Unidad I. Estadistica Descriptiva

Estadstica y control de calidad / MTC - 1014

Docente: MTI. Ulises Girn Jimnez Pgina | 7

Unidad 1

1 Estadstica aplicada

Competencia especfica a desarrollar: Aplicar conceptos bsicos estadsticos a casos

reales.

Contenido

1.1 Conceptos bsicos de Estadstica

1.2 Medidas de Tendencia central y dispersin (media, moda, varianza y

desviacin estndar).

1.3 Distribuciones de frecuencias

1.3.1 Distribuciones numricas.

1.3.2 Distribuciones categricas.

1.3.3 Distribuciones acumuladas.

1.3.4 Distribuciones porcentuales.

1.3.5 Distribuciones porcentuales acumuladas.

1.4 Histogramas

1.5 Polgono de Frecuencias

1.6 Diagrama de Pareto.

1.7 Diagrama de Dispersin.

Actividades de

aprendizaje

Investigacin bibliogrfica de conceptos bsicos de estadstica

De un conjunto de datos, hacer agrupaciones, calcular medidas de

tendencia central y dispersin.

Realizacin de ejercicios en clase y extra-clase de clculo de

distribuciones as como la elaboracin de grficos sobre la toma

de datos de un caso real



1.1 Conceptos bsicos de Estadstica

Estadstica

Qu es la

estadstica?

Segn Allen (1996), Chao (1996), Yule y Kendal ( 1986) y Rivas Gonzlez

( 1993) la estadstica es una ciencia ( otros investigadores la consideran

como un conjunto de mtodos) que se encarga de la recoleccin,

clasificacin, presentacin, organizacin, anlisis e interpretacin de un

conjunto de fenmenos, (naturales, econmicos, polticos o sociales) de

manera metdica y numrica, que permitan extraer conclusiones de un

hecho, en un momento determinado y as poder tomar decisiones

valederas. De acuerdo con la definicin anterior la estadstica se encarga

de la recoleccin, clasificacin, anlisis e interpretacin de un conjunto

de datos en una investigacin determinada.

Etimologa Etimologa de la palabra estadstica

La nocin de estadstica procedi primitivamente del vocablo estado,

porque ha sido ocupacin tradicional de todos los gobiernos de la

civilizacin llevar registros de las poblaciones que dominaban o

gobernaban, entre esos registros se pueden mencionar: los nacimientos,

las defunciones, los censos poblacionales, cosechas, impuestos y muchas

otras clases de cosas y actividades que eran y son de importancia para un

gobernante. Contar y medir estos hechos generan muchas clases de datos

numricos. Esta se ha convertido en un instrumento cotidiano de todos

los tipos de profesionales que se ponen en contacto con datos

cuantitativos o extraen conclusiones de ellos. Tales tcnicos requieren

con urgencia familiarizarse con los principios bsicos de los mtodos

estadsticos para poder evaluar los informes numricos y otro gran

cmulo de informacin para as evitar malos usos comunes de la

estadstica como lo es la generalizacin e inferencia que es bsica en el

razonamiento estadstico. Los estudiantes de diversas reas del

conocimiento deberan tener un conocimiento prctico de los mtodos

estadsticos.



Son heterogneos los vocablos que se citan como antecedentes del

trmino estadstica. Sin intentar ser exhaustivos, pero si indagando para

describir los de mayor mencin, se pueden nombrar los siguientes:

STATUS (latn), que significa situacin, posicin, estado.

STATERA (griego), que quiere decir balanza, ya que la estadstica mide o

pesa hechos.

STAAT (alemn), que se refiere a estado como expresin de unidad

poltica superior.

Finalidad Finalidad de la estadstica

La estadstica es una ciencia o mtodo cientfico que en la actualidad es

considerada como un poderoso auxiliar en las investigaciones cientficas,

que le permite a sta aprovechar el material cuantitativo. No existen

ciencias cuyos fenmenos no puedan ser tratados estadsticamente; por

tal razn, la estadstica la denominan algunos investigadores (Rivas

Gonzlez) como el lenguaje cientfico. La misma es indispensable en la

formacin de cualquier profesional universitario o tcnico medio, ya que,

por medio de esta se pueden realizar diagnsticos de cualquiera

investigacin que se desee realizar. Esta es indispensable para realizar

cualquier trabajo de investigacin que requiera una recoleccin de

informacin. Ella permite resumir los resultados de una investigacin en

una forma significativa y cmoda. La misma permite deducir

conclusiones generales y as afirmar hasta donde se puede ampliar una

generalizacin de una investigacin determinada. De la misma forma

permite predecir qu suceder algo tomando en cuenta ciertas

condiciones que se han analizado con datos anteriores.

En las ciencias sociales, administrativas, polticas, medicas, en educacin

y en otras ciencias permite analizar algunos de los factores casuales en

sucesos complejos y que de alguna manera confundiran a un

investigador determinado. De acuerdo a lo antes planteado los mtodos

estadsticos son por lo tanto los compaeros constantes de los que

realizan investigacin. La estadstica y su aplicacin, ha avanzado de tal



forma en los ltimos aos, que hoy da se ha hecho imprescindible en

todas las investigaciones cientficas sea cual fuere el carcter de esta

ltima.

Historia Historia de la estadstica

Desde el inicio de la civilizacin han existido formas sencillas de

estadstica, puesto que en la antigedad se utilizaban representaciones

grficas y otros smbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de

cuevas para contar el nmero de personas, animales o ciertas cosas que

eran de importancia en aquellas civilizaciones. El trmino estadstico es

ampliamente percibido y pronunciado a diario desde diversos sectores

activos de la sociedad. No obstante, hay una gran diferencia entre el

sentido del trmino cuando se utiliza en el lenguaje corriente,

generalmente al anteceder una citacin de carcter numrico, y lo que la

estadstica significa como ciencia.

La razn o razones que motivaron al hombre en un momento de su

desarrollo a tomar en cuenta datos con propsitos estadsticos,

posiblemente se encuentra si se toma en cuenta que es difcil suponer un

organismo social, sea cual fuere la poca, sin la necesidad, casi instintiva,

de recoger aquellos hechos que aparecen como actos esenciales de la

vida; y as, al ubicarnos en una etapa del desarrollo de la estadstica

podemos especular que se convirti en una aritmtica estatal para asistir

al gobernante que necesitaba conocer la riqueza y el nmero de los

sbditos entre otros, con el objeto de recaudar impuestos o presupuestar

la guerra.

Hay evidencias del uso de la estadstica a un nivel rudimentario por

organizaciones sociales antiguas. As por ejemplo, en los monumentos

egipcios hay testimonios de que los movimientos de poblaciones eran

seguidos por medio de censos. La Biblia cita que Moiss hizo un censo

de los Israelita en el desierto, como tambin que David llev un censo.

En China, Confucio narra como un rey llamado Yao, unos 3.000 aos a.C.,

hizo levantar un recuento agrcola, industrial y comercial del pas.



Desde los comienzos de la civilizacin han existido formas sencillas de

estadstica, pues ya se utilizaban representaciones grficas y otros

smbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para

contar el nmero de personas, animales o cosas. Hacia el ao 3000 a.C.

los babilonios usaban pequeas tablillas de arcilla para recopilar datos

sobre la produccin agrcola y sobre las especies vendidas o cambiadas

mediante trueque.

La estadstica en

nuestros das

Hoy en da, la estadstica se ha convertido en un mtodo efectivo para

describir con exactitud los valores de datos econmicos, polticos,

sociales, psicolgicos, biolgicos o fsicos, y sirve como herramienta para

relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadstico no

consiste ya slo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el

proceso de interpretacin de esa informacin. El desarrollo de la

teora de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de

la estadstica. La Probabilidad, es una rama de las matemticas que se

ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que

ocurra un determinado suceso. La probabilidad est basada en el estudio

de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadstica.

Numerosas colecciones de datos se pueden aproximar con gran

exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilsticas; los

resultados de stas se pueden utilizar para analizar datos estadsticos. La

probabilidad es til para comprobar la fiabilidad de las inferencias

estadsticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en

un determinado estudio estadstico. En la actualidad la estadstica ha

alcanzado tal grado de perfeccionamiento y especializacin, que podra

decirse, que no existe disciplina cientfica en la cual no se apliquen los

mtodos estadsticos como herramienta indispensable para iniciar

cualquiera investigacin de envergadura.

