln(x)_= nL+2n(x) An(n 1)L+2n1(x) Bn(n 2)_(x (2n + + 1))L+2n1(x) L+2n(x)(n 1)(n + + 1)_=_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_L+2n(x) _(n 1)An +(n 2)Bn(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_L+2n1(x),y, de (5.10),x_Ln(x)_+ ( + 3 x)_Ln(x)_=_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_f2(x; n)Ln(x) xg1(x; n)_Ln(x)_Knf2(x; n) f1(x; n)g1(x; n)_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_ Knx_Ln(x)_ f1(x; n)Ln(x)Knf2(x; n) f1(x; n)g1(x; n).Entoncesx_Ln(x)_+_( + 3 x) +_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_xg1(x, n)Knf2(x, n) f1(x, n)g1(x, n)+_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_KnxKnf2(x, n) f1(x, n)g1(x, n)__Ln(x)___n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_f2(x, n)Knf2(x, n) f1(x, n)g1(x, n)+_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_f1(x, n)Ln(x)Knf2(x, n) f1(x, n)g1(x, n)__Ln(x)= 0Por tanto, hemos probado:9394 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEVTeorema 22Sea _Ln_n0 la sucesin de los polinomios ortogonales mnicos deLaguerre y_Lan_n0la sucesin de los polinomios ortogonales asociados con elproducto escalar de tipo Sobolev (p, q)S=_ 0pqxexdx + Np(0)q(0), donde py q son polinomios reales. EntoncesA(x; n)_Ln(x)_+ B(x; n)_Ln(x)_ C(x; n)Ln(x) = 0, (5.11)dondeA(x; n) = x (Knf2(x; n) f1(x; n)g1(x; n)) ,B(x; n) = ( + 3 x) (Knf2(x; n) f1(x; n)g1(x; n)) +_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_ xg1(x, n) +_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_Knx,C(x; n) =_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_ f2(x; n) +_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_ f1(x; n).5.4. Comportamiento de los cerosPara realizar un estudio del comportamiento de los ceros de los polinomiosortogonales de tipo Laguerre-Sobolev, usaremos las siguientes dos proposiciones.La demostracin de la primera aparece en [6], mientras que para la demostracinde la segunda hemos usado un mtodo similar al utilizado en la Proposicin (3,2)del mismo artculo.Proposicin 18Si n 3, el polinomio Ln tiene al menos n2 ceros diferentes demultiplicidad impar en (0, ).Proposicin 19Los ceros de Lnson reales, simples y al menos n 1 de ellos seencuentran en el intervalo (0, ).Demostracin. Supongamos que n,1, n,2, . . . , n,k son los ceros deLn(x) que estnen (0, ). De la anterior proposicin tenemos que k n 2.945.4. COMPORTAMIENTO DE LOS CEROS 95Sea (x) =_x n,1_ _x n,2_

_x n,k_. Por tanto, los polinomios (x)Ln(x)y x(x)Ln(x) son positivos en (0, ). Si suponemos que k= n 2, tenemos_x(x),Ln(x)_S=_0x(x)Ln(x)xexdx + N(0)_Ln_(0) = 0_(x),Ln(x)_S=_0(x)Ln(x)xexdx + N () (0)_Ln_(0) = 0dado que_0x(x)Ln(x)xexdx 0,_0(x)Ln(x)xexdx 0,y_Ln_(0) > 0 (Ver demostracin del Teorema 21), entonces (0) < 0 y (0) < 0lo cual es contradictorio.Presentamos ahora un teorema cuya demostracin la realizamos en el captulo6 para el caso de los polinomios de tipo Laguerre-Sobolev generalizados. Estademostracin est basada en el trabajo de H. G. Meijer [87].Teorema 23Sean1 2 x2 3x = 3 N> 24 x2 5x = 5 N> 720 x2 7x = 10 N> 39 916 800 x2 12xTabla 5.1: Comportamiento de NL3(x) para N0 = 0,99 N0,3304 1. 815 4 106+ 3. 039 8x 5. 019 9x2+ x3 = 1/2 N0,2533 3. 189 2 104+ 5. 249 0x 5. 999 7x2+ x3 = 0,1 N0,2467 8. 415 5 104+ 7. 408 5x 6. 799 7x2+ x3 = 0,1 N0,2552 7. 364 6 104+ 8. 608 9x 7. 199 8x2+ x3 = 1/2 N0,2955 +1. 732 9 103+ 11. 248x 7. 999 7x2+ x3 = 1 N> 0,4 15x 9x2+ x3 = 3 N3,4286 3. 