Todo lo que hasta apartadamente tiene que ver con la recoleccin,

procesamiento, anlisis e interpretacin de datos numricos pertenece al

dominio de la estadstica, comprende, por ejemplo, el clculo del

aumento, en promedio, de las utilidades de una importante compaa de



ventas de artculos por Internet los ltimos tres aos; la recoleccin y

presentacin anual de la deuda a corto plazo de tres compaas de

electricidad, as como un porcentaje de su deuda a largo plazo; la

evaluacin de la eficacia de dos diferentes programas de computacin,

destinado reducir el nmero de accidentes personales en una empresa,

el tiempo perdido en trabajo de alto riesgo; y el anlisis de las variaciones

que ocurren de cuando en cuando en serie de datos econmicos, ventas

al menudeo, precios al consumidor y al mayoristas, y distribucin de

dinero, precios de productos comunes, productividad del sector agrcola,

etctera.

Definiciones

fundamentales

La Estadstica Descriptiva se ocupa de la descripcin de datos

experimentales, ms especficamente de la recopilacin, organizacin y

anlisis de datos sobre alguna caractersticas de ciertos individuos

pertenecientes a la poblacin o universo.

El papel ms destacado de la Estadstica es la recopilacin, presentacin,

anlisis y uso de datos experimentales, a partir de los cuales obtener unas

conclusiones y tomar decisiones. En este sentido, el conocimiento de la

Estadstica puede resultar de gran utilidad en cualquier campo y en

particular en la Ingeniera. Por ejemplo, en el diseo, desarrollo y mejora

de los procesos de produccin (control de la variabilidad en el proceso,

control de la calidad, etc...). Otros mbitos de aplicacin podran ser: el

estudio de materiales (duracin, dureza, elasticidad, etc...), anlisis de

rendimientos en procesos qumicos segn empleo de catalizadores,

anlisis de procesos hidrolgicos (clculo de avenidas, caudales

generados por cuencas hidrogrficas, etc...), anlisis de

dimensionamiento de estructuras y obras basados en el anlisis de

riesgo, etc...

Estadstica. La Estadstica Descriptiva se encarga de resumir (grfica y

numricamente) la informacin contenida en un conjunto de datos,

destacando sus rasgos ms relevantes.



La Inferencia Estadstica permite obtener conclusiones y tomar

decisiones en una poblacin (no observable completamente) analizando

solamente una parte representativa de ella a la que llamamos muestra.

La Probabilidad sirve de puente entre ambas ramas, que constituye la

base terica para poder hacer inferencias en la poblacin a partir de lo

observado y crear modelos para problemas concretos.

El objetivo bsico de la Estadstica es extraer la informacin contenida en

un conjunto de observaciones. Resumir los datos es un procedimiento

til para conseguirlo y puede hacerse mediante tablas, grficos o valores

numricos. A lo largo de este tema veremos las principales tcnicas

numricas y grficas que nos permiten describir una caracterstica de

inters observada en una poblacin, poniendo en relieve sus rasgos ms

importantes.

Conceptos

bsicos

Conceptos bsicos. Poblacin y variable.

El universo de objetos al cual se refiere el estudio que se pretende

realizar recibe el nombre de poblacin. Por ejemplo, todas las piezas

terminadas en una cadena de montaje, los nacidos en un da determinado,

los coches de una determinada marca, etc. Las poblaciones pueden ser

finitas e infinitas (p.e. poblacin de bacterias). En general, estudiar todos

los individuos de una poblacin (an siendo finita) es difcil,

fundamentalmente por cuestiones de tiempo y costo. Se suele entonces

analizar nicamente una parte representativa de ella a la que llamamos

muestra.

A las caractersticas objeto de estudio en la poblacin se les llama

variables, ya que pueden variar de un individuo a otro. Por ejemplo, el

grosor de una pieza, peso al nacer, consumo de gasolina, partido al que

va a votar un individuo, etc. Segn los valores que puedan tomar las

variables, se clasifican en:

Cualitativas (categricas): No toman valores numricos. Por

ejemplo, causa de fallo de un componente elctrico, tipo de

defecto presente en un material, partido al que se va a votar.



Supongamos que se distinguen tres causas de fallo para los

componentes en estudio: A, B y C. Estas son entonces las

modalidades de la variable causa de fallo". Las modalidades han

de ser exhaustivas e incompatibles. Eso significa en este caso que

en A, B y C estn recogidas todas las posibles causas de fallo

(exhaustivas), y cualquier componente ha de presentar slo una

de esas causas de fallo (incompatibles).

Cuantitativas (numricas): Toman valores numricos. Por

ejemplo, tiempo de fallo de un componente, grosor de una pieza,

altura, peso, etc. Estas a su vez se clasifican en:

o Discretas: Toman un nmero finito o infinito numerable

de valores (toman valores enteros). Por ejemplo, nmero

de piezas defectuosas en un lote, nmero de hijos, etc.

o Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de uno o

varios intervalos de la recta real (pueden tomar valores

con decimales). Por ejemplo, altura, temperatura, tiempo

de fallo, etc.

Variables

estadsticas

Variable estadstica. Definicin y ejemplos.

Consideramos un experimento o muestra de una poblacin cualquiera y

realizamos 'n' pruebas o 'n' observaciones, de esta forma obtenemos un

conjunto de observaciones que llamaremos muestra aleatoria de tamao

'n'. Los valores o cualidades que representan los 'n' resultados de las 'n'

pruebas realizadas le llamaremos variable estadstica.

Clasificacin de las variables estadsticas: cualitativas y cuantitativas

(discretas y continuas).

Hemos visto que un carcter estadstico es una propiedad que permite

clasificar a los individuos de la poblacin.

Hay dos tipos:

a) Caracteres estadsticos cuantitativos: Se dice que un carcter

estadstico es cuantitativo cuando sus modalidades son medibles



(expresables como nmeros y cumpliendo unas propiedades de

medida.). Ejemplos: peso, talla, pulso, edad, etc.

b) Caracteres estadsticos cualitativos: Se dice que un carcter

estadstico es cualitativo cuando sus modalidades no pueden ser

medidas. Ejemplos: raza, sexo, profesin, estado civil, etc.

Nota: Es evidente, por ejemplo, que si el carcter es el estado civil,

podamos asignarle a sus modalidades los siguientes nmeros: a los

casados 1 , solteros 0 , viudos un 2, etc, pero este carcter no es medible

en el sentido de que el 1>0 por ejemplo , expresin que no tiene sentido.

Continuas o

discretas

Las variables estadsticas cuantitativas pueden ser: continuas o discretas.

Discreta: es aquella que solo puede tomar un nmero finito o

infinito numerable de valores. Dicho con otras palabras: cuando

no puede tomar cualquier valor entre dos valores dados. O bien

solo toma valores aislados, generalmente enteros.

Ejemplo: el nmero de libros en una estantera, las tiradas de un

dado, el nmero de ptalos de una flor, etc.

Continua: cuando puede tomar, al menos tericamente, todos los

valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplo: la temperatura de los enfermos entre 35 y 40 grados,

aunque en la prctica sea imposible medir temperaturas

aproximando hasta la cuarta o quinta cifra decimal. En la prctica

son variables estadsticas continuas aquellas que fijamos como

suceso elemental las que entren en un intervalo.

Experimento

comparativo

Experimento comparativo. Es una investigacin cuya finalidad es

comparar los efectos de dos o ms tratamientos aplicadas a ciertas

unidades de experimentacin.

Encuesta por

muestreo

Encuensta por muestreo. Es una investigacion que tiene por objetivo la

descripcion de cieratas caracteristicas de una poblacion mediante el

examen de una parte de ella.

Estudio

observacional

Estudio observacional. Es una investigacin comparativa sin la

asignacin aleatoria que se hace en los experimentos, cuya finalidad es



tambien comparar los efectos de dos o mas condiciones que tiene sobre

las unidades observadas.

Modelos

estadstico

Construccin de un modelo estadstico. Es una investigacin para

identificar un modelo que represente un aspecto de la realidad, estimar

sus parmetros y validad sus ajustes a la realidad.

Divisin de la

estadstica

Descriptiva o

deductiva

Estadstica Descriptiva o deductiva: Es la parte de la Estadstica que se

ocupa de recopilar, representar y condensar los datos obtenidos del

sistema en estudio, utilizar representaciones grficas de los datos

tabulados. Esta utiliza el siguiente mtodo:

Seleccin de caracteres: Dignos de estudio.

Anlisis de cada carcter. Este anlisis consiste en:

o Examinar cada individuo y anotar el valor de cada carcter.

o Establecer las clases de individuos que se desean distinguir

respecto a ese carcter.

o Clasificar y contar los individuos incluidos en cada clase

o Calcular determinados valores numricos (los parmetros

estadsticos) a partir de los datos contenidos en las

distribuciones anteriores.

o

Inferencial Estadstica Inferencial: Es la parte de la Estadstica dedicada a la

formulacin de supuestos y estimaciones, para hacer predicciones y

poder sacar conclusiones de los datos obtenidos con el estudio de las

muestras. Y as, poder tomar decisiones con base cientfica. La Estadstica

se emplea en el estudio de los fenmenos naturales, tanto los generados

en los laboratorios por los cientficos como aquellos ms all del control

humano. Es una herramienta de uso tan amplio y general que hoy da es

difcil imaginar un lugar donde no pueda emplearse.



Formas de observar una poblacin

La estadstica se ha convertido en una disciplina formidable que ha

colaborado con la mayor parte de las ciencias, las tecnologas y las

humanidades en la produccin de nuevo conocimiento sobre el mundo

en que vivimos.



Recopilacin de

datos

Etapas de la recopilacin de datos

Etapa 1 - Objetivos de la Recopilacin: esta primera etapa consiste en

determinar con claridad qu es lo que se quiere lograr con la

recopilacin. No siempre es fcil saber lo que se quiere y menos

determinarlo en detalle. Por eso, se deben definir primero los objetivos

generales del trabajo estadstico. Y a partir de ellos se conocern las

variables a medir y as saber cules elementos se necesitarn. Con esto

se tiene una primera idea de los alcances y limitaciones de la tarea a

realizar, segn sea el tipo de informacin a obtener de la poblacin en

estudio. Los objetivos deben redactarse concisos, breves y claros.

Normalmente, la persona a cargo de la investigacin es la responsable de

esta etapa pues tiene una visin ms completa y actualizada del tema en

estudio. Por ejemplo, si se necesita la distribucin de la poblacin por

edades y sexo, no es lo mismo disponer de la informacin del ltimo

censo realizado que hacerlo uno mismo.

Etapa 2 - Relevamientos: esta etapa consiste en determinar lo que se

tiene para alcanzar los objetivos definidos en la etapa anterior. Se trata

de listar los bienes necesarios para poder hacer el trabajo, y el listado de



los disponibles. Conviene tener en cuenta la siguiente clasificacin de los

bienes: Tangibles e Intangibles.

Por su parte, los bienes tangibles son dos:

Los materiales incluyen los de vidrio, de limpieza, drogas,

reactivos, etc.

Por equipamiento se entiende no slo los aparatos de medicin,

sino los accesorios como muebles y tiles de laboratorio y para

oficina.

El dinero o los recursos monetarios deben ser determinados con

mucho detalle para afrontar gastos e inversiones durante la

investigacin. Adems, hay que determinar los fondos

disponibles y las posibles fuentes financieras adonde poder

recurrir.

La infraestructura incluye a los edificios, laboratorios,

electricidad, agua, etc.

El personal es todo el necesario en sus diferentes niveles, como

ser: profesionales, tcnicos, ayudantes, consultores externos, de

servicio, etc. Este relevamiento de los bienes tangibles

disponibles y de los necesarios para la recopilacin condiciona de

alguna manera los objetivos. Puede ser que se disponga de bienes

sobrados para alcanzar los objetivos, por lo que se pueden

plantear metas ms ambiciosas. Por otra parte, puede ocurrir que

los bienes disponibles estn lejos de cubrir los necesarios, y por

lo tanto se debern resignar los objetivos planteados por otros

ms modestos.

Por su parte, los bienes intangibles son dos:

la organizacin de los bienes tangibles, de manera tal de alcanzar

los objetivos, y los conocimientos para saber cmo usarlos. Esto

es el know how de cada profesin. Y tambin lo es la bsqueda

bibliogrfica de trabajos similares en revistas especializadas,

textos y otras fuentes de informacin. Una vez terminada esta



etapa, que seguramente habr ayudado a depurar la anterior, se

debe comenzar a pensar en las diferentes maneras de hacerlo.

Etapa 3 - Creacin de alternativas: esta etapa consiste en saber cmo

hacerlo. O sea, generar distintas alternativas de sistemas de recopilacin

de datos, de acuerdo con los objetivos adoptados y los bienes disponibles.

Se debe hacer un listado con todas las formas posibles de efectuar la

recopilacin a fin de tener un panorama completo. En sntesis, se habla

de fuente propia cuando se decide extraer los datos mediante

mediciones. Fuente Primaria es cuando se toman los datos de otros

investigadores que publican los resultados de sus propias mediciones.

Fuente Secundaria es cuando los datos se extraen de publicaciones que

usan como referencia a fuentes primarias.

Etapa 4 - Seleccin de alternativas: consiste en determinar cul es la

mejor entre las n alternativas planteadas en la etapa anterior. Se necesita

de un mtodo para la adopcin de un criterio de seleccin.

Etapa 5 - Prueba piloto: existe una diferencia entre el diseo en los

papeles y la realidad. Es por eso que siempre es aconsejable hacer una

prueba piloto antes de la puesta en marcha para poder juzgar cmo

trabaja el sistema de recopilacin de datos. Se sacan unos pocos datos y

se analizan las dificultades no previstas, junto con los resultados.

Comparando los valores obtenidos con los que se esperaba tener, se hace

una especie de control previo del sistema.

Etapa 6 - Ajustes: Lo normal es tener que hacer pequeos ajustes que

permitan optimizar al sistema. De las diferencias detectadas en el control

de la etapa anterior se sacan indicios. Estos muestran qu tpicos retocar

y surgen nuevas ideas de cmo hacer mejor las cosas. Bsicamente,

usando el sentido comn se corrigen los principales defectos, como ser:

mejorar el entrenamiento y conocimientos del personal, redisear

formularios, calibrar equipos de medicin, estimacin de la magnitud del

error de medicin, etc. Pero tambin hay tcnicas de optimizacin



especiales como son los distintos modelos de la Investigacin Operativa.

Esta es una disciplina muy emparentada con estadstica y sus modelos

ms conocidos son: Teora de Lneas de Espera, Programacin por

Camino Crtico (PERT), Programacin Dinmica y Lineal, Reemplazos,

Simulaciones, etc. Una vez hechos los ajustes, se vuelve a la etapa anterior

y se efecta una nueva prueba piloto. Este ensayo permite decidir si se

contina adelante, o si son necesarios ms ajustes. Hay que continuar

hasta que todo sea satisfactorio y recin entonces pasar a la etapa

siguiente.

Etapa 7 - Puesta en marcha: una vez optimizado y ajustado el mtodo

de obtencin de datos solo resta ponerlo en marcha. De esa manera, se

logra la cantidad de datos necesarios para alcanzar los objetivos

previstos. El resultado final es la obtencin de un volumen grande de

informacin que debe ser presentada en forma ms resumida y

comprensible usando tablas, grficos y otras formas, como se ver ms

adelante.

1.2 Medidas de Tendencia central y dispersin (media, moda,

varianza y desviacin estndar).

Tratamientos para datos no agrupados

A qu se refiere esto? Cuando la muestra que se ha tomado de la

poblacin o proceso que se desea analizar, es decir, tenemos menos de

20 elementos en la muestra, entonces estos datos son analizados sin

necesidad de formar clases con ellos y a esto es a lo que se le llama

tratamiento de datos no agrupados.

Medidas de

tendencia central

Se les llama medidas de tendencia central a la media aritmtica, la

mediana, la media geomtrica, la moda, etc. debido a que al observar la

distribucin de los datos, estas tienden a estar localizadas generalmente



en su parte central. A continuacin definiremos algunas medidas de

tendencia central y la forma de calcular su valor.

Media aritmtica Media aritmtica (x ). Tambin se le conoce como promedio ya que es

el promedio de las lecturas o mediciones individuales que se tienen en la

muestra, se determina con la frmula siguiente:

donde:

x = media aritmtica

xi = dato i

n = nmero de datos en la muestra

Problema Se han tomado como muestra las medidas de seis cables usados en un

arns para lavadora, las cuales son; 15.2 cm, 15.0, 15.1, 15.2, 15.1 y 15.0,

determine su media aritmtica.