888 9 104+ 35x 13x2+ x3 = 5 N> 80 63x 17x2+ x3 = 10 N> 2851200 168x 27x2+ x3Tabla 5.2: Comportamiento de NN> N0L4(x) para N0 = 0,99 N0,1648 7. 673 7 106+ 28. 189x2 12. 189x 11. 03x3+ x4 = 1/2 N0,1126 1. 659 2 103+ 38. 246x2 23. 618x 12. 5x3+ x4 = 0,1 N0,1007 3. 589 4 103+ 47. 526x2 36. 3x 13. 7x3+ x4 = 0,1 N0,1001 6. 883 2 104+ 52. 529x2 43. 91x 14. 3x3+ x4 = 1/2 N0,1075 0,016 96 + 63. 241x2 61. 848x 15. 499x3+ x4 = 1 N0,1334 2. 249 3 102+ 77. 992x2 89. 972x 16. 999x3+ x4 = 3 N0,8572 1. 866 6 102+ 152x2 279. 99x 23x3+ x4 = 5 N> 16 630x + 250x2 29x3+ x4 = 10 N> 380160 2520x + 600x2 44x3+ x4Tabla 5.3: Comportamiento de N985.4. COMPORTAMIENTO DE LOS CEROS 99N= 0,1 n n0 = 0,99 n 5 = 0,1 n 5 = 0,1 n 5 = 1/2 n 5 = 1 n 5 = 3 n 7 = 5 n 10 = 10 n 22N= 0,5 n > n0 = 0,99 n 3 = 0,1 n 3 = 0,1 n 3 = 1/2 n 5 = 1 n 5 = 3 n 7 = 5 n 10 = 10 n 22N= 1 n n0 = 0,99 n 2 = 0,1 n 2 = 0,1 n 3 = 1/2 n 3 = 1 n 3 = 3 n 4 = 5 n 7 = 8 n 10Tabla 5.4: N= 0, 1, N= 0, 5, N=1N= 5 n0 = 0,99 n 2 = 0,1 n 2 = 0,1 n 2 = 1/2 n 2 = 1 n 2 = 3 n 3 = 5 n 5 = 8 n 10N= 10 n0 = 0,99 n 2 = 0,1 n 2 = 0,1 n 2 = 1/2 n 2 = 1 n 2 = 3 n 3 = 5 n 5 = 10 n 14Tabla 5.5: N= 5, N= 1099100 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEV5.5. Modelo ElectrostticoUsando la frmula de conexin (5.6), realizaremos un anlisis de un modeloelectrosttico que responde a la distribucin de los ceros de los polinomios ortog-onales tipo Laguerre-Sobolev que estudiamos en este captulo. Supongamos que_x(N)n,k_k1 son los ceros de Ln(x) y evaluemos (5.11) en estos ceros. Por tantoA(x(N)n,k; n)_Ln(x(N)n,k)_+ B((N)n,k; n)_Ln(x(N)n,k)_= 0,esto es,B(x(N)n,k; n)A(x(N)n,k; n)= _Ln(x(N)n,k)__Ln(x(N)n,k)_ . (5.14)Pero, usando la expresin explcita de A(x(N)n,k; n) y B(x(N)n,k; n) se tieneB(x(N)n,k; n)A(x(N)n,k; n)= + 3x(N)n,k 1 +_n +Bn(n2)(n1)(n++1)_g1(x(N)n,k; n)Knf2(x(N)n,k; n) f1(x(N)n,k; n)g1(x(N)n,k; n)++__An(n 1) +Bn(n 2)(x(N)n,k (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)__KnKnf2(x(N)n,k; n) f1(x(N)n,k; n)g1(x(N)n,k; n).Para poder encontrar el modelo electrosttico, necesitaremos alguna informa-cin respecto de los ceros de Knf2(x, n) f1(x, n)g1(x, n).Asi pues, teniendo en cuenta queKnf2(x; n) f1(x; n)g1(x; n) == KnHn +Kn [Bnx + (n + + 1) (An(n 1) Bn)] (x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_n Bnx + (n + + 1) (An(n 1) Bn)(n 1)(n + + 1)_ _An +(x (2n + + 1))Bn(n 1)(n + + 1)_= R(n, )x2+ S (n, )x + T(n, )1005.5. MODELO ELECTROSTTICO 101dondeR(n, ) =KnBn(n 1)(n + + 1)+B2n(n 1)2(n + + 1)2S (n, ) =Kn(n + + 1) (An(n 1) Bn) BnKn(2n + + 1)(n 1)(n + + 1)nBn + AnBn(n 1)(n + + 1)+Bn(n + + 1) (An(n 1) Bn) B2n(2n + + 1)(n 1)2(n + + 1)2T(n, ) = KnHn (An(n 1) Bn) (2n + + 1)Kn(n 1) Ann +nBn(2n + + 1)(n 1)(n + + 1)+An (An(n 1) Bn)(n 1) (2n + + 1) (An(n 1) Bn) Bn(n 1)2(n + + 1).Adems, si x(,n)1y x(,n)2son los ceros de Knf2(x, n) f1(x, n)g1(x, n), entoncesB(x(N)n,k; n)A(x(N)n,k; n)= + 3x(N)n,k 1 +1R(n, )_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_g1(x(N)n,k; n)_x(N)n,k x(,n)1_ _x(N)n,k x(,n)2_ ++1R(n, )_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_Kn_x(N)n,k x(,n)1_ _x(N)n,k x(,n)2_ .Pero1R(n, )_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_g1(x; n) =(n 1)2(n + + 1)2KnBn(n 1)(n + + 1) + B2n_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_ _An +(x (2n + + 1))Bn(n 1)(n + + 1)_=_B2n(n 2) n(n 1)(n + + 1)BnKnBn(n 1)(n + + 1) + B2n_ x ++_Bn(n 2) n(n 1)(n + + 1)KnBn(n 1)(n + + 1) + B2n_(An(n 1)(n + + 1) (2n + + 1)Bn) .Por otra parte1R(n, )_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_Kn=101102 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEV(n 1)2(n + + 1)2KnKnBn(n 1)(n + + 1) + B2n_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_=(n 1)(n 2)(n + + 1)KnKn(n 1)(n + + 1) + Bnx +(n 1)3(n + + 1)2KnAnKnBn(n 1)(n + + 1) + B2n(n 1)(n 2)(n + + 1)(2n + + 1)KnKn(n 1)(n + + 1) + Bn.Si denotamos1R(n, )_n +Bn(n 2)(n 1)(n + + 1)_g1(x, n) = (n, )x + (n, )y1R(n, )_An(n 1) +Bn(n 2)(x (2n + + 1))(n 1)(n + + 1)_Kn= (n, )x + (n, )donde(n, ) =B2n(n 2) n(n 1)(n + + 1)BnKnBn(n 1)(n + + 1) + B2n,(n, ) =_Bn(n 2) n(n 1)(n + + 1)KnBn(n 1)(n + + 1) + B2n_(An(n 1)(n + + 1) (2n + + 1)Bn) ,(n, ) =(n 1)(n 2)(n + + 1)KnKn(n 1)(n + + 1) + Bn,(n, ) =(n 1)3(n + + 1)2KnAnKnBn(n 1)(n + + 1) + B2n(n 1)(n 2)(n + + 1)(2n + + 1)KnKn(n 1)(n + + 1) + Bn,1025.5. MODELO ELECTROSTTICO 103entoncesB(x(N)n,k; n)A(x(N)n,k; n)= + 3x(N)n,k 1 +(n, )x(N)n,k+ (n, )_x(N)n,k x(,n)1_ _x(N)n,k x(,n)2_+(n, )x(N)n,k+ (n, )_x(N)n,k x(,n)1_ _x(N)n,k x(,n)2_= + 3x(N)n,k 1 +(n, )x(,n)1+ (n, )x(,n)1 x(,n)2_x(N)n,k x(,n)1_ +(n, )x(,n)2+ (n, )x(,n)2 x(,n)1_x(N)n,k x(,n)2_ +(n, )x(,n)1+ (n, ))x(,n)1 x(,n)2_x(N)n,k x(,n)1_ +(n, )x(,n)2+ (n, )x(,n)2 x(,n)1_x(N)n,k x(,n)2_= + 3x(N)n,k 1 +(n, )x(,n)1+ (n, ) + (n, )x(,n)1+ (n, ))x(,n)1 x(,n)2x(N)n,k x(,n)1+(n, )x(,n)2+ (n, ) + (n, )x(,n)2+ (n, )x(,n)2 x(,n)1x(N)n,k x(,n)2.Teniendo en cuenta que_Lan(x(N)n,k)__Lan(x(N)n,k)_= 2n

j=1jk1x(N)n, j x(N)n,k=B(x(N)n,k; n)A(x(N)n,k; n)y usando la ltima expresin, obtenemos0 =n

j=1jk1x(N)n, j x(N)n,k + 3 x(M)n,k2x(N)n,k(n, )x(,n)1+ (n, ) + (n, )x(,n)1+ (n, ))x(,n)1 x(,n)22_x(N)n,k x(,n)1_ (n, )x(,n)2+ (n, ) + (n, )x(,n)2+ (n, )x(,n)2 x(,n)12_x(N)n,k x(,n)2_ .103104 CAPTULO 5. POLINOMIOS ORTOGONALES TIPO LAGUERRE SOBOLEVSi denotamosCn=(n, )x(,n)1+ (n, ) + (n, )x(,n)1+ (n, ))x(,n)1 x(,n)2Dn=(n, )x(,n)2+ (n, ) + (n, )x(,n)2+ (n, )x(,n)2 x(,n)1entoncesn

j=1jk1x(N)n, j x(N)n,k + 3 x(N)n,k2x(N)n,k+Cn2_x(N)n,k x(,n)1_+Dn2_x(N)n,k x(,n)2_= 0. (5.15)Por lo tanto, podemos realizar la siguiente interpretacin electrosttica acercade la distribucin de los ceros de Ln. Si consideramos n cargas localizadas en larecta real, sometidas a una interaccin logartmica y con un campo externo(x) = 12 ln_x+3ex_+Cn2lnx x(,n)1 +Dn2lnx x(,n)2 ,(5.15) signica que el gradiente de la energa totalE(X) =

1k 1, (6.1)dondeA =_M0 M1_,M0,M1 0, A una matriz semidenida positiva, esto es DetA= A 0. Observe-mos que = 0 cuando M0= 0, M1> 0 o, M1= 0, M0> 0.Recordemos que (p, q)Ses un producto escalar en el espacio vectorialP depolinomios con coecientes reales en el sentido que se satisfacen las siguientespropiedades1. (p + q, r)S= (p, r)S+ (q, r) , para p, q, r P y , R.2. (p, q)S= (q, p)Spara p, q P.3. (p, p)S> 0, para cada p P\0.Antes de iniciar el estudio del comportamiento asinttico de los polinomiosLn, necesitaremos hacer uso de la siguiente proposicin. La demostracin de (6.2)y (6.3) es consecuencia de sustituir (1.23) y (1.25) en (1.27) y (5.4). Para obtener(6.4) derivamos (5.4) y nuevamente usamos (1.23) y (1.25).Proposicin 26Para cada n N,Kn1(0, 0) =(n + + 1)(n 1)!( + 1)( + 2), (6.2)1166.2. COMPORTAMIENTO ASINTTICO 117K(1,0)n1 (0, 0) = (n + + 1)(n 2)!( + 1)( + 3)= n 1 + 2Kn1(0, 0), (6.3)K(1,1)n1 (0, 0) =(n + + 1) (n( + 2) ( + 1))(n 2)!( + 2)( + 4)=(n( + 2) ( + 1)) (n 1)( + 1)( + 2)( + 3)Kn1(0, 0). (6.4)Sea_Ln_n0 la sucesin de polinomios ortogonales respecto al producto escalar(6.1). Consideremos el desarrollo de Fourier de Lnen trminos de la sucesin depolinomios ortogonales mnicos de Laguerre _Ln_n0Ln(x) = Ln(x) +n1