Solucin:

Problema Se toman varias muestras de cierto tipo de queso y se determina la

cantidad de protena por cada 100 gramos de queso, encontrndose lo

siguiente: 26.5 gramos, 24.8, 25.3, 30.5, 21.4, determine la cantidad

promedio de protena encontrada en la muestra por cada 100 gramos de

queso que se elabora.

Solucin:

problema Se hacen varias lecturas de una muestra que contiene cobre, las lecturas

se hacen en un espectrofotmetro de absorcin atmica y son la

siguientes: 12.3%, 12.28, 12.27, 12.3, 12.24, 15.01, determine la

concentracin promedio de Cu en la muestra.

Solucin:

n

x

x

n

i

i

1

cm.......

x 1156

015115215115015215

grs......

x_

7255

421530325824526



Problema Si observamos las lecturas del espectrofotmetro nos damos cuenta que

el valor de 15.01% es un valor diferente al de las lecturas anteriores, por

lo que se descarta el valor ya que se considera un valor atpico, es decir

un valor que es debido a circunstancias especiales, en este caso puede ser

que se deba al hecho de que se est descalibrando el aparato de absorcin

atmica o simplemente que se ha equivocado el operador del aparato al

tomar la lectura, por lo que la media se debe calcular con las primeras

cinco lecturas; como se muestra a continuacin:

Solucin:

y esta sera la media correcta

Problema Si deseamos determinar la edad promedio de los estudiantes de una

escuela de nivel superior al iniciar sus estudios, suponga que se toman

las edades de algunos de los alumnos de cierta clase y estas son las que

siguen: 20, 18, 18, 19, 18, 19, 35, 20, 18, 18, 19.

Solucin:

Luego, la media se determinar con solo 10 de las edades ya que es

necesario descartar la edad de 35 aos, que es un dato atpico o un caso

especial, por lo que;

Nota: Cuando es necesario determinar aquellas medidas de tendencia

central que hagan uso de todos los datos de la muestra se recomienda

descartar todos aquellos datos atpicos que se encuentren en la muestra

o muestras tomadas.

Media

geomtrica

Media geomtrica (G). Es la raz en ensima del producto de los valores

de los elementos de la muestra, es usada cuando los valores de los datos

Cu%........

x_

73126

476

6

0115241231227122812312

Cu%.......

x_

278125

3961

5

241231227122812312

aos.x_

71810

187

10

19181820191819181820



de la muestra no son lineales, es decir que su valor depende de varios

factores a la vez, se determina de la siguiente forma:

Donde:

G = media geomtrica

xi = dato i


Problema Las siguientes temperaturas han sido tomadas de un proceso qumico,

13.4oC, 12.8, 11.9, 13.6, determine la temperatura promedio de este

proceso.

Solucin:

G = = 12.9077 oC

Problema Las siguientes temperaturas han sido tomadas de un proceso para

fabricar queso chihuahua, 21.4oC, 23.1, 20.2, 19.7, 21.0, determine la

temperatura promedio de este proceso.

Solucin:

G = = 21.048 oC

Media aritmtica

ponderada

Media aritmtica ponderada ( xw ). Esta media se usa cuando el peso

que tiene cada uno de los datos de la muestra es diferente, se calcula de

la siguiente manera:

Donde:

xw = media aritmtica ponderada

xi = dato i

wi = peso del dato i

Problema A continuacin se mencionan las materias que Luis Prez llev en el

primer semestre de Ingeniera Qumica, el nmero de crditos y la

calificacin obtenida;

nn x*...*x*xG 21

44 796827758613911812413 ..x.x.x.

55 8524131070021719220123421 ..x.x.x.x.

k

i

i

k

i

ii

w

xwwx

1

1



Materia Numero crditos Calificacin

Metodologa de la investigacin 8 90.5

Matemticas I 10 100.0

Programacin 8 81.0

Qumica 10 78.0

Dibujo 4 100.0

Economa 8 84.0

Determine la calificacin promedio que obtuvo Luis Prez en su primer

semestre.

Solucin:

=

Nota: S comparamos este promedio con el que se obtiene usando

simplemente la media aritmtica, que es un 88.91, nos damos cuenta de

que este ltimo es mayor, por no tomar en cuenta el peso o nmero de

crditos que aporta cada materia a la carrera que se estudia, el promedio

de esta persona es menor al de la media aritmtica debido a que obtiene

una calificacin baja es Qumica que es una de las materias que aporta

ms crditos.

Media armnica Media armnica (H). La media armnica se define como el recproco del

promedio de los recprocos de cada uno de los datos que se tienen en la

muestra, y se determina de la siguiente manera:

Problema Determine la media armnica de los siguientes datos, 3.1, 2.8, 2.84, 3.05,

3.09

84108108

084810040781008180100105908

).x()x().x().x().x().x(X w

08848

4224

48

6724007806481000724.

n

i

n

i

xi/

n

xi/n/

H

11

111

1



Solucin:

Mediana Mediana (xmed). La mediana es aquel valor que se encuentra en la parte

central de los datos que se tienen en la muestra una vez que estos han

sido ordenados segn su valor o magnitud. Para calcular la mediana se

presentan dos casos:

a) Cuando el nmero de datos en la muestra es impar.- En este

caso despus de ordenar los datos de la muestra en cuanto a

su magnitud, es decir de mayor a menor valor o de menor a

mayor valor, se procede a localizar aquel dato que se

encuentra justo en el centro de los datos o en la parte central

de los mismos, el valor de este dato ser el que d valor a la

mediana.

Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado

en un arns de lavadora; se toman como muestra siete circuitos y sus

mediciones son: 11.3, 11.2, 11.5, 11.2, 11.2, 11.4, 11.5 cm.

Solucin:

Ordenando los datos de menor a mayor valor;

11.2, 11.2, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.5

Se observa que el dato 11.3 es el que queda en la parte central, por lo que

este es el que dar valor a la mediana; entonces,

xmed = 11.3 cm.

b) Cuando el nmero de datos en la muestra es par.- En este caso

despus de ordenar los datos en cuanto a su magnitud,

observamos que en la parte central de los datos no se

encuentra dato alguno, en este caso, la mediana tomar el

093105318421821131

5

./././././H

9703268331

5

3236032790352103571032260

5.

......



valor del promedio de dos datos; el que se encuentra antes de

la parte central y el que se encuentra despus de la parte

central.

Problema Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado

en un arns de lavadora; se toman como muestra ocho circuitos y sus

mediciones son: 11.3, 11.2, 11.5, 11.2, 11.2, 11.4, 11.5, 11.4 cm.

Solucin:

Ordenando los datos de mayor a menor valor,

11.5, 11.4, 11.4, 11.3, 11.2, 11.2, 11.2, 11,1 cm.

Se observa que en la parte central de los datos no hay dato alguno por lo

que la mediana se determina con el promedio de los datos subrayados,

entonces,

Nota: Es imprescindible para calcular el valor de la mediana el que

primero se ordenen los datos en cuanto a su magnitud, ya que de no

hacerlo, se incurrira en un grave error.

Moda Moda (xmod). La moda se define como aquel valor o valores que ms se

repiten o que tienen mayor frecuencia entre los datos que se han

obtenido en una muestra, la muestra de una poblacin nos genera la

distribucin de los datos una vez que estos se han graficado y en esta

grfica es posible observar la moda o modas de la misma, es por esto que

una distribucin de datos puede ser amodal (carece de moda), unimodal

(tiene una sola moda), bimodal (tiene dos modas) o polimodal (tiene ms

de dos modas).

Problema Determine la moda de los datos que se muestran a continuacin, se

refieren a la estatura de un grupo de jvenes; 1.60m, 1.65, 1.70, 1.71, 1.70,

1.70, 1.70, 1.71, 1.70, 1.93, 1.87, 1.85

Solucin:

Estatura Frecuencia

1.60 1

cm...

Xmed 25112

211311



1.65 1

1.70 5*

1.71 2

1.85 1

1.87 1

1.93 1

La tabla muestra la distribucin de frecuencias de los datos o el

nmero de veces que estos se repiten, la mayor frecuencia que es 5

corresponde a una estatura de 1.70m, por lo que esta sera la moda.

Luego, xmod = 1.70m

Determine la moda de los siguientes datos que se refieren a la edad de

alumnos de primer semestre del tecnolgico de Chihuahua, 18 aos, 17,

19, 21, 19, 18, 22, 22, 18, 18, 17, 19, 19, 19, 18, 20, 21, 20, 18, 19, 18, 19,

18,19, 22, 35

Solucin:

Edad Frecuencia

17 2

18 8*

19 8*

20 2

21 2

22 3

35 1

En este caso se observa que las edades que ms frecuencia tienen son las

de 18 y 19 aos, por lo que se concluye que existen dos modas,

Xmod1= 18 aos , Xmod2= 19aos

Hay que hacer notar que la frecuencia para ambas modas puede ser de

igual magnitud o diferente, como en el caso que se ilustra.

Medidas de dispersin



Cuando se tiene una muestra de datos obtenida de una poblacin

cualquiera, es importante determinar sus medidas de tendencia central

as como tambin es bsico el determinar que tan dispersos estn los

datos en la muestra, por lo que se hace necesario determinar su rango, la

varianza, la desviacin estndar, etc., ya que una excesiva variabilidad o

dispersin en los datos indica la inestabilidad del proceso en anlisis en

la mayora de los casos.

Rango Rango o recorrido. El rango es la diferencia entre el valor mayor y el

valor menor encontrado en la muestra, tambin se le denomina recorrido

ya que nos dice entre que valores hace su recorrido la variable de inters;

y se determina de la siguiente manera:

R = VM Vm

Donde:

R = rango o recorrido

VM = valor mayor en la muestra

Vm = valor menor en la muestra

Problema Se han tomado como muestras las mediciones de la resistencia a la

tensin de la soldadura usada para unir dos cables, estas son: 78.5kg,

82.4, 87.3, 78.0, 90.0, 86.5, 77.9, 92.4, 75.9, determine su rango o

recorrido.

Solucin:

VM = 92.4 kg

Vm = 75.9 kg

R = VM Vm = 92.4 75.9 = 16.5 kg

Problema Se toman las mediciones de la cantidad de grasa de la leche en gramos

por cada 100 ml de leche que entra a un proceso de pasteurizacin, a

continuacin se enumeran; 14.85, 15.32, 12.76, 16.29, 15.84, 17.3, 17.61,

16.33, determine el rango o recorrido de la cantidad de grasa de la leche.

Solucin:

VM = 17.61

Vm = 12.76

R = 17.61 12.76 = 4.85gramos



Desviacin

absoluta media Desviacin absoluta media ( ). Esta medida de dispersin nos

representa la diferencia absoluta promedio que existe entre cada dato

que se encuentra en la muestra y la media de los datos y se determina de

la siguiente manera:

Donde:

xi = dato i

= media aritmtica de la muestra


Determine la desviacin absoluta media de los siguientes datos que son

las concentraciones de plomo de algunas muestras, las que a

continuacin se enumeran: 18gr, 12, 21, 19, 16, 20, 22

Solucin:

Para determinar la desviacin absoluta media o promedio, lo primero

que hay que hacer es calcular la media aritmtica de los datos de la

muestra, la que es 128/7 =18.286, luego se procede a calcular el

promedio de las diferencias absolutas entre cada dato y la media

calculada.

_

d

n

xxi

d

n

i

_

_

1

_

x

7

2861822286182028618122861818 .........d_

gr.........

d_

530527

71417

7

7143714128627140714228662860



La interpretacin de este resultado sera que el grado de alejamiento

absoluto promedio de los datos con respecto a su media es de 2.5305

gramos.

Por qu sacar el valor absoluto de las diferencias entre cada dato y la

media aritmtica? Si solo se hicieran diferencias entre cada dato y la

media aritmtica, estas tendran signos positivos y negativos ya que

algunos datos son menores que la media y otros son mayores que la

media, luego al sumar las diferencias, con sus signos correspondientes,

stas se iran anulando unas con otras y no sera posible medir el grado

de alejamiento promedio de los datos en la muestra.

Varianza Varianza o variancia (s2). Es el promedio de las diferencias elevadas al

cuadrado entre cada valor que se tiene en la muestra (xi) y la media

aritmtica ( ) de los datos y se determina de la siguiente manera:

Donde n es el nmero de datos en la muestra.

Los siguientes datos es la cantidad de glucosa en miligramos encontrada

en muestras de sangre de algunos pacientes, 14.2, 12.1, 15.6, 18.1, 14.3,

determine su varianza.

Solucin:

Lo primero que hay que calcular es la media aritmtica de la muestra

como ya se ha hecho anteriormente.

_

x

1

1

2

2

n

xxi

S

n

i

_

mg.......

x 86145

374

5

314118615112214

15

861431486141128614214222

2 )..(....)..()..(s

22 8534

4

41219

4

31360497610547606176743560mg.

......s



Nota: Dentro de la inferencia estadstica se plantea la deferencia entre

una variancia muestral s2 y una poblacional, representada por 2.

Desviacin estndar (s). Es la desviacin o diferencia promedio que

existe entre cada dato de la muestra y la media aritmtica de la muestra.

Y se obtiene a partir de la varianza, sacndole raz cuadrada.

Donde:

s2= varianza o variancia

Por tanto la desviacin estndar de la muestra anterior sera;

s =

La interpretacin de este resultado sera, que la cantidad de glucosa

encontrada en la muestra es en promedio de 14.86 miligramos y que la

cantidad de glucosa en la muestra se aleja o dispersa en promedio 1.9704

mg alrededor de la media.

En este caso solo nos interesa conocer el significado de la desviacin

estndar, aunque es necesario decir que s es la desviacin de la muestra

y que es la desviacin de la poblacin, as como s2 es la varianza de la

muestra y 2 es la varianza de la poblacin.

1.3 Distribuciones de frecuencias

Distribucin de frecuencia

Una distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin

en forma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su

frecuenci a correspondiente.

Tipos de

frecuencia

Frecuencia absoluta. La frecuencia absoluta es el nmero de veces que

aparece un determinado valor en un estudio estadstico. Se representa

2

ss

mg.mg. 2029285342



por f i . La suma de las frecuencias absolutas es igual al nmero total de

datos, que se representa por N .

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega (sigma

mayscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia

relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un

determinado valor y el nmero total de datos. Se puede expresar en tantos

por ciento y se representa por n i .

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Ejemplo:

Frecuencia

acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos

los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi.



Ejemplo Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes

temperaturas mximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29,

29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de

menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera

anotamos la frecuencia absoluta.

Elemento,

xi

Recuento Frecuencia,

fi

Frecuencia

acumulada,

FA

Frecuencia

relativa,

FR

27 I 1 1 0.032

28 II 2 3 0.065

29

6 9 0.194

30

7 16 0.226

31

8 24 0.258

32 III 3 27 0.097

33 III 3 30 0.097

34 I 1 31 0.032

31 1

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.



Distribuciones Distribucin de frecuencias agrupadas

La distribucin de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se

emplea si las variables toman un nmero grande de valores o la variable

es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud

denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia

correspondiente.

Lmites de clase Lmites de la clase

Cada clase est delimitada por el lmite inferior de la clase y el lmite

superior de la clase.

Amplitud de la

clase

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el lmite superior e inferior

de la clase.

Marca de clase Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que

representa a todo el intervalo para el clculo de algunos parmetros.

Construccin de

tabla

Construccin de una tabla de datos agrupados

Pasos para agrupar datos.

a) Determinar el rango o recorrido de los datos.

Rango = Valor mayor Valor menor

b) Establecer el nmero de clases (k) en que se van a agrupar los

datos tomando como base para esto la siguiente tabla.

Tamao de muestra o No. De datos Nmero de clases

Menos de 50 5 a 7

50 a 99 6 a 10

100 a 250 7 a 12

250 en adelante 10 a 20



El uso de esta tabla es uno de los criterios que se puede tomar en cuenta

para establecer el nmero de clases en las que se van a agrupar los datos,

existen otros para hacerlo.

Determinar la amplitud de clase para agrupar (C).

a) Formar clases y agrupar datos.

Para formar la primera clase, se pone como lmite inferior de la primera

clase un valor un poco menor que el dato menor encontrado en la muestra

y posteriormente se suma a este valor C, obteniendo de esta manera el

lmite superior de la primera clase, luego se procede a obtener los lmites

de la clase siguiente y as sucesivamente.

Ejemplo Los siguientes datos se refieren al dimetro en pulgadas de un engrane.