k=0an,kLk(x),conan,k=_Ln(x), Lk(x)____Lk___2, 0 k n 1.De (6.1), tenemosan,k= _Ln(0)_tALk(0)___Lk___2.Por tantoLn(x) = Ln(x) n1

k=0_Ln(0)_tALk(0)___Lk___2Lk(x)= Ln(x) _Ln(0)_tAn1

k=0Lk(0)Lk(x)___Lk___2,esto es,Ln(x) = Ln(x) _Ln(0)_tA_Kn1(x, 0)K(0,1)n1 (x, 0)_. (6.5)Usando (6.5)117118 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALLn(0) = Ln(0) _Ln(0)_tA_Kn1(0, 0)K(0,1)n1 (0, 0)__Ln_(0) =_Ln_ (0) _Ln(0)_tA_K(1,0)n1 (0, 0)K(1,1)n1 (0, 0)_.Por tanto_L(0)_t= (L(0))t_L(0)_tAKn1(0, 0), (6.6)dondeKn1(0, 0) =_Kn1(0, 0) K(1,0)n1 (0, 0)K(0,1)n1 (0, 0) K(1,1)n1 (0, 0)_,es decir_L(0)_t(I + AKn1(0, 0)) = (L(0))t, (6.7)siendo I la matriz identidad de tamao 2 2. Observemos queI + AKn1(0, 0) =Kn1(0, 0)__1Kn1(0,0)001Kn1(0,0)_+ A_1 n1+2n1+2(n(+2)(+1))(n1)(+1)(+2)(+3)__= Kn1(0, 0)_G HJ K_,dondeG =1Kn1(0, 0)+_M0 + + 2_n + 2H =n2( + 1)( + 3) _M0 + 2+(2 + 3)( + 1)( + 2)( + 3)_n +_M0 + 2+( + 2)( + 3)_J = M1 + 2n +_ +M1 + 2_K =M1n2( + 1)( + 3) _ + 2+(2 + 3)M1( + 1)( + 2)( + 3)_n +_ + 2+M1( + 2)( + 3)_+1Kn1(0, 0).1186.2. COMPORTAMIENTO ASINTTICO 119Por otra parteI + AKn1(0) =(Kn1(0, 0))2_1(Kn1(0, 0))2+1Kn1(0, 0)traza_A_1 n1+2n1+2(n(+2)(+1))(n1)(+1)(+2)(+3)__+ A_(n( + 2) ( + 1)) (n 1)( + 1)( + 2)( + 3) (n 1)2( + 2)2__= 1 + Kn1(0, 0)_M1(n( + 2) ( + 1)) (n 1)( + 1)( + 2)( + 3)2 + 2(n 1) + M0_+A n 1 + 2_(n( + 2) ( + 1))( + 1)( + 3) n 1 + 2_(Kn1(0, 0))2= 1 + Kn1(0, 0)_M1(n( + 2) ( + 1)) (n 1)( + 1)( + 2)( + 3)2 + 2(n 1) + M0_+(Kn1(0, 0))2A n 1 + 2_n( + 1)( + 2)( + 3)+1( + 2)( + 3)_,entonces tenemos que si A > 0I + AKn1(0, 0) A n2+4( + 1)( + 2)2( + 3), (6.8)mientras que si A = 0 y M1> 0I + AKn1(0, 0) n+3M1( + 1)( + 3). (6.9)As pues, de (6.5) y (6.7),Ln(x) =Ln(x) _Ln(0)_t(I + AKn1(0))1A__(1)n1(+1)(n1)!(+2)0(1)n(n2)!(+2)(1)n(n2)!(+2)___L+1n1(x)L+2n2(x)_= Ln(x) (1)n(n 2)!( + 2)Kn1(0, 0)__(1)n(n++1)(+1)(1)n1 n(n++1)(+1)__t _G HJ K_1A _ +1n101 1_ _L+1n1(x)L+2n2(x)_,119120 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALes decir,Ln(x) = (6.10)= Ln(x) +_ 1n+1_t _G HJ K_1A_ ( + 1) 0n 1 n 1_ _L+1n1(x)L+2n2(x)_.Adems, siM=_G HJ K_,entoncesM1=1M_K HJ G_,donde M se puede expresar comoM =1(Kn1(0, 0))2 I + AKn1(0, 0) .Por tanto, de (6.10), realizando algunas operaciones tediosas tenemos que,Ln(x) = (6.11)= Ln(x) +1M_Ann2+ Bnn + Cn, Ann2+ Bnn + Cn_ _L+1n1(x)L+2n2(x)_,dondeAn=2 A( + 1)( + 2)( + 3)+M1( + 1)Kn1(0, 0)Bn=2A( + 1)( + 2)( + 3) 2Kn1(0, 0) M1( + 1)Kn1(0, 0)An=A( + 1)( + 2)+M1( + 1)Kn1(0, 0)Bn=A( + 1)( + 2) Kn1(0, 0) M1( + 1)Kn1(0, 0),Cn y Cn trminos que dependen de M0, M1, y .Si denotamos1206.2. COMPORTAMIENTO ASINTTICO 121Ln(x) =(1)nn!Ln(x)Ln(x) =(1)nn! Ln(x),entonces, de (6.11)Ln(x) = (6.12)Ln(x) +1M_Ann2+ Bnn + Cn, Ann2+ Bnn + Cn_ __1nL+1n1(x)1n(n1)L+2n2(x)__= Ln(x) +1M_Ann + Bn +Cnn, Ann + Bn +Cnn_ _L+1n1(x)1n1L+2n2(x)_.Adems, dado queM = (6.13)1(Kn1(0, 0))2+1(Kn1(0, 0))_M1( + 1)( + 3)n2+ Rn + T_+A_n2( + 1)( + 2)2( + 3)+ Rn + T_,con R, T, R y Ttrminos que dependen de M0, M1, y , y suponiendo que A >0, se tieneM A( + 1)( + 2)2( + 3)n2.EntoncesLn(x) (6.14)Ln(x)+( + 1)( + 2)2( + 3)n2A_Ann + Bn +Cnn, Ann + Bn +Cnn_ _L+1n1(x)1n1L+2n2(x)_.Por tantoLn(x)Ln(x)121122 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONAL 1 +( + 1)( + 2)2( + 3)n2A_Ann + Bn +Cnn, Ann + Bn +Cnn_ __L+1n1(x)Ln(x)1n1L+2n2(x)Ln(x)__= 