6.75 7.00 7.00 6.75 6.50 6.50 7.15 7.00

6.50 6.50 6.50 6.25 6.25 6.50 6.65 7.00

7.25 6.70 6.00 6.75 6.00 6.75 6.75 7.10

7.00 6.70 6.50 6.75 6.25 6.65 6.75 7.10

7.25 6.75 6.25 6.25 7.00 6.75 7.00 7.15

Agrupe datos, considere k = 6.

Solucin:

Agrupando datos;

R= VM - Vm = 7.25 6.00 = 1.25

k = 6

Para formar la primera clase se toma un valor un poco menor que el valor

menor encontrado en la muestra; luego,

k

RangoC

210208306

251..

.

k

RC



1.3.1 Distribuciones numricas.

Distribuciones numricas

Es aquella distribucin en la que la disposicin tabular de los datos

estadsticos se encuentra ordenandos en clases y con la frecuencia de

cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del

conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen

normas establecidas para determinar cundo es apropiado utilizar datos

o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el nmero

total de datos (N) es igual o superior 50 y adems el rango o recorrido de

la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizara la distribucin de

frecuencia para datos agrupados, tambin se utilizara este tipo de

distribucin cuando se requiera elaborar grficos lineales como el

histograma, el polgono de frecuencia o la ojiva.

Para calcular el lmite inferior o superior conocido tambin como

fronteras inferior o superior se realiza lo siguiente:

Cantidad de dgitos Tolerancia

1 = 1 /2 = 0.5

0.1 = 0.1 / 2 = 0.05

0.01 = 0.01/2 = 0.005

0.001 = 0.001 = 0.0005



0.0001 = 0.0001 = 0.00005

Media ( ).

=

Donde:

k = nmero de clases

xi = marca de clase i

fi = frecuencia de la clase i


c) Media ( ).

_

x

40

0543475311512

40

6175752956207561 ......))(.(...))(.())(.(

n

f*x

x

k

i

ii

adaslgpu..

713640

52268

k

i

if1

_

x



=

Donde:

k = nmero de clases




Mediana (Xmed).

Donde:

Li = lmite real inferior de la clase que contiene a la mediana

Fme-1 = sumatoria de las frecuencias anteriores a la clase en donde se

encuentra la mediana

fme = frecuencia de la clase en donde se encuentra la mediana

A = amplitud real de la clase en donde se encuentra la mediana

A = LRS-LRI

LRS = lmite real superior de la clase que contiene a la mediana

LRI = lmite real inferior de la clase que contiene a la mediana

N = nmero de datos en la muestra

Moda (Xmod).

40

0543475311512

40

6175752956207561 ......))(.(...))(.())(.(

n

f*x

x

k

i

ii

adaslgpu..

713640

52268

k

i

if1

Afme

Fme/nLiXmed

12

7265622013

142406256 .).(

/.



Donde:

Li = lmite real inferior de la clase que contiene a la moda

d1 = =

d2 = =

fmo = frecuencia de la clase que contiene a la moda

fmo-1= frecuencia de la clase anterior a la que contiene a la moda

fmo+1= frecuencia de la clase posterior a la que contiene a la moda

A = amplitud real de la clase que contiene a la moda

A = LRS LRI

LRS = lmite real superior de la clase que contiene a la moda

LRI = lmite real inferior de la clase que contiene a la moda

Desviacin estndar (S).

=

Add

dLimodX

21

1

adaslgpu.).(. 735622066

66256

1 fmofmo 6713

1 fmofmo 6713

11

1

2

1

1

2

n

fi)xxi(

fi

fi)xxi(

s

k

i

_

k

i

k

i

_

140

671361757571362956271360756 222 )()..(...)()..()()..(

adaslgpu........

3063039

659043

39

28066418736208140880



Donde:


= media aritmtica


= nmero total de datos en la muestra

1.3.2 Distribuciones categricas.

Si las distribuciones se hallan agrupadas de acuerdo con alguna cualidad o

atributo denominaremos distribucin categrica a esa distribucin.

Ejemplo Prctico:

Una empresa quiere evaluar el grado de satisfaccin que sus clientes tienen

respecto de los productos adquiridos recientemente. Se toma una encuesta

sobre 30 clientes.

Cliente Numero de integrantes del grupo familiar

Edad jefe

Ingresos Mensuales

Grado de satisfaccin del cliente

1 3 30 3.91 Completamente satisfecho

2 2 26 3.64 Satisfecho





7 7 32 3.25 Insatisfecho




_

x

k

i

nfi1






14 3 48 3.48 Completamente insatisfecho










24 5 30 2.83 Completamente insatisfecho







Variable

categrica

Variable categrica

Organizacin de datos. Los datos se pueden organizar en una tabla que

muestre las frecuencias absolutas de cada categora de la variable, esto es la

cantidad de veces que se presentan cada una de estas.

Esta tabla se conoce como una distribucin de frecuencias absolutas y tiene

un formato como sigue:

Formato de distribucin de frecuencias de una variable categrica.



1.3.3 Distribuciones acumuladas.

Distribuciones acumuladas

Una distribucin de frecuencia acumulada (ojiva) se usa para

determinar cuntos o que proporcin de los valores de los datos

es menor o mayor que cierto valor.

Una distribucin de frecuencias acumuladas identifica el nmero

acumulado de observaciones incluidas bajo el lmite exacto

superior de cada clase de la distribucin. Las frecuencias

acumuladas de una clase pueden determinarse sumando las

frecuencias observadas de esa clase a las frecuencias acumuladas

de la clase anterior.

La grafica de una distribucin de frecuencias acumuladas se

llama ojiva. En el caso de distribuciones acumuladas del tipo y

menor que, esta grafica indica las frecuencias acumuladas bajo

cada limite exacto de clase de la distribucin de frecuencias. Si

esa grafica de lneas se suaviza, se obtiene la curva llamada ojiva.

Si la variable categrica se mide en una escala ordinal, entonces tiene

sentido obtener las frecuencias acumuladas:

Formato de distribucin de frecuencias de una variable categrica de

nivel ordinal.

Ejemplo de variable categrica.

Organizacin de Datos

Variable Categrica

Si la variable categrica se mide con una escala ordinal, entonces tiene sentido obtener las frecuencias acumuladas:

Formato de Distribucin de Frecuencias de una

variable categrica de nivel ordinal

Variable

X

Frecuencias

fi

Porcentaje

hi%

Frec.

Acumuladas Fi%

Porcentajes

Acumulados Hi%

Categora 1 f1 h1% F1% H1%

Categora 2 f2 h2% F2% H2%

... ... ... Categora k fk hk% Fk%= n Hk%= 100%

Total n 100



Satisfaccin del

cliente

Numero de

clientes

Porcentajes Frecuencias

acumuladas

Porcentajes

acumulados

Completamente

satisfecho

13 43.3 13 43.3

Satisfecho 12 40.0 25 83.3

Insatisfecho 3 10.0 28 93.3

Completamente

insatisfecho

2 6.7 30 100

Total 30 100.0

Distribucin de frecuencias de la variable Satisfaccin del cliente.

Representaciones grficas.

En el eje horizontal se representan las categoras de la variable y sobre el

eje vertical las frecuencias respectivas de cada categora.

caso satisfaccin caso satisfaccin

1 Compl. Satisfecho 16 Satisfecho

2 Satisfecho 17 Satisfecho

3 Satisfecho 18 Compl. Satisfecho

4 Compl. Satisfecho 19 Insatisfecho



7 Insatisfecho 22 Compl. Satisfecho

8 Satisfecho 23 Satisfecho

9 Compl. Satisfecho 24 Compl. Insatisfecho


11 Insatisfecho 26 Satisfecho

12 Compl. Satisfecho 27 Compl. Satisfecho

13 Compl. Satisfecho 28 Compl. Satisfecho

14 Compl. Insatisfecho 29 Satisfecho

15 Satisfecho 30 Compl. Satisfecho

Distribucin de Frecuencias de la variable Satisfaccin del Cliente

Ejemplo

Variable Categrica

Satisfaccin del Cliente N de clientes Porcentajes Frecuencias

Acumuladas

Porcentajes

Acumulados

Completamente Satisfecho 13 43,3 13 43,3

Satisfecho 12 40,0 25 83,3

Insatisfecho 3 10,0 28 93,3

Completamente Insatisfecho 2 6,7 30 100

Total 30 100,0



Grafico de pastel (Pie Chart)

Consta de un crculo que se divide en tantos sectores circulares como

categoras tenga la variable, cuyas reas son proporcionales a las

frecuencias correspondientes.

Medidas estadsticas descriptivas

Con escalas nominales: la nica medida descriptiva que puede

considerarse en el caso de variables categricas es la categora modal.

Categora modal: se define como aquella que tiene asociada la

frecuencia de ocurrencia mas alta.

Representaciones Grficas

Variable Categrica

Grfico de Barras

En el eje horizontal se representan las categoras de la variable y sobre el eje vertical las frecuencias respectivas de cada categora.

Grfico de Barras de la variable Satisfaccin del Cliente

Satisfaccin del Cliente

Comp Sat isfSatisfechoInsatisf fechoComp I nsatisfFre

cuen

cias

14

12

10

8

6

4

2

0

Porcentajes

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Grfico de Pastel (Pie Chart)

Consta de un crculo que se divide en tantos sectores circulares como categoras tenga la variable, cuyas reas son proporcionales a las frecuencias correspondientes

43,3%

40,0% 10,0%

6,7%

Compl. Satisfecho

SatisfechoInsatisfecho

Compl. Insatisfecho

Grfico de Pastel de la variable

Satisfaccin del Cliente

Representaciones Grficas

Variable Categrica



En el ejemplo anterior se trata de l categora completamente satisfecho,

mencionad por 13 encuestados de un total de 30.

Con Escalas ordinales: Adems de la categora modal se puede obtener

la categora mediana.

Categora Mediana: es aquella que se sita en el centro de la serie al

ordenar los datos, es decir en la posicin dada por O(Me) = (n + 1) /2

Satisfaccin del cliente Numero de clientes Frecuencias acumuladas

Completamente satisfecho 13 13

Satisfecho 12 25

Insatisfecho 3 28

Completamente insatisfecho 2 30

30

1.3.4 Distribuciones porcentuales.

Distribuciones porcentuales

1.3.5 Distribuciones porcentuales acumuladas.



Distribuciones porcentuales acumuladas.



1.4 Histogramas

Histograma

El histograma es una grfica de barras que permite describir el

comportamiento de un conjunto de datos en cuanto a su tendencia central,

forma y dispersin. El histograma permite que de un vistazo se pueda tener

una idea objetiva sobre la calidad de un producto, el desempeo de un

proceso o el impacto de una accin de mejora. La correcta utilizacin del

histograma permite tomar decisiones no solo con base en la media, sino

tambin con base en la dispersin y formas especiales de

comportamiento de los datos. Su uso cotidiano facilita el entendimiento de

la variabilidad y favorece la cultura de los datos y los hechos objetivos

Construccin de un histograma.

Para decidir correctamente y detectar posibles anormalidades en los datos

se procede a lo siguiente para construir un histograma:

Paso 1. Determinar el rango de datos. La diferencia entre el dato

mximo y el dato mnimo.

Paso 2. Obtener el nmero de clases (NC) o barras. Ninguno de ellos

es exacto, esto depende de cmo sean los datos y cuantos sean. Un

criterio usado es del nmero de clases, debe ser aprox. Igual a la raz

cuadrada del nmero de datos.

Paso3. Establecer la longitud de clase (LC).Se establece de tal

manera que el rango pueda ser cubierto en su totalidad por NC. Una



forma directa de obtener la LC es dividiendo el rango entre el

numero de clases, LC= R/NC.

Paso 4. Construir los intervalos de clase. Resultan de dividir el rango

(original o ampliado) en NC e intervalos de longitud LC.

Paso 5. Obtener la frecuencia de cada clase. Se cuentan los datos que

caen en cada intervalo de clase.

Paso 6.Graficar el histograma.

Se grafican en barras, en las que su base es el intervalo de clase y

la altura sean las frecuencias de las clases.

Interpretaci

n

Interpretacin del histograma.

Lo que se aprecia en el histograma como tendencia central, variabilidad y

comportamientos especiales ser una informacin valiosa. Observndolo se

pueden contestar varias preguntas tales como:

Hay un comportamiento simtrico?, Hay Sesgo?, Hacia que lado?

Para esto basta que se observe la forma del histograma; cuando es

resultado de una muestra grande, hay un sesgo significativo pude ser

que haya algn problema, como calentamiento de los equipos o

instrumentos de medicin descalibrados.

Esta centrado el proceso? Con un tamao de muestra grande es muy

fcil ver mediante un histograma si un proceso esta centrado o no,

ya que basta observar la posicin del cuerpo del

histograma respecto a la calidad optima y a las especificaciones,

si no esta centrado la calidad que se produce no es adecuada.

Hay acantilados? Las posibles causas que motivan la presencia de

acantilados estn: un lote de articulo previamente

inspeccionados al 100% donde se excluyo a los artculos que no

cumplen con alguna medida mnima o que exceden una medida

mxima, problemas con el equipo de medicin y errores en la

inspeccin. Un acantilado es anormal y debe buscarse la causa del

mismo.

Estratificacin. Cuando se obtienen datos que proceden de

diferentes maquinas, proveedores u operadores, se hace un



histograma por cada fuente y as se podr encontrar la maquina o

proveedor ms problemtico.

A una fbrica de envases de vidrio, un cliente le est exigiendo que la

capacidad de cierto tipo de botella sea de13 ml., con una tolerancia de ms

menos 1 ml. La fbrica establece un programa de mejora de calidad para que

las botellas que se fabriquen cumplan con los requisitos del cliente.

Muestreo =

11,12,13,12,13,14,14,15,11,12,13,12,14,15,11,12,16,16,14,13,14,14,13,15,1

5

1. Rango : 16 11 = 5

25 = 5

3. 5/5 = 1

Clase Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa

1 11.12 3 0.12

2 12.13 5 0.25

3 13.14 5 0.25

4 14.15 6 0.24

5 15.16 6 0.24

1.5 Polgono de Frecuencias

Polgono de frecuencia



1.6 Diagrama de Pareto.

Diagrama de Pareto

Qu es el diagrama de Pareto?

Es una representacin grfica de los datos obtenidos sobre un

problema, que ayuda a identificar cules son los aspectos

prioritarios que hay que tratar.



Tambin se conoce como Diagrama ABC o Diagrama 20-80.

Su fundamento parte de considerar que un pequeo porcentaje

de las causas, el 20%, producen la mayora de los efectos, el

80%. Se tratara pues de identificar ese pequeo porcentaje de

causas vitales para actuar prioritariamente sobre l.

Cmo se utiliza?

Los pasos para realizar un Diagrama de Pareto son:

1. Determinar el problema o efecto a estudiar.

2. Investigar los factores o causas que provocan ese problema y

como recoger los datos referentes a ellos.

3. Anotar la magnitud (por ejemplo: euros, nmero de Defectos,

etc.) De cada factor. En el caso de factores cuya magnitud es Muy

pequea comparada con la de los otros factores incluirlos dentro

de la categora otros.

Ejemplo En una empresa textil se desea analizar el nmero de defectos en los

tejidos que fabrica. En la tabla siguiente se muestran los factores que se

han identificado como causantes de los mismos as como el nmero de

defectos asociado a ellos:

4. Ordenar los factores de mayor a menor en funcin de la Magnitud

de cada uno de ellos.

5. Calcular la magnitud total del conjunto de factores.



6. Calcular el porcentaje total que representa cada factor, as como

el porcentaje acumulado. El primero de ellos se calcula como:

% = (magnitud del factor / magnitud total de los factores) x 100

el porcentaje acumulado para cada uno de los factores se obtiene

sumando los porcentajes de los factores anteriores de la lista ms

el porcentaje del propio factor del que se trate.

7. Dibujar dos ejes verticales y un eje horizontal. Situar en el eje

vertical izquierdo la magnitud de cada factor. La escala del eje

est comprendida entre cero y la magnitud total de los factores.

En el derecho se representan el porcentaje acumulado de los

factores, por tanto, la escala es de cero a 100. El punto que

representa a 100 en el eje derecho est alineado con el que

muestra la magnitud total de los factores detectados en el eje

izquierdo. Por ltimo, el eje horizontal muestra los factores

empezando por el de mayor importancia.



8. Se trazan las barras correspondientes a cada factor. La altura de

cada barra representa su magnitud por medio del eje vertical

izquierdo.

9. Se representa el grfico lineal que representa el porcentaje

acumulado calculado anteriormente. Este grfico se rige por el

eje vertical derecho.

10. Escribir junto al diagrama cualquier informacin necesaria, sea

sobre el diagrama o sobre los datos.