1 +( + 1)( + 2)2( + 3)A__Ann+Bnn2+Cnn3 ,Ann+Bnn2+Cnn3____L+1n1(x)Ln(x)1n1L+2n2(x)Ln(x)__,y usando (1.31), tenemosLn(x)Ln(x)= 1 + O_1n_,uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ).Por otra parte, si A = 0 y M1> 0, de (6.12) y (6.13)Ln(x) = Ln(x) +11(Kn1(0,0))2+1(Kn1(0,0))_M1(+1)(+3)n2+ Rn + T_ _Ann + Bn +Cnn, Ann + Bn +Cnn_ _L+1n1(x)1n1L+2n2(x)_,entoncesLn(x)Ln(x) 1+( + 1)( + 3)Kn1(0, 0)M1__Ann+Bnn2+Cnn3 ,Ann+Bnn2+Cnn3____L+1n1(x)Ln(x)1n1L+2n2(x)Ln(x)__.ComolmnKn1(0, 0)An=M1 + 1lmnKn1(0, 0)An=M1 + 1lmnKn1(0, 0)Bn= 2 M1 + 1lmnKn1(0, 0)Bn= M + 1lmnKn1(0, 0)Cn= L1lmnKn1(0, 0)Cn= L2,1226.2. COMPORTAMIENTO ASINTTICO 123con L1, L2 constantes que no dependen n, conclumos queLn(x)Ln(x)= 1 + O_1n_,uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ). Es decir,Teorema 27lmnLn(x)Ln(x)= 1 (6.15)uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ).Ahora, vamos a hallar la correspondiente frmula de Mehler-Heine para lospolinomiosortogonalesdetipoLaguerreSobolev Ln(x). Comoantes, primerosupondremos que A > 0. De (6.14) se tieneLn(x/n)nLn(x/n)n+( + 1)( + 2)2( + 3)n+2A_Ann + Bn +Cnn, Ann + Bn +Cnn_ _L+1n1(x/n)1n1L+2n2(x/n)_=Ln(x/n)n+( + 1)( + 2)2( + 3)A_An +Bnn+Cnn2 , An +Bnn+Cnn2_ __L+1n1(x/n)n+1nn1L+2n2(x/n)n+2,__asi pues,lmnLn(x/n)n= x/2J(2x)+( + 1)( + 2)2( + 3)A_2 A( + 1)( + 2)( + 3),A( + 1)( + 2)_ _x(+1)/2J+1(2x)x(+2)/2J+2(2x)_,uniformemente sobre subconjuntos compactos de C. Por tanto, el segundo miem-bro de la anterior expresin resulta serx/2 _J(2x) 2( + 2)x1/2J+1(2x) + ( + 2)( + 3)J+2(2x)_.123124 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALAhora, de la relacin de recurrencia para las funciones de Bessel (5.30) tenemosx/2 _J(2x) 2( + 2)x1/2J+1(2x) + ( + 2)( + 3)J+2(2x)_= x/2_( + 3)xJ+1(2x) +_( + 2) ( + 3)x 1_ J+2(2x)_= x/2_( + 3)x_ + 2xJ+2(2x) J+3(2x)_+_( + 2) ( + 3)x 1_ J+2(2x)_= x/2_( + 3)xJ+3(2x) J+2(2x)_= x/2J+4(2x).Lo que nos lleva a enunciar el siguiente teoremaTeorema 28Si_Ln_n0es la sucesin de polinomios ortogonales con respecto a(6.1) y A > 0. EntonceslmnLn(x/n)n= x/2J+4(2x), (6.16)uniformemente sobre subconjuntos compactos de C.Observemos que este resultado coincide con el obtenido en [75] para el caso di-agonal, M0, M1> 0.Vamos ahora a hallar la frmula de Mehler-Heine en el caso en que A= 0 yM1> 0. De (6.11),Ln(x/n)n1246.2. COMPORTAMIENTO ASINTTICO 125=Ln(x/n)n+11(Kn1(0,0))2+1(Kn1(0,0))_M1(+1)(+3)n2+ Rn + T_ _Ann + Bn +Cnn, Ann + Bn +Cnn_ __nL+1n1(x/n)n+1nn1L+2n2(x/n)n+2__=Ln(x/n)n+11(Kn1(0,0))2+1(Kn1(0,0))_M1(+1)(+3)n2+ Rn + T_ _Ann2 Bnn Cn,nn 1_Ann2+ Bnn + Cn__ __nL+1n1(x/n)n+1L+2n2(x/n)n+2__ x/2J(2x) + (( + 3), + 3)__x(+1)/2J+1_2x_x(+2)/2J+2_2x___uniformemente sobre subconjuntos compactos de C. Por tanto, tenemosTeorema 29Si_Ln_n0es la sucesin de polinomios ortogonales con respecto a(6.1) y A = 0, M1> 0. EntonceslmnLn(x/n)n= x/2_J(2x) + 3xJ+1_2x_+ + 3xJ+2_2x__, (6.17)uniformemente sobre subconjuntos compactos de C.Observemos que este resultado coincide con (5.29) y la frmula obtenida en[18] que es el caso en que M0= 0 y = 0.Usando la denicin (6.1) tenemos___Ln___2S=___Ln___2 + L(0)t(I + AKn1(0, 0))1AL(0).Dado que0 utv B = B utB1vdondeB =_a bc d_, u =_u1u2_, v =_v1v2_,125126 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALentonces___Ln___2S=___Ln___2 1I + AKn1(0, 0)0 Ln(0)tALn(0) I + AKn1(0, 0)=___Ln___2I + AKn1(0, 0)__I + AKn1(0, 0) +0 Ln(0)t/___Ln___2ALn(0) I + AKn1(0, 0)__=___Ln___2I + AKn1(0, 0)1 