En el grfico obtenido se observa que un 20% de los tejidos (Algodn y

Tul) representan aproximadamente un 80% de los defectos, por lo tanto



centrndose la empresa solo en esos 2 productos reducira en un 80% el

nmero de defectos.

Tipos de

diagrama de

Pareto

Existen dos tipos de diagramas de Pareto:

Diagramas de fenmenos. Se utilizan para determinar cul es el

principal problema que origina el resultado no deseado. Estos

problemas pueden ser de calidad, coste, entrega, seguridad u

otros.

Diagramas de causas. Se emplean para, una vez encontrados los

problemas importantes, descubrir cules son las causas ms

relevantes que los producen.

Ejercicio Utilizando como herramienta el diagrama de Pareto, analice las prdidas

por rechazos en una fbrica de papel, teniendo en cuenta que se han

detectado los conceptos que se muestran e en la tabla siguiente, en la que

tambin se indican los costes asociados a cada concepto.



1.7 Diagrama de Dispersin.

Se entiende por correlacin el grado de relacin existente entre dos

variables.

Cuando entre dos variables existe una correlacin total, se cumple que a

cada valor de una, le corresponde un nico valor de la otra (funcin

matemtica).

Es frecuente que dos variables estn relacionadas de forma que a cada

valor de una de ellas le correspondan varios valores de la otra.

En este caso es interesante investigar el grado de correlacin existente

entre ambas para ellos es til el diagrama de dispersin.

El diagrama de dispersin es la representacin grfica del grado de

relacin entre dos variables cuantitativas.

Caractersticas.

Usado para estudiar la posible relacin entre dos variables.

Se usa para probar relaciones entre causa y efecto.

No prueba que una variable causa la otra.

Aclara si existe relacin y la intensidad que pudiera tener la

misma.



Es muy til para:

Determinacin de causas.

Diseo de soluciones y controles.

Priorizacin de causas.

Pasos para

elaborar un

diagrama de

dispersin

Pasos a seguir para elaborar un diagrama de dispersin.

1. Elaborar una teora admisible y relevante sobre la supuesta

relacin entre dos variables.

2. Obtener los pares de datos correspondientes a las dos variables.

3. Determinar los valores mximo y mnimo para cada una de las

variables.

4. Decidir sobre qu eje se representar a cada una de las variables.

5. Trazar y rotular los ejes horizontal y vertical.

6. Marcar sobre el diagrama los pares de datos.

7. Rotular el grfico.

Paso 1: Elaborar una teora admisible y relevante sobre la supuesta

relacin entre dos variables.

Este paso previo es de gran importancia, puesto que el anlisis de un

diagrama de Dispersin permite obtener conclusiones sobre la existencia

de una relacin entre dos variables, no sobre la naturaleza de dicha

relacin.

Paso 2: Obtener los pares de datos correspondientes a las dos variables.

Al igual que en cualquier otra herramienta de anlisis de datos, estos son

la base de las conclusiones obtenidas, por tanto cumplirn las siguientes

condiciones:

En cantidad suficiente: Se consideran necesarios al menos 40

pares de datos para construir un Diagrama de Dispersin.

Datos correctamente emparejados: Se estudiar la relacin entre

ambos.

Datos exactos: Las inexactitudes afectan a su situacin en el

diagrama desvirtuando su apariencia visual.



Datos representativos: Asegrese de que cubren todas las

condiciones operativas del proceso.

Informacin completa: Anotar las condiciones en que han sido

obtenidos los datos.

Paso 3: Determinar los valores mximo y mnimo para cada una de las

variables.

Paso 4: Decidir sobre qu eje representar a cada una de las variables. Si

se est estudiando una posible relacin causa-efecto, el eje horizontal

representar la supuesta causa.

Paso 5: Trazar y rotular los ejes horizontal y vertical.

La construccin de los ejes afecta al aspecto y a la consiguiente

Interpretacin del diagrama.

a) Los ejes han de ser aproximadamente de la misma longitud,

determinando un rea cuadrada.

b) La numeracin de los ejes ha de ir desde un valor ligeramente

menor que el valor mnimo de cada variable hasta un valor

ligeramente superior al valor mximo de las mismas. Esto

permite que los puntos abarquen toda el rea de registro de los

datos.

c) Numerar los ejes a intervalos iguales y con incrementos de la

variable constantes.

d) Los valores crecientes han de ir de abajo a arriba y de izquierda

a derecha en los ejes vertical y horizontal respectivamente.

e) Rotular cada eje con la descripcin de la variable

correspondiente y con su unidad de medida.

Paso 6: Marcar sobre el diagrama los pares de datos

a) Para cada par de datos localizar la interseccin de las lecturas

de los ejes correspondientes y sealarlo con un punto o smbolo.



Si algn punto coincide con otro ya existente, se traza un crculo

concntrico a este ltimo.

b) Cuando coinciden muchos pares de puntos, el Diagrama de

Dispersin puede hacerse confuso. En este caso es recomendable

utilizar una "Tabla de Correlacin" para representar la

correlacin.

Paso 7: Rotular el grfico. Se rotula el ttulo del grfico y toda aquella

informacin necesaria para su correcta comprensin.

Interpretacin.

Relaciones causa-efecto.

Este es el caso ms comn en su utilizacin para la mejora de la calidad.

Se utiliza el diagrama a partir de la medicin del efecto observado y de su

posible causa.

Pautas tpicas de correlacin

Correlacin Fuerte.

Los puntos se agrupan claramente alrededor de una lnea imaginaria que

pasa por el centro de la masa de los mismos. Estos casos sugieren que el

control de una de las variables lleva al control de la otra.

Los datos parecen confirmar la teora estudiada, pero hay que analizar la

existencia de otras posibles explicaciones admisibles y relevantes para

dicha relacin.

Correlacin Fuerte, Positiva: El valor de la variable "Y" (eje vertical)

aumenta claramente con el valor de la variable "X" (eje horizontal).

Correlacin Fuerte, Negativa: El valor de "Y" disminuye claramente

cuando "X" aumenta.



Correlacin Dbil

Los puntos no estn suficientemente agrupados, como para asegurar que

existe la relacin. El control de una de las variables no necesariamente

nos llevar al control de la otra.

Si lo que se busca es determinar las causas de un problema, se deben

buscar otras variables con una relacin mayor o ms relevante sobre el

efecto.

Correlacin Dbil, Positiva: El valor de la variable "Y" (eje vertical)

tiende a aumentar cuando aumenta el valor de la variable "X" (eje

horizontal) Correlacin Dbil, Negativa: El valor de "Y" tiende a disminuir

cuando aumenta el valor de "X".

Correlacin compleja

El valor de la variable "Y" parece estar relacionado con el de la variable

"X", pero esta relacin no es simple o lineal.



En este caso se estudia la relacin ms profundamente (Hay alguna ley

no lineal que explique esta relacin ?. Es esta relacin el resultado de

componer varias relaciones ?).

Sin correlacin

Para cualquier valor de la variable "X", "Y" puede tener cualquier valor.

No aparece ninguna relacin especial entre ambas variables.

En este caso, nuestra teora no es correcta y se deben buscar otros tipos

de relaciones.

Ejemplo 1 Error de facturas

Se procede a investigar en primer lugar la teora, en la cual observamos

que el nmero de errores en una factura dependa de la cantidad de datos

a incluir en la misma. Se obtienen los datos.



Conclusin

Con el Diagrama de Dispersin no se confirma la teora de una relacin

entre el nmero de datos a incluir en la factura y la cantidad de errores

en la misma.

Ejemplo Temperatura en almacn

En una empresa se produce un producto alimenticio, se detect un

aumento en la cantidad de productos deteriorados despus de una noche

de almacenaje, antes del transporte al cliente.

La teora sobre la posible causa, es que el nuevo sistema de climatizacin

del almacn no es suficientemente preciso y la temperatura superaba la

mxima que el producto soportaba (temperatura mxima 5 grados

centgrados).



Conclusin

Como se puede ver, la temperatura mxima de 5 grados centgrados se

super en 21 de 40 noches.



El Diagrama muestra una fuerte correlacin entre la temperatura

mxima de la noche y la cantidad de productos deteriorados, que se

consigui bajar casi a cero con otro nuevo sistema de refrigeracin que

garantizaba constantemente una temperatura menor de 5 grados

centgrados.

Unidad I. Estadistica Descriptiva

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