Ln(0)t/___Ln___2ALn(0) I + AKn1(0, 0).Finalmente, debido a queI + AKn(0, 0) = I + AKn1(0, 0) +A___Ln___2Ln(0)Ln(0)t,entonces___Ln___2S___Ln___2=I + AKn(0, 0)I + AKn1(0, 0). (6.18)En conclusin, usando (6.18), (6.8) y (6.9)Proposicin 27Si_Ln_n0es la sucesin de polinomios ortogonales con respectoa (6.1). Entonceslmn___Ln___2S___Ln___2= 1.6.3. Frmula de conexinEn esta seccin vamos a encontrar una relacin entre la sucesin de polinomiosortogonales de tipo Laguerre Sobolev_Ln_n0y una sucesin de polinomios deLaguerre. Sustituyendo (1.27) y (5.4) en (6.5) tenemosLn(x) = Ln(x) _Ln(0)_tA_Kn1(x, 0)K(0,1)n1 (x, 0)_= Ln(x) _Ln(0)_tA__(1)n1(n1)!(+1)L+1n1(x)(1)n(n2)!(+2)L+2n1(x) +(1)nn(n2)!(+2)L+2n2(x)__= Ln(x) (1)n(n 2)!( + 1)_Ln(0)_tA_1n1L+1n1(x)1(+1)L+2n1(x) +n+1L+2n2(x)_.1266.4. FRMULA DE RECURRENCIA A CINCO TRMINOS 127Adems, usando (1.24)Ln(x) = Ln(x) (1)n(n 2)!( + 1)_Ln(0)_tA__1n1_L+2n1(x) + (n 1)L+2n2(x)_1(+1)L+2n1(x) +n+1L+2n2(x)__= Ln(x) (1)n(n 2)!( + 1)_Ln(0)_tA__ 1n11(+1)_L+2n1(x) +_ 1n+1_L+2n2(x)_,donde_Ln(0)_t= (I + AKn1(0, 0))1 _Ln(0)_t.Nuevamente, usando (1.24)Ln(x) = L+2n(x) + 2nL+2n1(x) + n(n 1)L+2n2(x).Por lo que tenemos el siguiente TeoremaTeorema 30Para cada n NLn(x) = L+2n(x) + An,L+2n1(x) + Bn,L+2n2(x) (6.19)dondeAn,= 2n (1)n(n 2)!( + 1)_Ln(0)_tA_ 1n11(+1)_ 2n ( + 1)( + 2)Bn,= n(n 1) (1)n(n 2)!( + 1)_Ln(0)_tA_ 1n+1_ n(n 1) ( + 1)( + 2)(n 1).Esto implica que la sucesin_Ln_n0 es cuasi-ortogonal con respecto a la me-dida de Laguerre d+2=x+2exdx. Ver [28] para ms informacin acerca defamilias cuasi-ortogonales, en particular, el anlisis de la distribucin de los ceros.6.4. Frmula de recurrencia a cinco trminosEn esta parte de la memoria encontraremos una frmula de recurrencia a cincotrminos para los polinomios mnicos de tipo Laguerre Sobolev_Ln_n0 ortogo-nales con respecto a (6.1). Para ello, sera necesario usar la siguiente Proposicin.La prueba de (6.20) es una consecuencia de (6.1).127128 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALProposicin 28Si p y q son polinomios con coecientes reales, entonces_x2p, q_S=_p, x2q_S. (6.20)Consideremos la representacin de Fourier de x2Ln en trminos de_Ln_n0x2Ln(x) = Ln+2(x) +n+1

k=0an,kLk(x) (6.21)dondean,k=_x2Ln(x),Lk(x)_S___Lk(x)___2S, k= 0, . . . , n + 1.De (6.20) tenemosan,k=_Ln(x), x2Lk(x)_S___Lk(x)___2S.Entonces, an,k= 0 para k= 0, . . . , n 3. Por tantox2Ln(x) = Ln+2(x) + an,n+1Ln+1(x) + an,nLn(x) + an,n1Ln1(x) + an,n2Ln2(x).El siguiente objetivo es determinar los coecientes an,k, k= n 2, . . . , n +1. Dadoque_Ln(x), x2Lk(x)_S=_Ln(x),Lk(x)_+2y usando la frmula de conexin (6.19) para Ln(x) y Lk(x), k= n 2, . . . , n + 1,se tienean,n+1=An+1,___L+2n___2+2 + An,Bn+1,___L+2n1___2+2___Ln+1(x)___2S 4nan,n=___L+2n___2+2 + A2n,___L+2n1___2+2 + B2n,___L+2n2___2+2___Ln(x)___2S 6n2an,n1=An,___L+2n1___2+2 + Bn,An1,___L+2n2___2+2___Ln1(x)___2S 4n3(6.22)1286.5. ECUACIN DIFERENCIAL HOLONMICA 129an,n2=Bn,___L+2n2___2+2___Ln2(x)___2S n4.Por lo tanto,Teorema 31(Frmula de recurrencia a cinco trminos) Para cada n Nx2Ln(x) = Ln+2(x)+an,n+1Ln+1(x)+an,nLn(x)+an,n1Ln1(x)+an,n2Ln2(x). (6.23)dondeloscoecientesan,k,k =n 2, . . . , n+ 1,estndadosen(6.22)y,porconvenio, denimos L1(x) = L2(x) = 0.Observemos que la representacin matricial del operador de multiplicacinpor x2est relacionado con el cuadrado de la matriz de representacin del operadorde multiplicacin por x cuando se consideran los polinomios ortogonales clsicosde Laguerre. Perturbaciones compactas de estos operadores de multiplicacin paramedidas de soporte acotado han sido estudiadas en [90].6.5. Ecuacin diferencial holonmicaEnestaseccinvamosahallarunaecuacindiferenciallinealdesegundoorden que satisface la sucesin de polinomios ortogonales mnicos_Ln_n0 . Paraello, vamos a determinar dos operadores diferenciales lineales de primer orden _ny 7n, tales que_n_Ln_= H(x; n)Ln17n_Ln1_= K(x; n)Ln.para ciertos polinomiosH(x; n) yK(x; n). Estos operadores son llamados en laliteratura operadores de aniquilacin y creacin, respectivamente ([56]).Reemplazando (1.19) en (6.19) se obtieneLn(x) =f (x; n)L+2n1(x) + MnL+2n2(x) (6.24)asi como para n 1Ln1(x) = KnL+2n1(x) + g(x; n)L+2n2(x), (6.25)129130 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALdondef (x; n) = An, + (x (2n + 1 + ))Mn= Bn, (n 1) (n + + 1)Kn= 1 Bn1,(n 2)(n + )g(x; n) = An1, +Bn1, (x (2n + 1))(n 2)(n + ).Derivando en ambos miembros de (6.24)_Ln_(x) = L+2n1(x) + f (x; n)_L+2n1_(x) + Mn_L+2n2_(x).Multiplicando por x en ambos miembros de la anterior expresin y usando (1.20),x_Ln_(x) = xL+2n1(x) + f (x; n)_(n 1)L+2n1(x) + (n 1)(n + + 1)L+2n2(x)_+Mn_(n 2)L+2n2(x) + (n 2)(n + )L+2n3(x)_.De (1.19)L+2n3(x) = 1(n 2)(n + )L+2n1(x) +(x (2n + 1))(n 2)(n + )L+2n2(x).Entoncesx_Ln_(x) =_x + (n 1) f (x; n) Mn_L+2n1(x) +_(n 1)(n + + 1) f (x; n) + Mn (x (n + + 1))_L+2n2(x).Por tanto, si denimos(x; n) = x + (n 1) f (x; n) Mn(x; n) = f (x; n)(n 1)(n + + 1) + Mn (x (n + + 1))obtenemosx_Ln_(x) = (x; n)L+2n1(x) + (x; n)L+2n2(x). (6.26)1306.5. ECUACIN DIFERENCIAL HOLONMICA 131De manera similar,x_Ln1_(x) = (x; n)L+2n1(x) + (x; n)L+2n2(x),donde(x; n) = Kn(n 1) g(x; n)(x; n) = Kn(n 1)(n + + 1) +Bn1,x(n 2)(n + )+ g(x; n)(x (n + + 1)).Usando (6.24) y (6.25)obtenemosL+2n1(x) =g(x; n)Ln(x) MnLn1(x)g(x; n) f (x; n) KnMn(6.27)L+2n2(x) =f (x; n)Ln1(x) KnLn(x)g(x; n) f (x; n) KnMn. (6.28)Reemplazando (6.27) y (6.28) en (6.26),x_g(x; n) f (x; n) KnMn_ _Ln_(x) +_g(x; n)(x; n) Kn(x; n)_Ln(x)=_f (x; n)(x; n) Mn(x; n)_Ln1(x).De manera similar, se puede probar quex_g(x; n) f (x; n) KnMn_ _Ln1_(x) +_Mn(x; n) (x; n) f (x; n)_Ln1(x)=_(x; n)g(x; n)(x; n) Kn(x; n)_Ln(x).Por tanto, hemos probado el siguienteProposicin 29Sea_Ln_n0 la sucesin de polinomios mnicos ortogonales conrespecto a (6.1). Entonces, los operadores diferenciales _n y 7n denidos por_n= F(x; n)D + G(x; n)I7n= F(x; n)D + J(x; n)I131132 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALdonde D es el operador derivada, I el operador identidad yF(x; n) = x_g(x; n) f (x; n) KnMn_G(x; n) = (x; n) (Kn g(x; n))H(x; n) = f (x; n)(x; n) Mn(x; n)J(x; n) = Mn(x; n) (x; n) f (x; n)K(x; n) = (x; n)g(x; n) Kn(x; n),satisfacen,_n_Ln_= H(x; n)Ln17n_Ln1_= K(x; n)Ln.En otras palabras _n es un operador de aniquilacin (lowering operator) y 7nes un operador creacin (raising operator) asociado con la sucesin_Ln_n0 .De la anterior proposicin1H(x; n)_n_Ln_ = Ln1.Por tanto, aplicando el operador diferencial 7n en ambos miembros de la an-terior igualdad7n_1H(x; n)_n_Ln__ = K(x; n)Ln,esto esF(x; n)D_1H(x; n)_n_Ln__+J(x; n)H(x; n)_n_Ln_ = K(x; n)Ln.Por otra parte, usando el hecho queD_1H(x; n)_n_Ln__= D_1H(x; n)_F(x; n)_Ln_+ G(x; n)Ln__= H(x; n)H2(x; n)_F(x; n)_Ln_+ G(x; n)Ln_+1H(x; n)_F(x; n)_Ln_+ F(x; n)_Ln__+1H(x; n)_G(x; n)Ln+ G(x; n)_Ln__,1326.6. EJEMPLO 133se deduceF2(x; n)H(x; n)_Ln_+F(x; n)H(x; n)_F(x; n)H(x; n)H(x; n)+ F(x; n) + G(x; n) + J(x; n)_ _Ln_+1H(x; n)_F(x; n)G(x; n)H(x; n)H(x; n)+ F(x; n)G(x; n)+J(x; n)G(x; n) K(x; n)H(x; n)_Ln= 0.Asi pues, utilizando la misma notacin de la Proposicin 29, se tieneTeorema 32Sea_Lan_n0 los polinomios mnicos de tipo Laguerre Sobolev ortog-onales con respecto a (6.1). EntoncesA(x; n)_Ln(x)_+ B(x; n)_Ln(x)_+ C(x; n)Ln(x) = 0,dondeA(x; n) = F2(x; n)B(x; n) = F(x; n)_F(x; n) + G(x; n) + J(x; n) F(x; n)H(x; n)H(x; n)_C(x; n) = F(x; n)G(x; n) + J(x; n)G(x; n) F(x; n)G(x; n)H(x; n)H(x; n) K(x; n)H(x; n).6.6. EjemploConsideremos producto escalar (6.1) con M0= M, M1= 4N y = 0. Es decir,si p, q son polinomios reales estamos considerando el producto escalar(p, q)S=_0p(x)q(x)xexdx + Mp(0)q(0) + 4Np(0)q(0).Sea_Ln_n0 la sucesin de polinomios mnicos de tipo Laguerre-Sobolev ortogo-nales respecto a (6.6).Por otra parte, consideremos Pnn0, la sucesin de polinomios ortogonalescorrespondientes al producto escalar(p, q)H=_p(x)q(x) x2ex2dx + Mp(0)q(0) + Np(0)q(0), (6.29)133134 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONALM, N R+. Entonces, establecemos una relacin entre las sucesiones_Ln_n0yPnn0 mediante la siguiente proposicinProposicin 30Para cada n NP2n(x) = L1/2n(x2)P2n+1(x) = xL+1/2n(x2).Demostracin. Para demostrar que P2n+1(x) = xL+1/2n(x2), veamos que_xL+1/2n(x2), x2k+1_H= 0, siempre que n < k. En efecto,_xL+1/2n(x2), x2k+1_H=_L+1/2n(x2)x2k+2x2ex2dx=_0L+1/2n(t)tkt+1/2etdt= n,k___L+1/2n___2+1/2 , k n.Adems_xL+1/2n(x2), x2k_H= 0,es decir,P2n+1(x) = xL+1/2n(x2).Realizamos un procedimiento similar para probar que P2n(x)= L1/2n(x2). Si 1 k n,_L1/2n(x2), x2k_H=_x2kL1/2n(x2) x2ex2dx +_(2k)(2k 1)x2k2_x=0 2_L1/2n_(0)N=_0tkL1/2n(t)t1/2etdt + 4N_k(2k 1)x2k2_x=0_Ln_(0)=_0tkL1/2n(t)t1/2etdt + 4N(tk)(0)_Ln_(0)=_L1/2n(t), tk_S= nk___L1/2n(x2)___2S.1346.6. EJEMPLO 135Puesto que_L1/2n(x2), 1_H=_L1/2n(x2) x2ex2dx + ML1/2n(0)=_0L1/2n(t)t1/2etdt + ML1/2n(0)=_L1/2n(x), 1_SentoncesP2n(x) = L1/2n(x2),con lo que se completa la prueba.Un marco general para el problema de simetrizacin para el caso de ortogo-nalidad Sobolev respecto a un vector de medidas aparece descrito en [29] y [30].135136 CAPTULO 6. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE SOBOLEV. CASO NO DIAGONAL136CAPTULO 7Polinomios ortogonales de tipoLaguerre-Sobolev de orden superior7.1. IntroduccinSea_[n_n0 la sucesin de polinomios ortogonales respecto al producto escalar(p, q)S=_0pqxexdx + Np( j)(0)q( j)(0), p, q P,dondeN R+yj 2. En el captulo 5 realizamos el estudio de propiedadesanalticas de estos polinomios para el casoj = 1. En este captulo, encontramosalgunas generalizaciones de los resultados del captulo 5. Entre ellos, presenta-mos una frmula de conexin de los polinomios [n(x) con los polinomios ortog-onales de Laguerre_L+j+1n_n0. Obtenemos la frmula asinttica relativa exteriordelospolinomios _[n_n0entrminosde _Ln_n0ascomolafrmuladetipoMehler-Heine. Es decir, el comportamiento de [n(x/n)nen subconjuntos compactosdel plano, donde [n(x)=(1)nn![n(x). En el casoj = 1 se deducen los resultadosasintticos obtenidos en el captulo 5.137138 CAPTULO 7. POLINOMIOS ORTOGONALES DE TIPO LAGUERRE-SOBOLEV DE ORDEN SUPERIOR7.2. Frmula de conexinSi _Ln_n1 es la sucesin de polinomios ortogonales mnicos de Laguerre, sedene un producto escalar de tipo Sobolev como sigue:(p, q)S=_0pqxexdx + Np( j)(0)q( j)(0), p, q P, (7.1)donde > 1, N R+yj 2.Denotemos mediante _[n_n0 la sucesin de polinomios ortogonales mnicosde tipo Laguerre-Sobolev corres